მიეცით სიბრტყეზე წრფის განტოლების განმარტება. მაგარი ნამუშევარი 04/02/12. მიმოვიხილოთ * რომელ განტოლებას ეწოდება კვადრატული? * რომელ განტოლებებს უწოდებენ არასრულ კვადრატულ განტოლებებს? * რომელი. ნახეთ, რა არის „განტოლება“ სხვა ლექსიკონებში

განტოლების ამოხსნა

განტოლების ფესვების პოვნის გრაფიკული მეთოდის ილუსტრაცია

განტოლების ამოხსნა არის არგუმენტების ისეთი მნიშვნელობების პოვნა, რომლითაც მიიღწევა ეს თანასწორობა. არგუმენტების შესაძლო მნიშვნელობებზე შეიძლება დაწესდეს დამატებითი პირობები (მთლიანი, რეალური და ა.შ.).

სხვა ფესვის ჩანაცვლება წარმოშობს არასწორ განცხადებას:

.

ამრიგად, მეორე ფესვი უნდა განადგურდეს, როგორც ზედმეტი.

განტოლებების სახეები

არსებობს ალგებრული, პარამეტრული, ტრანსცენდენტული, ფუნქციური, დიფერენციალური და სხვა სახის განტოლებები.

განტოლების ზოგიერთ კლასს აქვს ანალიტიკური გადაწყვეტილებები, რომლებიც მოსახერხებელია, რადგან ისინი არა მხოლოდ აძლევენ ფესვის ზუსტ მნიშვნელობას, არამედ საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ამოხსნა ფორმულის სახით, რომელიც შეიძლება შეიცავდეს პარამეტრებს. ანალიტიკური გამონათქვამებისაშუალებას გაძლევთ არა მხოლოდ გამოთვალოთ ფესვები, არამედ გავაანალიზოთ მათი არსებობა და რაოდენობა პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით, რაც ხშირად უფრო მნიშვნელოვანია. პრაქტიკული გამოყენება, ვიდრე ფესვების სპეციფიკური მნიშვნელობები.

განტოლებები, რომელთა ანალიტიკური ამონახსნები ცნობილია, მოიცავს ალგებრულ განტოლებებს არაუმეტეს მეოთხე ხარისხის: წრფივი განტოლება, კვადრატული განტოლება, კუბური განტოლება და მეოთხე ხარისხის განტოლება. ალგებრული განტოლებებიზოგადად, უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებებს არ აქვთ ანალიტიკური ამონახსნები, თუმცა ზოგიერთი მათგანი შეიძლება შემცირდეს უფრო დაბალი ხარისხის განტოლებამდე.

განტოლებას, რომელიც მოიცავს ტრანსცენდენტურ ფუნქციებს, ეწოდება ტრანსცენდენტული. მათ შორის ზოგიერთისთვის ცნობილია ანალიტიკური გადაწყვეტილებები ტრიგონომეტრიული განტოლებები, ვინაიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნულები კარგად არის ცნობილი.

ზოგად შემთხვევაში, როდესაც ანალიზური ამოხსნა ვერ მოიძებნება, გამოიყენება რიცხვითი მეთოდები. რიცხვითი მეთოდები არ იძლევა ზუსტ გადაწყვეტას, მაგრამ მხოლოდ საშუალებას აძლევს შემცირდეს ინტერვალი, რომელშიც ფესვი დევს გარკვეულ წინასწარ განსაზღვრულ მნიშვნელობამდე.

განტოლებების მაგალითები

იხილეთ ასევე

ლიტერატურა

• ბეკარევიჩი, ა.ბ. განტოლებები სასკოლო მათემატიკის კურსში / ა.ბ.ბეკარევიჩი. - მ., 1968 წ.
• მარკუშევიჩი, L. A. განტოლებები და უტოლობები ალგებრის კურსის საბოლოო გამეორებაში უმაღლესი სკოლა/ L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / მათემატიკა სკოლაში. - 2004. - No1.
• Kaplan Y. V. Rivnyannya. - კიევი: რადიანსკის სკოლა, 1968 წ.
• განტოლება- სტატია დიდი საბჭოთა ენციკლოპედიიდან
• განტოლებები// Collier's Encyclopedia. - ღია საზოგადოება. 2000 წ.
• განტოლება// ენციკლოპედია მსოფლიოს გარშემო
• განტოლება // მათემატიკური ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. I. M. ვინოგრადოვი. 1977-1985 წწ.

ბმულები

• EqWorld - მათემატიკური განტოლებების სამყარო - შეიცავს ვრცელ ინფორმაციას მათემატიკური განტოლებებისა და განტოლებათა სისტემების შესახებ.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

სინონიმები:

ანტონიმები:

• ხაჯიმბა, რაულ ჯუმკოვიჩი
• ES კომპიუტერი

ნახეთ, რა არის „განტოლება“ სხვა ლექსიკონებში:

განტოლება - (1) მათემატიკური აღნიშვნაარგუმენტების ისეთი მნიშვნელობების პოვნის პრობლემა (იხ. (2)), რომლებისთვისაც ორი მონაცემის მნიშვნელობები (იხ.) ტოლია. არგუმენტებს, რომლებზეც ეს ფუნქციებია დამოკიდებული, ეწოდება უცნობი, ხოლო უცნობის მნიშვნელობებს, რომლებზეც მნიშვნელობები ... ... დიდი პოლიტექნიკური ენციკლოპედია

განტოლება- EQUATION, განტოლებები, შდრ. 1. ქმედება ჩ. გათანაბრება გათანაბრება და მდგომარეობა ჩ. გათანაბრება გათანაბრება. Თანაბარი უფლებები. დროის განტოლება (ნამდვილი მზის დროის თარგმნა საშუალო მზის დროში, მიღებული საზოგადოებაში და მეცნიერებაში;... ... ლექსიკონიუშაკოვა

განტოლება- (განტოლება) მოთხოვნა რომ მათემატიკური გამოხატულებაგარკვეული მნიშვნელობა მიიღო. მაგალითად, კვადრატული განტოლება იწერება: ax2+bx+c=0. ამონახსნი არის x-ის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც მოცემული განტოლება ხდება იდენტურობა. ში…… ეკონომიკური ლექსიკონი

განტოლება- არგუმენტების მნიშვნელობების პოვნის პრობლემის მათემატიკური წარმოდგენა, რომლებისთვისაც ორი მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობები ტოლია. არგუმენტებს, რომლებზეც ეს ფუნქციებია დამოკიდებული, ეწოდება უცნობი, ხოლო უცნობის მნიშვნელობებს, რომლებზეც ფუნქციის მნიშვნელობები ტოლია... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

განტოლება- EQUATION, ორი გამონათქვამი, რომლებიც დაკავშირებულია ტოლობის ნიშნით; ეს გამონათქვამები მოიცავს ერთ ან მეტ ცვლადს, რომელსაც უცნობები ეწოდება. განტოლების ამოხსნა ნიშნავს უცნობების ყველა მნიშვნელობის პოვნას, რომლითაც ის იდენტურად იქცევა, ან დაადგინო... თანამედროვე ენციკლოპედია

1. რომელ დებულებას ეწოდება დასკვნა? დაამტკიცეთ, რომ ორი პარალელური წრფედან ერთს კვეთს მეორეც

თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია.3. რა თეორემა ჰქვია ამ თეორემას მაგალითები პარალელური წრფეები, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.6.დაამტკიცეთ, რომ როდესაც ორი პარალელური წრფე იკვეთება განივიზე: ა) შესაბამისი კუთხეები ტოლია; ბ) ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

გთხოვთ დამეხმაროთ გეომეტრიის შესახებ კითხვებით (მე-9 კლასი)! 2) რას ნიშნავს ვექტორის ორად დაშლა

ამ ვექტორებზე. 9) რა არის წერტილის რადიუსის ვექტორი დაამტკიცეთ, რომ წერტილის კოორდინატები ტოლია ვექტორების შესაბამის კოორდინატებთან? 10) ვექტორის კოორდინატების გამოსათვლელი ფორმულების გამოყვანა მისი დასაწყისისა და დასასრულის კოორდინატებიდან. 11) გამოიღეთ ვექტორის კოორდინატების გამოსათვლელი ფორმულები მისი ბოლოების კოორდინატებიდან. 12) გამოიღეთ ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა მისი კოორდინატებიდან. 13) გამოიტანეთ ფორმულა ორ წერტილს შორის მანძილის გამოსათვლელად მათი კოორდინატების მიხედვით. 15) რა განტოლებას ჰქვია ამ წრფის განტოლება. 16) გამოიტანეთ მოცემული რადიუსის წრის განტოლება ცენტრით მოცემულ წერტილში.

1) ჩამოთვალეთ და დაამტკიცეთ ლემა კოლინარული ვექტორების შესახებ.

3) ჩამოაყალიბეთ და დაადასტურეთ თეორემა ვექტორის ორ არასწორხაზოვან ვექტორად დაშლის შესახებ.
4) ახსენით, როგორ შემოდის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა.
5) რა არის კოორდინატთა ვექტორები?
6) ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ განცხადება თვითნებური ვექტორის კოორდინატ ვექტორებად დაშლის შესახებ.
7) რა არის ვექტორული კოორდინატები?
8) ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ ვექტორების ჯამისა და სხვაობის კოორდინატების, აგრეთვე ვექტორისა და რიცხვის ნამრავლის პოვნის წესები მოცემულ ვექტორულ კოორდინატებზე.
10) ვექტორის კოორდინატების გამოსათვლელი ფორმულების გამოყვანა მისი დასაწყისისა და დასასრულის კოორდინატებიდან.
11) გამოიღეთ ვექტორის კოორდინატების გამოსათვლელი ფორმულები მისი ბოლოების კოორდინატებიდან.
12) გამოიღეთ ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელი ფორმულა მისი კოორდინატებიდან.
13) გამოიტანეთ ფორმულა ორ წერტილს შორის მანძილის გამოსათვლელად მათი კოორდინატების მიხედვით.
14) მოიყვანეთ ამოხსნის მაგალითი გეომეტრიული პრობლემაკოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით.
16) გამოიტანეთ მოცემული რადიუსის წრის განტოლება ცენტრით მოცემულ წერტილში.
17) დაწერეთ მოცემული რადიუსის წრის განტოლება საწყისზე ცენტრით.
18) გამოიტანეთ ამ წრფის განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.
19) დაწერეთ მოცემული M0 (X0: Y0) წერტილის გავლით და კოორდინატთა ღერძების პარალელური წრფეების განტოლება.
20) დაწერეთ კოორდინატთა ღერძების განტოლება.
21) მოიყვანეთ წრის და წრფის განტოლებების გამოყენების მაგალითები გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას.

გთხოვ, ძალიან მჭირდება! სასურველია ნახატებით (სადაც საჭიროა)!

გეომეტრია მე-9 კლასი.

1) ჩამოთვალეთ და დაამტკიცეთ ლემა კოლინარული ვექტორების შესახებ.
2) რას ნიშნავს ვექტორის ორ მოცემულ ვექტორად დაშლა.
3) ჩამოაყალიბეთ და დაადასტურეთ თეორემა ვექტორის ორ არასწორხაზოვან ვექტორად დაშლის შესახებ.
4) ახსენით, როგორ შემოდის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა.
5) რა არის კოორდინატთა ვექტორები?
6) ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ განცხადება თვითნებური ვექტორის კოორდინატ ვექტორებად დაშლის შესახებ.
7) რა არის ვექტორული კოორდინატები?
8) ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ ვექტორების ჯამისა და სხვაობის კოორდინატების, აგრეთვე ვექტორისა და რიცხვის ნამრავლის პოვნის წესები მოცემულ ვექტორულ კოორდინატებზე.
9) რა არის წერტილის რადიუსის ვექტორი? დაამტკიცეთ, რომ წერტილის კოორდინატები ტოლია ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების.
14) მიეცით კოორდინატთა მეთოდით გეომეტრიული ამოცანის ამოხსნის მაგალითი.
15)რა განტოლებას ჰქვია ამ წრფის განტოლება? მიეცი მაგალითი.
17) დაწერეთ მოცემული რადიუსის წრის განტოლება საწყისზე ცენტრით.
18) გამოიტანეთ ამ წრფის განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.
19) დაწერეთ მოცემული M0 (X0: Y0) წერტილის გავლით და კოორდინატთა ღერძების პარალელური წრფეების განტოლება.
20) დაწერეთ კოორდინატთა ღერძების განტოლება.
21) მოიყვანეთ წრის და წრფის განტოლებების გამოყენების მაგალითები გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას.

სწორი ხაზი თვითმფრინავში და სივრცეში.

თვისებების შესწავლა გეომეტრიული ფორმებიალგებრის გამოყენებით ე.წ ანალიტიკური გეომეტრია , და გამოვიყენებთ ე.წ კოორდინატთა მეთოდი .

სიბრტყეზე ხაზი ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც წერტილების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ მათთვის უნიკალური თვისებები. ის, რომ ამ წრფეზე მდებარე წერტილის x და y კოორდინატები (რიცხვები) ანალიტიკურად იწერება რაღაც განტოლების სახით.

დეფ.1 წრფის განტოლება (მრუდის განტოლება) Oxy სიბრტყეზე ეწოდება განტოლება (*), რომელიც კმაყოფილდება მოცემული წრფის თითოეული წერტილის x და y კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება ამ წრფეზე არ მდებარე სხვა წერტილის კოორდინატებით.

განმარტება 1-დან გამომდინარეობს, რომ სიბრტყეზე ყველა ხაზი შეესაბამება გარკვეულ განტოლებას მიმდინარე კოორდინატებს შორის ( x, y ) ამ ხაზის წერტილები და პირიქით, ყველა განტოლება შეესაბამება, ზოგადად, გარკვეულ წრფეს.

ეს წარმოშობს თვითმფრინავზე ანალიტიკური გეომეტრიის ორ მთავარ პრობლემას.

1. წრფე მოცემულია წერტილთა სიმრავლის სახით. ჩვენ უნდა შევქმნათ განტოლება ამ ხაზისთვის.

2. მოცემულია წრფის განტოლება. აუცილებელია მისი გეომეტრიული თვისებების (ფორმა და მდებარეობა) შესწავლა.

მაგალითი. ნუ ქულები ტყუილი ა(-2;1) და IN (1;1) მე-2 ხაზზე X +ზე +3=0?

ორი წრფის გადაკვეთის წერტილების პოვნის პრობლემა, მოცემული განტოლებებითდა, მოდის კოორდინატების პოვნაზე, რომლებიც აკმაყოფილებენ ორივე წრფის განტოლებას, ე.ი. ორი უცნობი განტოლების სისტემის ამოხსნას.

თუ ამ სისტემას არ აქვს რეალური გადაწყვეტილებები, მაშინ ხაზები არ იკვეთება.

ხაზის კონცეფცია UCS-შიც ანალოგიურად არის დანერგილი.

სიბრტყეზე ხაზი შეიძლება განისაზღვროს ორი განტოლებით

სად X და ზე - თვითნებური წერტილის კოორდინატები M (x;y), ამ ხაზზე წევს და ტ - ცვლადი ე.წ პარამეტრი , პარამეტრი განსაზღვრავს წერტილის პოზიციას სიბრტყეზე.

მაგალითად, თუ , მაშინ t=2 პარამეტრის მნიშვნელობა შეესაბამება სიბრტყეზე (3;4) წერტილს.

თუ პარამეტრი იცვლება, წერტილი სიბრტყეზე მოძრაობს და აღწერს ამ ხაზს. ხაზის განსაზღვრის ამ მეთოდს ე.წ პარამეტრული და განტოლება (5.1) არის წრფის პარამეტრული განტოლება.

პარამეტრული განტოლებიდან ზოგად განტოლებაზე (*) გადასასვლელად, თქვენ უნდა ამოიღოთ პარამეტრი ორი განტოლებიდან. თუმცა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ასეთი გადასვლა ყოველთვის არ არის მიზანშეწონილი და ყოველთვის არ არის შესაძლებელი.

შეიძლება განისაზღვროს ხაზი თვითმფრინავზე ვექტორული განტოლება , სადაც t არის სკალარული ცვლადი პარამეტრი. თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობა შეესაბამება კონკრეტულ სიბრტყის ვექტორს. პარამეტრის შეცვლისას ვექტორის ბოლო აღწერს გარკვეულ ხაზს.

ვექტორული განტოლება DSC-ში შეესაბამება ორი სკალარული განტოლება

(5.1), ე.ი. წრფის ვექტორული განტოლების კოორდინატულ ღერძებზე პროგნოზების განტოლებები მისი

პარამეტრული განტოლება.

ვექტორული განტოლებახოლო წრფის პარამეტრულ განტოლებებს აქვს მექანიკური მნიშვნელობა. თუ წერტილი მოძრაობს სიბრტყეზე, მაშინ მითითებული განტოლებები ეწოდება მოძრაობის განტოლებები , და ხაზი არის წერტილის ტრაექტორია, პარამეტრი t არის დრო.

დასკვნა: სიბრტყეზე ყველა ხაზი შეესაბამება ფორმის განტოლებას.

ზოგად შემთხვევაში, ხედის ნებისმიერი განტოლება შეესაბამება გარკვეულ ხაზს, რომლის თვისებები განისაზღვრება მოცემული განტოლებით (გარდა იმისა, რომ არც ერთი გეომეტრიული გამოსახულება არ შეესაბამება განტოლებას სიბრტყეზე).

აირჩიე კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე.

დეფ. 5.1. ხაზოვანი განტოლება ამ ტიპის განტოლება ე.წF(x;y) =0, რომელიც კმაყოფილდება ამ წრფეზე მდებარე ყველა წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება მასზე არ მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით.

ფორმის განტოლებაF(x;y )=0 – ეწოდება წრფის ან განტოლების ზოგად განტოლებას იმპლიციტური ფორმით.

ამრიგად, წრფე Г არის ამ განტოლების დამაკმაყოფილებელი წერტილების ლოკუსი Г=((x, y): F(x;y)=0).

ხაზი ასევე ე.წ მრუდე.

სამიზნე:განვიხილოთ ხაზის კონცეფცია თვითმფრინავზე, მიეცით მაგალითები. წრფის განმარტებიდან გამომდინარე, შემოიტანეთ სიბრტყეზე წრფის განტოლების კონცეფცია. განვიხილოთ სწორი ხაზების ტიპები, მიეცით მაგალითები და სწორი ხაზის განსაზღვრის მეთოდები. სწორი ხაზის განტოლების თარგმნის უნარის გაძლიერება ზოგადი ხედისწორი ხაზის განტოლებაში "სეგმენტებში", კუთხოვანი კოეფიციენტით.

1. წრფის განტოლება სიბრტყეზე.
2. სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება. განტოლებების სახეები.
3. სწორი ხაზის მითითების მეთოდები.

1. მოდით x და y იყოს ორი თვითნებური ცვლადი.

განმარტება: F(x,y)=0 ფორმის მიმართება ეწოდება განტოლება , თუ ეს არ არის ჭეშმარიტი x და y რიცხვების რომელიმე წყვილისთვის.

მაგალითი: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

თუ ტოლობა F(x,y)=0 მოქმედებს ნებისმიერი x, y-ისთვის, მაშინ, შესაბამისად, F(x,y) = 0 არის იდენტობა.

მაგალითი: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

ისინი ამბობენ, რომ x რიცხვები არის 0 და y არის 0 დააკმაყოფილეთ განტოლება , თუ მათი ამ განტოლებაში ჩანაცვლებისას ის გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

ანალიტიკური გეომეტრიის ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფცია არის ხაზის განტოლების კონცეფცია.

განმარტება: მოცემული წრფის განტოლება არის განტოლება F(x,y)=0, რომელიც კმაყოფილდება ამ წრფეზე მდებარე ყველა წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება არცერთი წერტილის კოორდინატებით, რომლებიც არ დევს ამ წრფეზე.

y = f(x) განტოლებით განსაზღვრულ წრფეს ეწოდება f(x-ის გრაფიკი). ცვლადებს x და y ეწოდება მიმდინარე კოორდინატები, რადგან ისინი ცვლადი წერტილის კოორდინატებია.

Ზოგიერთი მაგალითებიხაზის განმარტებები.

1) x – y = 0 => x = y. ეს განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => წერტილები უნდა აკმაყოფილებდეს ან x - y = 0 განტოლებას, ან განტოლებას x + y = 0, რომელიც შეესაბამება სიბრტყეზე გადამკვეთი სწორი ხაზების წყვილი, რომლებიც კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრებია:

3) x 2 + y 2 = 0. ეს განტოლება კმაყოფილდება მხოლოდ ერთი წერტილით O(0,0).

2. განმარტება: სიბრტყეზე ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს პირველი რიგის განტოლებით

Ax + Wu + C = 0,

უფრო მეტიც, მუდმივები A და B ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, ე.ი. A 2 + B 2 ¹ 0. ეს პირველი რიგის განტოლება ეწოდება სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.

A, B და C მუდმივების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - სწორი ხაზი გადის საწყისზე

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - სწორი ხაზი Ox ღერძის პარალელურად

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) - სწორი ხაზი Oy ღერძის პარალელურად

B = C = 0, A ¹ 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Oy ღერძს

A = C = 0, B ¹ 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Ox ღერძს

სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, მოცემული საწყისი პირობებიდან გამომდინარე.

სწორი ხაზის განტოლება კუთხოვანი კოეფიციენტით.

თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება Ax + By + C = 0 დაიყვანება ფორმამდე:

და აღვნიშნოთ, მაშინ მიღებული განტოლება ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება დახრილობით k.

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.

თუ შიგნით ზოგადი განტოლებასწორი ხაზი Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, შემდეგ –С-ზე გაყოფით მივიღებთ: ან სად

გეომეტრიული მნიშვნელობაკოეფიციენტები არის ის, რომ კოეფიციენტი აარის წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი Ox ღერძთან და ბ– სწორი ხაზის Oy ღერძთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი.

წრფის ნორმალური განტოლება.

თუ განტოლების ორივე მხარე Ax + By + C = 0 იყოფა რიცხვზე, რომელსაც ე.წ ნორმალიზების ფაქტორი, შემდეგ მივიღებთ

xcosj + ysinj - p = 0 – წრფის ნორმალური განტოლება.

ნორმალიზების ფაქტორის ნიშანი ± უნდა შეირჩეს ისე, რომ m×С< 0.

p არის საწყისიდან სწორ ხაზზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარის სიგრძე და j არის ამ პერპენდიკულარულის მიერ წარმოქმნილი კუთხე Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.

3. სწორი ხაზის განტოლება წერტილისა და დახრილობის გამოყენებით.

წრფის კუთხური კოეფიციენტი იყოს k-ის ტოლი, წრფე გადის M წერტილში (x 0, y 0). შემდეგ სწორი ხაზის განტოლება იპოვება ფორმულით: y – y 0 = k(x – x 0)

ორ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება.

ორი წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2) მოცემულია სივრცეში, მაშინ ამ წერტილებში გამავალი წრფის განტოლება არის:

თუ რომელიმე მნიშვნელი არის ნულის ტოლი, შესაბამისი მრიცხველი უნდა იყოს ნულის ტოლი.

სიბრტყეზე ზემოთ დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება გამარტივებულია:

თუ x 1 ¹ x 2 და x = x 1, თუ x 1 = x 2.

წილადი = k ეწოდება ფერდობზესწორი.

 სიბრტყეზე მოცემულია დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy და გარკვეული წრფე L.

განმარტება. განტოლება F(x;y)=0 (1)დაურეკა წრფის განტოლებალ(მოცემული კოორდინატთა სისტემის მიმართ), თუ ეს განტოლება აკმაყოფილებს L წრფეზე მდებარე რომელიმე წერტილის x და y კოორდინატებს და არა L წრფეზე არ მდებარე რომელიმე წერტილის x და y კოორდინატებს.

რომ. ხაზი თვითმფრინავშიარის წერტილების ლოკუსი (M(x;y)), რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს (1) განტოლებას.

განტოლება (1) განსაზღვრავს L წრფეს.

მაგალითი. წრის განტოლება.

წრე– მოცემული M 0 წერტილიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ერთობლიობა (x 0,y 0).

წერტილი M 0 (x 0,y 0) – წრის ცენტრი.

წრეზე მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის M(x;y), მანძილი MM 0 =R (R=const)

მმ 0 ==რ

(x-x 0 ) 2 + (ოოჰ 0 ) 2 =რ 2 –(2) – R რადიუსის წრის განტოლება ცენტრით M 0 წერტილში (x 0,y 0).

წრფის პარამეტრული განტოლება.

მოდით გამოვხატოთ წერტილების x და y კოორდინატები L წრფეზე t პარამეტრის გამოყენებით:

(3) – წრფის პარამეტრული განტოლება DSC-ში

სადაც (t) და (t) ფუნქციები უწყვეტია t პარამეტრის მიმართ (ამ პარამეტრის ვარიაციის გარკვეულ დიაპაზონში).

(3) განტოლებიდან t პარამეტრის გამოკლებით, ვიღებთ განტოლებას (1).

L წრფე მივიჩნიოთ, როგორც გზა, რომელსაც გადის მატერიალური წერტილი, რომელიც განუწყვეტლივ მოძრაობს გარკვეული კანონის მიხედვით. მოდით, t ​​ცვლადი წარმოადგენდეს დროს, რომელიც დათვლილია გარკვეული საწყისი მომენტიდან. მაშინ მოძრაობის კანონის სპეციფიკაცია წარმოადგენს მოძრავი წერტილის x და y კოორდინატების სპეციფიკაციას, როგორც t დროის x=(t) და y=(t) უწყვეტი ფუნქცია.

მაგალითი. გამოვიყვანოთ პარამეტრული განტოლება r>0 რადიუსის წრეზე, რომლის ცენტრი სათავეშია. მოდით M(x,y) იყოს ამ წრის თვითნებური წერტილი და t იყოს კუთხე რადიუსის ვექტორსა და Ox ღერძს შორის, დათვლილი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

მაშინ x=r cos x y=r sin t. (4)

განტოლებები (4) არის განხილული წრის პარამეტრული განტოლებები. t პარამეტრს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, მაგრამ იმისათვის, რომ M(x,y) წერტილმა შემოივლოს წრის გარშემო ერთხელ, პარამეტრის ცვლილების დიაპაზონი შემოიფარგლება ნახევრად სეგმენტით 0t2.

(4) განტოლებების კვადრატში და მიმატებით ვიღებთ წრის (2) ზოგად განტოლებას.

2. პოლარული კოორდინატთა სისტემა (psc).

მოდით ავირჩიოთ L ღერძი ( პოლარული ღერძი) და განსაზღვრეთ ამ ღერძის წერტილი O ( ბოძი). თვითმფრინავის ნებისმიერი წერტილი ცალსახად არის მითითებული პოლარული კოორდინატებიρ და φ, სადაც

ρ – პოლარული რადიუსი, უდრის მანძილს M წერტილიდან O პოლუსამდე (ρ≥0);

φ – კუთხევექტორის მიმართულებას შორის OMდა L ღერძი ( პოლარული კუთხე). M(ρ ; φ )

ხაზის განტოლება UCS-შიშეიძლება დაიწეროს:

ρ=f(φ) (5) წრფის აშკარა განტოლება UCS-ში

F=(ρ; φ) (6) იმპლიციტური ხაზის განტოლება UCS-ში

წერტილის დეკარტისა და პოლარული კოორდინატების კავშირი.

(x;y) (ρ ; φ ) სამკუთხედიდან OMA:

tan φ=(კუთხის აღდგენაφ ცნობილის მიხედვითწარმოიქმნება ტანგენსიიმის გათვალისწინებით, რომელ კვადრატში მდებარეობს M წერტილი).(ρ ; φ ) (x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

მაგალითი . იპოვეთ M(3;4) და P(1;-1) წერტილების პოლარული კოორდინატები.

M-სთვის:=5, φ=arctg (4/3). P-სთვის: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

ბრტყელი ხაზების კლასიფიკაცია.

განმარტება 1.ხაზი ე.წ ალგებრული,თუ რომელიმე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, თუ იგი განისაზღვრება F(x;y)=0 (1) განტოლებით, რომელშიც F(x;y) ფუნქცია ალგებრული მრავალწევრია.

განმარტება 2.ყველა არაალგებრულ წრფეს ეწოდება ტრანსცენდენტული.

განმარტება 3. ალგებრული ხაზი ე.წ შეკვეთის ხაზინ, თუ რომელიმე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ეს წრფე განისაზღვრება (1) განტოლებით, რომელშიც ფუნქცია F(x;y) არის n-ე ხარისხის ალგებრული პოლინომი.

ამრიგად, n-ე რიგის წრფე არის ხაზი, რომელიც განსაზღვრულია ზოგიერთ დეკარტის მართკუთხა სისტემაში n ხარისხის ალგებრული განტოლებით ორი უცნობით.

შემდეგი თეორემა ხელს უწყობს განმარტებების სისწორის დადგენას 1,2,3.

თეორემა(დოკუმენტი გვ. 107). თუ რომელიმე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წრფე განისაზღვრება n ხარისხის ალგებრული განტოლებით, მაშინ ეს ხაზი ნებისმიერ სხვა დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში განისაზღვრება იმავე n ხარისხის ალგებრული განტოლებით.