გაარკვიეთ, რომელ ხაზს განსაზღვრავს განტოლება. წრფის განტოლების განმარტება, სიბრტყეზე წრფის მაგალითები. პარალელური ხაზების მდგომარეობა

ანალიტიკური გეომეტრიის ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფციაა წრფის განტოლება სიბრტყეზე.

განმარტება. წრფის (მრუდის) განტოლება სიბრტყეზე ოქსიეწოდება განტოლება, რომელიც აკმაყოფილებს კოორდინატებს xდა წამ წრფის თითოეულ წერტილს და არ აკმაყოფილებდეს არცერთი წერტილის კოორდინატებს, რომელიც არ დევს ამ წრფეზე (ნახ. 1).

ზოგადად, ხაზის განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც F(x,y)=0ან y=f(x).

მაგალითი.იპოვეთ წერტილებისგან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილთა სიმრავლის განტოლება A(-4;2), B(-2;-6).

გამოსავალი.თუ M(x;y)არის სასურველი ხაზის თვითნებური წერტილი (ნახ. 2), მაშინ გვაქვს AM=BMან

გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ

ცხადია, ეს არის სწორი ხაზის განტოლება. MD- პერპენდიკულური აღდგენილი შუა სეგმენტიდან AB.

თვითმფრინავის ყველა ხაზიდან განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს სწორი ხაზი. ეს არის ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც გამოიყენება პრაქტიკაში ყველაზე გავრცელებულ ხაზოვან ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელებში.

სწორი ხაზის განტოლების სხვადასხვა ტიპები:

1) დახრილობით k და საწყისი ორდინატი b:

y = kx + b,

სად არის კუთხე სწორ ხაზსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის ოჰ(ნახ. 3).

განსაკუთრებული შემთხვევები:

- ხაზი გადის წარმოშობა(ნახ.4):

– ბისექტორიპირველი და მესამე, მეორე და მეოთხე კოორდინატთა კუთხეები:

y=+x, y=-x;

- სწორი x-ღერძის პარალელურადდა თავად OX ღერძი(ნახ. 5):

y=b, y=0;

- სწორი OY ღერძის პარალელურადდა თავად OY ღერძი(ნახ. 6):

x=a, x=0;

2) ამ მიმართულებით გავლა (დახრილობით) k მოცემული წერტილის გავლით (ნახ. 7) :

.

თუ ზემოთ მოცემულ განტოლებაში კარის თვითნებური რიცხვი, შემდეგ განტოლება განსაზღვრავს სწორი ხაზების შეკვრაწერტილის გავლით , გარდა ღერძის პარალელურად სწორი ხაზისა ოჰ.

მაგალითიA(3,-2):

ა) ღერძის კუთხით OH;

ბ) ღერძის პარალელურად OY.

გამოსავალი.

მაგრამ) , y-(-2)=-1(x-3)ან y=-x+1;

ბ) x=3.

3) ორი მოცემული წერტილის გავლა (ნახ. 8) :

.

მაგალითი. დაწერეთ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება A(-5.4), B(3,-2).

გამოსავალი. ,

4) სწორი ხაზის განტოლება მონაკვეთებში (ნახ.9):

სადაც ა, ბ-ღერძებზე ამოჭრილი სეგმენტები, შესაბამისად ოქსიდა ოჰ.

მაგალითი. დაწერეთ განტოლება წრფეზე, რომელიც გადის წერტილს A(2,-1)თუ ეს ხაზი წყვეტს პოზიტიურ ნახევრადღერძს ოისეგმენტი ორჯერ უფრო გრძელი ვიდრე დადებითი ნახევარღერძიდან ოქსი(სურ. 10).

გამოსავალი. პირობით b=2a, მაშინ . შეცვალეთ წერტილის კოორდინატები A(2,-1):

სად a=1.5.

საბოლოოდ მივიღებთ:

ან y=-2x+3.

5) სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება:

Ax+by+C=0,

სადაც ადა ბერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

სწორი ხაზების ზოგიერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი :

1) მანძილი d წერტილიდან ხაზამდე:

.

2) კუთხე სწორ ხაზებს შორის და შესაბამისად:

და .

3) პარალელური წრფეების მდგომარეობა:

ან .

4) ხაზების პერპენდიკულარობის პირობა:

ან .

მაგალითი 1. დაწერეთ განტოლება ორი ხაზისთვის, რომელიც გადის წერტილში A(5.1), რომელთაგან ერთი წრფის პარალელურია 3x+2y-7=0ხოლო მეორე იმავე წრფის პერპენდიკულარულია. იპოვნეთ მანძილი პარალელურ წრფეებს შორის.

გამოსავალი. სურათი 11.

1) პარალელური წრფის განტოლება Ax+By+C=0:

პარალელურობის მდგომარეობიდან;

1-ის ტოლი პროპორციულობის კოეფიციენტის აღებით მივიღებთ A=3, B=2;

მაშინ. 3x+2y+C=0;

მნიშვნელობა FROMიპოვეთ კოორდინატების შეცვლით A (5,1),

3*5+2*1+C=0,სადაც C=-17;

პარალელური წრფის განტოლებაა 3x+2y-17=0.

2) პერპენდიკულარული წრფის განტოლებაპერპენდიკულარულობის მდგომარეობიდან ექნება ფორმა 2x-3y+C=0;

კოორდინატების ჩანაცვლება A(5.1), ვიღებთ 2*5-3*1+C=0, სად C=-7;

პერპენდიკულარული წრფის განტოლებაა 2x-3y-7=0.

3) მანძილი პარალელურ ხაზებს შორისშეიძლება მოიძებნოს როგორც მანძილი A(5.1)ადრე მიცემული პირდაპირი 3x+2y-7=0:

.

მაგალითი 2. მოცემულია სამკუთხედის გვერდების განტოლებები:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

დაწერეთ კუთხის ბისექტრის განტოლება ABC.

გამოსავალი. ჯერ იპოვნეთ წვეროს კოორდინატები INსამკუთხედი:

,

სადაც x=-8, y=0,იმათ. B (-8.0)(ნახ. 12) .

თითოეული წერტილიდან მანძილის ბისექტრის თვისებით M(x,y), ბისექტრები BDგვერდებამდე ABდა მზეთანაბარია, ე.ი.

,

ჩვენ ვიღებთ ორ განტოლებას

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

სურათი 12-დან, სასურველი სწორი ხაზის დახრილობა უარყოფითია (კუთხე ოჰბლაგვი), შესაბამისად, პირველი განტოლება გვერგება x+7y+8=0ან y=-1/7x-8/7.

განვიხილოთ ფორმის კავშირი F(x, y)=0აკავშირებს ცვლადები xდა ზე. ტოლობა (1) დაერქმევა განტოლება ორი ცვლადით x, y,თუ ეს ტოლობა არ არის ჭეშმარიტი ყველა წყვილი რიცხვისთვის Xდა ზე. განტოლების მაგალითები: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

sin x + sin y - 1 = 0.

თუ (1) ჭეშმარიტია x და y რიცხვების ყველა წყვილისთვის, მაშინ მას უწოდებენ ვინაობა. პირადობის მაგალითები: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.

განტოლება (1) გამოიძახება წერტილთა სიმრავლის განტოლება (x; y),თუ ეს განტოლება დაკმაყოფილებულია კოორდინატებით Xდა ზესიმრავლის ნებისმიერი წერტილი და არ აკმაყოფილებდეს არცერთი წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც არ ეკუთვნის ამ სიმრავლეს.

ანალიტიკურ გეომეტრიაში მნიშვნელოვანი ცნებაა წრფის განტოლების კონცეფცია. მოდით მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და რამდენიმე ხაზი α.

განმარტება.განტოლებას (1) ეწოდება წრფივი განტოლება α (შექმნილ კოორდინატთა სისტემაში), თუ ეს განტოლება დაკმაყოფილებულია კოორდინატებით Xდა ზეხაზის ნებისმიერი წერტილი α , და არ დააკმაყოფილოთ ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, რომელიც არ დევს ამ ხაზზე.

თუ (1) არის წრფის განტოლება α, მაშინ ჩვენ ვიტყვით, რომ განტოლება (1) განსაზღვრავს (ადგენს)ხაზი α.

ხაზი α შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ ფორმის (1) განტოლებით, არამედ ფორმის განტოლებით

F(P, φ) = 0, რომელიც შეიცავს პოლარულ კოორდინატებს.

• სწორი ხაზის განტოლება დახრილობასთან;

მიეცით რაიმე სწორი ხაზი, რომელიც არ არის პერპენდიკულარული ღერძზე ოჰ. მოდით დავურეკოთ დახრის კუთხემოცემული ხაზი ღერძს ოჰინექცია α რომლითაც მოტრიალდება ღერძი ოჰისე, რომ დადებითი მიმართულება ემთხვევა სწორი ხაზის ერთ-ერთ მიმართულებას. სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენსი ღერძზე ოჰდაურეკა ფერდობის ფაქტორიეს სწორი ხაზი და აღინიშნება ასოებით TO.

	K=tg α
		(1)

ჩვენ გამოვიყვანთ ამ სწორი ხაზის განტოლებას, თუ ვიცით მისი TOდა მნიშვნელობა სეგმენტში OV, რომელსაც იგი წყვეტს ღერძზე OU.

(2)

y=kx+b

აღნიშნეთ მიერ მ"თვითმფრინავის წერტილი (x; y).თუ პირდაპირ დახატავ BNდა ნმ, ცულების პარალელურად, მაშინ r BNM -მართკუთხა. თ. MC C BM <=>როდესაც ღირებულებები ნმდა BNდააკმაყოფილოს პირობა: . მაგრამ NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> მოცემული (1), ჩვენ ვიღებთ, რომ წერტილი M (x; y) Cამ ხაზზე<=>როდესაც მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას: =>

განტოლება (2) ეწოდება სწორი ხაზის განტოლება დახრილობასთან.თუ K=0, მაშინ ხაზი ღერძის პარალელურია ოჰდა მისი განტოლება არის y = b.

• ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება;

(4)

მოდით მივცეთ ორი ქულა M 1 (x 1; y 1)და M 2 (x 2; y 2).(3) პუნქტის მიღების შემდეგ M (x; y)უკან M 2 (x 2; y 2),ვიღებთ y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).განმსაზღვრელი კბოლო ტოლობიდან და მისი (3) განტოლებით ჩანაცვლებით, მივიღებთ სწორი ხაზის სასურველ განტოლებას: . ეს არის განტოლება, თუ y 1 ≠ y 2, შეიძლება დაიწეროს როგორც:

თუ y 1 = y 2, მაშინ სასურველი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა y = y 1. ამ შემთხვევაში, ხაზი ღერძის პარალელურია ოჰ. თუ x 1 = x 2, შემდეგ წერტილებში გამავალი ხაზი M 1და M 2, ღერძის პარალელურად OU, მის განტოლებას აქვს ფორმა x = x 1.

• მოცემულ წერტილში მოცემული დახრილობით გამავალი სწორი ხაზის განტოლება;

(3)

Axe + By + C = 0

თეორემა.მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოჰუნებისმიერი სწორი ხაზი მოცემულია პირველი ხარისხის განტოლებით:

და, პირიქით, განტოლება (5) თვითნებური კოეფიციენტებისთვის A, B, C (მაგრამდა B ≠ 0ერთდროულად) განსაზღვრავს რაღაც ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოჰუ.

მტკიცებულება.

ჯერ დავამტკიცოთ პირველი მტკიცება. თუ ხაზი არ არის პერპენდიკულარული ოჰ,მაშინ იგი განისაზღვრება პირველი ხარისხის განტოლებით: y = kx + b, ე.ი. (5) ფორმის განტოლება, სადაც

A=k, B=-1და C = b.თუ ხაზი პერპენდიკულარულია ოჰ,მაშინ მის ყველა წერტილს აქვს მნიშვნელობის ტოლი ერთი და იგივე აბსციზა α სეგმენტი მოწყვეტილია ღერძზე სწორი ხაზით ოჰ.

ამ წრფის განტოლებას აქვს ფორმა x = α,იმათ. ასევე არის (5) ფორმის პირველი ხარისხის განტოლება, სადაც A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α.ეს ადასტურებს პირველ მტკიცებას.

დავამტკიცოთ საპირისპირო მტკიცება. მოდით, მოცემული იყოს განტოლება (5) და მინიმუმ ერთი კოეფიციენტი მაგრამდა B ≠ 0.

თუ B ≠ 0, მაშინ (5) შეიძლება დაიწეროს როგორც . დახრილი , ვიღებთ განტოლებას y = kx + b, ე.ი. (2) ფორმის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს სწორ ხაზს.

თუ B = 0, მაშინ A ≠ 0და (5) იღებს ფორმას. აღნიშნავს მეშვეობით α, ვიღებთ

x = α, ე.ი. პერპენდიკულარული სწორი ხაზის განტოლება Ox.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში პირველი ხარისხის განტოლებით განსაზღვრული ხაზები ეწოდება პირველი შეკვეთის ხაზები.

ტიპის განტოლება Ah + Wu + C = 0არასრულია, ე.ი. ერთ-ერთი კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

1) C = 0; აჰ + ვუ = 0და განსაზღვრავს საწყისზე გამავალ ხაზს.

2) B = 0 (A ≠ 0); განტოლება Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); ვუ + C = 0და განსაზღვრავს წრფეს პარალელურად ოჰ.

განტოლებას (6) ეწოდება სწორი ხაზის განტოლებას "სეგმენტებში". ნომრები მაგრამდა ბარის სეგმენტების მნიშვნელობები, რომლებსაც სწორი ხაზი წყვეტს კოორდინატთა ღერძებზე. განტოლების ეს ფორმა მოსახერხებელია სწორი ხაზის გეომეტრიული კონსტრუქციისთვის.

• სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება;

Аx + Вy + С = 0 არის ზოგიერთი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება და (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

მისი ნორმალური განტოლება.

ვინაიდან განტოლებები (5) და (7) განსაზღვრავენ ერთსა და იმავე სწორ ხაზს, მაშინ ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0და

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) ამ განტოლებების კოეფიციენტები პროპორციულია. ეს ნიშნავს, რომ (5) განტოლების ყველა პირობის გამრავლებით M ფაქტორზე, მივიღებთ განტოლებას. MA x + MB y + MS = 0, ემთხვევა განტოლებას (7) ე.ი.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

M კოეფიციენტის საპოვნელად, ამ ტოლობებიდან პირველ ორს კვადრატში ვამატებთ და ვამატებთ:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1

(9)

განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეში. ტერმინთა ჯგუფს ეწოდება კვადრატული ფორმა, - ხაზოვანი ფორმა. თუ კვადრატული ფორმა შეიცავს მხოლოდ ცვლადების კვადრატებს, მაშინ მის ფორმას ეწოდება კანონიკური, ხოლო ორთონორმალური საფუძვლის ვექტორებს, რომლებშიც კვადრატულ ფორმას აქვს კანონიკური ფორმა, ეწოდება კვადრატული ფორმის ძირითადი ღერძი.
Მატრიცა ეწოდება კვადრატული მატრიცა. აქ არის 1 2 = a 2 1 . B მატრიცის დიაგონალურ ფორმამდე დასაყვანად აუცილებელია ამ მატრიცის საკუთრივვექტორების საფუძვლად აყვანა, შემდეგ , სადაც λ 1 და λ 2 არის B მატრიცის საკუთარი მნიშვნელობები.
B მატრიცის საკუთრივ ვექტორების საფუძველზე კვადრატულ ფორმას ექნება კანონიკური ფორმა: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
ეს ოპერაცია შეესაბამება კოორდინატთა ღერძების ბრუნვას. შემდეგ ხდება საწყისი გადაადგილება, რითაც თავისუფლდება წრფივი ფორმა.
მეორე რიგის მრუდის კანონიკური ფორმა: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, უფრო მეტიც:
ა) თუ λ 1 >0; λ 2 >0 არის ელიფსი, კერძოდ, λ 1 =λ 2-ისთვის არის წრე;
ბ) თუ λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) გვაქვს ჰიპერბოლა;
გ) თუ λ 1 =0 ან λ 2 =0, მაშინ მრუდი არის პარაბოლა და კოორდინატთა ღერძების შემობრუნების შემდეგ გამოიყურება λ 1 x 2 1 =ax 1 +1 +c-ით (აქ λ 2 =0). სრული კვადრატის შევსებისას გვექნება: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .

მაგალითი. მოცემულია მრუდის განტოლება 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 კოორდინატულ სისტემაში (0,i,j), სადაც i =(1,0) და j =(0,1).
1. განსაზღვრეთ მრუდის ტიპი.
2. მიიტანეთ განტოლება კანონიკურ ფორმამდე და ააგეთ მრუდი თავდაპირველ კოორდინატულ სისტემაში.
3. იპოვეთ შესაბამისი კოორდინატების გარდაქმნები.

გამოსავალი. კვადრატულ ფორმას B=3x 2 +10xy+3y 2 მივყავართ მთავარ ღერძებთან, ანუ კანონიკურ ფორმამდე. ამ კვადრატული ფორმის მატრიცა . იპოვეთ ამ მატრიცის საკუთარი მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები:

დამახასიათებელი განტოლება:
; λ 1 \u003d -2, λ 2 \u003d 8. კვადრატული ფორმის ტიპი: .
თავდაპირველი განტოლება განსაზღვრავს ჰიპერბოლას.
გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ფორმის ფორმა უნიკალური არ არის. შეგიძლიათ დაწეროთ 8x 1 2 -2y 1 2, მაგრამ მრუდის ტიპი იგივე რჩება - ჰიპერბოლა.
ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ფორმის მთავარ ღერძებს, ანუ B მატრიცის საკუთრივვექტორებს. .
λ=-2 რიცხვის შესაბამისი საკუთარი ვექტორი x 1 =1-ისთვის: x 1 =(1,-1).
როგორც ერთეული საკუთრივვექტორი, ვიღებთ ვექტორს , სად არის ვექტორის სიგრძე x 1 .
სისტემიდან გვხვდება მეორე საკუთრივვექტორის კოორდინატები, რომელიც შეესაბამება მეორე საკუთრივ მნიშვნელობას λ=8.
.
1, j 1).
4.3.3 პუნქტის (5) ფორმულების მიხედვით. ჩვენ გადავდივართ ახალ საფუძველზე:
ან

; . (*)

ჩვენ შევიყვანთ x და y გამოსახულებებს თავდაპირველ განტოლებაში და გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ: .
აირჩიეთ სრული კვადრატები: .
ჩვენ ვახორციელებთ კოორდინატთა ღერძების პარალელურად თარგმნას ახალ საწყისამდე: , .
თუ ამ მიმართებებს შევიყვანთ (*)-ში და გადავწყვეტთ ამ ტოლობებს x 2 და y 2-ის მიმართ, მაშინ მივიღებთ: , . კოორდინატთა სისტემაში (0*, i 1, j 1) ამ განტოლებას აქვს ფორმა: .
მრუდის ასაგებად ვაშენებთ ახალს ძველ კოორდინატულ სისტემაში: x 2 =0 ღერძი მოცემულია ძველ კოორდინატულ სისტემაში xy-3=0 განტოლებით, ხოლო y 2 =0 ღერძი x+ განტოლებით. y-1=0. ახალი კოორდინატთა სისტემის საწყისი 0 * (2,-1) არის ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილი.
აღქმის გასამარტივებლად, გრაფიკის შედგენის პროცესს დავყოფთ 2 ეტაპად:
1. კოორდინატულ სისტემაზე გადასვლა x 2 =0, y 2 =0 ღერძებით, რომლებიც მოცემულია ძველ კოორდინატულ სისტემაში x-y-3=0 და x+y-1=0 განტოლებებით.

2. ფუნქციის გრაფიკის მიღებულ კოორდინატულ სისტემაში აგება.

სქემის საბოლოო ვერსია ასე გამოიყურება: გამოსავალი:ჩამოტვირთეთ გამოსავალი

Ამოცანა. დაადგინეთ, რომ თითოეული შემდეგი განტოლება განსაზღვრავს ელიფსს და იპოვეთ მისი ცენტრის C კოორდინატები, ნახევარღერძები, ექსცენტრიულობა, მიმართულების განტოლებები. ნახატზე დახაზეთ ელიფსი, მიუთითეთ სიმეტრიის ღერძი, კერები და მიმართულებები.
გამოსავალი.

§ 9. წრფის განტოლების ცნება.

განსაზღვრეთ ხაზი განტოლების გამოყენებით

F ფორმის ტოლობა (x, y) = 0ეწოდება განტოლება ორი ცვლადით x, y,თუ ეს არ არის ჭეშმარიტი ყველა წყვილი რიცხვისთვის x, y.ორ რიცხვს ამბობენ x = x 0 , y=y 0, დააკმაყოფილოს ფორმის გარკვეული განტოლება F(x, y)=0,თუ ცვლადების ნაცვლად ამ რიცხვების ჩანაცვლებისას Xდა ზეგანტოლებაში მისი მარცხენა მხარე ქრება.

მოცემული წრფის განტოლება (მინიჭებულ კოორდინატულ სისტემაში) არის ისეთი განტოლება ორი ცვლადით, რომელიც კმაყოფილდება ამ წრფეზე მდებარე თითოეული წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება მასზე არ მდებარე თითოეული წერტილის კოორდინატებით.

მომავალში გამოთქმის ნაცვლად „წრფის განტოლების გათვალისწინებით F(x, y) = 0" ჩვენ ხშირად ვიტყვით უფრო მოკლე: მოცემული ხაზი F(x, y) = 0.

მოცემულია ორი წრფის განტოლებები F(x, y) = 0და Ф(x, y) = Q,შემდეგ სისტემის ერთობლივი გადაწყვეტა

აძლევს მათ გადაკვეთის ყველა წერტილს. უფრო ზუსტად, რიცხვების თითოეული წყვილი, რომელიც წარმოადგენს ამ სისტემის ერთობლივ ამოხსნას, განსაზღვრავს ერთ-ერთ გადაკვეთის წერტილს.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4ზე+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4ზე -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10y+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. ქულები მოცემულია პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში

დაადგინეთ, რომელი წერტილი დევს განტოლებით განსაზღვრულ წრფეზე პოლარულ კოორდინატებში  = 2 cos  და რომელი არ დევს მასზე. რა ხაზი განისაზღვრება ამ განტოლებით? (აჩვენე ნახატზე :)

164.  = განტოლებით განსაზღვრულ წრფეზე
, იპოვეთ წერტილები, რომელთა პოლარული კუთხეები უდრის შემდეგ რიცხვებს: ა) ,ბ) - , გ) 0, დ) . რომელი ხაზი განისაზღვრება ამ განტოლებით?

(აშენეთ იგი ნახატზე.)

165.  = განტოლებით განსაზღვრულ წრფეზე
იპოვეთ წერტილები, რომელთა პოლარული რადიუსი უდრის შემდეგ რიცხვებს: ა) 1, ბ) 2, გ)
. რომელი ხაზი განისაზღვრება ამ განტოლებით? (აშენეთ იგი ნახატზე.)

166. დაადგინეთ, რომელი წრფეებია განსაზღვრული პოლარულ კოორდინატებში შემდეგი განტოლებებით (ააგეთ ისინი ნახაზზე):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 ცოდვა ; 8) ცოდვა  =

განვიხილოთ ფორმულით მოცემული ფუნქცია (განტოლება)

ეს ფუნქცია და, შესაბამისად, განტოლება (11), სიბრტყეზე შეესაბამება კარგად განსაზღვრულ ხაზს, რომელიც არის ამ ფუნქციის გრაფიკი (იხ. სურ. 20). ფუნქციის გრაფიკის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ეს წრფე შედგება სიბრტყის იმ და მხოლოდ იმ წერტილებისგან, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (11).

მოდით ახლა

ხაზი, რომელიც არის ამ ფუნქციის გრაფიკი, შედგება სიბრტყის იმ და მხოლოდ იმ წერტილებისგან, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (12). ეს ნიშნავს, რომ თუ წერტილი დევს მითითებულ ხაზზე, მაშინ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებენ განტოლებას (12). თუ წერტილი არ დევს ამ წრფეზე, მაშინ მისი კოორდინატები არ აკმაყოფილებენ განტოლებას (12).

განტოლება (12) ამოხსნილია y-ის მიმართ. განვიხილოთ განტოლება, რომელიც შეიცავს x და y-ს, რომელიც არ არის ამოხსნილი y-ის მიმართ, როგორიცაა განტოლება

ვაჩვენოთ, რომ სიბრტყეში ამ განტოლებას შეესაბამება წრფე, კერძოდ, წრე, რომელიც ორიენტირებულია კოორდინატების საწყისზე და რადიუსით ტოლია 2. მოდით, განტოლება გადავიწეროთ სახით.

მისი მარცხენა მხარე არის წერტილის მანძილის კვადრატი საწყისიდან (იხ. § 2, პუნქტი 2, ფორმულა 3). ტოლობიდან (14) გამოდის, რომ ამ მანძილის კვადრატი არის 4.

ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (14) და, შესაბამისად, განტოლებას (13), მდებარეობს საწყისიდან 2-ის მანძილზე.

ასეთი წერტილების ლოკუსი არის წრე, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე და რადიუსზე 2. ეს წრე იქნება (13) განტოლების შესაბამისი ხაზი. მისი რომელიმე წერტილის კოორდინატები აშკარად აკმაყოფილებს განტოლებას (13). თუ წერტილი არ დევს ჩვენს მიერ აღმოჩენილ წრეზე, მაშინ მისი დაშორების კვადრატი საწყისიდან იქნება ან მეტი ან ნაკლები 4-ზე, რაც ნიშნავს, რომ ასეთი წერტილის კოორდინატები არ აკმაყოფილებს განტოლებას (13).

მოდით ახლა, ზოგად შემთხვევაში, განტოლების გათვალისწინებით

რომლის მარცხენა მხარეს არის x და y შემცველი გამოხატულება.

განმარტება. (15) განტოლებით განსაზღვრული ხაზი არის სიბრტყის წერტილების ადგილი, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

ეს ნიშნავს, რომ თუ წრფე L განისაზღვრება განტოლებით, მაშინ L-ის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, ხოლო სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის, რომელიც მდებარეობს L-ის გარეთ, არ აკმაყოფილებს განტოლებას (15).

განტოლებას (15) ეწოდება წრფივი განტოლება

კომენტარი. არ უნდა ვიფიქროთ, რომ რაიმე განტოლება განსაზღვრავს რაიმე ხაზს. მაგალითად, განტოლება არ განსაზღვრავს არცერთ ხაზს. მართლაც, და y-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობებისთვის, ამ განტოლების მარცხენა მხარე დადებითია, ხოლო მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია და, შესაბამისად, ეს განტოლება ვერ აკმაყოფილებს სიბრტყის რომელიმე წერტილის კოორდინატებს.

წრფე შეიძლება განისაზღვროს სიბრტყეზე არა მხოლოდ დეკარტის კოორდინატების შემცველი განტოლებით, არამედ პოლარული კოორდინატების განტოლებით. განტოლებით განსაზღვრული ხაზი პოლარულ კოორდინატებში არის წერტილების ლოკუსი სიბრტყეში, რომლის პოლარული კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

მაგალითი 1. ააგეთ არქიმედეს სპირალი ზე.

გამოსავალი. მოდით შევქმნათ ცხრილი პოლარული კუთხის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და პოლარული რადიუსის შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის.

პოლარული კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ წერტილს, რომელიც, ცხადია, ემთხვევა პოლუსს; შემდეგ, ღერძის დახატვით პოლარული ღერძის კუთხით, ჩვენ ვაშენებთ წერტილს დადებითი კოორდინატით ამ ღერძზე; ამის შემდეგ ჩვენ ანალოგიურად ვაშენებთ წერტილებს პოლარული კუთხის და პოლარული რადიუსის დადებითი მნიშვნელობებით (ღერძი ამ წერტილებისთვის. არ არის მითითებული ნახ. 30).

წერტილების ერთმანეთთან დაკავშირებით, ვიღებთ მრუდის ერთ ტოტს, რომელიც მითითებულია ნახ. 30 თამამი ხაზი. 0-დან ამ ტოტზე გადასვლისას მრუდი შედგება უსასრულო რაოდენობის ბრუნისაგან.