ვინ შემოიტანა წარმოებული? რა არის წარმოებული დერივატიული ფუნქციის განმარტება და მნიშვნელობა. ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა წერტილში

ამოცანა B9 იძლევა ფუნქციის ან წარმოებულის გრაფიკს, საიდანაც თქვენ უნდა განსაზღვროთ შემდეგი სიდიდეებიდან ერთ-ერთი:

1. წარმოებულის მნიშვნელობა რაღაც მომენტში x 0,
2. მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები (ექსტრემალური ქულები),
3. მზარდი და კლებადი ფუნქციების ინტერვალები (ერთფეროვნების ინტერვალები).

ამ პრობლემაში წარმოდგენილი ფუნქციები და წარმოებულები ყოველთვის უწყვეტია, რაც გადაწყვეტას ბევრად აადვილებს. მიუხედავად იმისა, რომ დავალება ეკუთვნის განყოფილებას მათემატიკური ანალიზი, საკმაოდ სუსტი სტუდენტების შესაძლებლობებშიც კია, ვინაიდან აქ ღრმა თეორიული ცოდნა არ არის საჭირო.

წარმოებულის, ექსტრემალური წერტილებისა და ერთფეროვნების ინტერვალების მნიშვნელობის საპოვნელად არსებობს მარტივი და უნივერსალური ალგორითმები - ყველა მათგანი ქვემოთ იქნება განხილული.

ყურადღებით წაიკითხეთ B9 პრობლემის პირობები, რათა თავიდან აიცილოთ სულელური შეცდომები: ხანდახან წააწყდებით საკმაოდ ვრცელ ტექსტებს, მაგრამ არის რამდენიმე მნიშვნელოვანი პირობა, რომელიც გავლენას ახდენს ამოხსნის მსვლელობაზე.

წარმოებული მნიშვნელობის გაანგარიშება. ორი წერტილის მეთოდი

თუ პრობლემას მოცემულია f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ტანგენტია ამ გრაფიკზე რაღაც წერტილში x 0, და საჭიროა ამ ეტაპზე წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:

1. იპოვეთ ორი „ადეკვატური“ წერტილი ტანგენტის გრაფიკზე: მათი კოორდინატები უნდა იყოს მთელი რიცხვი. ავღნიშნოთ ეს წერტილები A (x 1 ; y 1) და B (x 2 ; y 2). ჩაწერეთ კოორდინატები სწორად - ეს არის ამოხსნის მთავარი წერტილი და ნებისმიერი შეცდომა აქ გამოიწვევს არასწორ პასუხს.
2. კოორდინატების ცოდნით ადვილია არგუმენტის Δx = x 2 − x 1 და Δy = y 2 − y 1 ფუნქციის ნამატის გამოთვლა.
3. საბოლოოდ, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას D = Δy/Δx. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაყოთ ფუნქციის ზრდა არგუმენტის ზრდაზე - და ეს იქნება პასუხი.

კიდევ ერთხელ აღვნიშნოთ: A და B წერტილები ზუსტად უნდა ვეძებოთ ტანგენსზე და არა f(x) ფუნქციის გრაფიკზე, როგორც ეს ხშირად ხდება. ტანგენტის ხაზი აუცილებლად შეიცავს მინიმუმ ორ ასეთ წერტილს - წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემა არ იქნება სწორად ჩამოყალიბებული.

განვიხილოთ წერტილები A (−3; 2) და B (−1; 6) და იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

ვიპოვოთ წარმოებულის მნიშვნელობა: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 3) და B (3; 0), იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

ახლა ვპოულობთ წარმოებულის მნიშვნელობას: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x 0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში.

განვიხილოთ წერტილები A (0; 2) და B (5; 2) და იპოვეთ ნამატები:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

რჩება წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

ბოლო მაგალითიდან შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ წესი: თუ ტანგენსი პარალელურია OX ღერძისა, ფუნქციის წარმოებული ტანგენციის წერტილში არის ნული. ამ შემთხვევაში, თქვენ არც კი გჭირდებათ არაფრის დათვლა - უბრალოდ შეხედეთ გრაფიკს.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულების გაანგარიშება

ზოგჯერ, ფუნქციის გრაფიკის ნაცვლად, ამოცანა B9 იძლევა წარმოებულის გრაფიკს და მოითხოვს ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური წერტილის პოვნას. ამ სიტუაციაში ორპუნქტიანი მეთოდი გამოუსადეგარია, მაგრამ არსებობს სხვა, კიდევ უფრო მარტივი ალგორითმი. პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ტერმინოლოგია:

1. x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: f(x 0) ≤ f(x).

იმისათვის, რომ იპოვოთ მაქსიმალური და მინიმალური ქულები წარმოებული გრაფიკიდან, უბრალოდ მიჰყევით ამ ნაბიჯებს:

1. გადახაზეთ წარმოებული გრაფიკი, წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, არასაჭირო მონაცემები მხოლოდ გადაწყვეტილებას ერევა. აქედან გამომდინარე, ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნულებს კოორდინატთა ღერძზე - და ეს არის ის.
2. გაარკვიეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებზე. თუ x 0 წერტილისთვის ცნობილია, რომ f'(x 0) ≠ 0, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ორი ვარიანტი: f'(x 0) ≥ 0 ან f'(x 0) ≤ 0. წარმოებულის ნიშანია მარტივია ორიგინალური ნახაზის დადგენა: თუ წარმოებული გრაფიკი დევს OX ღერძის ზემოთ, მაშინ f'(x) ≥ 0. და პირიქით, თუ წარმოებული გრაფიკი მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, მაშინ f'(x) ≤ 0.
3. ჩვენ კვლავ ვამოწმებთ წარმოებულის ნულებს და ნიშნებს. სადაც ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე არის მინიმალური წერტილი. პირიქით, თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსზე, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. დათვლა ყოველთვის კეთდება მარცხნიდან მარჯვნივ.

ეს სქემა მუშაობს მხოლოდ უწყვეტი ფუნქციებისთვის - B9 პრობლემაში სხვა არ არის.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−5] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოვიშოროთ არასაჭირო ინფორმაცია და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−5; 5] და x = −3 და x = 2,5 წარმოებულის ნულები. ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ ნიშნებს:

ცხადია, x = −3 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე. ეს არის მინიმალური წერტილი.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ამ სეგმენტზე.

მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−3; 7] და წარმოებულის ნულები x = −1,7 და x = 5. აღვნიშნოთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ გრაფიკზე. Ჩვენ გვაქვს:

ცხადია, x = 5 წერტილში წარმოებულის ნიშანი იცვლება პლუსიდან მინუსამდე - ეს არის მაქსიმალური წერტილი.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია [−6; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა, რომელიც მიეკუთვნება სეგმენტს [−4; 3].

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ საკმარისია გრაფის მხოლოდ სეგმენტით შეზღუდული ნაწილის გათვალისწინება [−4; 3]. ამიტომ, ვაშენებთ ახალ გრაფიკს, რომელზედაც აღვნიშნავთ მხოლოდ საზღვრებს [−4; 3] და მის შიგნით წარმოებულის ნულები. კერძოდ, წერტილები x = −3.5 და x = 2. მივიღებთ:

ამ გრაფიკზე არის მხოლოდ ერთი მაქსიმალური წერტილი x = 2. სწორედ ამ დროს იცვლება წარმოებულის ნიშანი პლუსიდან მინუსზე.

მცირე შენიშვნა არა მთელი რიცხვის კოორდინატებით წერტილების შესახებ. მაგალითად, ბოლო ამოცანაში განიხილებოდა წერტილი x = −3,5, მაგრამ იგივე წარმატებით შეგვიძლია ავიღოთ x = −3,4. თუ პრობლემა სწორად არის შედგენილი, ასეთი ცვლილებები არ უნდა იმოქმედოს პასუხზე, რადგან პუნქტები „ფიქსირებული საცხოვრებელი ადგილის გარეშე“ უშუალოდ არ მონაწილეობენ პრობლემის გადაჭრაში. რა თქმა უნდა, ეს ხრიკი არ იმუშავებს მთელი რიცხვით.

გაზრდის და კლების ფუნქციების ინტერვალების მოძიება

ასეთ პრობლემაში, როგორც მაქსიმალური და მინიმალური ქულები, შემოთავაზებულია გამოვიყენოთ წარმოებული გრაფიკი იმ უბნების მოსაძებნად, რომლებშიც თავად ფუნქცია იზრდება ან მცირდება. ჯერ განვსაზღვროთ რა არის მატება და კლება:

1. f(x) ფუნქცია იზრდება სეგმენტზე, თუ რომელიმე ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 ამ სეგმენტიდან არის შემდეგი განცხადება: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა, მით უფრო დიდია ფუნქციის მნიშვნელობა.
2. f(x) ფუნქცია მცირდება სეგმენტზე, თუ ამ სეგმენტის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის x 1 და x 2 სწორია შემდეგი განცხადება: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . იმათ. უფრო დიდი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ საკმარისი პირობები გაზრდისა და შემცირებისთვის:

1. Იმისათვის, რომ უწყვეტი ფუნქცია f(x) იზრდება სეგმენტზე, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით დადებითი იყოს, ე.ი. f'(x) ≥ 0.
2. იმისათვის, რომ f(x) უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე შემცირდეს, საკმარისია მისი წარმოებული სეგმენტის შიგნით იყოს უარყოფითი, ე.ი. f'(x) ≤ 0.

მოდით მივიღოთ ეს განცხადებები მტკიცებულების გარეშე. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სქემას ზრდისა და კლების ინტერვალების საპოვნელად, რომელიც მრავალი თვალსაზრისით მსგავსია ექსტრემალური წერტილების გამოთვლის ალგორითმს:

1. წაშალეთ ყველა არასაჭირო ინფორმაცია. წარმოებულის თავდაპირველ გრაფიკში ჩვენ პირველ რიგში გვაინტერესებს ფუნქციის ნულები, ამიტომ მხოლოდ მათ დავტოვებთ.
2. მონიშნეთ წარმოებულის ნიშნები ნულებს შორის ინტერვალებში. სადაც f'(x) ≥ 0, ფუნქცია იზრდება, ხოლო სადაც f'(x) ≤ 0, მცირდება. თუ პრობლემა ადგენს შეზღუდვებს x ცვლადზე, ჩვენ დამატებით აღვნიშნავთ მათ ახალ გრაფიკზე.
3. ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით ფუნქციის ქცევა და შეზღუდვები, რჩება პრობლემაში საჭირო რაოდენობის გამოთვლა.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია [−3] ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი; 7.5]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის შემცირების ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.

ჩვეულებისამებრ, მოდით გადავახაზოთ გრაფიკი და მოვნიშნოთ საზღვრები [−3; 7.5], ასევე x = −1.5 და x = 5.3 წარმოებულის ნულები. შემდეგ ჩვენ აღვნიშნავთ წარმოებულის ნიშნებს. Ჩვენ გვაქვს:

ვინაიდან წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (− 1.5), ეს არის კლების ფუნქციის ინტერვალი. რჩება ამ ინტერვალის შიგნით არსებული ყველა რიცხვის შეჯამება:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

დავალება. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია [−10; 4]. იპოვეთ f(x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

მოვიშოროთ არასაჭირო ინფორმაცია. დავტოვოთ მხოლოდ საზღვრები [−10; 4] და წარმოებულის ნულები, რომელთაგან ამჯერად ოთხი იყო: x = −8, x = −6, x = −3 და x = 2. ავღნიშნოთ წარმოებულის ნიშნები და მივიღოთ შემდეგი სურათი:

ჩვენ გვაინტერესებს ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები, ე.ი. ისეთი სადაც f’(x) ≥ 0. გრაფიკზე ორი ასეთი ინტერვალია: (−8; −6) და (−3; 2). გამოვთვალოთ მათი სიგრძე:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

ვინაიდან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველაზე დიდი ინტერვალების სიგრძე, პასუხად ვწერთ მნიშვნელობას l 2 = 5.

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს წერტილში და მის ზოგიერთ სამეზობლოში. მოდით, არგუმენტს მივცეთ ისეთი ნამატი, რომ წერტილი მოხვდეს ფუნქციის განსაზღვრის დომენში. შემდეგ ფუნქცია გაიზრდება.

განმარტება. ფუნქციის წარმოებული წერტილში ეწოდება ამ მომენტში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, at (თუ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია), ე.ი.

აღნიშნეთ: ,,,.

ფუნქციის წარმოებული წერტილი მარჯვნივ (მარცხნივ) დაურეკა

(თუ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია).

მითითებულია: , – წარმოებული მარჯვნივ წერტილში,

, არის წარმოებული მარცხნივ წერტილში.

ცხადია, შემდეგი თეორემა მართალია.

თეორემა. ფუნქციას აქვს წარმოებული წერტილში, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ამ მომენტში მარჯვნივ და მარცხნივ ფუნქციის წარმოებულები არსებობს და ერთმანეთის ტოლია. მეტიც

შემდეგი თეორემა ადგენს კავშირს ფუნქციის წარმოებულის არსებობასა და ამ წერტილში ფუნქციის უწყვეტობას შორის.

თეორემა (პუნქტში ფუნქციის წარმოებულის არსებობის აუცილებელი პირობა). თუ ფუნქციას აქვს წარმოებული წერტილში, მაშინ ფუნქცია ამ წერტილში უწყვეტია.

მტკიცებულება

დაე არსებობდეს. მერე

,

სად არის უსასრულოდ მცირე.

კომენტარი

ფუნქციის წარმოებული და აღვნიშნავთ

ფუნქციის დიფერენციაცია .

გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

1) წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა. თუ ფუნქცია და მისი არგუმენტები არის ფიზიკური რაოდენობით, მაშინ წარმოებული არის ცვლადის ცვლილების სიჩქარე წერტილში ცვლადთან შედარებით. მაგალითად, თუ მანძილი გავლილი აქვს დროის მომენტში, მაშინ მისი წარმოებული არის სიჩქარე დროის მომენტში. თუ არის ელექტროენერგიის რაოდენობა, რომელიც მიედინება გამტარის განივი მონაკვეთზე დროის მომენტში, მაშინ არის ელექტროენერგიის რაოდენობის ცვლილების სიჩქარე დროის მომენტში, ე.ი. მიმდინარე ძალა დროის მომენტში.

2) წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

იყოს რაღაც მრუდი, იყოს წერტილი მრუდზე.

ნებისმიერ სწორ ხაზს, რომელიც კვეთს მინიმუმ ორ წერტილს, ეწოდება სეკანტი .

მრუდის ტანგენტი წერტილზე ეწოდება სეკანტის ზღვრულ პოზიციას, თუ წერტილი მიდრეკილია მრუდის გასწვრივ გადაადგილებისკენ.

განმარტებიდან აშკარაა, რომ თუ მრუდის ტანგენსი არსებობს წერტილში, მაშინ ის ერთადერთია.

განვიხილოთ მრუდი (ანუ ფუნქციის გრაფიკი). დაე მას ჰქონდეს არავერტიკალური ტანგენსი ერთ წერტილში. მისი განტოლება: (სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის წერტილში და აქვს კუთხური კოეფიციენტი).

ფერდობის განმარტებით

სად არის სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე ღერძის მიმართ.

მოდით იყოს სეკანტის დახრის კუთხე ღერძის მიმართ, სადაც. ვინაიდან არის ტანგენსი, მაშინ როდის

აქედან გამომდინარე,

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ეს – წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის კუთხური კოეფიციენტი(ფუნქციის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა წერტილში). მაშასადამე, წერტილში მრუდის ტანგენსის განტოლება შეიძლება დაიწეროს ფორმით

კომენტარი . სწორ ხაზს, რომელიც გადის წერტილის პერპენდიკულარულ წერტილზე, რომელიც მრუდზე შედგენილია წერტილში, ეწოდება ნორმალური მრუდის წერტილში . ვინაიდან პერპენდიკულარული სწორი ხაზების კუთხური კოეფიციენტები დაკავშირებულია მიმართებით, ნორმალის განტოლებას მრუდის წერტილში ექნება ფორმა

, თუ .

თუ , მაშინ წერტილის მრუდის ტანგენტს ექნება ფორმა

და ნორმალური.

ტანგენტები და ნორმალური განტოლებები

ტანგენტის განტოლება

ფუნქცია მოცემულია განტოლებით წ=ვ(x), თქვენ უნდა დაწეროთ განტოლება ტანგენსიწერტილში x 0. წარმოებულის განმარტებიდან:

წ/(x)=limΔ x→0Δ წΔ x

Δ წ=ვ(x+Δ x)−ვ(x).

განტოლება ტანგენსიფუნქციის გრაფიკზე: წ=kx+ბ (კ,ბ=კონსტ). წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან: ვ/(x 0)=ტგα= კიმიტომ რომ x 0 და ვ(x 0)∈ სწორი ხაზი, შემდეგ განტოლება ტანგენსიიწერება როგორც: წ−ვ(x 0)=ვ/(x 0)(x−x 0), ან

წ=ვ/(x 0)· x+ვ(x 0)−ვ/(x 0)· x 0.

ნორმალური განტოლება

ნორმალური- პერპენდიკულარულია ტანგენსი(იხილეთ სურათი). ამის საფუძველზე:

ტგβ= ტგ(2π−α)= ctgα=1 ტგα=1 ვ/(x 0)

იმიტომ რომ ნორმალურის დახრილობის კუთხე არის β1 კუთხე, მაშინ გვაქვს:

ტგβ1= ტგ(π−β)=− ტგβ=−1 ვ/(x).

Წერტილი ( x 0,ვ(x 0))∈ ნორმალური, განტოლება იღებს ფორმას:

წ−ვ(x 0)=−1ვ/(x 0)(x−x 0).

მტკიცებულება

დაე არსებობდეს. მერე

,

სად არის უსასრულოდ მცირე.

მაგრამ ეს ნიშნავს, რომ ის უწყვეტია წერტილში (იხ. უწყვეტობის გეომეტრიული განმარტება). ∎

კომენტარი . ფუნქციის უწყვეტობა წერტილში არ არის საკმარისი პირობა წერტილში ამ ფუნქციის წარმოებულის არსებობისთვის. მაგალითად, ფუნქცია უწყვეტია, მაგრამ არ აქვს წარმოებული წერტილში. მართლაც,

და ამიტომ არ არსებობს.

ცხადია, მიმოწერა არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ზოგიერთ კომპლექტში. ისინი მას ეძახიან ფუნქციის წარმოებული და აღვნიშნავთ

ფუნქციის პოვნის ოპერაციას მისი წარმოებული ფუნქცია ეწოდება ფუნქციის დიფერენციაცია .

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

მოცემულია f(x) და g(x) ფუნქციები, რომელთა წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:

(f + g)' = f ' + g'

(f − g)' = f ' − g'

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. მაგალითად, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს „გამოკლების“ ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. მაშასადამე, f − g სხვაობა შეიძლება გადაიწეროს, როგორც f + (−1) g ჯამი და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.

სტატიის შინაარსი

წარმოებული– ფუნქციის წარმოებული წ = ვ(x), მოცემული გარკვეული ინტერვალით ( ა, ბ) წერტილში xამ ინტერვალის ეწოდება ზღვარი, რომლისკენაც მიდრეკილია ფუნქციის ზრდის შეფარდება ვამ ეტაპზე არგუმენტის შესაბამის ზრდამდე, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის.

წარმოებული ჩვეულებრივ აღინიშნება შემდეგნაირად:

სხვა აღნიშვნები ასევე ფართოდ გამოიყენება:

მყისიერი სიჩქარე.

დაუშვით წერტილი მმოძრაობს სწორი ხაზით. მანძილი სმოძრავი წერტილი, დათვლილი საწყისი პოზიციიდან მ 0 , დროზეა დამოკიდებული ტ, ე.ი. სარის დროის ფუნქცია ტ: ს= ვ(ტ). მოდით რაღაც მომენტში ტმოძრავი წერტილი მდისტანციაზე იყო სსაწყისი პოზიციიდან მ 0 და შემდეგ მომენტში ტ+D ტპოზიციაში აღმოჩნდა მ 1 - მანძილზე ს+D სსაწყისი პოზიციიდან ( იხილეთ სურათი.).

ამრიგად, გარკვეული პერიოდის განმავლობაში დ ტმანძილი სშეიცვალა ოდენობით D ს. ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ დროის ინტერვალის დროს დ ტსიდიდე სმიიღო დანამატი D ს.

საშუალო სიჩქარე ყველა შემთხვევაში ზუსტად ვერ ახასიათებს წერტილის მოძრაობის სიჩქარეს მდროის მომენტში ტ. თუ, მაგალითად, სხეული D ინტერვალის დასაწყისში ტმოძრაობს ძალიან სწრაფად და ბოლოს ძალიან ნელა, მაშინ საშუალო სიჩქარე ვერ ასახავს წერტილის მოძრაობის მითითებულ მახასიათებლებს და წარმოდგენას მისცეს მისი მოძრაობის ნამდვილ სიჩქარეზე იმ მომენტში. ტ. საშუალო სიჩქარის გამოყენებით ნამდვილი სიჩქარის უფრო ზუსტად გამოსახატავად, საჭიროა უფრო მოკლე დრო D ტ. ყველაზე სრულად ახასიათებს წერტილის მოძრაობის სიჩქარე მომენტში ტზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის საშუალო სიჩქარე D ტ® 0. ამ ზღვარს ეწოდება მიმდინარე სიჩქარე:

ამრიგად, მოძრაობის სიჩქარეს მოცემულ მომენტში ეწოდება ბილიკის ზრდის კოეფიციენტის ზღვარი D სდროში მატება D ტ, როდესაც დროის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. იმიტომ რომ

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი.

ტანგენტური ხაზების აგება ერთ-ერთი იმ პრობლემათაგანია, რამაც გამოიწვია დიფერენციალური გამოთვლების დაბადება. პირველი გამოქვეყნებული ნაშრომი, რომელიც დაკავშირებულია დიფერენციალურ გამოთვლებთან, ლაიბნიცის მიერ დაწერილი იყო მაქსიმალური და მინიმუმების, ასევე ტანგენტების ახალი მეთოდი, რომლისთვისაც არც წილადი და არც ირაციონალური სიდიდეები არ არის დაბრკოლება და ამისათვის სპეციალური ტიპის გამოთვლაა..

მრუდი იყოს ფუნქციის გრაფიკი წ =ვ(x) მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ( სმ. ბრინჯი.).

რაღაც ღირებულებით xფუნქციას აქვს მნიშვნელობა წ =ვ(x). ეს ღირებულებები xდა წმრუდის წერტილი შეესაბამება მ 0(x, წ). თუ არგუმენტი xმისცეს მატება D x, შემდეგ არგუმენტის ახალი მნიშვნელობა x+D xშეესაბამება ახალ ფუნქციის მნიშვნელობას y+დ წ = ვ(x + დ x). მრუდის შესაბამისი წერტილი იქნება წერტილი მ 1(x+D x,წ+D წ). თუ დახატავ სეკანტს მ 0მ 1 და აღინიშნება j-ით ღერძის დადებითი მიმართულების განივი კუთხის მიერ წარმოქმნილი კუთხე ოქსი, ნახაზიდან მაშინვე ირკვევა რომ .

თუ ახლა დ xმიდრეკილია ნულისკენ, შემდეგ წერტილისკენ მ 1 მოძრაობს მრუდის გასწვრივ, უახლოვდება წერტილს მ 0 და კუთხე ჯ იცვლება დ x. ზე Dx® 0 კუთხე j მიდრეკილია გარკვეულ ზღვარზე a და სწორი ხაზისკენ, რომელიც გადის წერტილში მ 0 და x ღერძის დადებითი მიმართულების კომპონენტი, a კუთხე იქნება სასურველი ტანგენსი. მისი დახრილობაა:

აქედან გამომდინარე, ვ´( x) = ტგა

იმათ. წარმოებული ღირებულება ვ´( x) მოცემული არგუმენტის მნიშვნელობისთვის xუდრის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენტს ვ(x) შესაბამის წერტილში მ 0(x,წ) დადებითი ღერძის მიმართულებით ოქსი.

ფუნქციების დიფერენციალურობა.

განმარტება. თუ ფუნქცია წ = ვ(x) აქვს წარმოებული წერტილში x = x 0, მაშინ ფუნქცია ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია.

წარმოებულის მქონე ფუნქციის უწყვეტობა. თეორემა.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია x = x 0, მაშინ ის უწყვეტია ამ ეტაპზე.

ამრიგად, ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული უწყვეტობის წერტილებში. საპირისპირო დასკვნა არასწორია, ე.ი. იქიდან, რომ რაღაც მომენტში x = x 0 ფუნქცია წ = ვ(x) არის უწყვეტი, ეს არ ნიშნავს რომ ის ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია. მაგალითად, ფუნქცია წ = |x| უწყვეტი ყველასთვის x(–Ґ x x = 0-ს არ აქვს წარმოებული. ამ ეტაპზე არ არის ტანგენსი გრაფიკზე. არის მარჯვენა და მარცხენა ტანგენსი, მაგრამ ისინი არ ემთხვევა ერთმანეთს.

ზოგიერთი თეორემა დიფერენცირებადი ფუნქციების შესახებ. თეორემა წარმოებულის ფესვებზე (როლის თეორემა).თუ ფუნქცია ვ(x) უწყვეტია სეგმენტზე [ა,ბ], დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში და ბოლოებში x = ადა x = ბმიდის ნულზე ( ვ(ა) = ვ(ბ) = 0), შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა,ბ] არის ერთი წერტილი მაინც x= თან, ა c b, რომელშიც წარმოებული ვў( x) მიდის ნულამდე, ე.ი. ვў( გ) = 0.

სასრული ზრდის თეორემა (ლაგრანჟის თეორემა).თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ] და დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში, შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა, ბ] არის ერთი წერტილი მაინც თან, აგ ბ რომ

ვ(ბ) – ვ(ა) = ვў( გ)(ბ– ა).

თეორემა ორი ფუნქციის ნამატების შეფარდების შესახებ (კოშის თეორემა).თუ ვ(x) და გ(x) – ორი უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე [ა, ბ] და დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში და გў( x) არ ქრება არსად ამ სეგმენტის შიგნით, შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა, ბ] არის ასეთი წერტილი x = თან, აგ ბ რომ

სხვადასხვა შეკვეთის წარმოებულები.

დაუშვით ფუნქცია წ =ვ(x) დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალით [ ა, ბ]. წარმოებული მნიშვნელობები ვ ў( x), ზოგადად რომ ვთქვათ, დამოკიდებულია x, ე.ი. წარმოებული ვ ў( x) ასევე ფუნქციაა x. ამ ფუნქციის დიფერენცირებისას ვიღებთ ფუნქციის ე.წ. მეორე წარმოებულს ვ(x), რომელიც აღინიშნება ვ ўў ( x).

წარმოებული n-ფუნქციის ე რიგი ვ(x) ეწოდება წარმოებულის (პირველი რიგის) წარმოებულს n- 1- th და აღინიშნება სიმბოლოთი წ(ნ) = (წ(ნ– 1)) •.

სხვადასხვა შეკვეთის დიფერენციალი.

ფუნქციის დიფერენციალი წ = ვ(x), სად x– დამოუკიდებელი ცვლადი, დიახ დი = ვ ў( x)dx, ზოგიერთი ფუნქცია x, მაგრამ დან xმხოლოდ პირველი ფაქტორი შეიძლება იყოს დამოკიდებული ვ ў( x), მეორე ფაქტორი ( dx) არის დამოუკიდებელი ცვლადის ზრდა xდა არ არის დამოკიდებული ამ ცვლადის მნიშვნელობაზე. იმიტომ რომ დიარის ფუნქცია x, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ ფუნქციის დიფერენციალი. ფუნქციის დიფერენციალურ დიფერენციალს ეწოდება ამ ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ან მეორე რიგის დიფერენციალი და აღინიშნება დ 2წ:

დ(dx) = დ 2წ = ვ ўў( x)(dx) 2 .

დიფერენციალური n-პირველი რიგის დიფერენციალის პირველ დიფერენციალს უწოდებენ n- 1- რიგი:

d n y = დ(d n–1წ) = ვ(ნ)(x)dx(ნ).

ნაწილობრივი წარმოებული.

თუ ფუნქცია დამოკიდებულია არა ერთზე, არამედ რამდენიმე არგუმენტზე x i(მემერყეობს 1-დან ნ,მე= 1, 2,… ნ),ვ(x 1,x 2,… x n), შემდეგ დიფერენციალურ კალკულუსში შემოდის ნაწილობრივი წარმოებულის ცნება, რომელიც ახასიათებს რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, როდესაც იცვლება მხოლოდ ერთი არგუმენტი, მაგალითად, x i. 1 რიგის ნაწილობრივი წარმოებულის მიმართ x iგანისაზღვრება, როგორც ჩვეულებრივი წარმოებული და ვარაუდობენ, რომ ყველა არგუმენტი გარდა x i, შეინარჩუნეთ მუდმივი მნიშვნელობები. ნაწილობრივი წარმოებულებისთვის შემოღებულია აღნიშვნა

ამგვარად განსაზღვრულ 1-ლი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს (როგორც იგივე არგუმენტების ფუნქციები) შეიძლება, თავის მხრივ, ასევე ჰქონდეთ ნაწილობრივი წარმოებულები, ეს არის მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები და ა.შ. სხვადასხვა არგუმენტებიდან აღებულ ასეთ წარმოებულებს შერეული ეწოდება. ერთი და იმავე რიგის უწყვეტი შერეული წარმოებულები არ არიან დამოკიდებული დიფერენციაციის რიგზე და ერთმანეთის ტოლია.

ანა ჩუგაინოვა

(\large\bf ფუნქციის წარმოებული)

განიხილეთ ფუნქცია y=f(x), მითითებულია ინტერვალზე (ა, ბ). დაე x- ინტერვალის ნებისმიერი ფიქსირებული წერტილი (ა, ბ), ა Δx- თვითნებური რიცხვი ისეთი, რომ მნიშვნელობა x+Δxასევე მიეკუთვნება ინტერვალს (ა, ბ). ეს ნომერი Δxარგუმენტის გაზრდას უწოდებენ.

განმარტება. ფუნქციის ზრდა y=f(x)წერტილში x, არგუმენტის ნამატის შესაბამისი Δx, დარეკეთ ნომერზე

Δy = f(x+Δx) - f(x).

ჩვენ გვჯერა ამის Δx ≠ 0. განვიხილოთ მოცემულ ფიქსირებულ წერტილზე xამ ეტაპზე ფუნქციის ზრდის შეფარდება შესაბამის არგუმენტთან Δx

ჩვენ ამ მიმართებას დავარქმევთ განსხვავებულ ურთიერთობას. ღირებულებიდან გამომდინარე xჩვენ მიგვაჩნია ფიქსირებული, სხვაობის კოეფიციენტი არის არგუმენტის ფუნქცია Δx. ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა არგუმენტისთვის Δx, რომელიც მიეკუთვნება პუნქტის საკმარისად პატარა უბანს Δx=0, გარდა თავად წერტილისა Δx=0. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს უფლება განვიხილოთ საკითხი მითითებული ფუნქციის ლიმიტის არსებობის შესახებ Δx → 0.

განმარტება. ფუნქციის წარმოებული y=f(x)მოცემულ ფიქსირებულ წერტილში xლიმიტს უწოდებენ Δx → 0სხვაობის კოეფიციენტი, ანუ

იმ პირობით, რომ ეს ლიმიტი არსებობს.

Დანიშნულება. y'(x)ან f′(x).

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა: ფუნქციის წარმოებული f(x)ამ ეტაპზე xღერძებს შორის კუთხის ტანგენტის ტოლი ოქსიდა ტანგენსი ამ ფუნქციის გრაფიკზე შესაბამის წერტილში:

f′(x 0) = \tgα.

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა: ბილიკის წარმოებული დროის მიმართ უდრის წერტილის მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარეს:

წრფის ტანგენსის განტოლება y=f(x)წერტილში M 0 (x 0 ,y 0)ფორმას იღებს

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

მრუდის ნორმალური რაღაც მომენტში არის პერპენდიკულარული იმავე წერტილში ტანგენტის მიმართ. თუ f′(x 0)≠ 0, შემდეგ ნორმალურის განტოლება წრფესთან y=f(x)წერტილში M 0 (x 0 ,y 0)წერია ასე:

ფუნქციის დიფერენციალურობის ცნება

დაუშვით ფუნქცია y=f(x)განსაზღვრულია გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ), x- გარკვეული ფიქსირებული არგუმენტის მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან, Δx- არგუმენტის ნებისმიერი ზრდა ისეთი, რომ არგუმენტის მნიშვნელობა x+Δx ∈ (a, b).

განმარტება. ფუნქცია y=f(x)მოცემულ წერტილში დიფერენცირებადი ეწოდება x, თუ ნამატი Δyეს ფუნქცია წერტილში x, არგუმენტის ნამატის შესაბამისი Δx, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით

Δy = A Δx +αΔx,

სად ა- გარკვეული რიცხვი დამოუკიდებელი Δx, ა α - არგუმენტის ფუნქცია Δx, რომელიც უსასრულოდ მცირეა Δx→ 0.

ვინაიდან ორი უსასრულო ფუნქციის ნამრავლი αΔxარის უსასრულოდ მცირე მეტი მაღალი შეკვეთა, როგორ Δx(3 უსასრულო ფუნქციის თვისება), მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ:

Δy = A Δx +o(Δx).

თეორემა. ფუნქციის მიზნით y=f(x)იყო დიფერენცირებადი მოცემულ მომენტში x, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მას ამ ეტაპზე ჰქონდეს სასრულ წარმოებული. სადაც A=f′(x), ანუ

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას ჩვეულებრივ უწოდებენ დიფერენციაციას.

თეორემა. თუ ფუნქცია y=f(x) x, მაშინ ის ამ ეტაპზე უწყვეტია.

კომენტარი. ფუნქციის უწყვეტობიდან y=f(x)ამ ეტაპზე xზოგადად რომ ვთქვათ, ფუნქციის დიფერენციალურობა არ მოჰყვება f(x)ამ ეტაპზე. მაგალითად, ფუნქცია y=|x|- უწყვეტი წერტილში x=0, მაგრამ არ აქვს წარმოებული.

დიფერენციალური ფუნქციის ცნება

განმარტება. ფუნქციის დიფერენციალი y=f(x)ამ ფუნქციის წარმოებულისა და დამოუკიდებელი ცვლადის ნამატის ნამრავლი ეწოდება x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

ფუნქციისთვის y=xვიღებთ dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, ანუ dx=Δx- დამოუკიდებელი ცვლადის დიფერენციალი უდრის ამ ცვლადის ნამატს.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

დიფერენციალური დიდა მატება Δyფუნქციები y=f(x)ამ ეტაპზე x, ორივე შეესაბამება იმავე არგუმენტის ზრდას Δxზოგადად, ერთმანეთის ტოლი არ არის.

დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა: ფუნქციის დიფერენციალი უდრის ამ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტის ორდინატის ნამატს, როცა არგუმენტი იზრდება. Δx.

დიფერენცირების წესები

თეორემა. თუ თითოეული ფუნქცია u(x)და v(x)დიფერენცირებადი მოცემულ წერტილში x, შემდეგ ამ ფუნქციების ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი (რაოდენობა იმ პირობით, რომ v(x)≠ 0) ასევე დიფერენცირებადია ამ ეტაპზე და ფორმულები მოქმედებს:

განვიხილოთ რთული ფუნქცია y=f(φ(x))≡ F(x), სად y=f(u), u=φ(x). Ამ შემთხვევაში uდაურეკა შუალედური არგუმენტი, x - დამოუკიდებელი ცვლადი.

თეორემა. თუ y=f(u)და u=φ(x)არის მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციები, შემდეგ რთული ფუნქციის წარმოებული y=f(φ(x))არსებობს და უდრის ამ ფუნქციის ნამრავლს შუალედური არგუმენტის მიმართ და შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ, ე.ი.

კომენტარი. რთული ფუნქციისთვის, რომელიც არის სამი ფუნქციის სუპერპოზიცია y=F(f(φ(x))), დიფერენციაციის წესს აქვს ფორმა

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

სად არის ფუნქციები v=φ(x), u=f(v)და y=F(u)- მათი არგუმენტების დიფერენცირებადი ფუნქციები.

თეორემა. დაუშვით ფუნქცია y=f(x)იზრდება (ან მცირდება) და უწყვეტია წერტილის ზოგიერთ მიდამოში x 0. გარდა ამისა, ეს ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი მითითებულ წერტილში x 0და მისი წარმოებული ამ ეტაპზე f′(x 0) ≠ 0. მერე შესაბამისი პუნქტის რომელიღაც უბანში y 0 =f(x 0)ინვერსიისთვის არის განსაზღვრული y=f(x)ფუნქცია x=f -1 (y)და მითითებული ინვერსიული ფუნქცია დიფერენცირებადია შესაბამის წერტილში y 0 =f(x 0)და მისი წარმოებული ამ ეტაპზე წფორმულა მოქმედებს

წარმოებულების ცხრილი

პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობა

განვიხილოთ რთული ფუნქციის დიფერენციალი. თუ y=f(x), x=φ(t)- მათი არგუმენტების ფუნქციები დიფერენცირებადია, შემდეგ ფუნქციის წარმოებული y=f(φ(t))გამოხატული ფორმულით

y′ t = y′ x x′ t.

ა-პრიორი dy=y′ t dt, შემდეგ მივიღებთ

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ

ფუნქციის პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობის თვისება: როგორც იმ შემთხვევაში, როცა არგუმენტი xარის დამოუკიდებელი ცვლადი და იმ შემთხვევაში, როდესაც არგუმენტი xთავად არის ახალი ცვლადის, დიფერენციალურის დიფერენცირებადი ფუნქცია დიფუნქციები y=f(x)უდრის ამ ფუნქციის წარმოებულს გამრავლებული არგუმენტის დიფერენციალზე dx.

დიფერენციალის გამოყენება სავარაუდო გამოთვლებში

ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ დიფერენციალი დიფუნქციები y=f(x), ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის ნამატის ტოლი Δyამ ფუნქციას. თუმცა, უსასრულობამდე სიზუსტით მცირე ფუნქციაუფრო მაღალი რიგის სიმცირე ვიდრე Δx, სავარაუდო ტოლობა მოქმედებს

Δy ≈ dy.

თანაფარდობას ეწოდება ამ თანასწორობის ტოლობის ფარდობითი შეცდომა. იმიტომ რომ Δy-dy=o(Δx), მაშინ ამ თანასწორობის ფარდობითი ცდომილება კლებასთან ერთად სასურველი ხდება |Δх|.

Იმის გათვალისწინებით Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, ვიღებთ f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxან

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

ეს სავარაუდო თანასწორობა იძლევა შეცდომის საშუალებას o (Δx)ფუნქციის შეცვლა f(x)წერტილის პატარა უბანში x(ანუ მცირე ღირებულებებისთვის Δx) არგუმენტის წრფივი ფუნქცია Δx, დგას მარჯვენა მხარეს.

უმაღლესი რიგის წარმოებულები

განმარტება. ფუნქციის მეორე წარმოებული (ან მეორე რიგის წარმოებული). y=f(x)მისი პირველი წარმოებულის წარმოებულს უწოდებენ.

ფუნქციის მეორე წარმოებულის აღნიშვნა y=f(x):

მეორე წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა. თუ ფუნქცია y=f(x)აღწერს მატერიალური წერტილის მოძრაობის კანონს სწორ ხაზზე, შემდეგ მეორე წარმოებულს f″(x)დროის მომენტში მოძრავი წერტილის აჩქარების ტოლია x.

მესამე და მეოთხე წარმოებულები განისაზღვრება ანალოგიურად.

განმარტება. ნწარმოებული (ან წარმოებული ნ-ე რიგი) ფუნქციები y=f(x)მის წარმოებულს უწოდებენ n-1 th წარმოებული:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

აღნიშვნები: შენ", y IV, y Vდა ა.შ.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

მრუდის ტანგენტის განმარტება მრუდის ტანგენტი y=ƒ(x)წერტილში მწერტილის მეშვეობით გავლებული სეკანტის შემზღუდავი პოზიცია ეწოდება მდა მის მიმდებარე პუნქტს M 1მრუდი, იმ პირობით, რომ წერტილი M 1უსასრულოდ უახლოვდება მრუდის გასწვრივ წერტილამდე მ. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა ფუნქციის წარმოებული y=ƒ(x)წერტილში X 0 რიცხობრივად ტოლია ღერძისადმი დახრილობის კუთხის ტანგენტს ოჰმრუდის ტანგენსი y=ƒ(x)წერტილში M (x 0; ƒ(x 0)).

ვარიაცია Dotic to Curve მრუდემდე წერტილოვანი y=ƒ(x)ზუსტად მეწოდება წერტილის გავლით გავლებული წრფის სასაზღვრო პოზიცია მდა შემდეგი წერტილი მასთან M 1მრუდე, გონების მიღმა, რა აზრია M 1მრუდი აუცილებლად უახლოვდება წერტილს მ. გეომეტრიული ზმისტი პოხიდნოი მსგავსი ფუნქციები y=ƒ(x)ზუსტად x 0რიცხობრივად ტოლია ღერძის დახრილობის ტანგენსი ოჰ dotic, განხორციელებული მრუდი y=ƒ(x)ზუსტად M (x 0; ƒ(x 0)).

წარმოებულის პრაქტიკული მნიშვნელობა

მოდით განვიხილოთ, რას ნიშნავს ის რაოდენობა, რომელიც აღმოვაჩინეთ გარკვეული ფუნქციის წარმოებულად.

Პირველ რიგში, წარმოებული- ეს არის დიფერენციალური გაანგარიშების ძირითადი კონცეფცია, რომელიც ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემულ წერტილში.

რა არის "ცვლილების ტემპი"? წარმოვიდგინოთ ფუნქცია f(x) = 5. არგუმენტის (x) მნიშვნელობის მიუხედავად, მისი მნიშვნელობა არანაირად არ იცვლება. ანუ მისი ცვლილების მაჩვენებელი ნულის ტოლია.

ახლა განიხილეთ ფუნქცია f(x) = x. x-ის წარმოებული უდრის ერთს. მართლაც, ადვილი შესამჩნევია, რომ არგუმენტის (x) ერთით ყოველი ცვლილებისას ფუნქციის მნიშვნელობაც იზრდება ერთით.

მიღებული ინფორმაციის თვალსაზრისით, ახლა ვნახოთ მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. ამის საფუძველზე, მაშინვე ცხადი ხდება ფიზიკური მნიშვნელობაფუნქციის წარმოებულის პოვნა. ამ გაგებამ უნდა გააადვილოს პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრა.

შესაბამისად, თუ წარმოებული აჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, მაშინ ორმაგი წარმოებული აჩვენებს აჩქარებას.

2080.1947