მათემატიკური ანალიზი.

სახელოსნო.

უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის სპეციალობაში:

"სახელმწიფო და მუნიციპალური ადმინისტრაცია"

თ.ზ. პავლოვა

კოლპაშევო 2008 წ

თავი 1. ანალიზის შესავალი

1.1 ფუნქციები. ზოგადი თვისებები

1.2 ლიმიტების თეორია

1.3 ფუნქციის უწყვეტობა

2.1 წარმოებულის განმარტება

2.4 ფუნქციების შესწავლა

2.4.1 სრული ფუნქციის სასწავლო გეგმა

2.4.2 ფუნქციის შესწავლის მაგალითები

2.4.3. სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

2.5 L'Hôpital-ის წესი

3.1 განუსაზღვრელი ინტეგრალი

3.1.1 განმარტებები და თვისებები

3.1.2 ინტეგრალების ცხრილი

3.1.3 ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

3.2 განსაზღვრული ინტეგრალი

3.2.2 განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის ხერხები

თავი 4. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები

4.1 ძირითადი ცნებები

4.2 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების ლიმიტები და უწყვეტობა

4.3.3 სრული დიფერენციალი და მისი გამოყენება მიახლოებით გამოთვლებში

თავი 5. ოპტიმიზაციის კლასიკური მეთოდები

6.1 სასარგებლო ფუნქცია.

6.2 გულგრილობის ხაზები

6.3 საბიუჯეტო კომპლექტი

საშინაო დავალება

1.1 ფუნქციები. ზოგადი თვისებები

რიცხვითი ფუნქცია განისაზღვრება რეალური რიცხვების D სიმრავლეზე, თუ ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება y ცვლადის გარკვეულ ნამდვილ მნიშვნელობასთან, სადაც D არის ფუნქციის დომენი.

ფუნქციის ანალიტიკური წარმოდგენა:

აშკარად:;

ირიბად:;

პარამეტრული ფორმით:

სხვადასხვა ფორმულები განმარტების სფეროში:

Თვისებები.

თანაბარი ფუნქცია:. მაგალითად, ფუნქცია ლუწია, ვინაიდან ...

უცნაური ფუნქცია: ... მაგალითად, ფუნქცია კენტია, ვინაიდან ...

პერიოდული ფუნქცია: , სადაც T არის ფუნქციის პერიოდი,. მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მონოტონური ფუნქცია. თუ განსაზღვრების რომელიმე დომენისთვის - ფუნქცია იზრდება, - მცირდება. მაგალითად, - იზრდება და - მცირდება.

შეზღუდული ფუნქცია. თუ არის M რიცხვი ისეთი, რომ. მაგალითად, ფუნქციები და, მას შემდეგ .

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის დომენი.

+ 2 – 3 +

1.2 ლიმიტების თეორია

განმარტება 1... ფუნქციის ზღვარი at არის რიცხვი b, თუ რომელიმე (- თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვისთვის) შეგიძლიათ იპოვოთ არგუმენტის ისეთი მნიშვნელობა, საიდანაც დაკმაყოფილებულია უტოლობა.

Დანიშნულება:.

განმარტება 2... ფუნქციის ზღვარი at არის რიცხვი b თუ რომელიმესთვის (თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვია) არის ისეთი დადებითი რიცხვი, რომ x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას, უტოლობა რჩება.

Დანიშნულება:.

განმარტება 3.ფუნქციას ეწოდება უსასრულოდ მცირე ან, თუ ან.

Თვისებები.

1. უსასრულო რაოდენობის უსასრულო სიდიდეების ალგებრული ჯამი არის უსასრულო სიდიდე.

2. უსასრულოდ მცირე რაოდენობის ნამრავლი შემოსაზღვრული ფუნქციით (მუდმივი, სხვა უსასრულოდ მცირე რაოდენობა) არის უსასრულოდ მცირე რაოდენობა.

3. უსასრულოდ მცირე სიდიდის იმ ფუნქციაზე გაყოფის კოეფიციენტი, რომლის ზღვარი არ არის ნულოვანი, არის უსასრულოდ მცირე სიდიდე.

განმარტება 4.ფუნქციას ეწოდება უსასრულოდ დიდი at, if.

Თვისებები.

1. უსასრულოდ დიდი სიდიდის ნამრავლი ფუნქციით, რომლის ზღვარი არ არის ნულოვანი, არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა.

2. უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობისა და შემოსაზღვრული ფუნქციის ჯამი არის უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა.

3. უსასრულოდ დიდი სიდიდის გაყოფის კოეფიციენტი იმ ფუნქციაზე, რომელსაც აქვს ზღვარი, არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა.

თეორემა.(ურთიერთობა უსასრულოდ მცირე რაოდენობასა და უსასრულოდ დიდ რაოდენობას შორის.) თუ ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა (), მაშინ ფუნქცია არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა (-ზე). და, პირიქით, თუ ფუნქცია უსასრულოდ დიდია (), მაშინ ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა ()-ზე.

ლიმიტის თეორემები.

1. ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ლიმიტი.

2. რამდენიმე ფუნქციის ალგებრული ჯამის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ალგებრული ჯამის:

3. რამდენიმე ფუნქციის ნამრავლის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ნამრავლის:

4. ხარისხის ლიმიტი უდრის ლიმიტის ხარისხს:

5. კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ზღვრების კოეფიციენტის, თუ არსებობს გამყოფი ზღვარი:

.

6. პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი.

შედეგები:

7. მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი:

შედეგები:

ექვივალენტური უსასრულო მნიშვნელობები:

ლიმიტების გაანგარიშება.

ლიმიტების გამოთვლისას გამოიყენება ძირითადი თეორემები ლიმიტების, უწყვეტი ფუნქციების თვისებების და ამ თეორემებიდან და თვისებებიდან გამომდინარე წესები.

წესი 1.იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ლიმიტი ფუნქციის წერტილში, რომელიც ამ ეტაპზე უწყვეტია, საჭიროა მისი ზღვრული მნიშვნელობის ჩანაცვლება ფუნქციაში ლიმიტის ნიშნის ქვეშ, არგუმენტის x-ის ნაცვლად.

მაგალითი 2. იპოვე

წესი 2.თუ წილადის ზღვრის პოვნისას მნიშვნელის ზღვარი არის ნული, ხოლო მრიცხველის ზღვარი არის არანული, მაშინ ასეთი ფუნქციის ზღვარი არის.

მაგალითი 3. იპოვეთ

წესი 3.თუ წილადის ზღვრის პოვნისას მნიშვნელის ზღვარი ტოლია, მრიცხველის ზღვარი კი ნულისაგან განსხვავდება, მაშინ ასეთი ფუნქციის ზღვარი არის ნული.

მაგალითი 4. იპოვე

ხშირად, არგუმენტისთვის ზღვრული მნიშვნელობის ჩანაცვლება იწვევს განუსაზღვრელ გამონათქვამებს, როგორიცაა

.

ამ შემთხვევებში ფუნქციის ლიმიტის პოვნას გაურკვევლობის გამჟღავნება ეწოდება. გაურკვევლობის გასამჟღავნებლად აუცილებელია ამ გამოთქმის ტრანსფორმაცია ლიმიტამდე გადასვლამდე. გაურკვევლობების გასამჟღავნებლად გამოიყენება სხვადასხვა ტექნიკა.

წესი 4... ტიპის გაურკვევლობა ვლინდება სუბლიმიტის ფუნქციის გარდაქმნით, ამგვარად, მრიცხველში და მნიშვნელში ავირჩიოთ კოეფიციენტი, რომლის ზღვარი არის ნული და წილადის შემცირების შემდეგ, ვიპოვოთ კოეფიციენტის ზღვარი. ამისათვის მრიცხველი და მნიშვნელი ან მრავლდება ან მრავლდება მრიცხველთან და მნიშვნელთან კონიუგირებული გამონათქვამებით.

წესი 5.თუ სუბლიმიტის გამოხატულება შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, მაშინ პირველი მნიშვნელოვანი ზღვარი გამოიყენება სახეობების გაურკვევლობის გამოსავლენად.

.

წესი 6... ფორმის განუსაზღვრელობის გამოსავლენად ქვესასაზღვრო წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა გაიყოს არგუმენტის უმაღლეს ხარისხზე და შემდეგ მოიძებნოს კოეფიციენტის ზღვარი.

შესაძლო შედეგები:

1) სასურველი ზღვარი უდრის მრიცხველისა და მნიშვნელის არგუმენტის უმაღლეს სიმძლავრეების კოეფიციენტების თანაფარდობას, თუ ეს გრადუსები ერთნაირია;

2) ზღვარი უსასრულობის ტოლია, თუ მრიცხველის არგუმენტის ხარისხი აღემატება მნიშვნელის არგუმენტის ხარისხს;

3) ზღვარი არის ნული, თუ მრიცხველის არგუმენტის ხარისხი დაბალია მნიშვნელის არგუმენტის ხარისხზე.

ა)

მას შემდეგ, რაც

ხარისხები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ზღვარი უდრის კოეფიციენტების თანაფარდობას უფრო მაღალ ხარისხზე, ე.ი. ...

ბ)

მრიცხველის ხარისხი, მნიშვნელი არის 1, რაც ნიშნავს, რომ ზღვარი არის

v)

მრიცხველის ხარისხი არის 1, მნიშვნელის ხარისხი არის, ამიტომ ზღვარი არის 0.

წესი 7... ფორმის განუსაზღვრელობის გამოსავლენად ქვესაზღვრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა გავამრავლოთ კონიუგატულ გამოხატულებაზე.

მაგალითი 10.

წესი 8... მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი და მისი შედეგები გამოიყენება სახეობების გაურკვევლობის გამოსავლენად.

ამის დამტკიცება შეიძლება

მაგალითი 11.

მაგალითი 12.

მაგალითი 13.

წესი 9... გაურკვევლობების გამჟღავნებისას, რომელთა სუბლიმინალური ფუნქცია შეიცავს უსასრულოდ მცირეს, აუცილებელია ამ უსასრულოების საზღვრების შეცვლა. მათ ექვივალენტური უსასრულო ელემენტების საზღვრებზე.

მაგალითი 14.

მაგალითი 15.

წესი 10. L'Hôpital-ის წესი (იხ. 2.6).

1.3 ფუნქციის უწყვეტობა

ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, თუ ფუნქციის ზღვარი, როგორც არგუმენტი მიდრეკილია a-მდე, არსებობს და უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ამ წერტილში.

ექვივალენტური პირობები:

1. ;

3.

შესვენების წერტილის კლასიფიკაცია:

პირველი სახის შესვენება

ერთჯერადი - ცალმხრივი ლიმიტები არსებობს და თანაბარია;

ფატალური (ნახტომი) - ცალმხრივი საზღვრები არ არის თანაბარი;

მეორე სახის შეწყვეტა: ფუნქციის ზღვარი წერტილში არ არსებობს.

მაგალითი 16. დაადგინეთ ფუნქციის უწყვეტობის ბუნება წერტილში ან დაამტკიცეთ ფუნქციის უწყვეტობა ამ წერტილში.

რადგან ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, შესაბამისად, ის არ არის უწყვეტი ამ ეტაპზე. იმიტომ რომ და შესაბამისად, , მაშინ არის პირველი სახის მოსახსნელი შეწყვეტის წერტილი.

ბ)

(a) ამოცანასთან შედარებით, ფუნქცია გაფართოვებულია წერტილში ისე, რომ მაშასადამე, ეს ფუნქცია ამ ეტაპზე უწყვეტია.

როდესაც ფუნქცია არ არის განსაზღვრული;

.

იმიტომ რომ ერთ-ერთი ცალმხრივი ზღვარი უსასრულოა, მაშინ ეს არის მეორე ტიპის შესვენების წერტილი.

თავი 2. დიფერენციალური გაანგარიშება

2.1 წარმოებულის განმარტება

წარმოებული განმარტება

მოცემული ფუნქციის წარმოებული ან წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ლიმიტი შესაბამის არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის:

ან .

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენსი:

2.2 დიფერენცირების ძირითადი წესები

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
გამრავლება მუდმივ კოეფიციენტზე
ორი ფუნქციის ალგებრული ჯამი
ორი ფუნქციის პროდუქტი
პირადი ორი ფუნქცია
კომპლექსური ფუნქცია

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

P/p No.	ფუნქციის სახელი	ფუნქცია და მისი წარმოებული
1	მუდმივი
2	დენის ფუნქცია განსაკუთრებული შემთხვევები
3	ექსპონენციალური ფუნქცია განსაკუთრებული შემთხვევა
4	ლოგარითმული ფუნქცია განსაკუთრებული შემთხვევა
5	ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
6	საპირისპირო ტრიგონომეტრიული

ბ)

2.3 უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული

ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული:

მაგალითი 18.

ა) იპოვეთ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული.

გამოსავალი. ჯერ ვიპოვოთ პირველი რიგის წარმოებული .

ავიღოთ პირველი რიგის წარმოებულის წარმოებული.

მაგალითი 19. იპოვეთ ფუნქციის მესამე რიგის წარმოებული.

2.4 ფუნქციების შესწავლა

2.4.1 გეგმა სრული ფუნქციის შესწავლისთვის:

სრული ფუნქციის სასწავლო გეგმა:

1. ელემენტარული კვლევა:

იპოვეთ მნიშვნელობების დომენი და დიაპაზონი;

გაარკვიეთ ზოგადი თვისებები: პარიტეტი (უცნაობა), პერიოდულობა;

იპოვეთ გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან;

განსაზღვრეთ მუდმივობის სფეროები.

2. ასიმპტოტები:

იპოვეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები, თუ;

იპოვეთ ირიბი ასიმპტოტები:.

თუ რომელიმე რიცხვი, მაშინ - ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

3. კვლევა გამოყენებით:

იპოვნეთ კრიტიკული წერტილები. წერტილები, რომლებშიც არსებობს ან არ არსებობს;

განსაზღვრეთ გაზრდის ინტერვალები, იმ. ინტერვალები, რომლებშიც და მცირდება ფუნქციები -;

განსაზღვრეთ უკიდურესი: წერტილები, რომლებზეც გავლისას ის ცვლის ნიშანს "+"-დან "-"-ზე, არის მაქსიმალური ქულები, "-"-დან "+"-მდე - მინიმალური.

4. კვლევა გამოყენებით:

იპოვნეთ წერტილები, რომლებშიც არსებობს ან არ არსებობს;

იპოვნეთ ამოზნექილი უბნები, ე.ი. ინტერვალები, რომლებშიც არის ჩაზნექილი;

იპოვეთ გადახრის წერტილები, ე.ი. წერტილები გავლისას, რომლებშიც იცვლება ნიშანი.

1. კვლევის ცალკეული ელემენტები გრაფიკზე გამოსახულია თანდათან, მათი აღმოჩენის მიხედვით.

2. თუ არსებობს სირთულეები ფუნქციის გრაფიკის აგებასთან დაკავშირებით, მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობები გვხვდება დამატებით წერტილებში.

3. კვლევის მიზანია ფუნქციის ქცევის ხასიათის აღწერა. მაშასადამე, აგებულია არა ზუსტი გრაფიკი, არამედ მისი მიახლოება, რომელზედაც ნათლად არის მითითებული აღმოჩენილი ელემენტები (ექსტრემა, გადახრის წერტილები, ასიმპტოტები და ა.შ.).

4. არ არის აუცილებელი ზემოაღნიშნული გეგმის მკაცრად დაცვა; მნიშვნელოვანია, რომ არ გამოგვრჩეს ფუნქციის ქცევის დამახასიათებელი ელემენტები.

2.4.2 ფუნქციის შესწავლის მაგალითები:

1)

2) ფუნქცია უცნაურია:

.

3) ასიმპტოტები.

- ვერტიკალური ასიმპტოტები, რადგან

ირიბი ასიმპტოტი.

5)

- დახრის წერტილი.

2) ფუნქცია უცნაურია:

3) ასიმპტოტები: არ არსებობს ვერტიკალური ასიმპტოტები.

დახრილი:

- ირიბი ასიმპტოტები

4) - ფუნქცია იზრდება.

- დახრის წერტილი.

ამ ფუნქციის სქემატური დიაგრამა:

2) ზოგადი ფუნქცია

3) ასიმპტოტები

- არ არის ირიბი ასიმპტოტები

- ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ზე

- დახრის წერტილი

ამ ფუნქციის სქემატური დიაგრამა:

2) ასიმპტოტები.

- ვერტიკალური ასიმპტოტი, რადგან

- არ არის ირიბი ასიმპტოტები

, - ჰორიზონტალური ასიმპტოტი

ამ ფუნქციის სქემატური დიაგრამა:

2) ასიმპტოტები

- ვერტიკალური ასიმპტოტი at, წლიდან

- არ არის ირიბი ასიმპტოტები

, - ჰორიზონტალური ასიმპტოტი

3) - ფუნქცია მცირდება თითოეულ ინტერვალში.

ამ ფუნქციის სქემატური დიაგრამა:

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობის საპოვნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ დიაგრამა:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

2. იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, რომლებშიც არსებობს ან არ არსებობს.

3. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემული სეგმენტის კრიტიკულ წერტილებზე და მის ბოლოებზე და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი და უმცირესი.

მაგალითი. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტზე.

25. შორის

2) - კრიტიკული წერტილები

26. შორის.

წარმოებული არ არსებობს, მაგრამ 1 არ ეკუთვნის ამ ინტერვალს. ფუნქცია მცირდება ინტერვალში, რაც ნიშნავს, რომ არ არის უდიდესი მნიშვნელობა, მაგრამ არის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა.

2.5 L'Hôpital-ის წესი

თეორემა. ორი უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი ფუნქციის შეფარდების ზღვარი უდრის მათი წარმოებულების შეფარდების ზღვარს (სასრული ან უსასრულო), თუ ეს უკანასკნელი არსებობს მითითებული მნიშვნელობით.

იმათ. ტიპის გაურკვევლობების გამჟღავნებისას, ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

.

27.

თავი 3. ინტეგრალური გამოთვლა

3.1 განუსაზღვრელი ინტეგრალი

3.1.1 განმარტებები და თვისებები

განმარტება 1. ფუნქციას ეწოდება ანტიწარმოებული თუ.

განმარტება 2. f (x) ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის ამ ფუნქციის ყველა ანტიწარმოებულის კრებული.

Დანიშნულება: , სადაც c არის თვითნებური მუდმივი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალური თვისებები

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული:

2. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი:

3. დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

4. ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

5. მუდმივი ფაქტორის გადატანა განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნის მიღმა:

3.1.2 ინტეგრალების ცხრილი

.1.3 ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენება.

მაგალითი 29.

2. დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანა.

მაგალითი 30.

3. ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი:

ა) ჩანაცვლება ინტეგრალში

სადაც - ფუნქცია, რომლის ინტეგრირება უფრო ადვილია, ვიდრე ორიგინალი; - ფუნქცია ფუნქციის შებრუნებული; არის ფუნქციის ანტიდერივატი.

მაგალითი 31.

ბ) ჩანაცვლება ფორმის ინტეგრალში:

მაგალითი 32.

მაგალითი 33.

4. ინტეგრაციის მეთოდი ნაწილების მიხედვით:

მაგალითი 34.

მაგალითი 35.

ცალკე ავიღოთ ინტეგრალი

დავუბრუნდეთ ჩვენს ინტეგრალს:

3.2 განსაზღვრული ინტეგრალი

3.2.1 განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება და მისი თვისებები

განმარტება.მიეცით უწყვეტი ფუნქცია რაღაც ინტერვალზე. მოდით ავაშენოთ მისი გრაფიკი.

ფიგურას, რომელიც ზემოთ არის შემოსაზღვრული მრუდით, მარცხნივ და მარჯვნივ სწორი ხაზებით, ხოლო ქვემოდან აბსცისის ღერძის სეგმენტით a და b წერტილებს შორის, ეწოდება მრუდი ტრაპეცია.

S - ფართობი - მოხრილი ტრაპეცია.

გაყავით შუალედი წერტილებით და მიიღეთ:

ინტეგრალური ჯამი:

განმარტება. განსაზღვრული ინტეგრალი არის ინტეგრალური ჯამის ზღვარი.

განსაზღვრული ინტეგრალური თვისებები:

1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

2. ორი ფუნქციის ალგებრული ჯამის ინტეგრალი ტოლია ამ ფუნქციების ინტეგრალების ალგებრული ჯამის:

3. თუ ინტეგრაციის სეგმენტი დაყოფილია ნაწილებად, მაშინ ინტეგრალი მთელ სეგმენტზე უდრის ინტეგრალების ჯამს თითოეული წარმოქმნილი ნაწილისთვის, ე.ი. ნებისმიერი a, b, c-სთვის:

4. თუ სეგმენტზე, მაშინ

5. ინტეგრაციის საზღვრები შეიძლება შეიცვალოს, ხოლო ინტეგრალის ნიშანი იცვლება:

6.

7. წერტილის ინტეგრალი 0-ის ტოლია:

8.

9. ("საშუალოების შესახებ") მოდით y = f (x) იყოს ინტეგრირებადი ფუნქცია. მერე , სადაც, f (c) არის f (x)-ის საშუალო მნიშვნელობა:

10. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

,

სადაც F (x) არის f (x) ანტიწარმოებული.

3.2.2 განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის ხერხები.

1. პირდაპირი ინტეგრაცია

მაგალითი 35.

ა)

ბ)

v)

ე)

2. ცვლადების ცვლილება განსაზღვრული ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ .

მაგალითი 36.

2. ნაწილების მიერ ინტეგრაცია განსაზღვრულ ინტეგრალში .

მაგალითი 37.

ა)

ბ)

ე)

3.2.3 განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენება

დამახასიათებელი	ფუნქციის ტიპი	ფორმულა
	დეკარტის კოორდინატებში
მრუდი სექტორის ფართობი	პოლარულ კოორდინატებში
მოხრილი ტრაპეციის არე	პარამეტრული ფორმით
რკალის სიგრძე	დეკარტის კოორდინატებში
რკალის სიგრძე	პოლარულ კოორდინატებში
რკალის სიგრძე	პარამეტრული ფორმით
სხეულის მოცულობა როტაცია	დეკარტის კოორდინატებში
სხეულის მოცულობა მოცემული განივი რადიუსი

მაგალითი 38. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფორმის ფართობი: და .

გამოსავალი:ვიპოვოთ ამ ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები. ამისთვის ვაიგივებთ ფუნქციებს და ვხსნით განტოლებას

ასე რომ, გადაკვეთის წერტილები და.

ჩვენ ვპოულობთ ფიგურის ფართობს ფორმულის გამოყენებით

.

ჩვენს შემთხვევაში

პასუხი: ფართობი უდრის (კვადრატულ ერთეულებს).

4.1 ძირითადი ცნებები

განმარტება. თუ რაიმე წესის მიხედვით, z ცვლადის ერთი ან მეტი მნიშვნელობა ენიჭება ცალკეულ რიცხვთა თითოეულ წყვილს გარკვეული სიმრავლიდან, მაშინ z ცვლადი ეწოდება ორი ცვლადის ფუნქციას.

განმარტება. z ფუნქციის დომენი არის წყვილთა სიმრავლე, რომლისთვისაც არსებობს ფუნქცია z.

ორი ცვლადის ფუნქციის დომენი არის Oxy კოორდინატულ სიბრტყეზე წერტილების ერთობლიობა. z-კოორდინატს ეწოდება აპლიკატი, შემდეგ კი თავად ფუნქცია გამოსახულია რაღაც ზედაპირის სახით E 3 სივრცეში. Მაგალითად:

მაგალითი 39. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.

ა)

გამოთქმა მარჯვენა მხარეს არის აზრიანი მხოლოდ. ეს ნიშნავს, რომ ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელიც მდებარეობს საწყისზე ორიენტირებული R რადიუსის წრის შიგნით და საზღვარზე.

ამ ფუნქციის დომენი არის სიბრტყის ყველა წერტილი, გარდა სწორი ხაზების წერტილებისა, ე.ი. კოორდინატთა ღერძები.

განმარტება. ფუნქციის დონის ხაზები არის მრუდების ოჯახი კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომელიც აღწერილია ფორმის განტოლებებით.

მაგალითი 40. იპოვეთ ფუნქციის დონის ხაზები .

გამოსავალი. მოცემული ფუნქციის დონის ხაზები არის განტოლებით აღწერილ სიბრტყეში მრუდების ოჯახი

ბოლო განტოლება აღწერს წრეების ოჯახს, რომელიც ორიენტირებულია რადიუსის O 1 (1, 1) წერტილზე. ამ ფუნქციით აღწერილი ბრუნვის ზედაპირი (პარაბოლოიდი) ხდება „უფრო ციცაბო“ ღერძიდან მოშორებისას, რაც მოცემულია x = 1, y = 1 განტოლებებით (ნახ. 4).

4.2 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების ლიმიტები და უწყვეტობა.

1. ლიმიტები.

განმარტება. A რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი, რადგან წერტილი მიისწრაფვის წერტილისკენ, თუ ყოველი თვითნებურად მცირე რიცხვისთვის არის ისეთი რიცხვი, რომ პირობა ჭეშმარიტია ნებისმიერი წერტილისთვის, და ... ისინი წერენ: .

მაგალითი 41. იპოვეთ საზღვრები:

იმათ. ლიმიტი დამოკიდებულია და, შესაბამისად, ის არ არსებობს.

2. უწყვეტობა.

განმარტება. დაე, წერტილი მიეკუთვნოს ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს. მაშინ ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი თუ

(1)

უფრო მეტიც, წერტილი თვითნებურად მიისწრაფვის წერტილისკენ.

თუ რომელიმე წერტილში პირობა (1) არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ამ წერტილს ეწოდება ფუნქციის შეწყვეტის წერტილი. ეს შეიძლება იყოს შემდეგ შემთხვევებში:

1) ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში.

2) არ არსებობს ლიმიტი.

3) ეს ზღვარი არსებობს, მაგრამ არ არის თანაბარი.

მაგალითი 42. დაადგინეთ არის თუ არა მოცემული ფუნქცია წერტილში უწყვეტი, თუ.

Გავიგე შესაბამისად, ეს ფუნქცია წერტილში უწყვეტია.

ლიმიტი დამოკიდებულია k-ზე, ე.ი. ის არ არსებობს მოცემულ წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციას აქვს შეწყვეტა ამ მომენტში.

4.3 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების წარმოებულები და დიფერენციაციები

4.3.1 პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები

ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული x არგუმენტთან მიმართებაში არის ერთი x ცვლადის ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული y ცვლადის ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის და აღინიშნება:

ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული y არგუმენტთან მიმართებაში არის ერთი ცვლადის y ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული x ცვლადის ფიქსირებული მნიშვნელობით და აღინიშნება:

მაგალითი 43. იპოვეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები.

4.3.2 მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები

მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები არის პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების ნაწილობრივი წარმოებულები. ფორმის ორი ცვლადის ფუნქციისთვის შესაძლებელია მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების ოთხი ტიპი:

მეორე რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს, რომლებშიც დიფერენციაცია ხორციელდება სხვადასხვა ცვლადის მიმართ, შერეულ წარმოებულებს უწოდებენ. ორჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციის მეორე რიგის შერეული წარმოებულები ტოლია.

მაგალითი 44. იპოვეთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.

4.3.3 სრული დიფერენციალი და მისი გამოყენება მიახლოებით გამოთვლებში.

განმარტება. ორი ცვლადის ფუნქციის პირველი რიგის დიფერენციალი გვხვდება ფორმულით

.

მაგალითი 45. იპოვეთ ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი.

გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

.

x და y არგუმენტების მცირე ნამატებისთვის ფუნქცია იძენს ნამატს დაახლოებით dz-ის ტოლი, ე.ი. ...

წერტილში ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნის ფორმულა, თუ ცნობილია მისი ზუსტი მნიშვნელობა წერტილში:

მაგალითი 46. იპოვე .

გამოსავალი. დაე,

შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას

უპასუხე. .

მაგალითი 47. გამოთვალეთ დაახლოებით.

გამოსავალი. განვიხილოთ ფუნქცია. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითი 48. გამოთვალეთ დაახლოებით.

გამოსავალი. განიხილეთ ფუნქცია ... ჩვენ ვიღებთ:

უპასუხე. .

4.3.4 იმპლიციტური ფუნქციის დიფერენციაცია

განმარტება. ფუნქციას ეწოდება იმპლიციტი, თუ იგი მოცემულია განტოლებით, რომელიც არ არის ამოხსნადი z-ის მიმართ.

ასეთი ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები გვხვდება ფორმულებით:

მაგალითი 49. იპოვეთ განტოლებით მოცემული z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები .

გამოსავალი.

განმარტება. ფუნქციას იმპლიციტი ეწოდება, თუ იგი მოცემულია განტოლებით, რომელიც არ არის ამოსახსნელი y-ის მიმართ.

ასეთი ფუნქციის წარმოებული გვხვდება ფორმულით:

.

მაგალითი 50. იპოვეთ ამ ფუნქციების წარმოებულები.

5.1 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლოკალური ექსტრემი

განმარტება 1. ფუნქციას აქვს მაქსიმალური წერტილი თუ

განმარტება 2. ფუნქციას აქვს მინიმალური თუ ყველა წერტილისთვის საკმარისად მიახლოებული და მისგან განსხვავებული წერტილისთვის.

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა. თუ ფუნქცია აღწევს უკიდურეს წერტილს, მაშინ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ქრება ან არ არსებობს ამ ეტაპზე.

წერტილებს, სადაც ნაწილობრივი წარმოებულები ქრება ან არ არსებობს, კრიტიკული ეწოდება.

ექსტრემის საკმარისი ნიშანი. დაე, ფუნქცია განისაზღვროს კრიტიკული წერტილის რომელიმე სამეზობლოში და ჰქონდეს უწყვეტი მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ამ წერტილში.

1) აქვს ლოკალური მაქსიმუმი წერტილში, თუ და;

2) აქვს ლოკალური მინიმუმი წერტილში, თუ და;

3) არ აქვს ლოკალური ექსტრემი იმ წერტილში, თუ;

კვლევის სქემა ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობისთვის.

1. იპოვეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები: და.

2. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა და იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

3. იპოვეთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები, გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და საკმარისი პირობის გამოყენებით, გამოიტანეთ დასკვნა ექსტრემის არსებობის შესახებ.

4. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

მაგალითი 51. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობები .

1) იპოვეთ ნაწილობრივი წარმოებულები.

2) ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

4) იპოვნეთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები და მათი მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში:. იმ მომენტში ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე, არ არის ექსტრემუმი ამ ეტაპზე. იმ მომენტში ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე, წერტილში არის მინიმუმი.

5.2 გლობალური ექსტრემი (ფუნქციის უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობა)

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, უწყვეტი ზოგიერთ დახურულ კომპლექტზე, მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან სიმრავლის საზღვარზე.

უმაღლესი და ყველაზე დაბალი მნიშვნელობების პოვნის სქემა.

1) იპოვეთ რეგიონის შიგნით მდებარე კრიტიკული წერტილები, გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილებში.

2) გამოიკვლიეთ ფუნქცია ტერიტორიის საზღვარზე; თუ საზღვარი შედგება რამდენიმე განსხვავებული ხაზისგან, მაშინ კვლევა უნდა ჩატარდეს თითოეული ადგილისთვის ცალკე.

3) შეადარეთ ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობები და აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

მაგალითი 52. იპოვეთ მართკუთხედში ყველაზე დიდი და პატარა ფუნქციის მნიშვნელობები.

გამოსავალი. 1) იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, ამისთვის ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულებს: და ამოხსნით განტოლებათა სისტემას:

მიიღო კრიტიკული წერტილი A. შედეგად მიღებული წერტილი დევს მითითებულ ზონაში,

ტერიტორიის საზღვარი შედგება ოთხი სეგმენტისგან: და. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა თითოეულ სეგმენტზე.

4) შეადარეთ მიღებული შედეგები და იპოვეთ ის წერტილებში .

თავი 6. მომხმარებელთა არჩევანის მოდელი

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ არსებობს n სხვადასხვა საქონელი. მაშინ საქონლის გარკვეული ნაკრები აღინიშნა n-განზომილებიანი ვექტორით , სად არის i-ე პროდუქტის რაოდენობა. X საქონლის ყველა ნაკრების სიმრავლეს სივრცე ეწოდება.

ინდივიდუალური მომხმარებლის არჩევანს ახასიათებს უპირატესობის მიმართება: ითვლება, რომ მომხმარებელს შეუძლია თქვას ნებისმიერი ორი ნაკრების შესახებ, რომელიც უფრო სასურველია, ან ვერ ხედავს განსხვავებას მათ შორის. უპირატესობის მიმართება გარდამავალია: თუ კომპლექტი უპირატესობას ანიჭებს კომპლექტს, ხოლო კომპლექტი უპირატესობას ანიჭებს კომპლექტს, მაშინ კომპლექტი სასურველია ნაკრებისთვის. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მომხმარებლის ქცევა სრულად არის აღწერილი ინდივიდუალური მომხმარებლის აქსიომით: თითოეული ინდივიდუალური მომხმარებელი იღებს გადაწყვეტილებას მოხმარების, შესყიდვების და ა.შ., მისი პრეფერენციების სისტემის საფუძველზე.

6.1 სასარგებლო ფუნქცია

X სამომხმარებლო კომპლექტების სიმრავლეზე ფუნქცია განისაზღვრება , რომლის ღირებულება სამომხმარებლო კომპლექტზე უდრის მომხმარებლის მიერ ინდივიდის შეფასებას ამ ნაკრებისთვის. ფუნქციას ეწოდება მომხმარებლის სასარგებლო ფუნქცია ან მომხმარებლის უპირატესობის ფუნქცია. იმათ. თითოეულ მომხმარებელს აქვს საკუთარი სასარგებლო ფუნქცია. მაგრამ მომხმარებელთა მთელი ნაკრები შეიძლება დაიყოს მომხმარებელთა გარკვეულ კლასებად (ასაკის, ქონებრივი მდგომარეობის და ა.შ.) და თითოეულ კლასს შეიძლება მიენიჭოს რაიმე, შესაძლოა, საშუალო სარგებლობის ფუნქცია.

ამრიგად, ფუნქცია არის მომხმარებლის შეფასება ან ინდივიდის მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების დონე მოცემული ნაკრების შეძენისას. თუ ნაკრები სასურველია მოცემული ინდივიდის კომპლექტზე, მაშინ.

კომუნალური ფუნქციის თვისებები.

1.

სასარგებლო ფუნქციის პირველ ნაწილობრივ წარმოებულებს პროდუქტების ზღვრული სარგებლიანობა ეწოდება. ამ თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ერთი პროდუქტის მოხმარების ზრდა, ხოლო სხვა პროდუქტების მოხმარება უცვლელი რჩება, იწვევს მომხმარებელთა შეფასების ზრდას. ვექტორი არის ფუნქციის გრადიენტი, ის აჩვენებს ფუნქციის უდიდესი ზრდის მიმართულებას. ფუნქციისთვის, მისი გრადიენტი არის პროდუქტების ზღვრული სარგებლიანობის ვექტორი.

2.

იმათ. ნებისმიერი საქონლის ზღვრული სარგებლიანობა მცირდება მოხმარების ზრდასთან ერთად.

3.

იმათ. თითოეული პროდუქტის ზღვრული სარგებლიანობა იზრდება სხვა პროდუქტის რაოდენობასთან ერთად.

ზოგიერთი სახის სასარგებლო ფუნქცია.

1) ნეოკლასიკური:.

2) კვადრატული: სადაც მატრიცა არის უარყოფითი განსაზღვრული და ამისთვის .

3) ლოგარითმული ფუნქცია:.

6.2 გულგრილობის ხაზები

გამოყენებული პრობლემებისა და მომხმარებლის არჩევანის მოდელებში ხშირად გამოიყენება ორი საქონლის ნაკრების კონკრეტული შემთხვევა, ე.ი. როდესაც სასარგებლო ფუნქცია დამოკიდებულია ორ ცვლადზე. გულგრილობის ხაზი არის სამომხმარებლო კომპლექტების დამაკავშირებელი ხაზი, რომლებსაც აქვთ ინდივიდუალური მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების იგივე დონე. არსებითად, გულგრილობის ხაზები არის ფუნქციის დონის ხაზები. გულგრილობის ხაზის განტოლებები: .

გულგრილობის ხაზების ძირითადი თვისებები.

1. გულგრილობის ხაზები, რომლებიც შეესაბამება მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების სხვადასხვა დონეს, არ ეხებიან და არ იკვეთება.

2. გულგრილობის ხაზები მცირდება.

3. გულგრილობის ხაზები ამოზნექილია ქვემოთ.

თვისება 2 გულისხმობს მნიშვნელოვან სავარაუდო ტოლობას.

ეს თანაფარდობა აჩვენებს, თუ რამდენად უნდა გაზარდოს (შეამციროს) ინდივიდმა მეორე პროდუქტის მოხმარება, ხოლო პირველი პროდუქტის მოხმარება შეამციროს (გაზარდოს) ერთი ერთეულით მისი მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების დონის შეცვლის გარეშე. თანაფარდობას ეწოდება პირველი პროდუქტის მეორეთი ჩანაცვლების სიჩქარე, ხოლო მნიშვნელობას ეწოდება პირველი პროდუქტის მეორეთი ჩანაცვლების ზღვრული მაჩვენებელი.

მაგალითი 53. თუ პირველი საქონლის ზღვრული სარგებლიანობა არის 6, ხოლო მეორე - 2, მაშინ პირველი საქონლის მოხმარების ერთი ერთეულით შემცირებისას აუცილებელია მეორე საქონლის მოხმარება გაიზარდოს 3 ერთეულით. მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების იგივე დონე.

6.3 საბიუჯეტო კომპლექტი

დაე - ფასების ვექტორი n პროდუქტის ნაკრებისთვის; I - ინდივიდის შემოსავალი, რომელიც მას სურს დახარჯოს პროდუქციის ნაკრების შესაძენად. საქონლის კომპლექტების ერთობლიობას, რომელთა ღირებულება არ აღემატება I-ს მოცემულ ფასებში, ეწოდება საბიუჯეტო კომპლექტი B. უფრო მეტიც, საქონლის ერთობლიობას, რომლის ღირებულებაა I, ეწოდება საბიუჯეტო B ნაკრების საზღვარი G. B სიმრავლე შემოსაზღვრულია G საზღვრით და ბუნებრივი შეზღუდვებით.

ბიუჯეტის ნაკრები აღწერილია უთანასწორობის სისტემით:

ორი საქონლის ნაკრების შემთხვევაში, ბიუჯეტის ნაკრები B (ნახ. 1) არის სამკუთხედი კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც შემოიფარგლება კოორდინატთა ღერძებით და სწორი ხაზით.

6.4 სამომხმარებლო მოთხოვნის თეორია

მოხმარების თეორიაში ვარაუდობენ, რომ მომხმარებელი ყოველთვის ცდილობს მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი სარგებლიანობა და მისთვის ერთადერთი შეზღუდვა არის შეზღუდული შემოსავალი I, რომელიც მას შეუძლია დახარჯოს საქონლის ნაკრების შესაძენად. ზოგადად, მომხმარებელთა არჩევანის პრობლემა (მომხმარებლის რაციონალური ქცევის პრობლემა ბაზარზე) ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: იპოვნეთ სამომხმარებლო ნაკრები. , რაც მაქსიმალურად ზრდის მის სასარგებლო ფუნქციას მოცემული ბიუჯეტის შეზღუდვისთვის. ამ პრობლემის მათემატიკური მოდელი:

ორი პროდუქტის ნაკრების შემთხვევაში:

გეომეტრიულად, ამ პრობლემის გადაწყვეტა არის შეხების წერტილი G საბიუჯეტო ნაკრების საზღვარსა და გულგრილობის ხაზს შორის.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება განტოლებათა სისტემის ამოხსნით:

(1)

ამ სისტემის გამოსავალი არის მომხმარებლის არჩევანის პრობლემის გადაწყვეტა.

მომხმარებლის არჩევანის პრობლემის გადაწყვეტას მოთხოვნის წერტილი ეწოდება. ეს მოთხოვნის წერტილი დამოკიდებულია ფასებზე და შემოსავალზე I. ანუ. მოთხოვნის წერტილი მოთხოვნის ფუნქციაა. თავის მხრივ, მოთხოვნის ფუნქცია არის n ფუნქციის ნაკრები, რომელთაგან თითოეული დამოკიდებულია არგუმენტზე:

ამ ფუნქციებს ეწოდება შესაბამისი საქონლის მოთხოვნის ფუნქციები.

მაგალითი 54. ბაზარზე ორი საქონლის ნაკრებისთვის, მათთვის ცნობილი ფასები და შემოსავალი I, იპოვეთ მოთხოვნის ფუნქციები, თუ სასარგებლო ფუნქციას აქვს ფორმა .

გამოსავალი. მოდით განვასხვავოთ სასარგებლო ფუნქცია:

.

ჩაანაცვლეთ მიღებული გამონათქვამები (1) და მიიღეთ განტოლებათა სისტემა:

ამ შემთხვევაში თითოეულ პროდუქტზე ხარჯი იქნება მომხმარებლის შემოსავლის ნახევარი, ხოლო შეძენილი პროდუქტის ოდენობა უდრის მასზე დახარჯულ თანხას, გაყოფილი პროდუქტის ფასზე.

მაგალითი 55. დაე, სასარგებლო ფუნქციონირდეს პირველი სიკეთისთვის, მეორე,

პირველი პროდუქტის ფასი, მეორის ფასი. შემოსავალი . რამდენი უნდა იყიდოს მომხმარებელმა, რომ მაქსიმალურად გაზარდოს სარგებლიანობა?

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ სასარგებლო ფუნქციების წარმოებულები, ჩავანაცვლოთ ისინი სისტემაში (1) და მოვაგვაროთ იგი:

საქონლის ეს ნაკრები ოპტიმალურია მომხმარებლისთვის სარგებლიანობის მაქსიმიზაციის თვალსაზრისით.

ტესტი უნდა ჩატარდეს ცალკე რვეულში ჩანაწერთა წიგნის ნომრის ბოლო ციფრით შერჩეული ვარიანტის შესაბამისად. თითოეული პრობლემა უნდა შეიცავდეს პირობას, დეტალურ გადაწყვეტას და დასკვნას.

1. გაანგარიშების შესავალი

ამოცანა 1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.

5.

ამოცანა 2. იპოვეთ ფუნქციების საზღვრები.

.

ამოცანა 3. იპოვეთ ფუნქციის წყვეტის წერტილები და განსაზღვრეთ მათი ტიპი.

1. 2. 3.

თავი 2. ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოთვლა

დავალება 4. იპოვეთ ამ ფუნქციების წარმოებულები.

1.ა); ბ) გ) y =;

დ) y = x 6 + + + 5; ე) y = x tg x + ln sin x + e 3x;

ვ) y = 2 x - arcsin x.

2.ა) ; ბ) y =; გ) y =; დ) y = x 2 - + 3; ე) y = e cos; ვ) y =.

3.ა) y = lnx; ბ) y =; გ) y = ln;

4. ა) y =; ბ) y = (e 5 x - 1) 6; გ) y =; დ) y =; ე) y = x 8 ++ + 5; ვ) y = 3 x - arcsin x.

5.ა) y = 2x 3 - + e x; ბ) y =; გ) y =;

დ) y =; ე) y = 2 cos; ვ) y =.

6.ა) y = lnx; ბ) y =; გ) y = ln;

დ) y =; ე) y = x 7 + + 1; ვ) y = 2.

7.ა) ; ბ) y =; გ) y =; დ) y = x 2 + xsinx +; ე) y = e cos; ვ) y =.

8. ა) y =; ბ) y = (3 x - 4) 6; გ) y = სინტგ;

დ) y = 3x 4 - - 9+ 9; ე) y =;

ვ) y = x 2 + arcsin x - x.

9.ა); ბ) ; გ) y =; დ) y = 5 sin 3 x; ე) y = x 3 - - 6+ 3; ვ) y = 4x 4 + ln.

10.ა) ბ) y =; გ) y = (3 x - 4) 6; დ) y =; ე) y = x 2 - x; ვ) y = e sin 3 x + 2.

დავალება 5. ფუნქციის გამოკვლევა და მისი გრაფიკის აგება.

1. ა) ბ) გ).

2.ა) ბ) ვ) .

3.ა) ბ) ვ) .

4.ბ) v)

5.ა) ბ) ვ) .

6.ა) ბ) ვ) .

7. ა) ბ) გ).

8. ა) ბ) გ).

9.ა) ბ) გ).

10. ა) ბ) ვ) .

ამოცანა 6. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტზე.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

თავი 3. ინტეგრალური გამოთვლა

ამოცანა 7. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალები.

1.ა) ბ);

2.ა) ; ბ) გ) დ).

4. გ)

5.ა) ; ბ); ქ) ; გ).

6.ა) ; ბ); v); გ)

7.ა) ; ბ) ; ქ) ; გ)

8.ა) ; ბ); v) ; გ) .

9.ა) ; ბ) გ); გ).

10.ა) ბ) ქ) ; გ) .

ამოცანა 8. გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალები.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

ამოცანა 9. იპოვეთ არასწორი ინტეგრალები ან დაამტკიცეთ, რომ ისინი განსხვავდებიან.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

ამოცანა 10. იპოვეთ მრუდებით შემოსაზღვრული ფართობის ფართობი

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

თავი 4. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოთვლა.

დავალება 11. იპოვეთ ფუნქციის დომენი (აჩვენეთ ნახაზზე).

ამოცანა 12. გამოიკვლიეთ ფუნქციის უწყვეტობა ამისთვის

ამოცანა 13. იპოვეთ იმპლიციტურად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული.

ამოცანა 14. გამოთვალეთ დაახლოებით

1.ა); ბ) ; v)

2.ა) ; ბ); v) .

3.ა) ; ბ) ; ვ) .

4.ა) ; ბ) ; ვ) .

5. ა); ბ) ; ვ) .

6. ა); ბ); ვ) .

7. ა); ბ) ; ვ) .

8.ა); ბ) ; v)

9.ა) ; ბ); v) .

10. ა); ბ) ; v)

ამოცანა 15. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ექსტრემებისთვის.

7. .

8. .

9. .

10. .

ამოცანა 16. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ დახურულ არეში.

1.მართკუთხედში

2.

3.მართკუთხედში

4.პარაბოლით შემოზღუდულ რეგიონში

და აბსციზა.

5.კვადრატი

6.კოორდინატთა ღერძებითა და სწორი ხაზით შემოსაზღვრულ სამკუთხედში

7.კოორდინატთა ღერძებითა და სწორი ხაზით შემოსაზღვრულ სამკუთხედში

8. კოორდინატთა ღერძებითა და სწორი ხაზით შემოსაზღვრულ სამკუთხედში

9.პარაბოლით შემოზღუდულ რეგიონში

და აბსციზა.

10.პარაბოლით შემოზღუდულ რეგიონში

და აბსციზა.

Მთავარი

1. მ.ს. კრასუსი, ბ.პ. ჩუპრინოვი. მათემატიკის საფუძვლები და მისი გამოყენება ეკონომიკურ განათლებაში: სახელმძღვანელო. - მე-4 გამოცემა, ისპ. - მ .: დელო, 2003 წ.

2. მ.ს. კრასუსი, ბ.პ. ჩუპრინოვი. მათემატიკა ეკონომიკური სპეციალობებისათვის: სახელმძღვანელო. - მე-4 გამოცემა, ისპ. - მ .: დელო, 2003 წ.

3. მ.ს. კრასუსი, ბ.პ. ჩუპრინოვი. მათემატიკა ეკონომიკის ბაკალავრიატისთვის. სახელმძღვანელო. - მე-4 გამოცემა, ისპ. - მ .: დელო, 2005 წ.

4. უმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის. სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის / ნ.შ. კრემერი, ბ.ა. პუტკო, ი.მ. ტრიშინი, მ.ნ. ფრიდმენი; რედ. პროფ. ნ.შ. Kremer, - 2nd ed., Revised. და დაამატეთ. - M: ერთიანობა, 2003 წ.

5. Kremer N.Sh, Putko BA, Trishin IM, Fridman MN უმაღლესი მათემატიკა ეკონომიკური სპეციალობებისთვის. სახელმძღვანელო და სახელოსნო (ნაწილები I და II) / რედ. პროფ. ნ.შ. Kremer, - 2nd ed., Revised. და დაამატეთ. - M: უმაღლესი განათლება, 2007. - 893გვ. - (მეცნიერებათა საფუძვლები)

6. დანკო პ.ე., პოპოვი ა.გ., კოჟევნიკოვა ტ.ია. უმაღლესი მათემატიკა სავარჯიშოებსა და ამოცანებში. მ. საშუალო სკოლა. 1999 წ.

დამატებითი

1. ი.ი. ბავრინი, ვ.ლ. მეზღვაურები. უმაღლესი მათემატიკა. „ვლადოს ჰუმანიტარული გამომცემლობის ცენტრი“, 2002 წ.

2. ი.ა. ზაიცევი. უმაღლესი მათემატიკა. "უმაღლესი სკოლა", 1998 წ.

3. ა.ს. სოლოდოვნიკოვი, ვ.ა. ბაბაიცევი, ა.ვ. ბრაილოვი, ი.გ. შანდრა. მათემატიკა ეკონომიკაში / ორ ნაწილად /. M. ფინანსები და სტატისტიკა. 1999 წ.

სტუდენტებისთვის სამედიცინო, პედიატრიული, სტომატოლოგიური

და პრევენციული მედიცინის ფაკულტეტები

ლაბორატორიული სამუშაოებისთვის

"მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ცნებები"

1. თემის სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური დასაბუთება:

წარმოებული და დიფერენციალური ცნებები მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. წარმოებულების გამოთვლა აუცილებელია ფიზიკასა და მათემატიკაში მრავალი ამოცანის ამოხსნისას (სიჩქარის პოვნა, აჩქარება, წნევა და ა.შ.). წარმოებულის ცნების მნიშვნელობა, კერძოდ, განისაზღვრება იმით, რომ ფუნქციის წარმოებული ახასიათებს ამ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, როდესაც იცვლება მისი არგუმენტი.

დიფერენციალური გამოყენება შესაძლებელს ხდის მიახლოებითი გამოთვლების განხორციელებას, ასევე შეცდომების შეფასებას.

ფუნქციების წარმოებულებისა და დიფერენციალის პოვნის მეთოდები და მათი გამოყენება წარმოადგენს დიფერენციალური გამოთვლების მთავარ პრობლემას. წარმოებულის ცნების საჭიროება ჩნდება მოძრაობის სიჩქარის გამოთვლისა და მრუდის ტანგენსის კუთხის პოვნის პრობლემის ფორმულირებასთან დაკავშირებით. საპირისპირო პრობლემაც შესაძლებელია: დაადგინეთ სიჩქარით გავლილი მანძილი და იპოვეთ შესაბამისი ფუნქცია ტანგენტის დახრილობის ტანგენტის მიხედვით. ამ შებრუნებულ პრობლემას მივყავართ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნებამდე.

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება გამოიყენება რიგ პრაქტიკულ ამოცანებში, კერძოდ, სიბრტყე ფიგურების ფართობების გამოთვლის, ცვლადი ძალის მიერ შესრულებული სამუშაოს გამოთვლისა და ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობის პოვნის ამოცანებში.

სხვადასხვა ფიზიკური, ქიმიური, ბიოლოგიური პროცესებისა და ფენომენების მათემატიკური აღწერისას ხშირად გამოიყენება განტოლებები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ შესწავლილ რაოდენობებს, არამედ ამ რაოდენობების სხვადასხვა რიგის მათ წარმოებულებს. მაგალითად, ბაქტერიების გამრავლების კანონის უმარტივესი ვერსიის მიხედვით, გამრავლების სიჩქარე მოცემულ დროს ბაქტერიების რაოდენობის პროპორციულია. თუ ეს რაოდენობა აღინიშნება N (t)-ით, მაშინ წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის შესაბამისად, ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარე არის N (t) წარმოებული და ზემოაღნიშნული კანონის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ თანაფარდობა N "(t) = k ∙ N, სადაც k> 0 - პროპორციულობის კოეფიციენტი მიღებული განტოლება არ არის ალგებრული, რადგან ის შეიცავს არა მხოლოდ უცნობ ფუნქციას N (t), არამედ მის პირველი რიგის წარმოებულს.

2. მოკლე თეორია:

1. წარმოებულის ცნებამდე მიმავალი ამოცანები

1. მატერიალური წერტილის v სიჩქარის პოვნის პრობლემა... დაე, რომელიმე მატერიალურმა წერტილმა შეასრულოს მართკუთხა მოძრაობა. დროის მომენტში ტ 1 წერტილი არის პოზიციაზე მ 1. დროის მომენტში ტ 2 ორსული მ 2 . მოდით აღვნიშნოთ ინტერვალი მ 1 , მ 2 გადაღმა ΔS; ტ 2 - ტ 1 = Δt... მნიშვნელობას ეწოდება მოძრაობის საშუალო სიჩქარე. წერტილის მყისიერი სიჩქარის პოვნა პოზიციაზე მ 1 საჭირო Δtტენდენცია ნულისკენ. მათემატიკურად ეს იმას ნიშნავს

, (1)

ამრიგად, მატერიალური წერტილის მყისიერი სიჩქარის საპოვნელად, საჭიროა გამოვთვალოთ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. ΔSარგუმენტის Δt მატებამდე იმ პირობით, რომ Δt → 0.

2. ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხის პოვნის ამოცანა.

სურ. 1

განვიხილოთ ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი y = f (x).რა არის დახრის კუთხე
ტანგენსი წერტილში მ 1 ? წერტილში მ 1 დახატეთ ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე. შეარჩიეთ თვითნებური წერტილი გრაფიკზე მ 2 და დახაზეთ სეკანტი. ის ღერძისკენ არის დახრილი ოჰკუთხით α 1 ... განიხილეთ ΔM 1 მ 2 A:

, (2)

თუ წერტილი მ 1 შეასწორეთ და მიუთითეთ მ 2 მიუახლოვდით მ 1 , შემდეგ სეკანტირება მ 1 მ 2 გადავა წერტილის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსზე მ 1 და შეგიძლიათ დაწეროთ:

, (3)

ამრიგად, აუცილებელია გამოვთვალოთ ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ლიმიტი არგუმენტის ზრდასთან, თუ არგუმენტის ზრდა მიდრეკილია ნულისკენ.

y = f (x) ფუნქციის Δy ნაზრდის შეფარდების ზღვარი Δx არგუმენტის ზრდასთან მოცემულ x წერტილში. 0 რადგან Δx მიდრეკილია ნულისკენ, მას უწოდებენ მოცემულ წერტილში ფუნქციის წარმოებულს.

წარმოებული აღნიშვნა: y ", f" (x), ... Განმარტებით

, (4)

სადაც Δx = x 2 -x 1 არის არგუმენტის ზრდა (სხვაობა არგუმენტის ორ მომდევნო საკმარისად ახლო მნიშვნელობას შორის), Δy = y 2 -y 1 არის ფუნქციის ზრდა (სხვაობა მნიშვნელობებს შორის არგუმენტის ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ფუნქციის).

მოცემული ფუნქციის წარმოებულის პოვნას მისი ეწოდება დიფერენციაცია... ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების დიფერენცირება ხორციელდება მზა ფორმულების მიხედვით (იხ. ცხრილი), ასევე გამოყენებით წესები:

ალგებრული ჯამის წარმოებული ფუნქციები უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის მეორე ფუნქციის ნამრავლების ჯამს პირველის და პირველი ფუნქციის წარმოებულის მიხედვით:

(u ∙υ ) "= შენ"υ + uυ "

3. კოეფიციენტის წარმოებული ორი ფუნქციის ტოლია წილადი, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის ნამრავლებს შორის მრიცხველის წარმოებულით და მრიცხველის წარმოებული მნიშვნელის წარმოებულით, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელის კვადრატი:

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა. (4) და (1)-ის შედარება გულისხმობს, რომ მატერიალური წერტილის სწორხაზოვანი მოძრაობის მყისიერი სიჩქარე უდრის მისი კოორდინატის დროზე დამოკიდებულების წარმოებულს.

ფუნქციის წარმოებულის ზოგადი მნიშვნელობა არის ის, რომ ის ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე (სისწრაფე).მოცემული არგუმენტის ცვლილებისთვის. ფიზიკური, ქიმიური და სხვა პროცესების სიჩქარე, მაგალითად, სხეულის გაგრილების სიჩქარე, ქიმიური რეაქციის სიჩქარე, ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარე და ა.შ., ასევე გამოხატულია წარმოებულის გამოყენებით.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობის კუთხის ტანგენტის სიდიდე მათემატიკაში ეწოდება ტანგენტის დახრილობა.

დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის დახრილობა რაღაც მომენტში რიცხობრივად უდრის ამ წერტილის ფუნქციის წარმოებულს.

ამ განცხადებას ე.წ წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

სტატიის შინაარსი

მათემატიკური ანალიზი,მათემატიკის დარგი, რომელიც უზრუნველყოფს ცვლილებების სხვადასხვა პროცესის რაოდენობრივი შესწავლის მეთოდებს; ეხება ცვლილების სიჩქარის შესწავლას (დიფერენციალური გამოთვლები) და მრუდის სიგრძის, ფართობისა და ფიგურების მოცულობის განსაზღვრას, რომლებიც შემოსაზღვრულია მრუდი კონტურებითა და ზედაპირებით (ინტეგრალური გაანგარიშება). მათემატიკური ანალიზის ამოცანებისთვის დამახასიათებელია, რომ მათი ამოხსნა დაკავშირებულია ლიმიტის ცნებასთან.

მათემატიკური ანალიზი 1665 წელს წამოიწყეს ი.ნიუტონმა და (დაახლოებით 1675წ.) დამოუკიდებლად გ.ლაიბნიცმა, თუმცა მნიშვნელოვანი მოსამზადებელი სამუშაოები ჩაატარეს ი.კეპლერმა (1571–1630), ფ.კავალიერიმ (1598–1647), პ.ფერმამ. (1601– 1665), ჯ.უოლისი (1616-1703) და ი. ბაროუ (1630-1677).

პრეზენტაცია უფრო ცოცხალი რომ იყოს, მივმართავთ გრაფიკების ენას. ამიტომ, მკითხველს შეიძლება სასარგებლო აღმოჩნდეს ამ სტატიის წაკითხვამდე ანალიტიკური გეომეტრიის სტატიის გადახედვა.

დიფერენციალური გაანგარიშება

ტანგენტები.

ნახ. 1 გვიჩვენებს მრუდის ფრაგმენტს წ = 2x – x 2, დადებული შორის x= –1 და x= 3. ამ მრუდის საკმარისად მცირე სეგმენტები გამოიყურება სწორი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რარის ამ მრუდის თვითნებური წერტილი, მაშინ არის რაღაც სწორი ხაზი, რომელიც გადის ამ წერტილში და არის მრუდის მიახლოება წერტილის მცირე სამეზობლოში რდა რაც უფრო პატარაა სამეზობლო, მით უკეთესია მიახლოება. ასეთ სწორ ხაზს წერტილის მრუდის ტანგენსი ეწოდება რ... დიფერენციალური გამოთვლების მთავარი ამოცანაა შექმნას ზოგადი მეთოდი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ ტანგენტის მიმართულება მრუდის ნებისმიერ წერტილში, სადაც ტანგენსი არსებობს. მკვეთრი რღვევით მრუდის წარმოდგენა არ არის რთული (სურ. 2). თუ რ- ასეთი შესვენების ზედა ნაწილი, მაშინ შეგიძლიათ ააწყოთ მიახლოებითი სწორი ხაზი PT 1 - წერტილის მარჯვნივ რდა კიდევ ერთი მიახლოებითი ხაზი RT 2 - წერტილის მარცხნივ რ... მაგრამ არ არსებობს ერთი სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილში რ, რომელიც თანაბრად კარგად მიუახლოვდა წერტილის სიახლოვეს მრუდს პროგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხნივ, შესაბამისად, ტანგენსი წერტილში პარ არსებობს.

ნახ. 1 ტანგენსი FROMწარმოშობის მეშვეობით დახატული ო= (0,0). ამ ხაზის დახრილობა არის 2, ე.ი. როდესაც აბსციზა იცვლება 1-ით, ორდინატი იზრდება 2-ით. თუ xდა წ- თვითნებური წერტილის კოორდინატები FROM, შემდეგ, მოშორებით ომანძილზე Xერთეულები მარჯვნივ, ჩვენ ვშორდებით ო 2-ზე წერთეული ზევით. აქედან გამომდინარე, წ/x= 2, ან წ = 2x... ეს არის ტანგენტის განტოლება FROMმოსახვევამდე წ = 2x – x 2 წერტილში ო.

ახლა საჭიროა ავხსნათ რატომ წერტილში გამავალი ხაზების სიმრავლიდან ო, სწორედ სწორი ხაზი აირჩიეს FROM... რა განსხვავებაა 2-იანი დახრილობით სწორ ხაზსა და სხვა სწორ ხაზებს შორის? არსებობს ერთი მარტივი პასუხი და ჩვენ გვიჭირს გაუძლო ცდუნებას, გამოვიყენოთ წრის ტანგენტის ანალოგი: ტანგენსი. FROMაქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი მრუდთან, მაშინ როცა ნებისმიერ სხვა არავერტიკალურ სწორ ხაზს, რომელიც გადის წერტილში ო, ორჯერ კვეთს მრუდს. ამის შემოწმება შესაძლებელია შემდეგნაირად.

გამოთქმის შემდეგ წ = 2x – x 2-ის მიღება შესაძლებელია გამოკლებით X 2 of წ = 2x(სწორი ხაზის განტოლებები FROM), შემდეგ მნიშვნელობები წნაკლები ცოდნაა გრაფიკისთვის წსწორი ხაზისთვის ყველა წერტილში, გარდა წერტილისა x= 0. მაშასადამე, გრაფიკი ყველგანაა, გარდა წერტილისა ომდებარეობს ქვემოთ FROMდა ამ ხაზსა და გრაფიკს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი აქვთ. უფრო მეტიც, თუ წ = mx- წერტილის გავლის სხვა სწორი ხაზის განტოლება ო, მაშინ აუცილებლად იქნება ორი გადაკვეთის წერტილი. მართლაც, mx = 2x – x 2 არა მხოლოდ x= 0, არამედ ამისთვის x = 2 – მ... და მხოლოდ მაშინ, როცა მ= 2 გადაკვეთის ორივე წერტილი ემთხვევა. ნახ. 3 გვიჩვენებს შემთხვევას, როდესაც მ 2-ზე ნაკლები, ამიტომ მარჯვნივ ოარის მეორე გადაკვეთის წერტილი.

Რა FROM- ერთადერთი არავერტიკალური სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილში ოდა აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი გრაფიკთან და არა მისი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება. მართლაც, თუ სხვა გრაფიკებს მივმართავთ, მალე გაირკვევა, რომ ტანგენსის თვისება, რომელიც აღვნიშნეთ ზოგად შემთხვევაში, არ სრულდება. მაგალითად, ნახ. 4 ჩანს, რომ (1,1) წერტილთან ახლოს არის მრუდის გრაფიკი წ = x 3 კარგად არის მიახლოებული სწორი ხაზით RT, რომელსაც თუმცა ერთზე მეტი საერთო წერტილი აქვს მასთან. თუმცა, ჩვენ გვინდა განვიხილოთ RTტანგენსი ამ გრაფიკზე წერტილში რ... მაშასადამე, აუცილებელია ვიპოვოთ სხვა გზა ტანგენტის ხაზგასასმელად, ვიდრე ის, რაც ასე კარგად გვემსახურებოდა პირველ მაგალითში.

დავუშვათ, რომ წერტილის მეშვეობით ოდა თვითნებური წერტილი ქ = (თ,კ) მრუდის გრაფიკზე წ = 2x – x 2 (ნახ. 5) დახაზულია სწორი ხაზი (ე.წ. სეკანტი). მნიშვნელობების ჩანაცვლება მრუდის განტოლებაში x = თდა წ = კ, ჩვენ ამას მივიღებთ კ = 2თ – თ 2, შესაბამისად, სექანტის დახრილობა არის

თან ძალიან პატარა თმნიშვნელობა მახლოს 2. უფრო მეტიც, არჩევით თჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ საკმარისად ახლოს 0-თან მთვითნებურად ახლოს 2. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მ„მიდრეკილია ზღვრამდე“ უდრის 2-ს, როცა თმიდრეკილია ნულისკენ, ან რაც არ უნდა იყოს ზღვარი მუდრის 2-ს თმიდრეკილია ნულისკენ. ეს სიმბოლურად ასე იწერება:

შემდეგ წერტილის გრაფიკზე ტანგენსი ოგანისაზღვრება, როგორც სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილს ო, ამ ლიმიტის ტოლი დახრილობით. ტანგენტის ეს განმარტება ზოგადად გამოიყენება.

მოდით ვაჩვენოთ ამ მიდგომის უპირატესობა სხვა მაგალითით: იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა მრუდის გრაფიკზე. წ = 2x – x 2 თვითნებურ წერტილში პ = (x,წ), არ შემოვიფარგლებით უმარტივესი შემთხვევით, როცა პ = (0,0).

დაე ქ = (x + თ, წ + კ) - დიაგრამის მეორე წერტილი, რომელიც მდებარეობს მანძილზე თმარჯვნივ რ(სურ. 6). საჭიროა ფერდობის პოვნა კ/თსეკანტი PQ... Წერტილი ქარის მანძილზე

ღერძის ზემოთ X.

ფრჩხილების გაფართოებისას ვხვდებით:

ამ განტოლებიდან გამოკლება წ = 2x – x 2, ჩვენ ვპოულობთ ვერტიკალურ მანძილს წერტილიდან რაზრამდე ქ:

აქედან გამომდინარე, ფერდობზე მსეკანტი PQუდრის

ახლა რომ თმიდრეკილია ნულისკენ, მმიდრეკილია 2 - 2-მდე x; ბოლო მნიშვნელობას ავიღებთ, როგორც ტანგენსის დახრილობას PT... (იგივე შედეგი მიიღება თუ თიღებს უარყოფით მნიშვნელობებს, რაც შეესაბამება წერტილის არჩევანს ქმარცხნივ პ.) გაითვალისწინეთ, რომ ამისთვის x= 0 შედეგი იგივეა რაც წინა.

გამოთქმა 2 - 2 xეწოდება 2-ის წარმოებული x – x 2. ძველად წარმოებულს ასევე უწოდებდნენ „დიფერენციალურ თანაფარდობას“ და „დიფერენციალურ კოეფიციენტს“. თუ გამოხატულება 2 x – x 2 დანიშნეთ ვ(x), ე.ი.

მაშინ წარმოებული შეიძლება აღინიშნოს

ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობის გასარკვევად წ = ვ(x) რაღაც მომენტში, უნდა შეიცვალოს ვў ( x) ამ წერტილის შესაბამისი მნიშვნელობა X... ასე რომ, ფერდობზე ვ• (0) = 2 ამისთვის X = 0, ვ• (0) = 0 ამისთვის X= 1 და ვ• (2) = –2 ამისთვის X = 2.

წარმოებული ასევე აღინიშნება ზეў , დი/dx, D x yდა დუ.

ის ფაქტი, რომ მრუდი წ = 2x – xმოცემული წერტილის მახლობლად 2 პრაქტიკულად არ განსხვავდება მისი ტანგენტისგან ამ წერტილში, საშუალებას გვაძლევს ვისაუბროთ ტანგენსის დახრილობაზე, როგორც "მრუდის ფერდობზე" ტანგენციის წერტილში. ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ განსახილველი მრუდის დახრილობას (0,0) აქვს 2-ის დახრილობა. ასევე შეიძლება ითქვას, რომ x= 0 ცვლილების მაჩვენებელი წშედარებით xარის 2. წერტილში (2,0) ტანგენსის (და მრუდის) დახრილობა არის –2. (მინუს ნიშანი ნიშნავს, რომ როგორც xცვლადი წმცირდება.) (1,1) წერტილში ტანგენსი ჰორიზონტალურია. ჩვენ ვამბობთ მრუდს წ = 2x – x 2-ს აქვს სტაციონარული მნიშვნელობა ამ ეტაპზე.

მაღალი და დაბალი.

ჩვენ ახლახან ვაჩვენეთ, რომ მრუდი ვ(x) = 2x – x 2 დგას წერტილში (1,1). იმიტომ რომ ვў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), ცხადია, რომ ამისთვის x 1-ზე ნაკლები, ვў ( x) დადებითია და ამიტომ წიზრდება; ზე x, დიდი 1, ვў ( x) უარყოფითია და ამიტომ წმცირდება. ამრიგად, ნახ. 6 ასო მ, მნიშვნელობა ზეიზრდება წერტილამდე მ, სტაციონარული წერტილში მდა მცირდება წერტილის შემდეგ მ... ამ წერტილს ეწოდება "მაქსიმუმი", რადგან მნიშვნელობა ზეამ ეტაპზე აღემატება მის ნებისმიერ მნიშვნელობას მის საკმარისად მცირე სამეზობლოში. ანალოგიურად, "მინიმუმი" განისაზღვრება, როგორც წერტილი, რომლის სიახლოვეს ყველა მნიშვნელობა წჭარბობს ზესწორედ ამ მომენტში. შეიძლება ასევე მოხდეს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ წარმოებული ვ(x) რაღაც მომენტში და ქრება, მისი ნიშანი არ იცვლება ამ წერტილის სიახლოვეს. ასეთ წერტილს, რომელიც არ არის არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური, ეწოდება გადახრის წერტილი.

მაგალითად, ვიპოვოთ მრუდის სტაციონარული წერტილი

ამ ფუნქციის წარმოებული არის

და ქრება x = 0, X= 1 და X= –1; იმათ. პუნქტებზე (0,0), (1, –2/15) და (–1, 2/15). თუ X-1-ზე ოდნავ ნაკლები, მაშინ ვў ( x) უარყოფითია; თუ X-1-ზე ოდნავ მეტი, მაშინ ვў ( x) დადებითია. აქედან გამომდინარე, წერტილი (–1, 2/15) არის მაქსიმალური. ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ წერტილი (1, –2/15) არის მინიმალური. მაგრამ წარმოებული ვў ( x) უარყოფითია როგორც პუნქტამდე (0,0) და მის შემდეგ. მაშასადამე, (0,0) არის გადახრის წერტილი.

ჩატარდა მრუდის ფორმის შესწავლა, აგრეთვე ის ფაქტი, რომ მრუდი კვეთს ღერძს Xზე ვ(x) = 0 (ანუ ამისთვის X= 0 ან) საშუალებას გაძლევთ წარმოადგინოთ მისი გრაფიკი დაახლოებით ისე, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 7.

ზოგადად, თუ გამოვრიცხავთ უჩვეულო შემთხვევებს (მრუდები, რომლებიც შეიცავს სწორხაზოვან სეგმენტებს ან უსასრულო რაოდენობის მოხვევებს), არსებობს მრუდის ფარდობითი პოზიციისა და ტანგენსი ტანგენტის წერტილის სიახლოვეს ოთხი ვარიანტი. რ. (Სმ... ბრინჯი. 8 სადაც ტანგენტს აქვს დადებითი დახრილობა.)

1) წერტილის ორივე მხარეს რმრუდი დგას ტანგენტის ზემოთ (ნახ. 8, ა). ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ, რომ მრუდი წერტილშია რამოზნექილი ქვევით ან ჩაზნექილი.

2) წერტილის ორივე მხარეს რმრუდი მდებარეობს ტანგენტის ქვემოთ (ნახ. 8, ბ). ამ შემთხვევაში ნათქვამია, რომ მრუდი არის ამოზნექილი ზემოთ ან უბრალოდ ამოზნექილი.

3) და 4) მრუდი მდებარეობს წერტილის ერთ მხარეს ტანგენტის ზემოთ რდა ქვემოთ - მეორეზე. Ამ შემთხვევაში რ- დახრის წერტილი.

ღირებულებების შედარება ვў ( x) ორივე მხარეს რწერტილის ღირებულებით რ, შესაძლებელია განვსაზღვროთ ამ ოთხი შემთხვევიდან რომელს უნდა მოგვარდეს კონკრეტულ პრობლემაში.

აპლიკაციები.

ყოველივე ზემოთქმული პოულობს მნიშვნელოვან აპლიკაციებს სხვადასხვა სფეროში. მაგალითად, თუ სხეული ვერტიკალურად ზევით არის გადაყრილი, საწყისი სიჩქარით 200 ფუტი წამში, მაშინ სიმაღლე სრომელზედაც ისინი განთავსდებიან ტწამი საწყის წერტილთან შედარებით იქნება

ვმოქმედებთ ისევე, როგორც ჩვენ განხილულ მაგალითებში, ჩვენ ვპოულობთ

ეს მნიშვნელობა ქრება გ. წარმოებული ვў ( x) დადებითია c-ის მნიშვნელობამდე და უარყოფითი ამ დროის შემდეგ. აქედან გამომდინარე, სიზრდება, შემდეგ ხდება სტაციონარული და შემდეგ მცირდება. ეს არის ზევით გადაგდებული სხეულის მოძრაობის ზოგადი აღწერა. მისგან ვიცით, როდის აღწევს სხეული თავის უმაღლეს წერტილს. შემდგომი ჩანაცვლება ტ= 25/4 ინჩი ვ(ტ), ვიღებთ 625 ფუტს, მაქსიმალურ აწევას. ამ ამოცანაში ვў ( ტ) აქვს ფიზიკური მნიშვნელობა. ეს წარმოებული აჩვენებს სიჩქარეს, რომლითაც სხეული მოძრაობს დროის მომენტში ტ.

ახლა განვიხილოთ განაცხადის სხვა ტიპი (ნახ. 9). საჭიროა 75 სმ 2 ფართობის მუყაოს ფურცლიდან კვადრატული ფსკერის ყუთის დამზადება. რამდენად დიდი უნდა იყოს ეს ყუთი, რომ მაქსიმალური მოცულობა ჰქონდეს? თუ X- ყუთის ძირის გვერდი და თ- მისი სიმაღლე, მაშინ ყუთის მოცულობა არის ვ = x 2 თდა ზედაპირის ფართობი არის 75 = x 2 + 4xh... განტოლების გარდაქმნით მივიღებთ:

მომდინარეობს ვთანაბარი აღმოჩნდება

და ქრება X= 5. მაშინ

და ვ= 125/2. ფუნქციის გრაფიკი ვ = (75x – x 3) / 4 ნაჩვენებია ნახ. 10 (უარყოფითი მნიშვნელობები Xგამოტოვებული, როგორც ფიზიკური მნიშვნელობა არ აქვს ამ პრობლემაში).

წარმოებულები.

დიფერენციალური გამოთვლების მნიშვნელოვანი ამოცანაა ისეთი მეთოდების შექმნა, რომლებიც საშუალებას მოგცემთ სწრაფად და მოხერხებულად იპოვოთ წარმოებულები. მაგალითად, ამის გამოთვლა მარტივია

(მუდმივის წარმოებული, რა თქმა უნდა, ნულია.) ზოგადი წესის გამოტანა რთული არ არის:

სადაც ნ- ნებისმიერი მთელი რიცხვი ან წილადი. Მაგალითად,

(ეს მაგალითი გვიჩვენებს, თუ რამდენად სასარგებლოა წილადის მაჩვენებლები.)

აქ არის რამდენიმე ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულა:

ასევე არსებობს შემდეგი წესები: 1) თუ თითოეული ორი ფუნქცია გ(x) და ვ(x) აქვს წარმოებულები, მაშინ მათი ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს, ხოლო სხვაობის წარმოებული უდრის წარმოებულთა სხვაობას, ე.ი.

2) ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:

3) ორი ფუნქციის თანაფარდობის წარმოებულს აქვს ფორმა

4) მუდმივზე გამრავლებული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულზე გამრავლებული მუდმივის, ე.ი.

ხშირად ხდება, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები უნდა გამოითვალოს ეტაპობრივად. მაგალითად, ცოდვის გამოთვლა x 2, ჯერ უნდა ვიპოვოთ u = x 2 და შემდეგ გამოთვალეთ რიცხვის სინუსი u... ჩვენ ვპოულობთ ასეთი რთული ფუნქციების წარმოებულს ეგრეთ წოდებული "ჯაჭვის წესის" გამოყენებით:

ჩვენს მაგალითში ვ(u) = ცოდვა u, ვў ( u) = cos u, შესაბამისად,

ეს და სხვა მსგავსი წესები საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ჩამოწეროთ მრავალი ფუნქციის წარმოებულები.

ხაზოვანი მიახლოებები.

იმ ფაქტს, რომ წარმოებულის ცოდნით, ხშირ შემთხვევაში შეგვიძლია შევცვალოთ ფუნქციის გრაფიკი მისი ტანგენტის რომელიმე წერტილის მახლობლად ამ ეტაპზე, დიდი მნიშვნელობა აქვს, რადგან სწორი ხაზებით მუშაობა უფრო ადვილია.

ეს იდეა პირდაპირ გამოყენებას პოულობს ფუნქციების სავარაუდო მნიშვნელობების გამოთვლაში. მაგალითად, საკმაოდ რთულია მნიშვნელობის გამოთვლა როდის x= 1.033. მაგრამ შეგიძლიათ ისარგებლოთ იმით, რომ რიცხვი 1.033 ახლოს არის 1-თან და ეს. დახურვა x= 1 შეგვიძლია შევცვალოთ ტანგენტის მრუდის გრაფიკი სერიოზული შეცდომის გარეშე. ასეთი ტანგენტის დახრილობა უდრის წარმოებულის მნიშვნელობას ( x 1/3) • = (1/3) x–2/3 x = 1-ზე, ე.ი 1/3. ვინაიდან წერტილი (1,1) დევს მრუდზე და ტანგენსის დახრილობა მრუდზე ამ წერტილში არის 1/3, ტანგენსის განტოლებას აქვს ფორმა

ამ ხაზზე ზე X = 1,033

მიღებული ღირებულება წძალიან ახლოს უნდა იყოს ნამდვილ ღირებულებასთან წ; და, მართლაც, ეს მხოლოდ 0.00012-ით მეტია ვიდრე სიმართლე. მათემატიკური ანალიზის დროს შემუშავებულია მეთოდები ამ სახის წრფივი დაახლოების სიზუსტის გასაუმჯობესებლად. ეს მეთოდები უზრუნველყოფს ჩვენი სავარაუდო გამოთვლების სანდოობას.

ახლა აღწერილი პროცედურა სასარგებლო აღნიშვნას გვთავაზობს. დაე პ- ფუნქციის გრაფიკის შესაბამისი წერტილი ვცვლადი Xდა დაუშვით ფუნქცია ვ(x) დიფერენცირებადია. შეცვალეთ მრუდის გრაფიკი წერტილთან ახლოს რმასზე ტანგენტი, დახატული ამ ეტაპზე. თუ Xიცვლება ოდენობით თ, მაშინ ტანგენსის ორდინატი შეიცვლება მნიშვნელობით თჰ ვ ў ( x). თუ თარის ძალიან მცირე, მაშინ ეს უკანასკნელი მნიშვნელობა არის კარგი მიახლოება ორდინატში ჭეშმარიტ ცვლილებასთან წგრაფიკა. თუ ნაცვლად თჩვენ დავწერთ სიმბოლოს dx(ეს არ არის პროდუქტი!), არამედ ცვლილება ორდინატში წაღნიშნავენ დი, შემდეგ მივიღებთ დი = ვ ў ( x)dx, ან დი/dx = ვ ў ( x) (სმ... ბრინჯი. თერთმეტი). ამიტომ, ნაცვლად Dyან ვ ў ( x) სიმბოლო ხშირად გამოიყენება წარმოებულის აღსანიშნავად დი/dx... ამ აღნიშვნის მოხერხებულობა ძირითადად დამოკიდებულია ჯაჭვის წესის მკაფიო იერსახეზე (კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაცია); ახალ ნოტაციაში ეს ფორმულა ასე გამოიყურება:

სადაც იგულისხმება, რომ ზედამოკიდებულია u, ა uთავის მხრივ დამოკიდებულია X.

სიდიდე დიდიფერენციალური ეწოდება ზე; სინამდვილეში ეს დამოკიდებულია ორიცვლადები, კერძოდ: საწყისი Xდა ნამატები dx... როცა ნამატი dxძალიან მცირე, მასშტაბები დიახლოს არის მნიშვნელობის შესაბამის ცვლილებასთან წ... მაგრამ ვივარაუდოთ, რომ ნამატი dxცოტაა, არ არის საჭირო.

წარმოებული ფუნქცია წ = ვ(x) აღვნიშნეთ ვ ў ( x) ან დი/dx... ხშირად შესაძლებელია წარმოებულის წარმოებულის აღება. შედეგს ეწოდება მეორე წარმოებული ვ (x) და აღინიშნა ვ ўў ( x) ან დ 2 წ/dx 2. მაგალითად, თუ ვ(x) = x 3 – 3x 2, მაშინ ვ ў ( x) = 3x 2 – 6xდა ვ ўў ( x) = 6x- 6. მსგავსი აღნიშვნები გამოიყენება უმაღლესი რიგის წარმოებულებისთვის. თუმცა, ტირეების დიდი რაოდენობის თავიდან ასაცილებლად (წარმოებულის რიგის ტოლი), მეოთხე წარმოებული (მაგალითად) შეიძლება დაიწეროს როგორც ვ (4) (x), და წარმოებული ნ-მეორე შეკვეთა როგორც ვ (ნ) (x).

შეიძლება აჩვენოს, რომ წერტილის მრუდი ამოზნექილია ქვემოთ, თუ მეორე წარმოებული დადებითია, და ამოზნექილი ზემოთ, თუ მეორე წარმოებული უარყოფითია.

თუ ფუნქციას აქვს მეორე წარმოებული, მაშინ რაოდენობის ცვლილება წნამატის შესაბამისი dxცვლადი X, შეიძლება გამოითვალოს დაახლოებით ფორმულით

ეს მიახლოება ზოგადად უკეთესია, ვიდრე დიფერენციალური ვў ( x)dx... იგი შეესაბამება მრუდის ნაწილის პარაბოლით შეცვლას და არა სწორი ხაზით.

თუ ფუნქცია ვ(x) არის უმაღლესი რიგის წარმოებულები, მაშინ

დარჩენილი არის

სადაც x- რაღაც რიცხვი შორის xდა x + dx... ზემოაღნიშნულ შედეგს ეწოდება ნარჩენი ტეილორის ფორმულა. თუ ვ(x) აქვს ყველა ბრძანების წარმოებულები, მაშინ ჩვეულებრივ R n® 0 ამისთვის ნ ® Ґ .

ინტეგრალური გამოთვლა

კვადრატები.

მრუდი სიბრტყის ფიგურების არეების შესწავლისას ვლინდება მათემატიკური ანალიზის ახალი ასპექტები. ძველი ბერძნებიც კი ცდილობდნენ ასეთი პრობლემების გადაჭრას, ვისთვისაც, მაგალითად, წრის ფართობის განსაზღვრა ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანა იყო. ამ პრობლემის გადაჭრაში დიდ წარმატებას მიაღწია არქიმედემ, რომელმაც ასევე მოახერხა პარაბოლური სეგმენტის ფართობის პოვნა (სურ. 12). ძალიან რთული მსჯელობის დახმარებით არქიმედესმა დაამტკიცა, რომ პარაბოლური სეგმენტის ფართობი არის აღწერილი მართკუთხედის ფართობის 2/3 და, შესაბამისად, ამ შემთხვევაში უდრის (2/3) (16) = 32/3. როგორც მოგვიანებით ვნახავთ, ეს შედეგი ადვილად მიიღება მათემატიკური ანალიზის მეთოდებით.

ნიუტონისა და ლაიბნიცის წინამორბედებმა, ძირითადად კეპლერმა და კავალიერიმ, გადაჭრეს მრუდი ფიგურების ფართობების გამოთვლის პრობლემა მეთოდის გამოყენებით, რომელსაც ძნელად შეიძლება ეწოდოს ლოგიკური, მაგრამ რომელიც აღმოჩნდა უკიდურესად ნაყოფიერი. როდესაც უოლისმა 1655 წელს გააერთიანა კეპლერისა და კავალიერის მეთოდები დეკარტის მეთოდებთან (ანალიტიკური გეომეტრია) და გამოიყენა ახლად დაბადებული ალგებრა, ნიუტონის გამოჩენის ეტაპი სრულიად მომზადდა.

უოლისმა დაყო ფიგურა, რომლის ფართობის გამოთვლა იყო საჭირო, ძალიან ვიწრო ზოლებად, რომელთაგან თითოეული დაახლოებით მართკუთხედად ითვლებოდა. შემდეგ მან დაამატა მიახლოებითი მართკუთხედების ფართობები და, უმარტივეს შემთხვევებში, მიიღო მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიისწრაფვის მართკუთხედების ფართობების ჯამი, როდესაც ზოლების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. ნახ. 13 გვიჩვენებს მართკუთხედებს, რომლებიც შეესაბამება მრუდის ქვეშ არსებული ფართობის ზოლებად დაყოფას წ = x 2 .

მთავარი თეორემა.

ნიუტონისა და ლაიბნიცის დიდმა აღმოჩენამ შესაძლებელი გახადა ტერიტორიების ჯამის ზღვარზე გადასვლის შრომატევადი პროცესის გამორიცხვა. ეს გაკეთდა კვადრატის კონცეფციის ახალი ხედვის წყალობით. საქმე იმაშია, რომ ჩვენ უნდა წარმოვიდგინოთ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი, როგორც გენერირებული ორდინატის მიერ მარცხნიდან მარჯვნივ გადაადგილებისას და ვიკითხოთ, რამდენად სწრაფად იცვლება ორდინატების მიერ ამოღებული ფართობი. ამ კითხვაზე პასუხის გასაღებს მივიღებთ, თუ გავითვალისწინებთ ორ განსაკუთრებულ შემთხვევას, რომლებშიც ტერიტორია წინასწარ არის ცნობილი.

დავიწყოთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ არსებული ფართობით წ = 1 + xრადგან ამ შემთხვევაში ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია ელემენტარული გეომეტრიის გამოყენებით.

დაე ა(x) არის სიბრტყის ნაწილი, რომელიც ჩაკეტილია სწორ ხაზს შორის წ = 1 + xდა სეგმენტი OQ(სურ. 14). მართვის დროს QPმარჯვენა ტერიტორია ა(x) იზრდება. რამდენად სწრაფად? ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა რთული არ არის, რადგან ვიცით, რომ ტრაპეციის ფართობი უდრის მისი სიმაღლის ნამრავლს მისი ფუძეების ნახევარი ჯამის მიხედვით. აქედან გამომდინარე,

ფართობის ცვლილების მაჩვენებელი ა(x) განისაზღვრება მისი წარმოებულით

ჩვენ ამას ვხედავთ აў ( x) ემთხვევა ორდინატს ზექულები რ... ეს დამთხვევაა? შევეცადოთ შევამოწმოთ პარაბოლა, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 15. მოედანი ა (x) პარაბოლის ქვეშ ზე = X 2 დიაპაზონში 0-დან Xუდრის ა(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. ამ ფართობის ცვლილების სიჩქარე განისაზღვრება გამოხატულებით

რომელიც ზუსტად ემთხვევა ორდინატს ზემოძრავი წერტილი რ.

თუ ვივარაუდებთ, რომ ეს წესი ზოგადად სრულდება ისე, რომ

არის ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ არსებული ფართობის ცვლილების სიჩქარე წ = ვ(x), მაშინ ეს შეიძლება გამოყენებულ იქნას გამოთვლებისთვის და სხვა სფეროებისთვის. ფაქტობრივად, თანაფარდობა აў ( x) = ვ(x) გამოხატავს ფუნდამენტურ თეორემას, რომელიც შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: წარმოებული, ან ფართობის ცვლილების სიჩქარე ფუნქციის მიხედვით. X, უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ვ (x) წერტილში X.

მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ მდებარე ფართობის პოვნა წ = x 3 0-დან X(სურ. 16), ვსვამთ

შესაძლო პასუხია:

რადგან წარმოებული X 4/4 ნამდვილად უდრის X 3. უფრო მეტიც, ა(x) უდრის ნულს ამისთვის X= 0, როგორც ეს უნდა იყოს თუ ა(x) მართლაც ტერიტორიაა.

მათემატიკური ანალიზი ადასტურებს, რომ ზემოაღნიშნული გამოთქმის გარდა სხვა პასუხია ა(x), არ არსებობს. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს განცხადება დამაჯერებელია შემდეგი ევრისტიკული (არა მკაცრი) მსჯელობის გამოყენებით. დავუშვათ, არსებობს მეორე გამოსავალი ვ(x). თუ ა(x) და ვ(x) "დაწყება" ერთდროულად ნულოვანი მნიშვნელობიდან X= 0 და მუდმივად იცვლება ერთი და იგივე სიჩქარით, შემდეგ მათი მნიშვნელობები არ არის Xარ შეიძლება გახდეს განსხვავებული. ისინი ყველგან ერთნაირი უნდა იყვნენ; ამიტომ გამოსავალი მხოლოდ ერთია.

როგორ შეიძლება თანაფარდობის გამართლება? აў ( x) = ვ(x) ზოგადად? ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია მხოლოდ ფართობის ცვლილების სიჩქარის შესწავლით, როგორც ფუნქცია Xზოგადად. დაე მ- ფუნქციის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა ვ (x) დიაპაზონში დან Xადრე ( x + თ), ა მ- ამ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა იმავე ინტერვალში. შემდეგ ფართობის ზრდა საიდან გადის Xმდე ( x + თ) უნდა იყოს ჩასმული ორი მართკუთხედის უბნებს შორის (სურ. 17). ორივე მართკუთხედის ფუძეები ტოლია თ... პატარა ოთხკუთხედს აქვს სიმაღლე მდა ფართობი mh, უფრო დიდი, შესაბამისად, მდა მჰ... ნაკვეთზე ფართობის წინააღმდეგ X(სურ. 18) ჩანს, რომ როდესაც აბსციზა იცვლება თ, ორდინატის (ანუ ფართობის) ღირებულება იზრდება მათ შორის მოთავსებული ოდენობით mhდა მჰ... ამ გრაფაში სეკანტური დახრილობა არის შორის მდა მ... რა ხდება როდის თმიდრეკილია ნულისკენ? თუ ფუნქციის გრაფიკი წ = ვ(x) არის უწყვეტი (ე.ი. არ შეიცავს წყვეტებს), მაშინ მ, და მმიდრეკილია ვ(x). აქედან გამომდინარე, ფერდობზე აў ( x) ფართობის ნაკვეთი ფუნქციის მიხედვით Xუდრის ვ(x). ზუსტად ასეთ დასკვნამდე უნდა მისულიყო.

ლაიბნიცმა შემოგვთავაზა მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი წ = ვ(x) 0-დან ადანიშნულება

მკაცრი მიდგომით, ეს ეგრეთ წოდებული განსაზღვრული ინტეგრალი უნდა განისაზღვროს, როგორც გარკვეული თანხების ზღვარი უოლისის წესით. ზემოაღნიშნული შედეგის გათვალისწინებით, ცხადია, რომ ეს ინტეგრალი გამოითვლება იმ პირობით, რომ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ასეთი ფუნქცია ა(x), რომელიც ქრება X= 0 და აქვს წარმოებული აў ( x) უდრის ვ (x). ასეთი ფუნქციის პოვნას ჩვეულებრივ ინტეგრაციას უწოდებენ, თუმცა უფრო მიზანშეწონილი იქნება ამ ოპერაციას ეწოდოს ანტიდიფერენციაცია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ის, გარკვეული გაგებით, არის დიფერენციაციის შებრუნებული. მრავალწევრის შემთხვევაში ინტეგრაცია მარტივია. მაგალითად, თუ

რომლის შემოწმებაც ადვილია დიფერენცირებით ა(x).

ფართობის გამოსათვლელად ა 1 მრუდის ქვეშ წ = 1 + x + x 2/2, ჩასმული ორდინატებს შორის 0 და 1, ჩვენ უბრალოდ ვწერთ

და ჩანაცვლება X= 1, ვიღებთ ა 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. მოედანი ა(x) 0-დან 2-მდე უდრის ა 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. როგორც ჩანს ნახ. 19, ფართობი 1 და 2 ორდინატებს შორის არის ა 2 – ა 1 = 11/3. ის ჩვეულებრივ იწერება როგორც განსაზღვრული ინტეგრალი

ტომი.

მსგავსი მსჯელობა საოცრად მარტივს ხდის რევოლუციის ორგანოების მოცულობების გამოთვლას. მოდით ვაჩვენოთ ეს ბურთის მოცულობის გამოთვლის მაგალითით, კიდევ ერთი კლასიკური პრობლემა, რომლის გადაჭრაც ძველმა ბერძნებმა მათთვის ცნობილი მეთოდების გამოყენებით დიდი გაჭირვებით მოახერხეს.

გადაატრიალეთ სიბრტყის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია რადიუსის წრის მეოთხედში რ, ღერძის გარშემო 360 ° კუთხით X... შედეგად ვიღებთ ნახევარსფეროს (სურ. 20), რომლის მოცულობასაც აღვნიშნავთ ვ(x). საჭიროა განისაზღვროს რა კურსით ვ(x) მატებასთან ერთად x... გადაადგილება ეხლა Xრათა X + თ, ადვილია იმის შემოწმება, რომ მოცულობის ზრდა მოცულობაზე ნაკლებია გვ(რ 2 – x 2)თწრიული ცილინდრის რადიუსი და სიმაღლე თდა მეტი მოცულობა გვ[რ 2 – (x + თ) 2 ]თცილინდრის რადიუსი და სიმაღლე თ... მაშასადამე, ფუნქციის გრაფიკზე ვ(x) კვეთის დახრილობა შორისაა გვ(რ 2 – x 2) და გვ[რ 2 – (x + თ) 2]. Როდესაც თმიდრეკილია ნულისკენ, ფერდობზე მიდრეკილია

ზე x = რვიღებთ

ნახევარსფეროს მოცულობისთვის და, შესაბამისად, 4 გვ რ 3/3 მთელი ბურთის მოცულობისთვის.

მსგავსი მეთოდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მოსახვევების სიგრძე და მრუდი ზედაპირების არეები. მაგალითად, თუ ა(x) - რკალის სიგრძე პიარინახ. 21, მაშინ ჩვენი ამოცანაა გამოვთვალოთ აў( x). ევრისტიკულ დონეზე ვიყენებთ ხრიკს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს არ მივმართოთ ჩვეულ გადასასვლელს ზღვრამდე, რაც აუცილებელია შედეგის მკაცრი დასამტკიცებლად. დავუშვათ, რომ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ა(x) წერტილში რიგივეა, რაც მრუდი რომ შეიცვალოს მისი ტანგენტით PTწერტილში პ... მაგრამ ლეღვიდან. 21 პირდაპირ ჩანს ნაბიჯის გადადგმისას თწერტილიდან მარჯვნივ ან მარცხნივ Xგასწვრივ RTმნიშვნელობა ა(x) იცვლება

მაშასადამე, ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ა(x) არის

თავად ფუნქციის პოვნა ა(x), საჭიროა მხოლოდ გამოსახულების ინტეგრირება თანასწორობის მარჯვენა მხარეს. გამოდის, რომ ფუნქციების უმეტესობის ინტეგრირება რთულია. ამრიგად, ინტეგრალური გაანგარიშების მეთოდების შემუშავება მათემატიკური ანალიზის დიდ ნაწილს წარმოადგენს.

ანტიდერივატივები.

თითოეული ფუნქცია, რომლის წარმოებული უდრის მოცემულ ფუნქციას ვ(x), ეწოდება ანტიწარმოებულს (ან პრიმიტიულს). ვ(x). Მაგალითად, X 3/3 არის ფუნქციის ანტიდერივატი X 2, მას შემდეგ, რაც ( x 3/3) ў = x 2. Რა თქმა უნდა X 3/3 არ არის ფუნქციის ერთადერთი ანტიდერივატი X 2 წლიდან x 3 /3 + Cარის ასევე წარმოებული X 2 ნებისმიერი მუდმივისთვის თან... თუმცა, შემდგომში ჩვენ დავთანხმდებით ამ დანამატის მუდმივების გამოტოვებაზე. Ზოგადად

სადაც ნარის დადებითი მთელი რიცხვი, ვინაიდან ( x n + 1/(ნ+ 1)) ў = x n... მიმართება (1) მოქმედებს კიდევ უფრო ზოგადი გაგებით, თუ ნჩაანაცვლეთ ნებისმიერი რაციონალური რიცხვით კ-1-ის გარდა.

თვითნებური ანტიდერივატიული ფუნქცია მოცემული ფუნქციისთვის ვ(x) ჩვეულებრივ უწოდებენ განუსაზღვრელ ინტეგრალს ვ(x) და აღნიშნეთ როგორც

მაგალითად, მას შემდეგ, რაც (ცოდვა x) ў = cos xფორმულა მოქმედებს

ხშირ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს მოცემული ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის ფორმულა, ის გვხვდება განუსაზღვრელი ინტეგრალების მრავალ ფართოდ გამოქვეყნებულ ცხრილებში. ელემენტარული ფუნქციების ინტეგრალები ტაბულურია (მათ შორისაა სიმძლავრეები, ლოგარითმები, ექსპონენციალური ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, აგრეთვე მათი სასრული კომბინაციები, რომლებიც მიიღება შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციების გამოყენებით). ტაბულური ინტეგრალების გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ უფრო რთული ფუნქციების ინტეგრალები. განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლის მრავალი გზა არსებობს; მათგან ყველაზე გავრცელებულია ცვლადი ჩანაცვლების ან ჩანაცვლების მეთოდი. ის მდგომარეობს იმაში, რომ თუ გვინდა ჩავანაცვლოთ განუსაზღვრელ ინტეგრალში (2) xრაღაც დიფერენცირებად ფუნქციაზე x = გ(u), რომ ინტეგრალი არ შეიცვალოს, აუცილებელია xშეცვალა გў ( u)დუ... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თანასწორობა

(ჩანაცვლება 2 x = u, საიდანაც 2 dx = დუ).

აქ არის კიდევ ერთი ინტეგრაციის მეთოდი - ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი. იგი ეფუძნება უკვე ცნობილ ფორმულას

მარცხენა და მარჯვენა მხარეების ინტეგრირება და ამის გათვალისწინებით

ამ ფორმულას ეწოდება ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა.

მაგალითი 2. საჭიროა მოძებნა. მას შემდეგ, რაც cos x= (ცოდვა x) ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს

მდებარეობა (5), პარამეტრი u = xდა ვ= ცოდვა x, ვიღებთ

და მას შემდეგ, რაც (–cos x) ў = ცოდვა xჩვენ ვპოულობთ რომ და

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ ძალიან ვრცელი თემის ძალიან მოკლე შესავალით, რომელშიც დაგროვდა უამრავი მახვილგონივრული ტექნიკა.

ორი ცვლადის ფუნქციები.

მრუდის გამო წ = ვ(x) განვიხილეთ ორი ამოცანა.

1) იპოვეთ მრუდის ტანგენსის დახრილობა მოცემულ წერტილში. ეს პრობლემა მოგვარებულია წარმოებულის მნიშვნელობის გამოთვლით ვў ( x) მითითებულ წერტილში.

2) იპოვეთ ფართობი მრუდის ქვეშ ღერძის სეგმენტის ზემოთ Xესაზღვრება ვერტიკალური ხაზებით X = ადა X = ბ... ეს პრობლემა წყდება განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლით.

თითოეულ ამ პრობლემას აქვს ანალოგი ზედაპირის შემთხვევაში ზ = ვ(x,წ).

1) იპოვნეთ მოცემულ წერტილში ზედაპირის ტანგენსი სიბრტყე.

2) იპოვეთ მოცულობა სიბრტყის ნაწილის ზემოთ ზედაპირის ქვემოთ ჰუშემოსაზღვრულია მრუდით თან, ხოლო გვერდიდან - სიბრტყის პერპენდიკულარები xyგადის სასაზღვრო მრუდის წერტილებში თან (სმ... ბრინჯი. 22).

შემდეგი მაგალითები აჩვენებს, თუ როგორ სრულდება ეს ამოცანები.

მაგალითი 4. იპოვეთ ზედაპირის ტანგენსი

წერტილში (0,0,2).

სიბრტყე განისაზღვრება, თუ მოცემულია მასში მყოფი ორი გადამკვეთი ხაზი. ამ სტრიქონებიდან ერთ-ერთი ( ლ 1) ჩავდივართ თვითმფრინავში xz (ზე= 0), მეორე ( ლ 2) - თვითმფრინავში yz (x = 0) (სმ... ბრინჯი. 23).

პირველ რიგში, თუ ზე= 0, მაშინ ზ = ვ(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. წარმოებულის მიმართ Xაღინიშნება ვў x(x,0) = –2 – 6x, ზე X= 0-ს აქვს –2 მნიშვნელობა. პირდაპირ ლ 1 მოცემულია განტოლებებით ზ = 2 – 2x, ზე= 0 - ტანგენტი თან 1, ზედაპირის სიბრტყესთან გადაკვეთის ხაზები ზე= 0. ანალოგიურად, თუ X= 0, მაშინ ვ(0,წ) = 2 – წ – წ 2, და წარმოებულის მიმართ ზეფორმა აქვს

იმიტომ რომ ვў წ(0,0) = –1, მრუდი თან 2 - ზედაპირის გადაკვეთის ხაზი თვითმფრინავთან yz- აქვს ტანგენსი ლ 2 მოცემულია განტოლებებით ზ = 2 – წ, X= 0. სასურველი ტანგენტის სიბრტყე შეიცავს ორივე სწორ ხაზს ლ 1 და ლ 2 და იწერება განტოლებით

ეს არის თვითმფრინავის განტოლება. გარდა ამისა, ჩვენ ვიღებთ სწორ ხაზებს ლ 1 და ლ 2, პარამეტრი, შესაბამისად, ზე= 0 და X = 0.

ის ფაქტი, რომ განტოლება (7) ნამდვილად განსაზღვრავს ტანგენტის სიბრტყეს, შეიძლება დადასტურდეს ევრისტიკულ დონეზე, თუ შევამჩნევთ, რომ ეს განტოლება შეიცავს (6) განტოლებაში შეტანილ პირველი რიგის წევრებს და რომ მეორე რიგის ტერმინები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმა -. ვინაიდან ეს გამოთქმა უარყოფითია ყველა მნიშვნელობისთვის Xდა ზეგარდა ამისა X = ზე= 0, ზედაპირი (6) ყველგან მდებარეობს სიბრტყის ქვემოთ (7), გარდა წერტილისა რ= (0,0,0). შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ზედაპირი (6) არის ამოზნექილი ზემოთ მოცემულ წერტილში რ.

მაგალითი 5. იპოვეთ ზედაპირის ტანგენსი ზ = ვ(x,წ) = x 2 – წ 2 წარმოშობაში 0.

ზედაპირზე ზე= 0 გვაქვს: ზ = ვ(x,0) = x 2 და ვў x(x,0) = 2x... Ზე თან 1, გადაკვეთის ხაზები, ზ = x 2. წერტილში ოფერდობზე არის ვў x(0,0) = 0. თვითმფრინავში X= 0 გვაქვს: ზ = ვ(0,წ) = –წ 2 და ვў წ(0,წ) = –2წ... Ზე თან 2, გადაკვეთის ხაზები, ზ = –წ 2. წერტილში ომრუდის დახრილობა თან 2 ტოლია ვў წ(0,0) = 0. ვინაიდან ტანგენტები თან 1 და თან 2 არის ცული Xდა ზე, მათ შემცველი ტანგენტური სიბრტყე არის სიბრტყე ზ = 0.

თუმცა, წარმოშობის სიახლოვეს, ჩვენი ზედაპირი არ არის ტანგენტის სიბრტყის ერთ მხარეს. მართლაც, მრუდი თან 1 ყველგან, გარდა 0 წერტილისა, დგას ტანგენტის სიბრტყესა და მრუდის ზემოთ თან 2 - შესაბამისად მის ქვემოთ. ზედაპირი კვეთს ტანგენტის სიბრტყეს ზ= 0 სწორი ხაზებით ზე = Xდა ზე = –X... ამბობენ, რომ ასეთ ზედაპირს სათავეში უნაგირის წერტილი აქვს (სურ. 24).

ნაწილობრივი წარმოებულები.

წინა მაგალითებში ჩვენ გამოვიყენეთ წარმოებულები ვ (x,წ) ზე Xდა მიერ ზე... მოდით განვიხილოთ ასეთი წარმოებულები უფრო ზოგადად. თუ გვაქვს ორი ცვლადის ფუნქცია, მაგალითად, ფ(x,წ) = x 2 – xy, მაშინ შეგვიძლია თითოეულ წერტილში განვსაზღვროთ მისი ორი "ნაწილობრივი წარმოებული", ერთი ფუნქციის დიფერენცირებით Xდა დაფიქსირება ზე, მეორეს მიმართ დიფერენცირებით ზედა დაფიქსირება X... ამ წარმოებულებიდან პირველი აღინიშნება როგორც ვў x(x,წ) ან ¶ ვ/¶ x; მეორე - როგორ ვვ ў წ... თუ ორივე შერეული წარმოებული (მით Xდა ზე, ზე ზედა X) არის უწყვეტი, შემდეგ ¶ 2 ვ/¶ x¶ წ= ¶ 2 ვ/¶ წ¶ x; ჩვენს მაგალითში ¶ 2 ვ/¶ x¶ წ= ¶ 2 ვ/¶ წ¶ x = –1.

ნაწილობრივი წარმოებული ვў x(x,წ) მიუთითებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეზე ვწერტილში ( x,წ) გაზრდის მიმართულებით X, ა ვў წ(x,წ) არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ვაღმავალი მიმართულება ზე... ფუნქციის შეცვლის სიჩქარე ვწერტილში ( X,ზე) სწორი ხაზის მიმართულებით, რომელიც ქმნის კუთხეს ქღერძის დადებითი მიმართულებით X, ეწოდება ფუნქციის წარმოებულს ვმიმართ; მისი მნიშვნელობა არის ფუნქციის ორი ნაწილობრივი წარმოებულის კომბინაცია f ტანგენტის სიბრტყეში თითქმის ტოლია (პატარისთვის dxდა დი) ჭეშმარიტი ცვლილება ზზედაპირზე, მაგრამ დიფერენციალური გამოთვლა ჩვეულებრივ უფრო ადვილია.

ფორმულა, რომელიც უკვე განვიხილეთ ცვლადის ცვლილების მეთოდიდან, რომელიც ცნობილია როგორც რთული ფუნქციის ან ჯაჭვის წესის წარმოებული, ერთგანზომილებიან შემთხვევაში, როდესაც ზედამოკიდებულია X, ა Xდამოკიდებულია ტ, აქვს ფორმა:

ორი ცვლადის ფუნქციებისთვის, მსგავსი ფორმულაა:

ადვილია ნაწილობრივი დიფერენციაციის ცნებებისა და აღნიშვნების განზოგადება უფრო მაღალ ზომებზე. კერძოდ, თუ ზედაპირი ირიბად მოცემულია განტოლებით ვ(x,წ,ზ) = 0, ზედაპირზე ტანგენსი სიბრტყის განტოლებას შეიძლება მივცეთ უფრო სიმეტრიული ფორმა: ტანგენსი სიბრტყის განტოლება წერტილში ( x (x 2/4)], შემდეგ ის ინტეგრირებულია X 0-დან 1-მდე. საბოლოო შედეგი არის 3/4.

ფორმულა (10) ასევე შეიძლება განიმარტოს, როგორც ეგრეთ წოდებული ორმაგი ინტეგრალი, ე.ი. როგორც ელემენტარული „უჯრედების“ მოცულობების ჯამის ზღვარი. თითოეულ ასეთ უჯრედს აქვს D ბაზა xდ წდა სიმაღლე, რომელიც ტოლია ზედაპირის სიმაღლეს მართკუთხა ფუძის რომელიმე წერტილზე ( სმ... ბრინჯი. 26). შეიძლება აჩვენოს, რომ ორივე თვალსაზრისი ფორმულაზე (10) ექვივალენტურია. ორმაგი ინტეგრალები გამოიყენება სიმძიმის ცენტრებისა და მრავალი მომენტის საპოვნელად მექანიკაში.

მათემატიკური აპარატის უფრო მკაცრი დასაბუთება.

აქამდე ჩვენ წარმოვადგინეთ გაანგარიშების ცნებები და მეთოდები ინტუიციურ დონეზე და არ ვყოყმანობდით გეომეტრიულ ფორმებს მივმართოთ. ჩვენთვის რჩება მოკლედ განვიხილოთ უფრო მკაცრი მეთოდები, რომლებიც გაჩნდა მე-19 და მე-20 საუკუნეებში.

მე-19 საუკუნის დასაწყისში, როდესაც დასრულდა თავდასხმისა და თავდასხმის ეპოქა „მათემატიკური ანალიზის შექმნაში“, წინა პლანზე წამოიჭრა მისი გამართლების საკითხები. აბელის, კოშის და მრავალი სხვა გამოჩენილი მათემატიკოსის ნაშრომებში ზუსტად იყო განსაზღვრული ცნებები "ლიმიტი", "უწყვეტი ფუნქცია", "თანამყარი სერია". ეს აუცილებელი იყო მათემატიკური ანალიზის საფუძვლებში ლოგიკური წესრიგის ჩამოსაყალიბებლად, რათა ის სანდო კვლევის ინსტრუმენტად გამხდარიყო. საფუძვლიანი დასაბუთების საჭიროება კიდევ უფრო აშკარა გახდა მას შემდეგ, რაც 1872 წელს ვეიერშტრასმა აღმოაჩინა ყველგან უწყვეტი, მაგრამ არსად დიფერენცირებადი ფუნქციები (ასეთი ფუნქციების გრაფიკს აქვს შესვენება თითოეულ წერტილში). ამ შედეგმა დიდი შთაბეჭდილება მოახდინა მათემატიკოსებზე, რადგან აშკარად ეწინააღმდეგებოდა მათ გეომეტრიულ ინტუიციას. გეომეტრიული ინტუიციის არასანდოობის კიდევ უფრო თვალსაჩინო მაგალითი იყო დ.პეანოს მიერ აგებული უწყვეტი მრუდი, რომელიც მთლიანად ავსებს გარკვეულ კვადრატს, ე.ი. მისი ყველა წერტილის გავლით. ამ და სხვა აღმოჩენებმა დასაბამი მისცა მათემატიკის „არითმეტიზაციის“ პროგრამას, ე.ი. რაც უფრო საიმედო გახდება ყველა მათემატიკური ცნების დასაბუთებით რიცხვის ცნების გამოყენებით. მათემატიკის საფუძვლების შესახებ ნაშრომებში სიცხადისგან თითქმის პურიტანულ თავშეკავებას თავისი ისტორიული დასაბუთება ჰქონდა.

ლოგიკური სიმკაცრის თანამედროვე კანონების მიხედვით, დაუშვებელია მრუდის ქვეშ არსებულ ფართობზე საუბარი. წ = ვ(x) და ღერძის სეგმენტის ზემოთ X, თუნდაც ვ- უწყვეტი ფუნქცია, ჯერ არ არის განსაზღვრული ტერმინი „ტერიტორიის“ ზუსტი მნიშვნელობა და არ არის დადგენილი, რომ ამ გზით განსაზღვრული ტერიტორია ნამდვილად არსებობს. ეს პრობლემა 1854 წელს წარმატებით გადაჭრა ბ.რიმანმა, რომელმაც ზუსტად განსაზღვრა განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება. მას შემდეგ, განსაზღვრული ინტეგრალის ცნების მიღმა შეჯამების იდეა მრავალი ღრმა კვლევისა და განზოგადების საგანი იყო. შედეგად, დღეს შესაძლებელია განსაზღვრულ ინტეგრალს მნიშვნელობის მინიჭება, თუნდაც ინტეგრანტი ყველგან შეწყვეტილი იყოს. ინტეგრაციის ახალმა ცნებებმა, რომელთა შექმნაში დიდი წვლილი შეიტანეს ა. ლებეგმა (1875–1941) და სხვა მათემატიკოსებმა, გაზარდეს თანამედროვე მათემატიკური ანალიზის ძალა და სილამაზე.

ძნელად მიზანშეწონილი იქნებოდა ყველა ამ და სხვა კონცეფციის დეტალებში შესვლა. ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ ზღვრისა და განსაზღვრული ინტეგრალის მკაცრი განსაზღვრებით.

დასასრულს, ვთქვათ, რომ მათემატიკური ანალიზი, როგორც უაღრესად ღირებული ინსტრუმენტი მეცნიერისა და ინჟინრის ხელში, დღესაც იპყრობს მათემატიკოსთა ყურადღებას, როგორც ნაყოფიერი იდეების წყაროს. ამავდროულად, თანამედროვე განვითარება, როგორც ჩანს, მიუთითებს იმაზე, რომ მათემატიკური ანალიზი სულ უფრო მეტად შეიწოვება ასეთი დომინანტით მე-20 საუკუნეში. მათემატიკის ფილიალები, როგორიცაა აბსტრაქტული ალგებრა და ტოპოლოგია.

მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების გადაჭრა აბსოლუტურად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების ცოდნის გარეშე. წარმოებული არის მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?

წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

დაე, იყოს ფუნქცია f (x) მოცემულია გარკვეული ინტერვალით (ა, ბ) ... წერტილები х და х0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის შეცვლა - განსხვავება მის მნიშვნელობებს შორის x-x0 ... ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის ფუნქციის მნიშვნელობების განსხვავება ორ წერტილში. წარმოებული განმარტება:

ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეიძლება ასე დაიწეროს:

რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? და აი რა:

წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და ამ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: გზის წარმოებული დროის მიმართ უდრის სწორხაზოვანი მოძრაობის სიჩქარეს.

მართლაც, სკოლის დროიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე პირადი გზაა. x = f (t) და დრო ტ ... საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:

მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად ერთ დროს t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:

წესი პირველი: ამოიღეთ მუდმივი

მუდმივი შეიძლება გადავიდეს წარმოებულის ნიშნის გარეთ. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას, როგორც წესი, მიიღეთ - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, აუცილებლად გაამარტივეთ .

მაგალითი. მოდით გამოვთვალოთ წარმოებული:

წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული

ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.

ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

გამოსავალი:

აქ მნიშვნელოვანია კომპლექსური ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლის შესახებ. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:

ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამოხატვის წარმოებულის გამოსათვლელად ჯერ ვიანგარიშებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედური არგუმენტის მიმართ, შემდეგ კი ვამრავლებთ უშუალო შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.

წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტური წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:

ჩვენ შევეცადეთ გეთქვათ დუმების წარმოებულების შესახებ ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჟღერს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლისას.

ამ და სხვა თემაზე ნებისმიერი კითხვისთვის შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. უმოკლეს დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი გამოცდის ამოხსნაში და ამოცანების შესრულებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასოდეს გაგიკეთებიათ წარმოებულების გამოთვლა.

რომელზედაც გავაანალიზეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენცირების წესებს და წარმოებულების პოვნის რამდენიმე ხერხს. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად სწავლობთ ფუნქციების წარმოებულებს, ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი ბოლომდე გასაგები არ არის, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვთ, სერიოზულად მოეწყოთ - მასალა ადვილი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და ხელმისაწვდომად წარმოვაჩინო.

პრაქტიკაში, რთული ფუნქციის წარმოებულთან ძალიან ხშირად გიწევს საქმე, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ცხრილში განვიხილავთ კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No5):

გაგება. პირველ რიგში ყურადღება მივაქციოთ ჩანაწერს. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია - და, უფრო მეტიც, ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ფუნქციაშია ჩადებული. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

დავრეკავ ფუნქციას გარე ფუნქციადა ფუნქცია - შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. მე ვიყენებ არაფორმალურ გამოთქმებს „გარე ფუნქცია“, „შინაგანი“ ფუნქცია მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ, ჩვენ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "X", არამედ მთელი რიცხვი, ასე რომ შეუძლებელი იქნება წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან დაუყოვნებლივ. ჩვენ ასევე შევამჩნიეთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ სინუსის „გაწყვეტა“ შეუძლებელია:

ამ მაგალითში, უკვე ჩემი ახსნა-განმარტებიდან, ინტუიციურად ირკვევა, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია (ბუდე) და გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯი, რომელიც უნდა შესრულდეს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის ის გაარკვიეთ რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

მარტივი მაგალითების შემთხვევაში, აშკარად ჩანს, რომ პოლინომი მოთავსებულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ყველაფერი აშკარა არ არის? როგორ განვსაზღვროთ ზუსტად რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს გონებრივად ან მონახაზზე.

წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა კალკულატორზე (ერთის ნაცვლად, შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

რას გამოვთვლით პირველ რიგში? Პირველ რიგშითქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება:, ასე რომ, მრავალწევრი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცუნდა მოიძებნოს, ამიტომ სინუსი იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ Გამოირკვაშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი .

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას. გაკვეთილიდან როგორ ვიპოვო წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვსვამთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვსვამთ შტრიხს ზედა მარჯვენა მხარეს:

Პირველიიპოვეთ გარე ფუნქციის წარმოებული (სინუსი), გადახედეთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილს და შეამჩნიეთ, რომ. ყველა ცხრილის ფორმულა გამოიყენება მაშინაც კი, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გაითვალისწინეთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების შედეგი საბოლოო დიზაინში ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, ჩაწერეთ გამოსავალი და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

მოდით გავარკვიოთ სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად გვაქვს შინაგანი. ამისათვის სცადეთ (გონებრივად ან მონახაზზე) გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა at. რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ რისი ტოლია ფუძე: რაც ნიშნავს, რომ მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია:

და მხოლოდ ამის შემდეგ შესრულებულია ექსპონენტაცია, შესაბამისად, სიმძლავრის ფუნქცია გარე ფუნქციაა:

ფორმულის მიხედვით , ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ საჭირო ფორმულას ცხრილში:. კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "x", არამედ რთული გამოსახულებისთვისაც... ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, ჩვენთვის შიდა ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ "დავარცხნა":

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის გაგების გასამყარებლად, მე მოგცემთ მაგალითს კომენტარის გარეშე, შეეცადეთ თავად გაერკვნენ, გამოთქვით სად არის გარე და სად არის შიდა ფუნქცია, რატომ გადაწყდა ამოცანები ამ გზით?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირების მიზნით, ის უნდა იყოს წარმოდგენილი როგორც ხარისხი. ამრიგად, პირველ რიგში, ფუნქციას მივყავართ დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი შიდა ფუნქციაა, სიმძლავრე კი გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესს :

ხარისხი კვლავ წარმოდგენილია როგორც რადიკალი (ფესვი), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულისთვის ჩვენ ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთქმა საერთო მნიშვნელამდე მიიყვანოთ ფრჩხილებში და ჩაწეროთ ყველაფერი ერთ წილადში. კარგია, რა თქმა უნდა, მაგრამ როდესაც უხერხული გრძელი წარმოებულები მიიღება, უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, არასაჭირო შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის უხერხული იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი უჩვეულოდ გამოიყურება, როგორც გარყვნილება. აი ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - მინუსს გადავიტანთ წარმოებულის ნიშნის გარეთ და კოსინუსს ვაყენებთ მრიცხველამდე:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
ჩვენ ვიყენებთ ჩვენს წესს :

იპოვეთ შიდა ფუნქციის წარმოებული, გადააყენეთ კოსინუსი უკან:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ ნიშნებში არ დაიბნეთ. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ ეს წესით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც გვქონდა მხოლოდ ერთი დანართი კომპლექსურ ფუნქციაში. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მოდით გავიგოთ ამ ფუნქციის დანართები. ცდილობს შეაფასოს გამოხატულება ტესტის მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ბუდე:

მაშინ ერთის ეს რკალი უნდა იყოს კვადრატში:

და ბოლოს, აწიეთ 7 ძალაზე:

ანუ, ამ მაგალითში გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი დანართი, ხოლო ყველაზე შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

ჩვენ ვიწყებთ მოგვარებას

წესის მიხედვით ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვათვალიერებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რომელიც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი.