ცვალებადობის მეთოდი წრფივი განტოლებისთვის. ლაგრანგის მეთოდით უმაღლესი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა. სოციალური გარდაქმნები. სახელმწიფო და ეკლესია

არაჰომოგენური გადასაჭრელად გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი დიფერენციალური განტოლებები. ეს გაკვეთილი განკუთვნილია იმ სტუდენტებისთვის, რომლებიც უკვე მეტ-ნაკლებად კარგად ერკვევიან ამ თემაზე. თუ თქვენ ახლა იწყებთ დისტანციური მართვის გაცნობას, ე.ი. თუ ჩაიდანი ხართ, გირჩევთ დაიწყოთ პირველი გაკვეთილით: პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. გადაწყვეტის მაგალითები. და თუ უკვე ასრულებთ, გთხოვთ, უარი თქვათ შესაძლო წინასწარგანწყობაზე, რომ მეთოდი რთულია. რადგან ის უბრალოა.

რა შემთხვევებში გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი?

1) გადაჭრისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი DE. ვინაიდან განტოლება პირველი რიგისაა, მაშინ მუდმივი (მუდმივი) ასევე ერთია.

2) ზოგიერთის ამოსახსნელად გამოიყენება თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები. აქ ორი მუდმივი (მუდმივები) იცვლება.

ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ გაკვეთილი შედგება ორი აბზაცისგან .... ასე რომ, დავწერე ეს წინადადება და დაახლოებით 10 წუთის განმავლობაში მტკივნეულად ვფიქრობდი, რა სხვა ჭკვიანური სისულელე დამემატებინა პრაქტიკულ მაგალითებზე შეუფერხებლად გადასვლისთვის. მაგრამ რატომღაც, არდადეგების შემდეგ აზრები არ არის, თუმცა, როგორც ჩანს, მე არაფერი გამომიყენებია. მოდით გადავიდეთ პირდაპირ პირველ აბზაცში.

თვითნებური მუდმივი ვარიაციის მეთოდი
წრფივი არაჰომოგენური პირველი რიგის განტოლებისთვის

თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდის განხილვამდე, სასურველია გაეცნოთ სტატიას პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები. იმ გაკვეთილზე ვივარჯიშეთ გადაჭრის პირველი გზა 1-ლი რიგის არაერთგვაროვანი DE. ეს პირველი გამოსავალი, შეგახსენებთ, ე.წ ჩანაცვლების მეთოდიან ბერნულის მეთოდი(არ უნდა აგვერიოს ბერნულის განტოლება!!!)

ახლა განვიხილავთ გადაჭრის მეორე გზა– თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი. მხოლოდ სამ მაგალითს მოვიყვან და მათ ზემოთ გაკვეთილიდან ავიღებ. რატომ ასე ცოტა? იმიტომ, რომ სინამდვილეში მეორე გზით გამოსავალი ძალიან წააგავს პირველ გზას. გარდა ამისა, ჩემი დაკვირვებით, თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი ნაკლებად ხშირად გამოიყენება, ვიდრე ჩანაცვლების მეთოდი.

მაგალითი 1

(განსხვავება გაკვეთილის No2 მაგალითიდან 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი DE)

გამოსავალი:ეს განტოლება არის წრფივი არაჰომოგენური და აქვს ნაცნობი ფორმა:

პირველი ნაბიჯი არის მარტივი განტოლების ამოხსნა:
ანუ, ჩვენ სულელურად გადავაყენეთ მარჯვენა მხარე - ამის ნაცვლად ვწერთ ნულს.
განტოლება დავრეკავ დამხმარე განტოლება.

ამ მაგალითში თქვენ უნდა ამოხსნათ შემდეგი დამხმარე განტოლება:

ჩვენს წინაშე გამყოფი განტოლება, რომლის გადაწყვეტა (იმედია) აღარ გაგიჭირდებათ:

Ამგვარად:
არის დამხმარე განტოლების ზოგადი ამონახსნი.

მეორე საფეხურზე ჩანაცვლებაზოგიერთის მუდმივი ჯერ კიდევუცნობი ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია "x"-ზე:

აქედან მომდინარეობს მეთოდის სახელი - ჩვენ ვცვლით მუდმივას. ალტერნატიულად, მუდმივი შეიძლება იყოს გარკვეული ფუნქცია, რომელიც ახლა უნდა ვიპოვოთ.

IN საწყისიარაერთგვაროვანი განტოლება შევცვალოთ:

შემცვლელი და განტოლებაში :

საკონტროლო მომენტი - მარცხენა მხარეს ორი ტერმინი გაუქმებულია. თუ ეს არ მოხდა, თქვენ უნდა მოძებნოთ ზემოთ მოცემული შეცდომა.

ჩანაცვლების შედეგად მიიღება განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. ცვლადების გამოყოფა და ინტეგრირება.

რა კურთხევაა, მაჩვენებლებიც იკლებს:

ნაპოვნი ფუნქციას ვამატებთ "ნორმალური" მუდმივას:

Ზე დასკვნითი ეტაპიგახსოვდეთ ჩვენი შემცვლელი:

ფუნქცია ახლახან ნაპოვნია!

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება:

თუ ამობეჭდავთ ორ ამონახსანს, ადვილად შეამჩნევთ, რომ ორივე შემთხვევაში ერთი და იგივე ინტეგრალი ვიპოვეთ. განსხვავება მხოლოდ ამოხსნის ალგორითმშია.

ახლა რაღაც უფრო რთულია, კომენტარს გავაკეთებ მეორე მაგალითზეც:

მაგალითი 2

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები
(განსხვავება გაკვეთილის მე-8 მაგალითიდან 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი DE)

გამოსავალი:განტოლებას მივყავართ ფორმაში :

დააყენეთ მარჯვენა მხარე ნულზე და ამოხსენით დამხმარე განტოლება:

დამხმარე განტოლების ზოგადი ამოხსნა:

არაჰომოგენურ განტოლებაში ჩვენ გავაკეთებთ ჩანაცვლებას:

პროდუქტის დიფერენციაციის წესის მიხედვით:

შემცვლელი და თავდაპირველ არაჰომოგენურ განტოლებაში:

მარცხენა მხარეს ორი ტერმინი გაუქმებულია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ სწორ გზაზე ვართ:

ჩვენ ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით. ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულიდან გემრიელი ასო უკვე ჩართულია გამოსავალში, ამიტომ ვიყენებთ, მაგალითად, ასოებს "a" და "be":

ახლა ვნახოთ ჩანაცვლება:

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება:

და ერთი მაგალითი თვითგადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 3

იპოვეთ მოცემული საწყისი პირობის შესაბამისი დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი.

,
(განსხვავება მე-4 გაკვეთილის მაგალითიდან 1 რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი DE)
გამოსავალი:
ეს DE არის წრფივი არაჰომოგენური. ჩვენ ვიყენებთ თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდს. მოდით ამოხსნათ დამხმარე განტოლება:

ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადებს და ვაერთიანებთ:

საერთო გადაწყვეტილება:
არაჰომოგენურ განტოლებაში ჩვენ გავაკეთებთ ჩანაცვლებას:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

იპოვნეთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც შეესაბამება მოცემულ საწყის მდგომარეობას:

პასუხი:პირადი გადაწყვეტა:

გაკვეთილის ბოლოს გამოსავალი შეიძლება იყოს დავალების დასრულების სავარაუდო მოდელი.

თვითნებური მუდმივთა ვარიაციის მეთოდი
წრფივი არაერთგვაროვანი მეორე რიგის განტოლებისთვის
მუდმივი კოეფიციენტებით

ხშირად ისმოდა მოსაზრება, რომ მეორე რიგის განტოლებისთვის თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი ადვილი არ არის. მაგრამ მე ვხვდები შემდეგს: სავარაუდოდ, მეთოდი ბევრს რთულად ეჩვენება, რადგან არც ისე გავრცელებულია. მაგრამ სინამდვილეში, განსაკუთრებული სირთულეები არ არის - გადაწყვეტილების კურსი ნათელია, გამჭვირვალე და გასაგები. Და ლამაზი.

მეთოდის დასაუფლებლად სასურველია შეგვეძლოს მეორე რიგის არაერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნა მარჯვენა მხარის ფორმის მიხედვით კონკრეტული ამონახსნის შერჩევით. ეს მეთოდი დეტალურად არის განხილული სტატიაში. მე-2 რიგის არაჰომოგენური DE. შეგახსენებთ, რომ მეორე რიგის წრფივ არაერთგვაროვან განტოლებას მუდმივი კოეფიციენტებით აქვს ფორმა:

შერჩევის მეთოდი, რომელიც განხილული იქნა ზემოთ გაკვეთილზე, მუშაობს მხოლოდ შეზღუდული რაოდენობის შემთხვევაში, როდესაც პოლინომები, მაჩვენებლები, სინუსები, კოსინუსები არის მარჯვენა მხარეს. მაგრამ რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც მარჯვნივ, მაგალითად, წილადი, ლოგარითმი, ტანგენსი? ასეთ სიტუაციაში მუდმივთა ვარიაციის მეთოდი სამაშველოში მოდის.

მაგალითი 4

იპოვეთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები

გამოსავალი:ამ განტოლების მარჯვენა მხარეს არის წილადი, ამიტომ დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ კონკრეტული ამოხსნის შერჩევის მეთოდი არ მუშაობს. ჩვენ ვიყენებთ თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდს.

არაფერი ასახავს ჭექა-ქუხილს, გამოსავლის დასაწყისი საკმაოდ ჩვეულებრივია:

მოდი ვიპოვოთ საერთო გადაწყვეტილებაშესაბამისი ერთგვაროვანიგანტოლებები:

ჩვენ ვადგენთ და ვხსნით დამახასიათებელ განტოლებას:


- მიიღება კონიუგატური რთული ფესვები, ამიტომ ზოგადი გამოსავალი არის:

ყურადღება მიაქციეთ ზოგადი გადაწყვეტის ჩანაწერს - თუ არის ფრჩხილები, გახსენით ისინი.

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ თითქმის იგივე ხრიკს, როგორც პირველი რიგის განტოლებისთვის: ჩვენ ვცვლით მუდმივებს, ვცვლით მათ უცნობი ფუნქციებით. ე.ი. არაერთგვაროვანის ზოგადი გადაწყვეტაჩვენ ვეძებთ განტოლებებს ფორმაში:

სად - ჯერ კიდევუცნობი ფუნქციები.

ნაგვის ნაგავსაყრელს ჰგავს, მაგრამ ახლა ყველაფერს მოვაგვარებთ.

ფუნქციების წარმოებულები მოქმედებენ როგორც უცნობი. ჩვენი მიზანია ვიპოვოთ წარმოებულები და ნაპოვნი წარმოებულები უნდა აკმაყოფილებდეს სისტემის პირველ და მეორე განტოლებებს.

საიდან მოდის "თამაშები"? ღეროს მოაქვს ისინი. ჩვენ ვუყურებთ ადრე მიღებულ ზოგად გადაწყვეტას და ვწერთ:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულები:

გაუმკლავდა მარცხენა მხარეს. რა არის მარჯვნივ?

არის ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარე, ამ შემთხვევაში:

კოეფიციენტი არის კოეფიციენტი მეორე წარმოებულზე:

პრაქტიკაში, თითქმის ყოველთვის, და ჩვენი მაგალითი არ არის გამონაკლისი.

ყველაფერი გასუფთავდა, ახლა თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ სისტემა:

სისტემა ჩვეულებრივ მოგვარებულია კრამერის ფორმულების მიხედვითსტანდარტული ალგორითმის გამოყენებით. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ რიცხვების ნაცვლად გვაქვს ფუნქციები.

იპოვნეთ სისტემის მთავარი განმსაზღვრელი:

თუ დაგავიწყდათ როგორ ვლინდება განმსაზღვრელი „ორი ორზე“, მიმართეთ გაკვეთილს როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?ბმული მიდის სირცხვილის დაფასთან =)

ასე რომ: , ასე რომ სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის, ჯერჯერობით მხოლოდ წარმოებული ვიპოვეთ.
თავად ფუნქცია აღდგება ინტეგრაციის გზით:

მოდით შევხედოთ მეორე ფუნქციას:

აქ ჩვენ ვამატებთ "ნორმალური" მუდმივას

ამოხსნის ბოლო ეტაპზე გავიხსენებთ, რა ფორმით ვეძებდით არაჰომოგენური განტოლების ზოგად ამოხსნას? Ასეთ:

თქვენთვის საჭირო ფუნქციები ახლახან იპოვეს!

რჩება ჩანაცვლების შესრულება და პასუხის ჩაწერა:

პასუხი:საერთო გადაწყვეტილება:

პრინციპში, პასუხს შეუძლია ფრჩხილების გახსნა.

პასუხის სრული შემოწმება ხდება სტანდარტული სქემის მიხედვით, რომელიც გაკვეთილზე იქნა გათვალისწინებული. მე-2 რიგის არაჰომოგენური DE. მაგრამ გადამოწმება ადვილი არ იქნება, რადგან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ საკმაოდ მძიმე წარმოებულები და ჩავატაროთ რთული ჩანაცვლება. ეს საზიზღარი ფუნქციაა, როდესაც თქვენ წყვეტთ ასეთ განსხვავებებს.

მაგალითი 5

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდით

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სინამდვილეში, მარჯვენა მხარე ასევე არის წილადი. გავიხსენოთ ტრიგონომეტრიული ფორმულა, სხვათა შორის, ის უნდა იქნას გამოყენებული გზაზე.

თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი ყველაზე უნივერსალური მეთოდია. მათ შეუძლიათ ამოხსნან ნებისმიერი განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია კონკრეტული ხსნარის შერჩევის მეთოდი მარჯვენა მხარის ფორმის მიხედვით. ჩნდება კითხვა, რატომ არ გამოვიყენოთ იქაც თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი? პასუხი აშკარაა: გაკვეთილზე განხილული კონკრეტული გადაწყვეტის შერჩევა მეორე რიგის არაერთგვაროვანი განტოლებები, საგრძნობლად აჩქარებს ამოხსნას და ამცირებს აღნიშვნას - დეტერმინანტებთან და ინტეგრალებთან არევის გარეშე.

განვიხილოთ ორი მაგალითი კუშის პრობლემა.

მაგალითი 6

იპოვნეთ მოცემული საწყისი პირობების შესაბამისი დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი

,

გამოსავალი:ისევ წილადი და მაჩვენებელი საინტერესო ადგილას.
ჩვენ ვიყენებთ თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდს.

მოდი ვიპოვოთ საერთო გადაწყვეტილებაშესაბამისი ერთგვაროვანიგანტოლებები:



- მიიღება სხვადასხვა რეალური ფესვები, ამიტომ ზოგადი გამოსავალი არის:

არაჰომოგენურის ზოგადი გადაწყვეტაჩვენ ვეძებთ განტოლებებს სახით: , სადაც - ჯერ კიდევუცნობი ფუნქციები.

მოდით შევქმნათ სისტემა:

Ამ შემთხვევაში:
,
წარმოებულების პოვნა:
,

Ამგვარად:

ჩვენ ვხსნით სისტემას კრამერის ფორმულების გამოყენებით:
ასე რომ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ჩვენ აღვადგენთ ფუნქციას ინტეგრაციის გზით:

აქ გამოიყენება ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანის მეთოდი.

ჩვენ აღვადგენთ მეორე ფუნქციას ინტეგრაციის გზით:

ასეთი ინტეგრალი მოგვარებულია ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი:

თავად ჩანაცვლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ:

Ამგვარად:

ეს ინტეგრალი შეიძლება მოიძებნოს სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი, მაგრამ დიფურების მაგალითებში მირჩევნია წილადის გაფართოება გაურკვეველი კოეფიციენტების მეთოდი:

ნაპოვნია ორივე ფუნქცია:

შედეგად, არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის:

იპოვნეთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს .

ტექნიკურად, გამოსავლის ძიება ხორციელდება სტანდარტული გზით, რაც განხილული იყო სტატიაში. არაჰომოგენური მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

მოიცადეთ, ახლა ჩვენ ვიპოვით ნაპოვნი ზოგადი ამოხსნის წარმოებულს:

აი ასეთი სირცხვილია. არ არის აუცილებელი მისი გამარტივება, უფრო ადვილია განტოლებათა სისტემის დაუყოვნებლივ შედგენა. საწყისი პირობების მიხედვით :

ჩაანაცვლეთ მუდმივების ნაპოვნი მნიშვნელობები ზოგად გადაწყვეტაში:

პასუხში, ლოგარითმები შეიძლება ოდნავ შეფუთული იყოს.

პასუხი:პირადი გადაწყვეტა:

როგორც ხედავთ, სირთულეები შეიძლება წარმოიშვას ინტეგრალებში და წარმოებულებში, მაგრამ არა თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდის ალგორითმში. მე არ შეგაშინეთ, ეს ყველაფერი კუზნეცოვის კოლექციაა!

დასასვენებლად, საბოლოო, უფრო მარტივი, თვითმმართველობის გადაჭრის მაგალითი:

მაგალითი 7

მოაგვარეთ კოშის პრობლემა

,

მაგალითი მარტივია, მაგრამ კრეატიული, როდესაც სისტემას ქმნით, სანამ გადაწყვეტთ, ყურადღებით დააკვირდით მას ;-),




შედეგად, ზოგადი გამოსავალი არის:

იპოვნეთ საწყისი პირობების შესაბამისი კონკრეტული გამოსავალი .



ჩვენ ვცვლით მუდმივების ნაპოვნი მნიშვნელობებს ზოგად ამონახსნით:

პასუხი:პირადი გადაწყვეტა:

ახლა განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური განტოლება
. (2)
მოდით y 1 ,y 2 ,.., y n იყოს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და მოდით იყოს შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები L(y)=0 . პირველი რიგის განტოლებების მსგავსად, ჩვენ ვეძებთ ამონახსს (2) განტოლების სახით.
. (3)
მოდით გადავამოწმოთ, რომ არსებობს გამოსავალი ამ ფორმით. ამისათვის ჩვენ ვცვლით ფუნქციას განტოლებაში. ამ ფუნქციის განტოლებაში ჩასანაცვლებლად, ჩვენ ვიპოვით მის წარმოებულებს. პირველი წარმოებული არის
. (4)
მეორე წარმოებულის გამოთვლისას (4-ის) მარჯვენა მხარეს ჩნდება ოთხი წევრი, მესამე წარმოებულის გამოთვლისას რვა წევრი და ა.შ. ამიტომ, შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, (4)-ის პირველი წევრი ნავარაუდევია ნულის ტოლი. ამის გათვალისწინებით, მეორე წარმოებული უდრის
. (5)
იგივე მიზეზების გამო, როგორც ადრე, (5)-ში ჩვენ ასევე დავაყენეთ პირველი წევრი ნულის ტოლი. საბოლოოდ, n-ე წარმოებული არის
. (6)
წარმოებულების მიღებული მნიშვნელობების თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლება გვაქვს
. (7)
(7)-ის მეორე წევრი ნულის ტოლია, ვინაიდან ფუნქციები y j , j=1,2,..,n შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნებია L(y)=0. წინასთან შერწყმით ვიღებთ ალგებრულ განტოლებათა სისტემას C" j (x) ფუნქციების საპოვნელად.
(8)
ამ სისტემის განმსაზღვრელია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების y 1 ,y 2 ,..,y n ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვრონსკის განმსაზღვრელი და შესაბამისად არ არის ნულის ტოლი. აქედან გამომდინარე, არსებობს სისტემის უნიკალური გადაწყვეტა (8). ვიპოვეთ იგი, ვიღებთ ფუნქციებს C "j (x), j=1,2,…,n, და, შესაბამისად, C j (x), j=1,2,…,n ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით (3), ვიღებთ წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნას.
აღწერილ მეთოდს ეწოდება თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდი ან ლაგრანგის მეთოდი.

მაგალითი #1. ვიპოვოთ y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x განტოლების ზოგადი ამონახსნი. განვიხილოთ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება y "" + 4y" + 3y \u003d 0. მისი დამახასიათებელი განტოლების ფესვები r 2 + 4r. + 3 \u003d 0 უდრის -1 და - 3. მაშასადამე, ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება y 1 = e - x და y 2 = e -3 x ფუნქციებისაგან. ჩვენ ვეძებთ არაჰომოგენური განტოლების ამოხსნას y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. C " 1 , C" 2 წარმოებულების საპოვნელად ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
რომლის ამოხსნაც ვპოულობთ , მიღებული ფუნქციების ინტეგრირება გვაქვს
ბოლოს მივიღებთ

მაგალითი #2. ამოხსენით მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდით:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

გამოსავალი:
ეს დიფერენციალური განტოლება ეკუთვნის წრფივ დიფერენციალურ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით.
ჩვენ ვეძებთ განტოლების ამოხსნას y = e rx სახით. ამისათვის ჩვენ ვადგენთ ხაზოვანი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების დამახასიათებელ განტოლებას მუდმივი კოეფიციენტებით:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

დამახასიათებელი განტოლების ფესვები: r 1 = 4, r 2 = 2
მაშასადამე, ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა არის ფუნქციები: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის ფორმა აქვს: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
კონკრეტული ამოხსნის ძიება თვითნებური მუდმივის ვარიაციის მეთოდით.
C "i-ს წარმოებულების საპოვნელად, ჩვენ ვქმნით განტოლებათა სისტემას:
C′ 1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
გამოხატეთ C" 1 პირველი განტოლებიდან:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
და მეორეში შემცვლელი. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
ჩვენ ვაერთიანებთ მიღებულ ფუნქციებს C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

ვინაიდან y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x, შემდეგ ჩვენ ვწერთ მიღებულ გამონათქვამებს სახით:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ამრიგად, დიფერენციალური განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ან
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

ჩვენ ვპოულობთ კონკრეტულ გამოსავალს იმ პირობით:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

აღმოჩენილ განტოლებაში x = 0 ჩანაცვლებით მივიღებთ:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
ჩვენ ვპოულობთ მიღებული ზოგადი ამოხსნის პირველ წარმოებულს:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

ჩვენ ვიღებთ ორი განტოლების სისტემას:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
ან
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
ან
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
მდებარეობა: C 1 = 0, C * 2 = 2
კონკრეტული გამოსავალი დაიწერება შემდეგნაირად:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

განხილულია მუდმივი კოეფიციენტებით უმაღლესი რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდი ლაგრანჟის მუდმივების ვარიაციის მეთოდით. ლაგრანგის მეთოდი ასევე გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების გადასაჭრელად, თუ ცნობილია ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე:

ლაგრანგის მეთოდი (მუდმივების ცვალებადობა)

განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება თვითნებური n-ე რიგის მუდმივი კოეფიციენტებით:
(1) .
მუდმივი ვარიაციის მეთოდი, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ პირველი რიგის განტოლებისთვის, ასევე გამოიყენება უმაღლესი რიგის განტოლებებზე.

ხსნარი ტარდება ორ ეტაპად. პირველ ეტაპზე ვაშორებთ მარჯვენა მხარეს და ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას. შედეგად ვიღებთ n თვითნებურ მუდმივთა შემცველ ხსნარს. მეორე ეტაპზე ჩვენ ვცვლით მუდმივებს. ანუ მიგვაჩნია, რომ ეს მუდმივები არის x დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციები და ვპოულობთ ამ ფუნქციების ფორმას.

მართალია აქ განვიხილავთ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით, მაგრამ ლაგრანგის მეთოდი ასევე გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნისთვის. ამისთვის კი ცნობილი უნდა იყოს ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

ნაბიჯი 1. ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა

ისევე როგორც პირველი რიგის განტოლებების შემთხვევაში, ჩვენ ჯერ ვეძებთ ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამონახსანს, მარჯვენა არაერთგვაროვანი ნაწილის ტოლფასი ნულამდე:
(2) .
ასეთი განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:
(3) .
აქ არის თვითნებური მუდმივები; - n (2) ერთგვაროვანი განტოლების წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები, რომლებიც ქმნიან ამ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას.

ნაბიჯი 2. მუდმივთა ვარიაცია - მუდმივების ჩანაცვლება ფუნქციებით

მეორე ეტაპზე ჩვენ განვიხილავთ მუდმივთა ცვალებადობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ჩავანაცვლებთ მუდმივებს დამოუკიდებელი ცვლადის x ფუნქციებით:
.
ანუ, ჩვენ ვეძებთ ამოხსნას საწყისი განტოლებისთვის (1) შემდეგი ფორმით:
(4) .

თუ (4) ჩავანაცვლებთ (1), მივიღებთ ერთ დიფერენციალურ განტოლებას n ფუნქციისთვის. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ეს ფუნქციები დამატებითი განტოლებებით. შემდეგ მიიღებთ n განტოლებებს, საიდანაც შეგიძლიათ განსაზღვროთ n ფუნქცია. დამატებითი განტოლებები შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა გზით. მაგრამ ჩვენ ამას გავაკეთებთ ისე, რომ გამოსავალს ჰქონდეს უმარტივესი ფორმა. ამისათვის, დიფერენცირებისას, თქვენ უნდა გაიგივოთ ნულოვანი ტერმინები, რომლებიც შეიცავს ფუნქციების წარმოებულებს. მოდით ვაჩვენოთ ეს.

შემოთავაზებული ამოხსნის (4) ჩასანაცვლებლად თავდაპირველ განტოლებაში (1), უნდა ვიპოვოთ (4) სახით დაწერილი ფუნქციის პირველი n რიგის წარმოებულები. განასხვავეთ (4) ჯამისა და ნამრავლის დიფერენცირების წესების გამოყენებით:
.
მოდით დავაჯგუფოთ წევრები. ჯერ ვწერთ ტერმინებს -ს წარმოებულებით და შემდეგ ტერმინებს წარმოებულებით:

.
ჩვენ პირველ პირობას ვაკისრებთ ფუნქციებს:
(5.1) .
მაშინ პირველი წარმოებულის გამოთქმას უფრო მარტივი ფორმა ექნება:
(6.1) .

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე წარმოებულს:

.
ჩვენ ვაკისრებთ მეორე პირობას ფუნქციებს:
(5.2) .
მაშინ
(6.2) .
და ა.შ. დამატებითი პირობებით ფუნქციების წარმოებულების შემცველ ტერმინებს ვატოლებთ ნულს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ავირჩევთ შემდეგ დამატებით განტოლებებს ფუნქციებისთვის:
(5.k) ,
მაშინ პირველ წარმოებულებს ექნებათ უმარტივესი ფორმა:
(6.k) .
Აქ .

ჩვენ ვპოულობთ n-ე წარმოებულს:
(6.n)
.

ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებას (1):
(1) ;






.
ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ ყველა ფუნქცია აკმაყოფილებს განტოლებას (2):
.
შემდეგ ტერმინთა ჯამი, რომელიც შეიცავს ნულს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
(7) .

შედეგად, მივიღეთ წარმოებულების წრფივი განტოლებების სისტემა:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

ამ სისტემის ამოხსნისას ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულების გამონათქვამებს x-ის ფუნქციების სახით. ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ:
.
აქ არის მუდმივები, რომლებიც აღარ არიან დამოკიდებული x-ზე. ჩანაცვლებით (4), მივიღებთ საწყისი განტოლების ზოგად ამონახსანს.

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ არასოდეს გამოგვიყენებია ის ფაქტი, რომ a i კოეფიციენტები მუდმივია წარმოებულების მნიშვნელობების დასადგენად. Ამიტომაც ლაგრანგის მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ამოსახსნელადთუ ცნობილია (2) ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.

მაგალითები

განტოლებების ამოხსნა მუდმივების ცვალებადობის მეთოდით (ლაგრანჟი).


მაგალითების ამოხსნა > > >

Იხილეთ ასევე: პირველი რიგის განტოლებების ამოხსნა მუდმივი ვარიაციული მეთოდით (ლაგრანჟი)
უმაღლესი რიგის განტოლებების ამოხსნა ბერნულის მეთოდით
წრფივი არაჰომოგენური უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი ჩანაცვლებით

ლექცია 44. მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები. თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი. მეორე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით. (სპეციალური მარჯვენა მხარე).

სოციალური გარდაქმნები. სახელმწიფო და ეკლესია.

ბოლშევიკების სოციალური პოლიტიკა დიდწილად მათი კლასობრივი მიდგომით იყო ნაკარნახევი. 1917 წლის 10 ნოემბრის დადგენილებით გაუქმდა სამკვიდრო სისტემა, გაუქმდა რევოლუციამდელი წოდებები, წოდებები და ჯილდოები. დადგენილია მოსამართლეთა არჩევა; განხორციელდა სამოქალაქო სახელმწიფოების სეკულარიზაცია. დააწესა უფასო განათლება და სამედიცინო მომსახურება (1918 წლის 31 ოქტომბრის დადგენილება). ქალები უფლებებში გაათანაბრეს მამაკაცებთან (1917 წლის 16 და 18 დეკემბრის დადგენილებები). ქორწინების შესახებ დადგენილებამ შემოიღო სამოქალაქო ქორწინების ინსტიტუტი.

სახალხო კომისართა საბჭოს 1918 წლის 20 იანვრის დადგენილებით ეკლესია გამოეყო სახელმწიფოს და განათლების სისტემას. ეკლესიის ქონების დიდი ნაწილი ჩამოერთვა. მოსკოვისა და სრულიად რუსეთის პატრიარქმა ტიხონმა (აირჩიეს 1917 წლის 5 ნოემბერს) ანათემა მოახდინა 1918 წლის 19 იანვარს. საბჭოთა ძალაუფლებადა ბოლშევიკების წინააღმდეგ ბრძოლისკენ მოუწოდა.

განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური მეორე რიგის განტოლება

ასეთი განტოლების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურა განისაზღვრება შემდეგი თეორემით:

თეორემა 1.არაჰომოგენური განტოლების (1) ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც ამ განტოლების ზოგიერთი კონკრეტული ამონახსნის ჯამი და შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახვა.

მტკიცებულება. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ თანხა

არის (1) განტოლების ზოგადი ამოხსნა. ჯერ დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია (3) არის (1) განტოლების ამონახსნი.

ჯამის ჩანაცვლება განტოლებაში (1) ნაცვლად ზე, მექნება

ვინაიდან არსებობს (2) განტოლების ამონახსნი, პირველ ფრჩხილებში გამოსახულება იდენტურად ნულის ტოლია. ვინაიდან არსებობს (1) განტოლების ამონახსნი, მეორე ფრჩხილებში გამოსახულება ტოლია f(x). ამიტომ, თანასწორობა (4) არის იდენტობა. ამრიგად, დადასტურებულია თეორემის პირველი ნაწილი.

დავამტკიცოთ მეორე მტკიცება: გამოთქმა (3) არის გენერალი(1) განტოლების ამოხსნა. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ ამ გამონათქვამში შემავალი თვითნებური მუდმივები შეიძლება შეირჩეს ისე, რომ დაკმაყოფილდეს საწყისი პირობები:

როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვები x 0, y 0და (თუ მხოლოდ x 0აღებულია იმ ტერიტორიიდან, სადაც ფუნქციონირებს a 1, a 2და f(x)უწყვეტი).

შეამჩნია, რომ შესაძლებელია ფორმაში წარმოდგენა. შემდეგ, პირობებიდან გამომდინარე (5) გვაქვს

მოვაგვაროთ ეს სისტემა და ვიპოვოთ 1-დანდა 2-დან. მოდით გადავიწეროთ სისტემა შემდეგნაირად:

გაითვალისწინეთ, რომ ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი ფუნქციებისთვის 1და 2-ზეწერტილში x=x 0. ვინაიდან ეს ფუნქციები დაშვებით წრფივად დამოუკიდებელია, ვრონსკის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი; შესაბამისად (6) სისტემას აქვს გარკვეული გადაწყვეტა 1-დანდა 2-დან, ე.ი. არის ასეთი ღირებულებები 1-დანდა 2-დან, რომლის ფორმულა (3) განსაზღვრავს (1) განტოლების ამონახსანს, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის პირობებს. ქ.ე.დ.

მოდით მივმართოთ არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამონახსნების პოვნის ზოგად მეთოდს.

მოდით დავწეროთ ერთგვაროვანი განტოლების (2) ზოგადი ამონახსნი.

ჩვენ ვეძებთ არაერთგვაროვანი განტოლების (1) კონკრეტულ ამოხსნას (7) სახით, იმის გათვალისწინებით, რომ 1-დანდა 2-დანროგორც ზოგიერთი ჯერ კიდევ უცნობი თვისება X.

მოდით განვასხვავოთ თანასწორობა (7):

ჩვენ ვირჩევთ სასურველ ფუნქციებს 1-დანდა 2-დანისე რომ თანასწორობა

თუ ეს დამატებითი პირობა იქნება გათვალისწინებული, მაშინ პირველი წარმოებული იღებს ფორმას

ახლა ამ გამოთქმის დიფერენცირებისას ვხვდებით:

(1) განტოლებით ჩანაცვლებით ვიღებთ

პირველ ორ ფრჩხილში გამოთქმები ქრება იმიტომ y 1და y2არის ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნები. აქედან გამომდინარე, ბოლო თანასწორობა იღებს ფორმას

ამრიგად, ფუნქცია (7) იქნება არაერთგვაროვანი განტოლების (1) ამონახსნი თუ ფუნქციები 1-დანდა 2-დანდააკმაყოფილეთ განტოლებები (8) და (9). მოდით შევადგინოთ განტოლებათა სისტემა (8) და (9) განტოლებიდან.

ვინაიდან ამ სისტემის განმსაზღვრელი არის ვრონსკის განმსაზღვრელი წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნებისთვის y 1და y2განტოლება (2), მაშინ ის არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, სისტემის გადაჭრისას ჩვენ ვიპოვით ორივე გარკვეულ ფუნქციას X:

ამ სისტემის გადაჭრისას ვხვდებით, საიდანაც ინტეგრაციის შედეგად ვიღებთ. შემდეგ, ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი ფუნქციებს ფორმულაში, ვიღებთ არაჰომოგენური განტოლების ზოგად ამოხსნას, სადაც არის თვითნებური მუდმივები.