მზადება სკოლისთვის

მათემატიკის ენციკლოპედია. მათემატიკური ენციკლოპედია აქსიომები და მტკიცების მეთოდები

ჩამოტვირთეთ წიგნი მათემატიკური ენციკლოპედია 5 ტომადაბსოლუტურად უფასო.

იმისათვის, რომ ჩამოტვირთოთ წიგნი ფაილების ჰოსტინგიდან უფასოდ, დააწკაპუნეთ ბმულებზე უფასო წიგნის აღწერისთანავე.

ძვირფასო მკითხველო, თუ ვერ მოხერხდა

ჩამოტვირთეთ მათემატიკური ენციკლოპედია 5 ტომად

დაწერეთ ამის შესახებ კომენტარებში და ჩვენ აუცილებლად დაგეხმარებით.

ვიმედოვნებთ, რომ მოგეწონათ წიგნი და ისიამოვნეთ მისი წაკითხვით. მადლობის ნიშნად, შეგიძლიათ დატოვოთ ბმული ჩვენს ვებსაიტზე ფორუმზე ან ბლოგზე :) ელექტრონული წიგნიმათემატიკური ენციკლოპედია 5 ტომში მოცემულია მხოლოდ განხილვისთვის ქაღალდის წიგნის შეძენამდე და არ არის კონკურენტი ბეჭდური გამოცემებისთვის.

სტატიის შინაარსი

მათემატიკა.მათემატიკა ჩვეულებრივ განისაზღვრება მისი ზოგიერთი ტრადიციული ფილიალის სახელების ჩამოთვლით. უპირველეს ყოვლისა, ეს არის არითმეტიკა, რომელიც ეხება რიცხვების შესწავლას, მათ შორის ურთიერთობას და რიცხვებთან მუშაობის წესებს. არითმეტიკის ფაქტები ღიაა სხვადასხვა კონკრეტული ინტერპრეტაციისთვის; მაგალითად, თანაფარდობა 2 + 3 = 4 + 1 შეესაბამება დებულებას, რომ ორი და სამი წიგნი ქმნის იმდენ წიგნს, რამდენიც ოთხი და ერთი. ნებისმიერი კავშირი, როგორიცაა 2 + 3 = 4 + 1, ე.ი. ურთიერთობას წმინდა მათემატიკურ ობიექტებს შორის ფიზიკური სამყაროს რაიმე ინტერპრეტაციის გარეშე, აბსტრაქტული ეწოდება. მათემატიკის აბსტრაქტული ბუნება საშუალებას იძლევა გამოიყენოს იგი ყველაზე მეტად ამოხსნისას სხვადასხვა პრობლემები. მაგალითად, ალგებრა, რომელიც ეხება რიცხვებზე მოქმედებებს, საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ პრობლემები, რომლებიც სცილდება არითმეტიკას. მათემატიკის უფრო სპეციფიკური დარგია გეომეტრია, რომლის მთავარი ამოცანაა საგნების ზომისა და ფორმის შესწავლა. ალგებრული მეთოდების გეომეტრიულთან კომბინაციას მივყავართ, ერთი მხრივ, ტრიგონომეტრიამდე (თავდაპირველად ეძღვნებოდა გეომეტრიული სამკუთხედების შესწავლას და ახლა მოიცავს საკითხების ბევრად უფრო ფართო სპექტრს) და მეორე მხრივ, ანალიტიკურ გეომეტრიას, რომელშიც გეომეტრიული სხეულები და ფიგურები შესწავლილია ალგებრული მეთოდებით. არსებობს უმაღლესი ალგებრისა და გეომეტრიის რამდენიმე განშტოება, რომლებსაც აქვთ აბსტრაქციის უმაღლესი ხარისხი და არ ეხება ჩვეულებრივი რიცხვებისა და ჩვეულებრივი გეომეტრიული ფიგურების შესწავლას; ყველაზე აბსტრაქტულ გეომეტრიულ დისციპლინებს ტოპოლოგია ეწოდება.

მათემატიკური ანალიზი ეხება სიდიდეების შესწავლას, რომლებიც იცვლება სივრცეში ან დროში და ეყრდნობა ორ ძირითად ცნებას - ფუნქციას და ლიმიტს, რომლებიც არ გვხვდება მათემატიკის უფრო ელემენტარულ მონაკვეთებში. თავდაპირველად, მათემატიკური ანალიზი შედგებოდა დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლებისგან, მაგრამ ახლა მოიცავს სხვა განყოფილებებს.

მათემატიკის ორი ძირითადი სფერო არსებობს - სუფთა მათემატიკა, რომელშიც აქცენტი კეთდება დედუქციურ მსჯელობაზე და გამოყენებითი მათემატიკა. ტერმინი "გამოყენებითი მათემატიკა" ზოგჯერ ეხება მათემატიკის იმ დარგებს, რომლებიც იქმნება სპეციალურად მეცნიერების მოთხოვნილებებისა და მოთხოვნების დასაკმაყოფილებლად, ზოგჯერ კი სხვადასხვა მეცნიერების იმ განყოფილებებს (ფიზიკა, ეკონომიკა და ა.შ.), რომლებიც იყენებენ მათემატიკას, როგორც ამოხსნის საშუალებას. მათი ამოცანები. ბევრი გავრცელებული მცდარი წარმოდგენა მათემატიკის შესახებ წარმოიქმნება "გამოყენებითი მათემატიკის" ამ ორ ინტერპრეტაციას შორის დაბნეულობის შედეგად. არითმეტიკას შეუძლია გამოიყენოს მათემატიკა პირველი გაგებით, ხოლო ბუღალტერია მეორეში.

პოპულარული რწმენის საწინააღმდეგოდ, მათემატიკა აგრძელებს სწრაფად განვითარებას. მათემატიკური მიმოხილვა ყოველწლიურად აქვეყნებს დაახლ. უახლესი შედეგების შემცველი სტატიების 8000 მოკლე რეზიუმე - ახალი მათემატიკური ფაქტები, ძველი ფაქტების ახალი მტკიცებულებები და ინფორმაცია მათემატიკის სრულიად ახალი სფეროების შესახებაც კი. მათემატიკური განათლების მიმდინარე ტენდენციაა მოსწავლეებს გააცნოს თანამედროვე, უფრო აბსტრაქტული მათემატიკური იდეები მათემატიკის სწავლების ადრეულ ეტაპზე. იხილეთ ასევემათემატიკის ისტორია. მათემატიკა ცივილიზაციის ერთ-ერთი ქვაკუთხედია, მაგრამ ძალიან ცოტა ადამიანს აქვს წარმოდგენა ამ მეცნიერებაში არსებული მდგომარეობის შესახებ.

მათემატიკამ განიცადა უზარმაზარი ცვლილებები ბოლო ასი წლის განმავლობაში, როგორც საგნის, ისე სწავლის მეთოდების მხრივ. ამ სტატიაში ჩვენ შევეცდებით ზოგადი წარმოდგენა მივცეთ თანამედროვე მათემატიკის ევოლუციის ძირითად ეტაპებს, რომელთა ძირითადი შედეგები შეიძლება ჩაითვალოს, ერთის მხრივ, სუფთა და გამოყენებითი მათემატიკის უფსკრულის ზრდა, და მეორეს მხრივ, მათემატიკის ტრადიციული სფეროების სრული გადახედვა.

მათემატიკური მეთოდის შემუშავება

მათემატიკის დაბადება.

დაახლოებით 2000 წ შენიშნა, რომ სამკუთხედში 3, 4 და 5 ერთეული სიგრძის გვერდებით, ერთ-ერთი კუთხე უდრის 90 ° (ამ დაკვირვებამ გააადვილა სწორი კუთხის აგება პრაქტიკული საჭიროებისთვის). შენიშნეთ მაშინ მიმართება 5 2 = 3 2 + 4 2? ამასთან დაკავშირებით არანაირი ინფორმაცია არ გვაქვს. რამდენიმე საუკუნის შემდეგ აღმოაჩინეს ზოგადი წესი: ნებისმიერ სამკუთხედში ABCზედა მარჯვენა კუთხით ადა პარტიები ბ = ACდა გ = AB, რომელთა შორის არის ეს კუთხე და მის მოპირდაპირე მხარე ა = ძვ.წთანაფარდობა ა 2 = ბ 2 + გ 2. შეიძლება ითქვას, რომ მეცნიერება იწყება მაშინ, როდესაც ინდივიდუალური დაკვირვების მასა აიხსნება ერთი ზოგადი კანონით; აქედან გამომდინარე, "პითაგორას თეორემის" აღმოჩენა შეიძლება ჩაითვალოს ჭეშმარიტად მეცნიერული მიღწევის ერთ-ერთ პირველ ცნობილ მაგალითად.

მაგრამ ზოგადად მეცნიერებისთვის და კონკრეტულად მათემატიკისთვის კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია ის ფაქტი, რომ ფორმულირებასთან ერთად საერთო სამართალიარის ამის დამტკიცების მცდელობები, ე.ი. აჩვენებს, რომ ის აუცილებლად გამომდინარეობს სხვა გეომეტრიული თვისებებიდან. ერთ-ერთი აღმოსავლური „მტკიცებულება“ განსაკუთრებით გრაფიკულია თავისი სიმარტივით: მოცემული სამკუთხედის ტოლი ოთხი სამკუთხედი ჩაწერილია კვადრატში. BCDEროგორც ნახატზეა ნაჩვენები. კვადრატული ფართობი ა 2 იყოფა ოთხ თანაბარ სამკუთხედად, რომელთა საერთო ფართობია 2 ძვ.წდა კვადრატი AFGHფართობი ( ბ – გ) 2 . ამრიგად, ა 2 = (ბ – გ) 2 + 2ძვ.წ = (ბ 2 + გ 2 – 2ძვ.წ) + 2ძვ.წ = ბ 2 + გ 2. სასწავლო არის ერთი ნაბიჯის წინ წასვლა და უფრო ზუსტად იმის გარკვევა, თუ რომელი "წინა" თვისებები უნდა იყოს ცნობილი. ყველაზე აშკარა ფაქტია, რომ სამკუთხედებიდან BACდა BEFზუსტად, ხარვეზებისა და გადახურვის გარეშე, "მორგებულია" გვერდებზე BAდა ბფ, რაც ნიშნავს, რომ ორი კუთხე წვეროებზე ბდა თანსამკუთხედში ABSერთად ქმნიან კუთხეს 90° და შესაბამისად მისი სამივე კუთხის ჯამია 90° + 90° = 180°. ზემოთ მოყვანილი "მტკიცებულება" ასევე იყენებს ფორმულას ( ძვ.წ/2) სამკუთხედის ფართობისთვის ABCზედა 90° კუთხით ა. ფაქტობრივად, სხვა ვარაუდებიც გამოიყენეს, მაგრამ რაც ითქვა, საკმარისია იმისთვის, რომ ნათლად დავინახოთ მათემატიკური მტკიცებულების არსებითი მექანიზმი - დედუქციური მსჯელობა, რომელიც იძლევა წმინდა ლოგიკური არგუმენტების გამოყენების საშუალებას (სწორად მომზადებულ მასალაზე დაყრდნობით, ჩვენს მაგალითში - გაყოფა. კვადრატი) გამოყვანა ცნობილი შედეგებიახალი თვისებები, როგორც წესი, არ გამომდინარეობს უშუალოდ არსებული მონაცემებიდან.

აქსიომები და მტკიცების მეთოდები.

მათემატიკური მეთოდის ერთ-ერთი ფუნდამენტური მახასიათებელია საგულდაგულოდ აგებული წმინდა ლოგიკური არგუმენტების დახმარებით განცხადებების ჯაჭვის შექმნის პროცესი, რომელშიც ყოველი თანმიმდევრული რგოლი დაკავშირებულია წინასთან. პირველი საკმაოდ აშკარა მოსაზრება არის ის, რომ ნებისმიერ ჯაჭვს უნდა ჰქონდეს პირველი რგოლი. ეს გარემოება აშკარა გახდა ბერძნებისთვის, როცა VII საუკუნეში მათემატიკური არგუმენტების კოდექსის სისტემატიზაცია დაიწყეს. ძვ.წ. ბერძნებს დასჭირდათ დაახლ. 200 წლისაა და შემორჩენილი დოკუმენტები მხოლოდ უხეშ წარმოდგენას იძლევა იმის შესახებ, თუ როგორ მოქმედებდნენ ისინი. ზუსტი ინფორმაცია გვაქვს მხოლოდ კვლევის საბოლოო შედეგის შესახებ - ცნობილი საწყისებიევკლიდე (დაახლოებით ძვ. წ. 300 წ.). ევკლიდე იწყებს საწყისი პოზიციების ჩამოთვლას, საიდანაც ყველა დანარჩენი წმინდა ლოგიკური გზით არის გამოყვანილი. ამ დებულებებს ეწოდება აქსიომები ან პოსტულატები (ტერმინები პრაქტიკულად ურთიერთშემცვლელია); ისინი გამოხატავენ ნებისმიერი სახის ობიექტების ან ძალიან ზოგად და გარკვეულწილად ბუნდოვან თვისებებს, როგორიცაა "მთელი მეტია ნაწილზე", ან ზოგიერთ სპეციფიკურ მათემატიკურ თვისებებს, როგორიცაა ის ფაქტი, რომ ნებისმიერი ორი წერტილისთვის არის ერთი სწორი ხაზი, რომელიც აკავშირებს მათ. . ჩვენ არც გვაქვს ინფორმაცია იმის შესახებ, ანიჭებდნენ თუ არა ბერძნები რაიმე უფრო ღრმა მნიშვნელობას ან მნიშვნელობას აქსიომების „ჭეშმარიტებას“, თუმცა არის გარკვეული მინიშნებები იმის შესახებ, რომ ბერძნები მათზე გარკვეული დროის განმავლობაში განიხილავდნენ, სანამ გარკვეულ აქსიომებს მიიღებდნენ. ევკლიდესა და მის მიმდევრებში აქსიომები წარმოდგენილია მხოლოდ მათემატიკის აგების ამოსავალ წერტილებად, ყოველგვარი კომენტარის გარეშე მათ ბუნებაზე.

რაც შეეხება მტკიცების მეთოდებს, ისინი, როგორც წესი, დაყვანილ იქნა ადრე დადასტურებული თეორემების უშუალო გამოყენებამდე. თუმცა ზოგჯერ მსჯელობის ლოგიკა უფრო რთული აღმოჩნდა. აქვე აღვნიშნავთ ევკლიდეს საყვარელ მეთოდს, რომელიც გახდა მათემატიკის ყოველდღიური პრაქტიკის ნაწილი – ირიბი მტკიცება, ანუ მტკიცება წინააღმდეგობით. როგორც დაპირისპირების მტკიცებულების ელემენტარული მაგალითი, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ჭადრაკის დაფა, საიდანაც ამოჭრილია ორი კუთხის ველი, რომელიც მდებარეობს დიაგონალის საპირისპირო ბოლოებზე, არ შეიძლება დაიფაროს დომინოებით, რომელთაგან თითოეული უდრის ორ ველს. (ვარაუდობენ, რომ ჭადრაკის დაფის თითოეული კვადრატი მხოლოდ ერთხელ უნდა დაიფაროს.) დავუშვათ, რომ საპირისპირო („საპირისპირო“) დებულება მართალია, ე.ი. რომ დაფა შეიძლება დაიფაროს დომინოთი. თითოეული ფილა ფარავს ერთ შავ და თეთრ კვადრატს, ამიტომ დომინოს სად განთავსდება, ისინი ფარავს შავ და თეთრ კვადრატებს თანაბარ რაოდენობას. თუმცა, იმის გამო, რომ ორი კუთხის კვადრატი ამოღებულია, ჭადრაკის დაფას (რომელსაც თავდაპირველად იმდენივე შავი კვადრატი ჰქონდა, რამდენიც თეთრი კვადრატი) აქვს ერთი ფერის ორი მეტი კვადრატი, ვიდრე მეორე ფერის კვადრატი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი თავდაპირველი ვარაუდი არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი, რადგან ის იწვევს წინააღმდეგობას. და რადგან ურთიერთგამომრიცხავი დებულებები ერთდროულად არ შეიძლება იყოს მცდარი (თუ რომელიმე მათგანი მცდარია, მაშინ საპირისპიროა ჭეშმარიტი), ჩვენი თავდაპირველი ვარაუდი მართალი უნდა იყოს, რადგან წინააღმდეგობრივი ვარაუდი მცდარია; ამიტომ, დიაგონალზე მოთავსებული ორი ამოჭრილი კუთხის კვადრატის მქონე ჭადრაკის დაფა დომინოსით ვერ დაიფარება. ასე რომ, გარკვეული განცხადების დასამტკიცებლად შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ის მცდარია და ამ ვარაუდიდან გამოვიტანოთ წინააღმდეგობა სხვა დებულებასთან, რომლის ჭეშმარიტება ცნობილია.

წინააღმდეგობით მტკიცების შესანიშნავი მაგალითი, რომელიც ძველი ბერძნული მათემატიკის განვითარების ერთ-ერთ ეტაპად იქცა, არის მტკიცებულება, რომ რაციონალური რიცხვი არ არის, ე.ი. არ არის წარმოდგენილი წილადის სახით გვ/ქ, სად გვდა ქ- მთელი რიცხვები. თუ , მაშინ 2 = გვ 2 /ქ 2, საიდანაც გვ 2 = 2ქ 2. დავუშვათ, რომ არსებობს ორი მთელი რიცხვი გვდა ქ, რისთვისაც გვ 2 = 2ქ 2. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ არსებობს მთელი რიცხვი, რომლის კვადრატი ორჯერ უდრის სხვა მთელი რიცხვის კვადრატს. თუ რომელიმე მთელი რიცხვი აკმაყოფილებს ამ პირობას, მაშინ ერთი მათგანი ყველა დანარჩენზე ნაკლები უნდა იყოს. მოდით გავამახვილოთ ყურადღება ამ რიცხვებიდან ყველაზე პატარაზე. დაე ეს იყოს რიცხვი გვ. 2 წლიდან ქ 2 არის ლუწი რიცხვი და გვ 2 = 2ქ 2, შემდეგ ნომერი გვ 2 უნდა იყოს თანაბარი. ვინაიდან ყველა კენტი რიცხვის კვადრატები კენტია და კვადრატი გვ 2 არის ლუწი, ამიტომ თავად რიცხვი გვთანაბარი უნდა იყოს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვი გვორჯერ გარკვეული მთელი რიცხვი რ. როგორც გვ = 2რდა გვ 2 = 2ქ 2, გვაქვს: (2 რ) 2 = 4რ 2 = 2ქ 2 და ქ 2 = 2რ 2. ბოლო თანასწორობას იგივე ფორმა აქვს, რაც თანასწორობას გვ 2 = 2ქ 2 და ჩვენ შეგვიძლია იგივე მსჯელობის გამეორებით ვაჩვენოთ, რომ რიცხვი ქარის ლუწი და რომ არსებობს ასეთი მთელი რიცხვი ს, რა ქ = 2ს. Მაგრამ შემდეგ ქ 2 = (2ს) 2 = 4ს 2 და მას შემდეგ ქ 2 = 2რ 2, ჩვენ ვასკვნით, რომ 4 ს 2 = 2რ 2 ან რ 2 = 2ს 2. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ მეორე მთელ რიცხვს, რომელიც აკმაყოფილებს იმ პირობას, რომ მისი კვადრატი ორჯერ იყოს სხვა მთელი რიცხვის კვადრატზე. Მაგრამ შემდეგ გვარ შეიძლება იყოს ყველაზე პატარა ასეთი რიცხვი (რადგან რ = გვ/2), თუმცა თავდაპირველად ვივარაუდეთ, რომ ეს ყველაზე მცირეა ასეთ რიცხვებს შორის. მაშასადამე, ჩვენი თავდაპირველი ვარაუდი მცდარია, რადგან ეს იწვევს წინააღმდეგობას და, შესაბამისად, არ არსებობს ასეთი მთელი რიცხვები გვდა ქ, რისთვისაც გვ 2 = 2ქ 2 (ანუ ისეთი, რომ ). და ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი არ შეიძლება იყოს რაციონალური.

ევკლიდედან XIX საუკუნის დასაწყისამდე.

ამ პერიოდში მათემატიკა საგრძნობლად შეიცვალა სამი ინოვაციის შედეგად.

(1) ალგებრის განვითარების პროცესში გამოიგონეს სიმბოლური აღნიშვნის მეთოდი, რამაც შესაძლებელი გახადა მზარდი რთული ურთიერთობების წარმოდგენა რაოდენობებს შორის შემოკლებული ფორმით. როგორც მაგალითი იმ უხერხულობისა, რომელიც წარმოიქმნებოდა, თუ არ არსებობდა ასეთი „კურსული დამწერლობა“, შევეცადოთ სიტყვებით გადმოგცეთ თანაფარდობა ( ა + ბ) 2 = ა 2 + 2აბ + ბ 2: "კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდი ტოლია ორი მოცემული კვადრატის გვერდების ჯამის ტოლია მათი ფართობების ჯამისა და მართკუთხედის ფართობის ორჯერ, რომლის გვერდები ტოლია გვერდების მოცემული კვადრატები“.

(2) შემოქმედება მე-17 საუკუნის პირველ ნახევარში. ანალიტიკური გეომეტრია, რამაც შესაძლებელი გახადა კლასიკური გეომეტრიის ნებისმიერი პრობლემის დაყვანა რაიმე ალგებრულ პრობლემამდე.

(3) 1600-დან 1800 წლამდე უსასრულო კალკულუსის შექმნა და განვითარება, რამაც შესაძლებელი გახადა მარტივად და სისტემატურად გადაეჭრა ასობით პრობლემა, რომლებიც დაკავშირებული იყო ლიმიტისა და უწყვეტობის ცნებებთან, რომელთაგან მხოლოდ ძალიან ცოტა იყო გადაჭრილი დიდი სირთულეებით ძველი ბერძნულის მიერ. მათემატიკოსები. მათემატიკის ეს დარგები უფრო დეტალურად არის განხილული სტატიებში ალგებრა; ანალიტიკური გეომეტრია ; მათემატიკური ანალიზი; გეომეტრიის მიმოხილვა.

მე-17 საუკუნიდან დაწყებული. თანდათან ხსნის კითხვას, რომელიც აქამდე გადაუჭრელი რჩებოდა. რა არის მათემატიკა? 1800 წლამდე პასუხი საკმაოდ მარტივი იყო. იმ დროს არ არსებობდა მკაფიო საზღვრები სხვადასხვა მეცნიერებებს შორის, მათემატიკა იყო ნაწილი ". ბუნებრივი ფილოსოფია”- ბუნების სისტემატური შესწავლა რენესანსისა და მე-17 საუკუნის დასაწყისის დიდი რეფორმატორების მიერ შემოთავაზებული მეთოდებით. - გალილეო (1564–1642), ფ.ბეკონი (1561–1626) და რ. დეკარტი (1596–1650). ითვლებოდა, რომ მათემატიკოსებს ჰქონდათ საკუთარი სწავლის სფერო – რიცხვები და გეომეტრიული ობიექტები და მათემატიკოსები არ იყენებდნენ ექსპერიმენტულ მეთოდს. თუმცა, ნიუტონი და მისი მიმდევრები სწავლობდნენ მექანიკას და ასტრონომიას აქსიომური მეთოდის გამოყენებით, ევკლიდეს გეომეტრიის მსგავსად. ზოგადად, აღიარებულია, რომ ნებისმიერი მეცნიერება, რომელშიც ექსპერიმენტის შედეგები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი რიცხვების ან რიცხვების სისტემების გამოყენებით, ხდება მათემატიკის გამოყენების სფერო (ფიზიკაში ეს იდეა მხოლოდ მე-19 საუკუნეში დამკვიდრდა).

ექსპერიმენტული მეცნიერების სფეროებს, რომლებმაც გაიარეს მათემატიკური დამუშავება, ხშირად მოიხსენიება როგორც „გამოყენებითი მათემატიკა“; ეს ძალიან სამწუხარო სახელია, რადგან არც კლასიკური და არც თანამედროვე სტანდარტებით ამ აპლიკაციებში არ არსებობს (მკაცრი გაგებით) ჭეშმარიტად მათემატიკური არგუმენტები, რადგან არამათემატიკური ობიექტები მათში შესწავლის საგანია. მას შემდეგ, რაც ექსპერიმენტული მონაცემები ითარგმნება რიცხვების ან განტოლებების ენაზე (ასეთი „თარგმანი“ ხშირად მოითხოვს დიდ ჭკუას „გამოყენებული“ მათემატიკოსის მხრიდან), ჩნდება მათემატიკური თეორემების ფართო გამოყენების შესაძლებლობა; შედეგი ითარგმნება უკან და შედარებულია დაკვირვებებთან. ის ფაქტი, რომ ტერმინი „მათემატიკა“ გამოიყენება ამ ტიპის პროცესზე, გაუთავებელი გაუგებრობების ერთ-ერთი წყაროა. "კლასიკურ" დროში, რომელზეც ახლა ვსაუბრობთ, ასეთი გაუგებრობა არ არსებობდა, რადგან ერთი და იგივე ადამიანები იყვნენ როგორც "გამოყენებული" და "სუფთა" მათემატიკოსები, რომლებიც ერთდროულად აგვარებდნენ მათემატიკური ანალიზის ან რიცხვების თეორიის პრობლემებს და პრობლემებს. დინამიკის ან ოპტიკის. თუმცა, გაზრდილმა სპეციალიზაციამ და მიდრეკილებამ "სუფთა" და "გამოყენებითი" მათემატიკოსების განცალკევება საგრძნობლად შეასუსტა უნივერსალურობის მანამდე არსებული ტრადიცია და მეცნიერებმა, რომლებმაც ჯ. ფონ ნეუმანის (1903-1957) მსგავსად შეძლეს აქტიურად. სამეცნიერო მოღვაწეობაროგორც გამოყენებით, ისე წმინდა მათემატიკაში, გამონაკლისად იქცა და არა წესად.

როგორია მათემატიკური ობიექტები - რიცხვები, წერტილები, წრფეები, კუთხეები, ზედაპირები და ა.შ., რომელთა არსებობა ჩვენ თავისთავად მივიღეთ? რას ნიშნავს ცნება „სიმართლე“ ასეთ ობიექტებთან მიმართებაში? კლასიკურ პერიოდში ამ კითხვებზე საკმაოდ ცალსახა პასუხები იყო გაცემული. რა თქმა უნდა, იმ ეპოქის მეცნიერებმა ნათლად გააცნობიერეს, რომ ჩვენი შეგრძნებების სამყაროში არ არსებობს ისეთი რამ, როგორიცაა ევკლიდეს „უსასრულოდ გაშლილი სწორი ხაზი“ ან „წერტილი განზომილების გარეშე“, ისევე როგორც არ არსებობს „სუფთა ლითონები“, „მონოქრომული შუქი“. ", "თბოიზოლირებული სისტემები" და ა.შ. ყველა ეს კონცეფცია არის „პლატონური იდეები“, ე.ი. ემპირიული კონცეფციების ერთგვარი გენერაციული მოდელები, თუმცა რადიკალურად განსხვავებული ხასიათისა. მიუხედავად ამისა, ჩუმად იყო ვარაუდი, რომ იდეების ფიზიკური „გამოსახულებები“ შეიძლება თვითნებურად ახლოს ყოფილიყო თავად იდეებთან. რამდენადაც შეიძლება რაიმეს თქმა საგნების იდეებთან სიახლოვის შესახებ, „იდეები“ არის, ასე ვთქვათ, ფიზიკური ობიექტების „შეზღუდული შემთხვევები“. ამ თვალსაზრისით, ევკლიდეს აქსიომები და მათგან მიღებული თეორემები გამოხატავს „იდეალური“ ობიექტების თვისებებს, რომლებიც უნდა შეესაბამებოდეს პროგნოზირებად ექსპერიმენტულ ფაქტებს. მაგალითად, სივრცეში სამი წერტილით ჩამოყალიბებული სამკუთხედის კუთხეების ოპტიკური მეთოდებით გაზომვამ „იდეალურ შემთხვევაში“ უნდა მისცეს ჯამი ტოლი 180 °. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აქსიომები მოთავსებულია იმავე დონეზე, როგორც ფიზიკური კანონები და ამიტომ მათი „ჭეშმარიტება“ ისევე აღიქმება, როგორც ფიზიკური კანონების ჭეშმარიტება; იმათ. აქსიომების ლოგიკური შედეგები ექვემდებარება შემოწმებას ექსპერიმენტულ მონაცემებთან შედარებით. რა თქმა უნდა, შეთანხმების მიღწევა შესაძლებელია მხოლოდ იმ შეცდომის ფარგლებში, რომელიც დაკავშირებულია როგორც საზომი მოწყობილობის „არასრულყოფილ“ ბუნებასთან, ასევე გასაზომი ობიექტის „არასრულყოფილ ბუნებასთან“. თუმცა, ყოველთვის ვარაუდობენ, რომ თუ კანონები „ჭეშმარიტია“, მაშინ გაზომვის პროცესების გაუმჯობესებამ შეიძლება, პრინციპში, გაზომვის შეცდომა მაქსიმალურად მცირე გახადოს.

მთელი მე-18 საუკუნის განმავლობაში სულ უფრო და უფრო მეტი მტკიცებულება იყო, რომ ძირითადი აქსიომებიდან მიღებული ყველა შედეგი, განსაკუთრებით ასტრონომიასა და მექანიკაში, შეესაბამება ექსპერიმენტულ მონაცემებს. და რადგან ეს შედეგები მიღწეული იყო იმ დროს არსებული მათემატიკური აპარატის გამოყენებით, მიღწეულმა წარმატებებმა ხელი შეუწყო ევკლიდეს აქსიომების ჭეშმარიტების შესახებ მოსაზრების განმტკიცებას, რაც, როგორც პლატონმა თქვა, "ყველასთვის გასაგებია" და არ ექვემდებარება განხილვას.

ეჭვები და ახალი იმედები.

არაევკლიდური გეომეტრია.

ევკლიდეს მიერ მოწოდებულ პოსტულატებს შორის ერთი ისეთი არა აშკარა იყო, რომ დიდი მათემატიკოსის პირველმა მოსწავლეებმაც კი მიიჩნიეს ეს სისტემის სუსტ წერტილად. დაიწყო. განსახილველი აქსიომა ამბობს, რომ მოცემული წრფის მიღმა მდებარე წერტილის გავლით, მოცემული წრფის პარალელურად მხოლოდ ერთი წრფის გაყვანა შეიძლება. გეომეტრების უმეტესობას სჯეროდა, რომ პარალელების აქსიომა შეიძლება დადასტურდეს სხვა აქსიომების გამოყენებით და რომ ევკლიდემ ჩამოაყალიბა პარალელების მტკიცება პოსტულატად მხოლოდ იმიტომ, რომ მან ვერ მოიტანა ასეთი მტკიცებულება. მაგრამ მიუხედავად იმისა საუკეთესო მათემატიკოსებიცდილობდა პარალელების პრობლემის გადაჭრას, ვერცერთმა ვერ გადააჭარბა ევკლიდეს. ბოლოს მე-18 საუკუნის მეორე ნახევარში. ცდილობდნენ დაემტკიცებინათ ევკლიდეს პარალელების პოსტულატი წინააღმდეგობებით. ვარაუდობენ, რომ პარალელური აქსიომა მცდარია. აპრიორი, ევკლიდეს პოსტულატი შეიძლება აღმოჩნდეს მცდარი ორ შემთხვევაში: თუ შეუძლებელია ერთი პარალელური წრფის გაყვანა მოცემული წრფის მიღმა წერტილში; ან თუ მასში რამდენიმე პარალელური ხაზის გაყვანა შეიძლება. აღმოჩნდა, რომ პირველი აპრიორი შესაძლებლობა სხვა აქსიომებითაა გამორიცხული. მიიღეს ახალი აქსიომა, ნაცვლად ტრადიციული აქსიომისა პარალელების შესახებ (რომ მოცემული წრფის მიღმა მდებარე წერტილის მეშვეობით შეიძლება მოცემული პარალელურად რამდენიმე წრფის დახატვა), მათემატიკოსები ცდილობდნენ მისგან გამოეყვანათ განცხადება, რომელიც ეწინააღმდეგებოდა სხვა აქსიომებს, მაგრამ ვერ შეძლეს: რამდენიც არ უნდა სცადეს შედეგების გამოტანა ახალი „ანტიევკლიდური“ თუ „არაევკლიდური“ აქსიომიდან, წინააღმდეგობა არ ჩანდა. საბოლოოდ, ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად, ნ.ი. ლობაჩევსკიმ (1793–1856) და ჯ. ბოლაიმ (1802–1860) გააცნობიერეს, რომ ევკლიდეს პოსტულატი პარალელების შესახებ დაუმტკიცებელია, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წინააღმდეგობა არ გამოჩნდება „არაევკლიდეს გეომეტრიაში“. .

არაევკლიდური გეომეტრიის მოსვლასთან ერთად, მაშინვე წარმოიშვა რამდენიმე ფილოსოფიური პრობლემა. ვინაიდან აქსიომების აპრიორული აუცილებლობის შესახებ პრეტენზია გაქრა, მათი „სიმართლის“ შემოწმების ერთადერთი გზა დარჩა - ექსპერიმენტულად. მაგრამ, როგორც ა. პუანკარემ (1854–1912) მოგვიანებით აღნიშნა, ნებისმიერი ფენომენის აღწერისას იმალება იმდენი ფიზიკური ვარაუდი, რომ ვერც ერთი ექსპერიმენტი ვერ უზრუნველყოფს მათემატიკური აქსიომის ჭეშმარიტების ან სიცრუის დამაჯერებელ მტკიცებულებას. უფრო მეტიც, თუნდაც ვივარაუდოთ, რომ ჩვენი სამყარო არის „არაევკლიდური“, განა ეს იმას მოჰყვება, რომ მთელი ევკლიდური გეომეტრია მცდარია? რამდენადაც ცნობილია, არცერთ მათემატიკოსს არ განუხილავს ასეთი ვარაუდი სერიოზულად. ინტუიცია ვარაუდობს, რომ ევკლიდური და არაევკლიდური გეომეტრიები სრულფასოვანი მათემატიკის მაგალითებია.

მათემატიკური მონსტრები.

მოულოდნელად, იგივე დასკვნები სრულიად განსხვავებული მიმართულებიდან გამოვიდა - აღმოაჩინეს ობიექტები, რომლებმაც ჩაძირეს მე-19 საუკუნის მათემატიკოსები. შეძრწუნებული და „მათემატიკის მონსტრები“ შეარქვეს. ეს აღმოჩენა პირდაპირ კავშირშია მათემატიკური ანალიზის ძალიან დახვეწილ კითხვებთან, რომლებიც წარმოიშვა მხოლოდ მე-19 საუკუნის შუა ხანებში. სირთულეები წარმოიშვა მრუდის ექსპერიმენტული კონცეფციის ზუსტი მათემატიკური ანალოგის პოვნის მცდელობისას. რა იყო „უწყვეტი მოძრაობის“ კონცეფციის არსი (მაგალითად, ფურცელზე გადაადგილებული სახატავი კალმის წვერი) ექვემდებარებოდა ზუსტ მათემატიკურ განმარტებას და ეს მიზანი მიღწეული იქნა მაშინ, როდესაც უწყვეტობის ცნებამ შეიძინა მკაცრი მათემატიკური მნიშვნელობა ( სმ. ასევემრუდი). ინტუიციურად ჩანდა, რომ "მრუდს" მის თითოეულ წერტილში ჰქონდა, თითქოსდა, მიმართულება, ე.ი. ზოგადად, მისი თითოეული წერტილის სამეზობლოში, მრუდი იქცევა თითქმის ისევე, როგორც სწორი ხაზი. (მეორეს მხრივ, ადვილი წარმოსადგენია, რომ მრუდს აქვს კუთხის წერტილების სასრული რაოდენობა, მრავლკუთხედის მსგავსად, „მოხვევა“). და მე-19 საუკუნის შუა ხანებამდე. ითვლებოდა, რომ "მრუდს" ჰქონდა ტანგენსი მის თითქმის ყველა წერტილში, შესაძლოა, ზოგიერთი "განსაკუთრებული" წერტილის გარდა. მაშასადამე, „მრუდების“ აღმოჩენამ, რომელსაც არცერთ მომენტში არ ჰქონდა ტანგენსი, ნამდვილი სკანდალი გამოიწვია ( სმ. ასევეფუნქციების თეორია). (ტრიგონომეტრიისა და ანალიტიკური გეომეტრიის ნაცნობ მკითხველს შეუძლია ადვილად გადაამოწმოს, რომ განტოლებით მოცემული მრუდი წ = x sin(1/ x), არ აქვს საწყისზე ტანგენსი, მაგრამ მრუდის განსაზღვრა, რომელსაც არ აქვს ტანგენსი მის რომელიმე წერტილში, გაცილებით რთულია.)

ცოტა მოგვიანებით, ბევრად უფრო "პათოლოგიური" შედეგი იქნა მიღებული: შესაძლებელი გახდა მრუდის მაგალითის აგება, რომელიც მთლიანად ავსებს კვადრატს. მას შემდეგ ასობით ასეთი "მონსტრები" გამოიგონეს, "საღი აზრის" საწინააღმდეგოდ. ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ ასეთი უჩვეულო მათემატიკური ობიექტების არსებობა ძირითადი აქსიომებიდან გამომდინარეობს ისეთივე მკაცრად და ლოგიკურად უნაკლო, როგორც სამკუთხედის ან ელიფსის არსებობა. ვინაიდან მათემატიკური „მონსტრები“ ვერ შეესაბამებიან არცერთ ექსპერიმენტულ ობიექტს და ერთადერთი შესაძლო დასკვნა არის ის, რომ მათემატიკური „იდეების“ სამყარო გაცილებით მდიდარი და უჩვეულოა, ვიდრე შეიძლება მოსალოდნელია, და მათგან ძალიან ცოტას აქვს შესაბამისობა ჩვენი შეგრძნებების სამყაროში. . მაგრამ თუ მათემატიკური „მონსტრები“ ლოგიკურად გამომდინარეობენ აქსიომებიდან, მაშინ შეიძლება აქსიომები მაინც ჩაითვალოს ჭეშმარიტად?

ახალი ობიექტები.

ზემოაღნიშნული შედეგები სხვა მხრიდანაც დადასტურდა: მათემატიკაში, ძირითადად ალგებრაში, ერთმანეთის მიყოლებით დაიწყეს ახალი მათემატიკური ობიექტების გამოჩენა, რომლებიც რიცხვის ცნების განზოგადება იყო. ჩვეულებრივი მთელი რიცხვები საკმაოდ „ინტუიციურია“ და სულაც არ არის რთული წილადის ექსპერიმენტულ კონცეფციამდე მისვლა (თუმცა უნდა ვაღიაროთ, რომ ერთეულის რამდენიმე თანაბარ ნაწილად დაყოფა და რამდენიმე მათგანის არჩევა არსებითად განსხვავდება პროცესისგან. დათვლის). მას შემდეგ რაც გაირკვა, რომ რიცხვი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, ბერძნები იძულებულნი გახდნენ განეხილათ ირაციონალური რიცხვები, რომელთა სწორი განმარტება რაციონალური რიცხვებით მიახლოებების უსასრულო თანმიმდევრობის გამოყენებით განეკუთვნება ადამიანის გონების უმაღლეს მიღწევებს, მაგრამ ძნელად შეესაბამება რაიმე რეალურს ჩვენს ფიზიკურ სამყაროში (სადაც ნებისმიერი გაზომვა უცვლელად ექვემდებარება შეცდომებს). მიუხედავად ამისა, ირაციონალური რიცხვების შემოღება მეტ-ნაკლებად ხდებოდა ფიზიკური ცნებების „იდეალიზაციის“ სულისკვეთებით. რაც შეეხება უარყოფით რიცხვებს, რომლებიც ნელ-ნელა, დიდი წინააღმდეგობის გაწევით, დაიწყეს მეცნიერულ გამოყენებაში ალგებრის განვითარებასთან დაკავშირებით? დარწმუნებით შეიძლება ითქვას, რომ არ არსებობდა მზა ფიზიკური ობიექტები, საიდანაც შეგვეძლო განვავითაროთ უარყოფითი რიცხვის კონცეფცია პირდაპირი აბსტრაქციის პროცესის გამოყენებით და ელემენტარული ალგებრის კურსის სწავლებისას ბევრი უნდა შემოვიტანოთ. დამხმარე და საკმაოდ რთული მაგალითები (ორიენტირებული სეგმენტები, ტემპერატურა, დავალიანება და ა.შ.) იმის ასახსნელად, თუ რა არის უარყოფითი რიცხვები. ეს პოზიცია ძალიან შორს არის „ყველასთვის ცხადი“, როგორც პლატონი მოითხოვდა მათემატიკის საფუძველში მყოფი იდეების შესახებ, და არც ისე იშვიათია კოლეჯის კურსდამთავრებულების შეხვედრა, რომლებისთვისაც ნიშნების წესი ჯერ კიდევ საიდუმლოა (- ა)(–ბ) = აბ. იხილეთ ასევენომერი .

სიტუაცია კიდევ უფრო უარესია "წარმოსახვითი", ან "რთული" რიცხვებით, რადგან მათში შედის "რიცხვი". მე, ისეთივე როგორც მე 2 = -1, რაც ნიშნის წესის აშკარა დარღვევაა. მიუხედავად ამისა, მათემატიკოსები მე-16 საუკუნის ბოლოდან. ნუ დააყოვნებთ კომპლექსური რიცხვებით გამოთვლების შესრულებას, თითქოს ისინი „აზრს ქმნიან“, თუმცა 200 წლის წინ მათ არ შეეძლოთ ამ „ობიექტების“ განსაზღვრა ან მათი ინტერპრეტაცია რაიმე დამხმარე კონსტრუქციის გამოყენებით, როგორც, მაგალითად, მათი ინტერპრეტაცია იყო მიმართული სეგმენტების უარყოფითი რიცხვების გამოყენებით. . (1800 წლის შემდეგ შესთავაზეს რამდენიმე ინტერპრეტაცია რთული რიცხვებიყველაზე ცნობილი არის თვითმფრინავში ვექტორების საშუალებით.)

თანამედროვე აქსიომატიკა.

რევოლუცია მოხდა XIX საუკუნის მეორე ნახევარში. და მართალია ამას არ ახლდა ოფიციალური განცხადებების მიღება, სინამდვილეში ეს იყო ერთგვარი „დამოუკიდებლობის გამოცხადების“ გამოცხადება. უფრო კონკრეტულად, გარე სამყაროსგან მათემატიკის დამოუკიდებლობის დე ფაქტო გამოცხადების შესახებ.

ამ თვალსაზრისით, მათემატიკური „ობიექტები“, თუ საერთოდ აზრი აქვს მათ „არსებობაზე“ ლაპარაკს, არის გონების წმინდა ქმნილებები და აქვთ თუ არა მათ რაიმე „შესაბამისობა“ და ნებას რთავენ თუ არა რაიმე „ინტერპრეტაციას“ ფიზიკური სამყარო, მათემატიკისთვის უმნიშვნელოა (თუმცა თავად კითხვა საინტერესოა).

"ჭეშმარიტი" განცხადებები ასეთი "ობიექტების" შესახებ არის იგივე ლოგიკური შედეგები აქსიომებიდან. მაგრამ ახლა აქსიომები სრულიად თვითნებურად უნდა ჩაითვალოს და, შესაბამისად, არ არის საჭირო მათი „აშკარა“ ან „იდეალიზაციის“ საშუალებით ყოველდღიური გამოცდილებიდან გამოყვანა. პრაქტიკაში სრული თავისუფლება შეზღუდულია სხვადასხვა მოსაზრებებით. რა თქმა უნდა, "კლასიკური" ობიექტები და მათი აქსიომები უცვლელი რჩება, მაგრამ ახლა ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკის ერთადერთ ობიექტებად და აქსიომებად და აქსიომების ამოგდების ან გადამუშავების ჩვევა ისე, რომ შესაძლებელი იყოს მათი გამოყენება სხვადასხვა გზით. როგორც გაკეთდა გარდამავალ პერიოდში, შევიდა ყოველდღიურ პრაქტიკაში.ევკლიდურიდან არაევკლიდეს გეომეტრიაზე. (ასე იქნა მიღებული "არაევკლიდური" გეომეტრიის მრავალი ვარიანტი, გარდა ევკლიდური გეომეტრიისა და ლობაჩევსკი-ბოლიაის გეომეტრიისა; მაგალითად, არის არაევკლიდური გეომეტრიები, რომლებშიც არ არის პარალელური ხაზები.)

მინდა ხაზი გავუსვა ერთ გარემოებას, რომელიც გამომდინარეობს მათემატიკური „ობიექტების“ ახალი მიდგომიდან: ყველა მტკიცებულება მხოლოდ აქსიომებს უნდა ეფუძნებოდეს. თუ გავიხსენებთ მათემატიკური მტკიცებულების განმარტებას, მაშინ ასეთი განცხადება შეიძლება გამეორებად მოგვეჩვენოს. თუმცა, ამ წესს იშვიათად იცავდნენ კლასიკურ მათემატიკაში მისი საგნების ან აქსიომების „ინტუიციური“ ბუნების გამო. თუნდაც შიგნით საწყისებიევკლიდე, მთელი მათი ერთი შეხედვით „სიმკაცრის“ მიუხედავად, ბევრი აქსიომა ცალსახად არ არის ჩამოყალიბებული და ბევრი თვისება ან ჩუმად არის დაშვებული ან შემოტანილი საკმარისი დასაბუთების გარეშე. ევკლიდეს გეომეტრიის მყარ საფუძველზე დასაყენებლად საჭირო იყო მისი პრინციპების კრიტიკული გადახედვა. ზედმეტია იმის თქმა, რომ მტკიცებულების უმცირეს დეტალებზე პედანტური კონტროლი არის „მონსტრების“ გამოჩენის შედეგი, რომლებმაც თანამედროვე მათემატიკოსებს ასწავლეს სიფრთხილე თავიანთ დასკვნებში. კლასიკური ობიექტების შესახებ ყველაზე უვნებელი და „თვითცხადი“ მტკიცება, როგორიცაა მტკიცება, რომ სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს მდებარე წერტილების დამაკავშირებელი მრუდი აუცილებლად კვეთს ამ სწორ ხაზს, თანამედროვე მათემატიკაში საჭიროა მკაცრი ფორმალური მტკიცებულება.

შეიძლება პარადოქსულად მოგეჩვენოთ იმის თქმა, რომ სწორედ აქსიომების ერთგულების გამო ემსახურება თანამედროვე მათემატიკა ნათელ მაგალითს იმისა, თუ როგორი უნდა იყოს ნებისმიერი მეცნიერება. მიუხედავად ამისა, ეს მიდგომა ასახავს სამეცნიერო აზროვნების ერთ-ერთი ფუნდამენტური პროცესის დამახასიათებელ მახასიათებელს - არასრული ცოდნის პირობებში ზუსტი ინფორმაციის მოპოვებას. Სამეცნიერო გამოკვლევაობიექტების გარკვეული კლასი ვარაუდობს, რომ ის თვისებები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის ერთი ობიექტის მეორისგან გარჩევას, განზრახ დავიწყებულია და მხოლოდ განხილული ობიექტების ზოგადი მახასიათებლებია დაცული. რაც განასხვავებს მათემატიკას მეცნიერებათა ზოგადი სპექტრისგან, არის ამ პროგრამის მკაცრი დაცვა მისი ყველა პუნქტით. ითვლება, რომ მათემატიკური ობიექტები მთლიანად განისაზღვრება ამ ობიექტების თეორიაში გამოყენებული აქსიომებით; ან, პუანკარეს სიტყვებით, აქსიომები ემსახურება როგორც „შენიღბული განმარტებები“ იმ ობიექტების, რომლებსაც ისინი მიმართავენ.

თანამედროვე მათემატიკა

მიუხედავად იმისა, რომ ნებისმიერი აქსიომების არსებობა თეორიულად შესაძლებელია, აქსიომების მხოლოდ მცირე რაოდენობაა შემოთავაზებული და შესწავლილი. ჩვეულებრივ, ერთი ან რამდენიმე თეორიის შემუშავების პროცესში შეინიშნება, რომ მტკიცების ზოგიერთი სქემა მეტ-ნაკლებად მსგავს პირობებში მეორდება. მტკიცებულებების ზოგად სქემებში გამოყენებული თვისებების აღმოჩენის შემდეგ, ისინი ჩამოყალიბებულია აქსიომების სახით და მათი შედეგები აგებულია ზოგად თეორიაში, რომელიც პირდაპირ არ არის დაკავშირებული იმ კონკრეტულ კონტექსტებთან, საიდანაც აქსიომები იქნა ამოღებული. ამგვარად მიღებული ზოგადი თეორემები გამოიყენება ნებისმიერი მათემატიკური სიტუაციისთვის, რომელშიც არის ობიექტების სისტემები, რომლებიც აკმაყოფილებს შესაბამის აქსიომებს. ერთი და იგივე მტკიცებულების სქემების გამეორება სხვადასხვა მათემატიკური სიტუაციებში მიუთითებს იმაზე, რომ საქმე გვაქვს ერთი და იგივე ზოგადი თეორიის განსხვავებულ კონკრეტიზაციასთან. ეს ნიშნავს, რომ შესაბამისი ინტერპრეტაციის შემდეგ, ამ თეორიის აქსიომები თეორემებად იქცევა ყველა სიტუაციაში. აქსიომებიდან გამოტანილი ნებისმიერი თვისება მართებულია ყველა ამ სიტუაციაში, მაგრამ არ არის საჭირო ცალკეული მტკიცებულება თითოეული შემთხვევისთვის. ასეთ შემთხვევებში მათემატიკურ სიტუაციებს აქვთ იგივე მათემატიკური "სტრუქტურა".

ჩვენ ვიყენებთ სტრუქტურის ცნებას ჩვენს ყოველ ნაბიჯზე Ყოველდღიური ცხოვრების. თუ თერმომეტრი აჩვენებს 10°C-ს და პროგნოზის ოფისი პროგნოზირებს ტემპერატურის მატებას 5°C-ით, ჩვენ ველოდებით 15°C ტემპერატურას ყოველგვარი გამოთვლების გარეშე. თუ წიგნი გაიხსნება მე-10 გვერდზე და გვთხოვენ გადახედოთ 5 გვერდის შემდგომ, ჩვენ უყოყმანოდ გავხსნით მე-15 გვერდზე, შუალედური გვერდების დათვლის გარეშე. ორივე შემთხვევაში მიგვაჩნია, რომ რიცხვების დამატება სწორ შედეგს იძლევა, მიუხედავად მათი ინტერპრეტაციისა - ტემპერატურისა თუ გვერდის ნომრის სახით. ჩვენ არ გვჭირდება ერთი არითმეტიკის სწავლა თერმომეტრებისთვის და მეორის გვერდების ნომრებისთვის (თუმცა საათებისთვის ვიყენებთ სპეციალურ არითმეტიკას, რომელშიც 8 + 5 = 1, რადგან საათებს აქვთ განსხვავებული სტრუქტურა, ვიდრე წიგნის გვერდები). მათემატიკოსთათვის საინტერესო სტრუქტურები გამოირჩევიან გარკვეულწილად უფრო მაღალი სირთულით, რაც ადვილი შესამჩნევია მაგალითებიდან, რომელთა ანალიზი ეთმობა ამ სტატიის მომდევნო ორ ნაწილს. ერთ-ერთი მათგანი ეხება ჯგუფების თეორიას და სტრუქტურებისა და იზომორფიზმების მათემატიკურ ცნებებს.

ჯგუფის თეორია.

ზემოთ აღწერილი პროცესის უკეთ გასაგებად ზოგადი თვალსაზრისითმოდი, ავღნიშნეთ თანამედროვე მათემატიკოსის ლაბორატორია და უფრო ახლოს მივხედოთ მის ერთ-ერთ მთავარ ინსტრუმენტს - ჯგუფის თეორიას ( სმ. ასევეალგებრა აბსტრაქტი). ჯგუფი არის ობიექტების კოლექცია (ან "კომპლექტი"). გ, რომელზედაც განისაზღვრება ოპერაცია, რომელიც აკავშირებს ნებისმიერ ორ ობიექტს ან ელემენტს ა, ბდან გ, აღებულია მითითებული თანმიმდევრობით (პირველი არის ელემენტი ა, მეორე არის ელემენტი ბ), მესამე ელემენტი გდან გმკაცრად განსაზღვრული წესის მიხედვით. მოკლედ, ჩვენ აღვნიშნავთ ამ ელემენტს ა*ბ; ვარსკვლავი (*) ნიშნავს ორი ელემენტის კომპოზიციის მოქმედებას. ეს ოპერაცია, რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ ჯგუფურ გამრავლებას, უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:

(1) ნებისმიერი სამი ელემენტისთვის ა, ბ, გდან გასოციაციურობის თვისება დაკმაყოფილებულია: ა* (ბ*გ) = (ა*ბ) *გ;

(2) in გარის ასეთი ელემენტი ე, რომელიც ნებისმიერი ელემენტისთვის ადან გარის ურთიერთობა ე*ა = ა*ე = ა; ამ ელემენტს ეეწოდება ჯგუფის იდენტურობა ან ნეიტრალური ელემენტი;

(3) ნებისმიერი ელემენტისთვის ადან გარის ასეთი ელემენტი ა¢, რომელსაც ინვერსიული ან სიმეტრიული ეწოდება ელემენტამდე ა, რა ა*აў = აў* ა = ე.

თუ ეს თვისებები აქსიომებად მივიღეთ, მაშინ მათი ლოგიკური შედეგები (სხვა აქსიომებისა თუ თეორემებისგან დამოუკიდებლად) ერთად ქმნის იმას, რასაც ჩვეულებრივ ჯგუფურ თეორიას უწოდებენ. ამ შედეგების ერთხელ და სამუდამოდ გამოტანა ძალიან სასარგებლო აღმოჩნდა, რადგან ჯგუფები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკის ყველა დარგში. ჯგუფების ათასობით შესაძლო მაგალითიდან ჩვენ ავირჩევთ მხოლოდ რამდენიმე უმარტივესს.

(ა) წილადები გვ/ქ, სად გვდა ქარის თვითნებური მთელი რიცხვები i1 (ამისთვის ქ= 1 ვიღებთ ჩვეულებრივ მთელ რიცხვებს). წილადები გვ/ქშექმენით ჯგუფი ჯგუფური გამრავლების მიმართ ( გვ/ქ) *(რ/ს) = (პრ)/(qs). თვისებები (1), (2), (3) გამომდინარეობს არითმეტიკის აქსიომებიდან. მართლა, [( გვ/ქ) *(რ/ს)] *(ტ/u) = (პრტ)/(qsu) = (გვ/ქ)*[(რ/ს)*(ტ/u)]. პირადობის ელემენტია რიცხვი 1 = 1/1, ვინაიდან (1/1)*( გვ/ქ) = (1 სთ გვ)/(1სთ ქ) = გვ/ქ. და ბოლოს, ელემენტი შებრუნებულია წილადის მიმართ გვ/ქ, არის წილადი ქ/გვ, როგორც ( გვ/ქ)*(ქ/გვ) = (pq)/(pq) = 1.

(ბ) განვიხილოთ როგორც გოთხი მთელი რიცხვის ნაკრები 0, 1, 2, 3 და როგორც ა*ბ- განყოფილების დარჩენილი ნაწილი ა + ბ 4. ამგვარად დანერგილი ოპერაციის შედეგები წარმოდგენილია ცხრილში. 1 (ელემენტი ა*ბდგას ხაზის გადაკვეთაზე ადა სვეტი ბ). მარტივია იმის შემოწმება, რომ თვისებები (1)–(3) დაკმაყოფილებულია და ნომერი 0 არის პირადობის ელემენტი.

(გ) ვირჩევთ როგორც გრიცხვების ნაკრები 1, 2, 3, 4 და როგორც ა*ბ- განყოფილების დარჩენილი ნაწილი აბ(ჩვეულებრივი პროდუქტი) 5-ით. შედეგად ვიღებთ ცხრილს. 2. მარტივია იმის შემოწმება, რომ თვისებები (1)–(3) დაკმაყოფილებულია და 1 არის პირადობის ელემენტი.

(დ) ოთხი ობიექტი, როგორიცაა ოთხი რიცხვი 1, 2, 3, 4, შეიძლება განლაგდეს ზედიზედ 24 გზით. თითოეული ლოკაცია შეიძლება ვიზუალურად წარმოვიდგინოთ, როგორც ტრანსფორმაცია, რომელიც თარგმნის „ბუნებრივ“ მდებარეობას მოცემულად; მაგალითად, მდებარეობა 4, 1, 2, 3 მიიღება ტრანსფორმაციის შედეგად

ს: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

რომელიც შეიძლება უფრო მოსახერხებელი ფორმით დაიწეროს

ნებისმიერი ორი ასეთი ტრანსფორმაციისთვის ს, თჩვენ განვსაზღვრავთ ს*თროგორც ტრანსფორმაცია, რომელიც იქნება თანმიმდევრული შესრულების შედეგად თ, და მერე ს. მაგალითად, თუ, მაშინ. ამ განსაზღვრებით, 24-ვე შესაძლო ტრანსფორმაცია ქმნის ჯგუფს; მისი იდენტურობის ელემენტია , და ელემენტი შებრუნებულია ს, მიიღება განმარტებაში ისრების შეცვლით სპირიქით; მაგალითად, თუ , მაშინ .

ამის დანახვა მარტივია პირველ სამ მაგალითში ა*ბ = ბ*ა; ასეთ შემთხვევებში ჯგუფური ან ჯგუფის გამრავლება არის კომუტაციური. მეორეს მხრივ, ბოლო მაგალითში და აქედან გამომდინარე თ*სგანსხვავდება ს*თ.

ჯგუფი (დ) მაგალითიდან არის განსაკუთრებული შემთხვევა ე.წ. სიმეტრიული ჯგუფი, რომლის გამოყენების სფერო, სხვა საკითხებთან ერთად, მოიცავს ალგებრული განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს და ხაზების ქცევას ატომების სპექტრებში. (ბ) და (გ) მაგალითებში ჯგუფები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ რიცხვთა თეორიაში; მაგალითად (ბ) რიცხვი 4 შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი მთელი რიცხვით ნდა რიცხვები 0-დან 3-მდე - რიცხვები 0-დან ნ- 1 (როდესაც ნ= 12 ვიღებთ რიცხვების სისტემას, რომლებიც დგას საათის სახეებზე, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ); მაგალითად (c) რიცხვი 5 შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი მარტივი რიცხვით რდა რიცხვები 1-დან 4-მდე - რიცხვები 1-დან გვ – 1.

სტრუქტურები და იზომორფიზმი.

წინა მაგალითები გვიჩვენებს, თუ რამდენად მრავალფეროვანია ობიექტების ბუნება, რომლებიც ქმნიან ჯგუფს. მაგრამ სინამდვილეში, თითოეულ შემთხვევაში, ყველაფერი ერთსა და იმავე სცენარზე მოდის: ობიექტების სიმრავლის თვისებებიდან განვიხილავთ მხოლოდ მათ, ვინც ამ კომპლექტს ჯგუფად აქცევს (ეს არასრული ცოდნის მაგალითია!). ასეთ შემთხვევებში, ჩვენ ვამბობთ, რომ განვიხილავთ ჯგუფურ სტრუქტურას, რომელიც მოცემულია ჩვენ მიერ არჩეული ჯგუფის გამრავლებით.

სტრუქტურის კიდევ ერთი მაგალითია ე.წ. შეკვეთის სტრუქტურა. Რამოდენიმე ედაჯილდოებულია წესრიგის სტრუქტურით, ან მოწესრიგებული თუ ელემენტებს შორის ა è ბეკუთვნის ე, მოცემულია გარკვეული მიმართება, რომელსაც აღვნიშნავთ რ (ა,ბ). (ასეთი კავშირი უნდა ჰქონდეს აზრი ნებისმიერი წყვილი ელემენტისთვის ე, მაგრამ ზოგადად ის მცდარია ზოგიერთი წყვილისთვის და მართალია სხვებისთვის, მაგალითად, მიმართება 7

(1) რ (ა,ა) მართალია თითოეულისთვის ასაკუთრებაში არსებული ე;

(2) გარეთ რ (ა,ბ) და რ (ბ,ა) ამას მოჰყვება ა = ბ;

(3) გარეთ რ (ა,ბ) და რ (ბ,გ) უნდა რ (ა,გ).

მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი სხვადასხვა შეკვეთილი ნაკრების დიდი რაოდენობით.

(ა) ეშედგება ყველა მთელი რიცხვისგან, რ (ა,ბ) არის ურთიერთობა " ანაკლები ან თანაბარი ბ».

(ბ) ეშედგება ყველა მთელი რიცხვისგან >1, რ (ა,ბ) არის ურთიერთობა " აყოფს ბან თანაბარი ბ».

როგორც სტრუქტურის ბოლო მაგალითი, ვახსენებთ მეტრულ სივრცის სტრუქტურას; ასეთი სტრუქტურა მოცემულია ნაკრებზე ეთუ ელემენტების თითოეული წყვილი ადა ბეკუთვნის ე, შეგიძლიათ დაამთხვიოთ ნომერი დ (ა,ბ) i 0 აკმაყოფილებს შემდეგ თვისებებს:

(1) დ (ა,ბ) = 0 თუ და მხოლოდ თუ ა = ბ;

(2) დ (ბ,ა) = დ (ა,ბ);

(3) დ (ა,გ) Ј დ (ა,ბ) + დ (ბ,გ) ნებისმიერი სამი მოცემული ელემენტისთვის ა, ბ, გდან ე.

მოდით მოვიყვანოთ მეტრიკული სივრცეების მაგალითები:

(ა) ჩვეულებრივი „სამგანზომილებიანი“ სივრცე, სადაც დ (ა,ბ) არის ჩვეულებრივი (ან „ევკლიდური“) მანძილი;

ბ) სფეროს ზედაპირი, სადაც დ (ა,ბ) არის ორი წერტილის დამაკავშირებელი წრის უმცირესი რკალის სიგრძე ადა ბსფეროზე;

(გ) ნებისმიერი ნაკრები ე, რისთვისაც დ (ა,ბ) = 1 თუ ა № ბ; დ (ა,ა) = 0 ნებისმიერი ელემენტისთვის ა.

სტრუქტურის ცნების ზუსტი განმარტება საკმაოდ რთულია. დეტალების გარეშე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გადასაღებ მოედანზე ეგარკვეული ტიპის სტრუქტურა მოცემულია თუ ნაკრების ელემენტებს შორის ე(და ზოგჯერ სხვა ობიექტები, მაგალითად, რიცხვები, რომლებიც დამხმარე როლს ასრულებენ) მოცემულია ურთიერთობები, რომლებიც აკმაყოფილებენ აქსიომების გარკვეულ ფიქსირებულ კომპლექტს, რომელიც ახასიათებს განსახილველი ტიპის სტრუქტურას. ზემოთ მოვიყვანეთ სამი ტიპის სტრუქტურის აქსიომები. რა თქმა უნდა, არსებობს მრავალი სხვა ტიპის სტრუქტურები, რომელთა თეორიები სრულად არის განვითარებული.

მრავალი აბსტრაქტული ცნება მჭიდრო კავშირშია სტრუქტურის ცნებასთან; დავასახელოთ მხოლოდ ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი - იზომორფიზმის ცნება. გავიხსენოთ (b) და (c) ჯგუფების მაგალითი წინა განყოფილებიდან. ამის შემოწმება მარტივია Tab-დან. 1 მაგიდასთან. 2-ზე ნავიგაცია შესაძლებელია შესატყვისის გამოყენებით

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

ამ შემთხვევაში ვამბობთ, რომ მოცემული ჯგუფები იზომორფულია. ზოგადად, ორი ჯგუფი გდა გ• იზომორფულია თუ ჯგუფის ელემენტებს შორის გდა ჯგუფის ელემენტები გ¢ შესაძლებელია ასეთი პირისპირ მიმოწერის დადგენა ა « ა¢ რა მოხდება, თუ გ = ა*ბ, მაშინ გў = აў* ბ¢ შესაბამისი ელემენტებისთვის Gў. ნებისმიერი განცხადება ჯგუფის თეორიიდან, რომელიც მართალია ჯგუფისთვის გ, ძალაში რჩება ჯგუფისთვის გ¢ და პირიქით. ალგებრულად ჯგუფები გდა გ¢ განურჩეველი.

მკითხველი ადვილად დაინახავს, რომ ზუსტად ისევე შეიძლება განვსაზღვროთ ორი იზომორფული მოწესრიგებული სიმრავლე ან ორი იზომორფული მეტრული სივრცე. შეიძლება აჩვენოს, რომ იზომორფიზმის კონცეფცია ვრცელდება ნებისმიერი ტიპის სტრუქტურებზე.

კლასიფიკაცია

მათემატიკის ძველი და ახალი კლასიფიკაცია.

სტრუქტურის ცნებამ და მასთან დაკავშირებულმა სხვა ცნებებმა ცენტრალური ადგილი დაიკავა თანამედროვე მათემატიკაში, როგორც წმინდა „ტექნიკური“, ასევე ფილოსოფიური და მეთოდოლოგიური თვალსაზრისით. სტრუქტურების ძირითადი ტიპების ზოგადი თეორემები ემსახურება მათემატიკური „ტექნიკის“ უკიდურესად მძლავრ იარაღს. როდესაც მათემატიკოსი ახერხებს აჩვენოს, რომ მის მიერ შესწავლილი ობიექტები აკმაყოფილებენ გარკვეული ტიპის სტრუქტურის აქსიომებს, ის ამით ამტკიცებს, რომ ამ ტიპის სტრუქტურის თეორიის ყველა თეორემა ვრცელდება მის მიერ შესწავლილ კონკრეტულ ობიექტებზე (ამ ზოგადი თეორემების გარეშე, ის ძალიან სავარაუდოა, რომ გამოტოვებული იქნება მათი კონკრეტული ვარიანტების მხედველობიდან ან იძულებული იქნებიან თავიანთი მსჯელობა დატვირთონ ზედმეტი ვარაუდებით). ანალოგიურად, თუ დადასტურდება, რომ ორი სტრუქტურა იზომორფულია, მაშინ თეორემების რაოდენობა მაშინვე გაორმაგდება: ერთი სტრუქტურისთვის დადასტურებული თითოეული თეორემა მაშინვე იძლევა მეორის შესაბამის თეორემას. ამიტომ გასაკვირი არ არის, რომ არსებობს ძალიან რთული და რთული თეორიები, როგორიცაა რიცხვთა თეორიაში „კლასობრივი ველის თეორია“, რომლის მთავარი მიზანია სტრუქტურების იზომორფიზმის დამტკიცება.

ფილოსოფიური თვალსაზრისით, სტრუქტურებისა და იზომორფიზმების ფართო გამოყენება გვიჩვენებს თანამედროვე მათემატიკის მთავარ მახასიათებელს - იმ ფაქტს, რომ მათემატიკური „ობიექტების“ „ბუნებას“ ნამდვილად არ აქვს მნიშვნელობა, მნიშვნელოვანია მხოლოდ ობიექტებს შორის ურთიერთობა (ერთგვარი არასრული ცოდნის პრინციპი).

დაბოლოს, შეუძლებელია არ აღინიშნოს, რომ სტრუქტურის კონცეფციამ შესაძლებელი გახადა მათემატიკის სექციების ახლებურად კლასიფიკაცია. XIX საუკუნის შუა წლებამდე. ისინი განსხვავდებოდნენ კვლევის საგნის მიხედვით. არითმეტიკა (ან რიცხვთა თეორია) ეხებოდა მთელ რიცხვებს, გეომეტრია განიხილავდა წრფეებს, კუთხეებს, მრავალკუთხედებს, წრეებს, ფართობებს და ა.შ. ალგებრა ეხებოდა თითქმის ექსკლუზიურად რიცხვითი განტოლებების ან განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდებს; ანალიტიკურმა გეომეტრიამ შეიმუშავა გეომეტრიული ამოცანების ეკვივალენტურ ალგებრულ ამოცანებად გადაქცევის მეთოდები. მათემატიკის სხვა მნიშვნელოვანი ფილიალის ინტერესების სპექტრი, სახელწოდებით "მათემატიკური ანალიზი", მოიცავდა ძირითადად დიფერენციალურ და ინტეგრალურ გამოთვლებს და მათ სხვადასხვა გამოყენებას გეომეტრიაში, ალგებრასა და ლუწი რიცხვების თეორიაში. გაიზარდა ამ აპლიკაციების რაოდენობა და გაიზარდა მათი მნიშვნელობაც, რამაც გამოიწვია მათემატიკური ანალიზის დაყოფა ქვესექციებად: ფუნქციების თეორია, დიფერენციალური განტოლებები (ჩვეულებრივი და ნაწილობრივი წარმოებულები), დიფერენციალური გეომეტრია, ვარიაციების გაანგარიშება და ა.შ.

ბევრი თანამედროვე მათემატიკოსისთვის ეს მიდგომა იხსენებს პირველი ნატურალისტების მიერ ცხოველების კლასიფიკაციის ისტორიას: ოდესღაც ზღვის კუ და ტუნა თევზებად ითვლებოდა, რადგან ისინი ცხოვრობდნენ წყალში და ჰქონდათ მსგავსი თვისებები. თანამედროვე მიდგომამ გვასწავლა დავინახოთ არა მხოლოდ ის, რაც ზედაპირზე დევს, არამედ ღრმად ჩავიხედოთ და შევეცადოთ ამოვიცნოთ ფუნდამენტური სტრუქტურები, რომლებიც იმალება მათემატიკური ობიექტების მატყუარა გარეგნობის მიღმა. ამ თვალსაზრისით მნიშვნელოვანია სტრუქტურების ყველაზე მნიშვნელოვანი ტიპების შესწავლა. ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ჩვენ ხელთ გვაქვს ამ ტიპების სრული და საბოლოო სია; ზოგიერთი მათგანი აღმოაჩინეს ბოლო 20 წლის განმავლობაში და არსებობს ყველა მიზეზი, რომ მომავალში მეტი აღმოჩენების მოლოდინი გვაქვს. თუმცა, ჩვენ უკვე გვაქვს წარმოდგენა მრავალი ძირითადი "აბსტრაქტული" ტიპის სტრუქტურების შესახებ. (ისინი "აბსტრაქტული" არიან მათემატიკის "კლასიკურ" ობიექტებთან შედარებით, თუმცა მათაც კი ძნელად შეიძლება ეწოდოს "კონკრეტული"; ეს უფრო აბსტრაქციის ხარისხზეა.)

ცნობილი სტრუქტურები შეიძლება კლასიფიცირდეს მათში შემავალი ურთიერთობების ან მათი სირთულის მიხედვით. ერთის მხრივ, არის „ალგებრული“ სტრუქტურების ვრცელი ბლოკი, რომლის განსაკუთრებული შემთხვევაა, მაგალითად, ჯგუფური სტრუქტურა; სხვა ალგებრულ სტრუქტურებს შორის ჩვენ ვასახელებთ რგოლებს და ველებს ( სმ. ასევეალგებრა აბსტრაქტი). მათემატიკის ფილიალს, რომელიც ეხება ალგებრული სტრუქტურების შესწავლას, ეწოდა "თანამედროვე ალგებრა" ან "აბსტრაქტული ალგებრა", ჩვეულებრივი ან კლასიკური ალგებრისგან განსხვავებით. ევკლიდური გეომეტრიის მნიშვნელოვანი ნაწილი, არაევკლიდური გეომეტრია და ანალიტიკური გეომეტრია ასევე გახდა ახალი ალგებრის ნაწილი.

არსებობს სტრუქტურების ორი სხვა ბლოკი იმავე დონის განზოგადებით. ერთ-ერთი მათგანი, სახელწოდებით ზოგადი ტოპოლოგია, მოიცავს სტრუქტურების ტიპების თეორიებს, რომელთა განსაკუთრებული შემთხვევაა მეტრული სივრცის სტრუქტურა ( სმ. ტოპოლოგია; აბსტრაქტული სივრცეები). მესამე ბლოკი შედგება წესრიგის სტრუქტურებისა და მათი გაფართოების თეორიებისაგან. სტრუქტურის „გაფართოება“ მდგომარეობს არსებულ აქსიომებზე ახლის დამატებაში. მაგალითად, თუ მეოთხე აქსიომად ჯგუფის აქსიომებს დავამატებთ კომუტატიურობის თვისებას. ა*ბ = ბ*ა, მაშინ მივიღებთ კომუტაციური (ან აბელიანი) ჯგუფის სტრუქტურას.

ამ სამი ბლოკიდან ბოლო ორი ბოლო დრომდე შედარებით სტაბილურ მდგომარეობაში იყო და "თანამედროვე ალგებრა" ბლოკი სწრაფად იზრდებოდა, ზოგჯერ მოულოდნელი მიმართულებებით (მაგალითად, შეიქმნა მთელი ფილიალი, რომელსაც "ჰომოლოგიური ალგებრა" ეწოდა). გარეთ ე.წ. სტრუქტურების „სუფთა“ ტიპები სხვა დონეა - „შერეული“ სტრუქტურები, მაგალითად, ალგებრული და ტოპოლოგიური, მათთან დამაკავშირებელი ახალი აქსიომებით. მრავალი ასეთი კომბინაცია იქნა შესწავლილი, რომელთა უმეტესობა იყოფა ორ ფართო ბლოკად - "ტოპოლოგიური ალგებრა" და "ალგებრული ტოპოლოგია".

ერთად აღებული, ეს ბლოკები ქმნიან მეცნიერების ძალიან მყარ „აბსტრაქტულ“ არეალს მოცულობის თვალსაზრისით. ბევრი მათემატიკოსი იმედოვნებს, რომ უკეთ გაიაზრებს კლასიკურ თეორიებს და გადაჭრის რთულ ამოცანებს ახალი ხელსაწყოებით. მართლაც, აბსტრაქციისა და განზოგადების შესაბამისი დონით, ძველთა პრობლემები შეიძლება გამოჩნდეს ახლებურად, რაც შესაძლებელს გახდის მათი გადაჭრის პოვნას. კლასიკური მასალის უზარმაზარი ნაჭრები ახალი მათემატიკის ზეგავლენის ქვეშ მოექცა და გარდაიქმნა ან შეუერთდა სხვა თეორიებს. რჩება უზარმაზარი სფეროები, სადაც თანამედროვე მეთოდებმა ასე ღრმად არ შეაღწია. მაგალითი არის თეორია დიფერენციალური განტოლებებიდა რიცხვების თეორიის დიდი ნაწილი. ძალიან სავარაუდოა, რომ ამ სფეროებში მნიშვნელოვანი პროგრესი იქნება მიღწეული ახალი ტიპის სტრუქტურების აღმოჩენისა და გულდასმით შესწავლის შემდეგ.

ფილოსოფიური სირთულეები

ძველ ბერძნებსაც კი ნათლად ესმოდათ, რომ მათემატიკური თეორია უნდა იყოს თავისუფალი წინააღმდეგობებისაგან. ეს ნიშნავს, რომ შეუძლებელია აქსიომებიდან დებულების ლოგიკური შედეგის გამოტანა რდა მისი უარყოფა პ. თუმცა, ვინაიდან ითვლებოდა, რომ მათემატიკურ ობიექტებს აქვთ შესაბამისობა რეალურ სამყაროში, ხოლო აქსიომები ბუნების კანონების „იდეალიზაციაა“, არავის ეპარებოდა ეჭვი მათემატიკის თანმიმდევრულობაში. კლასიკური მათემატიკიდან თანამედროვე მათემატიკაზე გადასვლისას თანმიმდევრულობის პრობლემამ სხვა მნიშვნელობა შეიძინა. ნებისმიერი მათემატიკური თეორიის აქსიომების არჩევის თავისუფლება აშკარად უნდა იყოს შეზღუდული თანმიმდევრულობის პირობით, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა დარწმუნებული ვიყოთ, რომ ეს პირობა დაკმაყოფილდება?

ჩვენ უკვე აღვნიშნეთ ნაკრების კონცეფცია. ეს კონცეფცია ყოველთვის გამოიყენებოდა მეტ-ნაკლებად აშკარად მათემატიკასა და ლოგიკაში. მე-19 საუკუნის მეორე ნახევარში კომპლექტის ცნებასთან ურთიერთობის ელემენტარული წესები ნაწილობრივ სისტემატიზებულია, გარდა ამისა, მიღებული იქნა რამდენიმე მნიშვნელოვანი შედეგი, რამაც შინაარსი ე.წ. კომპლექტების თეორია ( სმ. ასევესიმრავლეების თეორია), რომელიც გახდა, როგორც იქნა, ყველა სხვა მათემატიკური თეორიის სუბსტრატი. ანტიკური ხანიდან მე-19 საუკუნემდე. იყო შიშები უსასრულო კომპლექტების შესახებ, მაგალითად, ასახული ზენო ელეას ცნობილ პარადოქსებში (ძვ. წ. V საუკუნე). ეს შიშები ნაწილობრივ მეტაფიზიკური იყო, ნაწილობრივ კი სიდიდეების გაზომვის კონცეფციასთან დაკავშირებული სირთულეებით (მაგალითად, სიგრძე ან დრო). ეს სირთულეები მხოლოდ მე-19 საუკუნის შემდეგ აღმოიფხვრა. მკაცრად იყო განსაზღვრული მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ცნებები. 1895 წლისთვის ყველა შიში გაიფანტა და ჩანდა, რომ მათემატიკა ეყრდნობოდა სიმრავლეების თეორიის ურყევ საფუძველს. მაგრამ მომდევნო ათწლეულში გაჩნდა ახალი არგუმენტები, რომლებიც, როგორც ჩანს, აჩვენებდნენ სიმრავლეების თეორიის (და ყველა დანარჩენი მათემატიკის) თანდაყოლილ შეუსაბამობას.

ახალი პარადოქსები ძალიან მარტივი იყო. პირველი მათგანი - რასელის პარადოქსი - შეიძლება განვიხილოთ მარტივი ვერსიით, რომელიც ცნობილია როგორც "დალაქის პარადოქსი". გარკვეულ ქალაქში დალაქი პარსავს ყველა მცხოვრებს, ვინც თავს არ იპარსავს. ვინ იპარსავს თავად დალაქს? თუ დალაქი თავს იპარსავს, მაშინ ის იპარსავს არა მხოლოდ იმ მაცხოვრებლებს, ვინც თავს არ იპარსავს, არამედ ერთ მცხოვრებსაც, რომელიც თავს იპარსავს; თუ ის თავს არ იპარსავს, მაშინ არ გაპარსავს ქალაქის ყველა მცხოვრებს, ვინც თავს არ იპარსავს. ამ ტიპის პარადოქსი ჩნდება მაშინ, როდესაც განიხილება კონცეფცია "ყველა კომპლექტის სიმრავლე". მიუხედავად იმისა, რომ ეს მათემატიკური ობიექტი ძალიან ბუნებრივად გამოიყურება, მასზე მსჯელობა სწრაფად იწვევს წინააღმდეგობებს.

ბერის პარადოქსი კიდევ უფრო აშკარაა. განვიხილოთ ყველა რუსული ფრაზის ნაკრები, რომელიც შეიცავს არაუმეტეს ჩვიდმეტ სიტყვას; რუსულ ენაში სიტყვების რაოდენობა სასრულია, ამიტომ ასეთი ფრაზების რაოდენობაც სასრულია. მათ შორის ვირჩევთ მათ, რომლებიც ცალსახად განსაზღვრავენ ზოგიერთ მთელ რიცხვს, მაგალითად: „ათზე ნაკლები კენტი“. ასეთი ფრაზების რაოდენობაც სასრულია; შესაბამისად, მათ მიერ განსაზღვრული მთელი რიცხვების სიმრავლე ასევე სასრულია. აღნიშნეთ ამ რიცხვების სასრული სიმრავლე დ. არითმეტიკის აქსიომებიდან გამომდინარეობს, რომ არსებობს მთელი რიცხვები, რომლებსაც არ ეკუთვნის დდა რომ ამ რიცხვებს შორის არის ყველაზე პატარა რიცხვი ნ. ეს ნომერი ნცალსახად განისაზღვრება ფრაზით: "ყველაზე პატარა მთელი რიცხვი, რომელიც არ შეიძლება განისაზღვროს ფრაზით, რომელიც შედგება არაუმეტეს ჩვიდმეტი რუსული სიტყვისგან". მაგრამ ეს ფრაზა შეიცავს ზუსტად ჩვიდმეტ სიტყვას. ამიტომ, ის განსაზღვრავს რაოდენობას ნ, რომელიც უნდა ეკუთვნოდეს დ, და მივდივართ პარადოქსულ წინააღმდეგობამდე.

ინტუიციონისტები და ფორმალისტები.

სიმრავლეების თეორიის პარადოქსებით გამოწვეულმა შოკმა გამოიწვია სხვადასხვა რეაქცია. ზოგიერთი მათემატიკოსი საკმაოდ გადაწყვეტილი იყო და გამოთქვა მოსაზრება, რომ მათემატიკა თავიდანვე არასწორი მიმართულებით განვითარდა და სულ სხვა საფუძველს უნდა ეფუძნებოდეს. შეუძლებელია ამგვარი „ინტუიციონისტების“ (როგორც მათ საკუთარ თავს უწოდებდნენ) თვალსაზრისის რაიმე სიზუსტით აღწერა, რადგან მათ უარი თქვეს თავიანთი შეხედულებების წმინდა ლოგიკურ სქემამდე დაყვანაზე. ინტუიციონისტების თვალსაზრისით, არასწორია ლოგიკური პროცესების გამოყენება ობიექტებზე, რომლებიც ინტუიციურად არ არის წარმოდგენილი. ერთადერთი ინტუიციურად ნათელი ობიექტებია ნატურალური რიცხვები 1, 2, 3,... და ნატურალური რიცხვების სასრული სიმრავლეები, ზუსტად მოცემული წესების მიხედვით „აშენებული“. მაგრამ ასეთ ობიექტებზეც კი, ინტუიციონისტებმა არ დაუშვეს კლასიკური ლოგიკის ყველა გამოკლების გამოყენება. მაგალითად, მათ ეს არ აღიარეს არც ერთი განცხადებისთვის რმართალია ან რ, თუ არა- რ. მათ ხელთ არსებული ასეთი შეზღუდული საშუალებებით, ისინი ადვილად ერიდებოდნენ „პარადოქსებს“, მაგრამ ამით მათ ზღვაზე გადააგდეს არა მხოლოდ მთელი თანამედროვე მათემატიკა, არამედ კლასიკური მათემატიკის შედეგების მნიშვნელოვანი ნაწილი და მათთვის, ვინც ჯერ კიდევ დარჩა, ახალი, უფრო რთული მტკიცებულებების მოძიება იყო საჭირო.

თანამედროვე მათემატიკოსთა აბსოლუტური უმრავლესობა არ ეთანხმებოდა ინტუიციონისტების არგუმენტებს. არაინტუიციონისტმა მათემატიკოსებმა შეამჩნიეს, რომ პარადოქსებში გამოყენებული არგუმენტები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სიმრავლეების თეორიით ჩვეულებრივი მათემატიკური მუშაობისას გამოყენებული არგუმენტებისგან და, შესაბამისად, ასეთი არგუმენტები უნდა გამოირიცხოს როგორც უკანონო არსებული მათემატიკური თეორიების კომპრომისის გარეშე. კიდევ ერთი დაკვირვება იყო ის, რომ „გულუბრყვილო“ სიმრავლეების თეორიაში, რომელიც არსებობდა „პარადოქსების“ გაჩენამდე, ტერმინების „კომპლექტი“, „საკუთრება“, „ურთიერთობა“ კითხვის ნიშნის ქვეშ არ იყო - ისევე, როგორც კლასიკურ გეომეტრიაში „ინტუიტური“ ჩვეულებრივი გეომეტრიული ცნებების ბუნება. შესაბამისად, შეიძლება ისე ვიმოქმედოთ, როგორც ეს იყო გეომეტრიაში, კერძოდ, უარი თქვან „ინტუიციაზე“ მიმართვის ყველა მცდელობაზე და აიღოთ სიმრავლეების თეორიის ამოსავალ წერტილად ზუსტად ჩამოყალიბებული აქსიომების სისტემა. თუმცა, გაუგებარია, როგორ შეიძლება ჩამოერთვას ჩვეული აზრი ისეთ სიტყვებს, როგორიცაა „საკუთრება“ ან „ნათესაობა“; მაგრამ ეს უნდა გაკეთდეს, თუ გვსურს გამოვრიცხოთ ისეთი არგუმენტები, როგორიცაა ბერის პარადოქსი. მეთოდი შედგება აქსიომების ან თეორემების ფორმულირებისას ჩვეულებრივი ენის გამოყენებისგან თავის შეკავებაში; მხოლოდ მკაცრი წესების სისტემის მიხედვით აგებული წინადადებები დაშვებულია როგორც „თვისებები“ ან „დაკავშირება“ მათემატიკაში და შედის აქსიომების ფორმულირებაში. ამ პროცესს ფორმალიზაცია ეწოდება. მათემატიკური ენა(ჩვეულებრივი ენის ბუნდოვანებისგან წარმოშობილი დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, რეკომენდებულია ერთი ნაბიჯის გადადგმა და თავად სიტყვების ჩანაცვლება სპეციალური სიმბოლოებით ფორმალიზებულ წინადადებებში, მაგალითად, შეცვალეთ შემაერთებელი „და“ სიმბოლოთი &, შემაერთებელი „ან ” სიმბოლოთ b, ”არსებობს” სიმბოლოთ $ და ა.შ.). მათემატიკოსებს, რომლებმაც უარყვეს ინტუიციონისტების მიერ შემოთავაზებული მეთოდები, "ფორმალისტები" უწოდეს.

თუმცა, თავდაპირველ კითხვას პასუხი არასოდეს გაუცია. არის თუ არა „აქსიომატური სიმრავლეების თეორია“ წინააღმდეგობებისაგან თავისუფალი? „ფორმალიზებული“ თეორიების თანმიმდევრულობის დამტკიცების ახალი მცდელობები გაკეთდა 1920-იან წლებში დ.ჰილბერტმა (1862-1943) და მისმა სკოლამ და უწოდეს „მეტამათემატიკა“. არსებითად, მეტამათემატიკა არის "გამოყენებითი მათემატიკის" ფილიალი, სადაც ობიექტები, რომლებზეც მათემატიკური მსჯელობა გამოიყენება, არის ფორმალიზებული თეორიის წინადადებები და მათი მდებარეობა მტკიცებულებებში. ეს წინადადებები უნდა ჩაითვალოს მხოლოდ სიმბოლოების მატერიალურ კომბინაციებად, რომლებიც წარმოიქმნება გარკვეული დადგენილი წესების მიხედვით, ყოველგვარი მითითების გარეშე ამ სიმბოლოების შესაძლო „მნიშვნელობაზე“ (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). ჭადრაკის თამაში შეიძლება იყოს კარგი ანალოგია: სიმბოლოები შეესაბამება ფიგურებს, წინადადებები დაფაზე სხვადასხვა პოზიციებს და დასკვნები ფიგურების გადაადგილების წესებზე. ფორმალიზებული თეორიის თანმიმდევრულობის დასადგენად, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ ამ თეორიაში არცერთი მტკიცებულება არ მთავრდება დებულებით 0 No. მათემატიკური თეორია; თუ მათემატიკა არათანმიმდევრული იქნებოდა, მაშინ მათემატიკური არგუმენტები დაკარგავდა მთელ ძალას და ჩვენ ვიქნებოდით მოჯადოებული წრის სიტუაციაში. ამ წინააღმდეგობებზე პასუხის გასაცემად, ჰილბერტმა დაუშვა მეტამათემატიკაში გამოყენების ძალიან შეზღუდული მათემატიკური მსჯელობა იმ ტიპის, რომელსაც ინტუიციონისტები თვლიან მისაღები. თუმცა, კ. გოდელმა მალე აჩვენა (1931), რომ არითმეტიკის თანმიმდევრულობა არ შეიძლება დადასტურდეს ასეთი შეზღუდული საშუალებებით, თუ ის ნამდვილად თანმიმდევრულია (ამ სტატიის ფარგლები არ გვაძლევს საშუალებას წარმოვადგინოთ გენიალური მეთოდი, რომლითაც მიიღეს ეს შესანიშნავი შედეგი. და მეტამათემატიკის შემდგომი ისტორია).

ფორმალისტური თვალსაზრისით არსებული პრობლემური სიტუაციის შეჯამებით, უნდა ვაღიაროთ, რომ ის შორს არის დასრულებამდე. სიმრავლის კონცეფციის გამოყენება შემოიფარგლება დათქმებით, რომლებიც განზრახ იქნა შემოღებული ცნობილი პარადოქსების თავიდან აცილების მიზნით, და არ არსებობს გარანტია იმისა, რომ ახალი პარადოქსები არ წარმოიქმნება აქსიომატიზებულ სიმრავლეების თეორიაში. მიუხედავად ამისა, აქსიომური სიმრავლეების თეორიის შეზღუდვებმა ხელი არ შეუშალა ახალი სიცოცხლისუნარიანი თეორიების დაბადებას.

მათემატიკა და რეალური სამყარო

მიუხედავად მათემატიკის დამოუკიდებლობის მტკიცებისა, არავინ უარყოფს, რომ მათემატიკა და ფიზიკური სამყარო ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. რა თქმა უნდა, კლასიკური ფიზიკის ამოცანების გადაჭრის მათემატიკური მიდგომა ძალაში რჩება. ასევე მართალია, რომ მათემატიკის ძალიან მნიშვნელოვან სფეროში, კერძოდ, დიფერენციალური განტოლებების, ჩვეულებრივი და ნაწილობრივი წარმოებულების თეორიაში, საკმაოდ ნაყოფიერია ფიზიკისა და მათემატიკის ურთიერთგამდიდრების პროცესი.

მათემატიკა სასარგებლოა მიკროსამყაროს ფენომენების ინტერპრეტაციაში. თუმცა მათემატიკის ახალი „აპლიკაციები“ მნიშვნელოვნად განსხვავდება კლასიკურისგან. ფიზიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტი გახდა ალბათობის თეორია, რომელიც ადრე ძირითადად აზარტული თამაშებისა და დაზღვევის თეორიაში გამოიყენებოდა. მათემატიკური ობიექტები, რომლებსაც ფიზიკოსები უკავშირებენ „ატომურ მდგომარეობებს“ ან „გადასვლებს“ ბუნებით უაღრესად აბსტრაქტული ხასიათისაა და მათემატიკოსებმა შეიტანეს და შეისწავლეს კვანტური მექანიკის გამოჩენამდე დიდი ხნით ადრე. უნდა დავამატოთ, რომ პირველი წარმატებების შემდეგ სერიოზული სირთულეები წარმოიშვა. ეს მოხდა იმ დროს, როდესაც ფიზიკოსები ცდილობდნენ მათემატიკური იდეების გამოყენებას უფრო დახვეწილ ასპექტებზე. კვანტური თეორია; მიუხედავად ამისა, ბევრი ფიზიკოსი კვლავ მოუთმენლად ელის ახალ მათემატიკურ თეორიებს და თვლიან, რომ ისინი დაეხმარებიან მათ ახალი ამოცანების გადაჭრაში.

მათემატიკა - მეცნიერება თუ ხელოვნება?

თუნდაც „სუფთა“ მათემატიკაში ალბათობის თეორიას ან მათემატიკურ ლოგიკას ჩავრთოთ, გამოდის, რომ ცნობილი მათემატიკური შედეგების 50%-ზე ნაკლები ამჟამად გამოიყენება სხვა მეცნიერებების მიერ. რა უნდა ვიფიქროთ დარჩენილ ნახევარზე? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რა მოტივები დგას მათემატიკის იმ სფეროების უკან, რომლებიც არ არის დაკავშირებული ფიზიკური ამოცანების გადაწყვეტასთან?

ჩვენ უკვე აღვნიშნეთ რიცხვის ირაციონალურობა, როგორც ამ ტიპის თეორემების ტიპიური წარმომადგენელი. კიდევ ერთი მაგალითია J.-L. Lagrange (1736–1813) მიერ დადასტურებული თეორემა. ძნელად მოიძებნება მათემატიკოსი, რომელიც მას "მნიშვნელოვანს" ან "ლამაზს" არ უწოდებს. ლაგრანჟის თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი, რომელიც ერთზე მეტი ან ტოლია, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მაქსიმუმ ოთხი რიცხვის კვადრატების ჯამად; მაგალითად, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . დღევანდელ ვითარებაში წარმოუდგენელია, რომ ეს შედეგი სასარგებლო იყოს ნებისმიერი ექსპერიმენტული პრობლემის გადასაჭრელად. მართალია, ფიზიკოსები დღეს ბევრად უფრო ხშირად ეხებიან მთელ რიცხვებს, ვიდრე წარსულში, მაგრამ მთელი რიცხვები, რომლებითაც ისინი მუშაობენ, ყოველთვის შეზღუდულია (იშვიათად აღემატება რამდენიმე ასეულს); მაშასადამე, ლაგრანჟის მსგავსი თეორემა შეიძლება იყოს „სასარგებლო“ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გამოიყენება მთელ რიცხვებზე, რომლებიც არ სცილდებიან რაიმე საზღვრებს. მაგრამ როგორც კი შევზღუდავთ ლაგრანჟის თეორემის ფორმულირებას, ის მაშინვე წყვეტს მათემატიკოსთა ინტერესს, რადგან ამ თეორემის მთელი მიმზიდველი ძალა მდგომარეობს მის გამოყენებადობაში ყველა რიცხვთან. (არის უამრავი წინადადება მთელი რიცხვების შესახებ, რომლებიც შეიძლება გამოიცადონ კომპიუტერებმა ძალიან დიდი რიცხვებისთვის; მაგრამ, სანამ არ მოიძებნება ზოგადი მტკიცებულება, ისინი რჩება ჰიპოთეტური და არ არის საინტერესო პროფესიონალი მათემატიკოსებისთვის.)

იმ თემებზე ფოკუსირება, რომლებიც შორს არის უშუალო გამოყენებისგან, უჩვეულო არ არის მეცნიერებისთვის, რომლებიც მუშაობენ ნებისმიერ სფეროში, იქნება ეს ასტრონომია თუ ბიოლოგია. თუმცა, მიუხედავად იმისა, რომ ექსპერიმენტული შედეგი შეიძლება დაიხვეწოს და გაუმჯობესდეს, მათემატიკური მტკიცებულება ყოველთვის საბოლოოა. ამიტომ ძნელია გაუძლო მათემატიკას, ან თუნდაც მის იმ ნაწილს, რომელსაც საერთო არაფერი აქვს „რეალობასთან“, როგორც ხელოვნებად. მათემატიკური ამოცანები გარედან არ არის დაწესებული და, თუ თანამედროვე თვალსაზრისს ავიღებთ, მასალის არჩევაში სრულიად თავისუფალნი ვართ. ზოგიერთი მათემატიკური ნაშრომის შეფასებისას მათემატიკოსებს არ აქვთ „ობიექტური“ კრიტერიუმები და ისინი იძულებულნი არიან დაეყრდნონ საკუთარ „გემოვნებას“. გემოვნება მნიშვნელოვნად განსხვავდება დროის, ქვეყნის, ტრადიციებისა და ინდივიდების მიხედვით. თანამედროვე მათემატიკაში არის მოდები და „სკოლები“. ამჟამად სამი ასეთი „სკოლა“ არსებობს, რომლებსაც მოხერხებულობისთვის დავარქმევთ „კლასიციზმს“, „მოდერნიზმს“ და „აბსტრაქციონიზმს“. მათ შორის განსხვავებების უკეთ გასაგებად, მოდით გავაანალიზოთ სხვადასხვა კრიტერიუმები, რომლებსაც მათემატიკოსები იყენებენ თეორემის ან თეორემების ჯგუფის შეფასებისას.

(1) ზოგადი მოსაზრებით, „ლამაზი“ მათემატიკური შედეგი უნდა იყოს არატრივიალური, ე.ი. არ უნდა იყოს აქსიომების ან ადრე დადასტურებული თეორემების აშკარა შედეგი; მტკიცებულება უნდა გამოიყენოს ზოგიერთი ახალი იდეაან ძველი იდეების მახვილგონივრული გამოყენება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათემატიკოსისთვის მნიშვნელოვანია არა თავად შედეგი, არამედ იმ სირთულეების დაძლევის პროცესი, რაც მას წააწყდა მის მოპოვებაში.

(2) ნებისმიერ მათემატიკურ პრობლემას აქვს თავისი ისტორია, ასე ვთქვათ, „გვარი“, რომელიც მიჰყვება იმავე ზოგად ტრაქტატს, რომლითაც ვითარდება ნებისმიერი მეცნიერების ისტორია: პირველი წარმატებების შემდეგ შეიძლება გარკვეული დრო გავიდეს კითხვაზე პასუხის გაცემამდე. პოზირებულია ნაპოვნი. როდესაც გადაწყვეტილება მიიღება, ამბავი ამით არ მთავრდება, რადგან გაფართოებისა და განზოგადების ცნობილი პროცესები იწყება. მაგალითად, ზემოთ ნახსენები ლაგრანჟის თეორემა იწვევს ნებისმიერი მთელი რიცხვის წარმოდგენის საკითხს, როგორც კუბების ჯამი, 4, 5 და ა.შ. ასე ჩნდება „საომარი პრობლემა“, რომელსაც საბოლოო გადაწყვეტა ჯერ არ მიუღია. ასევე, თუ გაგვიმართლა, ჩვენი გადაწყვეტილი პრობლემა აღმოჩნდება დაკავშირებული ერთ ან რამდენიმე ფუნდამენტურ სტრუქტურასთან და ეს, თავის მხრივ, გამოიწვევს ამ სტრუქტურებთან დაკავშირებულ ახალ პრობლემებს. მაშინაც კი, თუ ორიგინალური თეორია საბოლოოდ "მოკვდება", ის მიდრეკილია ტოვებს მრავალ ცოცხალ ყლორტს. თანამედროვე მათემატიკოსებს პრობლემების ისეთი უზარმაზარი გაფანტვა ემუქრებათ, რომ ექსპერიმენტულ მეცნიერებასთან ყოველგვარი კავშირი რომც შეწყდეს, მათ გადაწყვეტას კიდევ რამდენიმე საუკუნე დასჭირდება.

(3) ყველა მათემატიკოსი დათანხმდება, რომ როდესაც მას ახალ პრობლემას წარუდგენენ, მისი მოვალეობაა მისი გადაჭრა ნებისმიერი გზით. როდესაც პრობლემა ეხება კლასიკურ მათემატიკურ ობიექტებს (კლასიკოსებს იშვიათად აქვთ საქმე სხვა ტიპის ობიექტებთან), კლასიკოსები ცდილობენ მის გადაჭრას მხოლოდ კლასიკური საშუალებების გამოყენებით, ხოლო სხვა მათემატიკოსები უფრო "აბსტრაქტულ" სტრუქტურებს ნერგავენ, რათა გამოიყენონ ზოგადი თეორემები, რომლებიც დაკავშირებულია ამოცანასთან. მიდგომის ეს განსხვავება ახალი არ არის. მე-19 საუკუნიდან დაწყებული. მათემატიკოსები იყოფა "ტაქტიკოსებად", რომლებიც ცდილობენ იპოვონ პრობლემის წმინდა ძალისმიერი გადაწყვეტა და "სტრატეგიებად", რომლებიც მიდრეკილნი არიან შემოვლითი მანევრებისკენ, რაც შესაძლებელს ხდის მტრის განადგურებას მცირე ძალებით.

(4) თეორემის „სილამაზის“ არსებითი ელემენტია მისი სიმარტივე. რა თქმა უნდა, სიმარტივის ძიება თანდაყოლილია ყველა სამეცნიერო აზროვნებაში. მაგრამ ექსპერიმენტატორები მზად არიან შეეგუონ „მახინჯ გადაწყვეტილებებს“, თუ მხოლოდ პრობლემა მოგვარდება. ანალოგიურად, მათემატიკაში კლასიკოსები და აბსტრაქციონისტები არც თუ ისე შეშფოთებულნი არიან „პათოლოგიური“ შედეგების გამოვლენით. მეორე მხრივ, მოდერნისტები იქამდე მიდიან, რომ თეორიაში „პათოლოგიების“ გამოჩენა ფუნდამენტური ცნებების არასრულყოფილების სიმპტომად მიიჩნევენ.

მათემატიკური ენციკლოპედია

მათემატიკური ენციკლოპედია- საბჭოთა ენციკლოპედიური გამოცემა ხუთ ტომად, რომელიც მიეძღვნა მათემატიკურ თემებს. გამოვიდა -1985 წელს გამომცემლობა „საბჭოთა ენციკლოპედიის“ მიერ. მთავარი რედაქტორი: აკადემიკოსი ი.მ.ვინოგრადოვი.

ეს არის ფუნდამენტური ილუსტრირებული გამოცემა მათემატიკის ყველა ძირითად დარგზე. წიგნში მოცემულია ვრცელი მასალა თემაზე, ცნობილი მათემატიკოსების ბიოგრაფიები, ნახატები, გრაფიკები, სქემები და დიაგრამები.

მთლიანი მოცულობა: დაახლოებით 3000 გვერდი. სტატიების განაწილება ტომების მიხედვით:

ტომი 1: აბაკუსი - ჰაიგენსის პრინციპი, 576 გვ.
ტომი 2: D'Alembert Operator - Co-op Game, 552 pp.
ტომი 3: კოორდინატები - მონომინალური, 592 გვ.
ტომი 4: თეორემის თვალი - კომპლექსური ფუნქცია, 608 გვ.
ტომი 5: შემთხვევითი ცვლადი - უჯრედი, 623 გვ.
მე-5 ტომის დანართი: საგნის ინდექსი, შესამჩნევი ბეჭდვითი შეცდომების სია.

ბმულები

ზოგადი და სპეციალური საცნობარო წიგნები და ენციკლოპედიები მათემატიკაში World of Mathematical Equations პორტალზე, სადაც შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ ენციკლოპედია ელექტრონული ფორმით.

კატეგორიები:

წიგნები ანბანურად
მათემატიკური ლიტერატურა
ენციკლოპედიები
გამომცემლობა "საბჭოთა ენციკლოპედიის" წიგნები
სსრკ ენციკლოპედია

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

მათემატიკური ქიმია
კვანტური მექანიკის მათემატიკური საფუძვლები

ნახეთ, რა არის „მათემატიკური ენციკლოპედია“ სხვა ლექსიკონებში:

მათემატიკური ლოგიკა- (თეორიული ლოგიკა, სიმბოლური ლოგიკა) მათემატიკის დარგი, რომელიც სწავლობს მათემატიკის საფუძვლების მტკიცებულებებსა და კითხვებს. „თანამედროვე მათემატიკური ლოგიკის საგანი მრავალფეროვანია“. P. S. Poretsky- ის განმარტებით, ”მათემატიკური ... ... ვიკიპედია

ენციკლოპედია- (ახალი ლათ. ენციკლოპედია (არა უადრეს მე-16 საუკუნე) სხვა ბერძნულიდან ἐγκύκλιος παιδεία „სწავლება სრულ წრეში“, κύκλος წრე და παιδεία სწავლება / payeia) შემოტანილი სისტემაში დაახლოებით ... ვიკიპედია.

ენციკლოპედია- (ბერძნ. enkyklios paydeia სწავლება ცოდნის მთელ სპექტრში), მეცნიერული. ან მეცნიერული პოპულარული საცნობარო წიგნი, რომელიც შეიცავს სისტემატიზს. ცოდნის სხეული. მასალა ე.-ში დალაგებულია ანბანურად ან სისტემატურად. პრინციპი (ცოდნის დარგების მიხედვით) ... ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკური ლოგიკა- თანამედროვე ლოგიკის ერთ-ერთი სახელი, რომელიც მეორეში მოვიდა. იატაკი. 19 ადრე მე -20 საუკუნე ტრადიციული ლოგიკის ნაცვლად. ტერმინი სიმბოლური ლოგიკა ასევე გამოიყენება ლოგიკის მეცნიერების განვითარების თანამედროვე ეტაპის სხვა სახელად. განმარტება…… ფილოსოფიური ენციკლოპედია

მათემატიკური უსასრულობა- საერთო სახელი დეკ. უსასრულობის იდეის რეალიზაცია მათემატიკაში. მიუხედავად იმისა, რომ მ.ბ ცნების მნიშვნელობებს შორის. და სხვა მნიშვნელობებში, რომლებშიც გამოიყენება ტერმინი უსასრულობა, არ არსებობს ხისტი საზღვარი (რადგან ყველა ეს კონცეფცია საბოლოოდ ასახავს ძალიან ... ... ფილოსოფიური ენციკლოპედია

მათემატიკური ინდუქცია- სრული მათემატიკური ინდუქცია (მათემატიკაში მას ხშირად უწოდებენ უბრალოდ სრულ ინდუქციას; ამ შემთხვევაში, ეს ცნება უნდა განვასხვავოთ არამათემატიკურ ფორმალურ ლოგიკაში განხილული სრული ინდუქციის ცნებისაგან), - ზოგადი დებულებების დადასტურების მეთოდი ... ... ფილოსოფიური ენციკლოპედია

მათემატიკური ჰიპოთეზა- ფენომენების შესწავლილი სფეროს კანონის გამომხატველი განტოლების ფორმის, ტიპის, ხასიათის სავარაუდო ცვლილება, რომლის მიზანია მისი გავრცელება ახალ, ჯერ კიდევ შეუსწავლელ ველზე, როგორც მასში თანდაყოლილი კანონი. თანამედროვეობაში ფართოდ გამოიყენება მ. თეორიული...... ფილოსოფიური ენციკლოპედია

მათემატიკური სკოლა პოლიტიკურ ეკონომიკაში- ინგლისური. მათემატიკური სკოლა პოლიტიკურ ეკონომიკაში; გერმანული mathematic Schule in der politischen Okonomie. მიმართულება პოლიტიკაში, ეკონომიკაში, რომელიც წარმოიშვა XIX საუკუნის მეორე ნახევარში, მისმა წარმომადგენლებმა (ლ. ვალრასი, ვ. პარეტო, ო. ჯევონსი და სხვ.) მისცეს ... ... სოციოლოგიის ენციკლოპედია

მათემატიკური სკოლა სოციოლოგიაში- ინგლისური. მათემატიკური სკოლა სოციოლოგიაში; გერმანული მათემატიკის Schule in der Soziologie. მიმართულება სოციოლოგიაში, რომელიც წარმოიშვა მე-20 საუკუნის პირველ ნახევარში, რომლის დამფუძნებლები (ა. ზიპფი, ე. დოდი და სხვები) თვლიდნენ, რომ სოციოლოგი, თეორიები აღწევს ... ... სოციოლოგიის ენციკლოპედია

შენობებისა და ნაგებობების მათემატიკური მოდელი- შენობებისა და ნაგებობების მათემატიკური (კომპიუტერული) მოდელი - შენობებისა და ნაგებობების წარმოდგენა სასრული ელემენტების დიაგრამის სახით რიცხვითი გამოთვლებისთვის, როდესაც გადაჭრის პრობლემებს, რომლებიც წარმოიქმნება დიზაინში, მშენებლობაში და ... ... სამშენებლო მასალების ტერმინების, განმარტებებისა და განმარტებების ენციკლოპედია

წიგნები

მათემატიკური ენციკლოპედია (კომპლექტი 5 წიგნი), . მათემატიკური ენციკლოპედია არის მოსახერხებელი საცნობარო წიგნი მათემატიკის ყველა დარგზე. ენციკლოპედია ეფუძნება სტატიებს, რომლებიც ეძღვნება მათემატიკის ყველაზე მნიშვნელოვან სფეროებს. ადგილმდებარეობის პრინციპი...

მათემატიკური ენციკლოპედია - საცნობარო წიგნი მათემატიკის ყველა დარგის შესახებ. ენციკლოპედია ეფუძნება მიმოხილვის სტატიებს, რომლებიც ეძღვნება მათემატიკის ყველაზე მნიშვნელოვან სფეროებს. ამ ტიპის სტატიების მთავარი მოთხოვნაა თეორიის არსებული მდგომარეობის მიმოხილვის შესაძლო სისრულე პრეზენტაციის მაქსიმალური ხელმისაწვდომობით; ეს სტატიები ზოგადად ხელმისაწვდომია მათემატიკის უფროსი სტუდენტებისთვის, კურსდამთავრებულებისთვის და მათემატიკის შესაბამისი დარგების სპეციალისტებისთვის და ზოგიერთ შემთხვევაში ცოდნის სხვა დარგის სპეციალისტებისთვის, რომლებიც იყენებენ მათემატიკურ მეთოდებს თავიანთ საქმიანობაში, ინჟინრებსა და მათემატიკის მასწავლებლებს. შემდგომში მოცემულია საშუალო ზომის სტატიები ცალკეულ სპეციფიკურ ამოცანებსა და მათემატიკის მეთოდებზე; ეს სტატიები განკუთვნილია მკითხველთა უფრო ვიწრო წრისთვის, ამიტომ მათში პრეზენტაცია შესაძლოა ნაკლებად ხელმისაწვდომი იყოს. და ბოლოს, არის კიდევ ერთი ტიპის სტატიები - მოკლე მითითებები-განმარტებები. ენციკლოპედიის ბოლო ტომის ბოლოს განთავსდება საგნობრივი ინდექსი, რომელიც მოიცავს არა მხოლოდ ყველა სტატიის სათაურს, არამედ ბევრ ცნებას, რომელთა განმარტებები მოცემულია პირველი ორი ტიპის სტატიების შიგნით, როგორც. ასევე სტატიებში ნახსენები ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგები. ენციკლოპედიის სტატიების უმეტესობას თან ახლავს მითითებების სია თითოეული სათაურის სერიული ნომრებით, რაც შესაძლებელს ხდის სტატიების ტექსტებში ციტირებას. სტატიების ბოლოს (როგორც წესი) მითითებულია ავტორი ან წყარო, თუ სტატია უკვე გამოქვეყნებულია ადრე (ძირითადად ეს არის დიდი საბჭოთა ენციკლოპედიის სტატიები). სტატიებში ნახსენები უცხოელი (გარდა უძველესი) მეცნიერების სახელებს ახლავს ლათინური მართლწერა (თუ არ არის მითითება მითითებების ჩამონათვალზე).

ჩამოტვირთეთ და წაიკითხეთ მათემატიკური ენციკლოპედია, ტომი 3, ვინოგრადოვი ი.მ., 1982 წ.

ჩამოტვირთეთ და წაიკითხეთ მათემატიკური ენციკლოპედია, ტომი 2, ვინოგრადოვი ი.მ., 1979 წ.

ჩამოტვირთეთ და წაიკითხეთ მათემატიკური ენციკლოპედია, ტომი 1, ვინოგრადოვი ი.მ., 1977 წ.

ალგებრა თავდაპირველად მათემატიკის ფილიალი იყო განტოლებების ამოხსნით. გეომეტრიისგან განსხვავებით, ალგებრის აქსიომატური კონსტრუქცია არ არსებობდა მე-19 საუკუნის შუა ხანებამდე, როდესაც გაჩნდა ფუნდამენტურად ახალი შეხედულება ალგებრის საგანსა და ბუნებაზე. კვლევამ უფრო და უფრო მეტი ყურადღება გაამახვილა ე.წ. ალგებრული სტრუქტურების შესწავლაზე. ამას ორი სარგებელი ჰქონდა. ერთის მხრივ, დაზუსტდა ის სფეროები, რომლებზეც მოქმედებს გარკვეული თეორემები, მეორე მხრივ, შესაძლებელი გახდა ერთი და იგივე მტკიცებულებების გამოყენება სრულიად განსხვავებულ სფეროებში. ალგებრის ეს დაყოფა გაგრძელდა მე-20 საუკუნის შუა ხანებამდე და გამოხატა იმაში, რომ გაჩნდა ორი სახელი: „კლასიკური ალგებრა“ და „თანამედროვე ალგებრა“. ამ უკანასკნელს უფრო სხვა სახელი ახასიათებს: „აბსტრაქტული ალგებრა“. ფაქტია, რომ ეს განყოფილება - პირველად მათემატიკაში - სრული აბსტრაქციით გამოირჩეოდა.

ჩამოტვირთეთ და წაიკითხეთ მცირე მათემატიკური ენციკლოპედია, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976 წ.

"ალბათობა და მათემატიკური სტატისტიკა" - საცნობარო წიგნი ალბათობის თეორიის, მათემატიკური სტატისტიკისა და მათი გამოყენების შესახებ მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში. ენციკლოპედია შედგება ორი ნაწილისგან: ძირითადი ნაწილი შეიცავს მიმოხილვის სტატიებს, სტატიებს, რომლებიც ეძღვნება ცალკეულ კონკრეტულ პრობლემებსა და მეთოდებს, მოკლე ცნობებს, სადაც მოცემულია ძირითადი ცნებების განმარტებები, ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორემები და ფორმულები. მნიშვნელოვანი ადგილი ეთმობა გამოყენებით საკითხებს - ინფორმაციის თეორიას, რიგის თეორიას, სანდოობის თეორიას, ექსპერიმენტების დაგეგმვას და მათთან დაკავშირებულ სფეროებს - ფიზიკას, გეოფიზიკას, გენეტიკას, დემოგრაფიას და ტექნოლოგიის გარკვეულ მონაკვეთებს. სტატიების უმეტესობას ახლავს ამ საკითხზე ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაშრომების ბიბლიოგრაფია. სტატიების სათაურები ასევე მოცემულია ინგლისურ თარგმანში. მეორე ნაწილი - "მკითხველი ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის შესახებ" შეიცავს წარსულის რუსული ენციკლოპედიებისთვის დაწერილ სტატიებს, ასევე სხვა ნაშრომებში ადრე გამოქვეყნებულ ენციკლოპედიურ მასალებს. ენციკლოპედიას ახლავს ჟურნალების, პერიოდული გამოცემებისა და მიმდინარე პუბლიკაციების ვრცელი სია, რომლებიც მოიცავს ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემებს.
ენციკლოპედიაში შეტანილი მასალა აუცილებელია სტუდენტებისთვის, მაგისტრანტებისთვის და მათემატიკისა და სხვა მეცნიერებების დარგის მკვლევრებისთვის, რომლებიც იყენებენ ალბათურ მეთოდებს კვლევისა და პრაქტიკული მუშაობისას.

მათემატიკური ენციკლოპედია - საცნობარო წიგნი მათემატიკის ყველა დარგის შესახებ. ენციკლოპედია ეფუძნება მიმოხილვის სტატიებს, რომლებიც ეძღვნება მათემატიკის ყველაზე მნიშვნელოვან სფეროებს. ამ ტიპის სტატიების მთავარი მოთხოვნაა თეორიის არსებული მდგომარეობის მიმოხილვის შესაძლო სისრულე პრეზენტაციის მაქსიმალური ხელმისაწვდომობით; ეს სტატიები ზოგადად ხელმისაწვდომია მათემატიკის უფროსი სტუდენტებისთვის, კურსდამთავრებული სტუდენტებისთვის და მათემატიკის შესაბამისი დარგების სპეციალისტებისთვის და ზოგიერთ შემთხვევაში - ცოდნის სხვა დარგის სპეციალისტებისთვის, მათემატიკური მეთოდების გამოყენებით, ინჟინრებისთვის და მათემატიკის მასწავლებლებისთვის. შემდგომში მოცემულია საშუალო ზომის სტატიები ცალკეულ სპეციფიკურ ამოცანებსა და მათემატიკის მეთოდებზე; ეს სტატიები განკუთვნილია მკითხველთა უფრო ვიწრო წრისთვის, ამიტომ მათში პრეზენტაცია შესაძლოა ნაკლებად ხელმისაწვდომი იყოს. და ბოლოს, არის კიდევ ერთი ტიპის სტატიები - მოკლე მითითებები-განმარტებები. ზოგიერთი განმარტება მოცემულია პირველი ორი ტიპის სტატიების შიგნით. ენციკლოპედიის სტატიების უმეტესობას თან ახლავს მითითებების სია თითოეული სათაურის სერიული ნომრებით, რაც შესაძლებელს ხდის სტატიების ტექსტებში ციტირებას. სტატიების ბოლოს (როგორც წესი) მითითებულია ავტორი ან წყარო, თუ სტატია უკვე გამოქვეყნებულია ადრე (ძირითადად ეს არის დიდი საბჭოთა ენციკლოპედიის სტატიები). სტატიებში ნახსენები უცხოელი (გარდა უძველესი) მეცნიერების სახელებს ახლავს ლათინური მართლწერა (თუ არ არის მითითება მითითებების ჩამონათვალზე).

ენციკლოპედიაში სტატიების მოწყობის პრინციპი ანბანურია. თუ სტატიის სათაური არის ტერმინი, რომელსაც აქვს სინონიმი, მაშინ ეს უკანასკნელი მოცემულია მთავარის შემდეგ. ხშირ შემთხვევაში, სტატიის სათაური შედგება ორი ან მეტი სიტყვისგან. ამ შემთხვევებში, ტერმინები მოცემულია ან ყველაზე გავრცელებული ფორმით, ან პირველ რიგში მოთავსებულია მნიშვნელობით მთავარი სიტყვა. თუ სტატიის სათაური შეიცავს შესაბამის სახელს, ის პირველ რიგში იდება (ასეთი სტატიების მითითებების სიაში, როგორც წესი, არის პირველადი წყარო, რომელიც ხსნის ტერმინის სახელს). სტატიების სათაურები ძირითადად მოცემულია მხოლობით.

ენციკლოპედია ფართოდ იყენებს სხვა სტატიების ბმულების სისტემას, სადაც მკითხველი მიიღებს დამატებით ინფორმაციას განსახილველ თემაზე. განმარტება არ ეხება სტატიის სათაურში მოცემულ ტერმინს.

სტატიებში სივრცის დაზოგვის მიზნით, მიღებულია ენციკლოპედიებისთვის ზოგიერთი სიტყვის ჩვეულებრივი შემოკლებები.

მუშაობდა 1 ტომზე

საბჭოთა ენციკლოპედიის გამომცემლობის მათემატიკის სარედაქციო კოლეგია - V. I. BITYUTSKOV ( სარედაქციო კოლეგიის ხელმძღვანელი), M. I. VOITSEHOVSKY (სამეცნიერო რედაქტორი), Yu. A. GORBKOV (სამეცნიერო რედაქტორი), A. B. IVANOV (უფროსი სამეცნიერო რედაქტორი), O.A. უფროსი სამეცნიერო რედაქტორი), T. Yu. L. R. KHABIB (ასოცირებული რედაქტორი).

გამომცემლობის თანამშრომლები: E. P. RYABOVA (ლიტერატურული სარედაქციო კოლეგია). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (ბიბლიოგრაფია). A. F. DALKOVSKY (ტრანსკრიფცია). N. A. FEDOROV (შესყიდვების დეპარტამენტი). 3. ა. სუხოვა (რედაქციული ილუსტრაციები). E. I. ALEKSEEVA, N. YU. KRUZHALOV (რედაქციული ლექსიკონი). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (კორექტირება). G. V. SMIRNOV (ტექნიკური გამოცემა).

ყდა მხატვრის R. I. MALANICHEV-ის მიერ.

დამატებითი ინფორმაცია 1-ლი ტომის შესახებ

გამომცემლობა "საბჭოთა ენციკლოპედია"

ენციკლოპედიების ლექსიკონების საცნობარო წიგნები

გამომცემლობის სამეცნიერო - სარედაქციო კოლეგია

A. M. PROKHOROV (თავმჯდომარე), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEKSANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV, M. S. ASIMOV Н. , V. V. Volsky, B. M. Vul, B. G. Gafurov, S. R. გერშბერგი, M. S. Gilyarov, V. P. Glushko, V. M. Glushkov, G. N GOLIKOV, D. B. GULIEV, A. A. GUSEV (თავმჯდომარის მოადგილე), V.P.SH. INOZEMTSEV, M I. Kabachnik, S. V. Kalesnik, G. A. Karavaev, K. K. Karakeev, M. K. Karataev, B. M. Kedrov, G. V. Keldysh, V. A. Kirillin, and I. L KNUNYANTS, S. M. KOVALEV, S.M. KOVALEV,First მოადგილე (თავმჯდომარის მოადგილე), ბ.ვ.კუკარკინი, ვ.გ.კულიკოვი, ი.ა.კუტუზოვი, პ.პ.ლობანოვი, გ.მ.ლოზა, იუ.ე.მაქსარევი, პ.ა.მარკოვი, ა.ი.მარკუშევიჩი, იუ.იუ.ობიჩკინი, ბ.ე.პატონ, ვ.მ. ჯ, მ. ა. პროკოფიევი, იუ. ვ. პროხოროვი, ნ. ფ. როსტოვცევი, ა. მ. რუმიანცევი, ბ. ა. რიბაკოვი, ვ. პ. სამსონი, მ. ი. სლადკოვსკი, ვ. ი. სმირნოვი, დ. ნ. , ს.ა. ტოკარევი, ვ.ა. ტრაპეზნიკოვი, ე.კ.ფედოროვი, მ.ბ.ხრაპჩენკო, ე.ი.ჩაზოვი, ვ.ნ.ჩერნიგოვსკი, ია.ე.შმუშკისი და ს.ი.იუტკევიჩი საბჭოს მდივანი L.V. KIRILLOVA.

მოსკოვი 1977 წ

მათემატიკური ენციკლოპედია. ტომი 1 (A - D)

მთავარი რედაქტორი I.M. VINOGRADOV

სარედაქციო გუნდი

ს. ი. ალექსანდროვი, ნ. ს. ბახვალოვი, ვ. ბითუტსკოვი (რედაქტორის მოადგილე), ა. ვ. ბიწაძე, ა. ბითშაძე, ა. ა. გონჩარი, ნ. ვ. ვ. ეფიმოვი, ვ. ა. ილინი, ა. ქუდრავვა, ლ. ლევიანი, კ. ლევის, კ. მარარჯანიშვილი, ე. ნოვიკოვი და ე.

მათემატიკური ენციკლოპედია. რედ. კოლეგია: I. M. Vinogradov (რედაქტორების ხელმძღვანელი) [და სხვები] T. 1 - M., “ საბჭოთა ენციკლოპედია“, 1977 წ

(ენციკლოპედიები. ლექსიკონები. საცნობარო წიგნები), ტ. 1. A - G. 1977. 1152 stb. ავადმყოფისგან.

კომპლექტს გადაეცა 9. 06. 1976 წ. ხელმოწერილი დასაბეჭდად 18. 02. 1977 წ. პირველ სანიმუშო სტამბაში დამზადებული მატრიცებიდან ტექსტის ბეჭდვა. ა.ა.ჟდანოვა. შრომის წითელი დროშის ორდენი, გამომცემლობა „საბჭოთა ენციკლოპედია“. 109817. მოსკოვი, ჟ - 28, პოკროვსკის ბულვარი, 8. T - 02616 ტირაჟი 150 000 ეგზემპლარი. შეკვეთა No418.საბეჭდი ქაღალდი No1 ქაღალდი ზომა 84xl08 1/14. ტომი 36 ფიზიკური გვ. ლ. ; 60, 48 კონვ. გვ. ლ. ტექსტი. 101, 82 ანგარიში - რედ. ლ. წიგნის ფასი 7 რუბლია. 10 კ.

შრომის წითელი დროშის ორდენი მოსკოვის სტამბა No1 „Soyuzpoligrafprom“ სსრკ მინისტრთა საბჭოს გამომცემლობის, ბეჭდვისა და წიგნით ვაჭრობის სახელმწიფო კომიტეტთან, მოსკოვი, I - 85, Prospekt Mira, 105. ბრძანება No. 865.