თამაშები

რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია. რთული ფუნქციის წარმოებული. სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების ამოხსნა სრულიად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების ცოდნის გარეშე. წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?

წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მითითებულია გარკვეულ ინტერვალში (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის შეცვლა - განსხვავება მის მნიშვნელობებში x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებულის განმარტება:

ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.

წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:

რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? აი რა არის ეს:

ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: გზის წარმოებული დროის მიმართ უდრის მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარეს.

მართლაც, სკოლის დღეებიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე განსაკუთრებული გზაა x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:

დროის მომენტში მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:

წესი პირველი: დააყენეთ მუდმივი

მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებული ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას აიღეთ როგორც წესი - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, დარწმუნდით, რომ გაამარტივეთ იგი .

მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:

წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული

ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.

ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

გამოსავალი:

აქ მნიშვნელოვანია რთული ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლაზე საუბარი. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედური არგუმენტის მიმართ და შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:

ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამონათქვამის წარმოებულის გამოსათვლელად, ჯერ ვიანგარიშებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.

წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:

ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჩანს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლაში.

ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი ტესტის ამოხსნაში და ამოცანების გაგებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასოდეს გაგიკეთებიათ წარმოებული გამოთვლები.

ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

მოდი, შორს არ წავიდეთ, დაუყოვნებლივ განვიხილოთ შებრუნებული ფუნქცია. რომელი ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.

რის ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენციალური და ბუნებრივი ლოგარითმი წარმოებული პერსპექტივიდან ცალსახად მარტივი ფუნქციებია. ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენცირების წესები

რისი წესები? ისევ ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

Სულ ეს არის. კიდევ რა შეიძლება ეწოდოს ამ პროცესს ერთი სიტყვით? არა წარმოებული... მათემატიკოსები დიფერენციალს ფუნქციის იგივე ნამატს უწოდებენ. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესიც მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. დაე ეს იყოს, ან უფრო მარტივი.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

წერტილში;
წერტილში;
წერტილში;
წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

(წარმოებული ყველა წერტილში ერთნაირია, რადგან ის წრფივი ფუნქციაა, გახსოვს?);

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: შემოვიტანოთ ახალი ფუნქცია და ვიპოვოთ მისი ზრდა:

წარმოებული:

მაგალითები:

იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, როგორ იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ ექსპონენტები (დაგავიწყდათ თუ არა ეს ჯერ?).

ასე რომ, სად არის გარკვეული რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე შევიყვანოთ:

ამისათვის გამოვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან წააგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის იგივე რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ეს არის მხოლოდ რიცხვი, რომლის გამოთვლა შეუძლებელია კალკულატორის გარეშე, ანუ მისი უფრო მარტივი ფორმით ჩაწერა შეუძლებელია. ამიტომ პასუხში ამ სახით ვტოვებთ.

გაითვალისწინეთ, რომ აქ არის ორი ფუნქციის კოეფიციენტი, ამიტომ ჩვენ ვიყენებთ დიფერენციაციის შესაბამის წესს:

ამ მაგალითში ორი ფუნქციის პროდუქტია:

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

ამიტომ, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმი განსხვავებული ბაზით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა შევამციროთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა დავწერთ ამის ნაცვლად:

მნიშვნელი უბრალოდ მუდმივია (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული მიიღება ძალიან მარტივად:

ექსპონენციური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები თითქმის არასოდეს გვხვდება ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც არქტანგენტი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთული გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი გაგიჭირდებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და კარგად იქნებით), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერის ქამარი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ობიექტებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი ლენტით აკრავს. შედეგი არის კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი კვადრატში მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა რიცხვი (შოკოლადი), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც, მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, ჩვენ ვასრულებთ პირველ მოქმედებას პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მოქმედებასთან ერთად, რაც პირველიდან არის მიღებული.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

ჩვენი მაგალითისთვის,.

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გავაკეთოთ იგივე ნაბიჯები საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატში და შემდეგ ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს: . ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც იცვლება მოქმედებების თანმიმდევრობა, იცვლება ფუნქცია.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ ბოლოს, დაერქმევა "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში

რა მოქმედებას ვასრულებთ პირველ რიგში? ჯერ გამოვთვალოთ სინუსი და მხოლოდ ამის შემდეგ დავჭრათ ის. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის შიდა ფუნქცია, მაგრამ გარე.
ხოლო თავდაპირველი ფუნქციაა მათი შემადგენლობა: .
შიდა: ; გარე:.
ექსპერტიზა:.
შიდა: ; გარე:.
ექსპერტიზა:.
შიდა: ; გარე:.
ექსპერტიზა:.
შიდა: ; გარე:.
ექსპერტიზა:.

ჩვენ ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადის ფილას და ვეძებთ წარმოებულს. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალურ მაგალითთან დაკავშირებით, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

გადაწყვეტილებები:

1) შიდა: ;

გარე: ;

2) შიდა: ;

(უბრალოდ აქამდე ნუ ცდილობ მის გაჭრას! კოსინუსიდან არაფერი გამოდის, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

გარე: ;

მაშინვე ირკვევა, რომ ეს არის სამ დონის რთული ფუნქცია: ბოლოს და ბოლოს, ეს უკვე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან ფესვსაც ამოვიღებთ, ანუ ვასრულებთ მესამე მოქმედებას (შოკოლადი ჩავდოთ შესაფუთში. და პორტფელში ლენტით). მაგრამ შეშინების მიზეზი არ არის: ჩვენ კვლავ „გავანაწილებთ“ ამ ფუნქციას იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ყოველთვის: ბოლოდან.

ანუ ჯერ განვასხვავებთ ფესვს, შემდეგ კოსინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამონათქვამს ფრჩხილებში. და შემდეგ ვამრავლებთ ყველაფერს.

ასეთ შემთხვევებში მოსახერხებელია მოქმედებების დანომრვა. ანუ წარმოვიდგინოთ რა ვიცით. რა თანმიმდევრობით შევასრულებთ მოქმედებებს ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ მაგალითს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება შესაბამისი ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა იგივეა, რაც ადრე:

აქ ბუდე ძირითადად 4 დონისაა. მოდით განვსაზღვროთ მოქმედების კურსი.

1. რადიკალური გამოხატულება. .

2. ფესვი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ყველაფრის ერთად შეკრება:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნამატის არგუმენტის ზრდასთან:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან:

თანხის წარმოებული:

პროდუქტის წარმოებული:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

ჩვენ განვსაზღვრავთ "შიდა" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.

მოცემულია წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენებით.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის დადასტურება

ძირითადი ფორმულები

აქ მოცემულია შემდეგი ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები:
; ; ; ; .

თუ ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რთული ფუნქცია შემდეგი ფორმით:
,
მაშინ მისი წარმოებული განისაზღვრება ფორმულით:
.
ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ დავწერთ ამ ფორმულას შემდეგნაირად:
.
სად .
აქ ქვესკრიპტები ან , რომლებიც მდებარეობს წარმოებული ნიშნის ქვეშ, აღნიშნავენ ცვლადებს, რომლებითაც ხდება დიფერენციაცია.

ჩვეულებრივ, წარმოებულების ცხრილებში მოცემულია x ცვლადის ფუნქციების წარმოებულები. თუმცა, x არის ფორმალური პარამეტრი. x ცვლადი შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი სხვა ცვლადით. მაშასადამე, ფუნქციის ცვლადისგან დიფერენცირებისას ჩვენ უბრალოდ წარმოებულთა ცხრილში ვცვლით x ცვლადს u ცვლადში.

მარტივი მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვეთ რთული ფუნქციის წარმოებული
.

დავწეროთ მოცემული ფუნქცია ეკვივალენტური ფორმით:
.
წარმოებულების ცხრილში ვხვდებით:
;
.

რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის მიხედვით გვაქვს:
.
Აქ .

მაგალითი 2

იპოვეთ წარმოებული
.

წარმოებული ნიშნიდან ვიღებთ მუდმივ 5-ს და წარმოებულთა ცხრილიდან ვპოულობთ:
.

.
Აქ .

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული
.

ჩვენ ვიღებთ მუდმივ -1 წარმოებულის ნიშნისთვის და წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
;
წარმოებულების ცხრილიდან ვხვდებით:
.

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას:
.
Აქ .

უფრო რთული მაგალითები

უფრო რთულ მაგალითებში ჩვენ რამდენჯერმე ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ წარმოებულს ბოლოდან. ანუ, ჩვენ ვყოფთ ფუნქციას მის შემადგენელ ნაწილებად და ვიპოვით უმარტივესი ნაწილების წარმოებულებს გამოყენებით წარმოებულების ცხრილი. ჩვენ ასევე ვიყენებთ თანხების დიფერენცირების წესები, პროდუქტები და ფრაქციები. შემდეგ ვაკეთებთ ჩანაცვლებებს და ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.

მაგალითი 4

იპოვეთ წარმოებული
.

ავირჩიოთ ფორმულის უმარტივესი ნაწილი და ვიპოვოთ მისი წარმოებული. .

.
აქ ჩვენ გამოვიყენეთ აღნიშვნა
.

მიღებული შედეგების გამოყენებით ვპოულობთ ორიგინალური ფუნქციის შემდეგი ნაწილის წარმოებულს. ჯამის დიფერენცირების წესს ვიყენებთ:
.

კიდევ ერთხელ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციის წესს.

.
Აქ .

მაგალითი 5

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული
.

ავირჩიოთ ფორმულის უმარტივესი ნაწილი და ვიპოვოთ მისი წარმოებული წარმოებულების ცხრილიდან. .

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესს.
.
Აქ
.

მიღებული შედეგების გამოყენებით განვასხვავოთ შემდეგი ნაწილი.
.
Აქ
.

მოდით განვასხვავოთ შემდეგი ნაწილი.

.
Აქ
.

ახლა ჩვენ ვიპოვით სასურველი ფუნქციის წარმოებულს.

.
Აქ
.

Იხილეთ ასევე:

ეს გაკვეთილი ეძღვნება თემას „კომპლექსური ფუნქციების დიფერენციაცია. პრობლემა მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების პრაქტიკიდან“. ეს გაკვეთილი იკვლევს რთული ფუნქციების დიფერენცირებას. შედგენილია რთული ფუნქციის წარმოებულების ცხრილი. ამასთან, განხილულია პრობლემის გადაჭრის მაგალითი მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების პრაქტიკიდან.

თემა: წარმოებული

გაკვეთილი: რთული ფუნქციის დიფერენცირება. პრაქტიკული დავალება მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად

კომპლექსიფუნქციაჩვენ უკვე განვასხვავეთ, მაგრამ არგუმენტი იყო წრფივი ფუნქცია, კერძოდ, ჩვენ ვიცით როგორ განვასხვავოთ ფუნქცია. Მაგალითად, . ახლა, ანალოგიურად, ვიპოვით რთული ფუნქციის წარმოებულებს, სადაც წრფივი ფუნქციის ნაცვლად შეიძლება იყოს სხვა ფუნქცია.

დავიწყოთ ფუნქციით

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ სინუსის წარმოებული რთული ფუნქციიდან, სადაც სინუსის არგუმენტი იყო კვადრატული ფუნქცია.

თუ თქვენ გჭირდებათ წარმოებულის მნიშვნელობის პოვნა კონკრეტულ წერტილში, მაშინ ეს წერტილი უნდა შეიცვალოს ნაპოვნი წარმოებულში.

ასე რომ, ორ მაგალითში ვნახეთ, როგორ მუშაობს წესი დიფერენციაციაკომპლექსი ფუნქციები.

3. . შეგახსენებთ რომ.

8. .

ამრიგად, ამ ეტაპზე დავასრულებთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციის ცხრილს. შემდგომ, რა თქმა უნდა, ის კიდევ უფრო განზოგადდება, მაგრამ ახლა გადავიდეთ წარმოებულზე კონკრეტულ პრობლემებზე.

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების პრაქტიკაში შემოთავაზებულია შემდეგი ამოცანები.

იპოვნეთ ფუნქციის მინიმალური რაოდენობა .

ODZ: .

მოდი ვიპოვოთ წარმოებული. გავიხსენოთ, რომ, .

წარმოებული გავუტოლოთ ნულს. წერტილი შედის ODZ-ში.

ვიპოვოთ წარმოებულის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები (ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები) (იხ. სურ. 1).

ბრინჯი. 1. ერთფეროვნების ინტერვალები ფუნქციისთვის .

მოდით შევხედოთ წერტილს და გავარკვიოთ არის თუ არა ის ექსტრემალური წერტილი. ექსტრემის საკმარისი ნიშანი არის ის, რომ წარმოებული ცვლის ნიშანს წერტილის გავლისას. ამ შემთხვევაში, წარმოებული ცვლის ნიშანს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის უკიდურესი წერტილი. ვინაიდან წარმოებული ცვლის ნიშანს "-"-დან "+", მაშინ ეს არის მინიმალური წერტილი. ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში: . დავხატოთ დიაგრამა (იხ. სურ. 2).

ნახ.2. ფუნქციის ექსტრემალური .

ინტერვალზე - ფუნქცია მცირდება, ჩართვა - ფუნქცია იზრდება, ექსტრემალური წერტილი უნიკალურია. ფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას მხოლოდ წერტილში.

გაკვეთილზე გადავხედეთ რთული ფუნქციების დიფერენციაციას, შევადგინეთ ცხრილი და დავაკვირდით რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესებს და მოვიყვანეთ წარმოებულის გამოყენების მაგალითი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების პრაქტიკიდან.

1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2009 წ.

2. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი (ორ ნაწილად). პრობლემური წიგნი საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე), რედ. A.G. Mordkovich. -მ.: მნემოსინე, 2007 წ.

3. ვილენკინ ნ.ია., ივაშევ-მუსატოვი ო.ს., შვარცბურდი ს.ი. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზი მე-10 კლასისთვის (სახელმძღვანელო სკოლებისა და კლასების მოსწავლეებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით - M.: Prosveshchenie, 1996 წ.).

4. გალიცკი მ.ლ., მოშკოვიჩ მ.მ., შვარცბურდი ს.ი. ალგებრის სიღრმისეული შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი.-მ.: განათლება, 1997 წ.

5. მათემატიკაში ამოცანების კრებული უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში მსურველთათვის (მ.ი. სკანავი - მ.: უმაღლესი სკოლა, 1992 წ.).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ალგებრული სიმულატორი.-კ.: A.S.K., 1997 წ.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra და ანალიზის დასაწყისი. 8-11 კლასები: სახელმძღვანელო სკოლებისთვის და კლასებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით (დიდაქტიკური მასალები).

8. საჰაკიანი ს.მ., გოლდმანი ა.მ., დენისოვი დ.ვ. პრობლემები ალგებრაზე და ანალიზის პრინციპებზე (სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასების მოსწავლეებისთვის - M.: Prosveshchenie, 2003 წ.).

9. კარპ ა.პ. ალგებრაზე ამოცანების კრებული და ანალიზის პრინციპები: სახელმძღვანელო. შემწეობა 10-11 კლასებისთვის. სიღრმით შეისწავლა მათემატიკა.-მ.: განათლება, 2006 წ.

10. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. 9-10 კლასები (სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის).-მ.: განათლება, 1983 წ

დამატებითი ვებ რესურსები

2. საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა პორტალი ().

გააკეთეთ ის სახლში

Nos. 42.2, 42.3 (ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, კლასი 10 (ორ ნაწილად). პრობლემური წიგნი ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

თუ დაიცავთ განმარტებას, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილში არის Δ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. წარგუმენტის ზრდა Δ x:

როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია. მაგრამ შეეცადეთ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, რომ გამოთვალოთ, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ვ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ე xცოდვა x. თუ ყველაფერს აკეთებთ განსაზღვრებით, მაშინ რამდენიმე გვერდიანი გამოთვლების შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციების მთელი მრავალფეროვნებიდან შეგვიძლია გამოვყოთ ე.წ. ელემენტარული ფუნქციები. ეს არის შედარებით მარტივი გამონათქვამები, რომელთა წარმოებულები დიდი ხანია გამოითვლება და შევიდა ცხრილში. ასეთი ფუნქციები საკმაოდ ადვილი დასამახსოვრებელია - მათ წარმოებულებთან ერთად.

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული ფუნქციები არის ყველა ქვემოთ ჩამოთვლილი. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. უფრო მეტიც, მათი დამახსოვრება სულაც არ არის რთული - ამიტომ ისინი ელემენტარულია.

ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
მუდმივი	ვ(x) = C, C ∈ რ	0 (დიახ, ნული!)
ძალა რაციონალური მაჩვენებლით	ვ(x) = x ნ	ნ · x ნ − 1
სინუსი	ვ(x) = ცოდვა x	cos x
კოსინუსი	ვ(x) = cos x	-ცოდვა x(მინუს სინუსი)
ტანგენტი	ვ(x) = ტგ x	1/co 2 x
კოტანგენსი	ვ(x) = ctg x	− 1/ცოდვა 2 x
ბუნებრივი ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი x	1/x
თვითნებური ლოგარითმი	ვ(x) = ჟურნალი ა x	1/(xლნ ა)
ექსპონენციალური ფუნქცია	ვ(x) = ე x	ე x(არაფერი შეცვლილა)

თუ ელემენტარული ფუნქცია მრავლდება თვითნებურ მუდმივზე, მაშინ ახალი ფუნქციის წარმოებული ასევე ადვილად გამოითვლება:

(C · ვ)’ = C · ვ ’.

ზოგადად, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან. Მაგალითად:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლდეს, გაიყოს - და ბევრი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, აღარ არის განსაკუთრებით ელემენტარული, არამედ გარკვეული წესების მიხედვით დიფერენცირებული. ეს წესები განიხილება ქვემოთ.

ჯამისა და სხვაობის წარმოებული

მიეცით ფუნქციები ვ(x) და გ(x), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის წარმოებული:

(ვ + გ)’ = ვ ’ + გ ’
(ვ − გ)’ = ვ ’ − გ ’

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს (განსხვავებას). შეიძლება მეტი ვადები იყოს. Მაგალითად, ( ვ + გ + თ)’ = ვ ’ + გ ’ + თ ’.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს „გამოკლების“ ცნება. არსებობს "ნეგატიური ელემენტის" კონცეფცია. ამიტომ განსხვავება ვ − გშეიძლება გადაიწეროს ჯამის სახით ვ+ (−1) გ, და შემდეგ რჩება მხოლოდ ერთი ფორმულა - ჯამის წარმოებული.

ვ(x) = x 2 + ცოდვა x; გ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, შესაბამისად:

ვ ’(x) = (x 2 + ცოდვა x)’ = (x 2)“ + (ცოდვა x)’ = 2x+ cos x;

ჩვენ ანალოგიურად ვმსჯელობთ ფუნქციისთვის გ(x). მხოლოდ სამი ტერმინია (ალგებრას თვალსაზრისით):

გ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

პასუხი:
ვ ’(x) = 2x+ cos x;
გ ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

პროდუქტის წარმოებული

მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრს სჯერა, რომ თუ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა">უდრის წარმოებულების ნამრავლს. ოღონდ ატეხე! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება სრულიად განსხვავებული ფორმულით. კერძოდ:

(ვ · გ) ’ = ვ ’ · გ + ვ · გ ’

ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად დავიწყებულია. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად მოგვარებული პრობლემები.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = x 3 cos x; გ(x) = (x 2 + 7x− 7) · ე x .

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტი, ამიტომ ყველაფერი მარტივია:

ვ ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (კოს x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-ცოდვა x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x)

ფუნქცია გ(x) პირველი მულტიპლიკატორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემა არ იცვლება. ცხადია, ფუნქციის პირველი ფაქტორი გ(x) მრავალწევრია და მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ე x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · ე x + (x 2 + 7x- 7) ( ე x)’ = (2x+ 7) · ე x + (x 2 + 7x− 7) · ე x = ე x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ე x = x(x+ 9) · ე x .

პასუხი:
ვ ’(x) = x 2 (3 cos x − xცოდვა x);
გ ’(x) = x(x+ 9) · ე x .

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ბოლო საფეხურზე ხდება წარმოებულის ფაქტორიზაცია. ფორმალურად, ამის გაკეთება არ არის საჭირო, მაგრამ წარმოებულების უმეტესობა არ გამოითვლება დამოუკიდებლად, არამედ ფუნქციის შესამოწმებლად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომში წარმოებული იქნება ნულის ტოლფასი, დადგინდება მისი ნიშნები და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უმჯობესია გამონათქვამის ფაქტორიზებული იყოს.

თუ არსებობს ორი ფუნქცია ვ(x) და გ(x), და გ(x) ≠ 0 ჩვენთვის საინტერესო ნაკრებზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია თ(x) = ვ(x)/გ(x). ასეთი ფუნქციისთვის ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:

სუსტი არაა, არა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? და ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულა - თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გარკვევა ბოთლის გარეშე. ამიტომ სჯობს მისი შესწავლა კონკრეტული მაგალითებით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ელემენტარულ ფუნქციებს, ასე რომ, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება არის კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულა:

ტრადიციის თანახმად, მოდით, მრიცხველის ფაქტორიზირება - ეს მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:

რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება ვ(x) = ცოდვა xდა შეცვალეთ ცვლადი x, ვთქვათ, on x 2 + ln x. გამოვა ვ(x) = ცოდვა ( x 2 + ln x) - ეს რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ მისი პოვნა შეუძლებელი იქნება ზემოთ განხილული წესების გამოყენებით.

Რა უნდა გავაკეთო? ასეთ შემთხვევებში რთული ფუნქციის წარმოებულის ცვლადისა და ფორმულის შეცვლა ხელს უწყობს:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ“, თუ xშეცვლილია ტ(x).

როგორც წესი, სიტუაცია ამ ფორმულის გაგებით კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებულთან. ამიტომ, ასევე უკეთესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით, თითოეული ნაბიჯის დეტალური აღწერით.

დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = ე 2x + 3 ; გ(x) = ცოდვა ( x 2 + ln x)

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციაში ვ(x) გამოთქმის ნაცვლად 2 x+3 ადვილი იქნება x, მაშინ ვიღებთ ელემენტარულ ფუნქციას ვ(x) = ე x. ამიტომ, ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: მოდით 2 x + 3 = ტ, ვ(x) = ვ(ტ) = ე ტ. ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულის გამოყენებით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ე ტ)’ · ტ ’ = ე ტ · ტ ’

ახლა კი - ყურადღება! ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = 2x+ 3. ჩვენ ვიღებთ:

ვ ’(x) = ე ტ · ტ ’ = ე 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ე 2x+ 3 2 = 2 ე 2x + 3

ახლა მოდით შევხედოთ ფუნქციას გ(x). ცხადია, ის უნდა შეიცვალოს x 2 + ln x = ტ. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = გ ’(ტ) · ტ= (ცოდვა ტ)’ · ტ’ = cos ტ · ტ ’

საპირისპირო ჩანაცვლება: ტ = x 2 + ln x. შემდეგ:

გ ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა დაყვანილია წარმოებული ჯამის გამოთვლაზე.

პასუხი:
ვ ’(x) = 2 · ე 2x + 3 ;
გ ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

ძალიან ხშირად ჩემს გაკვეთილებზე, ტერმინის „წარმოებულის“ ნაცვლად, ვიყენებ სიტყვას „პირველი“. მაგალითად, ჯამის დარტყმა უდრის დარტყმების ჯამს. ეს უფრო ნათელია? ისე, კარგია.

ამრიგად, წარმოებულის გამოთვლა მცირდება იმავე დარტყმების მოშორებაზე ზემოთ განხილული წესების მიხედვით. როგორც საბოლოო მაგალითი, დავუბრუნდეთ წარმოებულ ძალას რაციონალური მაჩვენებლით:

(x ნ)’ = ნ · x ნ − 1

ცოტამ თუ იცის ეს როლში ნშეიძლება იყოს წილადი რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის x 0.5. რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ არის რაღაც ლამაზი? ისევ და ისევ, შედეგი იქნება რთული ფუნქცია - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებსა და გამოცდებში.