ხელოსნობა

ვიეტას თეორემა კვადრატული და სხვა განტოლებისთვის. ვიეტის თეორემა, შებრუნებული ვიეტის ფორმულა და მაგალითები დუმების ამოხსნით ვიეტას ელიმინაციის თეორემა

ნებისმიერი სრული კვადრატული განტოლება ax2 + bx + c = 0შეიძლება გონების მოყვანა x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, თუ პირველ რიგში თითოეულ წევრს გავყოფთ წინა კოეფიციენტზე a x2. და თუ შემოვიყვანთ ახალ აღნიშვნას (ბ/ა) = გვდა (c/a) = q, მაშინ გვექნება განტოლება x 2 + px + q = 0, რომელსაც მათემატიკაში ე.წ შემცირებული კვადრატული განტოლება.

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები და კოეფიციენტები გვდა ქურთიერთდაკავშირებული. დადასტურებულია ვიეტას თეორემაფრანგი მათემატიკოსის ფრანსუა ვიეტას სახელით, რომელიც მე-16 საუკუნის ბოლოს ცხოვრობდა.

თეორემა. შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი x 2 + px + q = 0მეორე კოეფიციენტის ტოლი გვ, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების პროდუქტი - თავისუფალ ტერმინამდე ქ.

ჩვენ ვწერთ ამ თანაფარდობებს შემდეგი ფორმით:

დაე x 1და x2შემცირებული განტოლების სხვადასხვა ფესვები x 2 + px + q = 0. ვიეტას თეორემის მიხედვით x1 + x2 = -pდა x 1 x 2 = q.

ამის დასამტკიცებლად, მოდით ჩავანაცვლოთ თითოეული ფესვი x 1 და x 2 განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ ორ ნამდვილ თანასწორობას:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

გამოვაკლოთ მეორე პირველ ტოლობას. ჩვენ ვიღებთ:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

ჩვენ ვაფართოებთ პირველ ორ წევრს კვადრატების განსხვავების მიხედვით:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

პირობით, ფესვები x 1 და x 2 განსხვავებულია. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ ტოლობა (x 1 - x 2) ≠ 0-ით და გამოვხატოთ p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -გვ.

პირველი თანასწორობა დადასტურებულია.

მეორე ტოლობის დასამტკიცებლად, ჩვენ ვცვლით პირველ განტოლებას

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 კოეფიციენტის p ნაცვლად, მისი ტოლი რიცხვია (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

განტოლების მარცხენა მხარის გარდაქმნით მივიღებთ:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ვიეტას თეორემა კარგია, რადგან: კვადრატული განტოლების ფესვების ცოდნის გარეშეც შეგვიძლია გამოვთვალოთ მათი ჯამი და ნამრავლი .

ვიეტას თეორემა გვეხმარება მოცემული კვადრატული განტოლების მთელი რიცხვის ფესვების დადგენაში. მაგრამ ბევრი სტუდენტისთვის ეს იწვევს სირთულეებს იმის გამო, რომ მათ არ იციან მოქმედების მკაფიო ალგორითმი, განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, თუ განტოლების ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ.

ამრიგად, მოცემულ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 + px + q \u003d 0, სადაც x 1 და x 2 არის მისი ფესვები. ვიეტას თეორემის მიხედვით x 1 + x 2 = -p და x 1 x 2 = q.

შეგვიძლია შემდეგი დასკვნის გაკეთება.

თუ განტოლებაში ბოლო წევრს წინ უძღვის მინუს ნიშანი, მაშინ x 1 და x 2 ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ. გარდა ამისა, უფრო პატარა ფესვის ნიშანი იგივეა, რაც განტოლებაში მეორე კოეფიციენტის ნიშანი.

გამომდინარე იქიდან, რომ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრებისას, მათ მოდულებს აკლდებათ და შედეგის წინ უფრო დიდი რიცხვის ნიშანია, თქვენ უნდა გააგრძელოთ შემდეგნაირად:

განსაზღვრეთ q რიცხვის ისეთი ფაქტორები, რომ მათი სხვაობა იყოს p რიცხვის ტოლი;
მიღებული რიცხვებიდან მცირეს წინ დაუყენოს განტოლების მეორე კოეფიციენტის ნიშანი; მეორე ფესვს ექნება საპირისპირო ნიშანი.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1.

ამოხსენით განტოლება x 2 - 2x - 15 = 0.

გამოსავალი.

შევეცადოთ ამ განტოლების ამოხსნას ზემოთ შემოთავაზებული წესების გამოყენებით. მაშინ დანამდვილებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი ექნება, რადგან D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

ახლა 15 რიცხვის ყველა ფაქტორიდან (1 და 15, 3 და 5) ვირჩევთ მათ, ვისი განსხვავებაც 2-ის ტოლია. ეს იქნება რიცხვები 3 და 5. უფრო მცირე რიცხვის წინ მინუს ნიშანს ვაყენებთ. , ე.ი. განტოლების მეორე კოეფიციენტის ნიშანი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ x 1 \u003d -3 და x 2 \u003d 5 განტოლების ფესვებს.

უპასუხე. x 1 = -3 და x 2 = 5.

მაგალითი 2.

ამოხსენით განტოლება x 2 + 5x - 6 = 0.

გამოსავალი.

მოდით შევამოწმოთ, აქვს თუ არა ამ განტოლებას ფესვები. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ფესვი.

რიცხვი 6-ის შესაძლო ფაქტორებია 2 და 3, 6 და 1. სხვაობა არის 5 6 და 1 წყვილისთვის. ამ მაგალითში მეორე წევრის კოეფიციენტს აქვს პლუს ნიშანი, ამიტომ უფრო მცირე რიცხვს ექნება იგივე ნიშანი. მაგრამ მეორე რიცხვამდე იქნება მინუს ნიშანი.

პასუხი: x 1 = -6 და x 2 = 1.

ვიეტას თეორემა ასევე შეიძლება დაიწეროს სრული კვადრატული განტოლებისთვის. ასე რომ, თუ კვადრატული განტოლება ax2 + bx + c = 0აქვს ფესვები x 1 და x 2, მაშინ ისინი აკმაყოფილებენ ტოლობებს

x 1 + x 2 = -(ბ/ა)და x 1 x 2 = (c/a). თუმცა, ამ თეორემის გამოყენება სრულ კვადრატულ განტოლებაში საკმაოდ პრობლემურია, რადგან თუ ფესვებია, ერთი მათგანი მაინც წილადი რიცხვია. და წილადების შერჩევასთან მუშაობა საკმაოდ რთულია. მაგრამ მაინც არის გამოსავალი.

განვიხილოთ სრული კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. გავამრავლოთ მისი მარცხენა და მარჯვენა მხარეები a კოეფიციენტზე. განტოლება მიიღებს ფორმას (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. ახლა მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, მაგალითად t = ax.

ამ შემთხვევაში, მიღებული განტოლება იქცევა t 2 + bt + ac = 0 ფორმის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებად, რომლის ფესვები t 1 და t 2 (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) შეიძლება განისაზღვროს ვიეტას თეორემით.

ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი კვადრატული განტოლების ფესვები იქნება

x 1 = (t 1 / a) და x 2 = (t 2 / a).

მაგალითი 3.

ამოხსენით განტოლება 15x 2 - 11x + 2 = 0.

გამოსავალი.

ჩვენ ვქმნით დამხმარე განტოლებას. მოდით გავამრავლოთ განტოლების თითოეული წევრი 15-ზე:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას t = 15x. Ჩვენ გვაქვს:

t 2 - 11t + 30 = 0.

ვიეტას თეორემის მიხედვით, ამ განტოლების ფესვები იქნება t 1 = 5 და t 2 = 6.

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩანაცვლებას t = 15x:

5 = 15x ან 6 = 15x. ამრიგად x 1 = 5/15 და x 2 = 6/15. ვამცირებთ და ვიღებთ საბოლოო პასუხს: x 1 = 1/3 და x 2 = 2/5.

უპასუხე. x 1 = 1/3 და x 2 = 2/5.

ვიეტას თეორემის გამოყენებით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის დასაუფლებლად, მოსწავლეებს სჭირდებათ მაქსიმალურად ივარჯიშონ. ეს არის ზუსტად წარმატების საიდუმლო.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ვიეტას თეორემა (უფრო ზუსტად ვიეტას თეორემას შებრუნებული თეორემა) საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის დრო. თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ როგორ გამოიყენოთ იგი. როგორ ვისწავლოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით? ცოტას თუ დაფიქრდებით, ადვილია.

ახლა ჩვენ ვისაუბრებთ მხოლოდ შემცირებული კვადრატული განტოლების ამოხსნაზე ვიეტას თეორემის გამოყენებით, შემცირებული კვადრატული განტოლება არის განტოლება, რომელშიც a, ანუ კოეფიციენტი x²-ის წინ, უდრის ერთს. არ არის მოცემული კვადრატული განტოლებები ასევე შეიძლება ამოხსნას ვიეტას თეორემის გამოყენებით, მაგრამ უკვე ერთი ფესვი მაინც არ არის მთელი რიცხვი. მათი გამოცნობა უფრო რთულია.

ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემა ამბობს: თუ რიცხვები x1 და x2 ისეთია, რომ

მაშინ x1 და x2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები

ვიეტას თეორემის გამოყენებით კვადრატული განტოლების ამოხსნისას შესაძლებელია მხოლოდ 4 ვარიანტი. თუ გახსოვთ მსჯელობის კურსი, შეგიძლიათ ისწავლოთ მთელი ფესვების პოვნა ძალიან სწრაფად.

I. თუ q დადებითი რიცხვია,

ეს ნიშნავს, რომ ფესვები x1 და x2 არის ერთი და იგივე ნიშნის რიცხვები (რადგან მხოლოდ იმავე ნიშნით რიცხვების გამრავლებისას მიიღება დადებითი რიცხვი).

ი.ა. თუ -p დადებითი რიცხვია, (შესაბამისად, გვ<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

ი.ბ. თუ -p უარყოფითი რიცხვია, (შესაბამისად, p>0), მაშინ ორივე ძირი უარყოფითი რიცხვია (დაამატეს ერთი და იგივე ნიშნის რიცხვები, მიიღეს უარყოფითი რიცხვი).

II. თუ q უარყოფითი რიცხვია,

ეს ნიშნავს, რომ x1 და x2 ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ (რიცხვების გამრავლებისას უარყოფითი რიცხვი მიიღება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ფაქტორების ნიშნები განსხვავებულია). ამ შემთხვევაში, x1 + x2 აღარ არის ჯამი, არამედ სხვაობა (ბოლოს და ბოლოს, სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრებისას, ჩვენ ვაკლებთ პატარას უფრო დიდ მოდულს). აქედან გამომდინარე, x1 + x2 აჩვენებს, თუ რამდენად განსხვავდება ფესვები x1 და x2, ანუ რამდენად მეტია ერთი ფესვი მეორეზე (მოდული).

II.ა. თუ -p დადებითი რიცხვია, (ანუ გვ<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.ბ. თუ -p უარყოფითი რიცხვია, (p>0), მაშინ უფრო დიდი (მოდულური) ფესვი არის უარყოფითი რიცხვი.

განვიხილოთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის მიხედვით მაგალითების გამოყენებით.

ამოხსენით მოცემული კვადრატული განტოლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

აქ q=12>0, ამიტომ ფესვები x1 და x2 არის ერთი და იგივე ნიშნის რიცხვები. მათი ჯამი არის -p=7>0, ამიტომ ორივე ფესვი დადებითი რიცხვია. ვირჩევთ მთელ რიცხვებს, რომელთა ნამრავლი უდრის 12-ს. ეს არის 1 და 12, 2 და 6, 3 და 4. ჯამი არის 7 წყვილისთვის 3 და 4. აქედან გამომდინარე, 3 და 4 არის განტოლების ფესვები.

ამ მაგალითში q=16>0, რაც ნიშნავს, რომ ფესვები x1 და x2 ერთი და იგივე ნიშნის რიცხვებია. მათი ჯამი -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

აქ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, მაშინ უფრო დიდი რიცხვი დადებითია. ასე რომ, ფესვები არის 5 და -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

თითქმის ნებისმიერი კვადრატული განტოლება \ შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში \ თუმცა, ეს შესაძლებელია, თუ ყოველი წევრი თავდაპირველად იყოფა კოეფიციენტზე \ წინ \ გარდა ამისა, შეიძლება შემოღებული იყოს ახალი აღნიშვნა:

\[(\frac (b)(a))= p\] და \[(\frac (c)(a)) = q\]

ამის წყალობით გვექნება განტოლება \ მათემატიკაში შემცირებული კვადრატული განტოლება. ამ განტოლების ფესვები და კოეფიციენტები \ ურთიერთდაკავშირებულია, რაც დასტურდება ვიეტას თეორემით.

ვიეტას თეორემა: შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს \ აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის თავისუფალი წევრი \

სიცხადისთვის, ჩვენ ვხსნით შემდეგი ფორმის განტოლებას:

ამ კვადრატულ განტოლებას ვხსნით წერილობითი წესების გამოყენებით. საწყისი მონაცემების გაანალიზების შემდეგ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი ექნება, რადგან:

ახლა 15 რიცხვის ყველა ფაქტორებიდან (1 და 15, 3 და 5) ვირჩევთ მათ, ვისი განსხვავებაც 2-ის ტოლია. ამ პირობით ხვდება რიცხვები 3 და 5. პატარას წინ მინუს ნიშანს ვაყენებთ. ნომერი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლების ფესვებს \

პასუხი: \[ x_1= -3 და x_2 = 5\]

სად შემიძლია ამოვხსნა განტოლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით ონლაინ?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https: // საიტი. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლება რამდენიმე წამში. თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ უყუროთ ვიდეო ინსტრუქციას და გაიგოთ როგორ ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს Vkontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის, გარდა ძირეული ფორმულებისა, არსებობს სხვა სასარგებლო ურთიერთობები, რომლებიც მოცემულია ვიეტას თეორემა. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ ვიეტას თეორემის ფორმულირებას და მტკიცებულებას კვადრატული განტოლებისთვის. შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ თეორემას, რომელიც საპირისპიროა ვიეტას თეორემაზე. ამის შემდეგ გავაანალიზებთ ყველაზე დამახასიათებელი მაგალითების ამონახსნებს. და ბოლოს, ჩვენ ვწერთ Vieta ფორმულებს, რომლებიც განსაზღვრავენ კავშირს რეალურ ფესვებს შორის ალგებრული განტოლებახარისხი n და მისი კოეფიციენტები.

გვერდის ნავიგაცია.

ვიეტას თეორემა, ფორმულირება, დადასტურება

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებიდან a x 2 +b x+c=0 ფორმის , სადაც D=b 2 −4 a c , მიმართებები x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = გ/ა . ეს შედეგები დადასტურებულია ვიეტას თეორემა:

თეორემა.

Თუ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები a x 2 +b x+c=0, მაშინ ფესვების ჯამი უდრის b და a კოეფიციენტების შეფარდებას, აღებული საპირისპირო ნიშნით და ნამრავლი ფესვები უდრის c და a კოეფიციენტების შეფარდებას, ანუ .

მტკიცებულება.

ვიეტას თეორემას დავამტკიცებთ შემდეგი სქემის მიხედვით: კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამს და ნამრავლს შევადგენთ ფესვების ცნობილი ფორმულების გამოყენებით, შემდეგ გადავიყვანთ მიღებულ გამონათქვამებს და დავრწმუნდებით, რომ ისინი −b-ის ტოლია. /a და c/a, შესაბამისად.

დავიწყოთ ფესვების ჯამით, შევადგინოთ. ახლა ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან, გვაქვს. მიღებული წილადის მრიცხველში , რის შემდეგაც : . საბოლოოდ, 2-ის შემდეგ მივიღებთ. ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის პირველ მიმართებას კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამისთვის. გადავიდეთ მეორეზე.

ჩვენ ვადგენთ კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლს:. წილადების გამრავლების წესის მიხედვით ბოლო ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს როგორც. ახლა ჩვენ ვამრავლებთ ფრჩხილს მრიცხველში არსებულ ფრჩხილზე, მაგრამ უფრო სწრაფია ამ პროდუქტის დაშლა კვადრატების განსხვავება ფორმულა, Ისე . შემდეგ, დამახსოვრებისას, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გადასვლას. და რადგან ფორმულა D=b 2 −4 a·c შეესაბამება კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტს, მაშინ b 2 −4·a·c შეიძლება ჩავანაცვლოთ ბოლო წილადში D-ის ნაცვლად, მივიღებთ . ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ მივდივართ წილადზე და მისი შემცირება 4·a-ით იძლევა . ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის მეორე მიმართებას ფესვების ნამრავლისთვის.

თუ ახსნა-განმარტებებს გამოვტოვებთ, მაშინ ვიეტას თეორემის მტკიცებულება მიიღებს მოკლე ფორმას:
,
.

რჩება მხოლოდ აღნიშვნა, რომ როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. თუმცა, თუ დავუშვებთ, რომ განტოლებას ამ შემთხვევაში ორი იდენტური ფესვი აქვს, მაშინ ვიეტას თეორემიდან მიღებული ტოლობებიც მოქმედებს. მართლაც, D=0-სთვის კვადრატული განტოლების ფესვი არის , მაშინ და , და რადგან D=0 , ანუ b 2 −4 a c=0 , საიდანაც b 2 =4 a c , მაშინ .

პრაქტიკაში ვიეტას თეორემა ყველაზე ხშირად გამოიყენება x 2 +p·x+q=0 ფორმის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებასთან (უმაღლესი კოეფიციენტით 1-ის ტოლი) მიმართ. ზოგჯერ იგი ჩამოყალიბებულია მხოლოდ ამ ტიპის კვადრატული განტოლებისთვის, რაც არ ზღუდავს ზოგადობას, რადგან ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური განტოლებით მისი ორივე ნაწილის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. აქ არის ვიეტას თეორემის შესაბამისი ფორმულირება:

თეორემა.

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი x 2 + p x + q \u003d 0 უდრის x კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის თავისუფალი წევრი, ანუ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

ვიეტას თეორემას შებრუნებული თეორემა

ვიეტას თეორემის მეორე ფორმულირება, რომელიც მოცემულია წინა აბზაცში, მიუთითებს, რომ თუ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0, მაშინ მიმართებები x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. მეორე მხრივ, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q დაწერილი მიმართებებიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მტკიცება, რომელიც ეწინააღმდეგება ვიეტას თეორემას, მართალია. ჩვენ ვაყალიბებთ მას თეორემის სახით და ვამტკიცებთ.

თეორემა.

თუ x 1 და x 2 რიცხვები ისეთია, რომ x 1 +x 2 =−p და x 1 x 2 =q, მაშინ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. .

მტკიცებულება.

p და q კოეფიციენტების ჩანაცვლების შემდეგ x 2 +p x+q=0 მათი გამოხატვის განტოლებაში x 1 და x 2, ის გარდაიქმნება ეკვივალენტურ განტოლებად.

ჩვენ ვცვლით რიცხვს x 1 ნაცვლად x-ის მიღებულ განტოლებაში, გვაქვს ტოლობა x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, რომელიც ნებისმიერი x 1 და x 2 არის სწორი რიცხვითი ტოლობა 0=0, ვინაიდან x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. მაშასადამე, x 1 არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, რაც ნიშნავს, რომ x 1 არის ეკვივალენტური განტოლების ფესვი x 2 +p x+q=0.

თუ განტოლებაში x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ჩაანაცვლეთ რიცხვი x 2 x-ის ნაცვლად, მაშინ მივიღებთ ტოლობას x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. ეს არის სწორი განტოლება, რადგან x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. მაშასადამე, x 2 ასევე არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, და აქედან გამომდინარე განტოლებები x 2 +p x+q=0 .

ეს ავსებს ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემის დადასტურებას.

ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითები

დროა ვისაუბროთ ვიეტას თეორემისა და მისი შებრუნებული თეორემის პრაქტიკულ გამოყენებაზე. ამ ქვეთავში ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ყველაზე ტიპიური მაგალითის ამონახსნებს.

ვიეტას თეორემაზე საპირისპირო თეორემის გამოყენებით ვიწყებთ. მისი გამოყენება მოსახერხებელია იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა მოცემული ორი რიცხვი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში გამოითვლება მათი ჯამი და სხვაობა, რის შემდეგაც მოწმდება ურთიერთობების მართებულობა. თუ ორივე ეს მიმართება დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის ძალით დავასკვნათ, რომ ეს რიცხვები განტოლების ფესვებია. თუ ერთ-ერთი მიმართება მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ეს რიცხვები არ არის კვადრატული განტოლების ფესვები. ეს მიდგომა შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ნაპოვნი ფესვების შესამოწმებლად.

მაგალითი.

1) x 1 =−5, x 2 =3, ან 2), ან 3) რიცხვებიდან რომელია 4 x 2 −16 x+9=0 კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი?

გამოსავალი.

მოცემული კვადრატული განტოლების 4 x 2 −16 x+9=0 კოეფიციენტებია a=4 , b=−16 , c=9 . ვიეტას თეორემის მიხედვით, კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უნდა იყოს −b/a, ანუ 16/4=4, ხოლო ფესვების ნამრავლი უნდა იყოს c/a, ანუ 9. /4.

ახლა გამოვთვალოთ რიცხვების ჯამი და ნამრავლი სამი მოცემულ წყვილში და შევადაროთ ისინი ახლახან მიღებულ მნიშვნელობებს.

პირველ შემთხვევაში გვაქვს x 1 +x 2 =−5+3=−2 . შედეგად მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 4-ისგან, შესაბამისად, შემდგომი გადამოწმება შეუძლებელია, მაგრამ თეორემით, ვიეტას თეორემის ინვერსიით, შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავასკვნათ, რომ რიცხვების პირველი წყვილი არ არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი. .

გადავიდეთ მეორე შემთხვევაზე. აქ, ანუ პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია. ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობას: , მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 9/4-ისგან. მაშასადამე, რიცხვების მეორე წყვილი არ არის კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი.

ბოლო შემთხვევა რჩება. აქ და. ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ეს რიცხვები x 1 და x 2 არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები.

პასუხი:

თეორემა, ვიეტას თეორემის საპირისპირო, შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში კვადრატული განტოლების ფესვების შესარჩევად. ჩვეულებრივ, ირჩევა მოცემული კვადრატული განტოლებების მთელი რიცხვები კოეფიციენტებით, რადგან სხვა შემთხვევებში ამის გაკეთება საკმაოდ რთულია. ამავდროულად, ისინი იყენებენ იმ ფაქტს, რომ თუ ორი რიცხვის ჯამი უდრის კვადრატული განტოლების მეორე კოეფიციენტს, აღებული მინუს ნიშნით და ამ რიცხვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, მაშინ ეს რიცხვები არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები. მოდით გავუმკლავდეთ ამას მაგალითით.

ავიღოთ კვადრატული განტოლება x 2 −5 x+6=0 . იმისათვის, რომ რიცხვები x 1 და x 2 იყოს ამ განტოლების ფესვები, უნდა დაკმაყოფილდეს ორი ტოლობა x 1 +x 2 \u003d 5 და x 1 x 2 \u003d 6. რჩება ასეთი ნომრების არჩევა. ამ შემთხვევაში ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია: 2 და 3 ასეთი რიცხვებია, ვინაიდან 2+3=5 და 2 3=6 . ამრიგად, 2 და 3 არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები.

ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემა განსაკუთრებით მოსახერხებელია შემცირებული კვადრატული განტოლების მეორე ფესვის საპოვნელად, როდესაც ერთ-ერთი ფესვი უკვე ცნობილია ან აშკარაა. ამ შემთხვევაში, მეორე ფესვი გვხვდება რომელიმე მიმართულებიდან.

მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 512 x 2 −509 x−3=0 . აქ ადვილი მისახვედრია, რომ ერთეული არის განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული. ასე რომ, x 1 = 1. მეორე ფესვი x 2 შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, x 1 x 2 =c/a მიმართებიდან. გვაქვს 1 x 2 =−3/512, საიდანაც x 2 =−3/512. ასე რომ, ჩვენ განვსაზღვრეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი: 1 და −3/512.

გასაგებია, რომ ფესვების შერჩევა მიზანშეწონილია მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევებში. სხვა შემთხვევებში, ფესვების მოსაძებნად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები დისკრიმინანტის საშუალებით.

თეორემის კიდევ ერთი პრაქტიკული გამოყენება, ვიეტას თეორემის ინვერსია, არის კვადრატული განტოლებების შედგენა მოცემული ფესვებისთვის x 1 და x 2. ამისათვის საკმარისია გამოვთვალოთ ფესვების ჯამი, რომელიც იძლევა x-ის კოეფიციენტს მოცემული კვადრატული განტოლების საპირისპირო ნიშნით და ფესვების ნამრავლს, რომელიც იძლევა თავისუფალ წევრს.

მაგალითი.

დაწერეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებია −11 და 23 რიცხვები.

გამოსავალი.

აღნიშნეთ x 1 =−11 და x 2 =23 . ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ რიცხვების ჯამს და ნამრავლს: x 1 + x 2 \u003d 12 და x 1 x 2 \u003d −253. მაშასადამე, ეს რიცხვები არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები მეორე კოეფიციენტით -12 და თავისუფალი წევრით -253. ანუ x 2 −12·x−253=0 არის სასურველი განტოლება.

პასუხი:

x 2 −12 x−253=0 .

ვიეტას თეორემა ძალიან ხშირად გამოიყენება ამოცანების ამოხსნისას, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატული განტოლებების ფესვების ნიშნებთან. როგორ უკავშირდება ვიეტას თეორემა შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ნიშნებს x 2 +p x+q=0 ? აქ არის ორი შესაბამისი განცხადება:

თუ თავისუფალი წევრი q დადებითი რიცხვია და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ ან ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი.
თუ თავისუფალი წევრი q არის უარყოფითი რიცხვი და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ მათი ნიშნები განსხვავებულია, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი ფესვი დადებითია, მეორე კი უარყოფითი.

ეს განცხადებები გამომდინარეობს x 1 x 2 =q ფორმულიდან, ასევე დადებითი, უარყოფითი რიცხვების და სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესებიდან. განვიხილოთ მათი გამოყენების მაგალითები.

მაგალითი.

R დადებითია. დისკრიმინაციული ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, გამოსახულების მნიშვნელობა r 2. +8 არის დადებითი ნებისმიერი რეალური r, შესაბამისად D>0 ნებისმიერი რეალური r. ამრიგად, თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი r პარამეტრის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის.

ახლა გავარკვიოთ, როდის აქვთ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები. თუ ფესვების ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ მათი ნამრავლი უარყოფითია, ვიეტას თეორემით კი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. ამიტომ, ჩვენ გვაინტერესებს r-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც თავისუფალი ვადა r−1 უარყოფითია. ამრიგად, იმისათვის, რომ ვიპოვოთ r-ის მნიშვნელობები, რომლებიც ჩვენთვის საინტერესოა, ჩვენ გვჭირდება წრფივი უტოლობის ამოხსნა r−1<0 , откуда находим r<1 .

პასუხი:

რ<1 .

ვიეტას ფორმულები

ზემოთ ვისაუბრეთ ვიეტას თეორემაზე კვადრატული განტოლებისთვის და გავაანალიზეთ ის მიმართებები, რომლებიც მას ამტკიცებს. მაგრამ არსებობს ფორმულები, რომლებიც აკავშირებს ნამდვილ ფესვებს და კოეფიციენტებს არა მხოლოდ კვადრატული განტოლებების, არამედ კუბური განტოლებების, ოთხმაგი განტოლებების და ზოგადად, ალგებრული განტოლებებიხარისხი n. მათ ეძახიან ვიეტას ფორმულები.

ჩვენ ვწერთ Vieta-ს ფორმულებს ფორმის n ხარისხის ალგებრული განტოლებისთვის, მაშინ როდესაც ვვარაუდობთ, რომ მას აქვს n ნამდვილი ფესვი x 1, x 2, ..., x n (მათ შორის შეიძლება იყოს იგივე):

მიიღეთ Vieta ფორმულები საშუალებას იძლევა მრავალწევრი ფაქტორიზაციის თეორემა, ასევე ტოლი მრავალწევრების განსაზღვრა მათი ყველა შესაბამისი კოეფიციენტის ტოლობის მეშვეობით. ასე რომ, მრავალწევრი და მისი გაფართოება ფორმის წრფივ ფაქტორებად ტოლია. ბოლო ნამრავლში ფრჩხილების გახსნით და შესაბამისი კოეფიციენტების გათანაბრებით მივიღებთ Vieta ფორმულებს.

კერძოდ, n=2-ისთვის ჩვენ უკვე ვიცნობთ ვიეტას ფორმულებს კვადრატული განტოლებისთვის.

კუბური განტოლებისთვის ვიეტას ფორმულებს აქვთ ფორმა

რჩება მხოლოდ იმის აღნიშვნა, რომ ვიეტას ფორმულების მარცხენა მხარეს არის ე.წ სიმეტრიული მრავალწევრები.

ბიბლიოგრაფია.

Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2010.- 368გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-022771-1.

სასკოლო ალგებრის კურსში მეორე რიგის განტოლებების ამოხსნის გზების შესწავლისას გაითვალისწინეთ მიღებული ფესვების თვისებები. ისინი ახლა ცნობილია როგორც ვიეტას თეორემები. მისი გამოყენების მაგალითები მოცემულია ამ სტატიაში.

Კვადრატული განტოლება

მეორე რიგის განტოლება არის ტოლობა, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფოტოში.

აქ სიმბოლოები a, b, c არის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც ეწოდება განსახილველი განტოლების კოეფიციენტები. თანასწორობის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ x მნიშვნელობები, რომლებიც მას ჭეშმარიტს ხდის.

გაითვალისწინეთ, რომ რადგან სიმძლავრის მაქსიმალური მნიშვნელობა, რომელზეც x ამაღლებულია არის ორი, მაშინ ფესვების რაოდენობა ზოგად შემთხვევაში ასევე არის ორი.

ამ ტიპის თანასწორობის გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს. ამ სტატიაში განვიხილავთ ერთ-ერთ მათგანს, რომელიც გულისხმობს ე.წ. ვიეტას თეორემის გამოყენებას.

ვიეტას თეორემის განცხადება

მე -16 საუკუნის ბოლოს, ცნობილმა მათემატიკოსმა ფრანსუა ვიეტმა (ფრანგმა) შენიშნა, აანალიზებს სხვადასხვა კვადრატული განტოლების ფესვების თვისებებს, რომ მათი გარკვეული კომბინაციები აკმაყოფილებს კონკრეტულ ურთიერთობებს. კერძოდ, ეს კომბინაციები მათი პროდუქტი და ჯამია.

ვიეტას თეორემა ადგენს შემდეგს: კვადრატული განტოლების ფესვები შეჯამებისას იძლევა საპირისპირო ნიშნით აღებული წრფივი და კვადრატული კოეფიციენტების შეფარდებას, ხოლო მათი გამრავლებისას მივყავართ თავისუფალი წევრის კვადრატულ კოეფიციენტთან შეფარდებამდე. .

თუ განტოლების ზოგადი ფორმა დაწერილია ისე, როგორც ეს ნაჩვენებია სტატიის წინა ნაწილში ფოტოზე, მაშინ მათემატიკურად ეს თეორემა შეიძლება დაიწეროს ორი ტოლობის სახით:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

სადაც r 1 , r 2 არის განხილული განტოლების ფესვების მნიშვნელობა.

ეს ორი თანასწორობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალი განსხვავებული მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად. ვიეტას თეორემის გამოყენება ამოხსნით მაგალითებში მოცემულია სტატიის შემდეგ ნაწილებში.