კვადრატული განტოლებების ზეპირი ამოხსნა და ვიეტას თეორემა. ვიეტას თეორემა კვადრატული და სხვა განტოლებისთვის ვიეტას თეორემის გამოყენება

ამ ლექციაში ჩვენ გავეცნობით კვადრატული განტოლების ფესვებსა და მის კოეფიციენტებს შორის არსებულ კურიოზულ მიმართებებს. ეს ურთიერთობები პირველად ფრანგმა მათემატიკოსმა ფრანსუა ვიეტმა (1540-1603) აღმოაჩინა.

მაგალითად, განტოლებისთვის Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, მისი ფესვების პოვნის გარეშე, შეგიძლიათ ვიეტას თეორემის გამოყენებით დაუყოვნებლივ თქვათ, რომ ფესვების ჯამი არის , ხოლო ფესვების ნამრავლი არის
ანუ - 2. ხოლო განტოლებისთვის x 2 - 6x + 8 \u003d 0 დავასკვნით: ფესვების ჯამი არის 6, ფესვების ნამრავლი არის 8; სხვათა შორის, ძნელი მისახვედრი არ არის, რის ტოლია ფესვები: 4 და 2.
ვიეტას თეორემის დადასტურება. კვადრატული განტოლების ax 2 + bx + c \u003d 0 ფესვები x 1 და x 2 გვხვდება ფორმულებით

სადაც D \u003d b 2 - 4ac არის განტოლების დისკრიმინანტი. ამ ფესვების ჩაყრა
ვიღებთ

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ფესვების ნამრავლს x 1 და x 2 გვაქვს

მეორე კავშირი დადასტურებულია:
კომენტარი. ვიეტას თეორემა ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევაში, როდესაც კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი (ანუ, როდესაც D \u003d 0), უბრალოდ, ამ შემთხვევაში ითვლება, რომ განტოლებას აქვს ორი იდენტური ფესვი, რომელზედაც გამოიყენება ზემოაღნიშნული მიმართებები.
დადასტურებული ურთიერთობები შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის x 2 + px + q \u003d 0 იღებს განსაკუთრებით მარტივ ფორმას. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
იმათ. მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.
ვიეტას თეორემის გამოყენებით, ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა მიმართებები კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მოდით, მაგალითად, x 1 და x 2 იყოს შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 + px + q = 0. მაშინ

თუმცა, ვიეტას თეორემის მთავარი მიზანი არ არის ის, რომ იგი გამოხატავს გარკვეულ კავშირებს კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია ის ფაქტი, რომ ვიეტას თეორემის დახმარებით მიღებულია კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა, რომლის გარეშეც მომავალში არ ვიქნებით.

მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითი 1. 3x 2 - 10x + 3 კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.
გამოსავალი. განტოლების Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ტრინომის ფესვებს Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
თეორემა 2-ის გამოყენებით ვიღებთ

ამის ნაცვლად აზრი აქვს დაწეროთ Zx - 1. შემდეგ ჩვენ საბოლოოდ მივიღებთ Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული კვადრატული ტრინომი შეიძლება გამრავლდეს თეორემა 2-ის გამოყენების გარეშე დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

მაგრამ, როგორც ხედავთ, ამ მეთოდით წარმატება დამოკიდებულია იმაზე, ვიპოვით თუ არა წარმატებულ დაჯგუფებას, მაშინ როცა პირველი მეთოდით წარმატება გარანტირებულია.
მაგალითი 1. წილადის შემცირება

გამოსავალი. განტოლებიდან 2x 2 + 5x + 2 = 0 ვპოულობთ x 1 = - 2,

განტოლებიდან x2 - 4x - 12 = 0 ვპოულობთ x 1 = 6, x 2 = -2. Ამიტომაც
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
ახლა შევამციროთ მოცემული წილადი:

მაგალითი 3. გამონათქვამების ფაქტორიზაცია:
ა) x4 + 5x 2 +6; ბ) 2x+-3
ამოხსნა ა) შემოგვაქვს ახალი ცვლადი y = x 2 . ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ მოცემული გამოხატულება კვადრატული ტრინომის სახით y ცვლადის მიმართ, კერძოდ, სახით y 2 + bу + 6.
y 2 + განტოლების ამოხსნის შემდეგ + 6 \u003d 0, ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ტრინომის ფესვებს y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. ახლა ვიყენებთ თეორემა 2-ს; ვიღებთ

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
უნდა გვახსოვდეს, რომ y \u003d x 2, ანუ დაუბრუნდით მოცემულ გამოხატვას. Ისე,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
ბ) შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი y = . ეს მოგვცემს საშუალებას, გადავიწეროთ მოცემული გამოხატულება კვადრატული ტრინომის სახით y ცვლადის მიმართ, კერძოდ, სახით 2y 2 + y - 3. განტოლების ამოხსნის შემდეგ.
2y 2 + y - 3 = 0, იპოვეთ კვადრატული ტრინომის ფესვები 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . გარდა ამისა, თეორემა 2-ის გამოყენებით ვიღებთ:

უნდა გვახსოვდეს, რომ y \u003d, ანუ დაუბრუნდით მოცემულ გამონათქვამს. Ისე,

განყოფილების ბოლოს, რამდენიმე არგუმენტი, რომელიც კვლავ უკავშირდება ვიეტას თეორემას, უფრო სწორად, საპირისპირო მტკიცებას:
თუ რიცხვები x 1, x 2 ისეთია, რომ x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, მაშინ ეს რიცხვები არის განტოლების ფესვები
ამ განცხადების გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალი კვადრატული განტოლება ზეპირად, რთული ფესვების ფორმულების გამოყენების გარეშე და ასევე შეადგინოთ კვადრატული განტოლებები მოცემული ფესვებით. მოვიყვანოთ მაგალითები.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. აქ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. ადვილი მისახვედრია, რომ x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. აქ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. ადვილი მისახვედრია, რომ x 1 = -5, x 2 = -6.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ განტოლების თავისუფალი წევრი დადებითი რიცხვია, მაშინ ორივე ფესვი დადებითია ან უარყოფითი; ეს მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ ფესვების არჩევისას.

3) x 2 + x - 12 = 0. აქ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. ადვილი მისახვედრია, რომ x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ განტოლების თავისუფალი წევრი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ფესვები განსხვავებულია ნიშნით; ეს მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ ფესვების არჩევისას.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. ადვილი მისახვედრია, რომ x = 1 აკმაყოფილებს განტოლებას, ე.ი. x 1 \u003d 1 - განტოლების ფესვი. ვინაიდან x 1 x 2 \u003d - და x 1 \u003d 1, მივიღებთ, რომ x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. აქ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ 2830 = 283. 10, და 293 \u003d 283 + 10, მაშინ ირკვევა, რომ x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ახლა წარმოიდგინეთ, რა გამოთვლები უნდა შესრულდეს ამ კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად სტანდარტული ფორმულების გამოყენებით).

6) ჩვენ ვადგენთ კვადრატულ განტოლებას ისე, რომ რიცხვები x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 იყოს მისი ფესვები. ჩვეულებრივ ასეთ შემთხვევებში ისინი ქმნიან შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას x 2 + px + q \u003d 0.
გვაქვს x 1 + x 2 \u003d -p, შესაბამისად 8 - 4 \u003d -p, ანუ p \u003d -4. შემდგომ, x 1 x 2 = q, ე.ი. 8"(-4) = q, საიდანაც ვიღებთ q = -32. ასე რომ, p \u003d -4, q \u003d -32, რაც ნიშნავს, რომ სასურველ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -4x-32 \u003d 0.

ნებისმიერი სრული კვადრატული განტოლება ax2 + bx + c = 0შეიძლება გონების მოყვანა x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, თუ პირველ რიგში თითოეულ წევრს გავყოფთ წინა კოეფიციენტზე a x2. და თუ შემოვიყვანთ ახალ აღნიშვნას (ბ/ა) = გვდა (c/a) = q, მაშინ გვექნება განტოლება x 2 + px + q = 0, რომელსაც მათემატიკაში ე.წ შემცირებული კვადრატული განტოლება.

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები და კოეფიციენტები გვდა ქურთიერთდაკავშირებული. დადასტურებულია ვიეტას თეორემაფრანგი მათემატიკოსის ფრანსუა ვიეტას სახელით, რომელიც მე-16 საუკუნის ბოლოს ცხოვრობდა.

თეორემა. შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი x 2 + px + q = 0მეორე კოეფიციენტის ტოლი გვ, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების პროდუქტი - თავისუფალ ტერმინამდე ქ.

ჩვენ ვწერთ ამ თანაფარდობებს შემდეგი ფორმით:

დაე x 1და x2შემცირებული განტოლების სხვადასხვა ფესვები x 2 + px + q = 0. ვიეტას თეორემის მიხედვით x1 + x2 = -pდა x 1 x 2 = q.

ამის დასამტკიცებლად, მოდით ჩავანაცვლოთ თითოეული ფესვი x 1 და x 2 განტოლებაში. ჩვენ ვიღებთ ორ ნამდვილ თანასწორობას:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

გამოვაკლოთ მეორე პირველ ტოლობას. ჩვენ ვიღებთ:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

ჩვენ ვაფართოებთ პირველ ორ წევრს კვადრატების განსხვავების მიხედვით:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

პირობით, ფესვები x 1 და x 2 განსხვავებულია. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ ტოლობა (x 1 - x 2) ≠ 0-ით და გამოვხატოთ p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -გვ.

პირველი თანასწორობა დადასტურებულია.

მეორე ტოლობის დასამტკიცებლად, ჩვენ ვცვლით პირველ განტოლებას

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 კოეფიციენტის p ნაცვლად, მისი ტოლი რიცხვია (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

განტოლების მარცხენა მხარის გარდაქმნით მივიღებთ:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ვიეტას თეორემა კარგია, რადგან: კვადრატული განტოლების ფესვების ცოდნის გარეშეც კი შეგვიძლია გამოვთვალოთ მათი ჯამი და ნამრავლი .

ვიეტას თეორემა გვეხმარება მოცემული კვადრატული განტოლების მთელი რიცხვის ფესვების დადგენაში. მაგრამ ბევრი სტუდენტისთვის ეს იწვევს სირთულეებს იმის გამო, რომ მათ არ იციან მოქმედების მკაფიო ალგორითმი, განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, თუ განტოლების ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ.

ამრიგად, მოცემულ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 + px + q \u003d 0, სადაც x 1 და x 2 არის მისი ფესვები. ვიეტას თეორემის მიხედვით x 1 + x 2 = -p და x 1 x 2 = q.

შეგვიძლია შემდეგი დასკვნის გაკეთება.

თუ განტოლებაში ბოლო წევრს წინ უძღვის მინუს ნიშანი, მაშინ x 1 და x 2 ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ. გარდა ამისა, უფრო პატარა ფესვის ნიშანი იგივეა, რაც განტოლებაში მეორე კოეფიციენტის ნიშანი.

გამომდინარე იქიდან, რომ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრებისას, მათ მოდულებს აკლდებათ და მოდულში უფრო დიდი რიცხვის ნიშანი მოთავსებულია შედეგის წინ, თქვენ უნდა იმოქმედოთ შემდეგნაირად:

1. განსაზღვრეთ q რიცხვის ისეთი ფაქტორები, რომ მათი სხვაობა იყოს p რიცხვის ტოლი;
2. მიღებული რიცხვებიდან მცირეს წინ დაუყენოს განტოლების მეორე კოეფიციენტის ნიშანი; მეორე ფესვს ექნება საპირისპირო ნიშანი.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1.

ამოხსენით განტოლება x 2 - 2x - 15 = 0.

გამოსავალი.

შევეცადოთ ამ განტოლების ამოხსნას ზემოთ შემოთავაზებული წესების გამოყენებით. მაშინ დანამდვილებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი ექნება, რადგან D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

ახლა 15 რიცხვის ყველა ფაქტორიდან (1 და 15, 3 და 5) ვირჩევთ მათ, ვისი განსხვავებაც 2-ის ტოლია. ეს იქნება რიცხვები 3 და 5. უფრო მცირე რიცხვის წინ მინუს ნიშანს ვაყენებთ. , ე.ი. განტოლების მეორე კოეფიციენტის ნიშანი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ x 1 \u003d -3 და x 2 \u003d 5 განტოლების ფესვებს.

უპასუხე. x 1 = -3 და x 2 = 5.

მაგალითი 2.

ამოხსენით განტოლება x 2 + 5x - 6 = 0.

გამოსავალი.

მოდით შევამოწმოთ, აქვს თუ არა ამ განტოლებას ფესვები. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ დისკრიმინანტს:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს.

რიცხვი 6-ის შესაძლო ფაქტორებია 2 და 3, 6 და 1. სხვაობა არის 5 6 და 1 წყვილისთვის. ამ მაგალითში მეორე წევრის კოეფიციენტს აქვს პლუს ნიშანი, ამიტომ უფრო მცირე რიცხვს ექნება იგივე ნიშანი. მაგრამ მეორე რიცხვამდე იქნება მინუს ნიშანი.

პასუხი: x 1 = -6 და x 2 = 1.

ვიეტას თეორემა ასევე შეიძლება დაიწეროს სრული კვადრატული განტოლებისთვის. ასე რომ, თუ კვადრატული განტოლება ax2 + bx + c = 0აქვს ფესვები x 1 და x 2, მაშინ ისინი აკმაყოფილებენ ტოლობებს

x 1 + x 2 = -(ბ/ა)და x 1 x 2 = (c/a). თუმცა, ამ თეორემის გამოყენება სრულ კვადრატულ განტოლებაში საკმაოდ პრობლემურია, ვინაიდან თუ ფესვებია, ერთი მათგანი მაინც წილადი რიცხვია. და წილადების შერჩევასთან მუშაობა საკმაოდ რთულია. მაგრამ მაინც არის გამოსავალი.

განვიხილოთ სრული კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. გავამრავლოთ მისი მარცხენა და მარჯვენა მხარეები a კოეფიციენტზე. განტოლება მიიღებს ფორმას (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. ახლა მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, მაგალითად t = ax.

ამ შემთხვევაში, მიღებული განტოლება გადაიქცევა t 2 + bt + ac = 0 ფორმის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებად, რომლის ფესვები t 1 და t 2 (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) შეიძლება განისაზღვროს ვიეტას თეორემით.

ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი კვადრატული განტოლების ფესვები იქნება

x 1 = (t 1 / a) და x 2 = (t 2 / a).

მაგალითი 3.

ამოხსენით განტოლება 15x 2 - 11x + 2 = 0.

გამოსავალი.

ჩვენ ვქმნით დამხმარე განტოლებას. მოდით გავამრავლოთ განტოლების თითოეული წევრი 15-ზე:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას t = 15x. Ჩვენ გვაქვს:

t 2 - 11t + 30 = 0.

ვიეტას თეორემის მიხედვით, ამ განტოლების ფესვები იქნება t 1 = 5 და t 2 = 6.

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩანაცვლებას t = 15x:

5 = 15x ან 6 = 15x. ამრიგად x 1 = 5/15 და x 2 = 6/15. ვამცირებთ და ვიღებთ საბოლოო პასუხს: x 1 = 1/3 და x 2 = 2/5.

უპასუხე. x 1 = 1/3 და x 2 = 2/5.

ვიეტას თეორემის გამოყენებით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის დასაუფლებლად, მოსწავლეებმა უნდა ივარჯიშონ მაქსიმალურად. ეს არის ზუსტად წარმატების საიდუმლო.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის, გარდა ძირეული ფორმულებისა, არსებობს სხვა სასარგებლო ურთიერთობები, რომლებიც მოცემულია ვიეტას თეორემა. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ ვიეტას თეორემის ფორმულირებას და მტკიცებულებას კვადრატული განტოლებისთვის. შემდეგი, ჩვენ განვიხილავთ თეორემას, რომელიც საპირისპიროა ვიეტას თეორემაზე. ამის შემდეგ გავაანალიზებთ ყველაზე დამახასიათებელი მაგალითების ამონახსნებს. და ბოლოს, ჩვენ ვწერთ Vieta ფორმულებს, რომლებიც განსაზღვრავენ კავშირს რეალურ ფესვებს შორის ალგებრული განტოლებახარისხი n და მისი კოეფიციენტები.

გვერდის ნავიგაცია.

ვიეტას თეორემა, ფორმულირება, დადასტურება

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებიდან a x 2 +b x+c=0 ფორმის , სადაც D=b 2 −4 a c , მიმართებები x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = გ/ა . ეს შედეგები დადასტურებულია ვიეტას თეორემა:

თეორემა.

Თუ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები a x 2 +b x+c=0, მაშინ ფესვების ჯამი უდრის b და a კოეფიციენტების შეფარდებას, აღებული საპირისპირო ნიშნით და ნამრავლი ფესვები უდრის c და a კოეფიციენტების შეფარდებას, ანუ .

მტკიცებულება.

ვიეტას თეორემას დავამტკიცებთ შემდეგი სქემის მიხედვით: კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამს და ნამრავლს შევადგენთ ფესვების ცნობილი ფორმულების გამოყენებით, შემდეგ გადავიყვანთ მიღებულ გამონათქვამებს და დავრწმუნდებით, რომ ისინი −b-ის ტოლია. /a და c/a, შესაბამისად.

დავიწყოთ ფესვების ჯამით, შევადგინოთ. ახლა ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან, გვაქვს. მიღებული წილადის მრიცხველში , რის შემდეგაც : . საბოლოოდ, 2-ის შემდეგ მივიღებთ. ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის პირველ მიმართებას კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამისთვის. გადავიდეთ მეორეზე.

ჩვენ ვადგენთ კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლს:. წილადების გამრავლების წესის მიხედვით ბოლო ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს როგორც. ახლა ჩვენ ვამრავლებთ ფრჩხილს მრიცხველში არსებულ ფრჩხილზე, მაგრამ უფრო სწრაფია ამ პროდუქტის დაშლა კვადრატების განსხვავება ფორმულა, Ისე . შემდეგ, დამახსოვრებისას, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გადასვლას. და რადგან ფორმულა D=b 2 −4 a·c შეესაბამება კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტს, მაშინ b 2 −4·a·c შეიძლება ჩავანაცვლოთ ბოლო წილადში D-ის ნაცვლად, მივიღებთ . ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ მივდივართ წილადზე და მისი შემცირება 4·a-ით იძლევა . ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის მეორე მიმართებას ფესვების ნამრავლისთვის.

თუ ახსნა-განმარტებებს გამოვტოვებთ, მაშინ ვიეტას თეორემის მტკიცებულება მიიღებს მოკლე ფორმას:
,
.

რჩება მხოლოდ აღნიშვნა, რომ როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. თუმცა, თუ ჩავთვლით, რომ განტოლებას ამ შემთხვევაში ორი იდენტური ფესვი აქვს, მაშინ ვიეტას თეორემის ტოლობებიც მოქმედებს. მართლაც, D=0-სთვის კვადრატული განტოლების ფესვი არის , მაშინ და , და რადგან D=0 , ანუ b 2 −4·a·c=0 , საიდანაც b 2 =4·a·c , მაშინ .

პრაქტიკაში ვიეტას თეორემა ყველაზე ხშირად გამოიყენება x 2 +p·x+q=0 ფორმის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებასთან (უმაღლესი კოეფიციენტით 1-ის ტოლი) მიმართ. ზოგჯერ იგი ჩამოყალიბებულია მხოლოდ ამ ტიპის კვადრატული განტოლებისთვის, რაც არ ზღუდავს ზოგადობას, რადგან ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური განტოლებით მისი ორივე ნაწილის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. აქ არის ვიეტას თეორემის შესაბამისი ფორმულირება:

თეორემა.

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი x 2 + p x + q \u003d 0 უდრის x კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი არის თავისუფალი წევრი, ანუ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

ვიეტას თეორემას შებრუნებული თეორემა

ვიეტას თეორემის მეორე ფორმულირება, რომელიც მოცემულია წინა აბზაცში, მიუთითებს, რომ თუ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0, მაშინ მიმართებები x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. მეორე მხრივ, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q დაწერილი მიმართებებიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მტკიცება, რომელიც ეწინააღმდეგება ვიეტას თეორემას, მართალია. ჩვენ ვაყალიბებთ მას თეორემის სახით და ვამტკიცებთ.

თეორემა.

თუ რიცხვები x 1 და x 2 ისეთია, რომ x 1 +x 2 =−p და x 1 x 2 =q, მაშინ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. .

მტკიცებულება.

p და q კოეფიციენტების ჩანაცვლების შემდეგ x 2 +p x+q=0 მათი გამოხატვის განტოლებაში x 1 და x 2, ის გარდაიქმნება ეკვივალენტურ განტოლებად.

ჩვენ ვცვლით რიცხვს x 1 ნაცვლად x-ის მიღებულ განტოლებაში, გვაქვს ტოლობა x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, რომელიც ნებისმიერი x 1 და x 2 არის სწორი რიცხვითი ტოლობა 0=0, ვინაიდან x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. მაშასადამე, x 1 არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, რაც ნიშნავს, რომ x 1 არის ეკვივალენტური განტოლების ფესვი x 2 +p x+q=0.

თუ განტოლებაში x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ჩაანაცვლეთ რიცხვი x 2 x-ის ნაცვლად, მაშინ მივიღებთ ტოლობას x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. ეს არის სწორი განტოლება, რადგან x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. მაშასადამე, x 2 ასევე არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, და აქედან გამომდინარე განტოლებები x 2 +p x+q=0 .

ეს ავსებს ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემის დადასტურებას.

ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითები

დროა ვისაუბროთ ვიეტას თეორემისა და მისი შებრუნებული თეორემის პრაქტიკულ გამოყენებაზე. ამ ქვეთავში ჩვენ გავაანალიზებთ რამდენიმე ყველაზე ტიპიური მაგალითის ამონახსნებს.

ვიეტას თეორემაზე საპირისპირო თეორემის გამოყენებით ვიწყებთ. მისი გამოყენება მოსახერხებელია იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა მოცემული ორი რიცხვი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში გამოითვლება მათი ჯამი და სხვაობა, რის შემდეგაც მოწმდება ურთიერთობების მართებულობა. თუ ორივე ეს მიმართება დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის ძალით დავასკვნათ, რომ ეს რიცხვები განტოლების ფესვებია. თუ ერთ-ერთი მიმართება მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ეს რიცხვები არ არის კვადრატული განტოლების ფესვები. ეს მიდგომა შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას ნაპოვნი ფესვების შესამოწმებლად.

მაგალითი.

1) x 1 =−5, x 2 =3, ან 2), ან 3) რიცხვებიდან რომელია 4 x 2 −16 x+9=0 კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი?

გამოსავალი.

მოცემული კვადრატული განტოლების 4 x 2 −16 x+9=0 კოეფიციენტებია a=4 , b=−16 , c=9 . ვიეტას თეორემის მიხედვით, კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უნდა იყოს −b/a, ანუ 16/4=4, ხოლო ფესვების ნამრავლი უნდა იყოს c/a, ანუ 9. /4.

ახლა გამოვთვალოთ რიცხვების ჯამი და ნამრავლი სამი მოცემულ წყვილში და შევადაროთ ისინი ახლახან მიღებულ მნიშვნელობებს.

პირველ შემთხვევაში გვაქვს x 1 +x 2 =−5+3=−2 . შედეგად მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 4-ისგან, შესაბამისად, შემდგომი გადამოწმება შეუძლებელია, მაგრამ თეორემით, ვიეტას თეორემის ინვერსიით, შეგვიძლია დაუყოვნებლივ დავასკვნათ, რომ რიცხვების პირველი წყვილი არ არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი. .

გადავიდეთ მეორე შემთხვევაზე. აქ, ანუ პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია. ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობას: , მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 9/4-ისგან. მაშასადამე, რიცხვების მეორე წყვილი არ არის კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი.

ბოლო შემთხვევა რჩება. აქ და. ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ეს რიცხვები x 1 და x 2 არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები.

პასუხი:

თეორემა, ვიეტას თეორემის საპირისპირო, შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში კვადრატული განტოლების ფესვების შესარჩევად. ჩვეულებრივ, ირჩევენ მოცემული კვადრატული განტოლებების მთელი რიცხვების ფესვებს მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით, რადგან სხვა შემთხვევებში ამის გაკეთება საკმაოდ რთულია. ამავდროულად, ისინი იყენებენ იმ ფაქტს, რომ თუ ორი რიცხვის ჯამი უდრის კვადრატული განტოლების მეორე კოეფიციენტს, აღებული მინუს ნიშნით და ამ რიცხვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, მაშინ ეს რიცხვები არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები. მოდით გავუმკლავდეთ ამას მაგალითით.

ავიღოთ კვადრატული განტოლება x 2 −5 x+6=0 . იმისათვის, რომ რიცხვები x 1 და x 2 იყოს ამ განტოლების ფესვები, უნდა დაკმაყოფილდეს ორი ტოლობა x 1 +x 2 \u003d 5 და x 1 x 2 \u003d 6. რჩება ასეთი ნომრების არჩევა. ამ შემთხვევაში ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია: ასეთი რიცხვებია 2 და 3, ვინაიდან 2+3=5 და 2 3=6 . ამრიგად, 2 და 3 არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები.

ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემა განსაკუთრებით მოსახერხებელია შემცირებული კვადრატული განტოლების მეორე ფესვის საპოვნელად, როდესაც ერთ-ერთი ფესვი უკვე ცნობილია ან აშკარაა. ამ შემთხვევაში, მეორე ფესვი გვხვდება რომელიმე მიმართულებიდან.

მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 512 x 2 −509 x−3=0 . აქ ადვილი მისახვედრია, რომ ერთეული არის განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული. ასე რომ, x 1 = 1. მეორე ფესვი x 2 შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, x 1 x 2 =c/a მიმართებიდან. გვაქვს 1 x 2 =−3/512, საიდანაც x 2 =−3/512. ასე რომ, ჩვენ განვსაზღვრეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი: 1 და −3/512.

გასაგებია, რომ ფესვების შერჩევა მიზანშეწონილია მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევებში. სხვა შემთხვევებში, ფესვების მოსაძებნად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები დისკრიმინანტის საშუალებით.

თეორემის კიდევ ერთი პრაქტიკული გამოყენება, ვიეტას თეორემის ინვერსია, არის კვადრატული განტოლებების შედგენა მოცემული ფესვებისთვის x 1 და x 2. ამისათვის საკმარისია გამოვთვალოთ ფესვების ჯამი, რომელიც იძლევა x-ის კოეფიციენტს მოცემული კვადრატული განტოლების საპირისპირო ნიშნით და ფესვების ნამრავლს, რომელიც იძლევა თავისუფალ წევრს.

მაგალითი.

დაწერეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებია −11 და 23 რიცხვები.

გამოსავალი.

აღნიშნეთ x 1 =−11 და x 2 =23 . ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ რიცხვების ჯამს და ნამრავლს: x 1 + x 2 \u003d 12 და x 1 x 2 \u003d −253. მაშასადამე, ეს რიცხვები არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები მეორე კოეფიციენტით -12 და თავისუფალი წევრით -253. ანუ x 2 −12·x−253=0 არის სასურველი განტოლება.

პასუხი:

x 2 −12 x−253=0 .

ვიეტას თეორემა ძალიან ხშირად გამოიყენება ამოცანების ამოხსნისას, რომლებიც დაკავშირებულია კვადრატული განტოლებების ფესვების ნიშნებთან. როგორ უკავშირდება ვიეტას თეორემა შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ნიშნებს x 2 +p x+q=0 ? აქ არის ორი შესაბამისი განცხადება:

• თუ თავისუფალი წევრი q დადებითი რიცხვია და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი.
• თუ თავისუფალი წევრი q არის უარყოფითი რიცხვი და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ მათი ნიშნები განსხვავებულია, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი ფესვი დადებითია, მეორე კი უარყოფითი.

ეს განცხადებები გამომდინარეობს x 1 x 2 =q ფორმულიდან, ასევე დადებითი, უარყოფითი რიცხვების და სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესებიდან. განვიხილოთ მათი გამოყენების მაგალითები.

მაგალითი.

R დადებითია. დისკრიმინაციული ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, გამოხატვის r 2 მნიშვნელობა. +8 არის დადებითი ნებისმიერი რეალური r, შესაბამისად D>0 ნებისმიერი რეალური r. ამრიგად, თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი r პარამეტრის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის.

ახლა გავარკვიოთ, როდის აქვთ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები. თუ ფესვების ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ მათი ნამრავლი უარყოფითია, ვიეტას თეორემით კი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. ამიტომ, ჩვენ გვაინტერესებს r-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც თავისუფალი ვადა r−1 უარყოფითია. ამრიგად, იმისათვის, რომ ვიპოვოთ r-ის მნიშვნელობები, რომლებიც ჩვენთვის საინტერესოა, ჩვენ გვჭირდება წრფივი უტოლობის ამოხსნა r−1<0 , откуда находим r<1 .

პასუხი:

რ<1 .

ვიეტას ფორმულები

ზემოთ ვისაუბრეთ ვიეტას თეორემაზე კვადრატული განტოლებისთვის და გავაანალიზეთ ის მიმართებები, რომლებიც მას ამტკიცებს. მაგრამ არსებობს ფორმულები, რომლებიც აკავშირებს ნამდვილ ფესვებს და კოეფიციენტებს არა მხოლოდ კვადრატული განტოლებების, არამედ კუბური განტოლებების, ოთხმაგი განტოლებების და ზოგადად, ალგებრული განტოლებებიხარისხი n. მათ ეძახიან ვიეტას ფორმულები.

ჩვენ ვწერთ Vieta-ს ფორმულებს ფორმის n ხარისხის ალგებრული განტოლებისთვის, მაშინ როდესაც ვვარაუდობთ, რომ მას აქვს n ნამდვილი ფესვი x 1, x 2, ..., x n (მათ შორის შეიძლება იყოს იგივე):

მიიღეთ Vieta ფორმულები საშუალებას იძლევა მრავალწევრი ფაქტორიზაციის თეორემა, ასევე ტოლი მრავალწევრების განსაზღვრა მათი ყველა შესაბამისი კოეფიციენტის ტოლობის მეშვეობით. ასე რომ, მრავალწევრი და მისი გაფართოება ფორმის წრფივ ფაქტორებად ტოლია. ბოლო ნამრავლში ფრჩხილების გახსნით და შესაბამისი კოეფიციენტების გათანაბრებით მივიღებთ Vieta ფორმულებს.

კერძოდ, n=2-ისთვის ჩვენ უკვე ვიცნობთ ვიეტას ფორმულებს კვადრატული განტოლებისთვის.

კუბური განტოლებისთვის ვიეტას ფორმულებს აქვთ ფორმა

რჩება მხოლოდ იმის აღნიშვნა, რომ ვიეტას ფორმულების მარცხენა მხარეს არის ე.წ სიმეტრიული მრავალწევრები.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა, 2010.- 368გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-022771-1.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მეთოდია გამოყენება VIETA ფორმულები, რომელსაც ფრანსუა ვიეტეს სახელი ეწოდა.

ის იყო ცნობილი ადვოკატი და მსახურობდა მე-16 საუკუნეში საფრანგეთის მეფესთან. თავისუფალ დროს სწავლობდა ასტრონომიასა და მათემატიკას. მან დაამყარა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ფორმულის უპირატესობები:

1 . ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ გამოსავალი. იმის გამო, რომ თქვენ არ გჭირდებათ მეორე კოეფიციენტის კვადრატში შეყვანა, შემდეგ მისგან გამოკლება 4ac, იპოვეთ დისკრიმინანტი, ჩაანაცვლეთ მისი მნიშვნელობა ფესვების საპოვნელ ფორმულაში.

2 . გამოსავლის გარეშე, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფესვების ნიშნები, შეარჩიოთ ფესვების მნიშვნელობები.

3 . ორი ჩანაწერის სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ძნელი არ არის თავად ფესვების პოვნა. ზემოთ მოყვანილ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტის მნიშვნელობას მინუს ნიშნით. ზემოხსენებულ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ნამრავლი უდრის მესამე კოეფიციენტის მნიშვნელობას.

4 . მოცემული ფესვების მიხედვით დაწერეთ კვადრატული განტოლება, ანუ ამოხსენით შებრუნებული ამოცანა. მაგალითად, ეს მეთოდი გამოიყენება თეორიულ მექანიკაში პრობლემების გადაჭრისას.

5 . მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება, როდესაც წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია.

ხარვეზები:

1 . ფორმულა არ არის უნივერსალური.

ვიეტას თეორემა მე-8 კლასი

ფორმულა
თუ x 1 და x 2 არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 + px + q \u003d 0, მაშინ:

მაგალითები
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - განტოლების ფესვები x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

შებრუნებული თეორემა

ფორმულა
თუ x 1, x 2, p, q რიცხვები დაკავშირებულია პირობებით:

მაშინ x 1 და x 2 არის განტოლების ფესვები x 2 + px + q = 0.

მაგალითი
მოდით გავაკეთოთ კვადრატული განტოლება მისი ფესვებით:

X 1 \u003d 2 -? 3 და x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა: x 2 - 4x + 1 = 0.

2.5 ვიეტას ფორმულა უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრებისთვის (განტოლებისთვის).

ვიეტას მიერ მიღებული ფორმულები კვადრატული განტოლებისთვის ასევე მართალია უმაღლესი ხარისხის მრავალწევრებისთვის.

მოდით მრავალწევრი

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

აქვს n განსხვავებული ფესვი x 1 , x 2 ..., x n .

ამ შემთხვევაში, მას აქვს ფორმის ფაქტორიზაცია:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

ამ ტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ 0 ≠ 0-ზე და გავაფართოვოთ ფრჩხილები პირველ ნაწილში. ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას:

x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

მაგრამ ორი მრავალწევრი იდენტურად ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთნაირი სიმძლავრის კოეფიციენტები ტოლია. აქედან გამომდინარეობს, რომ თანასწორობა

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

მაგალითად, მესამე ხარისხის მრავალწევრებისთვის

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

ჩვენ გვაქვს ვინაობა

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

რაც შეეხება კვადრატულ განტოლებებს, ამ ფორმულას ვიეტას ფორმულები ეწოდება. ამ ფორმულების მარცხენა ნაწილები სიმეტრიული პოლინომებია მოცემული განტოლების x 1, x 2 ..., x n ფესვებიდან, ხოლო მარჯვენა ნაწილები გამოსახულია მრავალწევრის კოეფიციენტით.

2.6 კვადრატებად შემცირებული განტოლებები (ბიკვადრატული)

მეოთხე ხარისხის განტოლებები მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე:

ცული 4 + bx 2 + c = 0,

რომელსაც ბიკვადრადული ეწოდება, უფრო მეტიც, a ≠ 0.

საკმარისია ამ განტოლებაში ჩასვათ x 2 \u003d y, ამიტომ,

ay² + by + c = 0

იპოვეთ მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვები

y 1,2 =

დაუყოვნებლივ რომ იპოვოთ ფესვები x 1, x 2, x 3, x 4, შეცვალეთ y x-ით და მიიღეთ

x2 =

x 1,2,3,4 = .

თუ მეოთხე ხარისხის განტოლებას აქვს x 1, მაშინ მას ასევე აქვს ფესვი x 2 \u003d -x 1,

თუ აქვს x 3, მაშინ x 4 \u003d - x 3. ასეთი განტოლების ფესვების ჯამი არის ნული.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

ჩვენ ვცვლით განტოლებას ორმხრივი განტოლებების ფესვების ფორმულაში:

x 1,2,3,4 = ,

იმის ცოდნა, რომ x 1 \u003d -x 2, და x 3 \u003d -x 4, მაშინ:

x 3.4 =

პასუხი: x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 =

2.7 ბიკვადრატული განტოლებების შესწავლა

ავიღოთ ბიკვადრატული განტოლება

ცული 4 + bx 2 + c = 0,

სადაც a, b, c არის რეალური რიცხვები, და a > 0. დამხმარე უცნობის შემოღებით y = x², ჩვენ განვიხილავთ ამ განტოლების ფესვებს და შევიყვანთ შედეგებს ცხრილში (იხ. დანართი No1).

2.8 კარდანოს ფორმულა

თუ ჩვენ ვიყენებთ თანამედროვე სიმბოლიკას, მაშინ კარდანოს ფორმულის წარმოშობა შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

x =

ეს ფორმულა განსაზღვრავს მესამე ხარისხის ზოგადი განტოლების ფესვებს:

ცული 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

ეს ფორმულა ძალიან შრომატევადი და რთულია (ის შეიცავს რამდენიმე რთულ რადიკალს). ეს ყოველთვის არ ვრცელდება, რადგან. ძალიან რთული შესასრულებელი.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

ჩამოთვალეთ ან აირჩიეთ 2-3 ტექსტიდან ყველაზე საინტერესო ადგილები. ამგვარად, განვიხილეთ ზოგადი დებულებები არჩევითი გაკვეთილების შექმნისა და წარმართვის შესახებ, რომელიც მხედველობაში მიიღება მე-9 კლასისთვის ალგებრის არჩევითი კურსის შემუშავებისას „კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრით“. თავი II. არჩევითი კურსის „კვადრატული განტოლებები და უტოლობა პარამეტრით“ ჩატარების მეთოდოლოგია 1.1. გენერალი...

გადაწყვეტილებები რიცხვითი გამოთვლის მეთოდებიდან. განტოლების ფესვების დასადგენად არ არის საჭირო აბელის, გალუას, ტყუილის ჯგუფების თეორიების ცოდნა და სპეციალური მათემატიკური ტერმინოლოგიის გამოყენება: რგოლები, ველები, იდეალები, იზომორფიზმები და ა.შ. n-ე ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა მხოლოდ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის უნარი და რთული რიცხვიდან ფესვების ამოღება. ფესვების დადგენა შესაძლებელია...

ფიზიკური სიდიდეების საზომი ერთეულებით MathCAD სისტემაში? 11. დეტალურად აღწერეთ ტექსტი, გრაფიკული და მათემატიკური ბლოკები. ლექცია ნომერი 2. წრფივი ალგებრის ამოცანები და დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა MathCAD გარემოში წრფივი ალგებრის ამოცანებში თითქმის ყოველთვის ხდება საჭირო მატრიცებით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულება. მატრიცის ოპერატორის პანელი მდებარეობს მათემატიკის პანელზე. ...