ლექსები ბავშვებისთვის

პროპორციებისა და თანაფარდობების გაანგარიშება. როგორ გამოითვლება პროპორცია, რა არის თანაფარდობა

პროპორციის ფორმულა

პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა, როდესაც a:b=c:d

თანაფარდობა 1 : 10 უდრის 7-ის შეფარდებას : 70, რომელიც ასევე შეიძლება დაიწეროს წილადად: 1 10 = 7 70 ნათქვამია: "ერთი არის ათამდე, როგორც შვიდი არის სამოცდაათამდე"

პროპორციის ძირითადი თვისებები

უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს (ჯვარედინი): თუ a:b=c:d , მაშინ a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

პროპორციის ინვერსია: თუ a:b=c:d , მაშინ b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

შუა წევრების პერმუტაცია: თუ a:b=c:d , მაშინ a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

უკიდურესი წევრების პერმუტაცია: თუ a:b=c:d , მაშინ d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

პროპორციის ამოხსნა ერთი უცნობი | განტოლება

1 : 10 = x : 70 ან 1 10 = x 70

x-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ორი ცნობილი რიცხვი ჯვარედინად და გავყოთ საპირისპირო მნიშვნელობაზე

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

როგორ გამოვთვალოთ პროპორცია

Დავალება:თქვენ უნდა დალიოთ 1 ტაბლეტი გააქტიურებული ნახშირი 10 კილოგრამ წონაზე. რამდენი ტაბლეტი უნდა იქნას მიღებული, თუ ადამიანი იწონის 70 კგ-ს?

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია: 1 ტაბლეტი - 10 კგ xტაბლეტები - 70 კგ x-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ორი ცნობილი რიცხვი ჯვარედინად და გავყოთ საპირისპირო მნიშვნელობაზე: 1 ტაბლეტი xტაბლეტები✕ 10 კგ 70 კგ x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 პასუხი: 7 ტაბლეტი

Დავალება:ვასია ხუთ საათში ორ სტატიას წერს. რამდენ სტატიას დაწერს 20 საათში?

გავაკეთოთ პროპორცია: 2 სტატია - 5 საათი xსტატიები - 20 საათი x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 პასუხი: 8 სტატია

შემიძლია ვთქვა მომავალი სკოლის კურსდამთავრებულებისთვის, რომ პროპორციების გაკეთების უნარი ჩემთვის სასარგებლო იყო როგორც სურათების პროპორციულად შემცირების მიზნით, ასევე ვებ გვერდის HTML განლაგებაში და ყოველდღიურ სიტუაციებში.

ურთიერთობა არის გარკვეული ურთიერთობა ჩვენი სამყაროს არსებებს შორის. ეს შეიძლება იყოს რიცხვები, ფიზიკური სიდიდეები, საგნები, პროდუქტები, ფენომენები, მოქმედებები და ადამიანებიც კი.

ყოველდღიურ ცხოვრებაში, როდესაც საქმე ეხება კოეფიციენტებს, ჩვენ ვამბობთ "ამისა და ამის თანაფარდობა". მაგალითად, თუ ვაზაში არის 4 ვაშლი და 2 მსხალი, მაშინ ჩვენ ვამბობთ ვაშლის და მსხლის თანაფარდობა მსხლისა და ვაშლის თანაფარდობა.

მათემატიკაში თანაფარდობა ხშირად გამოიყენება როგორც "რაღაცის მიმართება რაღაცასთან". მაგალითად, ოთხი ვაშლის და ორი მსხლის თანაფარდობა, რომელიც ზემოთ განვიხილეთ, მათემატიკაში წაიკითხება როგორც "ოთხი ვაშლის თანაფარდობა ორ მსხალთან"ან თუ ვაშლს და მსხალს გაცვლი, მაშინ "ორი მსხლის თანაფარდობა ოთხ ვაშლთან".

თანაფარდობა გამოიხატება როგორც არომ ბ(სადაც ნაცვლად ადა ბნებისმიერი რიცხვი), მაგრამ უფრო ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ ჩანაწერი, რომელიც შედგენილია ორწერტილის გამოყენებით ა:ბ. თქვენ შეგიძლიათ წაიკითხოთ ეს ჩანაწერი სხვადასხვა გზით:

არომ ბ
აეხება ბ
დამოკიდებულება არომ ბ

ჩვენ ვწერთ ოთხი ვაშლის და ორი მსხლის თანაფარდობას თანაფარდობის სიმბოლოს გამოყენებით:

4: 2

თუ ვაშლს და მსხალს გავცვლით, მაშინ გვექნება თანაფარდობა 2:4. ეს თანაფარდობა შეიძლება წაიკითხოს როგორც "ორი ოთხი" ან რომელიმე "ორი მსხალი უდრის ოთხ ვაშლს" .

შემდგომში ჩვენ მივმართავთ მიმართებას, როგორც მიმართებას.

გაკვეთილის შინაარსი

რა არის დამოკიდებულება?

კავშირი, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, იწერება როგორც ა:ბ. ის ასევე შეიძლება დაიწეროს წილადად. და ჩვენ ვიცით, რომ ასეთი ჩანაწერი მათემატიკაში ნიშნავს გაყოფას. მაშინ ურთიერთობის შედეგი იქნება რიცხვების კოეფიციენტი ადა ბ.

მათემატიკაში თანაფარდობა არის ორი რიცხვის კოეფიციენტი.

თანაფარდობა საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ, რამდენია ერთი ერთეული მეორის ერთეულზე. დავუბრუნდეთ ოთხი ვაშლის ორ მსხლის თანაფარდობას (4:2). ეს თანაფარდობა საშუალებას მოგვცემს გავარკვიოთ რამდენი ვაშლია მსხლის ერთეულზე. ერთეული ნიშნავს ერთ მსხალს. ჯერ წილადად დავწეროთ თანაფარდობა 4:2:

ეს თანაფარდობა არის 4 რიცხვის გაყოფა 2-ზე. თუ ამ დაყოფას შევასრულებთ, მივიღებთ პასუხს კითხვაზე, რამდენი ვაშლი არის მსხლის ერთეულზე.

მივიღეთ 2. ასე რომ, ოთხი ვაშლი და ორი მსხალი (4: 2) კორელაციაშია (ერთმანეთთან დაკავშირებული) ისე, რომ თითო მსხალზე ორი ვაშლი იყოს.

ნახატი გვიჩვენებს, თუ როგორ უკავშირდება ერთმანეთს ოთხი ვაშლი და ორი მსხალი. ჩანს, რომ თითოეულ მსხალს ორი ვაშლი აქვს.

კავშირი შეიძლება შეიცვალოს როგორც . შემდეგ ვიღებთ ორი მსხლისა და ოთხი ვაშლის თანაფარდობას, ანუ „ორი მსხლის თანაფარდობას ოთხ ვაშლთან“. ეს თანაფარდობა აჩვენებს რამდენი მსხალია ვაშლის ერთეულზე. ვაშლის ერთეული ნიშნავს ერთ ვაშლს.

წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად, უნდა გახსოვდეთ, როგორ გავყოთ პატარა რიცხვი დიდზე.

მივიღე 0.5. გადავიყვანოთ ეს ათობითი წილადი ჩვეულებრივ წილადად:

მიღებული ჩვეულებრივი წილადი შეამცირეთ 5-ით

მიიღო პასუხი (ნახევარი მსხალი). ასე რომ, ორი მსხალი და ოთხი ვაშლი (2: 4) კორელაციაშია (ერთმანეთთან დაკავშირებული) ისე, რომ ერთი ვაშლი შეადგენს მსხლის ნახევარს.

ნახატზე ნაჩვენებია, თუ როგორ უკავშირდება ერთმანეთს ორი მსხალი და ოთხი ვაშლი. ჩანს, რომ ყველა ვაშლისთვის არის ნახევარი მსხალი.

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან ურთიერთობას, ეწოდება ურთიერთობის წევრები. მაგალითად, 4:2 მიმართებაში წევრები არიან რიცხვები 4 და 2.

განვიხილოთ ურთიერთობების სხვა მაგალითები. რეცეპტი მზადდება რაღაცის მოსამზადებლად. რეცეპტი აგებულია პროდუქტებს შორის თანაფარდობიდან. მაგალითად, შვრიის ფაფის დასამზადებლად საჭიროა ერთი ჭიქა მარცვლეული და ორი ჭიქა რძე ან წყალი. ეს იწვევს 1:2 თანაფარდობას ("ერთი ორიდან" ან "ერთი ჭიქა მარცვლეული ორ ჭიქა რძესთან").

გადავიყვანოთ თანაფარდობა 1:2 წილადად, მივიღებთ. ამ წილადის გამოთვლით მივიღებთ 0,5-ს. ასე რომ, ერთი ჭიქა მარცვლეული და ორი ჭიქა რძე კორელაციაშია (კორელაციაში) ისე, რომ ერთი ჭიქა რძის ნახევარი ჭიქა მარცვლეულია.

თუ გადააბრუნებთ 1:2 თანაფარდობას, მიიღებთ თანაფარდობას 2:1 ("ორი ერთზე" ან "ორი ჭიქა რძე ერთ ჭიქა მარცვლეულთან"). 2:1 თანაფარდობის წილადად გადაქცევით მივიღებთ. ამ წილადის გამოთვლით მივიღებთ 2. ასე რომ, ორი ჭიქა რძე და ერთი ჭიქა მარცვლეული ერთმანეთთან არის დაკავშირებული (ერთმანეთთან კორელაციაში) ისე, რომ ერთი ჭიქა მარცვლეულისთვის არის ორი ჭიქა რძე.

მაგალითი 2კლასში 15 მოსწავლეა. აქედან 5 ბიჭია, 10 გოგო. შესაძლებელია გოგოების და ბიჭების თანაფარდობის 10:5 ჩაწერა და ეს თანაფარდობა წილადად გადაქცევა. ამ წილადის გამოთვლით მივიღებთ 2. ანუ გოგოები და ბიჭები ერთმანეთთან ისე არიან დაკავშირებული, რომ ყოველ ბიჭზე ორი გოგოა.

ნახატი გვიჩვენებს, თუ როგორ უკავშირდებიან ერთმანეთს ათი გოგო და ხუთი ბიჭი. ჩანს, რომ ყველა ბიჭს ორი გოგონა აქვს.

თანაფარდობის წილადად გადაქცევა და კოეფიციენტის პოვნა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ზოგიერთ შემთხვევაში ეს ალოგიკური იქნება.

ასე რომ, თუ თანაფარდობას თავდაყირა აყენებთ და ეს არის ბიჭებისა და გოგოების თანაფარდობა. თუ ამ წილადს გამოთვლით, მიიღებთ 0,5-ს. გამოდის, რომ ხუთი ბიჭი ათ გოგოს უკავშირდება ისე, რომ ყოველ გოგოს ნახევარი ბიჭი აქვს. მათემატიკურად ეს, რა თქმა უნდა, მართალია, მაგრამ რეალობის თვალსაზრისით, მთლად გონივრული არ არის, რადგან ბიჭი ცოცხალი ადამიანია და არ შეიძლება უბრალოდ მსხალი ან ვაშლივით აიღო და გაყო.

სწორი დამოკიდებულების ჩამოყალიბების უნარი პრობლემის გადაჭრის მნიშვნელოვანი უნარია. ასე რომ, ფიზიკაში გავლილი მანძილის თანაფარდობა დროსთან არის მოძრაობის სიჩქარე.

მანძილი აღინიშნება ცვლადით ს, დრო - ცვლადის მეშვეობით ტ, სიჩქარე - ცვლადის მეშვეობით ვ. შემდეგ ფრაზა "გავლილი მანძილის თანაფარდობა დროსა არის მოძრაობის სიჩქარე"აღწერილი იქნება შემდეგი გამონათქვამით:

დავუშვათ, მანქანა 2 საათში 100 კილომეტრს გაივლის. შემდეგ გავლილი 100 კილომეტრის თანაფარდობა 2 საათამდე იქნება მანქანის სიჩქარე:

სიჩქარე არის სხეულის მიერ გავლილი მანძილი დროის ერთეულზე. დროის ერთეული არის 1 საათი, 1 წუთი ან 1 წამი. და თანაფარდობა, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ, რამდენია ერთი ერთეული მეორის ერთეულზე. ჩვენს მაგალითში ასი კილომეტრის შეფარდება ორ საათამდე გვიჩვენებს რამდენი კილომეტრია ერთი საათის მოძრაობაზე. ჩვენ ვხედავთ, რომ მოძრაობის ყოველ საათზე 50 კილომეტრია

ასე რომ, სიჩქარე იზომება კმ/სთ, მ/წთ, მ/წმ. წილადის სიმბოლო (/) მიუთითებს მანძილის თანაფარდობაზე: კილომეტრი საათში , მეტრი წუთშიდა მეტრი წამში შესაბამისად.

მაგალითი 2. საქონლის ღირებულების თანაფარდობა მის რაოდენობასთან არის საქონლის ერთი ერთეულის ფასი.

თუ მაღაზიაში ავიღეთ 5 შოკოლადის ფილა და მათი საერთო ღირებულება იყო 100 მანეთი, მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ერთი ბარის ფასი. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ასი რუბლის თანაფარდობა ზოლების რაოდენობასთან. შემდეგ მივიღებთ, რომ ერთი ბარი 20 რუბლს შეადგენს

ღირებულებების შედარება

ადრე გავიგეთ, რომ სხვადასხვა ბუნების რაოდენობებს შორის თანაფარდობა ახალ რაოდენობას ქმნის. ამრიგად, გავლილი მანძილის თანაფარდობა დროზე არის მოძრაობის სიჩქარე. საქონლის ღირებულების თანაფარდობა მის რაოდენობასთან არის საქონლის ერთი ერთეულის ფასი.

მაგრამ თანაფარდობა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას მნიშვნელობების შესადარებლად. ასეთი ურთიერთობის შედეგი არის რიცხვი, რომელიც გვიჩვენებს, რამდენჯერ მეტია პირველი მნიშვნელობა მეორეზე, ან რა ნაწილია პირველი მნიშვნელობა მეორედან.

იმის გასარკვევად, თუ რამდენჯერ მეტია პირველი მნიშვნელობა მეორეზე, თქვენ უნდა დაწეროთ უფრო დიდი მნიშვნელობა თანაფარდობის მრიცხველში, ხოლო მცირე მნიშვნელობა მნიშვნელში.

იმის გასარკვევად, თუ რომელი ნაწილია პირველი მნიშვნელობა მეორედან, თქვენ უნდა დაწეროთ უფრო მცირე მნიშვნელობა თანაფარდობის მრიცხველში და უფრო დიდი მნიშვნელობა მნიშვნელში.

განვიხილოთ რიცხვები 20 და 2. მოდით გავარკვიოთ, რამდენჯერ მეტია რიცხვი 20, ვიდრე რიცხვი 2. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ 20 რიცხვის შეფარდებას 2 რიცხვთან. ჩაწერეთ რიცხვი 20 თანაფარდობის მრიცხველში. , და რიცხვი 2 მნიშვნელში

ამ თანაფარდობის ღირებულება ათია

20 რიცხვის შეფარდება 2 რიცხვთან არის რიცხვი 10. ეს რიცხვი გვიჩვენებს, რამდენჯერ მეტია რიცხვი 20, ვიდრე რიცხვი 2. ასე რომ, რიცხვი 20 ათჯერ მეტია 2-ზე.

მაგალითი 2კლასში 15 მოსწავლეა. მათგან 5 ბიჭია, 10 გოგო. დაადგინეთ, რამდენჯერ მეტია გოგონები, ვიდრე ბიჭები.

ჩამოწერეთ გოგოების დამოკიდებულება ბიჭების მიმართ. თანაფარდობის მრიცხველში ვწერთ გოგოების რაოდენობას, თანაფარდობის მნიშვნელში - ბიჭების რაოდენობას:

ამ კოეფიციენტის მნიშვნელობა არის 2. ეს ნიშნავს, რომ 15-კაციან კლასში ორჯერ მეტი გოგოა, ვიდრე ბიჭები.

უკვე აღარ დგას კითხვა, რამდენი გოგოა ერთი ბიჭისთვის. ამ შემთხვევაში, თანაფარდობა გამოიყენება გოგოების რაოდენობის შესადარებლად ბიჭების რაოდენობასთან.

მაგალითი 3. მე-2 ნომრის რომელი ნაწილია 20 რიცხვიდან.

ვპოულობთ 2 რიცხვის შეფარდებას 20 რიცხვთან. თანაფარდობის მრიცხველში ვწერთ რიცხვს 2, ხოლო მნიშვნელში - რიცხვს 20.

ამ ურთიერთობის მნიშვნელობის საპოვნელად, უნდა გახსოვდეთ,

2 რიცხვის თანაფარდობის მნიშვნელობა 20 რიცხვთან არის რიცხვი 0.1

ამ შემთხვევაში, ათობითი წილადი 0.1 შეიძლება გადაკეთდეს ჩვეულებრივად. ამ პასუხის გაგება უფრო ადვილი იქნება:

ასე რომ, 20 რიცხვის ნომერი 2 არის მეათედი.

შეგიძლიათ გააკეთოთ შემოწმება. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით ნომრიდან 20. თუ ყველაფერი სწორად გავაკეთეთ, უნდა მივიღოთ ნომერი 2.

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

მივიღეთ რიცხვი 2. ანუ 20 რიცხვის მეათედი არის რიცხვი 2. აქედან ვასკვნით, რომ პრობლემა სწორად მოგვარებულია.

მაგალითი 4კლასში 15 კაცია. მათგან 5 ბიჭია, 10 გოგო. დაადგინეთ, რა პროპორციას შეადგენენ ბიჭები მოსწავლეთა საერთო რაოდენობაში.

ჩვენ ვწერთ ბიჭების თანაფარდობას მოსწავლეთა საერთო რაოდენობასთან. თანაფარდობის მრიცხველში ხუთ ბიჭს ვწერთ, ხოლო მნიშვნელში სკოლის მოსწავლეთა საერთო რაოდენობას. სკოლის მოსწავლეთა საერთო რაოდენობაა 5 ბიჭი პლუს 10 გოგო, ამიტომ რიცხვს 15 ვწერთ თანაფარდობის მნიშვნელში.

ამ თანაფარდობის მნიშვნელობის საპოვნელად, უნდა გახსოვდეთ, როგორ გავყოთ პატარა რიცხვი დიდზე. ამ შემთხვევაში, რიცხვი 5 უნდა გაიყოს 15 რიცხვზე

როდესაც 5-ს 15-ზე გაყოფთ, მიიღებთ პერიოდულ წილადს. გადავიყვანოთ ეს წილადი ჩვეულებრივად

მიიღო საბოლოო პასუხი. ასე რომ, ბიჭები მთელი კლასის მესამედს შეადგენენ

ნახატი აჩვენებს, რომ 15 მოსწავლისგან შემდგარ კლასში, კლასის მესამედი 5 ბიჭია.

თუ გადამოწმებისთვის 15 სკოლის მოსწავლისგან ვიპოვით, მაშინ მივიღებთ 5 ბიჭს

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

მაგალითი 5რამდენჯერ მეტია რიცხვი 35 ვიდრე რიცხვი 5?

ჩვენ ვწერთ 35 რიცხვის შეფარდებას 5-თან. თანაფარდობის მრიცხველში უნდა ჩაწეროთ რიცხვი 35, მნიშვნელში - რიცხვი 5, მაგრამ არა პირიქით.

ამ თანაფარდობის მნიშვნელობა არის 7. ასე რომ, რიცხვი 35 შვიდჯერ მეტია ვიდრე რიცხვი 5.

მაგალითი 6კლასში 15 კაცია. მათგან 5 ბიჭია, 10 გოგო. დაადგინეთ, რა პროპორციაა საერთო რაოდენობის გოგონები.

ჩვენ ვწერთ გოგონების თანაფარდობას მოსწავლეთა საერთო რაოდენობასთან. თანაფარდობის მრიცხველში ათ გოგონას ვწერთ, ხოლო მნიშვნელში სკოლის მოსწავლეთა საერთო რაოდენობას. სკოლის მოსწავლეთა საერთო რაოდენობაა 5 ბიჭი პლუს 10 გოგო, ამიტომ რიცხვს 15 ვწერთ თანაფარდობის მნიშვნელში.

ამ თანაფარდობის მნიშვნელობის საპოვნელად, უნდა გახსოვდეთ, როგორ გავყოთ პატარა რიცხვი დიდზე. ამ შემთხვევაში, რიცხვი 10 უნდა გაიყოს 15 რიცხვზე

10-ს 15-ზე რომ გაყოფთ, მიიღებთ პერიოდულ წილადს. გადავიყვანოთ ეს წილადი ჩვეულებრივად

მიღებული წილადი შევამციროთ 3-ით

მიიღო საბოლოო პასუხი. ასე რომ, გოგონები შეადგენენ მთელი კლასის ორ მესამედს

სურათი გვიჩვენებს, რომ 15 მოსწავლისგან შემდგარ კლასში, კლასის ორი მესამედი 10 გოგონაა.

თუ გადამოწმებისთვის 15 სკოლის მოსწავლე ვიპოვით, მაშინ მივიღებთ 10 გოგონას

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

მაგალითი 7 10 სმ-ის რა ნაწილია 25 სმ

ჩაწერეთ ათი სანტიმეტრი ოცდახუთი სანტიმეტრის თანაფარდობა. თანაფარდობის მრიცხველში ვწერთ 10 სმ, მნიშვნელში - 25 სმ.

ამ თანაფარდობის მნიშვნელობის საპოვნელად, უნდა გახსოვდეთ, როგორ გავყოთ პატარა რიცხვი დიდზე. ამ შემთხვევაში, რიცხვი 10 უნდა გაიყოს 25-ზე

გადავიყვანოთ მიღებული ათობითი წილადი ჩვეულებრივად

შევამციროთ მიღებული წილადი 2-ით

მიიღო საბოლოო პასუხი. ასე რომ, 10 სმ არის 25 სმ.

მაგალითი 8რამდენჯერ აღემატება 25 სმ 10 სმ-ს

დაწერეთ ოცდახუთი სანტიმეტრი ათი სანტიმეტრის თანაფარდობა. თანაფარდობის მრიცხველში ვწერთ 25 სმ, მნიშვნელში - 10 სმ.

მივიღე პასუხი 2.5. ასე რომ, 25 სმ არის 2,5-ჯერ მეტი 10 სმ-ზე (ორნახევარჯერ)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი.ერთი და იგივე ფიზიკური სიდიდეების თანაფარდობის პოვნისას ეს სიდიდეები უნდა იყოს გამოხატული ერთი საზომი ერთეულით, წინააღმდეგ შემთხვევაში პასუხი არასწორი იქნება.

მაგალითად, თუ საქმე გვაქვს ორ სიგრძესთან და გვინდა ვიცოდეთ, რამდენჯერ მეტია პირველი სიგრძე მეორეზე, ან რა ნაწილია პირველი სიგრძე მეორისგან, მაშინ ორივე სიგრძე ჯერ ერთი საზომი ერთეულით უნდა იყოს გამოხატული.

მაგალითი 9რამდენჯერ მეტია 150 სმ 1 მეტრზე?

პირველი, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ორივე სიგრძე გამოხატულია იმავე ერთეულში. ამისათვის გადააქციეთ 1 მეტრი სანტიმეტრებში. ერთი მეტრი ასი სანტიმეტრია

1 მ = 100 სმ

ახლა ჩვენ ვპოულობთ ას ორმოცდაათი სანტიმეტრის ას სანტიმეტრს. თანაფარდობის მრიცხველში ვწერთ 150 სანტიმეტრს, მნიშვნელში - 100 სანტიმეტრს.

მოდი ვიპოვოთ ამ ურთიერთობის მნიშვნელობა

მივიღე პასუხი 1.5. ასე რომ, 150 სმ არის 100 სმ-ზე მეტი 1,5-ჯერ (ერთნახევარჯერ).

და თუ ჩვენ არ დავიწყებდით მეტრის სანტიმეტრებად გადაქცევას და მაშინვე ვცდილობდით გვეპოვა 150 სმ-ის თანაფარდობა ერთ მეტრამდე, მაშინ მივიღებდით შემდეგს:

აღმოჩნდება, რომ 150 სმ ას ორმოცდაათჯერ მეტია ერთ მეტრზე, მაგრამ ეს ასე არ არის. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ ფიზიკური სიდიდეების საზომ ერთეულებს, რომლებიც დაკავშირებულია. თუ ეს სიდიდეები გამოიხატება გაზომვის სხვადასხვა ერთეულში, მაშინ ამ სიდიდეების თანაფარდობის საპოვნელად საჭიროა გაზომვის ერთ ერთეულზე გადასვლა.

მაგალითი 10გასულ თვეში ადამიანის ხელფასი 25 000 მანეთი იყო, ამ თვეში კი ხელფასი 27 000 რუბლამდე გაიზარდა. დაადგინეთ რამდენად გაიზარდა ხელფასი

ჩვენ ვწერთ თანაფარდობას ოცდაშვიდი ათასიდან ოცდახუთი ათასამდე. თანაფარდობის მრიცხველში ვწერთ 27000, მნიშვნელში - 25000

მოდი ვიპოვოთ ამ ურთიერთობის მნიშვნელობა

პასუხი მივიღე 1.08. ასე რომ ხელფასი 1,08-ჯერ გაიზარდა. მომავალში, როცა გავეცნობით პროცენტებს, გამოვხატავთ ისეთ მაჩვენებლებს, როგორიცაა ხელფასი პროცენტულად.

მაგალითი 11. კორპუსის სიგანე 80 მეტრი და სიმაღლე 16 მეტრია. რამდენჯერ აღემატება სახლის სიგანე მის სიმაღლეს?

ჩვენ ვწერთ სახლის სიგანის თანაფარდობას მის სიმაღლეზე:

ამ თანაფარდობის ღირებულებაა 5. ეს ნიშნავს, რომ სახლის სიგანე ხუთჯერ აღემატება მის სიმაღლეს.

ურთიერთობის თვისება

თანაფარდობა არ შეიცვლება, თუ მისი პირობები გამრავლდება ან იყოფა იმავე რიცხვზე.

ურთიერთობის ეს ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება გამომდინარეობს კოეფიციენტის თვისებიდან. ჩვენ ვიცით, რომ თუ დივიდენდი და გამყოფი გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე, მაშინ კოეფიციენტი არ შეიცვლება. და რადგან თანაფარდობა სხვა არაფერია, თუ არა გაყოფა, კოეფიციენტური თვისებაც მუშაობს ამისთვის.

დავუბრუნდეთ გოგოების დამოკიდებულებას ბიჭების მიმართ (10:5). ამ თანაფარდობამ აჩვენა, რომ ყოველ ბიჭზე ორი გოგოა. მოდით შევამოწმოთ როგორ მუშაობს მიმართების თვისება, კერძოდ, შევეცადოთ გავამრავლოთ ან გავყოთ მისი წევრები იმავე რიცხვზე.

ჩვენს მაგალითში უფრო მოსახერხებელია ურთიერთობის პირობების დაყოფა მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).

10 და 5 წევრების GCD არის რიცხვი 5. მაშასადამე, თქვენ შეგიძლიათ დაყოთ ურთიერთობის პირობები 5 რიცხვზე.

მიიღო ახალი დამოკიდებულება. ეს არის ორი-ერთი თანაფარდობა (2:1). ეს თანაფარდობა, ისევე როგორც წინა თანაფარდობა 10:5, გვიჩვენებს, რომ ყოველ ბიჭზე ორი გოგონაა.

ფიგურაში ნაჩვენებია 2:1 თანაფარდობა (ორი ერთი). როგორც წინა 10:5 შეფარდებაში, თითო ბიჭზე ორი გოგონაა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დამოკიდებულება არ შეცვლილა.

მაგალითი 2. ერთ კლასში 10 გოგო და 5 ბიჭია. სხვა კლასში 20 გოგო და 10 ბიჭია. რამდენჯერ მეტი გოგოა, ვიდრე ბიჭი პირველ კლასში? რამდენჯერ მეტი გოგოა, ვიდრე ბიჭი მეორე კლასში?

ორივე კლასში ორჯერ მეტი გოგოა, ვიდრე ბიჭი, რადგან თანაფარდობა და თანაფარდობა ერთი და იგივე რიცხვია.

ურთიერთობის თვისება საშუალებას გაძლევთ შექმნათ სხვადასხვა მოდელები, რომლებსაც აქვთ რეალური ობიექტის მსგავსი პარამეტრები. დავუშვათ, საცხოვრებელი კორპუსი არის 30 მეტრი სიგანე და 10 მეტრი სიმაღლე.

ქაღალდზე მსგავსი სახლის დახატვა, თქვენ უნდა დახატოთ იგი იმავე თანაფარდობით 30:10.

ამ თანაფარდობის ორივე წევრი გავყოთ რიცხვზე 10. შემდეგ მივიღებთ თანაფარდობას 3:1. ეს თანაფარდობა არის 3, ისევე როგორც წინა თანაფარდობა არის 3

მეტრის სანტიმეტრებად გადაქცევა. 3 მეტრი არის 300 სანტიმეტრი და 1 მეტრი 100 სანტიმეტრი.

3 მ = 300 სმ

1 მ = 100 სმ

გვაქვს თანაფარდობა 300 სმ: 100 სმ. ამ თანაფარდობის პირები გავყოთ 100-ზე ვიღებთ თანაფარდობას 3 სმ: 1 სმ. ახლა შეგვიძლია დავხატოთ სახლი 3 სმ სიგანით და 1 სმ სიმაღლით.

რა თქმა უნდა, დახატული სახლი ბევრად უფრო მცირეა, ვიდრე რეალური სახლი, მაგრამ სიგანისა და სიმაღლის თანაფარდობა უცვლელი რჩება. ამან საშუალება მოგვცა, სახლი რაც შეიძლება ახლოს დაგვეხატა რეალურთან.

დამოკიდებულების გაგება სხვაგვარადაც შეიძლება. თავდაპირველად ამბობდნენ, რომ ნამდვილ სახლს აქვს 30 მეტრი სიგანე და 10 მეტრი სიმაღლე. სულ არის 30 + 10, ანუ 40 მეტრი.

ეს 40 მეტრი შეიძლება გავიგოთ, როგორც 40 ნაწილი. 30:10 თანაფარდობა ნიშნავს 30 ნაწილს სიგანეზე და 10 ნაწილს სიმაღლეზე.

გარდა ამისა, 30: 10 თანაფარდობის წევრები იყოფა 10-ზე. შედეგი იყო თანაფარდობა 3: 1. ეს თანაფარდობა შეიძლება გავიგოთ, როგორც 4 ნაწილი, რომელთაგან სამი მოდის სიგანეზე, ერთი სიმაღლეზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ ჩვეულებრივ უნდა გაარკვიოთ ზუსტად რამდენი მეტრი სიგანე და სიმაღლეზე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი მეტრი იყოფა 3 ნაწილად და რამდენი მეტრი ხვდება 1 ნაწილად. ჯერ უნდა გაარკვიოთ რამდენი მეტრი ეცემა ერთ ნაწილს. ამისათვის, მთლიანი 40 მეტრი უნდა გაიყოს 4-ზე, რადგან მხოლოდ ოთხი ნაწილია 3: 1 თანაფარდობით.

განვსაზღვროთ რამდენი მეტრია სიგანე:

10 მ × 3 = 30 მ

განვსაზღვროთ რამდენი მეტრი ეცემა სიმაღლეზე:

10 მ × 1 = 10 მ

ურთიერთობის მრავალი წევრი

თუ რამდენიმე წევრი მოცემულია კავშირში, მაშინ ისინი შეიძლება გავიგოთ, როგორც რაღაცის ნაწილები.

მაგალითი 1. ვიყიდე 18 ვაშლი. ეს ვაშლები იყოფა დედას, მამასა და ქალიშვილს შორის 2: 1: 3 თანაფარდობით. რამდენი ვაშლი მიიღო თითოეულმა?

2: 1: 3 თანაფარდობა მიუთითებს იმაზე, რომ დედამ მიიღო 2 ნაწილი, მამამ - 1 ნაწილი, ქალიშვილმა - 3 ნაწილი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 2:1:3 თანაფარდობის თითოეული წევრი არის 18 ვაშლის გარკვეული ნაწილი:

თუ დაამატებთ თანაფარდობის პირობებს 2: 1: 3, მაშინ შეგიძლიათ გაიგოთ რამდენი ნაწილია ჯამში:

2 + 1 + 3 = 6 (ნაწილები)

გაარკვიეთ რამდენი ვაშლი ეცემა ერთ ნაწილზე. ამისათვის 18 ვაშლი გაყავით 6-ზე

18:6 = 3 (ვაშლი თითო ნაწილზე)

ახლა განვსაზღვროთ რამდენი ვაშლი მიიღო თითოეულმა. სამი ვაშლის გამრავლებით თითოეულ წევრზე 2:1:3 თანაფარდობით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ვაშლი მიიღო დედამ, რამდენი მიიღო მამამ და რამდენი ქალიშვილმა.

შეიტყვეთ რამდენი ვაშლი მიიღო დედამ:

3 × 2 = 6 (ვაშლი)

გაიგე რამდენი ვაშლი მიიღო მამამ:

3 × 1 = 3 (ვაშლი)

გაიგეთ რამდენი ვაშლი მიიღო ქალიშვილმა:

3 × 3 = 9 (ვაშლი)

მაგალითი 2. ახალი ვერცხლი (ალპაკა) არის ნიკელის, თუთიის და სპილენძის შენადნობი 3:4:13 თანაფარდობით. რამდენი კილოგრამი უნდა ავიღოთ თითოეული ლითონი 4 კგ ახალი ვერცხლის მისაღებად?

4 კილოგრამი ახალი ვერცხლი შეიცავს 3 წილ ნიკელს, 4 წილ თუთიას და 13 წილ სპილენძს. პირველ რიგში, ჩვენ გავარკვიეთ, რამდენი ნაწილი იქნება ოთხი კილოგრამი ვერცხლი:

3 + 4 + 13 = 20 (ნაწილები)

დაადგინეთ რამდენი კილოგრამი დაეცემა ერთ ნაწილზე:

4 კგ: 20 = 0,2 კგ

მოდით განვსაზღვროთ რამდენ კილოგრამ ნიკელს შეიცავს 4 კგ ახალი ვერცხლი. 3:4:13 თანაფარდობით, შენადნობის სამი ნაწილი, როგორც ამბობენ, შეიცავს ნიკელს. ასე რომ, ჩვენ ვამრავლებთ 0.2-ს 3-ზე:

0,2 კგ × 3 = 0,6 კგ ნიკელი

ახლა განვსაზღვროთ რამდენ კილოგრამ თუთიას შეიცავს 4 კგ ახალი ვერცხლი. 3:4:13 თანაფარდობით, შენადნობის ოთხი ნაწილი, როგორც ამბობენ, შეიცავს თუთიას. ასე რომ, ჩვენ ვამრავლებთ 0.2-ს 4-ზე:

0,2 კგ × 4 = 0,8 კგ თუთია

ახლა განვსაზღვროთ რამდენ კილოგრამ სპილენძს შეიცავს 4 კგ ახალი ვერცხლი. 3:4:13 თანაფარდობით, შენადნობის ცამეტი ნაწილი სპილენძს შეიცავს. ამიტომ ვამრავლებთ 0.2-ს 13-ზე:

0,2 კგ × 13 = 2,6 კგ სპილენძი

ასე რომ, 4 კგ ახალი ვერცხლის მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ 0,6 კგ ნიკელი, 0,8 კგ თუთია და 2,6 კგ სპილენძი.

მაგალითი 3. სპილენძი არის სპილენძისა და თუთიის შენადნობი, რომლის მასის თანაფარდობაა 3:2. სპილენძის ნაჭრის დასამზადებლად საჭიროა 120 გრ სპილენძი. რამდენი თუთიაა საჭირო ამ სპილენძის ნაჭრის დასამზადებლად?

განვსაზღვროთ რამდენი გრამი შენადნობი ეცემა ერთ ნაწილზე. პირობა ამბობს, რომ სპილენძის ნაჭრის დასამზადებლად საჭიროა 120 გრ სპილენძი. ასევე ნათქვამია, რომ შენადნობის სამი ნაწილი შეიცავს სპილენძს. თუ 120-ს გავყოფთ 3-ზე, გავიგებთ, რამდენი გრამი შენადნობაა ერთ ნაწილში:

120: 3 = 40 გრამი ცალი

ახლა მოდით განვსაზღვროთ რამდენი თუთია საჭიროა სპილენძის ნაჭრის დასამზადებლად. ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ 40 გრამს 2-ზე, რადგან 3: 2 თანაფარდობით მითითებულია, რომ ორი ნაწილი შეიცავს თუთიას:

40 გ × 2 = 80 გრამი თუთია

მაგალითი 4. მათ აიღეს ოქროსა და ვერცხლის ორი შენადნობი. ერთში ამ ლითონების შეფარდებაა 1:9, ხოლო მეორეში 2:3. რამდენი უნდა ავიღოთ თითოეული შენადნობიდან 15 კგ ახალი შენადნობის მისაღებად, რომელშიც ოქრო და ვერცხლი იქნება დაკავშირებული 1:4?

გამოსავალი

15 კგ ახალი შენადნობი უნდა იყოს 1: 4 თანაფარდობით. ეს თანაფარდობა მიუთითებს, რომ შენადნობის ერთ ნაწილს ექნება ოქრო, ხოლო ოთხ ნაწილს - ვერცხლი. სულ ხუთი ნაწილია. სქემატურად, ეს შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად

განვსაზღვროთ ერთი ნაწილის მასა. ამისათვის ჯერ დაამატეთ ყველა ნაწილი (1 და 4), შემდეგ გაყავით შენადნობის მასა ამ ნაწილების რაოდენობაზე.

1 + 4 = 5
15 კგ: 5 = 3 კგ

შენადნობის ერთ ნაწილს ექნება მასა 3 კგ. მაშინ 15 კგ ახალი შენადნობი შეიცავს 3 × 1 = 3 კგ ოქროს და 3 × 4 = 12 კგ ვერცხლს.

მაშასადამე, 15 კგ მასის შენადნობის მისაღებად გვჭირდება 3 კგ ოქრო და 12 კგ ვერცხლი.

ახლა მოდით ვუპასუხოთ დავალების კითხვას - " რამდენი ავიღოთ თითოეული შენადნობი? »

ჩვენ ავიღებთ 10 კგ პირველ შენადნობას, ვინაიდან მასში ოქრო და ვერცხლი არის 1:9 თანაფარდობით. ანუ ეს პირველი შენადნობი მოგვცემს 1 კგ ოქროს და 9 კგ ვერცხლს.

ჩვენ ავიღებთ 5 კგ მეორე შენადნობას, ვინაიდან მასში ოქრო და ვერცხლი არის 2:3 თანაფარდობით. ანუ ეს მეორე შენადნობი მოგვცემს 2 კგ ოქროს და 3 კგ ვერცხლს.

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შესახებ შეტყობინებების მიღება

პროპორციები ისეთი ნაცნობი კომბინაციაა, რომელიც ალბათ ცნობილია ყოვლისმომცველი სკოლის დაწყებითი კლასებიდან. ყველაზე ზოგადი გაგებით, პროპორცია არის ორი ან მეტი თანაფარდობის ტოლობა.

ანუ, თუ არის რამდენიმე რიცხვი A, B და C

შემდეგ პროპორცია

თუ ოთხი რიცხვია A, B, C და D

ან ასევე არის პროპორცია

პროპორციის გამოყენების უმარტივესი მაგალითია პროცენტების გაანგარიშება.

ზოგადად, პროპორციების გამოყენება იმდენად ფართოა, რომ უფრო ადვილია იმის თქმა, თუ სად არ გამოიყენება.

პროპორციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას მანძილების, მასების, მოცულობების, ისევე როგორც ნებისმიერი ნივთის რაოდენობის დასადგენად, ერთი მნიშვნელოვანი პირობით: პროპორციულად, უნდა არსებობდეს ხაზოვანი დამოკიდებულებები სხვადასხვა ობიექტებს შორის. ქვემოთ, ბრინჯაოს მხედრის განლაგების აგების მაგალითის გამოყენებით, ნახავთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ პროპორციები, სადაც არის არაწრფივი დამოკიდებულებები.

დაადგინეთ რამდენი კილოგრამი იქნება ბრინჯი, თუ აიღებთ 150 კილოგრამიანი ბრინჯის მთლიანი მოცულობის 17 პროცენტს?

მოდით სიტყვებით გავაკეთოთ პროპორცია: 150 კილოგრამი არის ბრინჯის მთლიანი მოცულობა. ასე რომ, ავიღოთ როგორც 100%. შემდეგ 100%-დან 17% გამოითვლება ორი თანაფარდობის პროპორციულად: 100 პროცენტი 150 კილოგრამამდე იგივეა, რაც 17 პროცენტი უცნობი რიცხვისთვის.

ახლა უცნობი რიცხვი გამოითვლება ელემენტარულად

ანუ ჩვენი პასუხია 25,5 კილოგრამი ბრინჯი.

ასევე არის პროპორციებთან დაკავშირებული საინტერესო საიდუმლოებები, რომლებიც აჩვენებს, რომ არ არის აუცილებელი ყველა შემთხვევისთვის პროპორციების ნაჩქარევად გამოყენება.

აქ არის ერთი მათგანი, ოდნავ შეცვლილი:

კომპანიის ოფისში დემონსტრირებისთვის დირექტორმა უბრძანა ქანდაკების „ბრინჯაოს მხედრის“ მოდელის შექმნა გრანიტის კვარცხლბეკის გარეშე. ერთ-ერთი პირობაა, რომ მაკეტი დამზადდეს იგივე მასალით, როგორც ორიგინალი, დაცული იყოს პროპორციები და მაკეტის სიმაღლე იყოს ზუსტად 1 მეტრი. კითხვა: როგორი იქნება განლაგების წონა?

დავიწყოთ საცნობარო წიგნებით.

მხედრის სიმაღლე 5,35 მეტრია, წონა კი 8000 კგ.

თუ პირველივე აზრს გამოვიყენებთ - პროპორციის გასაკეთებლად: 5,35 მეტრი დაკავშირებულია 8000 კილოგრამთან, როგორც 1 მეტრი უცნობი სიდიდით, მაშინ შეიძლება არც კი დავიწყოთ გამოთვლა, რადგან პასუხი არასწორი იქნება.

ეს ყველაფერი ეხება მცირე ნიუანსს, რომელიც გასათვალისწინებელია. ეს ყველაფერი კავშირზეა მასასა და სიმაღლეს შორისქანდაკებები არაწრფივი, ანუ არ შეიძლება ითქვას, რომ მაგალითად, კუბის 1 მეტრით გაზრდით (პროპორციების დაკვირვება ისე, რომ ის კუბებად დარჩეს), მის წონას იმავე რაოდენობით გავზრდით.

ამის შემოწმება მარტივია მაგალითებით:

1. წებოს კუბიკი 10 სანტიმეტრის კიდის სიგრძით. რამდენი წყალი ჩავა იქ? ლოგიკურია, რომ 10 * 10 * 10 \u003d 1000 კუბური სანტიმეტრი, ანუ 1 ლიტრი. კარგი, რადგან იქ წყალი დაასხეს (სიმკვრივე უდრის ერთს), და არა სხვა სითხე, მაშინ მასა 1 კგ-ის ტოლი იქნება.

2. წებოთი მსგავსი კუბიკი მაგრამ ნეკნის სიგრძით 20 სმ. მასში ჩასხმული წყლის მოცულობა იქნება 20 * 20 * 20 = 8000 კუბური სანტიმეტრი, ანუ 8 ლიტრი. ისე, წონა ბუნებრივად არის 8 კგ.

ადვილი მისახვედრია, რომ მასასა და კუბის კიდის სიგრძის ცვლილებას შორის კავშირი არაწრფივი, უფრო სწორად კუბურია.

შეგახსენებთ, რომ მოცულობა არის სიმაღლის, სიგანისა და სიღრმის ნამრავლი.

ანუ, როდესაც ფიგურა იცვლება (პროპორციების / ფორმის მიხედვით) ხაზოვანი ზომის (სიმაღლე, სიგანე, სიღრმე), სამგანზომილებიანი ფიგურის მასა / მოცულობა იცვლება კუბურად.

ჩვენ ვკამათობთ:

ჩვენი წრფივი განზომილება შეიცვალა 5,35 მეტრიდან 1 მეტრამდე, შემდეგ მასა (მოცულობა) შეიცვლება როგორც კუბის ფესვი 8000/x.

და მიიღეთ ეს განლაგება ბრინჯაოს მხედარიკომპანიის ოფისში 1 მეტრი სიმაღლით 52 კილოგრამი 243 გრამს იწონის.

მაგრამ მეორეს მხრივ, თუ დავალება ასე დაისვა " განლაგება უნდა შესრულდეს იმავე მასალისგან, როგორც ორიგინალი, პროპორციები და მოცულობა 1 კუბური მეტრი ”მაშინ იმის ცოდნა, რომ არსებობს წრფივი კავშირი მოცულობასა და მასას შორის, ჩვენ უბრალოდ გამოვიყენებდით სტანდარტულ თანაფარდობას, ძველ მოცულობას ახალთან და ძველ მასას უცნობ რიცხვთან.

მაგრამ ჩვენი ბოტი ეხმარება პროპორციების გამოთვლას სხვა, უფრო გავრცელებულ და პრაქტიკულ შემთხვევებში.

რა თქმა უნდა, გამოადგება ყველა დიასახლისს, რომელიც საჭმელს ამზადებს.

წარმოიქმნება სიტუაციები, როდესაც ნაპოვნია 10 კგ-იანი საოცარი ნამცხვრის რეცეპტი, მაგრამ მისი მოცულობა ძალიან დიდია მოსამზადებლად.. მე მინდა, რომ უფრო პატარა იყოს, მაგალითად, მხოლოდ ორი კილოგრამი, მაგრამ როგორ გამოვთვალოთ ყველა ახალი წონა და ინგრედიენტების მოცულობა?

სწორედ აქ დაგეხმარებათ ბოტი, რომელიც 2 კილოგრამიანი ტორტის ახალი პარამეტრების გამოთვლას შეძლებს.

ასევე, ბოტი დაეხმარება შრომისმოყვარე მამაკაცების გამოთვლებში, რომლებიც აშენებენ სახლს და მათ უნდა გამოთვალონ რამდენი კონკრეტული ინგრედიენტი უნდა მიიღონ, თუ მათ აქვთ მხოლოდ 50 კილოგრამი ქვიშა.

Სინტაქსი

XMPP კლიენტის მომხმარებლებისთვის: პრო<строка>

სადაც სტრიქონს აქვს საჭირო ელემენტები

ნომერი1 / ნომერი2 - პროპორციის პოვნა.

იმისათვის, რომ არ შეგეშინდეთ ასეთი მოკლე აღწერილობის, ჩვენ აქ მაგალითს ვაძლევთ.

200 300 100 3 400/100

რომელიც ამბობს, მაგალითად, შემდეგს:

200 გრამი ფქვილი, 300 მილილიტრი რძე, 100 გრამი კარაქი, 3 კვერცხი - ბლინების მოსავლიანობა 400 გრამია.

რამდენი ინგრედიენტი უნდა მიიღოთ მხოლოდ 100 გრამი ბლინების გამოსაცხობად?

რა ადვილი შესამჩნევია

400/100 არის ტიპიური რეცეპტის თანაფარდობა ჩვენ სასურველ მოსავალთან.

მაგალითებს უფრო დეტალურად განვიხილავთ შესაბამის განყოფილებაში.

მაგალითები

მეგობარმა გააზიარა შესანიშნავი რეცეპტი

ცომი: 200 გრამი ყაყაჩოს თესლი, 8 კვერცხი, 200 პური შაქარი, 50 გრამი გახეხილი რულეტი, 200 გრამი მიწის თხილი, 3 ჭიქა თაფლი.
ყაყაჩო ადუღეთ 30 წუთის განმავლობაში დაბალ ცეცხლზე, გახეხეთ ბუშტით, დაუმატეთ გამდნარი თაფლი, დაფქული კრეკერი, თხილი.
კვერცხები ავთქვიფოთ შაქრის ფხვნილთან ერთად, დავუმატოთ მასას.
ნაზად აურიეთ ცომი, ჩაასხით ფორმაში, გამოაცხვეთ.
გაცივებული ნამცხვარი დავჭრათ 2 ფენად, მოვასხათ მჟავე ჯემი, შემდეგ კრემით.
მორთეთ ჯემი კენკრით.
კრემი: 1 ჭიქა არაჟანი, 1/2 ჭიქა შაქარი, ავთქვიფოთ.

თანაფარდობა (მათემატიკაში) არის ურთიერთობა ერთი და იგივე ტიპის ორ ან მეტ რიცხვს შორის. თანაფარდობა ადარებს აბსოლუტურ მნიშვნელობებს ან მთლიანის ნაწილებს. კოეფიციენტები გამოითვლება და იწერება სხვადასხვა გზით, მაგრამ ძირითადი პრინციპები ერთნაირია ყველა თანაფარდობისთვის.

ნაბიჯები

Ნაწილი 1

კოეფიციენტების განმარტება

კოეფიციენტების გამოყენება.კოეფიციენტები გამოიყენება როგორც მეცნიერებაში, ასევე ყოველდღიურ ცხოვრებაში რაოდენობების შესადარებლად. უმარტივესი კოეფიციენტები ეხება მხოლოდ ორ რიცხვს, მაგრამ არის კოეფიციენტები, რომლებიც ადარებენ სამ ან მეტ მნიშვნელობას. ნებისმიერ სიტუაციაში, რომელშიც არის ერთზე მეტი რაოდენობა, შეიძლება დაიწეროს თანაფარდობა. ზოგიერთი მნიშვნელობის დაკავშირებით, კოეფიციენტებმა შეიძლება მიგვანიშნოს, თუ როგორ უნდა გაიზარდოს ინგრედიენტების რაოდენობა რეცეპტში ან ნივთიერებების რაოდენობა ქიმიურ რეაქციაში.

კოეფიციენტების განმარტება.ურთიერთობა არის ურთიერთობა ორ (ან მეტ) ერთსა და იმავე სახის ღირებულებას შორის. მაგალითად, თუ ნამცხვრისთვის საჭიროა 2 ჭიქა ფქვილი და 1 ჭიქა შაქარი, მაშინ ფქვილის და შაქრის თანაფარდობა არის 2-დან 1-მდე.
- თანაფარდობები ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც ორი რაოდენობა ერთმანეთთან არ არის დაკავშირებული (როგორც ტორტის მაგალითში). მაგალითად, თუ კლასში არის 5 გოგონა და 10 ბიჭი, მაშინ გოგოებისა და ბიჭების თანაფარდობა არის 5-დან 10-მდე. მათი ღირებულებები შეიცვლება, თუ ვინმე დატოვებს კლასს ან ახალი სტუდენტი მოვა კლასში. კოეფიციენტები უბრალოდ ადარებენ რაოდენობების მნიშვნელობებს.
ყურადღება მიაქციეთ თანაფარდობების სხვადასხვა გზებს.ურთიერთობები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სიტყვებით ან მათემატიკური სიმბოლოებით.
- ძალიან ხშირად კოეფიციენტები გამოხატულია სიტყვებით (როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები). თანაფარდობების წარმოდგენის განსაკუთრებით ეს ფორმა გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში, მეცნიერებისგან შორს.
- ასევე, თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს მსხვილი ნაწლავის საშუალებით. თანაფარდობით ორი რიცხვის შედარებისას გამოიყენებთ ერთ ორ წერტილს (მაგალითად, 7:13); სამი ან მეტი მნიშვნელობის შედარებისას, ჩადეთ ორწერტილი თითოეულ წყვილ რიცხვს შორის (მაგალითად, 10:2:23). ჩვენი კლასის მაგალითში შეგიძლიათ გამოთქვათ გოგოებისა და ბიჭების თანაფარდობა ასე: 5 გოგო: 10 ბიჭი. ან ასე: 5:10.
- ნაკლებად ხშირად, კოეფიციენტები გამოიხატება ხაზის გამოყენებით. კლასის მაგალითში შეიძლება დაიწეროს ასე: 5/10. მიუხედავად ამისა, ეს არ არის წილადი და ასეთი თანაფარდობა არ იკითხება წილადად; უფრო მეტიც, გახსოვდეთ, რომ თანაფარდობით რიცხვები არ არის ერთი მთლიანის ნაწილი.
Მე -2 ნაწილი
კოეფიციენტების გამოყენება
1. გაამარტივეთ თანაფარდობა.თანაფარდობა შეიძლება გამარტივდეს (წილადების მსგავსად) თანაფარდობის თითოეული წევრის (რიცხვის) გაყოფით. თუმცა, არ დაკარგოთ თავდაპირველი თანაფარდობის მნიშვნელობები.
  - ჩვენს მაგალითში კლასში არის 5 გოგონა და 10 ბიჭი; თანაფარდობა არის 5:10. თანაფარდობის ტერმინების უდიდესი საერთო გამყოფი არის 5 (რადგან 5 და 10 იყოფა 5-ზე). თითოეული თანაფარდობის რიცხვი გაყავით 5-ზე, რათა მიიღოთ თანაფარდობა 1 გოგო 2 ბიჭთან (ან 1:2). ამასთან, თანაფარდობის გამარტივებისას, გაითვალისწინეთ ორიგინალური მნიშვნელობები. ჩვენს მაგალითში კლასში არის არა 3 მოსწავლე, არამედ 15. გამარტივებული თანაფარდობა ადარებს ბიჭების და გოგონების რაოდენობას. ანუ ყველა გოგოზე 2 ბიჭია, მაგრამ კლასში არ არის 2 ბიჭი და 1 გოგო.
  - ზოგიერთი ურთიერთობა არ არის გამარტივებული. მაგალითად, თანაფარდობა 3:56 არ არის გამარტივებული, რადგან ამ რიცხვებს არ აქვთ საერთო გამყოფები (3 არის მარტივი რიცხვი, ხოლო 56 არ იყოფა 3-ზე).
2. გამოიყენეთ გამრავლება ან გაყოფა თანაფარდობის გასაზრდელად ან შესამცირებლად.საერთო პრობლემაა ორი მნიშვნელობის გაზრდა ან შემცირება, რომლებიც ერთმანეთის პროპორციულია. თუ თქვენ მოგეცემათ თანაფარდობა და უნდა იპოვოთ უფრო დიდი ან პატარა თანაფარდობა, რომელიც შეესაბამება მას, გაამრავლეთ ან გაყავით თავდაპირველი თანაფარდობა მოცემულ რიცხვზე.
  - მაგალითად, მცხობელს სჭირდება რეცეპტში მოცემული ინგრედიენტების რაოდენობა გასამმაგდეს. თუ რეცეპტში ნათქვამია, რომ ფქვილისა და შაქრის თანაფარდობა არის 2:1 (2:1), მაშინ მცხობელი გაამრავლებს თითოეულ წევრს 3-ზე, რათა მიიღოთ თანაფარდობა 6:3 (6 ჭიქა ფქვილი 3 ჭიქა შაქარი).
  - მეორეს მხრივ, თუ მცხობელს სჭირდება რეცეპტში მოცემული ინგრედიენტების რაოდენობის განახევრება, მაშინ მცხობელი გაყოფს თითოეულ თანაფარდობას 2-ზე და მიიღებს თანაფარდობას 1:½ (1 ჭიქა ფქვილი 1/2 ჭიქა შაქარი).
3. მოძებნეთ უცნობი მნიშვნელობა, როდესაც მოცემულია ორი ექვივალენტი თანაფარდობა.ეს არის პრობლემა, რომელშიც თქვენ უნდა იპოვოთ უცნობი ცვლადი ერთ მიმართებაში მეორე მიმართების გამოყენებით, რომელიც პირველის ექვივალენტურია. ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად გამოიყენეთ. დაწერეთ თითოეული თანაფარდობა წილადად, ჩადეთ მათ შორის ტოლობის ნიშანი და გაამრავლეთ მათი წევრები ჯვარედინად.
  - მაგალითად, მოცემულია მოსწავლეთა ჯგუფი, რომელშიც არის 2 ბიჭი და 5 გოგონა. რამდენი იქნება ბიჭების რაოდენობა, თუ გოგონების რაოდენობა 20-მდე გაიზრდება (პროპორცია დაცულია)? ჯერ დაწერეთ ორი თანაფარდობა - 2 ბიჭი:5 გოგო და Xბიჭები: 20 გოგო. ახლა ჩაწერეთ ეს თანაფარდობები წილადებად: 2/5 და x/20. გაამრავლეთ წილადების პირები ჯვარედინად და მიიღეთ 5x = 40; აქედან გამომდინარე x = 40/5 = 8.
ნაწილი 3
საერთო შეცდომები
1. მოერიდეთ შეკრებას და გამოკლებას ტექსტის თანაფარდობის პრობლემებში.ბევრი სიტყვის პრობლემა ასე გამოიყურება: „რეცეპტი ითვალისწინებს 4 კარტოფილის ტუბერს და 5 ძირიან სტაფილოს. თუ გსურთ დაამატოთ 8 კარტოფილი, რამდენი სტაფილო გჭირდებათ, რომ თანაფარდობა იგივე იყოს?” ასეთი ამოცანების გადაჭრისას მოსწავლეები ხშირად უშვებენ შეცდომას და ორიგინალურ რიცხვს უმატებენ იგივე რაოდენობის ინგრედიენტებს. თუმცა, თანაფარდობის შესანარჩუნებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ გამრავლება. აქ მოცემულია სწორი და არასწორი გადაწყვეტილებების მაგალითები:
  - არასწორია: „8 - 4 = 4 - ასე დავამატეთ 4 კარტოფილის ტუბერი. ასე რომ, თქვენ უნდა აიღოთ სტაფილოს 5 ძირი და დაუმატოთ მათ კიდევ 4... გაჩერდით! კოეფიციენტები ასე არ მუშაობს. ღირს ხელახლა ცდა."
  - სწორია: „8 ÷ 4 = 2 - ასე გავამრავლეთ კარტოფილის რაოდენობა 2-ზე. შესაბამისად, სტაფილოს 5 ძირიც უნდა გამრავლდეს 2-ზე. რეცეპტს უნდა დაემატოს 5 x 2 = 10 - 10 სტაფილოს ძირი“.

საფუძველიმათემატიკური კვლევა არის უნარი მოიპოვო ცოდნა გარკვეული სიდიდეების შესახებ მათი სხვა სიდიდეებთან შედარების გზით, რომლებიც ან თანაბარი, ან მეტიან ნაკლებივიდრე ისინი, რომლებიც კვლევის საგანია. ეს ჩვეულებრივ კეთდება სერიებით განტოლებებიდა პროპორციები. როდესაც განტოლებებს ვიყენებთ, ჩვენ ვადგენთ რაოდენობას, რომელსაც ვეძებთ მისი პოვნის გზით თანასწორობასხვა უკვე ნაცნობი რაოდენობით ან რაოდენობით.

თუმცა, ხშირად ხდება, რომ ჩვენ ვადარებთ უცნობ რაოდენობას სხვებთან არ უდრისმისი, მაგრამ მეტ-ნაკლებად მისი. აქ ჩვენ გვჭირდება განსხვავებული მიდგომა მონაცემთა დამუშავების მიმართ. შეიძლება დაგვჭირდეს ვიცოდეთ, მაგალითად, რამდენიერთი მნიშვნელობა მეტია მეორეზე, ან რამდენჯერერთი შეიცავს მეორეს. ამ კითხვებზე პასუხების მოსაძებნად, ჩვენ გავარკვევთ რა არის თანაფარდობაორი ზომა. ერთი თანაფარდობა ეწოდება არითმეტიკადა სხვა გეომეტრიული. თუმცა აღსანიშნავია, რომ ორივე ეს ტერმინი შემთხვევით ან უბრალოდ გამორჩევის მიზნით არ იქნა მიღებული. ორივე არითმეტიკული და გეომეტრიული მიმართებები ეხება როგორც არითმეტიკას, ასევე გეომეტრიას.

როგორც დიდი და მნიშვნელოვანი საგნის კომპონენტი, პროპორცია დამოკიდებულია თანაფარდობებზე, ამიტომ აუცილებელია ამ ცნებების ნათელი და სრული გაგება.

338. არითმეტიკული თანაფარდობა ეს არის განსხვავებაორ რაოდენობას შორის ან რაოდენობათა სერიას შორის. თავად რაოდენობები ე.წ წევრებიკოეფიციენტები, ანუ ტერმინები, რომელთა შორის არის თანაფარდობა. ამრიგად, 2 არის 5-ისა და 3-ის არითმეტიკული თანაფარდობა. ეს გამოიხატება მინუს ნიშნის მოთავსებით ორ მნიშვნელობას შორის, ანუ 5 - 3. რა თქმა უნდა, ტერმინი არითმეტიკული თანაფარდობა და მისი განლაგება პრაქტიკულად უსარგებლოა, რადგან მხოლოდ სიტყვაა ჩანაცვლებული. განსხვავებაგამონათქვამში მინუს ნიშანამდე.

339. თუ არითმეტიკული მიმართების ორივე წევრი გამრავლებაან გაყოფამაშინ იმავე რაოდენობით თანაფარდობა,საბოლოოდ გამრავლდება ან გაიყოფა ამ რაოდენობაზე.
ამრიგად, თუ გვაქვს a - b = r
შემდეგ გავამრავლოთ ორივე მხარე h-ზე, (Ax. 3.) ha - hb = hr
და გაყოფა h-ზე, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. თუ არითმეტიკული თანაფარდობის წევრებს ემატება ან გამოაკლებს მეორის შესაბამის წევრებს, მაშინ ჯამის ან სხვაობის შეფარდება ტოლი იქნება ორი შეფარდების ჯამის ან სხვაობის ტოლი.
თუ ა - ბ
და დ-თ
არის ორი თანაფარდობა,
შემდეგ (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). რომელიც თითოეულ შემთხვევაში = a + d - b - h.
და (ა - დ) - (ბ - თ) = (ა - ბ) - (დ - თ). რომელიც თითოეულ შემთხვევაში = a - d - b + h.
ასე რომ, არითმეტიკული თანაფარდობა 11-4 არის 7
ხოლო არითმეტიკული თანაფარდობა 5 - 2 არის 3
16 - 6 წევრთა ჯამის შეფარდება არის 10, - შეფარდებათა ჯამი.
6 - 2 წევრების სხვაობის შეფარდება არის 4, - შეფარდებათა სხვაობა.

341. გეომეტრიული თანაფარდობა არის სიდიდეებს შორის ურთიერთობა, რომელიც გამოიხატება პირადითუ ერთი მნიშვნელობა იყოფა მეორეზე.
ასე რომ, 8-ის თანაფარდობა 4-ის შეფარდება შეიძლება დაიწეროს როგორც 8/4 ან 2. ანუ 8-ის კოეფიციენტი გაყოფილი 4-ზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის აჩვენებს რამდენჯერ შეიცავს 4-ს 8-ში.

ანალოგიურად, ნებისმიერი სიდიდის შეფარდება მეორესთან შეიძლება განისაზღვროს პირველის მეორეზე გაყოფით, ან, რაც ძირითადად იგივეა, პირველი წილადის მრიცხველად, ხოლო მეორეს მნიშვნელად გადაქცევით.
ასე რომ, a-სა და b-ის შეფარდება არის $\frac(a)(b)$
d + h b + c-ის შეფარდება არის $\frac(d+h)(b+c)$.

342. გეომეტრიული თანაფარდობა ასევე იწერება შედარებულ სიდიდეებს შორის ორი წერტილის ერთმანეთის ზემოთ მოთავსებით.
ამრიგად, a:b არის a-ს და b-ის შეფარდება, ხოლო 12:4 არის 12-დან 4-ის თანაფარდობა. ორი სიდიდე ერთად ყალიბდება წყვილი, რომელშიც პირველი ტერმინი ე.წ წინამორბედიდა ბოლო არის თანმიმდევრული.

343. ეს წერტილიანი აღნიშვნა და მეორე, წილადის სახით, ურთიერთშემცვლელნი არიან საჭიროებისამებრ, წინამორბედი ხდება წილადის მრიცხველი და შესაბამისად მნიშვნელი.
ასე რომ, 10:5 არის იგივე, რაც $\frac(10)(5)$ და b:d იგივეა, რაც $\frac(b)(d)$.

344. თუ რომელიმე ამ სამი მნიშვნელობიდან: წინამორბედი, თანმიმდევრული და მიმართება მოცემულია რომელიმე ორი, მაშინ მესამე შეიძლება მოიძებნოს.

მოდით a= წინამორბედი, c= თანმიმდევრული, r= მიმართება.
განმარტებით, $r=\frac(a)(c)$, ანუ თანაფარდობა უდრის წინამორბედს გაყოფილი თანმიმდევრობაზე.
გამრავლება c-ზე, a = cr, ანუ წინამორბედი უდრის თანაფარდობის თანმიმდევრულ გამრავლებას.
გავყოთ r-ზე, $c=\frac(a)(r)$-ზე, ანუ თანმიმდევრობა უდრის წინამორბედს გაყოფილი თანაფარდობაზე.

რეპ. 1. თუ ორ წყვილს აქვს ტოლი წინამორბედი და თანმიმდევრობა, მაშინ მათი თანაფარდობებიც ტოლია.

რეპ. 2. თუ ორი წყვილის თანაფარდობები და წინამორბედები ტოლია, მაშინ თანმიმდევრობა ტოლია, ხოლო თუ თანაფარდობა და თანმიმდევრობა ტოლია, მაშინ წინამორბედები ტოლია.

345. თუ ორი შედარებული რაოდენობა თანაბარი, მაშინ მათი თანაფარდობა უდრის ერთიანობას ან თანასწორობას. თანაფარდობა 3 * 6:18 უდრის ერთს, რადგან ნებისმიერი მნიშვნელობის კოეფიციენტი გაყოფილი თავის თავზე უდრის 1-ს.

თუ წყვილის წინამორბედი მეტი,ვიდრე შესაბამისად, მაშინ თანაფარდობა ერთზე მეტია. ვინაიდან დივიდენდი გამყოფზე მეტია, კოეფიციენტი ერთზე მეტია. ასე რომ, 18:6 შეფარდება არის 3. ამას ჰქვია თანაფარდობა უფრო დიდი უთანასწორობა.

მეორე მხრივ, თუ წინამორბედი ნაკლებივიდრე შესაბამისად, მაშინ თანაფარდობა ერთზე ნაკლებია და ამას თანაფარდობა ჰქვია ნაკლები უთანასწორობა. ასე რომ, თანაფარდობა 2:3 არის ერთზე ნაკლები, რადგან დივიდენდი ნაკლებია გამყოფზე.

346. უკუთანაფარდობა არის ორი ორმხრივი თანაფარდობა.
ასე რომ, 6-დან 3-ის ინვერსიის შეფარდება არის, ანუ:.
a-ს პირდაპირი მიმართება b არის $\frac(a)(b)$, ანუ წინამორბედი გაყოფილი თანმიმდევრობაზე.
შებრუნებული მიმართებაა $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ ან $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (ა)$.
ანუ b თანმიმდევრობა გაყოფილი a წინამორბედზე.

აქედან გამომდინარე, გამოიხატება შებრუნებული მიმართება წილადის შებრუნებით, რომელიც აჩვენებს პირდაპირ კავშირს, ან როცა აღნიშვნა კეთდება წერტილების გამოყენებით, წევრების წერის თანმიმდევრობის შებრუნება.
ამგვარად a უკავშირდება b-ს საპირისპიროდ, როგორც b დაკავშირებულია a-სთან.

347. კომპლექსური თანაფარდობაეს თანაფარდობა მუშაობსშესაბამისი ტერმინები ორი ან მეტი მარტივი მიმართებით.
ასე რომ, თანაფარდობა არის 6:3, უდრის 2-ს
და თანაფარდობა 12:4 უდრის 3-ს
მათგან შედგენილი თანაფარდობაა 72:12 = 6.

აქ რთული მიმართება მიიღება ორი წინამორბედის და ასევე მარტივი მიმართების ორი თანმიმდევრობის გამრავლებით.
ასე რომ, თანაფარდობა შედგენილია
ა:ბ თანაფარდობიდან
და c:d თანაფარდობა
და თანაფარდობა h:y
ეს არის $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$ თანაფარდობა.
რთული ურთიერთობა არ განსხვავდება თავისით ბუნებანებისმიერი სხვა თანაფარდობიდან. ეს ტერმინი გამოიყენება გარკვეულ შემთხვევებში ურთიერთობის წარმოშობის საჩვენებლად.

რეპ. რთული თანაფარდობა უდრის მარტივი შეფარდების ნამრავლს.
თანაფარდობა a:b უდრის $\frac(a)(b)$-ს
თანაფარდობა c:d უდრის $\frac(c)(d)$
h:y თანაფარდობა $\frac(h)(y)$-ის ტოლია
და ამ სამს დამატებული თანაფარდობა იქნება ach/bdy, რომელიც არის წილადების ნამრავლი, რომლებიც გამოხატავენ მარტივ შეფარდებას.

348. თუ ყოველ წინა წყვილში მიმართებათა მიმდევრობაში თანმიმდევრობა არის წინამორბედი მომდევნოში, მაშინ პირველი წინამორბედისა და ბოლო შედეგის თანაფარდობა უდრის შუალედური შეფარდებით მიღებულს.
ასე რომ, რიგი თანაფარდობით
ა:ბ
ბ:გ
გ:დ
დ:თ
თანაფარდობა a:h უდრის შეფარდებას, რომელიც ჯამდება a:b და b:c და c:d და d:h შეფარდებით. ასე რომ, ბოლო სტატიაში რთული მიმართებაა $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, ან a:h.

ანალოგიურად, ყველა სიდიდე, რომელიც არის როგორც წინამორბედი, ასევე შედეგი გაქრება, როდესაც წილადების ნამრავლი გამარტივებულია მის ქვედა ნაწილებამდე და დანარჩენში კომპლექსური მიმართება გამოისახება პირველი წინამორბედით და უკანასკნელი თანმიმდევრობით.

349. რთული მიმართებების განსაკუთრებული კლასი მიიღება მარტივი მიმართების გამრავლებით თავადან სხვას თანაბარითანაფარდობა. ამ კოეფიციენტებს ე.წ ორმაგი, სამმაგი, ოთხმაგიდა ასე შემდეგ, გამრავლების რაოდენობის მიხედვით.

თანაფარდობა შედგება ორითანაბარი პროპორციებით, ანუ კვადრატი ორმაგითანაფარდობა.

შედგება სამი, ანუ კუბიმარტივი თანაფარდობა ეწოდება სამმაგი, და ასე შემდეგ.

ანალოგიურად, თანაფარდობა კვადრატული ფესვებიორ რაოდენობას თანაფარდობა ეწოდება კვადრატული ფესვიდა თანაფარდობა კუბის ფესვები- თანაფარდობა კუბის ფესვი, და ასე შემდეგ.
ასე რომ, a-სა და b-ის მარტივი შეფარდება არის a:b
a-სა და b-ის ორმაგი შეფარდება არის 2:b 2
a-სა და b-ის სამმაგი შეფარდება არის 3:b 3
a-სა და b-ის კვადრატული ფესვის შეფარდება არის √a :√b
a-სა და b-ის კუბური ფესვის შეფარდება არის 3 √a : 3 √b და ა.შ.
Ვადები ორმაგი, სამმაგი, და ასე შემდეგ არ არის საჭირო შერევა გაორმაგდა, გასამმაგდა, და ასე შემდეგ.
6-დან 2-ის თანაფარდობა არის 6:2 = 3
თუ გავაორმაგებთ ამ თანაფარდობას, ანუ თანაფარდობას ორჯერ, მივიღებთ 12:2 = 6
ჩვენ გავამმაგებთ ამ თანაფარდობას, ანუ ამ თანაფარდობას სამჯერ, მივიღებთ 18: 2 = 9.
მაგრამ ორმაგითანაფარდობა, ანუ კვადრატითანაფარდობა არის 6 2:2 2 = 9
და სამმაგითანაფარდობა, ანუ თანაფარდობის კუბი, არის 6 3:2 3 = 27

350. იმისათვის, რომ რაოდენობები ერთმანეთთან კორელაციაში იყოს, ისინი უნდა იყვნენ ერთნაირი, რათა დარწმუნებით დადგინდეს, ტოლია თუ არა ისინი ერთმანეთის, თუ ერთი მათგანი დიდია თუ ნაკლები. ფეხი არის 12-დან 1 ინჩამდე: ის 12-ჯერ დიდია ვიდრე ინჩი. მაგრამ, მაგალითად, არ შეიძლება ითქვას, რომ ერთი საათი ჯოხზე გრძელი ან მოკლეა, ან ჰექტარი გრადუსზე დიდი ან ნაკლებია. თუმცა, თუ ეს მნიშვნელობები გამოიხატება ნომრები, მაშინ შეიძლება არსებობდეს კავშირი ამ რიცხვებს შორის. ანუ შეიძლება არსებობდეს კავშირი საათში წუთების რაოდენობასა და ნაბიჯების რაოდენობას შორის ერთ მილში.

351. მოქცევა ბუნებაკოეფიციენტები, შემდეგი ნაბიჯი, რომელიც უნდა გავითვალისწინოთ არის ის, თუ როგორ იმოქმედებს ცვლილება ერთ ან ორ ტერმინში, რომლებიც შედარებულია ერთმანეთთან. შეგახსენებთ, რომ პირდაპირი თანაფარდობა გამოიხატება წილადის სახით, სადაც წინამორბედიწყვილები ყოველთვის არიან მრიცხველი, ა შესაბამისად - მნიშვნელი. მაშინ წილადების თვისებიდან ადვილი იქნება იმის დადგენა, რომ თანაფარდობის ცვლილებები ხდება შედარებული რაოდენობების ცვლილებით. ორი რაოდენობის თანაფარდობა იგივეა, რაც მნიშვნელობაწილადები, რომელთაგან თითოეული წარმოადგენს კერძო: მრიცხველი გაყოფილი მნიშვნელზე. (მუხ. 341.) ახლა ნაჩვენებია, რომ წილადის მრიცხველის გამრავლება ნებისმიერ მნიშვნელობაზე იგივეა, რაც გამრავლება. მნიშვნელობაიგივე რაოდენობით და რომ მრიცხველის გაყოფა იგივეა, რაც წილადის მნიშვნელობების გაყოფა. Ამიტომაც,

352. წყვილის წინამორბედის გამრავლება ნებისმიერ მნიშვნელობაზე ნიშნავს თანაფარდობების ამ მნიშვნელობაზე გამრავლებას, ხოლო წინამორბედის გაყოფა ნიშნავს ამ თანაფარდობის გაყოფას..
ასე რომ, 6:2 თანაფარდობა არის 3
და 24:2 თანაფარდობა არის 12.
აქ წინამორბედი და თანაფარდობა ბოლო წყვილში 4-ჯერ მეტია, ვიდრე პირველში.
მიმართება a:b უდრის $\frac(a)(b)$-ს
ხოლო მიმართება na:b უდრის $\frac(na)(b)$-ს.

რეპ. ცნობილი შედეგით, მით უფრო წინამორბედი, უფრო თანაფარდობადა პირიქით, რაც უფრო დიდია თანაფარდობა, მით უფრო დიდია წინამორბედი.

353. წყვილის თანმიმდევრობის გამრავლებით ნებისმიერ მნიშვნელობაზე, შედეგად მივიღებთ თანაფარდობის გაყოფას ამ სიდიდეზე, ხოლო შედეგის გაყოფით ვამრავლებთ თანაფარდობას.წილადის მნიშვნელის გამრავლებით ვყოფთ მნიშვნელობას, ხოლო მნიშვნელის გაყოფით მნიშვნელობა მრავლდება.
ასე რომ, 12:2 თანაფარდობა არის 6
და 12:4 თანაფარდობა არის 3.
აქ არის მეორე წყვილის შედეგი ორჯერმეტი, მაგრამ თანაფარდობა ორჯერპირველზე ნაკლები.
თანაფარდობა a:b არის $\frac(a)(b)$
და თანაფარდობა a:nb უდრის $\frac(a)(nb)$.

რეპ. მოცემული წინამორბედისთვის, რაც უფრო დიდია შედეგი, მით უფრო მცირეა თანაფარდობა. პირიქით, რაც უფრო დიდია თანაფარდობა, მით უფრო მცირეა შედეგი.

354. ბოლო ორი მუხლიდან გამომდინარეობს, რომ გამრავლების წინამორბედიწყვილებს ნებისმიერი მნიშვნელობით ექნება იგივე გავლენა თანაფარდობაზე, როგორც დაყოფა შედეგადამ თანხით და წინამორბედი დაყოფა, ექნება იგივე ეფექტი, რაც თანმიმდევრული გამრავლება.
ასე რომ, 8:4 თანაფარდობა არის 2
წინამორბედის 2-ზე გამრავლებით, 16:4 შეფარდება არის 4
წინამორბედის 2-ზე გაყოფით, 8:2 თანაფარდობა არის 4.

რეპ. ნებისმიერი ფაქტორიან გამყოფიშეიძლება გადავიდეს წყვილის წინამორბედიდან თანმდევზე, ან თანმდევიდან წინამორბედზე, მიმართების შეცვლის გარეშე.

აღსანიშნავია, რომ როდესაც კოეფიციენტი ასე გადადის ერთი ტერმინიდან მეორეზე, მაშინ ის ხდება გამყოფი, ხოლო გადატანილი გამყოფი ხდება ფაქტორი.
ასე რომ, თანაფარდობა არის 3.6:9 = 2
3 ფაქტორის გადანაცვლება, $6:\frac(9)(3)=2$
იგივე თანაფარდობა.

მიმართება $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
გადაადგილება y $ma:by=\frac(ma)(by)$
მოძრავი m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. როგორც მუხლებიდან ჩანს. 352 და 353, თუ წინამორბედი და შედეგი ორივე გამრავლებულია ან იყოფა ერთსა და იმავე ოდენობით, მაშინ თანაფარდობა არ იცვლება.

რეპ. 1. შეფარდება ორი წილადები, რომლებსაც აქვთ საერთო მნიშვნელი, იგივე რაც მათი თანაფარდობა მრიცხველები.
ამრიგად, თანაფარდობა a/n:b/n იგივეა, რაც a:b.

რეპ. 2. პირდაპირიორი წილადის შეფარდება, რომლებსაც აქვთ საერთო მრიცხველი, უდრის მათ საპასუხო შეფარდებას მნიშვნელები.

356. სტატიიდან ნებისმიერი ორი წილადის შეფარდების დადგენა ადვილია. თუ თითოეული წევრი გამრავლებულია ორ მნიშვნელზე, მაშინ თანაფარდობა მიიღება ინტეგრალური გამოსახულებებით. ამგვარად, a/b:c/d წყვილის პირობების bd-ზე გამრავლებით, მივიღებთ $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, რომელიც შემცირებით ხდება ad:bc. ჯამური მნიშვნელობები მრიცხველებიდან და მნიშვნელებიდან.

356 ბ. თანაფარდობა უფრო დიდი უთანასწორობა იზრდებამისი
უფრო დიდი უტოლობის თანაფარდობა მივცეთ 1+n:1
და ნებისმიერი თანაფარდობა ა:ბ
რთული თანაფარდობა იქნება (მუხ. 347,) a + na:b
რა არის მეტი a:b თანაფარდობაზე (მუხ. 351 შესაბამისად)
მაგრამ თანაფარდობა ნაკლები უთანასწორობადამატებულია სხვა თანაფარდობით, ამცირებსმისი.
უფრო მცირე სხვაობის შეფარდება 1-n:1
ნებისმიერი მოცემული თანაფარდობა ა:ბ
კომპლექსური თანაფარდობა a - na:b
რა არის ა-ზე ნაკლები.

357. თუ რომელიმე წყვილის წევრიდანდაამატეთ ან გამოვაკლოთ ორი სხვა სიდიდე, რომლებიც იმავე თანაფარდობაშია, მაშინ ჯამებს ან ნაშთებს ექნებათ იგივე თანაფარდობა.
მოდით თანაფარდობა a:b
ეს იგივე იქნება, რაც c:d
შემდეგ ურთიერთობა თანხებიწინამორბედები თანმიმდევრულთა ჯამის, კერძოდ, a + c-დან b + d-მდე, ასევე იგივეა.
ანუ $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

მტკიცებულება.

1. ვარაუდით, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. გავამრავლოთ b-ზე და d-ზე, ad = bc
3. დაამატეთ cd ორივე მხარეს, ad + cd = bc + cd
4. გაყოფა d-ზე, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. გავყოთ b + d-ზე, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

თანაფარდობა განსხვავებაშედეგების სხვაობის წინამორბედები ასევე იგივეა.

358. თუ თანაფარდობები რამდენიმე წყვილში ტოლია, მაშინ ყველა წინამორბედის ჯამი არის ყველა შედეგის ჯამი, როგორც ნებისმიერი წინამორბედი არის მისი შედეგის.
ამრიგად, თანაფარდობა
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
ამრიგად, თანაფარდობა (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358ბ. თანაფარდობა უფრო დიდი უთანასწორობამცირდება, დასძინა იგივე თანხაორივე წევრს.
მოდით მოცემული მიმართება a+b:a ან $\frac(a+b)(a)$
ორივე ტერმინს x-ის მიმატებით მივიღებთ a+b+x:a+x ან $\frac(a+b)(a)$.

პირველი ხდება $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
და ბოლო არის $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
ვინაიდან ბოლო მრიცხველი აშკარად ნაკლებია მეორეზე, მაშინ თანაფარდობანაკლები უნდა იყოს. (მუხ. 351, შესაბამისად)

მაგრამ თანაფარდობა ნაკლები უთანასწორობა იზრდება, ორივე ტერმინს ერთი და იგივე მნიშვნელობა ემატება.
მოცემული მიმართება იყოს (a-b):a, ან $\frac(a-b)(a)$.
ორივე ტერმინს x-ის მიმატებით ხდება (a-b+x):(a+x) ან $\frac(a-b+x)(a+x)$
მათ საერთო მნიშვნელამდე მიყვანა,
პირველი ხდება $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
და ბოლო, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

ვინაიდან ბოლო მრიცხველი მეორეზე მეტია, მაშინ თანაფარდობამეტი.
თუ იგივე მნიშვნელობის დამატების ნაცვლად წაიღეორი ტერმინიდან აშკარაა, რომ თანაფარდობაზე ეფექტი საპირისპირო იქნება.

მაგალითები.

1. რომელია უფრო დიდი: 11:9 თანაფარდობა თუ 44:35?

2. რომელია უფრო დიდი: შეფარდება $(a+3):\frac(a)(6)$, თუ თანაფარდობა $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. თუ წყვილის წინამორბედი არის 65 და თანაფარდობა 13, რა არის შედეგი?

4. თუ წყვილის თანმიმდევრობა არის 7 და თანაფარდობა 18, რა არის წინამორბედი?

5. რას ჰგავს რთული თანაფარდობა, რომელიც შედგება 8:7 და 2a:5b და ასევე (7x+1):(3y-2)გან?

6. რას ჰგავს რთული თანაფარდობა, რომელიც შედგება (x + y): b, და (x-y): (a + b), და ასევე (a + b): h? რეპ. (x 2 - y 2): bh.

7. თუ მიმართებები (5x+7):(2x-3), და $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ ქმნიან კომპლექსურ მიმართებას, მაშინ რა მიმართებაა. მიიღებთ: მეტ-ნაკლებად უთანასწორობას? რეპ. უფრო დიდი უთანასწორობის თანაფარდობა.

8. რისგან შედგება თანაფარდობა (x + y):a და (x - y):b, და $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? რეპ. თანასწორობის თანაფარდობა.

9. რა არის 7:5 თანაფარდობა და გაორმაგდება 4:9 და სამჯერ 3:2?
რეპ. 14:15.

10. რისგან შედგება თანაფარდობა 3:7 და სამმაგი x:y შეფარდება და ფესვის ამოღება 49:9 თანაფარდობიდან?
რეპ. x3:y3.