იპოვეთ ფართობი ხაზებს შორის ინტერნეტში. y=f(x), x=g(y) წრფეებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის პოვნა. ბრტყელი მრუდის რკალის სიგრძე

დაე, ფუნქცია იყოს არაუარყოფითი და უწყვეტი ინტერვალზე. შემდეგ, გარკვეული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის მიხედვით, მრუდი ტრაპეციის ფართობი შემოსაზღვრულია ზემოდან ამ ფუნქციის გრაფიკით, ქვემოდან ღერძით, მარცხნიდან და მარჯვნიდან სწორი ხაზებით და (იხ. ნახ. 2). ) გამოითვლება ფორმულით

მაგალითი 9იპოვეთ წრფით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი და ღერძი.

გამოსავალი. ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ. ავაშენოთ (სურ. 3). ინტეგრაციის საზღვრების დასადგენად ვპოულობთ წრფის (პარაბოლას) გადაკვეთის წერტილებს ღერძთან (სწორი ხაზი). ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას

ჩვენ ვიღებთ: , სად , ; შესაბამისად, , .

ბრინჯი. 3

ფიგურის ფართობი გვხვდება ფორმულით (5):

თუ ფუნქცია არის არაპოზიტიური და უწყვეტი სეგმენტზე, მაშინ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ქვემოდან ამ ფუნქციის გრაფიკით, ზემოდან ღერძით, მარცხნიდან და მარჯვნიდან სწორი ხაზებით და არის. გამოითვლება ფორმულით

. (6)

თუ ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე და ცვლის ნიშანს წერტილთა სასრულ რაოდენობაზე, მაშინ დაჩრდილული ფიგურის ფართობი (ნახ. 4) უდრის შესაბამისი განსაზღვრული ინტეგრალების ალგებრული ჯამის:

ბრინჯი. ოთხი

მაგალითი 10გამოთვალეთ ღერძით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი და ფუნქციის გრაფიკი .

ბრინჯი. 5

გამოსავალი. დავხატოთ ნახატი (სურ. 5). სასურველი ფართობი არის ფართობების ჯამი და . მოდით მოვძებნოთ თითოეული ეს სფერო. პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ ინტეგრაციის საზღვრებს სისტემის ამოხსნით ჩვენ ვიღებთ,. შესაბამისად:

;

.

ამრიგად, დაჩრდილული ფიგურის ფართობი არის

(კვ. ერთეულები).

ბრინჯი. 6

დაბოლოს, მრუდი ტრაპეცია შემოიფარგლება ზემოდან და ქვემოდან სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციების გრაფიკებით და,
ხოლო მარცხნივ და მარჯვნივ - სწორი და (სურ. 6). შემდეგ მისი ფართობი გამოითვლება ფორმულით

. (8)

მაგალითი 11.იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი და.

გამოსავალი.ეს ფიგურა ნაჩვენებია ნახ. 7. მის ფართობს ვიანგარიშებთ (8) ფორმულით. განტოლებათა სისტემის ამოხსნით, ვპოულობთ, ; შესაბამისად, , . სეგმენტზე გვაქვს: . აქედან გამომდინარე, ფორმულაში (8) ვიღებთ როგორც x, და როგორც - . ჩვენ ვიღებთ:

(კვ. ერთეულები).

ფართობების გამოთვლის უფრო რთული პრობლემები წყდება ფიგურის არაგადაკვეთის ნაწილებად დაყოფით და მთელი ფიგურის ფართობის გამოთვლით, როგორც ამ ნაწილების ფართობების ჯამი.

ბრინჯი. 7

მაგალითი 12.იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, , .

გამოსავალი. დავხატოთ ნახატი (სურ. 8). ეს ფიგურა შეიძლება მივიჩნიოთ როგორც მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია ქვემოდან ღერძით, მარცხნიდან და მარჯვნიდან - სწორი ხაზებით და ზემოდან - ფუნქციების გრაფიკებით და . ვინაიდან ფიგურა ზემოდან შემოსაზღვრულია ორი ფუნქციის გრაფიკით, მაშინ მისი ფართობის გამოსათვლელად ამ სწორ ფიგურას ვყოფთ ორ ნაწილად (1 არის ხაზების გადაკვეთის წერტილის აბსციზა და). თითოეული ამ ნაწილის ფართობი გვხვდება ფორმულით (4):

(კვ. ერთეულები); (კვ. ერთეულები). შესაბამისად:

(კვ. ერთეულები).

ბრინჯი. რვა

X= j ( ზე)

ბრინჯი. 9

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ თუ მრუდი ტრაპეცია შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით და, ღერძი და უწყვეტი მრუდზე (ნახ. 9), მაშინ მისი ფართობი იპოვება ფორმულით.

რევოლუციის ორგანოს მოცულობა

მოდით, მრუდი ტრაპეცია შემოსაზღვრული იყოს ფუნქციის გრაფიკით უწყვეტი სეგმენტზე, ღერძზე, სწორ ხაზებზე და ბრუნავს ღერძის გარშემო (ნახ. 10). შემდეგ მიღებული რევოლუციის სხეულის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით

. (9)

მაგალითი 13გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ჰიპერბოლით, სწორი ხაზებით და ღერძით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ღერძის გარშემო.

გამოსავალი. დავხატოთ ნახატი (სურ. 11).

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ . ფორმულით (9) ვიღებთ

.

ბრინჯი. ათი

ბრინჯი. თერთმეტი

ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად მიღებული სხეულის მოცულობა OUმრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზებით y = გდა y = დ, ღერძი OUდა სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 12), განისაზღვრება ფორმულით

. (10)

X= j ( ზე)

ბრინჯი. 12

მაგალითი 14. გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ღერძის გარშემო ბრუნვით OUხაზებით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეცია X 2 = 4ზე, y= 4, x = 0 (სურ. 13).

გამოსავალი. პრობლემის მდგომარეობის შესაბამისად ვხვდებით ინტეგრაციის საზღვრებს: , . ფორმულით (10) ვიღებთ:

ბრინჯი. 13

ბრტყელი მრუდის რკალის სიგრძე

მოდით, განტოლებით მოცემული მრუდი , სადაც , დევს სიბრტყეში (ნახ. 14).

ბრინჯი. თოთხმეტი

განმარტება. რკალის სიგრძე გაგებულია, როგორც ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის ამ რკალში ჩაწერილი პოლიხაზის სიგრძე, როდესაც პოლიწრიტის ბმულების რაოდენობა მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, ხოლო უდიდესი რგოლის სიგრძე ნულისკენ.

თუ ფუნქცია და მისი წარმოებული უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ მრუდის რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით.

. (11)

მაგალითი 15. გამოთვალეთ მრუდის რკალის სიგრძე იმ წერტილებს შორის, რომელთათვისაც .

გამოსავალი. პრობლემის მდგომარეობიდან გვაქვს . ფორმულით (11) ვიღებთ:

.

4. არასწორი ინტეგრალები
ინტეგრაციის უსასრულო საზღვრებით

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნების შემოღებისას ჩათვალეს, რომ დაკმაყოფილებულია შემდეგი ორი პირობა:

ა) ინტეგრაციის საზღვრები ადა არიან სასრული;

ბ) ინტეგრანტი შემოსაზღვრულია სეგმენტზე.

თუ ამ პირობებიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ინტეგრალი ეწოდება არასათანადო.

მოდით ჯერ განვიხილოთ არასწორი ინტეგრალები ინტეგრაციის უსასრულო საზღვრებით.

განმარტება. დაე, ფუნქცია იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი ინტერვალზე, მაშინდა შეუზღუდავი მარჯვნივ (სურ. 15).

თუ არასწორი ინტეგრალი იყრის თავს, მაშინ ეს ფართობი სასრულია; თუ არასწორი ინტეგრალი განსხვავდება, მაშინ ეს ტერიტორია უსასრულოა.

ბრინჯი. თხუთმეტი

არასწორი ინტეგრალი ინტეგრაციის უსასრულო ქვედა ზღვრით განისაზღვრება ანალოგიურად:

. (13)

ეს ინტეგრალი იყრის თავს, თუ ლიმიტი ტოლობის (13) მარჯვენა მხარეს არსებობს და სასრულია; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინტეგრალი განსხვავებულად ითვლება.

არასწორი ინტეგრალი ინტეგრაციის ორი უსასრულო ლიმიტით განისაზღვრება შემდეგნაირად:

, (14)

სადაც с არის ინტერვალის ნებისმიერი წერტილი. ინტეგრალი იყრის თავს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე ინტეგრალი იყრის თავს თანასწორობის მარჯვენა მხარეს (14).

;

გ) = [აირჩიეთ სრული კვადრატი მნიშვნელში: ] = [ჩანაცვლება:

] =

აქედან გამომდინარე, არასწორი ინტეგრალი იყრის თავს და მისი მნიშვნელობა უდრის .

შეიყვანეთ ფუნქცია, რომლის ინტეგრალიც გსურთ

კალკულატორი იძლევა განსაზღვრული ინტეგრალების დეტალურ გადაწყვეტას.

ეს კალკულატორი ხსნის f(x) ფუნქციის განსაზღვრულ ინტეგრალს მოცემული ზედა და ქვედა ზღვრებით.

მაგალითები

ხარისხის გამოყენებით
(კვადრატი და კუბი) და წილადები

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Კვადრატული ფესვი

Sqrt(x)/(x + 1)

კუბის ფესვი

Cbrt(x)/(3*x + 2)

სინუსისა და კოსინუსის გამოყენება

2*sin(x)*cos(x)

არქსინი

X*arcsin(x)

რკალის კოსინუსი

x*arccos(x)

ლოგარითმის გამოყენება

X*log (x, 10)

ბუნებრივი ლოგარითმი

გამოფენის

Tg(x)*sin(x)

კოტანგენსი

Ctg(x)*cos(x)

ირაციონალური წილადები

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

არქტანგენტი

X*arctg(x)

რკალის ტანგენსი

X*arсctg(x)

ჰიბერბოლური სინუსი და კოსინუსი

2*sh(x)*ch(x)

ჰიბერბოლური ტანგენსი და კოტანგენსი

ctgh(x)/tgh(x)

ჰიბერბოლური არქსინი და არკოზინი

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

ჰიბერბოლური არქტანგენსი და არკოტანგენსი

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

გამონათქვამებისა და ფუნქციების შეყვანის წესები

გამონათქვამები შეიძლება შედგებოდეს ფუნქციებისგან (ნოტაციები მოცემულია ანბანური თანმიმდევრობით): აბსოლუტური (x)აბსოლუტური ღირებულება x
(მოდული xან |x|) arccos (x)ფუნქცია - რკალის კოსინუსი x arccosh (x)რკალის კოსინუსი ჰიპერბოლური-დან x რკალი (x)არქსინი-დან x arcsinh (x)არქსინი ჰიპერბოლური საწყისი x arctg(x)ფუნქცია - რკალის ტანგენსი დან x arctgh(x)რკალის ტანგენსი ჰიპერბოლურია x ე ერიცხვი, რომელიც დაახლოებით უდრის 2,7-ს exp(x)ფუნქცია - მაჩვენებლისგან x(რომელიც ე^x) ჟურნალი (x)ან ჟურნალი (x)ბუნებრივი ლოგარითმი x
( მისაღებად log7(x), თქვენ უნდა შეიყვანოთ log(x)/log(7) (ან, მაგალითად, for log10(x)=log(x)/log(10)) პირიცხვია „პი“, რომელიც დაახლოებით უდრის 3,14-ს sin(x)ფუნქცია - Sine of x cos(x)ფუნქცია - კოსინუსი x სინჰ(x)ფუნქცია - ჰიპერბოლური სინუსი x ნაღდი ფული (x)ფუნქცია - ჰიპერბოლური კოსინუსი x sqrt(x)ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი x sqr(x)ან x^2ფუნქცია - კვადრატი x tg (x)ფუნქცია - ტანგენტი დან x tgh(x)ფუნქცია - ჰიპერბოლური ტანგენსი x cbrt(x)ფუნქცია არის კუბის ფესვი x

გამონათქვამებში შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ოპერაციები: რეალური რიცხვებიშეიტანეთ ფორმაში 7.5 , არა 7,5 2*x- გამრავლება 3/x- განყოფილება x^3- ექსპონენტაცია x + 7- დამატება x - 6- გამოკლება
სხვა მახასიათებლები: სართული (x)ფუნქცია - დამრგვალება xქვემოთ (მაგალითი სართული (4.5)==4.0) ჭერი (x)ფუნქცია - დამრგვალება xზემოთ (მაგალითი ჭერი (4.5)==5.0) ნიშანი (x)ფუნქცია - ნიშანი x erf (x)შეცდომის ფუნქცია (ან ალბათობის ინტეგრალი) ლაპლასი (x)ლაპლასის ფუნქცია

ფიგურის ფართობის გამოთვლაეს ალბათ ერთ-ერთი ყველაზე რთული პრობლემაა არეალის თეორიაში. სასკოლო გეომეტრიაში მათ ასწავლიან იპოვონ ისეთი ძირითადი გეომეტრიული ფორმების არეები, როგორიცაა, მაგალითად, სამკუთხედი, რომბი, მართკუთხედი, ტრაპეცია, წრე და ა.შ. თუმცა, ხშირად უხდება საქმე უფრო რთული ფიგურების ფართობების გამოთვლას. სწორედ ასეთი პრობლემების გადაჭრაშია ძალიან მოსახერხებელი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება.

განმარტება.

მრუდი ტრაპეციაზოგიერთ ფიგურას G ეწოდება, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a და x \u003d b ხაზებით, ხოლო ფუნქცია f (x) უწყვეტია სეგმენტზე [a; ბ] და არ ცვლის მასზე ნიშანს (ნახ. 1).მრუდი ტრაპეციის ფართობი შეიძლება აღინიშნოს S(G)-ით.

განსაზღვრული ინტეგრალი ʃ a b f(x)dx f(x) ფუნქციისთვის, რომელიც არის უწყვეტი და არაუარყოფითი სეგმენტზე [a; b] და არის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობი.

ანუ, ფიგურის G ფართობის საპოვნელად, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a და x \u003d b, აუცილებელია გამოვთვალოთ განსაზღვრული ინტეგრალი ʃ a b f (x) dx.

Ამგვარად, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

თუ ფუნქცია y = f(x) არ არის დადებითი [a; b], მაშინ მრუდი ტრაპეციის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ y \u003d x 3 ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი; y = 1; x = 2.

გამოსავალი.

მოცემული ხაზები ქმნიან ფიგურას ABC, რომელიც ნაჩვენებია გამოჩეკით ბრინჯი. 2.

სასურველი ფართობი უდრის სხვაობას მრუდი ტრაპეციის DACE და კვადრატის DABE უბნებს შორის.

ფორმულის გამოყენებით S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), ვპოულობთ ინტეგრაციის საზღვრებს. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ორი განტოლების სისტემას:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს x 1 \u003d 1 - ქვედა ზღვარი და x \u003d 2 - ზედა ზღვარი.

ასე რომ, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (კვადრატული ერთეული).

პასუხი: 11/4 კვ. ერთეულები

მაგალითი 2

გამოთვალეთ y \u003d √x ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი; y = 2; x = 9.

გამოსავალი.

მოცემული ხაზები ქმნიან ფიგურას ABC, რომელიც ზემოდან შემოსაზღვრულია ფუნქციის გრაფიკით

y \u003d √x და ქვემოდან ფუნქციის გრაფიკი y \u003d 2. შედეგად მიღებული ფიგურა ნაჩვენებია გამოჩეკვით ბრინჯი. 3.

სასურველი ფართობი უდრის S = ʃ a b (√x - 2). ვიპოვოთ ინტეგრაციის საზღვრები: b = 9, a-ს საპოვნელად, ჩვენ ვხსნით ორი განტოლების სისტემას:

(y = √x,
(y = 2.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს, რომ x = 4 = a არის ქვედა ზღვარი.

ასე რომ, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (კვადრატული ერთეული).

პასუხი: S = 2 2/3 კვ. ერთეულები

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d x 3 - 4x ხაზებით; y = 0; x ≥ 0.

გამოსავალი.

მოდით გამოვსახოთ ფუნქცია y \u003d x 3 - 4x x ≥ 0-ზე. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით წარმოებულს y ':

y' = 3x 2 - 4, y' = 0 at х = ±2/√3 ≈ 1.1 არის კრიტიკული წერტილები.

თუ რეალურ ღერძზე გამოვსახავთ კრიტიკულ წერტილებს და მოვათავსებთ წარმოებულის ნიშნებს, მივიღებთ, რომ ფუნქცია მცირდება ნულიდან 2/√3-მდე და იზრდება 2/√3-დან პლუს უსასრულობამდე. მაშინ x = 2/√3 არის მინიმალური წერტილი, y ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა არის min = -16/(3√3) ≈ -3.

განვსაზღვროთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:

თუ x \u003d 0, მაშინ y \u003d 0, რაც ნიშნავს, რომ A (0; 0) არის Oy ღერძთან გადაკვეთის წერტილი;

თუ y \u003d 0, მაშინ x 3 - 4x \u003d 0 ან x (x 2 - 4) \u003d 0, ან x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, საიდანაც x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (არ არის შესაფერისი, რადგან x ≥ 0).

წერტილები A(0; 0) და B(2; 0) არის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები Ox ღერძთან.

მოცემული ხაზები ქმნის OAB ფიგურას, რომელიც ნაჩვენებია გამოჩეკვით ბრინჯი. ოთხი.

ვინაიდან ფუნქცია y \u003d x 3 - 4x იღებს (0; 2) უარყოფით მნიშვნელობას, მაშინ

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

გვაქვს: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, საიდანაც S \u003d 4 კვადრატული მეტრი. ერთეულები

პასუხი: S = 4 კვ. ერთეულები

მაგალითი 4

იპოვეთ პარაბოლით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y \u003d 2x 2 - 2x + 1, სწორი ხაზები x \u003d 0, y \u003d 0 და ამ პარაბოლის ტანგენსი აბსცისის x 0 \u003d წერტილში. 2.

გამოსავალი.

პირველ რიგში, ჩვენ ვადგენთ პარაბოლის ტანგენტის განტოლებას y \u003d 2x 2 - 2x + 1 წერტილში აბსცისის x₀ \u003d 2.

ვინაიდან წარმოებული y' = 4x - 2, მაშინ x 0 = 2-ისთვის მივიღებთ k = y'(2) = 6.

იპოვეთ შეხების წერტილის ორდინატი: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

ამრიგად, ტანგენტის განტოლებას აქვს ფორმა: y - 5 \u003d 6 (x - 2) ან y \u003d 6x - 7.

მოდით ავაშენოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურა:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - პარაბოლა. კოორდინატთა ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები: A(0; 1) - Oy ღერძთან; Ox ღერძით - არ არის გადაკვეთის წერტილები, რადგან განტოლებას 2x 2 - 2x + 1 = 0 არ აქვს ამონახსნები (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, ანუ B პარაბოლის წერტილის წვეროს აქვს B კოორდინატები (1/2; 1/2).

ასე რომ, ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა განისაზღვროს, ნაჩვენებია გამოჩეკვით ბრინჯი. 5.

ჩვენ გვაქვს: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

იპოვეთ D წერტილის კოორდინატები პირობიდან:

6x - 7 = 0, ე.ი. x \u003d 7/6, შემდეგ DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

ჩვენ ვპოულობთ სამკუთხედის ფართობს DBC ფორმულის გამოყენებით S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Ამგვარად,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 კვ. ერთეულები

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (კვადრატული ერთეული).

საბოლოოდ ვიღებთ: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (კვ. ერთეული).

პასუხი: S = 1 1/4 კვ. ერთეულები

ჩვენ განვიხილეთ მაგალითები მოცემული ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობის პოვნა. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეძლოთ სიბრტყეზე ფუნქციების ხაზების და გრაფიკების აგება, ხაზების გადაკვეთის წერტილების პოვნა, ფართობის მოსაძებნად ფორმულის გამოყენება, რაც გულისხმობს გარკვეული ინტეგრალის გამოთვლის უნარს და უნარს.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ა)

გამოსავალი.

გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

განტოლება y=0 ადგენს x-ღერძს;

- x=-2 და x=1 - სწორი, ღერძის პარალელურად OU;

- y \u003d x 2 +2 - პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, წვეროთი (0;2) წერტილში.

კომენტარი.პარაბოლის ასაგებად საკმარისია ვიპოვოთ მისი გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, ე.ი. აყენებს x=0 იპოვნეთ კვეთა ღერძთან OU და შესაბამისი კვადრატული განტოლების ამოხსნით იპოვეთ ღერძთან კვეთა ოჰ .

პარაბოლის წვერო შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზები და წერტილი-პუნქტი.

[-2;1] ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი y=x 2 +2 მდებარეობს ღერძზე მეტი ოქსი , ამიტომაც:

პასუხი: ს \u003d 9 კვადრატული ერთეული

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, „თვალით“ ვითვლით ნახატზე უჯრედების რაოდენობას - კარგი, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოჰ?

ბ)გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=-e x , x=1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გამოსავალი.

მოდით დავხატოთ ნახატი.

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ ოჰ , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

პასუხი: S=(e-1) კვ. ერთეული“ 1,72 კვ. ერთეული

ყურადღება! არ აურიოთ ორი ტიპის დავალება:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ გარკვეული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა მდებარეობს როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში.

თან)იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

გამოსავალი.

ჯერ ნახატი უნდა გააკეთოთ. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილები.ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური.

ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ასე რომ, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი a=0 , ინტეგრაციის ზედა ზღვარი b=3 .

ვაშენებთ მოცემულ ხაზებს: 1. პარაბოლა - წვერო (1;1); ღერძის კვეთა ოჰ -ქულები (0;0) და (0;2). 2. სწორი ხაზი - მე-2 და მე-4 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. ახლა კი ყურადღება! თუ სეგმენტზე [ ა;ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია f(x)მეტი ან ტოლი რომელიმე უწყვეტ ფუნქციაზე g(x), მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით: . და არ აქვს მნიშვნელობა სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელოვანია, რომელი დიაგრამაა უფრო მაღალი (სხვა სქემასთან შედარებით), და რომელი არის ქვემოთ. განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

შესაძლებელია ხაზების აგება წერტილი – წერტილი, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს „თავისთავად“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური).

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით ზემოდან და სწორი ხაზით ქვემოდან.

სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: ს \u003d 4.5 კვ. ერთეული

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი.

ვპოულობთ მოცემული წრფეების გადაკვეთის წერტილებს. ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას:

მოცემული წრფეების გადაკვეთის წერტილების აბსცისების საპოვნელად ვხსნით განტოლებას:

Ჩვენ ვიპოვეთ: x 1 = -2, x 2 = 4.

ასე რომ, ეს წრფეები, რომლებიც არის პარაბოლა და სწორი ხაზი, იკვეთება წერტილებზე ა(-2; 0), ბ(4; 6).

ეს ხაზები ქმნიან დახურულ ფიგურას, რომლის ფართობი გამოითვლება ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით:

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით ვხვდებით:

იპოვეთ ელიფსით შემოსაზღვრული ფართობის ფართობი.

გამოსავალი.

I კვადრატის ელიფსის განტოლებიდან გვაქვს . აქედან, ფორმულის მიხედვით, ვიღებთ

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლება x = აცოდვა ტ, dx = ა cos ტ dt. ინტეგრაციის ახალი საზღვრები ტ = α და ტ = β განისაზღვრება განტოლებებიდან 0 = აცოდვა ტ, ა = აცოდვა ტ. დადება შეიძლება α = 0 და β = π /2.

ჩვენ ვპოულობთ საჭირო ფართობის მეოთხედს

აქედან ს = პაბ.

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობიწ = - x 2 + x + 4 დაწ = - x + 1.

გამოსავალი.

იპოვეთ ხაზების გადაკვეთის წერტილები წ = -x 2 + x + 4, წ = -x+ 1, ატოლებს ხაზების ორდინატებს: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 ან x 2 - 2x- 3 = 0. იპოვეთ ფესვები x 1 = -1, x 2 = 3 და მათი შესაბამისი ორდინატები წ 1 = 2, წ 2 = -2.

ფიგურის ფართობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

იპოვეთ პარაბოლით შემოსაზღვრული ფართობიწ = x 2 + 1 და პირდაპირიx + წ = 3.

გამოსავალი.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

იპოვეთ გადაკვეთის წერტილების აბსციები x 1 = -2 და x 2 = 1.

ვარაუდით წ 2 = 3 - xდა წ 1 = x 2 + 1, ფორმულის საფუძველზე, რომელსაც მივიღებთ

გამოთვალეთ ფართობი, რომელიც შეიცავს ბერნულის ლემნისკატსრ 2 = ა 2 cos 2 φ .

გამოსავალი.

პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში ფიგურის ფართობი შემოსაზღვრულია მრუდის რკალით რ = ვ(φ ) და ორი პოლარული რადიუსი φ 1 = ʅ და φ 2 = ʆ , გამოიხატება ინტეგრალით

მრუდის სიმეტრიის გამო პირველ რიგში ვადგენთ სასურველი ფართობის მეოთხედს

აქედან გამომდინარე, მთლიანი ფართობი არის ს = ა 2 .

გამოთვალეთ ასტროიდის რკალის სიგრძეx 2/3 + წ 2/3 = ა 2/3 .

გამოსავალი.

ასტროიდის განტოლებას ვწერთ ფორმაში

(x 1/3) 2 + (წ 1/3) 2 = (ა 1/3) 2 .

დავსვათ x 1/3 = ა 1/3 კოდ ტ, წ 1/3 = ა 1/3 ცოდვა ტ.

აქედან ვიღებთ ასტროიდის პარამეტრულ განტოლებებს

x = ა cos 3 ტ, წ = აცოდვა 3 ტ, (*)

სადაც 0 ≤ ტ ≤ 2π .

მრუდის (*) სიმეტრიის გათვალისწინებით, საკმარისია რკალის სიგრძის მეოთხედის პოვნა. ლპარამეტრის ცვლილების შესაბამისი ტ 0-დან π /2.

ვიღებთ

dx = -3ა cos 2 ტცოდვა t dt, დი = 3აცოდვა 2 ტ cos t dt.

აქედან ვპოულობთ

მიღებული გამოხატვის ინტეგრირება დიაპაზონში 0-დან π /2, მივიღებთ

აქედან ლ = 6ა.

იპოვეთ არქიმედეს სპირალით შემოსაზღვრული ტერიტორიარ = აფ და ორი რადიუსის ვექტორი, რომლებიც შეესაბამება პოლარულ კუთხეებსφ 1 დაφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

გამოსავალი.

მრუდით შემოსაზღვრული ფართობი რ = ვ(φ ) გამოითვლება ფორმულით, სადაც α და β - პოლარული კუთხის ცვლილების საზღვრები.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ

(*)

(*)-დან გამომდინარეობს, რომ პოლარული ღერძით შემოსაზღვრული ტერიტორია და არქიმედეს სპირალის პირველი შემობრუნება ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ პოლარული ღერძით შემოსაზღვრულ ტერიტორიას და არქიმედეს სპირალის მეორე შემობრუნებას ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

საჭირო ფართობი უდრის ამ უბნების სხვაობას

გამოთვალეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც მიღებულია ღერძის გარშემო ბრუნვითოქსი პარაბოლებით შემოსაზღვრული ფიგურაწ = x 2 დაx = წ 2 .

გამოსავალი.

მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა

და მიიღე x 1 = 0, x 2 = 1, წ 1 = 0, წ 2 = 1, საიდანაც მოსახვევების გადაკვეთის წერტილები ო(0; 0), ბ(თერთმეტი). როგორც ნახატზე ჩანს, ბრუნვის სხეულის სასურველი მოცულობა უდრის განსხვავებას ორ მოცულობას შორის, რომლებიც წარმოიქმნება ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად. ოქსიმრუდი ტრაპეცია OCBAდა ODBA:

გამოთვალეთ ღერძით შემოსაზღვრული ფართობიოქსი და სინუსოიდიწ = ცოდვაx სეგმენტებზე: ა); ბ) .

გამოსავალი.

ა) სეგმენტზე ფუნქცია sin xინარჩუნებს ნიშანს და, შესაბამისად, ფორმულით, ვარაუდით წ= ცოდვა x, ჩვენ ვიპოვეთ

ბ) სეგმენტზე ფუნქცია sin xცვლის ნიშანს. პრობლემის სწორი გადაწყვეტისთვის საჭიროა სეგმენტის ორად დაყოფა და [ π , 2π ], რომელთაგან თითოეულში ფუნქცია ინარჩუნებს თავის ნიშანს.

ნიშნების წესის მიხედვით, სეგმენტზე [ π , 2π ] ფართობი აღებულია მინუს ნიშნით.

შედეგად, სასურველი ფართობი უდრის

განსაზღვრეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც შემოსაზღვრულია ელიფსის ბრუნვის შედეგად მიღებული ზედაპირითძირითადი ღერძის გარშემოა .

გამოსავალი.

იმის გათვალისწინებით, რომ ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ, საკმარისია ვიპოვოთ ღერძის გარშემო ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი მოცულობა. ოქსიფართობი OABუდრის ელიფსის ფართობის მეოთხედს და გააორმაგებს შედეგს.

მოდით აღვნიშნოთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა ვ x; შემდეგ, ფორმულის საფუძველზე, გვაქვს , სადაც 0 და ა- ქულების აბსცისი ბდა ა. ელიფსის განტოლებიდან ვპოულობთ . აქედან

ამრიგად, საჭირო მოცულობა უდრის. (როდესაც ელიფსი ბრუნავს მცირე ღერძის გარშემო ბ, სხეულის მოცულობა არის )

იპოვეთ პარაბოლებით შემოსაზღვრული ფართობიწ 2 = 2 px დაx 2 = 2 py .

გამოსავალი.

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ პარაბოლების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს ინტეგრაციის ინტერვალის დასადგენად. თავდაპირველი განტოლებების გარდაქმნით ვიღებთ და . ამ მნიშვნელობების გათანაბრებისას ვიღებთ ან x 4 - 8გვ 3 x = 0.

x 4 - 8გვ 3 x = x(x 3 - 8გვ 3) = x(x - 2გვ)(x 2 + 2px + 4გვ 2) = 0.

ჩვენ ვპოულობთ განტოლებების ფესვებს:

იმის გათვალისწინებით, რომ წერტილი აპარაბოლების გადაკვეთა არის პირველ მეოთხედში, შემდეგ ინტეგრაციის საზღვრები x= 0 და x = 2გვ.

სასურველი ფართობი იპოვება ფორმულით