სკოლის მოსწავლე

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფუნქციის ფართობი ონლაინ. მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს. გადაწყვეტის დასრულება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს

ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, შემოსაზღვრული ხაზებითინტეგრალის გამოყენებით გამოთვლების გამოყენებით. პირველად ასეთი პრობლემის ფორმულირებას ვხვდებით უმაღლეს სკოლაში, როცა განსაზღვრული ინტეგრალების შესწავლა ახლახან დასრულდა და დროა გავაგრძელოთ გეომეტრიული ინტერპრეტაციამიღებული ცოდნა პრაქტიკაში.

ასე რომ, რა არის საჭირო ინტეგრალების გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად:

ნახატების სწორად დახატვის უნარი;
განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნის უნარი ცნობილი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით;
უფრო მომგებიანი გადაწყვეტის „დანახვის“ უნარი - ე.ი. რომ გავიგოთ, როგორ იქნება ამა თუ იმ შემთხვევაში ინტეგრაციის განხორციელება უფრო მოსახერხებელი? x-ღერძის გასწვრივ (OX) თუ y-ღერძი (OY)?
კარგი, სად სწორი გამოთვლების გარეშე?) ეს მოიცავს იმის გაგებას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ სხვა ტიპის ინტეგრალები და სწორი რიცხვითი გამოთვლები.

ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:

1. ჩვენ ვქმნით ნახატს. მიზანშეწონილია ამის გაკეთება გალიაში ქაღალდზე, დიდი მასშტაბით. ფანქრით ვაწერთ ხელს ყოველი გრაფიკის ზემოთ ამ ფუნქციის სახელს. გრაფიკების ხელმოწერა კეთდება მხოლოდ შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის. სასურველი ფიგურის გრაფიკის მიღების შემდეგ, უმეტეს შემთხვევაში, მაშინვე გაირკვევა, თუ რომელი ინტეგრაციის ლიმიტები იქნება გამოყენებული. ამრიგად, ჩვენ პრობლემას გრაფიკულად ვხსნით. თუმცა, ეს ხდება, რომ საზღვრების მნიშვნელობები არის წილადი ან ირაციონალური. ამიტომ, შეგიძლიათ გააკეთოთ დამატებითი გამოთვლები, გადადით მეორე ეტაპზე.

2. თუ ინტეგრაციის ლიმიტები ცალსახად არ არის მითითებული, მაშინ ჩვენ ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებს ერთმანეთთან და ვნახავთ, შეესაბამება თუ არა ჩვენი გრაფიკული ამოხსნა ანალიტიკურს.

3. შემდეგი, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ნახაზი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკები, არსებობს სხვადასხვა მიდგომებიფიგურის ფართობის პოვნა. განვიხილოთ სხვადასხვა მაგალითებიიპოვონ ფიგურის ფართობი ინტეგრალის გამოყენებით.

3.1. პრობლემის ყველაზე კლასიკური და მარტივი ვერსიაა, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მრგვალი ტრაპეციის ფართობი. რა არის მრუდი ტრაპეცია? ეს არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება x ღერძით (y=0), სწორი x = a, x = bდა ნებისმიერი მრუდი უწყვეტი ინტერვალზე აადრე ბ. ამავდროულად, ეს მაჩვენებელი არაუარყოფითია და მდებარეობს x-ღერძზე დაბალი არ არის. ამ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლილ განსაზღვრულ ინტეგრალს:

მაგალითი 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

რა ხაზები განსაზღვრავს ფიგურას? ჩვენ გვაქვს პარაბოლა y = x2 - 3x + 3, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ, არაუარყოფითია, რადგან ამ პარაბოლის ყველა წერტილი დადებითია. შემდეგი, მოცემულია სწორი ხაზები x = 1და x = 3რომლებიც გადიან ღერძის პარალელურად OU, არის ფიგურის შეზღუდვის ხაზები მარცხნივ და მარჯვნივ. კარგად y = 0ის არის x-ღერძი, რომელიც ზღუდავს ფიგურას ქვემოდან. შედეგად მიღებული ფიგურა დაჩრდილულია, როგორც ეს ჩანს მარცხნივ სურათზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენს წინაშეა მრუდი ტრაპეციის მარტივი მაგალითი, რომელსაც შემდეგ ვხსნით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.

3.2. წინა 3.1 პარაგრაფში გაანალიზებულია შემთხვევა, როდესაც მრუდი ტრაპეცია მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ. ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც პრობლემის პირობები იგივეა, გარდა იმისა, რომ ფუნქცია x-ღერძის ქვეშ დევს. ნიუტონ-ლაიბნიცის სტანდარტულ ფორმულას ემატება მინუსი. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემა, ჩვენ განვიხილავთ შემდგომ.

მაგალითი 2 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

ამ მაგალითში გვაქვს პარაბოლა y=x2+6x+2, რომელიც სათავეს იღებს ღერძის ქვეშ ოჰ, სწორი x=-4, x=-1, y=0. Აქ y = 0ზღუდავს სასურველ ფიგურას ზემოდან. პირდაპირი x = -4და x = -1ეს ის საზღვრებია, რომლებშიც გამოითვლება განსაზღვრული ინტეგრალი. ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის გადაჭრის პრინციპი თითქმის მთლიანად ემთხვევა მაგალითს 1. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მოცემული ფუნქცია არ არის დადებითი და ასევე უწყვეტია ინტერვალზე. [-4; -1] . რას არ ნიშნავს პოზიტიური? როგორც ნახატიდან ჩანს, მოცემულ x-ში მოთავსებულ ფიგურას აქვს ექსკლუზიურად „უარყოფითი“ კოორდინატები, რაც უნდა დავინახოთ და დავიმახსოვროთ პრობლემის გადაჭრისას. ჩვენ ვეძებთ ფიგურის ფართობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მხოლოდ დასაწყისში მინუს ნიშნით.

სტატია არ არის დასრულებული.

ჩვენ ვიწყებთ ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლის ფაქტობრივ პროცესს და გავეცნობით მის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

ორმაგი ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის ბრტყელი ფიგურის ფართობს (ინტეგრაციის რეგიონი). ეს არის ორმაგი ინტეგრალის უმარტივესი ფორმა, როდესაც ორი ცვლადის ფუნქცია ერთის ტოლია: .

ჯერ განვიხილოთ პრობლემა ზოგადი თვალსაზრისით. ახლა გაგიკვირდებათ, რამდენად მარტივია ეს სინამდვილეში! მოდით გამოვთვალოთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით. დაზუსტებისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ინტერვალზე . ამ ფიგურის ფართობი რიცხობრივად უდრის:

მოდით გამოვსახოთ ნახაზზე ფართობი:

ავირჩიოთ პირველი გზა ტერიტორიის გვერდის ავლით:

Ამგვარად:

და დაუყოვნებლივ მნიშვნელოვანი ტექნიკური ხრიკი: განმეორებითი ინტეგრალები შეიძლება ცალკე განიხილებოდეს. ჯერ შიდა ინტეგრალი, შემდეგ გარე ინტეგრალი. ეს მეთოდი რეკომენდირებულია დამწყებთათვის თემის ჩაიდანი.

1) გამოთვალეთ შიდა ინტეგრალი, ხოლო ინტეგრაცია ხორციელდება ცვლადზე "y":

განუსაზღვრელი ინტეგრალი აქ არის უმარტივესი და შემდეგ გამოიყენება ბანალური ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ერთადერთი განსხვავებით, რომ ინტეგრაციის საზღვრები არ არის რიცხვები, არამედ ფუნქციები. ჯერ ზედა ზღვარი ჩავანაცვლეთ „y“-ში (ანტიდერივატიული ფუნქცია), შემდეგ ქვედა ზღვარი

2) პირველ პუნქტში მიღებული შედეგი უნდა შეიცვალოს გარე ინტეგრალში:

მთლიანი გადაწყვეტის უფრო კომპაქტური აღნიშვნა ასე გამოიყურება:

მიღებული ფორმულა არის ზუსტად სამუშაო ფორმულა ბრტყელი ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად "ჩვეულებრივი" განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით! იხილეთ გაკვეთილი ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, ის არის ყოველ ნაბიჯზე!

ანუ ფართობის გამოთვლის პრობლემა ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით ცოტა განსხვავებულიგანსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით ფართობის პოვნის ამოცანიდან!სინამდვილეში, ისინი ერთი და იგივეა!

შესაბამისად, არანაირი სირთულე არ უნდა წარმოიშვას! მე არ განვიხილავ ძალიან ბევრ მაგალითს, რადგან თქვენ, ფაქტობრივად, არაერთხელ შეგხვედრიათ ეს პრობლემა.

მაგალითი 9

გამოსავალი:მოდით გამოვსახოთ ნახაზზე ფართობი:

ავირჩიოთ რეგიონის გავლის შემდეგი თანმიმდევრობა:

აქ და ქვემოთ, მე არ განვიხილავ, თუ როგორ უნდა გავიაროთ ტერიტორია, რადგან პირველი აბზაცი იყო ძალიან დეტალური.

Ამგვარად:

როგორც უკვე აღვნიშნე, დამწყებთათვის სჯობს ცალკე გამოთვალონ განმეორებადი ინტეგრალები, მე დავიცავ იგივე მეთოდს:

1) პირველ რიგში, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, საქმე გვაქვს შიდა ინტეგრალთან:

2) პირველ საფეხურზე მიღებული შედეგი ჩანაცვლებულია გარე ინტეგრალში:

წერტილი 2 არის რეალურად ბრტყელი ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით.

პასუხი:

აი ასეთი სულელური და გულუბრყვილო დავალება.

საინტერესო მაგალითია დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 10

ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვალეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით,

საბოლოო ამოხსნის მაგალითი გაკვეთილის ბოლოს.

9-10 მაგალითებში გაცილებით მომგებიანია პირველი ხერხის გამოყენება ტერიტორიის გვერდის ავლით, ცნობისმოყვარე მკითხველებს, სხვათა შორის, შეუძლიათ შეცვალონ შემოვლითი თანმიმდევრობა და გამოთვალონ ტერიტორიები მეორე გზით. თუ შეცდომას არ დაუშვებთ, მაშინ, ბუნებრივია, მიიღება იგივე ფართობის მნიშვნელობები.

მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში, ტერიტორიის გვერდის ავლით მეორე გზა უფრო ეფექტურია და ახალგაზრდა ნერდის კურსის დასასრულს, მოდით გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს ამ თემაზე:

მაგალითი 11

ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული სიბრტყის ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი:ჩვენ მოუთმენლად ველით ორ პარაბოლას ნიავით, რომლებიც მათ მხარეს დევს. არ არის საჭირო ღიმილი, მსგავსი რამ მრავალ ინტეგრალში ხშირად გვხვდება.

რა არის ნახატის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა?

წარმოვიდგინოთ პარაბოლა, როგორც ორი ფუნქცია:
- ზედა ტოტი და - ქვედა ტოტი.

ანალოგიურად, ჩვენ წარმოვადგენთ პარაბოლას, როგორც ზედა და ქვედა ტოტებს.

ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით ფორმულის მიხედვით:

რა მოხდება, თუ ჩვენ ავირჩევთ ტერიტორიის გვერდის ავლით პირველ გზას? პირველ რიგში, ეს ტერიტორია ორ ნაწილად უნდა გაიყოს. და მეორეც, დავაკვირდებით ამ სევდიან სურათს: . ინტეგრალები, რა თქმა უნდა, სუპერკომპლექსური დონის არ არის, მაგრამ... არის ძველი მათემატიკური გამონათქვამი: ვინც ფესვებთან მეგობრობს, მას არ სჭირდება გათიშვა.

მაშასადამე, იმ გაუგებრობიდან, რომელიც მოცემულია პირობაში, ჩვენ გამოვხატავთ შებრუნებულ ფუნქციებს:

ამ მაგალითში შებრუნებულ ფუნქციებს აქვთ ის უპირატესობა, რომ ისინი დაუყოვნებლივ აყენებენ მთელ პარაბოლას ყოველგვარი ფოთლების, მუწუკების, ტოტებისა და ფესვების გარეშე.

მეორე მეთოდის მიხედვით, ტერიტორიის გავლა იქნება შემდეგი:

Ამგვარად:

როგორც ამბობენ, იგრძენი განსხვავება.

1) საქმე გვაქვს შიდა ინტეგრალთან:

ჩვენ ვცვლით შედეგს გარე ინტეგრალში:

"y" ცვლადზე ინტეგრაცია არ უნდა იყოს უხერხული, თუ იყო ასო "zyu" - კარგი იქნებოდა მასზე ინტეგრირება. თუმცა ვინ წაიკითხა გაკვეთილის მეორე აბზაცი როგორ გამოვთვალოთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა, ის აღარ განიცდის ოდნავ უხერხულობას „y“-ზე ინტეგრაციისას.

ასევე ყურადღება მიაქციეთ პირველ საფეხურს: ინტეგრანტი ლუწია, ხოლო ინტეგრაციის სეგმენტი სიმეტრიულია ნულის მიმართ. ამრიგად, სეგმენტი შეიძლება განახევრდეს და შედეგი შეიძლება გაორმაგდეს. ეს ტექნიკა დეტალურად არის აღწერილი გაკვეთილზე. ეფექტური მეთოდებიგანსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა.

რა დავამატო…. ყველაფერი!

პასუხი:

თქვენი ინტეგრაციის ტექნიკის შესამოწმებლად, შეგიძლიათ სცადოთ გამოთვლა. პასუხი ზუსტად იგივე უნდა იყოს.

მაგალითი 12

ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული სიბრტყის ფიგურის ფართობი

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. საინტერესოა აღინიშნოს, რომ თუ თქვენ ცდილობთ გამოიყენოთ პირველი გზა ტერიტორიის გვერდის ავლით, მაშინ ფიგურა აღარ დაიყოფა ორად, არამედ სამ ნაწილად! და, შესაბამისად, ვიღებთ განმეორებადი ინტეგრალის სამ წყვილს. ხანდახან ხდება ხოლმე.

მასტერკლასი დასრულდა და დროა გადავიდეთ დიდოსტატის დონეზე - როგორ გამოვთვალოთ ორმაგი ინტეგრალი? გადაწყვეტის მაგალითები. ვეცდები მეორე სტატიაში ასეთი მანიაკალური არ ვიყო =)

წარმატებებს გისურვებთ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2:გამოსავალი: დახაზეთ ფართობი ნახატზე:

ავირჩიოთ რეგიონის გავლის შემდეგი თანმიმდევრობა:

Ამგვარად:
მოდით გადავიდეთ შებრუნებულ ფუნქციებზე:

Ამგვარად:
პასუხი:

მაგალითი 4:გამოსავალი: მოდით გადავიდეთ პირდაპირ ფუნქციებზე:

მოდით შევასრულოთ ნახაზი:

შევცვალოთ ტერიტორიის გავლის თანმიმდევრობა:

პასუხი:

ტერიტორიის გავლის შეკვეთა:

Ამგვარად:

1)
2)

პასუხი:

წინა განყოფილებაში, რომელიც მიეძღვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის ანალიზს, მივიღეთ რამდენიმე ფორმულა მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად:

S (G) = ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტზე [a ; ბ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არადადებითი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტზე [a; ბ] .

ეს ფორმულები გამოიყენება ნათესავი ამოსახსნელად მარტივი დავალებები. სინამდვილეში, ხშირად გვიწევს მუშაობა უფრო რთულ ფორმებთან. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ ამ განყოფილებას მივუძღვნით ფიგურების ფართობის გამოთვლის ალგორითმების ანალიზს, რომლებიც შეზღუდულია ფუნქციებით აშკარა ფორმით, ე.ი. როგორიცაა y = f(x) ან x = g(y) .

თეორემა

მოდით y = f 1 (x) და y = f 2 (x) ფუნქციები განსაზღვრული და უწყვეტი იყოს [a; b ] , და f 1 (x) ≤ f 2 (x) ნებისმიერი x მნიშვნელობისთვის [a-დან; ბ] . შემდეგ ფიგურის G ფართობის გამოთვლის ფორმულა, რომელიც შემოსაზღვრულია x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) და y \u003d f 2 (x) ხაზებით გამოიყურება S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

მსგავსი ფორმულა გამოყენებული იქნება ფიგურის ფართობისთვის, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) და x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

მტკიცებულება

ჩვენ გავაანალიზებთ სამ შემთხვევას, რომლებისთვისაც ფორმულა მოქმედი იქნება.

პირველ შემთხვევაში, ფართობის დანამატის თვისების გათვალისწინებით, თავდაპირველი ფიგურის G და მრუდი ტრაპეციის G 1 ფართობების ჯამი უდრის ფიგურის G 2 ფართობს. Ეს ნიშნავს, რომ

ამიტომ, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მესამე თვისების გამოყენებით.

მეორე შემთხვევაში, ტოლობა მართალია: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

თუ ორივე ფუნქცია არაპოზიტიურია, მივიღებთ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

გადავიდეთ ზოგადი შემთხვევის განხილვაზე, როდესაც y = f 1 (x) და y = f 2 (x) კვეთენ O x ღერძს.

გადაკვეთის წერტილებს აღვნიშნავთ x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . ეს წერტილები არღვევენ სეგმენტს [a; b ] n ნაწილად x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n , სადაც α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

შესაბამისად,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისების გამოყენებით.

მოდით გამოვხატოთ ზოგადი შემთხვევა გრაფიკზე.

ფორმულა S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x შეიძლება ჩაითვალოს დადასტურებულად.

ახლა კი მოდით გადავიდეთ ფიგურების ფართობის გამოთვლის მაგალითების ანალიზზე, რომლებიც შემოიფარგლება y \u003d f (x) და x \u003d g (y) ხაზებით.

რომელიმე მაგალითის გათვალისწინებით, ჩვენ დავიწყებთ გრაფიკის აგებით. გამოსახულება საშუალებას მოგვცემს წარმოვადგინოთ რთული ფორმები, როგორც მარტივი ფორმების კომბინაციები. თუ მათზე გრაფიკების და ფორმების დახატვა გაგიჭირდებათ, შეგიძლიათ შეისწავლოთ განყოფილება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების, ფუნქციების გრაფიკების გეომეტრიული ტრანსფორმაციის შესახებ, ასევე ფუნქციის შესწავლისას.

მაგალითი 1

აუცილებელია განისაზღვროს ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება პარაბოლით y \u003d - x 2 + 6 x - 5 და სწორი ხაზებით y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d. 1, x \u003d 4.

გამოსავალი

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

ინტერვალზე [1; 4] პარაბოლის გრაფიკი y = - x 2 + 6 x - 5 მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ y = - 1 3 x - 1 2 . ამასთან დაკავშირებით, პასუხის მისაღებად ვიყენებთ ადრე მიღებულ ფორმულას, ასევე განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

პასუხი: S (G) = 13

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითს.

მაგალითი 2

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = x + 2, y = x, x = 7 ხაზებით.

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში x-ღერძის პარალელურად მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი გვაქვს. ეს არის x = 7. ეს მოითხოვს, რომ ჩვენ თვითონ ვიპოვოთ ინტეგრაციის მეორე ლიმიტი.

ავაშენოთ გრაფიკი და დავდოთ მასზე ამოცანის პირობით მოცემული ხაზები.

ჩვენს თვალწინ გრაფა რომ გვქონდეს, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი იქნება გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა სწორი ხაზით y \u003d x და ნახევრად პარაბოლა y \u003d x + 2. აბსცისის საპოვნელად ვიყენებთ ტოლობებს:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

გამოდის, რომ გადაკვეთის წერტილის აბსციზა არის x = 2.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ნახაზის ზოგად მაგალითში წრფეები y = x + 2 , y = x იკვეთება (2 ; 2) წერტილში, ამიტომ ასეთი დეტალური გამოთვლები შეიძლება ზედმეტი ჩანდეს. ჩვენ მივაწოდეთ ასეთი დეტალური გადაწყვეტა აქ მხოლოდ იმიტომ, რომ უფრო რთულ შემთხვევებში გამოსავალი შეიძლება არც ისე აშკარა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ უმჯობესია ხაზების გადაკვეთის კოორდინატები ყოველთვის ანალიზურად გამოვთვალოთ.

ინტერვალზე [2; 7 ] y = x ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = x + 2 ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

პასუხი: S (G) = 59 6

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y \u003d 1 x და y \u003d - x 2 + 4 x - 2 ფუნქციების გრაფიკებით.

გამოსავალი

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე.

მოდით განვსაზღვროთ ინტეგრაციის საზღვრები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ ხაზების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს გამონათქვამების 1 x და - x 2 + 4 x - 2 ტოლობით. იმ პირობით, რომ x არ არის ნულის ტოლი, ტოლობა 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 ხდება მესამე ხარისხის განტოლების ექვივალენტი - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით . თქვენ შეგიძლიათ განაახლოთ მეხსიერების ალგორითმი ასეთი განტოლებების გადასაჭრელად განყოფილებაში "კუბური განტოლებების ამოხსნა".

ამ განტოლების ფესვი არის x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

გამოთქმა - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 x - 1 ორობითად გავყოფთ, მივიღებთ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დარჩენილი ფესვები განტოლებიდან x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

ჩვენ ვიპოვეთ x ∈ 1 ინტერვალი; 3 + 13 2, სადაც G მოთავსებულია ლურჯი ხაზის ზემოთ და წითელი ხაზის ქვემოთ. ეს გვეხმარება ფიგურის ფართობის დადგენაში:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

პასუხი: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

მაგალითი 4

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 და x ღერძი.

გამოსავალი

მოდით დავდოთ ყველა ხაზი გრაფიკზე. ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ y = - log 2 x + 1 ფუნქციის გრაფიკი y = log 2 x გრაფიკიდან, თუ მას სიმეტრიულად მოვათავსებთ x ღერძზე და ავწევთ ერთი ერთეულით ზემოთ. x-ღერძის განტოლება y \u003d 0.

აღვნიშნოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილები.

როგორც ნახატიდან ჩანს, y \u003d x 3 და y \u003d 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (0; 0) წერტილში. ეს იმიტომ ხდება, რომ x \u003d 0 არის განტოლების ერთადერთი რეალური ფესვი x 3 \u003d 0.

x = 2 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი - log 2 x + 1 = 0 , ამიტომ y = - log 2 x + 1 და y = 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (2 ; 0) წერტილში.

x = 1 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი x 3 = - log 2 x + 1 . ამასთან დაკავშირებით, y \u003d x 3 და y \u003d - log 2 x + 1 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (1; 1) წერტილში. ბოლო განცხადება შეიძლება არ იყოს აშკარა, მაგრამ განტოლებას x 3 \u003d - log 2 x + 1 არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი, რადგან ფუნქცია y \u003d x 3 მკაცრად იზრდება, ხოლო ფუნქცია y \u003d - log 2 x +1 მკაცრად კლებულობს.

შემდეგი ნაბიჯი მოიცავს რამდენიმე ვარიანტს.

ვარიანტი ნომერი 1

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ფიგურა G, როგორც ორი მრუდი ტრაპეციის ჯამი, რომლებიც მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ, რომელთაგან პირველი მდებარეობს x ∈ 0 სეგმენტზე შუა ხაზის ქვემოთ; 1, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელი ხაზის ქვემოთ; 2. ეს ნიშნავს, რომ ფართობი ტოლი იქნება S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

ვარიანტი ნომერი 2

ფიგურა G შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფიგურის სხვაობით, რომელთაგან პირველი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ და ლურჯი ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 2, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელ და ლურჯ ხაზებს შორის; 2. ეს საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ასეთი ტერიტორია:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

ამ შემთხვევაში, ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. სინამდვილეში, ხაზები, რომლებიც აკავშირებენ ფორმას, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს y არგუმენტის ფუნქციებად.

მოდით ამოხსნათ განტოლებები y = x 3 და - log 2 x + 1 x-ის მიმართ:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - ჟურნალი 2 x + 1 ⇒ ჟურნალი 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

ჩვენ ვიღებთ საჭირო ფართობს:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

პასუხი: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

მაგალითი 5

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 ხაზებით.

გამოსავალი

დახაზეთ ხაზი სქემაზე წითელი ხაზით, რომელიც მოცემულია y = x ფუნქციით. დახაზეთ ხაზი y = - 1 2 x + 4 ლურჯად და მონიშნეთ ხაზი y = 2 3 x - 3 შავით.

ყურადღება მიაქციეთ გადაკვეთის წერტილებს.

იპოვეთ y = x და y = - 1 2 x + 4 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i არის განტოლების ამონახსნი x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 არის განტოლების ამონახსნი ⇒ (4 ; 2) გადაკვეთის წერტილი i y = x და y = - 1 2 x + 4

იპოვეთ y = x და y = 2 3 x - 3 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილი:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 შემოწმება: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 არის ⇒ (9; 3) განტოლების ამონახსნი y = x და y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 არ არის განტოლების ამონახსნი

იპოვეთ y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3 წრფეების გადაკვეთის წერტილი:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) გადაკვეთის წერტილი y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3

მეთოდი ნომერი 1

ჩვენ წარმოვადგენთ სასურველი ფიგურის ფართობს, როგორც ცალკეული ფიგურების ფართობების ჯამს.

მაშინ ფიგურის ფართობია:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

მეთოდი ნომერი 2

ორიგინალური ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დანარჩენი ორი ფიგურის ჯამი.

შემდეგ ჩვენ ვხსნით ხაზოვან განტოლებას x-სთვის და მხოლოდ ამის შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად.

y = x ⇒ x = y 2 წითელი ხაზი y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 შავი ხაზი y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

ასე რომ, ტერიტორია არის:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

როგორც ხედავთ, მნიშვნელობები ემთხვევა.

პასუხი: S (G) = 11 3

შედეგები

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მოცემული ხაზებით, უნდა დავხატოთ ხაზები სიბრტყეზე, ვიპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილები და გამოვიყენოთ ფორმულა ფართობის საპოვნელად. ამ განყოფილებაში ჩვენ განვიხილეთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ვარიანტები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ა)

გამოსავალი.

გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

განტოლება y=0 ადგენს x-ღერძს;

- x=-2 და x=1 - სწორი, ღერძის პარალელურად OU;

- y \u003d x 2 +2 - პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, წვეროთი (0;2) წერტილში.

კომენტარი.პარაბოლის ასაგებად საკმარისია ვიპოვოთ მისი გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, ე.ი. აყენებს x=0 იპოვნეთ კვეთა ღერძთან OU და შესაბამისის გადაწყვეტა კვადრატული განტოლებაიპოვნეთ ღერძთან კვეთა ოჰ .

პარაბოლას წვერო შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზები და წერტილი-პუნქტი.

[-2;1] ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი y=x 2 +2 მდებარეობს ღერძზე მეტი ოქსი , ამიტომაც:

პასუხი: ს \u003d 9 კვადრატული ერთეული

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ვითვლით ნახატზე უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სრულიად გასაგებია, რომ ჩვენ რომ გვქონდეს, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება განსახილველ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოჰ?

ბ)გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=-e x , x=1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გამოსავალი.

მოდით დავხატოთ ნახატი.

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ ოჰ , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

პასუხი: S=(e-1) კვ. ერთეული" 1,72 კვ. ერთეული

ყურადღება! არ აურიოთ ორი ტიპის დავალება:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა მდებარეობს როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში.

თან)იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

გამოსავალი.

ჯერ ნახატი უნდა გააკეთოთ. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილები.ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური.

ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ასე რომ, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი a=0 , ინტეგრაციის ზედა ზღვარი b=3 .

ჩვენ ვაშენებთ მოცემული ხაზები: 1. პარაბოლა - წვერო (1;1); ღერძის კვეთა ოჰ -ქულები (0;0) და (0;2). 2. სწორი ხაზი - მე-2 და მე-4 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. ახლა კი ყურადღება! თუ სეგმენტზე [ ა;ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია f(x)მეტი ან ტოლი რომელიმე უწყვეტ ფუნქციაზე g(x), მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით: .

და არ აქვს მნიშვნელობა სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელოვანია, რომელი დიაგრამაა უფრო მაღალი (სხვა დიაგრამასთან შედარებით), და რომელი არის ქვემოთ. განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

შესაძლებელია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს „თავისთავად“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური).

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება ზემოდან პარაბოლით და ქვემოდან სწორი ხაზით.

სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: ს \u003d 4.5 კვ. ერთეული

ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. კლასში ვთქვი, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA.

ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება რომელიმე ფიგურის ფართობს. მაგალითად, განიხილეთ განსაზღვრული ინტეგრალი. ინტეგრანი განსაზღვრავს გარკვეულ მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა ყოველთვის შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება. უფრო მეტიც, ნახატი უნდა აშენდეს უფლება.

გეგმის შექმნისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველიუმჯობესია ავაშენოთ ყველა ხაზი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) და მხოლოდ შემდეგ- პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. ფუნქციების გრაფიკების აგება უფრო მომგებიანია წერტილი-პუნქტი, წერტილოვანი კონსტრუქციის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში.

იქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მასალა, რომელიც ძალიან სასარგებლოა ჩვენს გაკვეთილთან დაკავშირებით - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.
მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება განსაზღვრავს ღერძს):

მრუდი ტრაპეციას არ გამოვჩეჩე, გასაგებია რომელ არეალზეა აქ საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

სეგმენტზე განთავსებულია ფუნქციის გრაფიკი ღერძზე მეტი, ამიტომაც:

პასუხი:

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება, იხილეთ ლექცია განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები.

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 დაიბეჭდება, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, და ღერძი

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული გამოსავალიდა პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებითა და კოორდინატთა ღერძებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ, მაშინ მისი ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით:
Ამ შემთხვევაში:

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ ბრტყელი ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, .

გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. ვიპოვოთ პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილები. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

აქედან გამომდინარე, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი.
თუ ეს შესაძლებელია, უმჯობესია არ გამოიყენოთ ეს მეთოდი.

გაცილებით მომგებიანი და სწრაფია ხაზების პუნქტად აგება, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს „თვითონ“. დახმარებაში დეტალურად არის განხილული სხვადასხვა სქემების წერტილი-პუნქტი მშენებლობის ტექნიკა ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი ჯერ კიდევ ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადი ან ირაციონალური). და ჩვენ ასევე განვიხილავთ ასეთ მაგალითს.

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ვიმეორებ, რომ წერტილოვანი კონსტრუქციით, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად „ავტომატურად“ ირკვევა.

ახლა კი სამუშაო ფორმულა:თუ სეგმენტზე რაიმე უწყვეტი ფუნქცია მეტი ან ტოლიზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია, მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

აქ აღარ არის საჭირო იმაზე ფიქრი, თუ სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ და, უხეშად რომ ვთქვათ, მნიშვნელობა აქვს რომელი დიაგრამაა ზემოთ(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

გადაწყვეტის დასრულება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

პასუხი:

ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მარტივი მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა. ვინაიდან ღერძი მოცემულია განტოლებით, ხოლო ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ქვემოთ, მაშინ

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი, .

გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით ტერიტორიის გამოსათვლელად ამოცანების გადაჭრის პროცესში ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები იყო სწორი, მაგრამ უყურადღებობის გამო ... იპოვა არასწორი ფიგურის ფართობი, ასე გაფუჭდა რამდენჯერმე შენი მორჩილი მსახური. აქ არის რეალური შემთხვევა:

მაგალითი 7

გამოთვალეთ , , , ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი.

ჯერ დავხატოთ:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული.(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ხშირად ხდება, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ მასში ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის სწორი ხაზის გრაფიკი;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე არის ჰიპერბოლის გრაფიკი.

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,
წარმოვადგინოთ განტოლებები „სასკოლო“ სახით და შევასრულოთ პუნქტი-წერტილი ნახაზი:

ნახატიდან ჩანს, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი არის „კარგი“: .
მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი? გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა? Შესაძლოა ? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს ეს. ან ფესვი. რა მოხდება, თუ ჩვენ საერთოდ არ მივიღეთ გრაფიკი სწორად?

ასეთ შემთხვევებში საჭიროა დამატებითი დროის დახარჯვა და ინტეგრაციის საზღვრების ანალიტიკური დახვეწა.

ვიპოვოთ წრფისა და პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები.
ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

შესაბამისად,.

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია, მთავარია ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ აირიოთ, აქ გამოთვლები არც ისე მარტივია.

სეგმენტზე, შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

კარგად, გაკვეთილის დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ ორ ამოცანას უფრო რთულად.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი,

ამოხსნა: დახაზეთ ეს ფიგურა ნახაზზე.

ნახაზის წერტილი-წერტილი ასაგებად აუცილებელია იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა (და ზოგადად სასარგებლოა იცოდეთ ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკები), ისევე როგორც ზოგიერთი სინუსური მნიშვნელობები, ისინი შეიძლება მოიძებნოს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. ზოგიერთ შემთხვევაში (როგორც ამ შემთხვევაში) დასაშვებია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც პრინციპულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები გრაფიკები და ინტეგრაციის ლიმიტები.

აქ ინტეგრაციის ლიმიტებთან დაკავშირებით პრობლემები არ არის, ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან: - "x" იცვლება ნულიდან "pi". ჩვენ ვიღებთ შემდგომ გადაწყვეტილებას:

სეგმენტზე ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ღერძის ზემოთ, შესაბამისად:

(1) როგორ არის სინუსები და კოსინუსები ინტეგრირებული კენტ ძალებში, ჩანს გაკვეთილზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ეს ტიპიური ტექნიკაა, ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.

(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში

(3) მოდით შევცვალოთ ცვლადი, შემდეგ:

ინტეგრაციის ახალი გადანაწილებები:

ვინც ნამდვილად ცუდი ბიზნესია ჩანაცვლებით, გთხოვთ გადადით გაკვეთილზე ჩანაცვლების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში. მათთვის, ვინც არ იცის ჩანაცვლების ალგორითმი გარკვეულ ინტეგრალში, ეწვიეთ გვერდს განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები. მაგალითი 5: ამოხსნა: ასე:

პასუხი:

Შენიშვნა:გაითვალისწინეთ, როგორ არის აღებული კუბში ტანგენსის ინტეგრალი, აქ გამოყენებულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დასკვნა.