რედუცირებადი მრავალწევრები რეალური რიცხვების ველზე. მრავალწევრის გაფართოება რაციონალური რიცხვების ველზე. პოლინომები რაციონალური რიცხვების ველზე
ნებისმიერი კომპლექსური რიცხვი განსაზღვრავს წერტილს სიბრტყეზე. არგუმენტები განთავსდება ერთ რთულ სიბრტყეზე, ფუნქციის მნიშვნელობები განთავსდება სხვა რთულ სიბრტყეზე.
F(z) არის რთული ცვლადის კომპლექსური ფუნქცია. რთული ცვლადის კომპლექსურ ფუნქციებს შორის გამოირჩევა უწყვეტი ფუნქციების კლასი.
Def: რთული ცვლადის კომპლექსურ ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი, თუ , ისეთი რომ, .+
გეომეტრიული მნიშვნელობა ასეთია:
განსაზღვრავს წრეს კომპლექსურ სიბრტყეში, ცენტრით z0 წერტილში და რადიუსით< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .
თეორემა 1: მრავალწევრი f(z)დამატება. C(z) უწყვეტია რთული სიბრტყის ნებისმიერ წერტილში.
დასკვნა: მრავალწევრის მოდული რთული რიცხვების ველში არის უწყვეტი ფუნქცია.
თეორემა 2: - მრავალწევრების რგოლი რთული კოეფიციენტებით, შემდეგ ისეთი მნიშვნელობები, რომ .
თეორემა 3. (მრავალწევის მოდულის შეუზღუდავი ზრდის შესახებ):
ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა:
ნებისმიერ მრავალწევრს რთული რიცხვების ველზე, რომელიც არ არის 0 ხარისხის, აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი რთული რიცხვების ველში.
(დადასტურებაში გამოვიყენებთ შემდეგ განცხადებებს):
დ.: 1. თუ a n =0, მაშინ z=0 არის f(z) ფესვი.
2. თუ a n 0, მაშინ მე-3 თეორემით, უტოლობა განსაზღვრავს რეგიონს კომპლექსურ სიბრტყეში, რომელიც მდებარეობს S რადიუსის წრის გარეთ. ამ რეგიონში ფესვები არ არსებობს, რადგან ამიტომ, f(z) მრავალწევრის ფესვები უნდა ვეძებოთ რეგიონის შიგნით.
განვიხილოთ T1-დან. აქედან გამომდინარეობს, რომ f(z) უწყვეტია. ვაიერშტრასის თეორემის მიხედვით, ის აღწევს თავის მინიმუმს რაღაც მომენტში დახურულ რეგიონში, ე.ი. . მოდით ვაჩვენოთ, რომ წერტილი არის მინიმალური წერტილი. იმიტომ რომ 0 E, მაშინ იმიტომ f-ii მნიშვნელობის E რეგიონის გარეთ, მაშინ z 0 არის მინიმალური წერტილი მთელ კომპლექსურ სიბრტყეზე. ვაჩვენოთ, რომ f(z 0)=0. დავუშვათ, რომ ეს ასე არ არის, მაშინ დ'ალმბერის ლემით მივიღებთ წინააღმდეგობას, რადგან z 0 მინიმალური ქულა.
ალგებრული დახურვა:
Def: P ველს უწოდებენ ალგებრულად დახურულს, თუ მას აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი ამ ველზე.
თეორემა: რთული რიცხვების ველი ალგებრულად დახურულია. (d-გამოდის ალგებრის ფუნდამენტური თეორემიდან).
რაციონალური და რეალური რიცხვების ველები ალგებრულად დახურული არ არის.
დაშლა:
თეორემა: ნებისმიერი პოლინომი 1-ზე მეტი ხარისხის რთული რიცხვების ველზე შეიძლება დაიშალოს წრფივი ფაქტორების ნამრავლად.
დასკვნა 1. რთული რიცხვების ველზე n ხარისხის მრავალწევრს აქვს ზუსტად n ძირი.
შემდეგი 2: ნებისმიერი პოლინომი 1-ზე მეტი ხარისხის რთული რიცხვების ველზე ყოველთვის მცირდება.
Def: C\R სიმრავლის რიცხვები, ე.ი. a+bi ფორმის რიცხვებს, სადაც b არ არის 0-ის ტოლი, წარმოსახვითი ეწოდება.
2. პოლინომები ველზე. ორი მრავალწევრის GCD და ევკლიდური ალგორითმი. მრავალწევრის დაშლა შეუქცევადი ფაქტორების პროდუქტად და მისი უნიკალურობა.
დეფ.მრავალწევრი (პოლინომი) უცნობში Xმინდორზე რდაურეკა მთელი რიცხვის არაუარყოფითი ძალების ალგებრული ჯამი X, მინდვრიდან გარკვეული კოეფიციენტით აღებული რ.
სად არის aiÎP ან
მრავალწევრებს უწოდებენ თანაბარი, თუ მათი კოეფიციენტები ტოლია უცნობის შესაბამისი ხარისხებისთვის.
მრავალწევრის ხარისხი ეწოდება.უცნობი ინდიკატორის უდიდესი მნიშვნელობა, რომლის კოეფიციენტი განსხვავდება ნულიდან.
მითითებულია: N(f(x))=n
ყველა მრავალწევრის სიმრავლე ველზე რაღინიშნება: P[x].
ნულოვანი ხარისხის პოლინომები ემთხვევა ველის ელემენტებს რ, განსხვავდება ნულიდან არის ნულოვანი მრავალწევრი, მისი ხარისხი განუსაზღვრელია.
მოქმედებები მრავალწევრებზე.
1. დამატება.
მოდით n³s, მაშინ N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).
<P[x],+>
- დამატების ოპერაცია შესაძლებელია და უნიკალურობა გამომდინარეობს ველის ელემენტების დამატების უნიკალურობიდან
- ასოციაციურობა
- ნულოვანი ელემენტი
- მოცემულის საპირისპირო მრავალწევრი
- კომუტატიურობა
2. გამრავლება.
ალგებრული სტრუქტურის შესწავლა<P[x],*>
- ოპერაცია შესაძლებელია, რადგან ველში შესრულებულია გამრავლების ოპერაცია. უნიკალურობა გამომდინარეობს დარგში ოპერაციების გაურკვევლობიდან რ.
- ასოციაციურობა
- ერთეული მრავალწევრი
- მხოლოდ ნულოვანი ხარისხის მრავალწევრებია შექცევადი
<P[x],*>- ნახევრადჯგუფი იდენტურობის ელემენტით (მანოიდი)
დისტრიბუციული კანონები დაკმაყოფილებულია, შესაბამისად,<P[x],+,*>არის იდენტობის მქონე კომუტაციური ბეჭედი.
მრავალწევრების გაყოფა
ODA:მრავალწევრი f(x), f(x)ОP[x], პ– ველი იყოფა მრავალწევრზე g(x), g(x)≠0, g(x)OP[x],თუ ასეთი მრავალწევრი არსებობს h(x)OP[x], რომ f(x)=g(x)h(x)
გაყოფის თვისებები:
მაგალითი:, გაყოფა სვეტზე gcd =( x+3)
გაყოფის თეორემა ნაშთით:ნებისმიერი მრავალწევრებისთვის ვ (x), g(x)OP[x],არის მხოლოდ ერთი მრავალწევრი q(x) და r(x)ისეთივე როგორც f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x))
დოკუმენტის იდეა: ჩვენ განვიხილავთ ორ შემთხვევას ნ
ODA:ვ (x) და g(x), f(x), g(x)ОP[x], h(x)OP[x]სახელწოდებით GCD f (x) და g (x)თუ
ევკლიდეს ალგორითმი
დავწეროთ თანმიმდევრული გაყოფის პროცესი
f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)
g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)
r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) და ა.შ.
r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)
r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)
GCD(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)
იდეა დასტურია: ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ 1 ) f(x):(სრულიად) d(x) და გ(x): (მთლიანად) d(x); 2) f(x): (მთლიანად) თ(x) და g(x):(სრულიად) h(x)ჩვენ ვაჩვენებთ ამას d(x):(მთლიანად) თ(x).
GCD-ის ხაზოვანი წარმოდგენა
T: თუ d(x) - მრავალწევრების გგდ ვ (x) და g (x), მაშინ არსებობს მრავალწევრები v (x) და u(x)OP[x],Რა f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).
Def: f(x) და g(x)OP[x]ყოველთვის გვქონდეს საერთო გამყოფები, კერძოდ, ნულოვანი ხარისხის მრავალწევრები, რომლებიც ემთხვევა P ველს, თუ სხვა საერთო გამყოფები არ არის, მაშინ f(x) და g(x) არის თანაპრომტები. (დანიშნულება: (f(x),g(x))=1)
T: ვ (x) და გ(x) შედარებით პირველები არიან i.i.t.k. არსებობს პოლინომები v(x) და u(x)ОP[x] ისეთი, რომ f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
თანაპირის მრავალწევრების თვისებები
- (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, შემდეგ (f(x),g(x)*q(x))=1
- f(x)*g(x):(მთლიანად)h(x) და (f(x),g(x))=1, შემდეგ g(x):(მთლიანად) h(x)
- f(x):(მთლიანად)g(x), f(x):(მთლიანად)h(x) და ( g(x),h(x))=1, შემდეგ f(x):(მთლიანად) g(x)*h(x)
ODA:მრავალწევრს f(x), f(x)ОP[x] ეწოდება მოცემული P ველზე, თუ ის შეიძლება დაიშალოს ფაქტორებად, რომელთა გრადუსი 0-ზე მეტია და f(x) ხარისხზე ნაკლები, ე.ი.
ვ (x)=f 1 (x)f 2 (x), სადაც გრადუსები f 1 და f 2 >0,
მრავალწევრების შემცირება დამოკიდებულია იმ ველზე, რომელზედაც ისინი განიხილება. მრავალწევრი შეუქცევადია (პოლინომი, რომელიც არ შეიძლება გამრავლდეს უფრო დაბალი ხარისხის ფაქტორებად) Q ველზე და რედუცირებადია R ველზე.
შეუქცევადი მრავალწევრების თვისებები:
- ნულოვანი ხარისხის პოლინომი შეიძლება შემცირდეს ნებისმიერ ველზე
- თუ მრავალწევრი f(x) არ შემცირდება ველზე რ, შემდეგ მრავალწევრი a f(x) ასევე არ არის შემცირებული ველზე რ.
- მოდით მრავალწევრები f (x)და p(x) მინდორზე რ, და p(x) – შეუქცევადი ველზე რ, მაშინ შემთხვევები შესაძლებელია
1) მრავალწევრები ვ (x)და p(x) შედარებით პრაიმერია
2) f(x): (მთლიანად) p(x)
F ველი ალგებრულად დახურულია, თუ F-ზე დადებითი ხარისხის ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს ფესვი F-ში.
თეორემა 5.1 (პოლინომიური ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა).რთული რიცხვების ველი ალგებრულად დახურულია.
შედეგი 5 .1.1. ზემოთ თანარსებობს მხოლოდ პირველი ხარისხის შეუქცევადი მრავალწევრები.
დასკვნა 5.1.2. მრავალწევრი ნ- ზევით ხარისხი თანᲛას აქვს ნრთული ფესვები.
თეორემა 5.2. თუ არის მრავალწევრის რთული ფესვი ვრეალური კოეფიციენტებით, მაშინ რთული კონიუგატური რიცხვიც არის ფესვი ვ.
შედეგი 5 .2.1. ზემოთ რარსებობს მხოლოდ პირველი ან მეორე ხარისხის შეუქცევადი მრავალწევრები.
დასკვნა 5.2.2. მრავალწევრის წარმოსახვითი ფესვები დასრულდა რიშლება რთული კონიუგატების წყვილებად.
მაგალითი 5.1. გადაიყვანეთ შეუმცირებელ ფაქტორებად თანდა ზემოთ რმრავალწევრი x 4 + 4.
გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს
x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –
გაფართოება დასრულდა რ. ფრჩხილებში მეორე ხარისხის მრავალწევრების რთული ფესვების აღმოჩენის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ გაფართოებას თან:
x 4 + 4 = (x – 1 – მე) (x – 1 + მე) (x + 1 – მე) (x + 1 + მე).
მაგალითი 5.2. ააგეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი რეალური კოეფიციენტებით, რომელსაც აქვს ფესვები 2 და 1 + მე.
გამოსავალი. დასკვნის მიხედვით 5.2.2, მრავალწევრს უნდა ჰქონდეს ფესვები 2, 1 – მე და 1 + მე. მისი კოეფიციენტები შეგიძლიათ იხილოთ Vieta-ს ფორმულების გამოყენებით:
1 = 2 + (1 - მე) + (1 +მე) = 4;
2 = 2(1 - მე) + 2(1 + მე) + (1 – მე)(1 + მე) = 6;
3 = 2(1 - მე)(1 + მე) = 4.
აქედან ვ =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.
Სავარჯიშოები.
5.1. გადაიყვანეთ შეუმცირებელ ფაქტორებად თანდა ზემოთ რმრავალწევრები:
ა) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;
ბ) X 4 – 10X 2 + 1.
5.2. ააგეთ უმცირესი ხარისხის მრავალწევრი რეალური კოეფიციენტებით, რომელსაც აქვს ორმაგი ფესვი 1 და მარტივი ფესვი 1-2. მე.
6. პოლინომები რაციონალური რიცხვების ველზე
თეორემა 6.1 (ეიზენშტეინის კრიტერიუმი). დაე f = a 0 +ა 1 x +...+ ა ნ x ნ– მრავალწევრი მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. თუ არსებობს ასეთი მარტივი რიცხვი გვ, Რა ა 0 , ა 1 , … , ა ნ-1 იყოფა გვ, ა ნარ იყოფა გვ,ა 0 არ იყოფა გვ 2, მაშინ ვ არ შემცირდება რაციონალური რიცხვების ველზე.
სავარჯიშო 6.1. დაამტკიცეთ შეუმცირებლობა დასრულდა ქმრავალწევრები:
ა) ვ= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;ბ) ვ= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.
თეორემა 6.2.
დაე 
– შეუქცევადი წილადი, რომელიც მრავალწევრის ფესვია ვ
=
ა 0 +
ა 1 x
+ … +
ა ნ x ნმთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. მაშინ
ა 0 გვ, ა ნ ქ;
ვ(1) p–q,ვ(–1) p+q.
ეს თეორემა საშუალებას გვაძლევს გადავჭრათ მრავალწევრის რაციონალური ფესვების პოვნის პრობლემა მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ თავისუფალი წევრისა და წამყვანი კოეფიციენტის ყველა გამყოფს და მათგან ვაშენებთ ყველა სახის შეუქცევად წილადს. ყველა რაციონალური ფესვი შეიცავს ამ ფრაქციებს შორის. მათი დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჰორნერის სქემა. მასში ზედმეტი გამოთვლების თავიდან ასაცილებლად ვიყენებთ 6.2 თეორემის 2) დებულებას.
მაგალითი 6.1. იპოვეთ მრავალწევრის რაციონალური ფესვები
ვ = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.
გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ ყველა წილადს, რომლის მრიცხველიც გვ – გამყოფები არის 18, ხოლო მნიშვნელები ქ- გამყოფები 2:
1, –1, 2, –2,
3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18, 
,
,
.
ჩვენ ვამოწმებთ მათ ჰორნერის სქემის მიხედვით:
|
კომენტარი |
||||||
|
ვ(1) = –21 p–q |
||||||
|
ვ(–1) = –3 p+q |
||||||
|
X 1 = –2 |
||||||
|
X 2 = 3/2 |
||||||
ფესვის პოვნა X 1 = –2 და მრავალწევრის გაყოფა X+ 2, ვიღებთ მრავალწევრს ახალი თავისუფალი წევრით –9 (მისი კოეფიციენტები ხაზგასმულია). დარჩენილი ფესვების მრიცხველები უნდა იყოს ამ რიცხვის გამყოფები და წილადები, რომლებიც არ აკმაყოფილებენ ამ პირობას, შეიძლება გამოირიცხოს სიიდან. დარჩენილი მთელი მნიშვნელობები გამორიცხულია, რადგან ისინი არ აკმაყოფილებენ პირობას ვ(1)გვ – ქ ან ვ(–1)გვ + ქ. მაგალითად, 3-ისთვის გვაქვს გვ = 3, ქ= 1 და პირობა არ არის დაკმაყოფილებული ვ(1) = –21გვ – ქ(ისევე როგორც მეორე პირობა).
ანალოგიურად, ფესვის პოვნა X 2 = 3/2, მივიღეთ მრავალწევრი ახალი თავისუფალი წევრით 3 და წამყვანი კოეფიციენტი 1 (როდესაც ფესვი წილადია, მიღებული პოლინომის კოეფიციენტები უნდა შემცირდეს). სიიდან არცერთი დარჩენილი რიცხვი აღარ შეიძლება იყოს მისი ფესვი და რაციონალური ფესვების სია ამოწურულია.
ნაპოვნი ფესვები უნდა შემოწმდეს სიმრავლეზე.
თუ ამოხსნის პროცესში მივედით მეორე ხარისხის მრავალწევრამდე და წილადების სია ჯერ არ არის ამოწურული, მაშინ დარჩენილი ფესვები შეგიძლიათ იპოვოთ ჩვეულებრივი ფორმულების გამოყენებით, როგორც კვადრატული ტრინომის ფესვები.
სავარჯიშო 6.2. იპოვეთ მრავალწევრის რაციონალური ფესვები
ა) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;
ბ) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;
2-ზე X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;
დ) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.
მთელი რიცხვების რგოლზე მრავალწევრი ეწოდება პრიმიტიული, თუ მისი კოეფიციენტების უდიდესი საერთო გამყოფი არის 1. რაციონალური კოეფიციენტების მქონე მრავალწევრი ცალსახად წარმოდგენილია დადებითი რაციონალური რიცხვის ნამრავლის სახით, ე.წ. შინაარსიმრავალწევრი და პრიმიტიული მრავალწევრი. პრიმიტიული მრავალწევრების ნამრავლი არის პრიმიტიული მრავალწევრი. ამ ფაქტიდან გამომდინარეობს, რომ თუ პოლინომი მთელი რიცხვების კოეფიციენტებით მცირდება რაციონალური რიცხვების ველზე, მაშინ ის მცირდება მთელი რიცხვების რგოლზე. ამრიგად, რაციონალური რიცხვების ველზე მრავალწევრის შეუქცევად ფაქტორებად გადაყვანის პრობლემა მცირდება მსგავს პრობლემამდე მთელი რიცხვების რგოლზე.
მოდით იყოს მრავალწევრი მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით და შინაარსით 1 და იყოს მისი რაციონალური ფესვი. წარმოვიდგინოთ მრავალწევრის ფესვი, როგორც შეუქცევადი წილადი. მრავალწევრი ვ(x) წარმოდგენილია პრიმიტიული მრავალწევრების ნამრავლად. აქედან გამომდინარე,
A. მრიცხველი არის გამყოფი,
ბ მნიშვნელი – გამყოფი
C. ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის კმნიშვნელობა ვ(კ) - მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა ნაშთის გარეშე ( ბკ-ა).
ჩამოთვლილი თვისებები საშუალებას გვაძლევს შევიყვანოთ მრავალწევრის რაციონალური ფესვების პოვნის პრობლემა სასრულ ძიებამდე. მსგავსი მიდგომა გამოიყენება პოლინომიურ გაფართოებაში ვრაციონალური რიცხვების ველზე შეუქცევად ფაქტორებს კრონეკერის მეთოდის გამოყენებით. თუ მრავალწევრი ვ(x) გრადუსი ნმოცემულია, მაშინ ერთ-ერთ ფაქტორს აქვს ხარისხი არაუმეტეს ნ/2. მოდით აღვნიშნოთ ეს ფაქტორი გ(x). ვინაიდან მრავალწევრების ყველა კოეფიციენტი არის მთელი რიცხვი, მაშინ ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის ამნიშვნელობა ვ(ა) იყოფა ნაშთის გარეშე გ(ა). ავირჩიოთ m= 1+ნ/2 განსხვავებული მთელი რიცხვი ამე, მე=1,…,მ. ნომრებისთვის გ(აი) არსებობს შესაძლებლობათა სასრული რაოდენობა (ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის გამყოფთა რიცხვი სასრულია), შესაბამისად არის სასრული რაოდენობის მრავალწევრები, რომლებიც შეიძლება იყოს გამყოფები. ვ(x). სრული ძიების შემდეგ, ჩვენ ან ვაჩვენებთ მრავალწევრის შეუქცევადობას, ან გავაფართოვებთ მას ორი მრავალწევრის ნამრავლად. ჩვენ ვიყენებთ მითითებულ სქემას თითოეულ ფაქტორზე, სანამ ყველა ფაქტორი შეუქცევადი პოლინომები გახდება.
რაციონალური რიცხვების ველზე ზოგიერთი მრავალწევრის შეუქცევადობა შეიძლება დადგინდეს ეიზენშტეინის მარტივი კრიტერიუმის გამოყენებით.
დაე ვ(x) არის მრავალწევრი მთელი რიცხვების რგოლზე. თუ არის მარტივი რიცხვი გვ, Რა
I. მრავალწევრის ყველა კოეფიციენტი ვ(x), გარდა უმაღლესი ხარისხის კოეფიციენტისა, იყოფა გვ
II. უმაღლესი ხარისხის კოეფიციენტი არ იყოფა გვ
III. თავისუფალი წევრი არ იყოფა
შემდეგ მრავალწევრი ვ(x) შეუქცევადია რაციონალური რიცხვების ველზე.
უნდა აღინიშნოს, რომ ეიზენშტეინის კრიტერიუმი იძლევა საკმარის პირობებს მრავალწევრების შეუქცევადობისთვის, მაგრამ არა აუცილებელს. ასე რომ, მრავალწევრი შეუქცევადია რაციონალური რიცხვების ველზე, მაგრამ არ აკმაყოფილებს ეიზენშტაინის კრიტერიუმს.
მრავალწევრი, ეიზენშტაინის კრიტერიუმის მიხედვით, შეუქცევადია. შესაბამისად, რაციონალური რიცხვების ველზე არის ხარისხის შეუქცევადი პოლინომი ნ, სად ნ 1-ზე მეტი ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.
რეალური რიცხვების ველზე, ერთი ცვლადის ნებისმიერ შეუქცევად მრავალწევრს აქვს ხარისხი 1 ან 2, ხოლო 2 ხარისხის პოლინომი შეუქცევადია R ველზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას აქვს უარყოფითი დისკრიმინანტი, მაგალითად, პოლინომი შეუქცევადია რეალური რიცხვების ველი, რადგან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია.
ეიზენშტაინის კრიტერიუმი არის ტესტი მრავალწევრის შეუქცევადობისთვის, რომელსაც გერმანელი მათემატიკოსის ფერდინანდ ეიზენშტაინის სახელი ეწოდა. მიუხედავად (ტრადიციული) სახელისა, ეს არის ზუსტად ნიშანი, ანუ საკმარისი პირობა - მაგრამ სულაც არ არის აუცილებელი, როგორც შეიძლება ვივარაუდოთ სიტყვა "კრიტერიუმის" მათემატიკური მნიშვნელობიდან გამომდინარე.
თეორემა (ეიზენშტეინის კრიტერიუმი). მოდით იყოს პოლინომი ფაქტორულ რგოლზე R ( ნ>0) და ზოგიერთი შეუქცევადი ელემენტისთვის გვშემდეგი პირობები დაკმაყოფილებულია:
არ იყოფა გვ,
გაყოფილი გვ, ვინმესთვის მესაწყისი 0 ადრე n- 1,
არ იყოფა.
მაშინ მრავალწევრი შეუქცევადია ფკერძო რგოლის ველი რ.
შედეგი.ალგებრული რიცხვების ნებისმიერ ველზე არსებობს ნებისმიერი წინასწარ განსაზღვრული ხარისხის შეუქცევადი პოლინომი; მაგალითად, მრავალწევრი სადაც ნ> 1 და გვრაღაც მარტივი რიცხვი.
განვიხილოთ ამ კრიტერიუმის გამოყენების მაგალითები, როდესაც R არის მთელი რიცხვების რგოლი, ხოლო F არის რაციონალური რიცხვების ველი.
მაგალითები:
მრავალწევრი შეუქცევადია Q-ზე.
წრის გაყოფის მრავალწევრი შეუქცევადია. ფაქტობრივად, თუ ის რედუცირებადია, მაშინ ჩვენ ასევე ვამცირებთ მრავალწევრს და რადგან მისი ყველა კოეფიციენტი, გარდა პირველისა, ორწევულია, ანუ იყოფა გვ, და ბოლო კოეფიციენტი `ამინ გვგარდა ამისა, იგი არ იყოფა ეიზენშტაინის კრიტერიუმით, ვარაუდის საწინააღმდეგოდ.
შემდეგი ხუთი მრავალწევრი გვიჩვენებს შეუქცევადი მრავალწევრების რამდენიმე ელემენტარულ თვისებას:
მთელი რიცხვების Z რგოლზე, პირველი ორი მრავალწევრი რედუცირებადია, ბოლო ორი შეუქცევადი. (მესამე საერთოდ არ არის პოლინომი მთელ რიცხვებზე).
რაციონალური რიცხვების Q ველზე პირველი სამი მრავალწევრი შემცირებადია, დანარჩენი ორი შეუქცევადი.
რეალური რიცხვების R ველზე, პირველი ოთხი მრავალწევრი შემცირებადია, მაგრამ შეუქცევადია. ნამდვილ რიცხვთა ველში წრფივი მრავალწევრები და კვადრატული მრავალწევრები ნამდვილი ფესვების გარეშე შეუქცევადია. მაგალითად, მრავალწევრის გაფართოებას რეალური რიცხვების ველში აქვს ფორმა. ამ გაფართოების ორივე ფაქტორი შეუქცევადი პოლინომებია.
კომპლექსური რიცხვების C ველზე ხუთივე მრავალწევრი მცირდება. ფაქტობრივად, ყველა არამუდმივი პოლინომი C-ზე შეიძლება იყოს ფაქტორიზებული სახით:
სად ნ- მრავალწევრის ხარისხი, ა- წამყვანი კოეფიციენტი, - მრავალწევრის ფესვები. მაშასადამე, C-ზე ერთადერთი შეუქცევადი პოლინომებია წრფივი მრავალწევრები (ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა).
შეუქცევადი მრავალწევრი- მრავალწევრი, რომელიც არ შეიძლება დაიშალოს არატრივიალურ პოლინომებად. შეუქცევადი მრავალწევრები არის მრავალწევრის რგოლის შეუქცევადი ელემენტები.
ველზე შეუქცევადი პოლინომი არის მრავალწევრი 
ველზე ცვლადები არის ბეჭდის მარტივი ელემენტი 
, ანუ, არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნამრავლი, სადაც და არის პოლინომები კოეფიციენტებით დან, გარდა მუდმივებისა.
F ველზე f პოლინომი ითვლება შეუქცევად (მარტივი), თუ მას აქვს დადებითი ხარისხი და არ აქვს არატრივიალური გამყოფები (ანუ ნებისმიერი გამყოფი ასოცირდება მასთან ან ერთთან)
წინადადება 1
დაე რ– შეუმცირებელი და ა– F[x] ბეჭდის ნებისმიერი მრავალწევრი. მერე ან რყოფს ა, ან რდა ა- ორმხრივად მარტივი.
წინადადება 2
დაე ვ∈ F[x] და ხარისხი f = 1, რაც ნიშნავს, რომ f არის შეუქცევადი მრავალწევრი.
Მაგალითად: 1. აიღეთ პოლინომი x+1 Q ველზე. მისი ხარისხი არის 1, რაც იმას ნიშნავს, რომ ის შეუქცევადია.
2. x2 +1 – შეუმცირებელი, რადგან ფესვები არ აქვს
SLU. სისტემური გადაწყვეტა. კოოპერატიული, არაკოოპერატიული, განსაზღვრული და განუსაზღვრელი სისტემები. ექვივალენტური სისტემები
წრფივი განტოლებათა სისტემა F ველზე x1,...xn ცვლადებით არის ფორმის სისტემა.
ა 11 X 1 + … + ა 1n x ნ= ბ 1
………………………..
ა m1 x 1 + … + ა წთ x ნ= ბ მ
სადაც ა ვიცი, ბ მე∈ F, m არის განტოლებათა რიცხვი, ხოლო n არის უცნობის რაოდენობა. მოკლედ, ეს სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: ai1x1 + … + a in x ნ= ბ მე (i = 1,…მ.)
ეს SLE არის მდგომარეობა n თავისუფალი x ცვლადით 1,….хn.
SLN იყოფა არათავსებად (არ აქვთ გადაწყვეტილებები) და თავსებადი (განსაზღვრული და განუსაზღვრელი). ტიპის თანმიმდევრულ სისტემას ეწოდება განსაზღვრული, თუ მას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა; თუ მას აქვს მინიმუმ ორი განსხვავებული გამოსავალი, მაშინ მას გაურკვეველი ეწოდება.
მაგალითად: Q ველის ზემოთ
x + y = 2 - არათანმიმდევრული სისტემა
x – y = 0 - ერთობლივი განსაზღვრული (x, y = ½)
2x + 2y = 2 - ერთობლივი განუსაზღვრელი
ორი l.u ეკვივალენტურია, თუ ამ სისტემების ამონახსნთა სიმრავლეები ემთხვევა, ანუ ერთი სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი ერთდროულად მეორეს ამოხსნაა. ამის ექვივალენტური სისტემის მიღება შესაძლებელია:
1. ერთ-ერთი განტოლების ჩანაცვლება ამ განტოლებით გამრავლებული ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვით.
2. ერთ-ერთი განტოლების ჩანაცვლება ამ განტოლების ჯამით სისტემის სხვა განტოლებით.
SLE-ის ამოხსნა ხორციელდება გაუსის მეთოდით.
45* წრფივი განტოლებათა სისტემების ელემენტარული გარდაქმნები (slu). გაუსის მეთოდი.
დეფ.S.L.U n-xia-ს ელემენტარული გარდაქმნები შემდეგი გარდაქმნებია:
1. სისტემის განტოლებათა ერთ-ერთი სისტემის გამრავლება ველის არანულოვან ელემენტზე.
2. სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას კიდევ ერთი განტოლების დამატება ველის ელემენტზე.
3. სისტემაში დამატებები ან სისტემიდან გამორიცხვა არანულოვანი განტოლების 0*x1+0*x2+…+0*xn=0
4. შებრუნებული განტოლებები
წინადადებამოდით მივიღოთ სისტემა (**) ან სისტემა (*) სასრული რიცხვის გამოყენებით. ელემენტარული გარდაქმნები. შემდეგ სისტემა (**)~ სისტემა (*). (დოკუმენტის გარეშე)
მოადგილეწრფივი განტოლებათა სისტემის დაწერისას გამოვიყენებთ მატრიცულ აღნიშვნას.
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
………………….... …
Am1 am2 ... amn вn
მაგალითები: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1
x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0
3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2
2) 1 0 1 x1=1
0 1 2 x2=2
3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3
0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3
გაუსის მეთოდი
წინადადებამიეცით სისტემას (*).
(ა) თუ ყველა თავისუფალი წევრი უდრის 0-ს ყველა vk=0 ბევრი ამონახსნები = F n
(ბ) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (ამოხსნის გარეშე)
2. არა ყველა aij=0
(ა) თუ სისტემას აქვს განტოლება 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0
(ბ) თუ არ არსებობს ასეთი განტოლებები b1. გამოვრიცხოთ ნულოვანი განტოლებები. ვიპოვოთ უმცირესი ინდექსი i1, ისეთი, რომ ყველა კოეფიციენტი არ იყოს xij=0.
0……0………………. მეორე სვეტი ნულებით არის i1.
0……0…..*=0….. ….
0……0 ...……… …
1. განტოლებების გადალაგებით მივაღწევთ, რომ a1i1 = 0
0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(დავალება) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1
A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1…..….. ( გადააბიჯა
0…. 0… а2i1… 0…..0..0……. მატრიცა)
0 ........... 0 .... ami1.. ...……………………. …………………………….
0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….
სასრული რაოდენობის ნაბიჯების შემდეგ მივიღებთ ან სისტემას შეიცავს განტოლება 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0ან
0……0 1………….. L1 “წინ გაუსიანი ინსულტი” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. „უკუ ინსულტი
0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..გაუსი”
0 ........00.......0....1 ლ2 0....0 0......0........1... . .....0... ..
.............................. .... ............................................ ..
0........0 0 ............0..1 ლკ 0....0 0.......0....... ..0.....0.......1 ..
ცვლადებს xi1, ...... xik დავარქმევთ მთავარს, დანარჩენი თავისუფალია.
k=n => c-a განსაზღვრულია
კ
2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0
1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1
3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2
