იპოვნეთ რთული რიცხვის ყველა ძალა. რთული რიცხვები. რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა. რთული რიცხვის ცნების შესავალი
წარმოსახვითი და რთული რიცხვები. აბსცესი და ორდინატი
რთული რიცხვი. რთული რიცხვების შერწყმა.
ოპერაციები რთული რიცხვებით. გეომეტრიული
რთული რიცხვების წარმოდგენა. რთული თვითმფრინავი.
რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი. ტრიგონომეტრიული
რთული რიცხვების ფორმა. ოპერაციები კომპლექსით
რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით. მოივრის ფორმულა.
ძირითადი ინფორმაცია წარმოსახვითი და რთული რიცხვები მოცემულია განყოფილებაში „წარმოსახვითი და რთული რიცხვები“. ახალი ტიპის ამ რიცხვების საჭიროება გაჩნდა შემთხვევისთვის კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას
დ< 0 (здесь დ- დისკრიმინანტი კვადრატული განტოლება). დიდი ხნის განმავლობაში, ამ ციფრებს ფიზიკური გამოყენება არ ჰქონიათ, რის გამოც მათ "წარმოსახვითი" რიცხვები უწოდეს. თუმცა, ახლა ისინი ძალიან ფართოდ გამოიყენება ფიზიკის სხვადასხვა დარგში.და ტექნოლოგია: ელექტროტექნიკა, ჰიდრო- და აეროდინამიკა, ელასტიურობის თეორია და ა.შ.
რთული რიცხვები იწერება ფორმით:ა+ბი. Აქ ადა ბ – რეალური რიცხვები , ა მე – წარმოსახვითი ერთეული, ე.ი.ე. მე 2 = –1. ნომერი ადაურეკა აბსცისა, ა ბ – ორდინატირთული რიცხვიa + bi.ორი რთული რიცხვია+ბიდა ა–ბი უწოდებენ კონიუგატირთული რიცხვები.
ძირითადი შეთანხმებები:
1. რეალური ნომერი
აასევე შეიძლება დაიწეროს ფორმაშირთული რიცხვი:a + 0 მეან ა - 0 მე. მაგალითად, ჩანაწერები 5 + 0მედა 5-0 მენიშნავს იგივე რიცხვს 5 .2. კომპლექსი ნომერი 0 + ბიდაურეკა წმინდა წარმოსახვითი ნომერი. ჩანაწერიბინიშნავს იგივე, რაც 0 + ბი.
3. ორი რთული რიცხვია+ბი დაc + diგანიხილება თანაბარი თუa = cდა ბ = დ. წინააღმდეგ შემთხვევაში რთული რიცხვები არ არის ტოლი.
დამატება. რთული რიცხვების ჯამია+ბიდა c + diეწოდება რთული რიცხვი (ა+გ ) + (ბ+დ ) მე.ამრიგად, დამატებისას კომპლექსური რიცხვები, მათი აბსციები და ორდინატები ცალკე ემატება.
ეს განსაზღვრება შეესაბამება ჩვეულებრივი მრავალწევრებით მოქმედებების წესებს.
გამოკლება. ორი რთული რიცხვის განსხვავებაა+ბი(შემცირდა) და c + di(სუბტრაჰენდი) ეწოდება კომპლექსურ რიცხვს (ა–გ ) + (ბ–დ ) მე.
ამრიგად, ორი რთული რიცხვის გამოკლებისას მათ აბსცისა და ორდინატებს აკლდება ცალკე.
გამრავლება. რთული რიცხვების ნამრავლია+ბიდა c + di კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ:
(ac–bd ) + (რეკლამა+ძვ ) მე.ეს განმარტება გამომდინარეობს ორი მოთხოვნიდან:
1) ნომრები ა+ბიდა c + diალგებრულივით უნდა გამრავლდესორომალიები,
2) ნომერი მეაქვს ძირითადი ქონება:მე 2 = – 1.
მაგალითი ( ა+ ბი )(ა–ბი) = ა 2 +ბ 2 . აქედან გამომდინარე, მუშაობა
ორი კონიუგირებული რთული რიცხვი უდრის რეალურს
დადებითი რიცხვი.
განყოფილება. კომპლექსური რიცხვის გაყოფაა+ბი (იყოფა) სხვაზეc + di(გამყოფი) - ნიშნავს მესამე ნომრის პოვნასe + f i(ჩატი), რომელიც გამყოფზე გამრავლებისასc + di, იწვევს დივიდენდსa + bi.
თუ გამყოფი არ არის ნული, გაყოფა ყოველთვის შესაძლებელია.
მაგალითი იპოვეთ (8 +მე ) : (2 – 3 მე) .
გადაწყვეტა, გადავიწეროთ ეს თანაფარდობა წილადის სახით:
მისი მრიცხველის და მნიშვნელის გამრავლება 2 + 3-ზემე
და ყველა გარდაქმნის შემდეგ მივიღებთ:
რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა. რეალური რიცხვები წარმოდგენილია რიცხვითი ხაზის წერტილებით:
აქ არის წერტილი ანიშნავს რიცხვს –3, წერტილიბ- ნომერი 2 და ო- ნული. ამის საპირისპიროდ, რთული რიცხვები წარმოდგენილია წერტილებით კოორდინატულ სიბრტყეზე. ამ მიზნით ვირჩევთ მართკუთხა (დეკარტიის) კოორდინატებს ორივე ღერძზე ერთი და იგივე მასშტაბებით. შემდეგ კომპლექსური რიცხვია+ბი იქნება წარმოდგენილი წერტილით პ აბსცისით ა და ორდინატი ბ (იხ. სურათი). ამ კოორდინატთა სისტემას ე.წ რთული თვითმფრინავი .
მოდული რთული რიცხვი არის ვექტორის სიგრძეOP, რომელიც წარმოადგენს კომპლექსურ რიცხვს კოორდინატზე ( ყოვლისმომცველი) თვითმფრინავი. რთული რიცხვის მოდულია+ბიაღინიშნება | ა+ბი| ან წერილი რ
განვიხილოთ კვადრატული განტოლება.
მოდით განვსაზღვროთ მისი ფესვები.
არ არსებობს რეალური რიცხვი, რომლის კვადრატი არის -1. მაგრამ თუ ოპერატორს განვსაზღვრავთ ფორმულით მეროგორც წარმოსახვითი ერთეული, მაშინ ამ განტოლების ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს როგორც 
. სადაც 
და 
- რთული რიცხვები, რომლებშიც -1 არის რეალური ნაწილი, 2 ან მეორე შემთხვევაში -2 არის წარმოსახვითი ნაწილი. წარმოსახვითი ნაწილიც რეალური რიცხვია. წარმოსახვითი ნაწილი გამრავლებული წარმოსახვით ერთეულზე ნიშნავს უკვე წარმოსახვითი რიცხვი.
ზოგადად, კომპლექსურ რიცხვს აქვს ფორმა
ზ = x + iy ,
სად x, y– რეალური რიცხვები, – წარმოსახვითი ერთეული. მთელ რიგ გამოყენებით მეცნიერებებში, მაგალითად, ელექტროინჟინერიაში, ელექტრონიკაში, სიგნალის თეორიაში, წარმოსახვითი ერთეული აღინიშნება ჯ. რეალური რიცხვები x = Re(z)და y=მე (ზ)უწოდებენ რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებინომრები ზ.გამოთქმა ე.წ ალგებრული ფორმართული რიცხვის დაწერა.
ნებისმიერი რეალური რიცხვია განსაკუთრებული შემთხვევართული რიცხვი სახით 
. წარმოსახვითი რიცხვი ასევე რთული რიცხვის განსაკუთრებული შემთხვევაა 
.
C კომპლექსური რიცხვების სიმრავლის განმარტება
ეს გამოთქმა იკითხება შემდეგნაირად: კომპლექტი თან, რომელიც შედგება ისეთი ელემენტებისაგან, რომ xდა წეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს რდა წარმოსახვითი ერთეულია. გაითვალისწინეთ, რომ და ა.შ.
ორი რთული რიცხვი 
და 
ტოლები არიან თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია, ე.ი. და .
რთული რიცხვები და ფუნქციები ფართოდ გამოიყენება მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში, განსაკუთრებით მექანიკაში, მიკროსქემის ანალიზსა და დიზაინში. ალტერნატიული დენი, ანალოგური ელექტრონიკა, თეორია და სიგნალის დამუშავება, ავტომატური მართვის თეორია და სხვა გამოყენებითი მეცნიერებები.
- რთული რიცხვების არითმეტიკა
ორი რთული რიცხვის შეკრება შედგება მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების მიმატებისგან, ე.ი.
შესაბამისად, ორი რთული რიცხვის სხვაობა
კომპლექსური ნომერი 
დაურეკა ყოვლისმომცველად კონიუგატინომერი z =x+iy.
რთული კონიუგატური რიცხვები z და z * განსხვავდება წარმოსახვითი ნაწილის ნიშნებით. აშკარაა რომ
.
რთულ გამონათქვამებს შორის ნებისმიერი თანასწორობა ძალაში რჩება, თუ ყველგან არის ამ თანასწორობაში მეშეცვალა -
მე, ე.ი. გადადით კონიუგირებული რიცხვების ტოლობაზე. ნომრები მედა –
მეალგებრულად განსხვავდებიან, ვინაიდან 
.
ორი რთული რიცხვის ნამრავლი (გამრავლება) შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:
ორი რთული რიცხვის დაყოფა:
მაგალითი:
- რთული თვითმფრინავი
რთული რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი გრაფიკულად მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. მოდით განვსაზღვროთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეში (x, y).
ღერძზე ოქსიჩვენ მოვათავსებთ რეალურ ნაწილებს x, ჰქვია რეალური (რეალური) ღერძი, ღერძზე ოი- წარმოსახვითი ნაწილები წრთული რიცხვები. ჰქვია წარმოსახვითი ღერძი. ამ შემთხვევაში, თითოეული რთული რიცხვი შეესაბამება სიბრტყის გარკვეულ წერტილს და ასეთი სიბრტყე ეწოდება რთული თვითმფრინავი. წერტილი აკომპლექსური სიბრტყე შეესაბამება ვექტორს OA.
ნომერი xდაურეკა აბსცისართული რიცხვი, რიცხვი წ – ორდინატი.
რთული კონიუგატური რიცხვების წყვილი წარმოდგენილია წერტილებით, რომლებიც სიმეტრიულად მდებარეობს რეალური ღერძის გარშემო.
 |
თუ თვითმფრინავში დავაყენებთ პოლარული კოორდინატთა სისტემა, შემდეგ ყოველი რთული რიცხვი ზგანსაზღვრული პოლარული კოორდინატები. სადაც მოდულინომრები 
არის წერტილის პოლარული რადიუსი და კუთხე 
- მისი პოლარული კუთხე ან რთული რიცხვის არგუმენტი ზ.
რთული რიცხვის მოდული 
ყოველთვის არაუარყოფითი. რთული რიცხვის არგუმენტი ცალსახად არ არის განსაზღვრული. არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას 
. რთული სიბრტყის თითოეული წერტილი ასევე შეესაბამება არგუმენტის ზოგად მნიშვნელობას. არგუმენტები, რომლებიც განსხვავდებიან 2π-ის ნამრავლით, განიხილება ტოლი. რიცხვი ნულოვანი არგუმენტი განუსაზღვრელია.
არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა განისაზღვრება გამონათქვამებით:
აშკარაა რომ
სადაც
, 
.
კომპლექსური რიცხვების წარმოდგენა ზროგორც
დაურეკა ტრიგონომეტრიული ფორმართული რიცხვი.
მაგალითი.
- საჩვენებელი ფორმართული რიცხვები
დაშლა in მაკლარინის სერიარეალური არგუმენტის ფუნქციებისთვის 
აქვს ფორმა:
ექსპონენციალური ფუნქციისთვის რთული არგუმენტით ზდაშლა მსგავსია
.
მაკლარინის სერიის გაფართოება წარმოსახვითი არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქციისთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც
მიღებულ იდენტურობას ე.წ ეილერის ფორმულა.
უარყოფითი არგუმენტისთვის მას აქვს ფორმა
ამ გამონათქვამების კომბინაციით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ შემდეგი გამონათქვამები სინუსისა და კოსინუსისთვის
.
ეილერის ფორმულის გამოყენებით რთული რიცხვების გამოსახვის ტრიგონომეტრიული ფორმიდან
ხელმისაწვდომი საჩვენებელი(ექსპონენციალური, პოლარული) რთული რიცხვის ფორმა, ე.ი. მისი წარმოდგენა ფორმაში
,
სად 
- წერტილის პოლარული კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატები (x,წ).
რთული რიცხვის კონიუგატი ექსპონენციალური სახით იწერება შემდეგნაირად.
ექსპონენციალური ფორმისთვის მარტივია რთული რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის შემდეგი ფორმულების დადგენა
ანუ, ექსპონენციალური ფორმით, რთული რიცხვების ნამრავლი და გაყოფა უფრო მარტივია, ვიდრე ალგებრული ფორმით. გამრავლებისას მრავლდება ფაქტორების მოდულები და ემატება არგუმენტები. ეს წესი ვრცელდება ნებისმიერ ფაქტორზე. კერძოდ, რთული რიცხვის გამრავლებისას ზ on მევექტორი ზბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90
გაყოფისას მრიცხველის მოდული იყოფა მნიშვნელის მოდულზე, ხოლო მნიშვნელის არგუმენტი კლებულობს მრიცხველის არგუმენტს.
რთული რიცხვების ექსპონენციალური ფორმის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ გამონათქვამები ცნობილი ტრიგონომეტრიული იდენტობებისთვის. მაგალითად, იდენტობიდან
ეილერის ფორმულით შეგვიძლია დავწეროთ
ამ გამოსახულებაში რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გათანაბრებით, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამებს კუთხეების ჯამის კოსინუსისა და სინუსისთვის.
- რთული რიცხვების სიმძლავრეები, ფესვები და ლოგარითმები
რთული რიცხვის აყვანა ბუნებრივ ხარისხზე ნწარმოებული ფორმულის მიხედვით
მაგალითი. გამოვთვალოთ 
.
წარმოვიდგინოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით
’
გაძლიერების ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ
გამონათქვამში მნიშვნელობის დაყენებით რ= 1, ვიღებთ ე.წ მოივრის ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ განსაზღვროთ გამონათქვამები მრავალი კუთხის სინუსებისა და კოსინუსებისთვის.
ფესვი ნ-კომპლექსური რიცხვის მე-თე ხარისხი ზᲛას აქვს ნგამოხატულებით განსაზღვრული სხვადასხვა მნიშვნელობები
მაგალითი. მოდი ვიპოვოთ.
ამისათვის გამოვხატავთ კომპლექსურ რიცხვს () ტრიგონომეტრიული ფორმით
.
რთული რიცხვის ფესვის გამოსათვლელად ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ
რთული რიცხვის ლოგარითმი ზ- ეს არის ნომერი ვ, რისთვისაც . ბუნებრივი ლოგარითმიკომპლექსურ რიცხვს აქვს მნიშვნელობების უსასრულო რაოდენობა და გამოითვლება ფორმულით
შედგება რეალური (კოსინუსი) და წარმოსახვითი (სინუსი) ნაწილისგან. ეს ძაბვა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სიგრძის ვექტორად U მ, საწყისი ფაზა (კუთხე), მბრუნავი კუთხური სიჩქარით ω .
უფრო მეტიც, თუ რთული ფუნქციები დაემატება, მაშინ ემატება მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. თუ რთული ფუნქცია მრავლდება მუდმივ ან რეალურ ფუნქციაზე, მაშინ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები მრავლდება ერთი და იგივე კოეფიციენტზე. ასეთი რთული ფუნქციის დიფერენციაცია/ინტეგრაცია ხდება რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების დიფერენციაცია/ინტეგრაციამდე.
მაგალითად, რთული სტრესის გამოხატვის დიფერენცირება
არის მისი გამრავლება iω არის f(z) ფუნქციის რეალური ნაწილი და 
- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი. მაგალითები: 
.
მნიშვნელობა ზწარმოდგენილია წერტილით კომპლექსურ z სიბრტყეში და შესაბამისი მნიშვნელობით ვ- წერტილი კომპლექსურ სიბრტყეში ვ. როდესაც ნაჩვენებია w = f(z)თვითმფრინავის ხაზები ზგადაიქცევა თვითმფრინავის ხაზებად ვ, ერთი სიბრტყის ფიგურები მეორის ფიგურებად გადაიქცევა, მაგრამ ხაზების ან ფიგურების ფორმები შეიძლება მნიშვნელოვნად შეიცვალოს.
რთული რიცხვის ჩაწერის ალგებრული ფორმა ...................................... ................................... |
|||
კომპლექსური რიცხვების სიბრტყე ..................................................... ................................................................ ............................ |
|||
რთული კონიუგატური რიცხვები ..................................................... ................................................................ ................................ |
|||
მოქმედებები რთული რიცხვებით ალგებრულ ფორმაში................................ ......... .... |
|||
რთული რიცხვების შეკრება................................................ ................................................... ................. |
|||
რთული რიცხვების გამოკლება................................................ ................................................................ ...................... |
|||
რთული რიცხვების გამრავლება................................................ ...................................................... ................... |
|||
რთული რიცხვების გაყოფა................................................ .......................................................... ...................... |
|||
რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა................................................ ...................... |
|||
მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებთან ტრიგონომეტრიული ფორმით ..................................... ......... |
|||
რთული რიცხვების გამრავლება ტრიგონომეტრიულ ფორმაში................................................ ......... |
|||
რთული რიცხვების გაყოფა ტრიგონომეტრიულ ფორმაში................................ ......... ... |
|||
კომპლექსური რიცხვის აწევა დადებით მთელ რიცხვამდე ..................................... ............. |
|||
დადებითი მთელი გრადუსის ფესვის ამოღება რთული რიცხვიდან................................. |
|||
კომპლექსური რიცხვის რაციონალურ ხარისხზე აყვანა................................................ ................................... |
|||
კომპლექსური სერია ................................................ ................................................... ................................... |
|||
კომპლექსური რიცხვების სერია ..................................................... ................................................................ ................................ |
|||
სიმძლავრის სერია კომპლექსურ სიბრტყეში .............................................. ................................................... |
|||
ორმხრივი დენის სერიაკომპლექსურ სიბრტყეში ..................................................... ..... |
|||
რთული ცვლადის ფუნქციები.............................. ................................................... |
|||
ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები ..................................................... .......................................................... . |
|||
ეილერის ფორმულები...................................................... ................................................... ................................... |
|||
რთული რიცხვის გამოსახვის ექსპონენციალური ფორმა ...................................... ...................... |
|||
კავშირი ტრიგონომეტრიულ და ჰიპერბოლურ ფუნქციებს შორის................................ |
|||
ლოგარითმული ფუნქცია ..................................................... ................................................... ............. |
|||
ზოგადი ექსპონენციალური და ზოგადი სიმძლავრის ფუნქციები................................................ ................................... |
|||
რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია................................ ............. |
|||
კოში-რიმანის პირობები................................................ ................................................... ............. |
|||
წარმოებულის გამოთვლის ფორმულები................................................ ................................................... |
|||
დიფერენციაციის მოქმედების თვისებები ..................................................... ...................................................... |
|||
ანალიტიკური ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების თვისებები................................... |
|||
რთული ცვლადის ფუნქციის რეკონსტრუქცია მისი რეალური ან წარმოსახვითი |
|||
მეთოდი No1. მრუდის ინტეგრალის გამოყენება................................................ ......... |
|||
მეთოდი No2. კოში-რიმანის პირობების პირდაპირი გამოყენება................................ |
|||
მეთოდი ნომერი 3. საძიებო ფუნქციის წარმოებულის მეშვეობით................................................. ......... ......... |
|||
რთული ცვლადის ფუნქციების ინტეგრაცია................................................ ...................... |
|||
ინტეგრალური კოშის ფორმულა ..................................................... ................................................... ............. |
|||
ფუნქციების გაფართოება ტეილორისა და ლორანის სერიებში................................. .......................................... |
|||
რთული ცვლადის ფუნქციის ნულები და სინგულარული წერტილები................................ ...................... |
|||
რთული ცვლადის ფუნქციის ნულები................................ .......................................... |
|||
რთული ცვლადის ფუნქციის იზოლირებული სინგულარული წერტილები................................... |
|||
14.3 წერტილი უსასრულობაში, როგორც რთული ცვლადის ფუნქციის სინგულარული წერტილი
გამოქვითვები................................................ .......................................................... ..................................................... ... |
|||
გამოქვითვა საბოლოო პუნქტში ..................................................... ................................................... ............. |
|||
ფუნქციის ნარჩენი უსასრულობის წერტილში ..................................... ............................. |
|||
ინტეგრალების გამოთვლა ნარჩენების გამოყენებით................................................. ................................................... |
|||
თვითტესტის კითხვები ..................................................... ...................................................... ...................................... |
|||
ლიტერატურა..................................................... ................................................... ................................................... |
|||
საგნის ინდექსი ..................................................... ................................................... ........................ |
|||
Წინასიტყვაობა
დროისა და ძალისხმევის სწორად განაწილება გამოცდის ან მოდულის სერტიფიცირების თეორიული და პრაქტიკული ნაწილებისთვის მომზადებისას საკმაოდ რთულია, მით უმეტეს, რომ სესიის განმავლობაში ყოველთვის არ არის საკმარისი დრო. და როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ყველას არ შეუძლია გაუმკლავდეს ამას. შედეგად, გამოცდის მსვლელობისას ზოგიერთ სტუდენტს სწორად წყვეტს ამოცანები, მაგრამ უჭირს უმარტივეს თეორიულ კითხვებზე პასუხის გაცემა, ზოგს კი შეუძლია თეორემის ჩამოყალიბება, მაგრამ ვერ იყენებს.
კურსში „კომპლექსური ცვლადის ფუნქციების თეორია“ (TFCP) გამოცდისთვის მომზადების ეს სახელმძღვანელო არის ამ წინააღმდეგობის გადაჭრის და კურსის თეორიული და პრაქტიკული მასალის ერთდროული გამეორების მცდელობა. ხელმძღვანელობენ პრინციპით „თეორია პრაქტიკის გარეშე მკვდარია, პრაქტიკა თეორიის გარეშე ბრმაა“, ისინი შეიცავს კურსის თეორიულ დებულებებს განმარტებებისა და ფორმულირების დონეზე, ასევე მაგალითებს, რომლებიც ასახავს თითოეული მოცემული თეორიული პოზიციის გამოყენებას და ამით ხელს უწყობს მისი დამახსოვრება და გაგება.
შემოთავაზებულის მიზანი მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები- დაეხმარეთ სტუდენტს გამოცდისთვის მომზადებაში საბაზო დონე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შედგენილია გაფართოებული სამუშაო საცნობარო წიგნი, რომელიც შეიცავს ძირითად პუნქტებს, რომლებიც გამოიყენება TFKP კურსის გაკვეთილებში და აუცილებელია შესრულებისას. საშინაო დავალებადა საკონტროლო ღონისძიებებისთვის მომზადება. გარდა ამისა დამოუკიდებელი მუშაობასტუდენტებს, ეს ელექტრონული საგანმანათლებლო პუბლიკაცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაკვეთილების ინტერაქტიული ფორმით ელექტრონული დაფის გამოყენებით ან დისტანციური სწავლების სისტემაში განთავსებისას.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს ნაშრომი არ ცვლის არც სახელმძღვანელოებს და არც სალექციო ჩანაწერებს. მასალის სიღრმისეული შესწავლისთვის რეკომენდებულია მიმართოთ MSTU-ს მიერ გამოქვეყნებულ შესაბამის განყოფილებებს. ნ.ე. ბაუმანის ძირითადი სახელმძღვანელო.
სახელმძღვანელოს ბოლოს არის რეკომენდირებული ლიტერატურის სია და საგნის ინდექსი, რომელიც მოიცავს ყველაფერს, რაც ხაზგასმულია ტექსტში. თამამი დახრილივადები. ინდექსი შედგება სექციების ჰიპერბმულებისგან, რომლებშიც ეს ტერმინები მკაცრად არის განსაზღვრული ან აღწერილი და სადაც მოცემულია მაგალითები მათი გამოყენების საილუსტრაციოდ.
სახელმძღვანელო განკუთვნილია სსტუ-ს ყველა ფაკულტეტის მე-2 კურსის სტუდენტებისთვის. ნ.ე. ბაუმანი.
1. რთული რიცხვის ჩაწერის ალგებრული ფორმა
z = x + iy ფორმის აღნიშვნა, სადაც x, y არის რეალური რიცხვები, i არის წარმოსახვითი ერთეული (ე.ი. i 2 = − 1)
ეწოდება z რთული რიცხვის ჩაწერის ალგებრული ფორმა. ამ შემთხვევაში x ეწოდება რთული რიცხვის ნამდვილ ნაწილს და აღინიშნება Re z (x = Re z), y ეწოდება რთული რიცხვის წარმოსახვით ნაწილს და აღინიშნება Im z (y = Im z).
მაგალითი. კომპლექსურ რიცხვს z = 4 − 3i აქვს რეალური ნაწილი Re z = 4 და წარმოსახვითი ნაწილი Im z = − 3 .
2. კომპლექსური რიცხვების თვითმფრინავი
IN განიხილება რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიებირთული რიცხვების თვითმფრინავი, რომელიც აღინიშნება ან ან კომპლექსური რიცხვების აღმნიშვნელი ასოების გამოყენებით z, w და ა.შ.
რთული სიბრტყის ჰორიზონტალური ღერძი ე.წ რეალური ღერძი, მასზე მოთავსებულია რეალური რიცხვები z = x + 0 i = x.
რთული სიბრტყის ვერტიკალურ ღერძს წარმოსახვითი ღერძი ეწოდება;
3. რთული კონიუგატური რიცხვები
რიცხვები z = x + iy და z = x − iy ეწოდება რთული კონიუგატი. კომპლექსურ სიბრტყეზე ისინი შეესაბამება წერტილებს, რომლებიც სიმეტრიულია რეალური ღერძის მიმართ.
4. მოქმედებები რთული რიცხვებით ალგებრული ფორმით
4.1 რთული რიცხვების შეკრება
ორი რთული რიცხვის ჯამი |
z 1 = x 1 + iy 1 |
და z 2 = x 2 + iy 2 ეწოდება კომპლექსურ რიცხვს |
|||||||||||
z 1 + z 2 |
= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = ( x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) . |
ოპერაცია |
დამატება |
||||||||||
რთული რიცხვები მსგავსია ალგებრული ბინომების შეკრების მოქმედებისა. |
|||||||||||||
მაგალითი. ორი რთული რიცხვის ჯამი z 1 = 3 + 7i და z 2 |
= −1 +2 ი |
რთული რიცხვი იქნება |
|||||||||||
z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i . |
|||||||||||||
ცხადია, |
ჯამი ყოვლისმომცველი სახით |
კონიუგატი |
არის |
რეალური |
|||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Re z. |
|||||||||||||
4.2 კომპლექსური რიცხვების გამოკლება |
|||||||||||||
ორი რთული რიცხვის სხვაობა z 1 = x 1 + iy 1 |
X 2 +iy 2 |
დაურეკა |
ყოვლისმომცველი |
||||||||||
რიცხვი z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) . |
|||||||||||||
მაგალითი. ორი რთული რიცხვის განსხვავება |
z 1 = 3 −4 i |
და z 2 |
= −1 +2 ი |
იქნება ყოვლისმომცველი |
|||||||||
რიცხვი z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i . |
|||||||||||||
განსხვავებით |
რთული კონიუგატი |
არის |
|||||||||||
z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z . |
|||||||||||||
4.3 კომპლექსური რიცხვების გამრავლება |
|||||||||||||
ორი რთული რიცხვის ნამრავლი |
z 1 = x 1 + iy 1 |
და z 2 = x 2 + iy 2 |
კომპლექსს უწოდებენ |
||||||||||
z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2 |
= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) . |
||||||||||||
ამრიგად, რთული რიცხვების გამრავლების ოპერაცია მსგავსია ალგებრული ორომალიების გამრავლების მოქმედებისა, იმის გათვალისწინებით, რომ i 2 = − 1.
განმარტება
რთული რიცხვის ალგებრული ფორმაა კომპლექსური რიცხვის დაწერა \(\z\) სახით \(\z=x+i y\), სადაც \(\x\) და \(\y\) რეალური რიცხვებია. , \(\i\ ) - წარმოსახვითი ერთეული, რომელიც აკმაყოფილებს მიმართებას \(\i^(2)=-1\)
რიცხვს \(\ x \) ეწოდება კომპლექსური რიცხვის რეალური ნაწილი \(\ z \) და აღინიშნება \(\ x=\ოპერატორის სახელი (Re) z \)
რიცხვს \(\y\) ეწოდება \(\z\) რთული რიცხვის წარმოსახვითი ნაწილი და აღინიშნება \(\y=\ოპერატორის სახელი(Im) z\)
Მაგალითად:
კომპლექსური რიცხვი \(\ z=3-2 i \) და მისი მიმდევარი ნომერი \(\ \overline(z)=3+2 i \) იწერება ალგებრული ფორმით.
წარმოსახვითი სიდიდე \(\ z=5 i \) იწერება ალგებრული ფორმით.
გარდა ამისა, თქვენი გადაჭრის პრობლემის მიხედვით, შეგიძლიათ კომპლექსური რიცხვი გადააქციოთ ტრიგონომეტრიულ ან ექსპონენციალურ რიცხვად.
დაწერეთ რიცხვი \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) ალგებრული ფორმით, იპოვეთ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები, აგრეთვე მისი შეერთებული რიცხვი.
წილადების ტერმინის დაყოფისა და წილადების შეკრების წესის გამოყენებით მივიღებთ:
\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)
მაშასადამე, კომპლექსური რიცხვის რეალური ნაწილი \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) არის რიცხვი \(\ x=\ოპერატორის სახელი(Re) z= \frac(59) (4) \) , წარმოსახვითი ნაწილი არის რიცხვი \(\ y=\ოპერატორის სახელი(Im) z=-\frac(1)(4) \)
კონიუგატური ნომერი: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \ოპერატორის სახელი(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \ოპერატორის სახელი(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
რთული რიცხვების მოქმედებები ალგებრული ფორმის შედარებაში
ორი რთული რიცხვი \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ტოლია, თუ \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) ე.ი. მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია.
დაადგინეთ, რომელ x და y-სთვის არის ტოლი ორი რთული რიცხვი \(\ z_(1)=13+y i \) და \(\ z_(2)=x+5 i \).
განმარტებით, ორი რთული რიცხვი ტოლია, თუ მათი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ტოლია, ე.ი. \(\x=13\), \(\y=5\).
დამატება
რთული რიცხვების დამატება \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) ხდება რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების უშუალო შეჯამებით:
\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\მარცხნივ(x_(1)+x_(2)\მარჯვნივ) +i\მარცხნივ(y_(1)+y_(2)\მარჯვნივ) \)
იპოვეთ რთული რიცხვების ჯამი \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)
კომპლექსური რიცხვის რეალური ნაწილი \(\ z_(1)=-7+5 i \) არის რიცხვი \(\ x_(1)=\ოპერატორის სახელი(Re) z_(1)=-7 \) , წარმოსახვითი ნაწილი არის რიცხვი \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . \(\ z_(2)=13-4 i \) კომპლექსური რიცხვის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები უდრის \(\ x_(2)=\ოპერატორის სახელი(Re) z_(2)=13 \) და \( \ y_(2) შესაბამისად )=\ოპერატორის სახელი(Im) z_(2)=-4 \) .
ამრიგად, რთული რიცხვების ჯამი არის:
\(\z_(1)+z_(2)=\მარცხნივ(x_(1)+x_(2)\მარჯვნივ)+i\left(y_(1)+y_(2)\მარჯვნივ)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)
\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)
კომპლექსური რიცხვების შეკრების შესახებ მეტი წაიკითხეთ ცალკე სტატიაში: რთული რიცხვების დამატება.
გამოკლება
კომპლექსური რიცხვების გამოკლება \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) და \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) ხდება უშუალოდ გამოკლებით. რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:
\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\მარცხნივ(x_(2)+i y_(2)\მარჯვნივ)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\მარჯვნივ ) \)
იპოვეთ კომპლექსური რიცხვების სხვაობა \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)
იპოვეთ რთული რიცხვების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :
\(\ x_(1)=\ოპერატორის სახელი(Re) z_(1)=17, x_(2)=\ოპერატორის სახელი(Re) z_(2)=15 \)
\(\ y_(1)=\ოპერატორის სახელი(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\ოპერატორის სახელი(Im) z_(2)=5 \)
ამრიგად, კომპლექსური რიცხვების განსხვავებაა:
\(\z_(1)-z_(2)=\მარცხნივ(x_(1)-x_(2)\მარჯვნივ)+i\left(y_(1)-y_(2)\მარჯვნივ)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)
\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) გამრავლება
\(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) და \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) რთული რიცხვების გამრავლება ხორციელდება უშუალოდ შექმნით რიცხვები ალგებრული ფორმით წარმოსახვითი ერთეულის თვისების გათვალისწინებით \(\i^(2)=-1\) :
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\ მარცხნივ(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\მარჯვნივ)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\მარჯვნივ)=\)
\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\მარჯვნივ) \)
იპოვეთ რთული რიცხვების ნამრავლი \(\ z_(1)=1-5 i \)
რთული რიცხვების კომპლექსი:
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) გაყოფა
\(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) და \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) კომპლექსური რიცხვების კოეფიციენტი განისაზღვრება გამრავლებით მრიცხველი და მნიშვნელი მნიშვნელთან შეერთებულ რიცხვზე:
\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\მარცხნივ (x_(1)+i y_(1)\მარჯვნივ)\მარცხნივ(x_(2)-i y_(2)\მარჯვნივ))(\მარცხნივ(x_(2)+i y_(2)\მარჯვნივ)\მარცხნივ (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2)+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)
რიცხვი 1 გავყოთ კომპლექსურ რიცხვზე \(\z=1+2 i\).
ვინაიდან რეალური რიცხვი 1-ის წარმოსახვითი ნაწილი ნულია, ფაქტორი არის:
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
Გაკვეთილის გეგმა.
1. საორგანიზაციო მომენტი.
2. მასალის პრეზენტაცია.
3. საშინაო დავალება.
4. გაკვეთილის შეჯამება.
გაკვეთილების დროს
I. საორგანიზაციო მომენტი.
II. მასალის პრეზენტაცია.
Მოტივაცია.
რეალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოება შედგება ნამდვილ რიცხვებზე ახალი რიცხვების (წარმოსახვითი) დამატებისგან. ამ რიცხვების შემოღება განპირობებულია რეალური რიცხვების სიმრავლეში უარყოფითი რიცხვის ფესვის ამოღების შეუძლებლობით.
რთული რიცხვის ცნების შესავალი.
წარმოსახვითი რიცხვები, რომლებითაც ვავსებთ ნამდვილ რიცხვებს, იწერება ფორმაში ბი, სად მეწარმოსახვითი ერთეულია და მე 2 = - 1.
ამის საფუძველზე ვიღებთ რთული რიცხვის შემდეგ განმარტებას.
განმარტება. რთული რიცხვი არის ფორმის გამოხატულება ა+ბი, სად ადა ბ- რეალური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, შემდეგი პირობები დაკმაყოფილებულია:
ა) ორი რთული რიცხვი a 1 + b 1 iდა a 2 + b 2 iთანაბარი თუ და მხოლოდ თუ a 1 = a 2, b 1 =b 2.
ბ) კომპლექსური რიცხვების შეკრება განისაზღვრება წესით:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
გ) კომპლექსური რიცხვების გამრავლება განისაზღვრება წესით:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა.
რთული რიცხვის ჩაწერა ფორმაში ა+ბიეწოდება რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა, სადაც ა- რეალური ნაწილი, ბიწარმოსახვითი ნაწილია და ბ- ნამდვილი რიცხვი.
კომპლექსური ნომერი ა+ბიითვლება ნულის ტოლად, თუ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები ნულის ტოლია: a = b = 0
კომპლექსური ნომერი ა+ბიზე b = 0ითვლება ემთხვევა ნამდვილი რიცხვი ა: a + 0i = a.
კომპლექსური ნომერი ა+ბიზე a = 0წმინდა წარმოსახვითი ეწოდება და აღინიშნება ბი: 0 + ბი = ბი.
ორი რთული რიცხვი z = a + biდა = ა – ბი, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ წარმოსახვითი ნაწილის ნიშნით, უწოდებენ კონიუგატს.
მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ალგებრული ფორმით.
თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ შემდეგი მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ალგებრული ფორმით.
1) დამატება.
განმარტება. რთული რიცხვების ჯამი z 1 = a 1 + b 1 iდა z 2 = a 2 + b 2 iკომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ ზ, რომლის უძრავი ნაწილი უძრავი ნაწილების ჯამის ტოლია z 1და z 2, ხოლო წარმოსახვითი ნაწილი არის რიცხვების წარმოსახვითი ნაწილების ჯამი z 1და z 2, ანუ z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
ნომრები z 1და z 2ტერმინებს უწოდებენ.
რთული რიცხვების შეკრებას აქვს შემდეგი თვისებები:
1º. კომუტატიულობა: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. ასოციაციურობა: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. კომპლექსური ნომერი –a –biეწოდება რთული რიცხვის საპირისპირო z = a + bi. რთული რიცხვი, რთული რიცხვის საპირისპირო ზ, აღნიშნა -ზ. რთული რიცხვების ჯამი ზდა -ზნულის ტოლია: z + (-z) = 0
მაგალითი 1: შეასრულეთ დამატება (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) გამოკლება.
განმარტება.გამოვაკლოთ კომპლექსურ რიცხვს z 1რთული რიცხვი z 2 z,Რა z + z 2 = z 1.
თეორემა. განსხვავება კომპლექსურ რიცხვებს შორის არსებობს და უნიკალურია.
მაგალითი 2: შეასრულეთ გამოკლება (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) გამრავლება.
განმარტება. რთული რიცხვების ნამრავლი z 1 =a 1 +b 1 იდა z 2 =a 2 +b 2 iკომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ ზ, განისაზღვრება თანასწორობით: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
ნომრები z 1და z 2ფაქტორებს უწოდებენ.
რთული რიცხვების გამრავლებას აქვს შემდეგი თვისებები:
1º. კომუტატიულობა: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. ასოციაციურობა: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. გამრავლების განაწილება შეკრების მიმართ:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- ნამდვილი რიცხვი.
პრაქტიკაში რთული რიცხვების გამრავლება ხდება ჯამის ჯამზე გამრავლებისა და რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გამოყოფის წესის მიხედვით.
შემდეგ მაგალითში განვიხილავთ რთული რიცხვების გამრავლებას ორი გზით: წესით და ჯამის ჯამზე გამრავლებით.
მაგალითი 3: გააკეთეთ გამრავლება (2 + 3i) (5 – 7i).
1 გზა. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
მეთოდი 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) განყოფილება.
განმარტება. კომპლექსური რიცხვის გაყოფა z 1კომპლექსურ რიცხვამდე z 2, ნიშნავს ასეთი რთული რიცხვის პოვნას ზ, Რა z · z 2 = z 1.
თეორემა.რთული რიცხვების კოეფიციენტი არსებობს და უნიკალურია თუ z 2 ≠ 0 + 0i.
პრაქტიკაში, კომპლექსური რიცხვების კოეფიციენტი გვხვდება მრიცხველისა და მნიშვნელის მნიშვნელის კონიუგატზე გამრავლებით.
დაე z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, მაშინ
.
შემდეგ მაგალითში ჩვენ განვახორციელებთ გაყოფას ფორმულის და გამრავლების წესის გამოყენებით მნიშვნელთან შეერთებულ რიცხვზე.
მაგალითი 4. იპოვეთ კოეფიციენტი 
.
5) პოზიტიურ მთლიან ძალამდე ამაღლება.
ა) წარმოსახვითი ერთეულის ძალები.
თანასწორობით სარგებლობა მე 2 = -1, ადვილია წარმოსახვითი ერთეულის ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვის სიმძლავრის განსაზღვრა. Ჩვენ გვაქვს:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1და ა.შ.
ეს გვიჩვენებს, რომ ხარისხის მნიშვნელობები მე ნ, სად ნ- მთლიანი დადებითი რიცხვი, მეორდება პერიოდულად, როდესაც მაჩვენებელი იზრდება 4 .
ამიტომ, რაოდენობის გაზრდა მეპოზიტიურ მთლიან ძალამდე, ჩვენ უნდა გავყოთ მაჩვენებელი 4 და აშენება მესიმძლავრის მიმართ, რომლის მაჩვენებელი უდრის გაყოფის ნარჩენს.
მაგალითი 5: გამოთვალეთ: (მე 36 + მე 17) მე 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
ბ) კომპლექსური რიცხვის აწევა დადებით მთელ ხარისხზე ხორციელდება ბინომის შესაბამის ხარისხზე აყვანის წესის მიხედვით, ვინაიდან ეს არის იდენტური რთული ფაქტორების გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევა.
მაგალითი 6: გამოთვალეთ: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
