სერიები რთული რიცხვებით. სერია რთული ტერმინებით. სიმძლავრის კომპლექსური სერია

463. რა არის უტოლობების გეომეტრიული მნიშვნელობა: 1) Re z > 0; 2) მე ვარ ზ< 0 ?

2. სერია რთული ტერმინებით. განვიხილოთ რთული რიცხვების თანმიმდევრობა z 1, z 2 , ზ 3, ..., სადაც z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...).მუდმივი რიცხვი c = a + biდაურეკა ზღვარითანმიმდევრობები z 1, z 2 , ზ 3, ..., თუ ​​რაიმე თვითნებურად მცირე რიცხვისთვის δ>0 არის ასეთი რიცხვი N,რა აზრი აქვს ზ პნომრებით n > Nდააკმაყოფილეთ უთანასწორობა \ზ პ-ერთად\< δ . ამ შემთხვევაში წერენ .

რთული რიცხვების მიმდევრობის ზღვრის არსებობის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა: რიცხვი c=a+biარის კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3,…თუ და მხოლოდ თუ , .

(1)

რომლის წევრებიც რთული რიცხვებია ეწოდება კონვერგენტული,თუ nth S n სერიის ნაწილობრივი ჯამი p → ∞მიდრეკილია გარკვეული საბოლოო ლიმიტისკენ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სერია (1) ეწოდება განსხვავებული.

სერია (1) იყრის თავს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ რეალური ტერმინების სერიები ერთმანეთს ემთხვევა

(2) გამოიკვლიეთ სერიების კონვერგენცია, რომლის წევრებიც ქმნიან უსასრულოდ კლებულ გეომეტრიულ პროგრესიას. მაშასადამე, რთული ტერმინებით მოცემული სერია აბსოლუტურად იყრის თავს. ^

474. იპოვეთ სერიის კონვერგენციის არე

19.4.1. რიცხვების სერია რთული ტერმინებით.კონვერგენციის ყველა ძირითადი განმარტება, კონვერგენციული სერიების თვისებები და რთული სერიების კონვერგენციის ნიშნები არ განსხვავდება რეალური შემთხვევისგან.

19.4.1.1. ძირითადი განმარტებები. მოდით, მოგვცეს რთული რიცხვების უსასრულო მიმდევრობა ზ 1 , ზ 2 , ზ 3 , …, ზ ნ , ….რიცხვის რეალური ნაწილი ზ ნ ჩვენ აღვნიშნავთ ა ნ , წარმოსახვითი - ბ ნ

(ისინი. ზ ნ = ა ნ + მე ბ ნ , ნ = 1, 2, 3, …).

ნომრების სერია- ფორმის ჩანაწერი.

ნაწილობრივითანხებირიგი: ს 1 = ზ 1 , ს 2 = ზ 1 + ზ 2 , ს 3 = ზ 1 + ზ 2 + ზ 3 , ს 4 = ზ 1 + ზ 2 + ზ 3 + ზ 4 , …,

ს ნ = ზ 1 + ზ 2 + ზ 3 + … + ზ ნ , …

განმარტება.თუ არის ზღვარი ს რიგის ნაწილობრივი ჯამების თანმიმდევრობა ამისთვის
, რომელიც სათანადო კომპლექსური რიცხვია, მაშინ ამბობენ, რომ სერია ერთმანეთს ემთხვევა; ნომერი ს დაურეკეთ სერიის ჯამს და დაწერეთ ს = ზ 1 + ზ 2 + ზ 3 + … + ზ ნ + ... ან
.

ვიპოვოთ ნაწილობრივი ჯამების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:

ს ნ = ზ 1 + ზ 2 + ზ 3 + … + ზ ნ = (ა 1 + მე ბ 1) + (ა 2 + მე ბ 2) + (ა 3 + მე ბ 3) + … + (ა ნ + მე ბ ნ ) = (ა 1 + ა 2 + ა 3 +…+ ა ნ ) +

სად არის სიმბოლოები და მითითებულია ნაწილობრივი ჯამის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. რიცხვთა თანმიმდევრობა იყრის თავს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებისგან შემდგარი მიმდევრობები ერთმანეთს ემთხვევა. ამრიგად, რთული ტერმინების მქონე სერიები იყრის თავს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებით შექმნილი სერიები ერთმანეთს ემთხვევა. ამ განცხადებას ეფუძნება კომპლექსური ტერმინების თანხვედრის შესწავლის ერთ-ერთი მეთოდი.

მაგალითი.შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის .

მოდით ჩამოვწეროთ გამოთქმის რამდენიმე მნიშვნელობა : შემდეგ მნიშვნელობები მეორდება პერიოდულად. რეალური ნაწილების სერია: ; წარმოსახვითი ნაწილების სერია; ორივე სერია ერთმანეთს ემთხვევა (პირობითად), ამიტომ თავდაპირველი სერია იყრის თავს.

19.4.1.2. აბსოლუტური კონვერგენცია.

განმარტება.მწკრივი დაურეკა აბსოლუტურად კონვერგენტულითუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა
, რომელიც შედგება მისი წევრების აბსოლუტური მნიშვნელობებით.

ისევე როგორც ციფრული რეალური სერიებისთვის, რომლებსაც აქვთ თვითნებური ტერმინები, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა
, მაშინ სერია აუცილებლად იყრის თავს (
მაშასადამე, სერიალი ჩამოყალიბდა სერიის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილებით , აბსოლუტურად გეთანხმები). თუ რიგი იყრის თავს და სერია
განსხვავდება, შემდეგ სერია პირობითად კონვერგენტული ეწოდება.

მწკრივი
- სერია არაუარყოფითი ტერმინებით, ამიტომ, მისი კონვერგენციის შესასწავლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ყველა ცნობილი ტესტი (შედარების თეორემებიდან ინტეგრალურ კოშის ტესტამდე).

მაგალითი.შეამოწმეთ სერია კონვერგენციისთვის
.

მოდით გავაკეთოთ მოდულების სერია ():
. ეს სერია ერთდება (კოშის ტესტი
), ასე რომ, ორიგინალური სერია აბსოლუტურად იყრის თავს.

19.4. 1 . 3 . კონვერგენტული სერიების თვისებები.რთული ტერმინების მქონე კონვერგენტული სერიებისთვის, რეალური წევრების სერიების ყველა თვისება მოქმედებს:

სერიის კონვერგენციის აუცილებელი ნიშანი. კონვერგენტული სერიის ზოგადი წევრი ნულისკენ მიისწრაფვის როგორც
.

თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა , მაშინ სერიების ნებისმიერი ნარჩენი იყრის თავს.

თუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მისი ნარჩენების ჯამი შემდეგნ -ტერმინი მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც
.

თუ კონვერგენციული სერიის ყველა წევრი გამრავლებულია იმავე რიცხვზეთან , მაშინ სერიების კონვერგენცია შენარჩუნდება და ჯამი გამრავლდებათან .

კონვერგენტული სერია (ა ) და (IN ) შეიძლება დაემატოს და გამოკლდეს ტერმინი ტერმინით; შედეგად მიღებული სერიაც გადაიყრება და მისი ჯამი უდრის
.

თუ კონვერგენტული სერიების წევრები დაჯგუფებულია თვითნებურად და ყოველი წყვილი ფრჩხილის წევრთა ჯამებიდან მზადდება ახალი რიგი, მაშინ ეს ახალი რიგიც გადაირევა და მისი ჯამი ტოლი იქნება ჯამისა. ორიგინალური სერია.

თუ სერია აბსოლიტურად იყრის თავს, მაშინ როგორიც არ უნდა იყოს მისი პირობები გადაწყობილი, კონვერგენცია შენარჩუნებულია და ჯამი არ იცვლება.

თუ რიგები (ა ) და (IN ) აბსოლუტურად იყრის თავს მათ ჯამებს
და
, მაშინ მათი ნამრავლი, ტერმინების თვითნებური თანმიმდევრობით, ასევე აბსოლიტურად იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის
.

სიმბოლოს ნახვა ვ 1 + ვ 2 +…+ ვ ნ +…= (1), სად ვ ნ = u ნ + მე· ვ ნ (ნ = 1, 2, …) რთული რიცხვები (კომპლექსური რიცხვების მიმდევრობა) ეწოდება რთული რიცხვების სერია.

ნომრები ვ ნ (ნ = 1, 2, …) უწოდებენ ნომრის წევრები, წევრი ვ ნდაურეკა სერიის საერთო წევრი.

ფორმის ნომრები ს ნ = ვ 1 + ვ 2 +…+ ვ ნ (2) (ნ = 1, 2, …) , უწოდებენ სერიის ნაწილობრივი ჯამები (1).

სასრული ან უსასრულო ზღვარი სთანმიმდევრობები ს ნდაურეკა ამ სერიის ჯამი.

თუ ლიმიტი სარის სასრული, მაშინ სერია ეწოდება კონვერგენტული, თუ ლიმიტი უსასრულოა ან საერთოდ არ არსებობს, მაშინ სერია განსხვავებული.

თუ სსერიების ჯამი (1), შემდეგ ჩაწერეთ
.

დაე
, ა
. ცხადია σ ნ = u 1 + u 2 +…+ u ნ , τ ნ = ვ 1 + ვ 2 +…+ ვ ნ. როგორ ვიცით თანასწორობა
(სრა თქმა უნდა) უდრის ორ თანასწორობას
და
. შესაბამისად, სერიის (1) კონვერგენცია უდრის ორი რეალური სერიის დაახლოებას: და . მაშასადამე, კონვერგენციული რიცხვების რიგის ძირითადი თვისებები ვრცელდება კონვერგენტულ კომპლექსურ სერიებზე.

მაგალითად, რთული სერიებისთვის მოქმედია კოშის კრიტერიუმი: სერია (1) იყრის თავს, თუ და მხოლოდ ასეთის შემთხვევაში

რომ ყველას თვალწინნ > ნდა ნებისმიერიგვ= 1, 2, ... უტოლობა მოქმედებს.

ეს კრიტერიუმი პირდაპირ გულისხმობს სერიების კონვერგენციის აუცილებელ კრიტერიუმს: იმისათვის, რომ სერიები (1) გადაიზარდოს, აუცილებელია და საკმარისია მისი საერთო ვადავ ნ → 0 .

კონვერგენტული სერიების შემდეგი თვისებები მართალია: თუ რიგები და გადადიან მათ ჯამებთანსდად, შემდეგ რიგები
და
თანხებთან შესაბამისად გადაიყრებას ± დდა ლს .

კომპლექსური რიცხვების აბსოლუტურად კონვერგენციული რიგი.

რთული რიცხვების სერია (1) დარეკა აბსოლუტურად კონვერგენტულითუ სერია ერთმანეთს ემთხვევა
(2).

თეორემა.

კომპლექსური რიცხვების ყველა აბსოლუტურად კონვერგენტული სერია (1) იყრის თავს.

მტკიცებულება.

ცხადია, საკმარისია დავადგინოთ, რომ სერიისთვის (1) დაკმაყოფილებულია სერიის დაახლოების კუშის კრიტერიუმის პირობები. ავიღოთ ნებისმიერი
. სერიის (1) აბსოლუტური კონვერგენციის გამო, სერია (2) იყრის თავს. ამიტომ შერჩეულთათვის

, რომ ნებისმიერი ნ > ნდა p=1,2,…უთანასწორობა დაკმაყოფილდება
, მაგრამ

, და მით უმეტეს, უთანასწორობა დაკმაყოფილდება
ნებისმიერ ნ > ნდა გვ=1,2,… შესაბამისად, სერიისთვის (1) დაკმაყოფილებულია კომპლექსური სერიის კონვერგენციის კოშის კრიტერიუმის პირობები. ამიტომ სერია (1) იყრის თავს. თეორემა მართალია.

თეორემა.

კომპლექსური რიცხვების რიგის მიზნით (1) იყო აბსოლუტურად კონვერგენტული, აუცილებელია და საკმარისია რეალური სერიების აბსოლუტური კონვერგენცია (3) და (4), სადაცვ ნ = u ნ + მე· ვ ნ (ნ = 1, 2,…).

მტკიცებულება,

ეყრდნობა შემდეგ აშკარა უთანასწორობებს

(5)

აუცილებლობა.მოდით, სერია (1) აბსოლიტურად ემთხვევა, ვაჩვენოთ, რომ სერიები (3) და (4) აბსოლუტურად ერთმანეთს ემთხვევა, ე.ი.
და
(6). სერიის (1) აბსოლუტური კონვერგენციიდან გამომდინარეობს, რომ სერია (2)
ემთხვევა, მაშინ, უტოლობის მარცხენა მხარის გამო (5), სერია (6) გადაიყრება, ანუ სერიები (3) და (4) აბსოლუტურად ერთმანეთს ემთხვევა.

ადეკვატურობა.მოდით, სერიები (3) და (4) აბსოლიტურად ერთმანეთს ემთხვეოდეს, ვაჩვენოთ, რომ სერია (1) ასევე აბსოლიტურად იყრის თავს, ანუ სერია (2) ემთხვევა. (3) და (4) სერიების აბსოლუტური კონვერგენციიდან გამომდინარეობს, რომ სერიები (6) ერთმანეთს ემთხვევა, შესაბამისად სერიაც იყრის თავს.
. შესაბამისად, უტოლობის (5) მარჯვენა მხარის გამო, სერია (2) იყრის თავს, ე.ი. სერია (1) აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

ასე რომ, რთული სერიის (1) აბსოლუტური კონვერგენცია უდრის რეალური რიცხვების სერიების (3) და (4) აბსოლუტურ კონვერგენციას. მაშასადამე, რეალური აბსოლუტურად კონვერგენტული რიცხვების სერიის ყველა ძირითადი თვისება ვრცელდება აბსოლუტურად კონვერგენტულ კომპლექსურ სერიებზე. კერძოდ, აბსოლუტურად კონვერგენტული რთული სერიისთვის მოქმედებს თეორემა მისი ტერმინების პერმუტაციის შესახებ, ე.ი. აბსოლუტურად კონვერგენტულ სერიაში ტერმინების გადაწყობა გავლენას არ ახდენს სერიის ჯამზე. რთული სერიის აბსოლუტური კონვერგენციის დასადგენად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას დადებითი სერიების კონვერგენციის ნებისმიერი კრიტერიუმი.

კოშის ნიშანი.

დაე, სერიას (1) ჰქონდეს ლიმიტი
, მაშინ თუქ < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если ქ>1, შემდეგ სერია (1) განსხვავდება.

დ'ალბერტის ნიშანი.

თუ რთული რიცხვების სერიისთვის (1) არის ზღვარი
, მაშინ როცაქ < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если ქ> 1, შემდეგ სერია განსხვავდება.

მაგალითი.

შეისწავლეთ სერია აბსოლუტური კონვერგენციისთვის
, Აქ
.

ჩვენ ვიპოვით
. ცხადია
=
=
. ამიტომ, სერია აბსოლუტურად კონვერგენტულია.

აბსოლუტურად კონვერგენტული სერიები შეიძლება გამრავლდეს. აბსოლუტურად კონვერგენტული სერიის და კონვერგენტული სერიების ნამრავლი იყრის თავს. ორი კონვერგენტის ნამრავლი შეიძლება განსხვავდებოდეს.

ზომა: px

დაიწყეთ ჩვენება გვერდიდან:

Ტრანსკრიფცია

1 8 რთული რიცხვების სერია განვიხილოთ k a, (46) ფორმის კომპლექსური რიცხვებით რიცხვითი სერია, სადაც (a k) არის მოცემული. რიცხვების თანმიმდევრობაკომპლექსური ტერმინებით k სერიას (46) ეწოდება კონვერგენტული, თუ მისი ნაწილობრივი ჯამების (S) თანმიმდევრობა იყრის თავს a k სერიებს უწოდებენ რიგის th ნაშთს (46) კონვერგენტული k სერიებისთვის S S r და lm r, ისინი ε > N, N: r< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >, N, N:a< ε p k k აუცილებელი პირობასერიის დაახლოება (46) არის მოთხოვნა lm a მართლაც, სერიების (46) კონვერგენციიდან გამომდინარეობს, რომ ქოშის კრიტერიუმის მიხედვით, ε >, N >, რაც p-სთვის, გამოდის, რომ S S.< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 ფუნქციური სერიები და მათი თვისებები ერთგვაროვანი კონვერგენცია ვეიერშტრასის თეორემა მოდით განისაზღვროს ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციების ((Z)) უსასრულო თანმიმდევრობა Z რთული სიბრტყის G დომენში. U U (48) ფორმის გამოხატულება დაერქმევა ფუნქციური სერია (48) არის კონვერგენტული G დომენში, თუ Z G მისი შესაბამისი რიცხვითი სერიები თავსდება G რეგიონში, მაშინ ამ ზონაში შესაძლებელია განისაზღვროს ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია. რომლის მნიშვნელობა G რეგიონის თითოეულ წერტილში უდრის შესაბამისი რიცხვების სერიის ჯამს (48) G რეგიონში. შემდეგ G, > k () U k()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, N(ε), N(ε): ε, N (ε,), N(ε,) : შესრულებულია დაუყოვნებლივ G k U k არეში< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 a U, G, (49) მაშინ რიგი (48) ერთგვაროვნად იყრის თავს N მართლაც, რადგან a სერია იყრის თავს, მაშინ > (49-ის) ძალით, ε, > k k N უტოლობა მოქმედებს G-ში, ისეთი, რომ a< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) უწყვეტი ფუნქციები U ერთგვაროვნად იყრის თავს G დომენში ფუნქციამდე, მაშინ ამ ფუნქციის ინტეგრალი ნებისმიერ ნაწილებად გლუვ მრუდზე, რომელიც მთლიანად მდებარეობს G დომენში, შეიძლება გამოითვალოს სერიის (48) ტერმინებით ინტეგრაციით, მაშინ თეორემა 7 თუ U სერიის დ U d U ტერმინებს, რომლებიც იკრიბებიან G დომენში, აქვთ უწყვეტი წარმოებულები ამ დომენში და U სერიები ერთნაირად იკრიბება G-ში, მაშინ ეს U სერია შეიძლება დიფერენცირებული იყოს ტერმინით ტერმინით G დომენში და U U, სადაც U არის. სერიის ჯამი

4 ფუნქციების რიგებისთვის ყოვლისმომცველი ანალიზიარსებობს ვეიერშტრასის თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მნიშვნელოვნად გავაძლიეროთ თეორემა ფუნქციური სერიების ტერმინებით დიფერენციაციის შესაძლებლობის შესახებ, რომელიც ცნობილია მისი ფორმულირებამდე და დამტკიცებამდე, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ სერია U, ერთნაირად თანხვედრაშია l წრფე ერთნაირად კონვერგენტული დარჩება მისი ყველა წევრის გამრავლების შემდეგაც კი, ϕ ფუნქციით, რომელიც შემოიფარგლება l-ით, მართლაც, უტოლობა ϕ () დაკმაყოფილდეს l წრფეზე.< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, >N:r< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 ასევე თანაბრად ემთხვევა მის ჯამს () () () () (), ვინაიდან ფუნქცია (5) შემოიფარგლება, რადგან ამ წრის წერტილებისთვის ρ არის წრის რადიუსი (გახსოვდეთ: - აქ არის მუდმივი) მაშინ ზემოაღნიშნულის მიხედვით, სერია (5) შეიძლება იყოს ინტეგრირებული ტერმინებით: () d () d () d d π π π π ფუნქციების ანალიტიურობის გამო, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათზე კოშის ფორმულა, საფუძველზე საიდანაც ვიღებთ () d π, (5) და სერიების ჯამი მარჯვნივ (5) არის და, მაშასადამე, ვიღებთ ტოლობას π () d მაგრამ ფუნქცია იქნება ერთნაირად კონვერგენტის ჯამი. ანალიტიკური და, შესაბამისად, უწყვეტი ფუნქციების სერია G-ში. ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრალი მარჯვნივ არის კოშის ტიპის ინტეგრალი და, შესაბამისად, წარმოადგენს ფუნქციას, რომელიც არის შინაგანად ანალიტიკური და, კერძოდ, Tk წერტილში - ნებისმიერი წერტილი. რეგიონი G, მაშინ თეორემის პირველი ნაწილი დადასტურებულია ამ სერიის ტერმინებით დიფერენცირების შესაძლებლობის დასამტკიცებლად, აუცილებელია სერიების (5) გამრავლება მის მიერ შემოსაზღვრული გამოთვლითი ფუნქციით და გავიმეოროთ შეიძლება დადასტურდეს, რომ ანალიტიკური ფუნქციების სერიის დიფერენცირება შესაძლებელია უსასრულო რაოდენობის ჯერ, მაშინ როცა აღმოვაჩენთ, რომ რიგი ერთნაირად იყრის თავს და მისი ჯამი უდრის (k) (k)

ფორმის 6 სერია, სადაც სიმძლავრის სერია აბელის თეორემა ძალიან მნიშვნელოვანი შემთხვევაა საერთო ფუნქციონალური სერიები (), (53) - რამდენიმე რთული რიცხვი და - კომპლექსური სიბრტყის ფიქსირებული წერტილი (53). არის ანალიტიკური ფუნქციები მთელ სიბრტყეში, ამიტომ ამ სერიის თვისებების შესასწავლად შეიძლება გამოყენებულ იქნას წინა აბზაცების ზოგადი თეორემები, როგორც მათში დადგინდა, მრავალი თვისება არის ერთგვაროვანი კონვერგენციის შედეგი სიმძლავრის სერიის (53), შემდეგი თეორემა აღმოჩნდება არსებითი 9 (აბელი).< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >, რომ M, q< В силу საჭირო ფუნქციამისი ტერმინები ნულისკენ მიისწრაფვის, როდესაც, აქედან გამომდინარე () M M q M, შემდეგ, სადაც q< (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной გეომეტრიული პროგრესიაერთიანობაზე ნაკლები მნიშვნელით აბელის თეორემადან შეგვიძლია გამოვიტანოთ მრავალი დასკვნა, გარკვეულწილად ანალოგიურია აბელის თეორემიდან სიმძლავრის სერიების თეორიაში რეალურ ანალიზში, თუ სიმძლავრის სერია (53) განსხვავდება გარკვეულ მომენტში. მაშინ ის განსხვავდება ყველა წერტილში, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას > მანძილების ზუსტი ზედა ზღვარი წერტილიდან იმ წერტილამდე, სადაც სერია (53) იყრის თავს, ეწოდება სიმძლავრის სერიის კონვერგენციის რადიუსი და რეგიონი<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 ამოირჩიეთ თვითნებური წერტილი ρ ρ წრის შიგნით< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 მოდით შემოვიტანოთ აღნიშვნა () d () ρ π () d () π ρ () და გადავიწეროთ (59) სიმძლავრის სერიის სახით, რომელიც იკრიბება არჩეულ წერტილში: (59) (6) () (6). ) ფორმულაში (6) სამეზობლო ρ შეიძლება შეიცვალოს კოშის თეორემით ნებისმიერი დახურული კონტურით, რომელიც მდებარეობს რეგიონში.< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11 სადაც ასევე იქნება ერთი კოეფიციენტი<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 მაგალითი<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14, მაშინ წერტილს () (), (64) ეწოდება თუ ფუნქციის ნული, მაშინ ნულს ეძახიან მარტივი რიგის, ან სიმრავლის ფორმულებიდან ვხედავთ, რომ თუ წერტილი არის რიგის ნული, მაშინ სადაც () () გაფართოება (64) შეიძლება გადაიწეროს ფორმით, მაგრამ () () () [ () ] () ϕ, ϕ () (), () ϕ, და ამ სერიის კონვერგენციის წრე აშკარად იგივეა, რაც სერიის (64) ასევე ჭეშმარიტი შებრუნებული დებულება, სადაც ფორმის ყველა ფუნქცია არის მთელი რიცხვი, ϕ () და ნულოვანი რიგის მაგალითი 5 ქულა ± () ϕ, ϕ არის ანალიტიკური წერტილში, აქვს ამ წერტილში უმაღლესი რიგის ფუნქციისთვის, tk () () e (4) ϕ 3 4 e არის ნულები, და (±) მაგალითი 6 იპოვეთ ნულის რიგი 8 s ფუნქციისთვის. გააფართოვეთ მნიშვნელი ხარისხებში: 3 3! 8 5 5! ! 5! 3! 5 5! ϕ

15 5 ϕ, სადაც ϕ, და ϕ და ფუნქციის წერტილი 3!, ასე რომ წერტილი 5! ϕ არის ანალიტიკური და არის მე-5 რიგის ნული ლორანის თავდაპირველი სერიისთვის და მისი კონვერგენციის რეგიონისთვის. ანალიტიკური ფუნქციის გაფართოება ლორანის სერიებში განვიხილოთ ფორმის სერია () სადაც არის რთული სიბრტყის ფიქსირებული წერტილი, (65). ) არის რამდენიმე რთული რიცხვი. სერიას (65) ჰქვია ლორანის სერია. მოდით დავადგინოთ მისი კონვერგენციის რეგიონი ამისთვის წარმოგიდგენთ () () (66) () ცხადია, რომ რეგიონი. სერიის დაახლოება (66) არის (66) სერიების დაახლოების რეგიონების საერთო ნაწილი (66) სერიის კონვერგენციის რეგიონი () არის წრე, რომელსაც ცენტრი აქვს გარკვეულ წერტილში. რადიუსი, და კერძოდ, ის შეიძლება იყოს ნულის ან უსასრულობის ტოლი კონვერგენციის წრის შიგნით, ეს სერია უხდება რთული ცვლადის ზოგიერთ ანალიტიკურ ფუნქციას.< (67)

16 ცვლადის სერიის კონვერგენციის რეგიონის დასადგენად, დავსვათ () () შემდეგ ეს სერია მიიღებს ჩანაცვლების ფორმას - ჩვეულებრივი სიმძლავრის სერია, რომელიც კონვერგენციის წრეში იყრის თავს კომპლექსის ზოგიერთ ანალიტიკურ ფუნქციას ϕ () ცვლადი მოდით, მიღებული სიმძლავრის რიგის დაახლოების რადიუსი იყოს r, შემდეგ ϕ,< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), >r აქედან გამომდინარეობს, რომ სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის r წრის გარე რეგიონი, ვიღებთ (69) () არის ამგვარად, (66)-ის მარჯვენა მხარეს არსებული სიმძლავრეების თითოეული სერია იყრის თავის კონვერგენციის რეგიონში. შესაბამისი ანალიტიკური ფუნქცია თუ r<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 თუ r >, მაშინ სერიებს (67) და (68) არ აქვთ კონვერგენციის საერთო რეგიონი, ამიტომ ამ შემთხვევაში სერია (65) არ ემთხვევა არსად რომელიმე ფუნქციას, გაითვალისწინეთ, რომ სერია არის სერიების რეგულარული ნაწილი. 7) და მაგალითი 7 გაფართოება - მწკრივის ძირითადი ნაწილი (65) () ა)< < ; б) >; V)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 ამ გაფართოებას აკლია რეგულარული ნაწილი< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

19 განვახორციელოთ ტერმინი-ტერმინი ინტეგრაცია (7-ში), რაც შესაძლებელია რიგის ერთგვაროვანი კონვერგენციის გამო, მივიღებთ d π, (7), სადაც d π, (73) ვინაიდან უტოლობა არ მოქმედებს , მაშინ, წინას მსგავსად, გვაქვს შემდეგ, ამ სერიის ტერმინი-ტერმინი ინტეგრაციის შედეგად (7) გვექნება π π d d, (d-ისთვის), (74) სადაც d π (75). ) ინტეგრაციის მიმართულების შეცვლა (75) ვიღებთ

20 π () () d ()() d π, > (76) ინტეგრატების ანალიტიურობის გამო (73) და (76) წრიულ რგოლში< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 მაგალითი 8 გააფართოვეთ ლორანის სერიები (ძალიანები) Y წერტილის სიახლოვეს ()() Δ-ში ამ შემთხვევაში ავაშენებთ ორ წრიულ რგოლს ცენტრით წერტილში (ნახ. 4): ა) a. წრე "ცენტრის გარეშე"< < ; Рис 4 X б) внешность круга >თითოეულ ამ რგოლში ის ანალიტიკურია, ხოლო საზღვრებზე მას აქვს ცალკეული წერტილები. მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია ძალებში თითოეულ ამ რეგიონში.< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) აქ გვაქვს 3, () () () () () არის კონვერგენტული რიგი, ვინაიდან<

22 s შედეგად ()() () () იმ, 3, 3 მაგალითი 9 გააფართოვეთ Δ ფუნქცია ლორანის სერიაში წერტილის სამეზობლოში გვაქვს:, s s s cos cos s s! cos 4 () () 3 4! 3! () 5! () (s cos)!! 5

თემა კომპლექსური რიცხვების სერიები განვიხილოთ k ak რიცხვების სერია A ფორმის კომპლექსური რიცხვებით. უფრო მეტიც, მიმდევრობის ზღვარი S

თემა ფუნქციონალური კომპლექსის სერია განმარტება. თუ k, N, N U k G ერთბაშად იყრის თავს G დომენში, მაშინ სერიას ერთგვაროვანი ეწოდება

ლექცია N37. ანალიტიკური ფუნქციების სერია. ანალიტიკური ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში. ტეილორის სერია. ლორანის სერია.. ანალიტიკური ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში..... ტეილორის სერია.... 3. ანალიტიკური ფუნქციის გაფართოება

მოდულის თემა ფუნქციური მიმდევრობები და სერიები მიმდევრობებისა და სერიების ერთგვაროვანი კონვერგენციის თვისებები ლექცია ფუნქციონალური მიმდევრობებისა და სერიების განმარტებები ერთგვაროვნად

ლექცია 7 ტეილორისა და ლორანის სერია 7. ტეილორის სერია ამ ნაწილში დავინახავთ, რომ სიმძლავრის სერიის და ანალიტიკური ფუნქციის ცნებები განსაზღვრავს ერთსა და იმავე ობიექტს: ნებისმიერი სიმძლავრის სერია კონვერგენციის დადებითი რადიუსით.

მათემატიკური ანალიზი განყოფილება: კომპლექსური ცვლადის ფუნქციების თეორია თემა: სერია კომპლექსურ სიბრტყეში ლექტორი ო.ვ 217 9. სერიები კომპლექსურ სიბრტყეში 1. რიცხვითი სერიები მოცემული იყოს მიმდევრობა

5 სიმძლავრის სერია 5 სიმძლავრის სერია: განსაზღვრება, კონვერგენციის რეგიონი (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) სადაც, a, a, K, a. ,k არის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც ეწოდება სიმძლავრის სერიების რიცხვები

განათლების ფედერალური სააგენტო მოსკოვის გეოდეზიისა და კარტოგრაფიის სახელმწიფო უნივერსიტეტი (MIIGAiK) მეთოდური ინსტრუქციები და ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისათვის კურსის უმაღლესი მათემატიკა რიცხვითი

ფუნქციური სერია ლექციები 7-8 1 კონვერგენციის არე 1 u () u () u () u (), 1 2 u (), სადაც ფუნქციები განსაზღვრულია გარკვეულ ინტერვალზე, ეწოდება ფუნქციური სერია. . ყველა პუნქტის ნაკრები

ლექცია N38. ანალიტიკური ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში. სპეციალური ქულები. ფუნქციის ნარჩენები.. წერტილის მეზობლობა უსასრულობაში.....ლორანის გაფართოება წერტილის მიმდებარეობაში უსასრულობაში.... 3.ქცევა

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო ნიჟნი ნოვგოროდის სახელმწიფო უნივერსიტეტის სახელობის ნიჟნი ნოვგოროდის სახელობის სახელმწიფო უნივერსიტეტი სემერიკოვა ა.ა. დუბკოვი ა.ა. ხარჩევა ანალიტიკური ფუნქციების წოდება

ბელორუსის რესპუბლიკის განათლების სამინისტრო EE "ვიტებსკის სახელმწიფო ტექნოლოგიური უნივერსიტეტი" თემა. თეორიული და გამოყენებითი მათემატიკის კათედრა „რიგები“. შემუშავებული ასოც. ე.ბ. დუნინა. ძირითადი

ვ.ვ. ჟუკი, ა.მ. Kamachkin 1 Power სერია. კონვერგენციის რადიუსი და კონვერგენციის ინტერვალი. კონვერგენციის ბუნება. ინტეგრაცია და დიფერენციაცია. 1.1 კონვერგენციის რადიუსი და დაახლოების ინტერვალი. ფუნქციური დიაპაზონი

თემის Laurent სერია და მისი კონვერგენციის რეგიონი. განვიხილოთ n C n n C n n n n C n n ფორმის რიგი, სადაც არის რთული სიბრტყის ფიქსირებული წერტილი და არის რამდენიმე რთული რიცხვი. C n ამ სერიას Laurent სერია ჰქვია.

ლექცია N 7. სიმძლავრის სერია და ტეილორის სერიები.. სიმძლავრის სერია..... ტეილორის სერია.... 4. ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის გაფართოება ტეილორისა და მაკლარინის სერიებში.... 5 4. სიმძლავრის სერიების გამოყენება... 7 .ძალა

მათემატიკური ანალიზი განყოფილება: რიცხვითი და ფუნქციონალური სერიები თემა: სიმძლავრის სერია. ფუნქციის გაფართოება ძალაუფლების სერიაში ლექტორი როჟკოვა ს.ვ. 3 34. სიმძლავრის სერია სიმძლავრის სერია არის სიმძლავრის სერია

4 ანალიტიკური ფუნქციების სერია 4. ფუნქციური მიმდევრობები დავუშვათ Ω C და f n: Ω C. ფუნქციების თანმიმდევრობა (f n ) წერტილოვანი კონვერგირდება f ფუნქციასთან: Ω C თუ თითოეული z Ω lim n f n(z) = f(z).

ფუნქციური სერიები ფუნქციონალური სერია, მისი ჯამი და ფუნქციების დომენი o ფუნქციების თანმიმდევრობა მოცემულია k ფუნქციების Δ დომენში რეალური ან რთული რიცხვების (k 1 ფუნქციონალური სერია ე.წ.

ასოცირებული პროფესორის მიერ მომზადებული ლექციები Musina MV განმარტება ფორმის გამოხატვა რიცხვითი და ფუნქციური სერიები რიცხვითი სერიები: ძირითადი ცნებები (), რომელსაც უწოდებენ რიცხვთა სერიას (ან უბრალოდ სერიას) ნომრები, სერიის წევრები (დამოკიდებულია

რიცხვების სერია რიცხვების თანმიმდევრობა Def რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიცხვითი ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება x ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე - რიგითობის ზოგადი წევრი x =, x =, x =, x =,

თავი სიმძლავრის სერია a a a A ფორმის სერიას ეწოდება სიმძლავრის სერია, სადაც, a, არის მუდმივები, რომლებსაც უწოდებენ სერიის კოეფიციენტებს, ზოგჯერ განიხილება უფრო ზოგადი ფორმის სიმძლავრის სერია: a (a) a(a). ა (ა) (), სადაც

ლექცია 8 სერია და სინგულარული პუნქტები. ლორანის სერია. იზოლირებული სინგულარული წერტილები. 6. რიგი და მხოლობითი წერტილები 6.7. ლორანის სერიის თეორემა (P. Laurent): თუ ფუნქცია f() ანალიტიკურია რგოლში r< a < R r R то она может быть разложена

განათლების ფედერალური სააგენტო უმაღლესი პროფესიული განათლების ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება SOUTH FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological

თემა 9 სიმძლავრის სერია სიმძლავრის სერია არის ფორმის ფუნქციური სერია, სადაც რიცხვები... არის სერიის კოეფიციენტები, ხოლო სერიის გაფართოების წერტილი.,...,... R... ეწოდება ცენტრი სიმძლავრის სერია სიმძლავრის სერიის ზოგადი ტერმინი

4 ფუნქციის სერია 4 ძირითადი განმარტებები მოდით ფუნქციების უსასრულო თანმიმდევრობა განსაზღვრების საერთო დომენით X u), u (), K, u (),K (განსაზღვრული გამოხატულება u) + u () + K + u () +

ლექცია 3 ტეილორისა და მაკლარინის სერიების გამოყენება ენერგეტიკული სერიების ფუნქციების გაფართოება ტეილორისა და მაკლორინის სერიებში აპლიკაციებისთვის მნიშვნელოვანია მოცემული ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში, ეს ფუნქციები

ლექცია 6 ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში გაფართოების უნიკალურობა ტეილორისა და მაკლორინის სერიების გაფართოება რამდენიმე ელემენტარული ფუნქციის სიმძლავრის სერიაში დენის სერიის გამოყენება წინა ლექციებში

მეტალურგიის ფაკულტეტი უმაღლესი მათემატიკის დეპარტამენტი RANKS მეთოდოლოგიური ინსტრუქციები ნოვოკუზნეცკი 5 განათლების ფედერალური სააგენტო უმაღლესი პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება

Laurent სერია უფრო ზოგადი ტიპის სიმძლავრის სერიები არის სერიები, რომლებიც შეიცავს როგორც დადებით, ასევე უარყოფით ძალას z z 0. ტეილორის სერიების მსგავსად, ისინი მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ ანალიტიკური ფუნქციების თეორიაში.

სერიების რიცხვების სერია ზოგადი ცნებები განმარტება თუ თითოეული ნატურალური რიცხვი ასოცირდება გარკვეულ რიცხვთან გარკვეული კანონის მიხედვით, მაშინ დანომრილი რიცხვების სიმრავლეს ეწოდება რიცხვების მიმდევრობა.

S A Lavrenchenko wwwlwrecekoru ლექცია ფუნქციონალური სერიების კონცეფცია ადრე ჩვენ ვსწავლობდით რიცხვთა სერიებს, ანუ სერიის წევრები იყვნენ რიცხვები, ახლა გადავდივართ ფუნქციონალური სერიების შესწავლაზე, ე.ი.

თემის Laurent სერია და მისი კონვერგენციის რეგიონი. ფორმის სერიას, სადაც C (z z) n = C (z z) n + n n n= n= z სიბრტყის, C n კომპლექსის ფიქსირებულ წერტილს ეწოდება ლორანის სერია. C n (z z) n= - რაღაც კომპლექსი

ლექცია. ფუნქციური სერია. ფუნქციური სერიის განმარტება სერიას, რომლის წევრებიც x-ის ფუნქციებია, ეწოდება ფუნქციური: u = u (x) + u + K+ u + K = x-ს გარკვეული მნიშვნელობის x მიცემით, ჩვენ

სერიების თეორია სერიების თეორია არის მათემატიკური ანალიზის ყველაზე მნიშვნელოვანი კომპონენტი და პოულობს როგორც თეორიულ, ასევე მრავალრიცხოვან პრაქტიკულ გამოყენებას. არსებობს რიცხვითი და ფუნქციური სერიები.

კონვერგენციის რადიუსის განმარტება. სიმძლავრის სერია არის c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () ფორმის ფუნქციური სერია, სადაც c 0, c, c 2,.. ., c, ... C ეწოდება სიმძლავრის კოეფიციენტებს

მოსკოვის სამოქალაქო ავიაციის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი ვ.მ. ლიუბიმოვი, ე.ა. ჟუკოვა, ვ.ა. უხოვა, იუ.ა. შურინოვის მათემატიკის სახელმძღვანელო დისციპლინის შესასწავლად და ტესტური დავალებების შესასწავლად

82 4. განყოფილება 4. ფუნქციონალური და დენის სერიები 4.2. გაკვეთილი 3 4.2. გაკვეთილი 3 4.2.. ფუნქციის გაფართოება ტეილორის სერიებში განმარტება 4.2.. მოდით, ფუნქცია y = f(x) იყოს უსასრულოდ დიფერენცირებადი ზოგიერთ უბანში

ლექცია. სიმძლავრის სერია. ჰარმონიული ანალიზი; სერია და ფურიეს ტრანსფორმაცია. ორთოგონალურობის თვისება.8. ზოგადი ფუნქციონალური სერიები 8.. ფუნქციების აცილება U + U + U სერიას ფუნქციონალური ეწოდება

სტარკოვი ვ.ნ. მასალები საორიენტაციო ლექციისთვის კითხვა 9. ანალიტიკური ფუნქციების გაფართოება სიმძლავრის სერიაში განმარტება. ფორმის ფუნქციური სერია (((... (..., სადაც რთული მუდმივები (სერიების კოეფიციენტები

Sgups უმაღლესი მათემატიკის დეპარტამენტი მეთოდოლოგიური ინსტრუქციები სტანდარტული გამოთვლების შესასრულებლად "სერია" Novosibirsk 006 ზოგიერთი თეორიული ინფორმაცია ნომრის სერია Let u ; u ; u ; ; u ; არის უსასრულო რიცხვი

ე ოკუპაცია. ტეილორის სერია. სიმძლავრის სერიის ჯამი Mat. ანალიზი, აპლ. მათემატიკა, მე-3 სემესტრი იპოვე ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრეთა სერიებად, გამოთვალე სიმძლავრის რიგის დაახლოების რადიუსი: A f()

თავის სერიები ზოგიერთი რიცხვითი მიმდევრობის ტერმინთა ჯამის ფორმალური აღნიშვნა რიცხვთა სერიებს უწოდებენ რიცხვთა სერიებს ჯამებს S ეწოდება სერიის ნაწილობრივი ჯამები თუ არის ლიმიტი lim S, S, მაშინ სერია

პრაქტიკული გაკვეთილი 8 ნარჩენები 8 ნარჩენების განმარტება 8 ნარჩენების გამოთვლა 8 ლოგარითმული ნარჩენი 8 ნარჩენების განმარტება ფუნქციის იზოლირებული სინგულარული წერტილი იზოლირებულ სინგულარში ნარჩენი ანალიტიკური

~ ~ PKP რთული ცვლადის ფუნქციის წარმოებული PKP კოში-რიმანი განაპირობებს კანონზომიერების კონცეფციას PKP კომპლექსური რიცხვის გამოსახულება და ფორმა PKP ტიპი: სადაც ორი ცვლადის რეალური ფუნქცია რეალურია.

მეთოდოლოგიური ინსტრუქციები გამოთვლების ამოცანების შესახებ უმაღლესი მათემატიკის კურსში „ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების სერია ორმაგი ინტეგრალები“ ​​ნაწილი თემის სერია შინაარსი სერიების რიცხვის სერია კონვერგენცია და განსხვავებები

განათლების ფედერალური სააგენტო არხანგელსკის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტის სამოქალაქო ინჟინერიის ფაკულტეტი RANKS სახელმძღვანელო არხანგელსკი დამოუკიდებელი სამუშაოსთვის დავალებების შესრულებისთვის

რთული ცვლადის ოპერაციული გამოთვლების ფუნქციების თეორიის ელემენტები ამ თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლემ უნდა ისწავლოს: იპოვნოს რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული და ექსპონენციალური ფორმების მიხედვით.

მათემატიკური ანალიზი ნაწილი 3. რიცხვითი და ფუნქციური სერიები. მრავალჯერადი ინტეგრალი. ველის თეორია. სახელმძღვანელო N.D. Vysk MATI-RGTU im. კ.ე. ციოლკოვსკის უმაღლესი მათემატიკის დეპარტამენტი მათემატიკური ანალიზი

ლექცია 3. გამოქვითვები. ძირითადი თეორემა ნარჩენების შესახებ f() ფუნქციის ნარჩენი a იზოლირებულ სინგულურ წერტილზე არის რთული რიცხვი, რომელიც ტოლია f() 2 ინტეგრალის მნიშვნელობას, რომელიც მიღებულია i დადებითი მიმართულებით წრის გასწვრივ.

რიცხვითი და სიმძლავრის სერიების გაკვეთილი. ნომრების სერია. სერიის ჯამი. კონვერგენციის ნიშნები.. გამოთვალეთ რიგის ჯამი. 6 გამოსავალი. უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის q წევრთა ჯამი ტოლია, სადაც q პროგრესიის მნიშვნელია.

S A Lavrenchenko wwwlawreceoru ლექცია ფუნქციების წარმოდგენა ტეილორის სერიის ერთი სასარგებლო ზღვარი ბოლო ლექციაზე შემუშავდა შემდეგი სტრატეგია: ფუნქციების სერიის წარმომადგენლობის საკმარისი პირობით.

M. V. Deikalova ყოვლისმომცველი ანალიზი კითხვები გამოცდისთვის (ჯგუფი MX-21, 215) პირველი კოლოკვიუმის კითხვები 1 1. რთული ცვლადის ფუნქციის დიფერენციაცია წერტილში. კოში-რიმანის (დ'ალმბერტ-ეილერის) პირობები.

ვარიანტი ამოცანა გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა, გაეცით პასუხი ალგებრული ფორმით: a sh ; b l ამოხსნა a გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური სინუსის კავშირის ფორმულა: ; შ -ს მიიღეთ

ლექციების რიცხვის სერიები კონვერგენციის ნიშნები რიცხვების სერიები კონვერგენციის ნიშნები რიცხვითი მიმდევრობის უსასრულო გამოსახულებას + + + +, რომელიც შედგება უსასრულო ერთის ტერმინებისგან, ეწოდება რიცხვთა სერია რიცხვები.

4. ფუნქციური სერიები, კონვერგენციის რეგიონი ფუნქციური სერიის დაახლოების რეგიონი () არის არგუმენტების მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომლისთვისაც ეს სერია იყრის თავს. ფუნქციას (2) ეწოდება რიგის ნაწილობრივი ჯამი;

ლექცია 3 სკალარული განტოლების ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა ამოცანის ფორმულირება მთავარი შედეგი განვიხილოთ კოშის ამოცანა d f () d =, () = ფუნქცია f (,) განისაზღვრება სიბრტყის G რეგიონში (,

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო ყაზანის სახელმწიფო არქიტექტურული და სამშენებლო უნივერსიტეტის უმაღლესი მათემატიკის დეპარტამენტი რიცხვითი და ფუნქციონალური სერიების სახელმძღვანელო მითითებები

(ფუნქციური სერიის სიმძლავრის სერიის დომენი კონვერგენციის ინტერვალის პოვნის კონვერგენციის რიგი - კონვერგენციის ინტერვალის მაგალითის რადიუსი) მოდით იყოს მოცემული ფუნქციების უსასრულო თანმიმდევრობა, ფუნქციური

S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru ლექცია ფუნქციების წარმოდგენა სიმძლავრის სერიების მიხედვით შესავალი ფუნქციების წარმოდგენა სიმძლავრის სერიების მიხედვით სასარგებლოა შემდეგი პრობლემების გადასაჭრელად: - ფუნქციების ინტეგრაცია

ე ოკუპაცია. სიმძლავრის სერია. ტეილორის სერია მათემატიკა. ანალიზი, აპლ. მათემატიკა, მე-3 სემესტრი იპოვეთ სიმძლავრის სერიის დაახლოების რადიუსი დ'ალმბერის კრიტერიუმის გამოყენებით: (89 () n n (n!)) p (n +)! n= ტეილორის სერია f(x)

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო ფედერაციული სახელმწიფო ბიუჯეტი უმაღლესი პროფესიული განათლების საგანმანათლებლო დაწესებულება “SAMARA STATE Aerospace UNIVERSITY”

წოდებები. ნომრების სერია. ძირითადი განმარტებები იყოს რიცხვების უსასრულო მიმდევრობა. რიცხვების სერია. ნომრები

კაზანის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მათემატიკური სტატისტიკის დეპარტამენტი რიცხვითი სერია სასწავლო და მეთოდოლოგიური სახელმძღვანელო KAZAN 008 გამოქვეყნებულია ყაზანის უნივერსიტეტის სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური საბჭოს განყოფილების გადაწყვეტილებით

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო VA Volkov INTEGRAL FOURIER SERIES საგანმანათლებლო ელექტრონული ტექსტური გამოცემა სპეციალობების სტუდენტებისთვის 4865 ელექტრონიკა და ფიზიკური დანადგარების ავტომატიზაცია;

џ. რიცხვების სერიის კონცეფცია. მოცემული იყოს რიცხვების თანმიმდევრობა a, a 2,..., a,... რიცხვითი სერია არის გამოთქმა a = a + a 2 +... + a +... a 2,.. ., a,... უწოდებენ სერიის წევრებს, ა

მეთოდოლოგიური შემუშავება TFKP-ზე ამოცანების ამოხსნა რთული რიცხვები ოპერაციები კომპლექსურ რიცხვებზე რთული სიბრტყეზე რთული რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ალგებრული და ტრიგონომეტრიული ექსპონენციალური სახით.

ციმბირის მათემატიკური ჟურნალი ივლისი აგვისტო, 2005 წელი. ტომი 46, 4 UDC 517.53 ფუნქციის ერთი წერტილიდან გამოყოფილ კვანძებში ინტერპოლაციური წილადების კონვერგენციის პირობები A. G.

MOSCOW AUTOMOBILE AND ROAD STATE TECHNICAL UNIVERSITY (MADI) AA ZLENKO, SA IZOTOVA, LA MALYSHEVA RANKS METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS for დამოუკიდებელი მუშაობა მათემატიკაში MOSCOW AUTOMOBILE AND ROADNITY

სტანდარტული მეთოდების გამოყენებით, მაგრამ სხვა მაგალითით მივედით ჩიხში.

რა არის სირთულე და სად შეიძლება იყოს პრობლემა? მოდით, საპნის თოკი გვერდზე გადავდოთ, მშვიდად გავაანალიზოთ მიზეზები და გავეცნოთ პრაქტიკულ გადაწყვეტილებებს.

პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანიაბსოლუტურ უმრავლესობაში, სერიის კონვერგენციის შესასწავლად საჭიროა რაიმე ნაცნობი მეთოდის გამოყენება, მაგრამ სერიის ზოგადი ტერმინი სავსეა ისეთი სახიფათო შიგთავსით, რომ სულაც არ არის აშკარა, რა უნდა გააკეთოს მასთან. . და წრეზე დადიხართ: პირველი ნიშანი არ მუშაობს, მეორე არ მუშაობს, მესამე, მეოთხე, მეხუთე მეთოდი არ მუშაობს, შემდეგ ნახაზები განზე იყრება და ყველაფერი თავიდან იწყება. ეს ჩვეულებრივ გამოწვეულია გამოცდილების ნაკლებობით ან მათემატიკური ანალიზის სხვა სფეროებში არსებული ხარვეზებით. კერძოდ, თუ გაშვებული თანმიმდევრობის საზღვრებიდა ზედაპირულად დაიშალა ფუნქციის ლიმიტები, მაშინ რთული იქნება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ადამიანი უბრალოდ ვერ ხედავს გადაწყვეტილების აუცილებელ მეთოდს ცოდნის ან გამოცდილების ნაკლებობის გამო.

ხანდახან „დაბნელებაც“ არის დამნაშავე, როცა, მაგალითად, სერიის დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი არ სრულდება, მაგრამ უცოდინრობის, უყურადღებობის ან დაუდევრობის გამო ეს მხედველობიდან ცდება. და გამოდის, როგორც იმ ამბავში, სადაც მათემატიკის პროფესორმა გადაჭრა ბავშვების პრობლემა ველური განმეორებადი მიმდევრობებისა და რიცხვების სერიების გამოყენებით =)

საუკეთესო ტრადიციებში, დაუყოვნებლივ ცოცხალი მაგალითები: რიგები და მათი ახლობლები - არ ეთანხმებიან, რადგან ეს თეორიულად დადასტურებულია თანმიმდევრობის საზღვრები. დიდი ალბათობით, პირველ სემესტრში სულს გაგიძვრენ 1-2-3 გვერდიანი მტკიცებულებისთვის, მაგრამ ახლა სავსებით საკმარისია სერიის დაახლოების აუცილებელი პირობის წარუმატებლობა ცნობილი ფაქტების მოტივით. . Ცნობილი? თუ მოსწავლემ არ იცის, რომ n-ე ფესვი ძალზე ძლიერი რამ არის, მაშინ, ვთქვათ, სერია ჩააყენებს მას ჩიხში. მიუხედავად იმისა, რომ გამოსავალი ორჯერ ორია: , ე.ი. გასაგები მიზეზების გამო, ორივე სერია განსხვავდება. მოკრძალებული კომენტარი "ეს საზღვრები თეორიულად დადასტურდა" (ან თუნდაც მისი საერთოდ არარსებობა) სავსებით საკმარისია ტესტისთვის, ბოლოს და ბოლოს, გამოთვლები საკმაოდ მძიმეა და ისინი ნამდვილად არ განეკუთვნება რიცხვების სერიების განყოფილებას.

და შემდეგი მაგალითების შესწავლის შემდეგ, თქვენ მხოლოდ გაგიკვირდებათ მრავალი გადაწყვეტის სიმარტივე და გამჭვირვალობა:

მაგალითი 1

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი: უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვამოწმებთ შესრულებას კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმი. ეს არ არის ფორმალობა, მაგრამ შესანიშნავი შანსია გაუმკლავდეთ მაგალითს „პატარა სისხლისღვრით“.

„სცენის დათვალიერება“ გვთავაზობს განსხვავებულ სერიას (განზოგადებული ჰარმონიული სერიების შემთხვევა), მაგრამ კვლავ ჩნდება კითხვა, როგორ გავითვალისწინოთ ლოგარითმი მრიცხველში?

დავალებების სავარაუდო მაგალითები გაკვეთილის ბოლოს.

არც ისე იშვიათია, როდესაც გიწევთ ორსაფეხურიანი (ან თუნდაც სამსაფეხურიანი) მსჯელობის განხორციელება:

მაგალითი 6

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი: პირველ რიგში, მოდი ყურადღებით გავუმკლავდეთ მრიცხველის უაზრობას. თანმიმდევრობა – შეზღუდული: . შემდეგ:

მოდით შევადაროთ ჩვენი სერია სერიას. ახლახან მიღებული ორმაგი უტოლობის გამო, ყველა "en"-ისთვის მართალი იქნება შემდეგი:

ახლა შეადარეთ სერია განსხვავებული ჰარმონიული სერიებით.

წილადის მნიშვნელი ნაკლებიმაშასადამე, წილადის მნიშვნელი თავად ფრაქცია – მეტიწილადები (ჩაწერეთ პირველი რამდენიმე ტერმინი, თუ ეს არ არის ნათელი). ამრიგად, ნებისმიერი "en"-ისთვის:

ეს ნიშნავს, რომ შედარების საფუძველზე, სერია განსხვავდებაჰარმონიულ სერიასთან ერთად.

თუ ოდნავ შევცვლით მნიშვნელს: , მაშინ მსჯელობის პირველი ნაწილი მსგავსი იქნება: . მაგრამ სერიის განსხვავების დასამტკიცებლად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მხოლოდ შედარების შემზღუდველი ტესტი, რადგან უტოლობა მცდარია.

კონვერგენტული სერიების ვითარება არის "სარკეული", ანუ, მაგალითად, სერიისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორივე შედარების კრიტერიუმი (უტოლობა მართალია), მაგრამ სერიისთვის მხოლოდ შემზღუდველი კრიტერიუმი (უტოლობა მცდარია).

ჩვენ ვაგრძელებთ ჩვენს ველური ბუნების საფარს, სადაც მოხდენილი და აყვავებულ ანტილოპების ნახირი ჩნდება ჰორიზონტზე:

მაგალითი 7

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი: დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი დაკმაყოფილებულია და ჩვენ კვლავ ვუსვამთ საკუთარ თავს კლასიკურ კითხვას: რა ვქნათ? ჩვენს წინაშე არის რაღაც კონვერგენციული სერია, თუმცა, აქ არ არსებობს მკაფიო წესი - ასეთი ასოციაციები ხშირად მატყუარაა.

ხშირად, მაგრამ არა ამჯერად. Გამოყენებით შედარების შემზღუდველი კრიტერიუმიმოდით შევადაროთ ჩვენი სერია კონვერგენტულ სერიას. ლიმიტის გაანგარიშებისას ვიყენებთ მშვენიერი ლიმიტი , ხოლო უსასრულოდ მცირედგას:

იყრის თავსგვერდით ერთად.

იმის ნაცვლად, რომ გამოეყენებინათ სტანდარტული ხელოვნური ტექნიკის გამრავლება და გაყოფა „სამზე“, თავიდანვე შესაძლებელი იყო შედარება კონვერგენტულ სერიასთან.
მაგრამ აქ მიზანშეწონილია გააკეთოთ დათქმა, რომ ზოგადი ტერმინის მუდმივი ფაქტორი გავლენას არ ახდენს სერიის კონვერგენციაზე. და შემდეგი მაგალითის გადაწყვეტა შექმნილია ზუსტად ამ სტილში:

მაგალითი 8

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 9

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი: წინა მაგალითებში ჩვენ ვიყენებდით სინუსის შეზღუდვას, მაგრამ ახლა ეს თვისება გამორიცხულია. უმაღლესი წილადის მნიშვნელი ზრდის ბრძანება, ვიდრე მრიცხველი, მაშასადამე, როცა სინუსის არგუმენტი და მთელი საერთო ტერმინი უსასრულოდ მცირე. დაახლოების აუცილებელი პირობა, როგორც გესმით, შესრულებულია, რაც არ გვაძლევს საშუალებას თავი დავანებოთ ჩვენს საქმეს.

ჩავატაროთ დაზვერვა: შესაბამისად გასაოცარი ეკვივალენტობა გონებრივად გააუქმეთ სინუსი და მიიღეთ სერია. ისე, ასე და ასე...

ჩვენ ვიღებთ გადაწყვეტილებას:

მოდით შევადაროთ შესასწავლი სერიები განსხვავებულ სერიას. ჩვენ ვიყენებთ შეზღუდვის შედარების კრიტერიუმს:

მოდით შევცვალოთ უსასრულო მცირე ეკვივალენტით: at .

მიიღება ნულისაგან განსხვავებული სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სერია განსხვავდებაჰარმონიულ სერიასთან ერთად.

მაგალითი 10

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

ასეთ მაგალითებში შემდგომი ქმედებების დაგეგმვა, სინუსის, რკალის, ტანგენტისა და არქტანგენტის გონებრივად გაუქმება ბევრს ეხმარება. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ეს შესაძლებლობა არსებობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ უსასრულოდ მცირეარგუმენტი, ცოტა ხნის წინ წავაწყდი პროვოკაციულ სერიას:

მაგალითი 11

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია
.

გამოსავალი: აქ არქტანგენტის შეზღუდვის გამოყენება არაფერ შუაშია და ეკვივალენტობაც არ მუშაობს. გამოსავალი საოცრად მარტივია:


შესწავლილი სერია განსხვავდება, ვინაიდან სერიების დაახლოების აუცილებელი კრიტერიუმი არ არის შესრულებული.

მეორე მიზეზი"პრობლემა ამოცანასთან" არის ის, რომ საერთო წევრი საკმაოდ დახვეწილია, რაც იწვევს ტექნიკური ხასიათის სირთულეებს. უხეშად რომ ვთქვათ, თუ ზემოთ განხილული სერიები მიეკუთვნება "ვინ იცის" კატეგორიას, მაშინ ეს სერიალები მიეკუთვნება "ვინ იცის" კატეგორიას. სინამდვილეში, ამას ჰქვია სირთულე "ჩვეულებრივი" გაგებით. ყველას არ შეუძლია სწორად გადაჭრას სავანის რამდენიმე ფაქტორი, ხარისხი, ფესვი და სხვა ბინადარი. ყველაზე დიდი პრობლემები, რა თქმა უნდა, ფაქტორებია:

მაგალითი 12

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

როგორ გავზარდოთ ფაქტორიალი სიმძლავრემდე? ადვილად. ძალაუფლების მქონე ოპერაციების წესის მიხედვით, აუცილებელია პროდუქტის თითოეული ფაქტორის სიმძლავრეზე აყვანა:

და, რა თქმა უნდა, ისევ დ’ალბერტის ნიშანი მუშაობს ტრადიციულად:

ამრიგად, შესწავლილი სერია იყრის თავს.

შეგახსენებთ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად რაციონალურ ტექნიკას: როცა ეს ნათელია ზრდის ბრძანებამრიცხველი და მნიშვნელი - არ არის საჭირო ტანჯვა და ფრჩხილების გახსნა.

მაგალითი 13

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

მხეცი ძალზე იშვიათია, მაგრამ ის ხდება და უსამართლო იქნება მისი იგნორირება კამერის ობიექტივით.

რა არის ფაქტორიალი ორმაგი ძახილის ნიშნით? ფაქტორიალი „ამოყრის“ დადებითი ლუწი რიცხვების ნამრავლს:

ანალოგიურად, ფაქტორული „ატრიალებს“ დადებითი კენტი რიცხვების ნამრავლს:

გაანალიზეთ რა განსხვავებაა და

მაგალითი 14

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

და ამ ამოცანაში შეეცადეთ არ აგერიოთ ხარისხებში, ღირსშესანიშნავი ეკვივალენტებიდა საოცარი საზღვრები.

ამოხსნის და პასუხების ნიმუშები გაკვეთილის ბოლოს.

მაგრამ სტუდენტი იკვებება არა მხოლოდ ვეფხვებით - მზაკვარი ლეოპარდები ასევე ნადირობენ მათ მსხვერპლზე:

მაგალითი 15

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი: კონვერგენციის აუცილებელი კრიტერიუმი, შემზღუდველი კრიტერიუმი და დ’ალბერტისა და კოშის ტესტები თითქმის მყისიერად ქრება. მაგრამ ყველაზე ცუდი ის არის, რომ უთანასწორობის ნიშანი, რომელიც არაერთხელ დაგვეხმარა, უძლურია. მართლაც, განსხვავებულ სერიასთან შედარება შეუძლებელია, რადგან უთანასწორობაა არასწორი - ლოგარითმის მულტიპლიკატორი მხოლოდ ზრდის მნიშვნელს, ამცირებს თავად წილადს წილადთან მიმართებაში. და კიდევ ერთი გლობალური კითხვა: რატომ ვართ თავიდანვე დარწმუნებული, რომ ჩვენი სერიალი აუცილებლად უნდა განსხვავდებოდეს და უნდა შევადაროთ ზოგიერთ განსხვავებულ სერიას? რა მოხდება, თუ ის საერთოდ შეეგუება?

ინტეგრალური ფუნქცია? არასწორი ინტეგრალი სევდიან განწყობას იწვევს. ახლა რომ გვქონდეს რიგი ... მაშინ დიახ. გაჩერდი! ასე იბადება იდეები. ჩვენ ვაყალიბებთ გამოსავალს ორ ეტაპად:

1) პირველ რიგში განვიხილავთ სერიის კონვერგენციას . Ჩვენ ვიყენებთ განუყოფელი თვისება:

ინტეგრანდ უწყვეტი on

ამრიგად, სერია განსხვავდება შესაბამის არასწორ ინტეგრალთან ერთად.

2) შევადაროთ ჩვენი სერია განსხვავებული სერიებს . ჩვენ ვიყენებთ შეზღუდვის შედარების კრიტერიუმს:

მიიღება ნულისაგან განსხვავებული სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სერია განსხვავდებარიცხვთან ერთად .

და არაფერია უჩვეულო და კრეატიული ასეთ გადაწყვეტილებაში - ასე უნდა გადაწყდეს!

მე გთავაზობთ თავად შეადგინოთ შემდეგი ორეტაპიანი პროცედურა:

მაგალითი 16

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გარკვეული გამოცდილების მქონე სტუდენტი უმეტეს შემთხვევაში მაშინვე ხედავს, სერიები ერთმანეთს ეყრება თუ განსხვავდებიან, მაგრამ ხდება ისე, რომ მტაცებელი ჭკვიანურად იფარება ბუჩქებში:

მაგალითი 17

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი: ერთი შეხედვით, სრულიად გაუგებარია, როგორ იქცევა ეს სერიალი. და თუ ჩვენს თვალწინ ნისლია, მაშინ ლოგიკურია დავიწყოთ სერიის დაახლოების აუცილებელი პირობის უხეში შემოწმებით. გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ჩვენ ვიყენებთ ჩაძირვის საშუალებას მისი კონიუგატური გამოსახულებით გამრავლებისა და გაყოფის მეთოდი:

დაახლოების აუცილებელმა ნიშანმა არ გაამართლა, მაგრამ მან გამოავლინა ჩვენი ტამბოვი ამხანაგი. შესრულებული გარდაქმნების შედეგად მიღებული იქნა ეკვივალენტური სერია , რომელიც თავის მხრივ ძლიერ წააგავს კონვერგენტულ სერიას.

ჩვენ ვწერთ საბოლოო გადაწყვეტას:

მოდით შევადაროთ ეს სერია კონვერგენტულ სერიას. ჩვენ ვიყენებთ შეზღუდვის შედარების კრიტერიუმს:

გამრავლება და გაყოფა კონიუგატულ გამოსახულებაზე:

მიიღება ნულისაგან განსხვავებული სასრული რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ შესწავლილი სერია იყრის თავსგვერდით ერთად.

ზოგს შეიძლება გაუკვირდეს, საიდან გაჩნდნენ მგლები ჩვენს აფრიკულ საფარზე? არ ვიცი. მოიტანეს ალბათ. შემდეგი ტროფეის კანი თქვენ უნდა მიიღოთ:

მაგალითი 18

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

ამოხსნის ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს

და ბოლოს, კიდევ ერთი აზრი, რომელიც ბევრ სტუდენტს აქვს სასოწარკვეთილი: არ უნდა გამოვიყენოთ უფრო იშვიათი ტესტი სერიების კონვერგენციისთვის?? რააბეს ტესტი, აბელის ტესტი, გაუსის ტესტი, დირიხლეს ტესტი და სხვა უცნობი ცხოველები. იდეა მუშაობს, მაგრამ რეალურ მაგალითებში ის ძალიან იშვიათად ხორციელდება. პირადად მე, პრაქტიკის ყველა წლის განმავლობაში მხოლოდ მივმართავ რააბეს ნიშანი, როცა სტანდარტული არსენალიდან არაფერი უშველა. მე სრულად ვიმეორებ ჩემი ექსტრემალური ძიების კურსს:

მაგალითი 19

გამოიკვლიეთ სერიის კონვერგენცია

გამოსავალი: ყოველგვარი ეჭვის გარეშე, დ'ალმბერის ნიშანია. გამოთვლების დროს აქტიურად ვიყენებ ხარისხების თვისებებს, ასევე მეორე მშვენიერი ლიმიტი:

იმდენი შენთვის. დ'ალმბერის ნიშანმა პასუხი არ გასცა, თუმცა ასეთ შედეგს არაფერი უწინასწარმეტყველა.

საცნობარო წიგნის დათვალიერების შემდეგ ვიპოვე თეორიულად დადასტურებული ნაკლებად ცნობილი ზღვარი და გამოვიყენე უფრო ძლიერი რადიკალური კოშის ტესტი:

აქ არის ორი თქვენთვის. და, რაც მთავარია, სრულიად გაუგებარია სერია ერთმანეთს ემთხვევა თუ განსხვავებულად (ჩემთვის უკიდურესად იშვიათი სიტუაციაა). შედარების აუცილებელი ნიშანი? დიდი იმედის გარეშე - თუნდაც წარმოუდგენლად გავარკვიო მრიცხველისა და მნიშვნელის ზრდის თანმიმდევრობა, ეს ჯერ კიდევ არ იძლევა ჯილდოს გარანტიას.

ეს არის სრული დამღლელი, მაგრამ ყველაზე ცუდი ის არის, რომ რიგი უნდა გადაწყდეს. საჭიროა. ბოლოს და ბოლოს, ეს იქნება პირველი შემთხვევა, როცა უარს ვიტყვი. შემდეგ კი გამახსენდა, რომ ჩანდა სხვა უფრო ძლიერი ნიშნები. ჩემს წინ აღარ იყო მგელი, ლეოპარდი და ვეფხვი. ეს იყო უზარმაზარი სპილო, რომელიც ფრიალებდა თავის დიდ ღეროს. ყუმბარმტყორცნი უნდა აეღო:

რააბეს ნიშანი

განვიხილოთ დადებითი რიცხვების სერია.
თუ არის ზღვარი , ეს:
ა) როცა მწკრივი განსხვავდება. უფრო მეტიც, მიღებული მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ნული ან უარყოფითი
ბ) როცა მწკრივი იყრის თავს. კერძოდ, სერია იყრის თავს.
გ) როდის რააბეს ნიშანი პასუხს არ იძლევა.

ჩვენ ვადგენთ ზღვარს და ფრთხილად და ფრთხილად ვამარტივებთ წილადს:


დიახ, სურათი, რბილად რომ ვთქვათ, უსიამოვნოა, მაგრამ მე აღარ მიკვირს, რომ ასეთი საზღვრები ირღვევა L'Hopital-ის წესებიდა პირველი აზრი, როგორც მოგვიანებით გაირკვა, სწორი აღმოჩნდა. მაგრამ თავიდან მე გადავუხვიე და დავაბრუნე ლიმიტი დაახლოებით ერთი საათის განმავლობაში "ჩვეულებრივი" მეთოდების გამოყენებით, მაგრამ გაურკვევლობა არ მინდოდა აღმოიფხვრა. ხოლო წრეებში სიარული, როგორც გამოცდილება გვთავაზობს, ტიპიური ნიშანია იმისა, რომ არასწორი გამოსავალი იქნა არჩეული.

რუსულ ხალხურ სიბრძნეს უნდა მივმართო: „თუ სხვა არაფერია, წაიკითხე ინსტრუქციები“. და როცა გავხსენი ფიხტენჰოლცის მე-2 ტომი, ჩემი დიდი სიხარულით აღმოვაჩინე იდენტური სერიის კვლევა. და შემდეგ გამოსავალი მიჰყვა მაგალითს.