ბარათები

ყველა ფორმულა არითმეტიკულ პროგრესშია. არითმეტიკული პროგრესია. რიცხვების თანმიმდევრობის კიდევ ერთი ტიპია გეომეტრიული

მათემატიკას აქვს თავისი სილამაზე, ისევე როგორც ფერწერა და პოეზია.

რუსი მეცნიერი, მექანიკოსი ნ. ჟუკოვსკი

არითმეტიკული პროგრესის კონცეფციასთან დაკავშირებული პრობლემები ძალიან გავრცელებული პრობლემებია მათემატიკაში მისაღებ გამოცდებში. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, აუცილებელია კარგად იცოდეთ არითმეტიკული პროგრესის თვისებები და გქონდეთ გარკვეული უნარები მათ გამოყენებაში.

ჩვენ პირველად გავიხსენებთ არითმეტიკული პროგრესის ძირითად თვისებებს და წარმოგიდგენთ ყველაზე მნიშვნელოვან ფორმულებს, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება. რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი განსხვავდება წინასაგან ერთი და იგივე რიცხვით, ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია. უფრო მეტიც, რიცხვიპროგრესის სხვაობას უწოდებენ.

არითმეტიკული პროგრესისთვის, შემდეგი ფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად ფორმულას (1) ეწოდება ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი ტერმინისთვის, ხოლო ფორმულა (2) არის არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება: პროგრესის თითოეული ტერმინი ემთხვევა მისი მეზობელი ტერმინების არითმეტიკულ მნიშვნელობას და.

გაითვალისწინეთ, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განიხილება პროგრესი "არითმეტიკული".

ზემოაღნიშნული ფორმულები (1) და (2) განზოგადებულია შემდეგნაირად:

(3)

თანხის გამოსათვლელადპირველი არითმეტიკული პროგრესის წევრებიჩვეულებრივ გამოიყენება ფორმულა

(5) სად და.

ფორმულის გათვალისწინებით (1), შემდეგ ფორმულა (5) გულისხმობს

თუ ჩვენ აღვნიშნავთ, მაშინ

სად მას შემდეგ, რაც ფორმულები (7) და (8) არის შესაბამისი ფორმულების განზოგადება (5) და (6).

Კერძოდ , ფორმულა (5) გულისხმობს, რა

არითმეტიკული პროგრესირების თვისება, ჩამოყალიბებული შემდეგი თეორემის საშუალებით, ყველაზე ნაკლებად არის ცნობილი სტუდენტების უმეტესობისათვის.

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება.თუ, მაშინ

თეორემა დამტკიცებულია.

Მაგალითად , თეორემის გამოყენებით, ამის ჩვენება შეიძლება

მოდით გადავიდეთ პრობლემების გადაჭრის ტიპიური მაგალითების განხილვა თემაზე "არითმეტიკული პროგრესია".

მაგალითი 1.დაე და. იპოვეთ.

გადაწყვეტა.ფორმულის გამოყენება (6), ჩვენ ვიღებთ. მას შემდეგ და შემდეგ, ან.

მაგალითი 2.მოდით ეს იყოს სამჯერ მეტი, ხოლო კოეფიციენტზე გაყოფისას მივიღებთ 2 -ს და დანარჩენს 8. დაადგინეთ და.

გადაწყვეტა.მაგალითის მდგომარეობა გულისხმობს განტოლებათა სისტემას

ვინაიდან ,, და, შემდეგ განტოლებათა სისტემიდან (10) ვიღებთ

ამ განტოლებათა სისტემის გადაწყვეტა არის და.

მაგალითი 3.იპოვეთ თუ და.

გადაწყვეტა.ფორმულის (5) მიხედვით გვაქვს ან. თუმცა, ქონების გამოყენებით (9), ჩვენ ვიღებთ.

მას შემდეგ და შემდეგ თანასწორობიდან განტოლება შემდეგნაირადან

მაგალითი 4.იპოვეთ თუ.

გადაწყვეტა.ფორმულის მიხედვით (5), ჩვენ გვაქვს

თუმცა, თეორემის გამოყენებით, შეიძლება წერა

აქედან და ფორმულადან (11) ვიღებთ.

მაგალითი 5. მოცემულია :. იპოვეთ.

გადაწყვეტა.Მას შემდეგ. თუმცა, ამიტომ.

მაგალითი 6.დაე, და. იპოვეთ.

გადაწყვეტა.ფორმულის (9) გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ. ამიტომ, თუ, მაშინ ან.

მას შემდეგ და, მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

რომლის გადაჭრასაც ვიღებთ და.

განტოლების ბუნებრივი ფესვიარის

მაგალითი 7.იპოვეთ თუ და.

გადაწყვეტა.ვინაიდან ფორმულის (3) ჩვენ გვაქვს ეს, მაშინ პრობლემის დებულება გულისხმობს განტოლებათა სისტემას

თუ თქვენ შეცვლით გამოთქმასსისტემის მეორე განტოლებაში, მაშინ მივიღებთ ან.

კვადრატული განტოლების ფესვებიადა

განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. ნება, მაშინ. მას შემდეგ და შემდეგ.

ამ შემთხვევაში, ფორმულის (6) მიხედვით, ჩვენ გვაქვს

2. თუ, მაშინ და

პასუხი: და.

მაგალითი 8.ცნობილია, რომ და. იპოვეთ.

გადაწყვეტა.ფორმულის (5) და მაგალითის მდგომარეობის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ და.

აქედან გამომდინარეობს განტოლებათა სისტემა

თუ გავამრავლებთ სისტემის პირველ განტოლებას 2 -ზე და შემდეგ დავუმატებთ მას მეორე განტოლებას, მივიღებთ

ფორმულის (9) მიხედვით, ჩვენ გვაქვს... ამასთან დაკავშირებით, (12) -იდან გამომდინარეობსან

მას შემდეგ და შემდეგ.

პასუხი:.

მაგალითი 9.იპოვეთ თუ და.

გადაწყვეტა.მას შემდეგ, და პირობით, მაშინ ან.

ფორმულადან (5) ცნობილია, რა . Მას შემდეგ.

აქედან გამომდინარე, აქ ჩვენ გვაქვს წრფივი განტოლების სისტემა

ამიტომ ვიღებთ და. ფორმულის გათვალისწინებით (8), ჩვენ ვწერთ.

მაგალითი 10.ამოხსენი განტოლება.

გადაწყვეტა.მოცემული განტოლებიდან გამომდინარეობს რომ. დავუშვათ, რომ ,, და. Ამ შემთხვევაში .

ფორმულის (1) მიხედვით შეგიძლიათ დაწეროთ ან.

მას შემდეგ, რაც განტოლებას (13) აქვს ერთი შესაფერისი ფესვი.

მაგალითი 11.იპოვეთ მაქსიმალური მნიშვნელობა იმ პირობით, რომ და.

გადაწყვეტა.მას შემდეგ, რაც განიხილება არითმეტიკული პროგრესია მცირდება. ამ თვალსაზრისით, გამოთქმა იღებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, როდესაც ეს არის პროგრესიის მინიმალური დადებითი ტერმინის რიცხვი.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (1) და ფაქტს, როგორც შემდეგ ჩვენ ვიღებთ ამას ან.

მას შემდეგ, შემდეგ ან ... თუმცა, ამ უთანასწორობაშიუდიდესი ბუნებრივი რიცხვი, ამიტომ.

თუ მნიშვნელობები და ჩანაცვლებულია ფორმულაში (6), მაშინ ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 12.განსაზღვრეთ ყველა ორნიშნა ბუნებრივი რიცხვის ჯამი, რომელიც 6 – ზე გაყოფისას იძლევა 5 – ის ნარჩენს.

გადაწყვეტა.მოდით აღვნიშნოთ ყველა ორნიშნა ნატურალური რიცხვის ნაკრები, ე.ი. ... შემდეგი, ჩვენ ვქმნით ქვეჯგუფს, რომელიც შედგება ნაკრების იმ ელემენტებისგან (რიცხვებისაგან), რომლებიც 6 რიცხვზე გაყოფისას იძლევა დანარჩენს 5.

დადგენა არ არის რთული, რა . ცხადია, რომ ნაკრების ელემენტებიარითმეტიკული პროგრესის ჩამოყალიბება, რომელშიც და.

სიმრავლის კარდინალურობის (ელემენტების რაოდენობა) დასადგენად, ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ. მას შემდეგ, რაც და, შემდეგ ფორმულადან (1) ის მიჰყვება ან. ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ.

პრობლემების გადაჭრის ზემოთ მოყვანილი მაგალითები არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება ითქვას ამომწურავად. ეს სტატია დაწერილია მოცემულ თემაზე ტიპიური პრობლემების გადაჭრის თანამედროვე მეთოდების ანალიზის საფუძველზე. არითმეტიკულ პროგრესირებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლის მიზნით, მიზანშეწონილია მიმართოთ რეკომენდებული ლიტერატურის ჩამონათვალს.

1. მათემატიკაში არსებული პრობლემების კრებული ტექნიკურ კოლეჯებში განმცხადებლებისათვის / ედ. M.I. სკანავი. - მ .: მშვიდობა და განათლება, 2013 .-- 608 გვ.

2. სუპრუნ ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სკოლის სასწავლო გეგმის დამატებითი მონაკვეთები. - მ .: ლენანდი / URSS, 2014 .-- 216 გვ.

3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი პრობლემებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვითი თანმიმდევრობა და პროგრესიები. - მ .: ედიტუსი, 2015 .-- 208 გვ.

კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

გაკვეთილის მიზნები:

არითმეტიკული პროგრესის გამოყენებით გადაჭრილი პრობლემების შესახებ მოსწავლეთა იდეების გაფართოება და გაღრმავება; მოსწავლეთა საძიებო აქტივობის ორგანიზება არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამის ფორმულის მიღებისას;
ახალი ცოდნის დამოუკიდებლად მიღების უნარების განვითარება, უკვე მიღებული ცოდნის გამოყენება დასახული ამოცანის მისაღწევად;
მიღებული ფაქტების განზოგადების სურვილისა და საჭიროების განვითარება, დამოუკიდებლობის განვითარება.

Დავალებები:

არსებული ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია თემაზე „არითმეტიკული პროგრესია“;
გამოიმუშაოს ფორმულები არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n პირობების ჯამის გამოსათვლელად;
ასწავლოს როგორ გამოიყენოს მიღებული ფორმულები სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში;
რიცხვითი გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნისას მოსწავლეთა ყურადღების მიქცევა მოქმედებების თანმიმდევრობით.

აღჭურვილობა:

ბარათები დავალებებით ჯგუფებში და წყვილებში მუშაობისთვის;
შეფასების ნაშრომი;
პრეზენტაცია"არითმეტიკული პროგრესია".

I. ძირითადი ცოდნის განახლება.

1. დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში.

1 ვარიანტი:

მიეცით არითმეტიკული პროგრესის განმარტება. ჩამოწერეთ განმეორებითი ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს არითმეტიკულ პროგრესს. გამარჯობა არითმეტიკული პროგრესის მაგალითი და მიუთითეთ მისი განსხვავება.

მე -2 ვარიანტი:

ჩამოწერეთ ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის მეათე ვადისთვის. იპოვნეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეათე ტერმინი ( a n}: 2, 5, 8 …
ამ დროს, დაფის უკანა მხარეს მყოფი ორი სტუდენტი ამზადებს პასუხებს იმავე კითხვებზე.
მოსწავლეები აფასებენ პარტნიორის მუშაობას დაფის წინააღმდეგ. (პასუხის ფურცლები გადაცემულია).

2. თამაშის მომენტი.

სავარჯიშო 1.

მასწავლებელი.რაღაც არითმეტიკული პროგრესი მაქვს ჩაფიქრებული. უბრალოდ დამისვით ორი კითხვა, რომ პასუხების შემდეგ სწრაფად დაასახელოთ ამ პროგრესის მე -7 ტერმინი. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

სტუდენტური კითხვები.

რა არის პროგრესის მეექვსე ვადა და რა განსხვავებაა?
რა არის პროგრესირების მერვე ტერმინი და რა განსხვავებაა?

თუ კითხვები აღარ არის, მაშინ მასწავლებელს შეუძლია მათი სტიმულირება - „აკრძალვა“ დზე (სხვაობა), ანუ დაუშვებელია კითხვა, რა განსხვავებაა. თქვენ შეგიძლიათ დასვათ შეკითხვები: რა არის პროგრესიის მეექვსე ვადა და რა არის პროგრესის მე -8 ტერმინი?

ამოცანა 2.

დაფაზე წერია 20 ნომერი: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

მასწავლებელი ზურგსუკან დგას დაფაზე. მოსწავლეები იძახებენ ნომრის ნომერს, ხოლო მასწავლებელი მყისიერად ურეკავს თავად ნომერს. ამიხსენი როგორ გავაკეთო?

მასწავლებელს ახსოვს მე -3 ტერმინის ფორმულა a n = 3n - 2და, n- ის მოცემული მნიშვნელობების შემცვლელი, პოულობს შესაბამის მნიშვნელობებს a n

II საგანმანათლებლო პრობლემის განცხადება.

მე ვთავაზობ ძველ ეგვიპტურ პაპირუსში ნაპოვნი უძველესი პრობლემის გადაჭრას ძვ.წ. II ათასწლეულით.

ამოცანა:”ნება მომეცით გითხრათ: 10 ქერი გაყავით 10 ადამიანს, განსხვავება თითოეულ ადამიანსა და მის მეზობელს შორის უდრის ღონისძიების 1/8”.

როგორ არის დაკავშირებული ეს ამოცანა არითმეტიკული პროგრესის თემასთან? (ყოველი მომდევნო იღებს ზომას 1/8 მეტს, რაც ნიშნავს სხვაობას d = 1/8, 10 ადამიანს, რაც ნიშნავს n = 10)
როგორ ფიქრობთ, რას ნიშნავს ნომერი 10? (პროგრესის ყველა წევრის ჯამი.)
კიდევ რა უნდა იცოდეთ, რომ ქერის გაყოფა ადვილი და მარტივი ამოცანის მდგომარეობის მიხედვით? (პროგრესის პირველი ტერმინი.)

გაკვეთილის მიზანი- პროგრესიის წევრთა ჯამის დამოკიდებულების მოპოვება მათ რაოდენობაზე, პირველი ტერმინი და სხვაობა და შემოწმება, იყო თუ არა პრობლემა სწორად გადაჭრილი ძველ დროში.

სანამ ფორმულის დასკვნას გამოვიტანთ, ვნახოთ, როგორ გადაჭრეს ძველი ეგვიპტელებმა პრობლემა.

და მათ გადაწყვიტეს შემდეგნაირად:

1) 10 ღონისძიება: 10 = 1 ღონისძიება - საშუალო წილი;
2) 1 ღონისძიება ∙ = 2 ღონისძიება - გაორმაგებული საშუალოგაზიარება.
გაორმაგდა საშუალოწილი არის მე -5 და მე -6 ადამიანების აქციების ჯამი.
3) 2 ღონისძიება - 1/8 ღონისძიება = 1 7/8 ღონისძიება - ორჯერ მეხუთე პირის წილი.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ხუთის წილი; და ასე შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ თითოეული წინა და შემდგომი პირის წილი.

ჩვენ ვიღებთ თანმიმდევრობას:

III. პრობლემის გადაწყვეტა.

1. ჯგუფებში მუშაობა

ჯგუფი I:იპოვეთ 20 ზედიზედ ნატურალური რიცხვის ჯამი: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Ზოგადად

II ჯგუფი:იპოვეთ ბუნებრივი რიცხვების ჯამი 1 -დან 100 -მდე (ლეგენდა პატარა გაუსზე).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

გამომავალი:

III ჯგუფი:იპოვეთ ბუნებრივი რიცხვების ჯამი 1 -დან 21 -მდე.

ამოხსნა: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

გამომავალი:

IV ჯგუფი:იპოვეთ ბუნებრივი რიცხვების ჯამი 1 -დან 101 -მდე.

გამომავალი:

ამ პრობლემის გადაჭრის ამ მეთოდს ეწოდება "გაუსის მეთოდი".

2. თითოეული ჯგუფი წარადგენს პრობლემის გადაწყვეტას დაფაზე.

3. შემოთავაზებული გადაწყვეტილებების განზოგადება თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

1, 2, 3, ..., n-2, n-1, n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

მოდით ვიპოვოთ ეს ჯამი მსგავსი მსჯელობით:

4. ჩვენ გადაჭრილი გვაქვს ამოცანა?(დიახ.)

IV. მიღებული ფორმულების პირველადი გააზრება და გამოყენება პრობლემების გადაჭრაში.

1. ძველი პრობლემის გადაწყვეტის შემოწმება ფორმულის გამოყენებით.

2. ფორმულის გამოყენება სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში.

3. სავარჯიშოები ფორმულის გამოყენების უნარის ფორმირებისათვის პრობლემების გადაჭრისას.

ა) No613

მოცემულია: ( ა ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

იპოვეთ: S 1500

გამოსავალი: , a 1 = 1, 1500 = 1500,

ბ) მოცემულია: ( ა ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

იპოვეთ: n
გამოსავალი:

V. დამოუკიდებელი მუშაობა ორმხრივი გადამოწმებით.

დენის წავიდა სამუშაოდ კურიერად. პირველ თვეში, მისი ხელფასი იყო 200 მანეთი, ყოველ მომდევნო თვეში ის გაიზარდა 30 რუბლით. რამდენი გამოიმუშავა მან წელიწადში?

მოცემულია: ( ა ნ) -არითმეტიკული პროგრესია;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
იპოვეთ: S 12
გამოსავალი:

პასუხი: დენისმა მიიღო 4380 რუბლი წელიწადში.

Vi საშინაო დავალების ბრიფინგი.

გვ 4.3 - ისწავლეთ ფორმულის წარმოება.
№№ 585, 623 .
შექმენით პრობლემა, რომელიც გადაწყდება ფორმულის გამოყენებით არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n პირობების ჯამისთვის.

Vii. გაკვეთილის შეჯამება.

1. შეფასების ფურცელი

2. განაგრძეთ წინადადებები

დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე ...
ნასწავლი ფორმულები ...
Მე ვფიქრობ, რომ …

3. შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვების ჯამი 1 -დან 500 -მდე? რა მეთოდს გამოიყენებთ ამ პრობლემის გადასაჭრელად?

ბიბლიოგრაფია.

1. ალგებრა, მე -9 კლასი. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის. ედ. გ.ვ. დოროფეევა.მ .: "განათლება", 2009 წ.

დიახ, დიახ: არითმეტიკული პროგრესი არ არის თქვენთვის სათამაშო :)

მეგობრებო, თუ თქვენ კითხულობთ ამ ტექსტს, მაშინ შიდა მტკიცებულება მეუბნება, რომ თქვენ ჯერ კიდევ არ იცით რა არის არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ თქვენ ნამდვილად (არა, ასე: SOOOOO!) გსურთ იცოდეთ. ამიტომ, მე არ დაგტანჯავთ ხანგრძლივი შესავლით და დაუყოვნებლივ შევუდგები საქმეს.

დავიწყოთ რამდენიმე მაგალითით. განვიხილოთ რიცხვების რამდენიმე ნაკრები:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

რა საერთო აქვთ ყველა ამ კომპლექტს? ერთი შეხედვით, არაფერი. მაგრამ სინამდვილეში არის რაღაც. კერძოდ: ყოველი მომდევნო ელემენტი განსხვავდება წინასაგან ერთი და იგივე რიცხვით.

თავად განსაჯეთ. პირველი ნაკრები არის უბრალოდ თანმიმდევრული რიცხვები, ყოველი მომდევნო უფრო მეტი ვიდრე წინა. მეორე შემთხვევაში, სხვაობა მიმდებარე რიცხვებს შორის უკვე ხუთის ტოლია, მაგრამ ეს განსხვავება მაინც მუდმივია. მესამე შემთხვევაში, ზოგადად ფესვები. თუმცა, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, და $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ე.ი. და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი უბრალოდ იზრდება $ \ sqrt (2) $ (და ნუ გეშინია, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია).

ასე რომ: ყველა ასეთ თანმიმდევრობას ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიები. მოდით მივცეთ მკაცრი განმარტება:

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობას, რომლებშიც ყოველი მომდევნო წინაგან განსხვავდება ზუსტად იგივე რაოდენობით, ეწოდება არითმეტიკული პროგრესია. იმ რაოდენობას, რომლითაც რიცხვები განსხვავდება, ეწოდება პროგრესის განსხვავება და ყველაზე ხშირად აღინიშნება ასო $ d $.

აღნიშვნა: $ \ მარცხნივ (((a) _ (n)) \ მარჯვნივ) $ - პროგრესი თავისთავად, $ d $ - მისი სხვაობა.

და მხოლოდ რამდენიმე მნიშვნელოვანი შენიშვნა. ჯერ მხოლოდ მოწესრიგებულირიცხვების თანმიმდევრობა: ნებადართულია მათი წაკითხვა მკაცრად იმ თანმიმდევრობით, რომელშიც ისინი იწერება - და სხვა არაფერი. თქვენ არ შეგიძლიათ ციფრების გადალაგება ან შეცვლა.

მეორეც, თანმიმდევრობა თავისთავად შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო. მაგალითად, ნაკრები (1; 2; 3) აშკარად არის სასრული არითმეტიკული პროგრესია. მაგრამ თუ რამეს დაწერ სულით (1; 2; 3; 4; ...) - ეს უკვე გაუთავებელი პროგრესია. ოთხის შემდეგ ელიფსისი, როგორც იქნა, მიანიშნებს, რომ ჯერ კიდევ საკმაოდ ბევრი რიცხვი მიმდინარეობს. უსასრულოდ ბევრი, მაგალითად. :)

აქვე მინდა აღვნიშნო, რომ პროგრესი იზრდება და მცირდება. ჩვენ უკვე ვნახეთ მზარდი პირობა - იგივე ნაკრები (1; 2; 3; 4; ...). და აქ არის პროგრესირების შემცირების მაგალითები:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

კარგი, კარგი: ეს ბოლო მაგალითი შეიძლება ზედმეტად რთული ჩანდეს. მაგრამ დანარჩენი, მგონი გესმის. ამიტომ, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ განმარტებებს:

განმარტება. არითმეტიკული პროგრესი ეწოდება:

იზრდება თუ ყოველი შემდეგი ელემენტი უფრო დიდია ვიდრე წინა;

მცირდება, თუ პირიქით, ყოველი მომდევნო ელემენტი წინაზე ნაკლებია.

გარდა ამისა, არსებობს ეგრეთ წოდებული "სტაციონარული" თანმიმდევრობა - ისინი შედგება ერთი და იგივე განმეორებითი რიცხვისგან. მაგალითად, (3; 3; 3; ...).

რჩება მხოლოდ ერთი კითხვა: როგორ განვასხვავოთ მზარდი პროგრესი შემცირებისგან? საბედნიეროდ, ეს ყველაფერი დამოკიდებულია $ d $ რიცხვის ნიშანზე, ე.ი. განსხვავების პროგრესირება:

თუ $ d \ gt 0 $, მაშინ პროგრესი იზრდება;
თუ $ d \ lt 0 $, მაშინ პროგრესია აშკარად მცირდება;
დაბოლოს, არის შემთხვევა $ d = 0 $ - ამ შემთხვევაში მთელი პროგრესია მცირდება იდენტური რიცხვების სტაციონარულ თანმიმდევრობამდე: (1; 1; 1; 1; ...) და ა.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ სხვაობა $ d $ სამი შემცირებული პროგრესისთვის ზემოთ მოცემული. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი ორი მიმდებარე ელემენტი (მაგალითად, პირველი და მეორე) და გამოაკლოთ რიცხვი მარცხნივ მარჯვნივ რიცხვიდან. ასე გამოიყურება:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

როგორც ხედავთ, სამივე შემთხვევაში განსხვავება მართლაც უარყოფითი აღმოჩნდა. და ახლა, როდესაც ჩვენ მეტნაკლებად გავერკვიეთ განმარტებებში, დროა გავარკვიოთ როგორ არის აღწერილი პროგრესი და რა არის მათი თვისებები.

პროგრესის წევრები და განმეორებითი ფორმულა

ვინაიდან ჩვენი თანმიმდევრობის ელემენტები არ შეიძლება შეიცვალოს, ისინი შეიძლება დანომრილი იყოს:

\ [\ მარცხნივ (((ა) _ (n)) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ \ (((ა) _ (1)), \ ((ა) _ (2)), ((ა) _ (3 )), ... \ მარჯვნივ \) \]

ამ ნაკრების ცალკეულ ელემენტებს ეწოდება პროგრესიის წევრები. ისინი მითითებულია რიცხვით: პირველი ტერმინი, მეორე ტერმინი და ა.

გარდა ამისა, როგორც უკვე ვიცით, პროგრესის მეზობელი წევრები დაკავშირებულია ფორმულით:

\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

მოკლედ რომ ვთქვათ, პროგრესიში $ n $ th ტერმინი რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა იცოდეთ $ n-1 $ th ტერმინი და $ d $ სხვაობა. ასეთ ფორმულას ეწოდება განმეორებადი, რადგან მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვი, მხოლოდ იცოდეთ წინა (და სინამდვილეში - ყველა წინა). ეს არის ძალიან მოუხერხებელი, ასე რომ არსებობს უფრო სახიფათო ფორმულა, რომელიც ამცირებს ყოველ გამოთვლებს პირველ ვადამდე და სხვაობას:

\ [((ა) _ (ნ)) = ((ა) _ (1)) + \ მარცხენა (n-1 \ მარჯვნივ) დ \]

რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე შეხვდით ამ ფორმულას. მათ უყვართ მისი მიცემა ყველა სახის საცნობარო წიგნსა და რეშებნიკში. და მათემატიკის ნებისმიერ საღად მოაზროვნე სახელმძღვანელოში, ის ერთ -ერთი პირველია.

მიუხედავად ამისა, მე გირჩევთ, ცოტა ვივარჯიშოთ.

პრობლემა ნომერი 1. ჩამოწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი ტერმინი $ \ მარცხენა (((a) _ (n)) \ მარჯვნივ) $ if $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

გადაწყვეტა. ასე რომ, ჩვენ ვიცით პირველი ტერმინი $ ((a) _ (1)) = 8 $ და პროგრესირების სხვაობა $ d = -5 $. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა, რომელიც ახლახანს მოგვეცა და შევცვალოთ $ n = 1 $, $ n = 2 $ და $ n = 3 $:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ მარცხენა (n-1 \ მარჯვნივ) d; \\ & ((ა) _ (1)) = ((ა) _ (1)) + \ მარცხნივ (1-1 \ მარჯვნივ) d = ((ა) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ მარცხნივ (2-1 \ მარჯვნივ) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ მარცხნივ (3-1 \ მარჯვნივ) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

პასუხი: (8; 3; −2)

Სულ ეს არის! გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენი პროგრესი მცირდება.

რასაკვირველია, $ n = 1 $ ვერ შეცვლილა - პირველი ტერმინი ჩვენთვის უკვე ცნობილია. თუმცა, ერთის შეცვლით, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ ჩვენი ფორმულა მუშაობს თუნდაც პირველი ვადის განმავლობაში. სხვა შემთხვევებში, ეს ყველაფერი წვრილმან არითმეტიკამდე მივიდა.

პრობლემა ნომერი 2. ჩამოწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი ტერმინი, თუ მისი მეშვიდე ტერმინია −40, ხოლო მეჩვიდმეტე არის −50.

გადაწყვეტა. მოდით დავწეროთ პრობლემის მდგომარეობა ჩვეულებრივი პირობებით:

\ [((ა) _ (7)) = - 40; \ ოთხკუთხედი ((ა) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ მარცხნივ \ (\ იწყება (გასწორება) & ((ა) _ (7)) = ((ა) _ (1)) + 6d \\ & ((ა) _ (17)) = ((ა) _ (1)) + 16d \\ \ დასასრული (გასწორება) \ მარჯვნივ. \]

\ [\ მარცხნივ \ (\ იწყება (გასწორება) & ((ა) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((ა) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ დასასრული (გასწორება) \ მარჯვნივ. \]

მე დავნიშნე სისტემის ნიშანი, რადგან ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა შესრულდეს. ახლა კი გაითვალისწინეთ, რომ თუ პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებიდან (ჩვენ ამის უფლება გვაქვს, ვინაიდან ჩვენ გვაქვს სისტემა), ვიღებთ ამას:

\ [\ იწყება (გასწორება) & ((ა) _ (1)) + 16d- \ მარცხნივ (((a) _ (1)) + 6d \ მარჯვნივ) =- 50- \ მარცხნივ (-40 \ მარჯვნივ); \\ & ((ა) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & დ = -1. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ასე მარტივად ვიპოვეთ განსხვავება პროგრესირებაში! რჩება ნაპოვნი რიცხვის შეცვლა სისტემის რომელიმე განტოლებაში. მაგალითად, პირველში:

\ [\ დაწყება (მატრიცა) ((ა) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((ა) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ დასასრული (მატრიცა) \]

ახლა, ვიცოდეთ პირველი ტერმინი და განსხვავება, რჩება მეორე და მესამე პირობების პოვნა:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (2)) = ((ა) _ (1)) + დ = -34-1 = -35; \\ & ((ა) _ (3)) = ((ა) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

მზადაა! პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: (-34; -35; -36)

ყურადღება მიაქციეთ პროგრესის საინტერესო თვისებას, რომელიც აღმოვაჩინეთ: თუ ჩვენ ვიღებთ $ n $ th და $ m $ th პირობებს და გამოვაკლებთ მათ ერთმანეთისგან, ვიღებთ პროგრესის სხვაობას გამრავლებული $ n-m $ $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ მარცხნივ (n -m \ მარჯვნივ) \]

მარტივი, მაგრამ ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ - მისი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად დააჩქაროთ პროგრესულად მრავალი პრობლემის გადაწყვეტა. აქ არის მთავარი მაგალითი:

პრობლემა ნომერი 3. არითმეტიკული პროგრესის მეხუთე ვადაა 8.4, ხოლო მისი მეათე არის 14.4. იპოვეთ ამ პროგრესის მეთხუთმეტე ტერმინი.

გადაწყვეტა. მას შემდეგ, რაც $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $, და თქვენ უნდა იპოვოთ $ ((a) _ (15)) $, შემდეგ ჩვენ აღვნიშნავთ შემდეგს :

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (15)) - ((ა) _ (10)) = 5 დ; \\ & ((ა) _ (10)) - ((ა) _ (5)) = 5 დ. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

მაგრამ პირობით $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = 6 $, შესაბამისად $ 5d = 6 $, საიდანაც გვაქვს:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((ა) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

პასუხი: 20.4

Სულ ეს არის! ჩვენ არ გვჭირდება განტოლებათა სისტემის შედგენა და გამოთვლა პირველი ტერმინი და სხვაობა - ყველაფერი გადაწყდა მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა განვიხილოთ სხვა სახის ამოცანები - პროგრესის უარყოფითი და პოზიტიური წევრების პოვნა. საიდუმლო არ არის, რომ თუ პროგრესი იზრდება, ხოლო პირველი ტერმინი უარყოფითია, მაშინ ადრე თუ გვიან მასში გამოჩნდება პოზიტიური ტერმინები. და პირიქით: პროგრესირებადი კლების წევრები ადრე თუ გვიან ნეგატიური გახდებიან.

ამავე დროს, შორს არის ყოველთვის შესაძლებელი ამ მომენტის "თავდახრით" გაცნობა, თანმიმდევრულად გადის ელემენტებს. ხშირად, პრობლემები ისეა შემუშავებული, რომ ფორმულების გაცნობის გარეშე გათვლები რამდენიმე ფურცელს დასჭირდებოდა - ჩვენ უბრალოდ ვიძინებდით სანამ პასუხს ვიპოვით. ამიტომ, ჩვენ შევეცდებით ამ პრობლემების უფრო სწრაფად გადაჭრას.

პრობლემა ნომერი 4. რამდენი უარყოფითი ტერმინია არითმეტიკულ პროგრესიაში -38.5; .835.8; ...?

გადაწყვეტა. ასე რომ, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, საიდანაც ჩვენ დაუყოვნებლივ ვპოულობთ განსხვავებას:

გაითვალისწინეთ, რომ განსხვავება დადებითია, ამიტომ პროგრესი იზრდება. პირველი ტერმინი უარყოფითია, ამიტომ რაღაც მომენტში ჩვენ ნამდვილად წავაწყდებით დადებით რიცხვებს. ერთადერთი კითხვაა როდის მოხდება ეს.

შევეცადოთ გავარკვიოთ: რამდენ ხანს (ანუ რა რიცხვამდე $ n $) შენარჩუნებულია ტერმინების ნეგატივი:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (n)) \ lt 0 \ მარჯვენა მარჯვენა ((a) _ (1)) + \ მარცხენა (n-1 \ მარჯვნივ) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ მარცხნივ (n -1 \ მარჯვნივ) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ მარცხენა | \ cdot 10 \ მარჯვნივ. \\ & -385 + 27 \ cdot \ მარცხნივ (n -1 \ მარჯვნივ) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ბოლო ხაზი მოითხოვს განმარტებას. ამრიგად, ჩვენ ვიცით, რომ $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. მეორეს მხრივ, ჩვენ დავკმაყოფილდებით რიცხვის მხოლოდ მთელი მნიშვნელობებით (უფრო მეტიც: $ n \ in \ mathbb (N) $), ამიტომ ყველაზე დიდი დასაშვები რიცხვი ზუსტად $ n = 15 $ და არავითარ შემთხვევაში 16

პრობლემა ნომერი 5. არითმეტიკულ პროგრესიაში $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. იპოვეთ ამ პროგრესირების პირველი პოზიტიური ტერმინის ნომერი.

ეს იქნებოდა ზუსტად იგივე პრობლემა, რაც წინა, მაგრამ ჩვენ არ ვიცით $ ((a) _ (1)) $. მაგრამ მეზობელი ტერმინები ცნობილია: $ ((ა) _ (5)) $ და $ ((ა) _ (6)) $, ასე რომ ჩვენ ადვილად ვიპოვით პროგრესის სხვაობას:

გარდა ამისა, ჩვენ შევეცდებით გამოვხატოთ მეხუთე ტერმინი პირველის თვალსაზრისით და განსხვავება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ მარცხენა (n-1 \ მარჯვნივ) \ cdot d; \\ & ((ა) _ (5)) = ((ა) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((ა) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((ა) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ახლა ჩვენ ვაგრძელებთ ანალოგიით წინა დავალებას. ჩვენ ვხვდებით, თუ რა მომენტში იქნება ჩვენი რიცხვი პოზიტიური რიცხვები:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (n)) = - 162+ \ მარცხნივ (n -1 \ მარჯვნივ) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ამ უთანასწორობის ყველაზე პატარა მთელი რიცხვი არის 56.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ბოლო დავალებაში ყველაფერი შემცირდა მკაცრ უთანასწორობამდე, ასე რომ $ n = 55 $ ვარიანტი არ მოგვწონს.

ახლა, როდესაც ჩვენ ვისწავლეთ მარტივი პრობლემების გადაჭრა, მოდით გადავიდეთ უფრო რთულებზე. მაგრამ ჯერ შევისწავლოთ არითმეტიკული პროგრესირების კიდევ ერთი ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც მომავალში დაზოგავს უამრავ დროს და არათანაბარ უჯრედებს. :)

საშუალო არითმეტიკული და თანაბარი პუნქტები

განვიხილოთ მზარდი არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული წევრი $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. შევეცადოთ აღვნიშნოთ ისინი რიცხვით ხაზზე:

რიცხვითი წრფის არითმეტიკული პროგრესის წევრები

მე სპეციალურად აღვნიშნე თვითნებური ტერმინები $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, არა რაიმე $ ((a) _ (1)), \ ( (ა) _ (2)), \ ((ა) _ (3)) $ და ა.შ. რადგან წესი, რაზეც ახლა ვისაუბრებ, ერთნაირად მუშაობს ნებისმიერი "სეგმენტისთვის".

და წესი ძალიან მარტივია. გავიხსენოთ განმეორებითი ფორმულა და ჩამოვწეროთ ყველა მონიშნული წევრისთვის:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (n-2)) = ((ა) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

თუმცა, ეს თანასწორობები შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (n -1)) = ((ა) _ (ნ)) - დ; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

აბა, რა? და ის ფაქტი, რომ ტერმინები $ ((a) _ (n-1)) $ და $ ((a) _ (n + 1)) $ მდებარეობს $ ((a) _ (n)) $-დან ერთსა და იმავე მანძილზე რა და ეს მანძილი უდრის $ d $. იგივე შეიძლება ითქვას წევრების შესახებ $ ((a) _ (n -2)) $ და $ ((a) _ (n + 2)) $ - ისინი ასევე ამოღებულია $ ((a) _ (n) - დან) ) $ იგივე მანძილი უდრის $ 2d $. შეგიძლიათ გააგრძელოთ უსასრულოდ, მაგრამ მნიშვნელობა კარგად არის გამოსახული სურათზე.

პროგრესის წევრები ცენტრიდან ერთსა და იმავე მანძილზე წევენ

რას ნიშნავს ეს ჩვენთვის? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ $ ((a) _ (n)) $, თუ მეზობელი რიცხვები ცნობილია:

\ [((ა) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

ჩვენ მივიღეთ შესანიშნავი განცხადება: არითმეტიკული პროგრესიის ყველა წევრი ტოლია მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკისა! უფრო მეტიც: ჩვენ შეგვიძლია გადავუხვიოთ ჩვენი $ ((a) _ (n)) $ მარცხნიდან და მარჯვნივ არა ერთი ნაბიჯი, არამედ $ k $ ნაბიჯი - და მაინც ფორმულა იქნება სწორი:

\ [((ა) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

იმ. ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ $ ((a) _ (150)) $, თუ ვიცით $ ((a) _ (100)) $ და $ ((a) _ (200)) $, რადგან $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. ერთი შეხედვით, შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს ფაქტი არაფერს გვაძლევს სასარგებლო. თუმცა, პრაქტიკაში, მრავალი პრობლემა სპეციალურად არის „გამკაცრებული“ არითმეტიკული საშუალო საშუალებების გამოყენებისათვის. Შეხედე:

პრობლემა ნომერი 6. იპოვეთ $ x $ ყველა მნიშვნელობა, რისთვისაც რიცხვები $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ და $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ არის თანმიმდევრული წევრები არითმეტიკული პროგრესიისა (თანმიმდევრობით).

გადაწყვეტა. ვინაიდან მითითებული რიცხვები პროგრესის წევრები არიან, მათთვის არითმეტიკული საშუალო მდგომარეობა დაკმაყოფილებულია: ცენტრალური ელემენტი $ x + 1 $ შეიძლება გამოიხატოს მიმდებარე ელემენტებით:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

შედეგი არის კლასიკური კვადრატული განტოლება. მისი ფესვები: $ x = 2 $ და $ x = -3 $ - ეს არის პასუხები.

პასუხი: −3; 2

პრობლემა ნომერი 7. იპოვნეთ $ $ მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც რიცხვები $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ არითმეტიკული პროგრესიაა (ამ თანმიმდევრობით).

გადაწყვეტა. ჩვენ კვლავ გამოვხატავთ შუა ტერმინს მეზობელი ტერმინების საშუალო არითმეტიკული თვალსაზრისით:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ მარჯვნივ.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ისევ კვადრატული განტოლება. და ისევ არსებობს ორი ფესვი: $ x = 6 $ და $ x = 1 $.

პასუხი: 1; 6

თუ პრობლემის გადაჭრისას თქვენ ამოიღებთ რამდენიმე სასტიკ რიცხვს, ან ბოლომდე დარწმუნებული არ ხართ ნაპოვნი პასუხების სისწორეში, მაშინ არსებობს მშვენიერი ტექნიკა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ: ჩვენ სწორად მოვაგვარეთ პრობლემა?

მაგალითად, No6 პრობლემაში მივიღეთ პასუხები -3 და 2. როგორ შევამოწმოთ, რომ ეს პასუხები სწორია? მოდით უბრალოდ ჩავრთოთ ისინი საწყის მდგომარეობაში და ვნახოთ რა მოხდება. შეგახსენებთ, რომ ჩვენ გვაქვს სამი რიცხვი ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ და $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), რომლებმაც უნდა შექმნან არითმეტიკული პროგრესია. შეცვალეთ $ x = -3 $:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & x = -3 \ მარჯვენა მარჯვენა \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ დასასრული (გასწორება) \]

მიღებული რიცხვები -54; 2; 50, რომელიც განსხვავდება 52 -ით, უდავოდ არითმეტიკული პროგრესია. იგივე ხდება $ x = 2 $ -ზე:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & x = 2 \ მარჯვენა მარჯვენა \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ დასასრული (გასწორება) \]

ისევ პროგრესია, ოღონდ სხვაობით 27. ამრიგად, პრობლემა მოგვარებულია სწორად. დაინტერესებულ პირებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად შეამოწმონ მეორე პრობლემა, მაგრამ მე მაშინვე ვიტყვი: იქაც ყველაფერი წესრიგშია.

ზოგადად, ბოლო პრობლემების გადაჭრისას, ჩვენ წავაწყდით კიდევ ერთ საინტერესო ფაქტს, რომელიც ასევე უნდა გვახსოვდეს:

თუ სამი რიცხვი ისეთია, რომ მეორე არის პირველისა და უკანასკნელის საშუალო არითმეტიკა, მაშინ ეს რიცხვები არითმეტიკულ პროგრესიას ქმნიან.

მომავალში, ამ განცხადების გაგება საშუალებას მოგვცემს სიტყვასიტყვით "ავაშენოთ" აუცილებელი პროგრესი, პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე. სანამ ასეთ „კონსტრუქციაზე“ გადავალთ, ყურადღება უნდა მივაქციოთ კიდევ ერთ ფაქტს, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს იქიდან, რაც უკვე განვიხილეთ.

დაჯგუფება და ელემენტების ჯამი

ისევ დავუბრუნდეთ რიცხვითი ღერძს. მოდით აღვნიშნოთ პროგრესის რამდენიმე წევრი, რომელთა შორის, ალბათ. ბევრი სხვა წევრია:

რიცხვით ხაზს აქვს 6 ელემენტი მონიშნული

შევეცადოთ გამოვხატოთ "მარცხენა კუდი" $ ((a) _ (n)) $ და $ d $, და "მარჯვენა კუდი" $ ((a) _ (k)) $ და $ d $ რა ძალიან მარტივია:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (n + 1)) = ((ა) _ (ნ)) + დ; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((ა) _ (კ -1)) = ((ა) _ (კ)) - დ; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ შემდეგი თანხები ტოლია:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = ს. \ დასასრული (გასწორება) \]

მარტივად რომ ვთქვათ, თუ დასაწყისად განვიხილავთ პროგრესის ორ ელემენტს, რომლებიც ჯამში $ S $ რიცხვის ტოლია, შემდეგ კი ჩვენ ვიწყებთ ამ ელემენტებიდან სიარულს საპირისპირო მიმართულებით (ერთმანეთისკენ ან პირიქით, რომ მოშორდეთ), მაშინ იმ ელემენტების ჯამი, რომლებზეც ჩვენ წავაწყდებით, ასევე თანაბარი იქნება$ S $. ეს შეიძლება იყოს ყველაზე ნათლად გამოსახული გრაფიკულად:

თანაბარი ჩაღრმავება იძლევა თანაბარ რაოდენობას

ამ ფაქტის გაცნობიერება მოგვცემს საშუალებას გადაჭრას ფუნდამენტურად უფრო მაღალი დონის სირთულის პრობლემები, ვიდრე ის, რაც ზემოთ განვიხილეთ. მაგალითად, ასეთი:

პრობლემა ნომერი 8. განსაზღვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, რომელშიც პირველი ტერმინია 66, ხოლო მეორე და მეთორმეტე ტერმინების პროდუქტი არის ყველაზე მცირე შესაძლო.

გადაწყვეტა. მოდით დავწეროთ ყველაფერი რაც ვიცით:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (1)) = 66; \\ & დ =? \\ & ((ა) _ (2)) \ cdot ((ა) _ (12)) = \ წთ. \ დასასრული (გასწორება) \]

ამრიგად, ჩვენ არ ვიცით $ $ $ პროგრესიის სხვაობა. სინამდვილეში, მთელი გამოსავალი შეიქმნება განსხვავების გარშემო, რადგან პროდუქტი $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ შეიძლება გადაწერილი იქნას შემდეგნაირად:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (2)) = ((ა) _ (1)) + დ = 66 + დ; \\ & ((ა) _ (12)) = ((ა) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ მარცხნივ (66 + d \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხნივ (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ მარცხნივ (d + 66 \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხნივ (d + 6 \ მარჯვნივ). \ დასასრული (გასწორება) \]

სატანკოში მყოფთათვის: მე მეორე ფრჩხილიდან ამოვიღე საერთო 11. ამრიგად, მოთხოვნილი პროდუქტი არის კვადრატული ფუნქცია ცვლადი $ d $ - ის მიმართ. ამიტომ, განვიხილოთ ფუნქცია $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ფილიალებით ზემოთ, ვინაიდან თუ გავაფართოვებთ ფრჩხილებს, მაშინ ვიღებთ:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & f \ მარცხენა (დ \ მარჯვნივ) = 11 \ მარცხენა (((დ) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ მარჯვნივ) = \\ & = 11 (( დ) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ დასასრული (გასწორება) \]

როგორც ხედავთ, კოეფიციენტი წამყვან ტერმინალში არის 11 - ეს არის დადებითი რიცხვი, ასე რომ ჩვენ ნამდვილად გვაქვს საქმე პარაბოლასთან ფილიალებით ზემოთ:

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი - პარაბოლა
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს პარაბოლა იღებს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას თავის წვერზე აბსცესით $ ((d) _ (0)) $. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ეს აბსცესი სტანდარტული სქემის მიხედვით (ასევე არსებობს ფორმულა $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), მაგრამ ეს ბევრად გონივრული იქნება შეამჩნია, რომ სასურველი წვერო მდგომარეობს პარაბოლის ღერძის სიმეტრიაზე, ამიტომ წერტილი $ ((დ) _ (0)) $ არის თანაბრად დაშორებული განტოლების ფესვებიდან $ f \ მარცხნივ (დ \ მარჯვნივ) = 0 $:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & f \ მარცხენა (დ \ მარჯვნივ) = 0; \\ & 11 \ cdot \ მარცხნივ (d + 66 \ მარჯვნივ) \ cdot \ მარცხნივ (d + 6 \ მარჯვნივ) = 0; \\ & ((დ) _ (1)) = - 66; \ ოთხკუთხედი ((დ) _ (2)) = - 6. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ამიტომაც არ მეჩქარებოდა ფრჩხილების გახსნა: თავდაპირველი ფორმით, ფესვები ძალიან, ძალიან ადვილი მოსაპოვებელი იყო. ამრიგად, აბსცესი ტოლია −66 და −6 რიცხვების საშუალო არითმეტიკისა:

\ [((დ) _ (0)) = \ ფრაკი (-66-6) (2) =-36 \]

რას გვაძლევს აღმოჩენილი რიცხვი? მასთან ერთად, საჭირო პროდუქტი იღებს უმცირეს მნიშვნელობას (სხვათა შორის, ჩვენ არ ჩავთვლით $ ((y) _ (\ min)) $ - ეს ჩვენგან არ არის მოთხოვნილი). ამავე დროს, ეს რიცხვი არის განსხვავება საწყის პროგრესს შორის, ე.ი. ვიპოვეთ პასუხი. :)

პასუხი: 36

პრობლემა ნომერი 9. ჩადეთ სამი რიცხვი $ - \ frac (1) (2) $ და $ - \ frac (1) (6) $ რიცხვებს შორის ისე, რომ ისინი მოცემულ რიცხვებთან ერთად არითმეტიკულ პროგრესიას ქმნიან.

გადაწყვეტა. ძირითადად, ჩვენ გვჭირდება ხუთი რიცხვის თანმიმდევრობა, პირველი და ბოლო რიცხვები უკვე ცნობილია. მოდით აღვნიშნოთ დაკარგული რიცხვები ცვლადებით $ x $, $ y $ და $ z $:

\ [\ მარცხენა (((a) _ (n)) \ მარჯვნივ) = \ მარცხენა \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ მარჯვნივ \ ) \]

გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი $ y $ არის ჩვენი თანმიმდევრობის "შუა" - ის თანაბრად არის დაშორებული როგორც რიცხვებიდან $ x $ და $ z $, ასევე რიცხვებიდან $ - \ frac (1) (2) $ და $ - \ ფრაკი (1) (6) $. და თუ ამ მომენტში ჩვენ ვერ ვიღებთ $ y $ რიცხვებიდან $ x $ და $ z $, მაშინ სიტუაცია სხვაგვარადაა პროგრესის ბოლოს. გავიხსენოთ არითმეტიკული საშუალო:

ახლა, $ y $ ვიცით, ჩვენ ვიპოვით დანარჩენ ციფრებს. გაითვალისწინეთ, რომ $ x $ მდგომარეობს რიცხვებში $ - \ frac (1) (2) $ და $ y = - \ frac (1) (3) $ ახლახანს ნაპოვნი. Ამიტომაც

ანალოგიურად მსჯელობისას, ჩვენ ვპოულობთ დანარჩენ რიცხვს:

მზადაა! ჩვენ ვიპოვეთ სამივე ნომერი. მოდით დავწეროთ ისინი პასუხში იმ თანმიმდევრობით, რომელშიც ისინი უნდა იყოს ჩასმული ორიგინალ რიცხვებს შორის.

პასუხი: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

პრობლემა ნომერი 10. 2 და 42 რიცხვებს შორის ჩაწერეთ რამდენიმე რიცხვი, რომლებიც ამ რიცხვებთან ერთად არითმეტიკულ პროგრესიას ქმნიან, თუ იცით, რომ ჩასმული რიცხვების პირველი, მეორე და ბოლო ჯამია 56.

გადაწყვეტა. კიდევ უფრო რთული ამოცანა, რომელიც, თუმცა, მოგვარებულია იმავე სქემის მიხედვით, როგორც წინა - არითმეტიკული საშუალო საშუალებით. პრობლემა ის არის, რომ ჩვენ ზუსტად არ ვიცით რამდენი რიცხვი უნდა ჩავსვათ. ამიტომ, განსაზღვრულობისთვის, ვივარაუდოთ, რომ ყველაფრის ჩასმის შემდეგ იქნება ზუსტად $ n $ რიცხვები, რომელთაგან პირველი არის 2, ხოლო ბოლო 42. ამ შემთხვევაში, მოთხოვნილი არითმეტიკული პროგრესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

\ [\ მარცხნივ (((ა) _ (n)) \ მარჯვნივ) = \ მარცხნივ \ (2; ((ა) _ (2)); ((ა) _ (3)); ...; (( ა) _ (n-1)); 42 \ მარჯვნივ \) \]

\ [((ა) _ (2)) + ((ა) _ (3)) + ((ა) _ (n-1)) = 56 \]

ამასთან, გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები $ ((a) _ (2)) $ და $ ((a) _ (n-1)) $ მიღებულია 2 და 42 ნომრებიდან კიდეებზე ერთი ნაბიჯით ერთმანეთისკენ, ანუ ... მიმდევრობის ცენტრამდე. Ეს ნიშნავს რომ

\ [((ა) _ (2)) + ((ა) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

მაგრამ შემდეგ ზემოთ დაწერილი გამოთქმა შეიძლება გადაწერილი იქნას შემდეგნაირად:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (2)) + ((ა) _ (3)) + ((ა) _ (n-1)) = 56; \\ & \ მარცხენა (((ა) _ (2)) + ((ა) _ (n-1)) \ მარჯვნივ) + ((ა) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((ა) _ (3)) = 56; \\ & ((ა) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

$ ((A) _ (3)) $ და $ ((a) _ (1)) $ ვიცით, ჩვენ ადვილად ვიპოვით პროგრესის განსხვავებას:

\ [\ იწყება (გასწორება) & ((ა) _ (3)) - ((ა) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ მარცხნივ (3-1 \ მარჯვნივ) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

რჩება მხოლოდ დანარჩენი წევრების პოვნა:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (1)) = 2; \\ & ((ა) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((ა) _ (3)) = 12; \\ & ((ა) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((ა) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((ა) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((ა) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((ა) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((ა) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ამრიგად, უკვე მე -9 საფეხურზე მივდივართ მიმდევრობის მარცხენა ბოლომდე - რიცხვი 42. საერთო ჯამში, საჭირო იყო მხოლოდ 7 რიცხვის ჩასმა: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

პასუხი: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

სიტყვის პრობლემები პროგრესირებასთან

დასასრულს, მსურს განვიხილო რამდენიმე შედარებით მარტივი ამოცანა. რა მარტივია: იმ სტუდენტთა უმეტესობისთვის, ვინც სკოლაში სწავლობს მათემატიკას და არ წაუკითხავს ზემოთ დაწერილი, ეს ამოცანები შეიძლება კალის მსგავსი იყოს. მიუხედავად ამისა, მათემატიკაში OGE და USE– ში სწორედ ასეთი პრობლემები გვხვდება, ამიტომ გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

პრობლემა ნომერი 11. ბრიგადამ იანვარში გამოუშვა 62 ნაწილი და ყოველ მომდევნო თვეში მან გამოუშვა 14 მეტი ნაწილი ვიდრე წინა. რამდენი ნაწილი შეადგინა გუნდმა ნოემბერში?

გადაწყვეტა. ცხადია, თვეების მიხედვით დაგეგმილი ნაწილების რაოდენობა წარმოადგენს მზარდ არითმეტიკულ პროგრესს. უფრო მეტიც:

\ [\ დაწყება (გასწორება) & ((ა) _ (1)) = 62; \ ოთხკუთხედი d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ მარცხნივ (n-1 \ მარჯვნივ) \ cdot 14. \\ \ დასასრული (გასწორება) \]

ნოემბერი არის წლის მე -11 თვე, ამიტომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $ ((a) _ (11)) $:

\ [((ა) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

შესაბამისად, 202 ნაწილის წარმოება მოხდება ნოემბერში.

პრობლემა ნომერი 12. წიგნების შემაკავშირებელ სემინარს იანვარში შეკრული ჰქონდა 216 წიგნი, ხოლო ყოველ მომდევნო თვეში იგი აკავშირებდა 4 -ით მეტ წიგნს, ვიდრე წინა. რამდენი წიგნი აკინძა სემინარმა დეკემბერში?

გადაწყვეტა. Ერთი და იგივე:

$ \ დაიწყოს (გასწორება) & ((ა) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ მარცხნივ (n-1 \ მარჯვნივ) \ cdot 4. \\ \ დასასრული (გასწორება) $

დეკემბერი არის წლის ბოლო, მე -12 თვე, ამიტომ ჩვენ ვეძებთ $ ((a) _ (12)) $:

\ [((ა) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

ეს არის პასუხი - 260 წიგნი დაიდება დეკემბერში.

თუ აქამდე წაგიკითხავთ, მე ჩქარობს მოგილოცოთ: თქვენ წარმატებით დაასრულეთ "ახალგაზრდა მებრძოლთა კურსი" არითმეტიკულ პროგრესებში. თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გააგრძელოთ შემდეგი გაკვეთილი, სადაც ჩვენ შევისწავლით პროგრესის ჯამის ფორმულას, ასევე მისგან მნიშვნელოვან და ძალიან სასარგებლო შედეგებს.

მაგალითად, თანმიმდევრობა \ (2 \); \ (5 \); \ (რვა \); $თერთმეტი$; \ (14 \) ... არის არითმეტიკული პროგრესია, რადგან ყოველი მომდევნო ელემენტი წინადან სამით განსხვავდება (წინადან შეიძლება მივიღოთ სამეულის დამატებით):

ამ პროგრესში, სხვაობა \ (d \) დადებითია (ტოლია \ (3 \)) და, შესაბამისად, ყოველი მომდევნო ტერმინი უფრო დიდია, ვიდრე წინა. ასეთ პროგრესებს უწოდებენ იზრდება.

თუმცა, \ (d \) ასევე შეიძლება იყოს უარყოფითი. Მაგალითად, არითმეტიკულ პროგრესიაში \ (16 \); \ (ათი \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... პროგრესიის სხვაობა \ (დ \) უდრის მინუს ექვსს.

და ამ შემთხვევაში, ყოველი შემდეგი ელემენტი იქნება უფრო მცირე ვიდრე წინა. ამ პროგრესებს ეწოდება მცირდება.

არითმეტიკული პროგრესიის აღნიშვნა

პროგრესი აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით.

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან პროგრესიას, უწოდებენ მას წევრები(ან ელემენტები).

ისინი აღინიშნება იმავე ასოთი, როგორც არითმეტიკული პროგრესია, მაგრამ რიცხვითი ინდექსით, რომელიც უდრის თანმიმდევრობით ელემენტის რაოდენობას.

მაგალითად, არითმეტიკული პროგრესია \ (a_n = \ მარცხნივ \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ მარჯვნივ \) \) შედგება ელემენტებისგან \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) და ასე შემდეგ.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესისთვის \ (a_n = \ მარცხენა \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ მარჯვნივ \) \)

პრობლემის გადაჭრა არითმეტიკული პროგრესიისთვის

პრინციპში, ზემოაღნიშნული ინფორმაცია უკვე საკმარისია არითმეტიკული პროგრესის თითქმის ნებისმიერი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის OGE– ში შემოთავაზებული).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია განსაზღვრულია პირობებით \ (b_1 = 7; d = 4 \). იპოვეთ \ (b_5 \).
გამოსავალი:

პასუხი: \ (b_5 = 23 \)

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის პირველი სამი ტერმინი: \ (62; 49; 36 ... \) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი უარყოფითი ტერმინის მნიშვნელობა ..
გამოსავალი:

	ჩვენ გვეძლევა თანმიმდევრობის პირველი ელემენტები და ვიცით, რომ ეს არის არითმეტიკული პროგრესია. ანუ თითოეული ელემენტი მეზობლისგან განსხვავდება ერთი და იგივე რიცხვით. გაარკვიეთ რომელია, წინა ელემენტს გამოვაკლებთ შემდეგი ელემენტიდან: \ (d = 49-62 = -13 \).
	ახლა ჩვენ შეგვიძლია აღვადგინოთ ჩვენი პროგრესი იმ (პირველ ნეგატიურ) ელემენტში, რაც ჩვენ გვჭირდება.
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: $-3$

მაგალითი (OGE). მოცემულია არითმეტიკული პროგრესიის რამდენიმე თანმიმდევრული ელემენტი: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) იპოვეთ ასოთი მითითებული ელემენტის მნიშვნელობა ((x \).
გამოსავალი:

	\ (X \) მოსაძებნად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ, რამდენად განსხვავდება შემდეგი ელემენტი წინაგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიის სხვაობა. მოდით ვიპოვოთ ის ორი ცნობილი მეზობელი ელემენტიდან: \ (d = 12.5-10 = 2.5 \).
	ახლა კი ჩვენ ვპოულობთ სასურველს უპრობლემოდ: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	მზადაა. შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: $7,5$.

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესი განისაზღვრება შემდეგი პირობებით: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი ექვსი ტერმინის ჯამი.
გამოსავალი:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პროგრესის პირველი ექვსი ტერმინის ჯამი. მაგრამ ჩვენ არ ვიცით მათი მნიშვნელობა, ჩვენ გვეძლევა მხოლოდ პირველი ელემენტი. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ ვიანგარიშებთ მნიშვნელობებს, ჩვენთვის მოცემული გამოყენებით:

\ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \)
\ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \)
\ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \)
და გამოვთვალეთ ექვსი ელემენტი, რაც ჩვენ გვჭირდება, ჩვენ ვპოულობთ მათ ჯამს.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \)
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

თანხა, რომელსაც თქვენ ეძებთ, ნაპოვნია.

პასუხი: \ (S_6 = 9 \).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკულ პროგრესიაში \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). იპოვეთ განსხვავება ამ პროგრესს შორის.
გამოსავალი:

პასუხი: \ (დ = 7 \).

მნიშვნელოვანი არითმეტიკული პროგრესის ფორმულები

როგორც ხედავთ, მრავალი არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს მხოლოდ მთავარი რამის გაგებით - რომ არითმეტიკული პროგრესია რიცხვების ჯაჭვია და ამ ჯაჭვის ყოველი მომდევნო ელემენტი მიიღება წინა რიცხვზე იგივე რიცხვის დამატებით (სხვაობა პროგრესიის).

თუმცა, ზოგჯერ არის სიტუაციები, როდესაც ძალიან მოუხერხებელია "თავდაყირა" გადაწყვეტა. მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ პირველ მაგალითში ჩვენ უნდა ვიპოვოთ არა მეხუთე ელემენტი \ (b_5 \), არამედ სამას ოთხმოცდამეექვსე \ (b_ (386) \). რა არის, ჩვენ \ (385 \) ჯერ ვამატებთ ოთხს? ან წარმოიდგინეთ, რომ წინა მაგალითში თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი სამოცდათორმეტი ელემენტის ჯამი. დაგიწამებენ დათვლაზე ...

ამრიგად, ასეთ შემთხვევებში ისინი არ წყვეტენ "თავდაყირა", არამედ იყენებენ სპეციალურ ფორმულებს, რომლებიც მიღებულია არითმეტიკული პროგრესიისთვის. და მთავარი პირობაა პროგრესის მე –3 ტერმინის ფორმულა და პირველი ტერმინების ჯამის \ (n \) ფორმულა.

\ (N \) - ე წევრის ფორმულა: \ (a_n = a_1 + (n -1) d \), სადაც \ (a_1 \) არის პროგრესის პირველი ტერმინი;
\ (n \) - ელემენტის რაოდენობა, რომელსაც ეძებ;
\ (a_n \) არის პროგრესიის წევრი რიცხვით \ (n \).

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს სწრაფად ვიპოვოთ მინიმუმ მეასედი, თუნდაც მემილიონე ელემენტი, ვიცოდეთ მხოლოდ პირველი და პროგრესის განსხვავება.

მაგალითი. არითმეტიკული პროგრესი განისაზღვრება პირობებით: \ (b_1 = -159 \); \ (დ = 8.2 \). იპოვეთ \ (b_ (246) \).
გამოსავალი:

პასუხი: \ (b_ (246) = 1850 \).

პირველი n ტერმინის ჯამის ფორმულა: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), სადაც

\ (a_n \) - ბოლო შეჯამებული ტერმინი;

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესია განსაზღვრულია პირობებით \ (a_n = 3,4n-0,6 \). იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი \ (25 \) წევრის ჯამი.
გამოსავალი:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		პირველი ოცდახუთი ელემენტის ჯამის გამოსათვლელად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ პირველი და ოცდამეხუთე ტერმინის ღირებულება. ჩვენი წინსვლა მოცემულია მე –9 ტერმინის ფორმულებით, რაც დამოკიდებულია მის რიცხვზე (იხ. დეტალები). მოდით გამოვთვალოთ პირველი ელემენტი ერთის შეცვლით \ (n \).
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		ახლა ჩვენ ვპოულობთ ოცდამეხუთე ტერმინს, რომელიც ცვლის ოცდახუთი ნაცვლად \ (n \).
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		კარგი, ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ საჭირო თანხა უპრობლემოდ.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		პასუხი მზად არის.

პასუხი: \ (S_ (25) = 1090 \).

პირველი ტერმინების ჯამი \ (n \) შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა ფორმულა: თქვენ უბრალოდ გჭირდებათ \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) \ (a_n \) ნაცვლად შეცვალეთ ფორმულა \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). ჩვენ ვიღებთ:

პირველი n ტერმინის ჯამის ფორმულა: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), სადაც

\ (S_n \) - პირველი ელემენტების საჭირო თანხა \ (n \);
\ (a_1 \) - პირველი შეჯამებული ტერმინი;
\ (დ \) - პროგრესირების სხვაობა;
\ (n \) - ერთეულების რაოდენობა ჯამში.

მაგალითი. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი \ (33 \) - ყოფილი წევრების ჯამი: \ (17 \); \ (15.5 \); \ (თოთხმეტი \)…
გამოსავალი:

პასუხი: \ (S_ (33) = - 231 \).

უფრო რთული არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები

ახლა თქვენ გაქვთ ყველა ინფორმაცია, რაც გჭირდებათ თითქმის არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემის გადასაჭრელად. ჩვენ ვამთავრებთ თემას იმ პრობლემების გათვალისწინებით, რომლებშიც საჭიროა არა მხოლოდ ფორმულების გამოყენება, არამედ ცოტა დაფიქრებაც (მათემატიკაში ეს შეიძლება სასარგებლო იყოს ☺)

მაგალითი (OGE). იპოვეთ პროგრესიის ყველა უარყოფითი ტერმინის ჯამი: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18.7 \) ...
გამოსავალი:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		ამოცანა ძალიან ჰგავს წინა. ჩვენ ასევე ვიწყებთ გადაჭრას: ჯერ ვიპოვით \ (d \).
\ (დ = a_2 -a_1 = -19 - ( - 19.3) = 0.3 \)		ახლა მე შევცვლიდი \ (დ \) ჯამის ფორმულაში ... და აქ ჩნდება პატარა ნიუანსი - ჩვენ არ ვიცით \ (n \). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ ვიცით რამდენი ტერმინის დამატებაა საჭირო. როგორ გავარკვიოთ? მოდი ვიფიქროთ. ჩვენ შევწყვეტთ ელემენტების დამატებას, როდესაც მივიღებთ პირველ დადებით ელემენტს. ანუ, თქვენ უნდა გაარკვიოთ ამ ელემენტის ნომერი. Როგორ? მოდით ჩამოვწეროთ არითმეტიკული პროგრესის ნებისმიერი ელემენტის გამოთვლის ფორმულა: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) ჩვენი შემთხვევისთვის.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19.3 + (n -1) 0.3 \)		ჩვენ გვჭირდება \ (a_n \) რომ იყოს ნულზე მეტი. მოდით გავარკვიოთ რა \ (n \) მოხდება ეს.
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (\|: 0.3 \)		ჩვენ ვყოფთ უტოლობის ორივე მხარეს \ (0,3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		ამოძრავეთ მინუს ერთი, დაიმახსოვრეთ ნიშნების შეცვლა
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		ჩვენ ვიანგარიშებთ ...
\ (n> 65,333 ... \)		... და გამოდის, რომ პირველ დადებით ელემენტს ექნება რიცხვი \ (66 \). შესაბამისად, ბოლო ნეგატივს აქვს \ (n = 65 \). მოდით შევამოწმოთ ყოველი შემთხვევისთვის.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		ამრიგად, ჩვენ უნდა დავამატოთ პირველი \ (65 \) ელემენტები.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ (( - 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		პასუხი მზად არის.

პასუხი: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

მაგალითი (OGE). არითმეტიკული პროგრესი განისაზღვრება პირობებით: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). იპოვეთ თანხა \ (26 \) ედან \ (42 \) ელემენტის ჩათვლით.
გამოსავალი:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	ამ პრობლემისას თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ ელემენტების ჯამი, მაგრამ დაწყებული არა პირველიდან, არამედ \ (26 \) - თ -დან. ასეთ შემთხვევაში, ჩვენ არ გვაქვს ფორმულა. როგორ გადაწყვიტოს? ადვილია თანხის მიღება \ (26 \) - ედან \ (42 \) - ოჰ, თქვენ ჯერ უნდა იპოვოთ ჯამი \ (1 \) - ე დან \ (42 \) - ოჰ, შემდეგ კი გამოაკლოთ ჯამი პირველიდან \ (25 \) - th- მდე (იხ. სურათი).
	ჩვენი პროგრესირებისთვის \ (a_1 = -33 \) და სხვაობა \ (d = 4 \) (ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის ოთხი, რომელსაც ჩვენ ვამატებთ წინა ელემენტს, რათა ვიპოვოთ შემდეგი). ამის ცოდნით, ჩვენ ვიპოვით პირველი \ (42 \) - yh ელემენტების ჯამს.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	ახლა პირველი \ (25 \) - ty ელემენტების ჯამი.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ პასუხს.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

პასუხი: \ (S = 1683 \).

არითმეტიკული პროგრესისთვის, არსებობს კიდევ რამდენიმე ფორმულა, რომელიც ჩვენ არ განვიხილეთ ამ სტატიაში მათი დაბალი პრაქტიკული სარგებლობის გამო. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ისინი.

ვიღაც ფრთხილობს სიტყვა "პროგრესირებას", როგორც ძალიან რთულ ტერმინს უმაღლესი მათემატიკის ფილიალებიდან. იმავდროულად, უმარტივესი არითმეტიკული პროგრესია ტაქსის მრიცხველის მუშაობა (სადაც ისინი კვლავ რჩებიან). და არითმეტიკული თანმიმდევრობის არსის (და მათემატიკაში არაფერია უფრო მნიშვნელოვანი, ვიდრე "არსის გაგება") გაგება არც ისე რთულია, რამდენიმე ელემენტარული კონცეფციის გაანალიზებით.

მათემატიკური რიცხვების თანმიმდევრობა

ჩვეულებრივია რიცხვების სერიის დასახელება რიცხვითი თანმიმდევრობით, რომელთაგან თითოეულს აქვს თავისი ნომერი.

a 1 - მიმდევრობის პირველი წევრი;

და 2 არის რიგითობის მეორე წევრი;

და 7 არის რიგითობის მეშვიდე წევრი;

და n არის მიმდევრობის n- ე წევრი;

თუმცა, ჩვენ არ ვართ დაინტერესებული რიცხვებისა და რიცხვების თვითნებური ნაკრებით. ჩვენი ყურადღება გამახვილდება რიცხვითი თანმიმდევრობით, რომლის დროსაც მეცხრე ტერმინის მნიშვნელობა დაკავშირებულია მის რიგით რიცხვთან დამოკიდებულებით, რაც მათემატიკურად მკაფიოდ შეიძლება ჩამოყალიბდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: n- ე რიცხვის რიცხვითი მნიშვნელობა არის n– ის ზოგიერთი ფუნქცია.

a - რიცხვითი მიმდევრობის წევრის მნიშვნელობა;

n არის მისი სერიული ნომერი;

f (n) არის ფუნქცია, სადაც n რიცხვითი თანმიმდევრობით რიგითი არის არგუმენტი.

განმარტება

ჩვეულებრივია არითმეტიკულ პროგრესიას ვუწოდოთ რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინა რიცხვზე მეტია (ნაკლები) ერთი და იმავე რიცხვით. არითმეტიკული მიმდევრობის მე -9 წევრის ფორმულა ასეთია:

a n - არითმეტიკული პროგრესის ამჟამინდელი წევრის მნიშვნელობა;

a n + 1 - შემდეგი რიცხვის ფორმულა;

d - სხვაობა (გარკვეული რიცხვი).

ადვილი დასადგენია, რომ თუ სხვაობა დადებითია (d> 0), მაშინ განსახილველი სერიის ყოველი მომდევნო ტერმინი უფრო დიდი იქნება ვიდრე წინა და ასეთი არითმეტიკული პროგრესია გაიზრდება.

ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაში ადვილი გასაგებია, თუ რატომ ეწოდება რიცხვითი თანმიმდევრობა "აღმავალი".

იმ შემთხვევებში, როდესაც სხვაობა უარყოფითია (დ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

მითითებული წევრის ღირებულება

ზოგჯერ აუცილებელია ნებისმიერი თვითნებური წევრის მნიშვნელობის დადგენა a არითმეტიკული პროგრესიის n. ამის გაკეთება შეგიძლიათ არითმეტიკული პროგრესიის ყველა წევრის თანმიმდევრობით გამოთვლით, დაწყებული პირველიდან სასურველამდე. თუმცა, ეს გზა ყოველთვის არ არის მისაღები, თუ, მაგალითად, აუცილებელია ვიპოვოთ ხუთი ათასიანი ან რვა მილიონიანი წევრის მნიშვნელობა. ტრადიციული გაანგარიშება დიდ დროს მიიღებს. თუმცა, კონკრეტული არითმეტიკული პროგრესის შესწავლა შესაძლებელია კონკრეტული ფორმულების გამოყენებით. ასევე არსებობს მეოთხე ტერმინის ფორმულა: არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც პროგრესიის პირველი ტერმინის ჯამი პროგრესიის სხვაობით, გამრავლებული სასურველი ტერმინის რიცხვზე, შემცირებული ერთი

ფორმულა უნივერსალურია როგორც პროგრესიის გაზრდისთვის, ასევე შემცირებისთვის.

მოცემული წევრის ღირებულების გამოთვლის მაგალითი

მოდით გადავწყვიტოთ არითმეტიკული პროგრესიის მე -9 ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა.

მდგომარეობა: არსებობს არითმეტიკული პროგრესია პარამეტრებით:

მიმდევრობის პირველი ტერმინია 3;

რიცხვითი სერიების სხვაობა არის 1.2.

დავალება: თქვენ უნდა იპოვოთ 214 წევრის მნიშვნელობა

გამოსავალი: მოცემული ტერმინის მნიშვნელობის დასადგენად ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

a (n) = a1 + d (n-1)

პრობლემის მდგომარეობიდან გამოთქმაში მონაცემების ჩანაცვლება, ჩვენ გვაქვს:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

პასუხი: თანმიმდევრობით 214 -ე ტერმინია 258.6.

ამ გაანგარიშების მეთოდის უპირატესობები აშკარაა - მთლიანი გადაწყვეტა იღებს არაუმეტეს 2 ხაზისა.

მოცემული რაოდენობის წევრთა ჯამი

ძალიან ხშირად, მოცემულ არითმეტიკულ სერიაში, საჭიროა მისი გარკვეული სეგმენტის მნიშვნელობების ჯამის განსაზღვრა. ეს ასევე არ მოითხოვს თითოეული ტერმინის მნიშვნელობების გამოთვლას და შემდეგ შეჯამებას. ეს მეთოდი გამოიყენება იმ შემთხვევაში, თუ პირობების რაოდენობა მცირეა. სხვა შემთხვევებში, უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენება.

არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამი 1 -დან n უდრის პირველი და მე -9 წევრების ჯამს, გამრავლებული n წევრის რიცხვზე და გაყოფილი ორზე. თუ ფორმულაში მეცხრე ტერმინის მნიშვნელობა შეიცვალა სტატიის წინა აბზაცის გამონათქვამით, მივიღებთ:

გაანგარიშების მაგალითი

მაგალითად, მოდით გადავწყვიტოთ პრობლემა შემდეგი პირობებით:

რიგითობის პირველი ტერმინი ნულია;

განსხვავება არის 0.5.

პრობლემაში თქვენ უნდა განსაზღვროთ სერიის წევრთა ჯამი 56 -დან 101 -მდე.

გადაწყვეტა. მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა პროგრესის ჯამის დასადგენად:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ პროგრესის 101 წევრის მნიშვნელობების ჯამს, ვცვლით ფორმულაში ჩვენი პრობლემის მდგომარეობის მონაცემებს:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

ცხადია, რომ პროგრესის წევრთა ჯამი 56 – დან 101 – ე პუნქტის გასარკვევად აუცილებელია S 55 – დან S 101 – ის გამოკლება.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5

ამრიგად, ამ მაგალითისთვის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

არითმეტიკული პროგრესის პრაქტიკული გამოყენების მაგალითი

სტატიის დასასრულს, დავუბრუნდეთ პირველ პარაგრაფში მოცემული არითმეტიკული მიმდევრობის მაგალითს - ტაქსიმეტრი (ტაქსის მანქანის მრიცხველი). განვიხილოთ მაგალითი.

ტაქსში ჩასვლა (რომელიც მოიცავს გარბენის 3 კმ) ღირს 50 რუბლი. ყოველი მომდევნო კილომეტრის გადახდა ხდება 22 რუბლის / კმ კურსით. მგზავრობის მანძილი 30 კმ. გამოთვალეთ მოგზაურობის ღირებულება.

1. გავყაროთ პირველი 3 კმ, რომლის ფასი შედის სადესანტო ფასში.

30 - 3 = 27 კმ.

2. შემდგომი გაანგარიშება სხვა არაფერია თუ არა რიცხვითი არითმეტიკული სერიის ანალიზი.

წევრის ნომერი - გავლილი კილომეტრის რაოდენობა (გამოკლებული პირველი სამი).

წევრის ღირებულება არის ჯამი.

ამ პრობლემის პირველი ტერმინი ტოლია 1 = 50 p.

სხვაობა პროგრესირებაში d = 22 გვ.

რიცხვი, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს არის არითმეტიკული პროგრესიის (27 + 1) მეათე ნაწილის მნიშვნელობა - მრიცხველის კითხვა 27 -ე კილომეტრის ბოლოს არის 27.999… = 28 კმ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

კალენდარული მონაცემების გამოთვლა თვითნებურად ხანგრძლივი პერიოდის განმავლობაში ემყარება ფორმულებს, რომლებიც აღწერს გარკვეულ რიცხვით მიმდევრობას. ასტრონომიაში, ორბიტის სიგრძე გეომეტრიულად არის დამოკიდებული ციური სხეულის მანძილზე მნათობამდე. გარდა ამისა, სხვადასხვა რიცხვითი სერია წარმატებით გამოიყენება სტატისტიკაში და მათემატიკის სხვა გამოყენებულ დარგებში.

რიცხვების თანმიმდევრობის კიდევ ერთი ტიპია გეომეტრიული

გეომეტრიული პროგრესია ხასიათდება ცვლილებების დიდი მაჩვენებლებით, არითმეტიკასთან შედარებით. შემთხვევითი არ არის, რომ პოლიტიკაში, სოციოლოგიაში, მედიცინაში ისინი ხშირად ამბობენ, რომ პროცესი ვითარდება ექსპონენციალურად, რათა აჩვენოს ფენომენის გავრცელების მაღალი მაჩვენებელი, მაგალითად, დაავადება ეპიდემიის დროს.

გეომეტრიული რიცხვითი სერიის მეათე ტერმინი განსხვავდება წინასაგან იმით, რომ იგი გამრავლებულია რაიმე მუდმივ რიცხვზე - მნიშვნელი, მაგალითად, პირველი ტერმინი არის 1, მნიშვნელი 2, შესაბამისად, შემდეგ:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 2 2 = 4

n = 3: 4 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - გეომეტრიული პროგრესის ამჟამინდელი წევრის მნიშვნელობა;

b n + 1 - გეომეტრიული პროგრესიის მომდევნო ტერმინის ფორმულა;

q არის გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი (მუდმივი რიცხვი).

თუ არითმეტიკული პროგრესის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, მაშინ გეომეტრიული ხატავს ოდნავ განსხვავებულ სურათს:

როგორც არითმეტიკის შემთხვევაში, გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ფორმულა თვითნებური ტერმინის მნიშვნელობისათვის. გეომეტრიული პროგრესირების ნებისმიერი n- ე ტერმინი უდრის პირველი ტერმინის პროდუქტს n- ს სიმძლავრის პროგრესირების მნიშვნელის მიერ, შემცირებული ერთით:

მაგალითი. ჩვენ გვაქვს გეომეტრიული პროგრესია, პირველი ტერმინი 3 -ის ტოლი და პროგრესის მნიშვნელი 1.5 -ის ტოლი. იპოვეთ პროგრესის მე -5 ტერმინი

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

წევრების მოცემული რაოდენობის ჯამი ერთნაირად გამოითვლება სპეციალური ფორმულის გამოყენებით. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n ტერმინის ჯამი უდრის სხვაობას პროგრესიის მე -9 ტერმინის პროდუქტსა და მის მნიშვნელს და პროგრესიის პირველ ტერმინს შორის, გაყოფილი მნიშვნელით ერთით შემცირებული: