ლექცია თემაზე: „კომპლექსური რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა“. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა წარმოდგენილია ტრიგონომეტრიული ფორმით

3.1. პოლარული კოორდინატები

ხშირად გამოიყენება თვითმფრინავში პოლარული კოორდინატთა სისტემა . იგი განისაზღვრება, თუ წერტილი O არის მოცემული, ე.წ ბოძიდა პოლუსიდან გამომავალი სხივი (ჩვენთვის ეს არის ღერძი ოქსი) – პოლარული ღერძი. M წერტილის პოზიცია ფიქსირდება ორი რიცხვით: რადიუსი (ან რადიუსის ვექტორი) და კუთხე φ პოლარულ ღერძსა და ვექტორს შორის.კუთხე φ ეწოდება პოლარული კუთხე; იზომება რადიანებში და დათვლილია პოლარული ღერძიდან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

წერტილის პოზიცია პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია რიცხვების მოწესრიგებული წყვილით (r; φ). პოლუსზე r = 0,და φ არ არის განსაზღვრული. ყველა სხვა პუნქტისთვის r > 0,და φ განისაზღვრება ტერმინამდე, რომელიც არის 2π-ის ჯერადი. ამ შემთხვევაში რიცხვების წყვილი (r; φ) და (r 1 ; φ 1) დაკავშირებულია იმავე წერტილთან, თუ .

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის xOyწერტილის დეკარტის კოორდინატები ადვილად გამოხატულია მისი საშუალებით პოლარული კოორდინატებიშემდეგი გზით:

3.2. გეომეტრიული ინტერპრეტაციართული რიცხვი

განვიხილოთ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე xOy.

ნებისმიერი რთული რიცხვი z=(a, b) ასოცირდება სიბრტყის წერტილთან კოორდინატებით ( x, y), სად კოორდინატი x = a, ე.ი. რთული რიცხვის რეალური ნაწილი და კოორდინატი y = bi არის წარმოსახვითი ნაწილი.

სიბრტყე, რომლის წერტილები რთული რიცხვებია, რთული სიბრტყეა.

ფიგურაში რთული რიცხვია z = (a, b)შეესაბამება წერტილს M(x, y).

ვარჯიში.დახაზეთ რთული რიცხვები კოორდინატულ სიბრტყეზე:

3.3. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

სიბრტყეზე კომპლექსურ რიცხვს აქვს წერტილის კოორდინატები M(x;y). სადაც:

რთული რიცხვის დაწერა - რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

რიცხვი r ეწოდება მოდული რთული რიცხვი ზდა დანიშნულია . მოდული არის არაუარყოფითი რეალური რიცხვი. ამისთვის .

მოდული არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ z = 0, ე.ი. a = b = 0.

რიცხვი φ ეწოდება არგუმენტი ზ და დანიშნულია. z არგუმენტი ორაზროვნად არის განსაზღვრული, ისევე როგორც პოლარული კუთხე პოლარული კოორდინატულ სისტემაში, კერძოდ ტერმინამდე, რომელიც არის 2π-ის ჯერადი.

მაშინ ვიღებთ: , სადაც φ არის არგუმენტის უმცირესი მნიშვნელობა. აშკარაა რომ

.

თემის უფრო ღრმად შესწავლისას შემოდის დამხმარე არგუმენტი φ*, ისეთი რომ

მაგალითი 1. იპოვეთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

გამოსავალი. 1) განიხილეთ მოდული: ;

2) ვეძებ φ: ;

3) ტრიგონომეტრიული ფორმა:

მაგალითი 2.იპოვეთ რთული რიცხვის ალგებრული ფორმა .

აქ საკმარისია მნიშვნელობების ჩანაცვლება ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდა შეცვალეთ გამონათქვამი:

მაგალითი 3.იპოვეთ რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი;

1) ;

2) ; φ – 4 კვარტალში:

3.4. მოქმედებები რთული რიცხვებით ტრიგონომეტრიული ფორმით

· შეკრება და გამოკლებაუფრო მოსახერხებელია კომპლექსური რიცხვებით შესრულება ალგებრული ფორმა:

· გამრავლება– მარტივი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნების გამოყენებით შეიძლება იმის ჩვენება, რომ გამრავლებისას მრავლდება რიცხვების მოდულები და ემატება არგუმენტები: ;

2.3. ტრიგონომეტრიული ფორმა რთული რიცხვები

მოდით ვექტორი მითითებული იყოს კომპლექსურ სიბრტყეზე რიცხვით.

ფ-ით ავღნიშნოთ კუთხე დადებით ნახევრადღერძს Ox-სა და ვექტორს შორის (კუთხე φ ითვლება დადებითად, თუ ის იზომება საათის საწინააღმდეგოდ, ხოლო უარყოფითი).

ვექტორის სიგრძე ავღნიშნოთ r-ით. მაშინ . ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ

არანულოვანი კომპლექსური რიცხვის z ფორმაში ჩაწერა

ეწოდება z რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა. რიცხვს r ეწოდება z რთული რიცხვის მოდული, ხოლო φ რიცხვს ამ რთული რიცხვის არგუმენტი და აღინიშნება Arg z-ით.

რთული რიცხვის ჩაწერის ტრიგონომეტრიული ფორმა - (ეილერის ფორმულა) - რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმა:

კომპლექსურ რიცხვს z აქვს უსასრულოდ ბევრი არგუმენტი: თუ φ0 არის z რიცხვის რომელიმე არგუმენტი, მაშინ ყველა დანარჩენი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით.

რთული რიცხვისთვის არგუმენტი და ტრიგონომეტრიული ფორმა არ არის განსაზღვრული.

ამრიგად, არანულოვანი რთული რიცხვის არგუმენტი არის განტოლებათა სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი:

(3)

კომპლექსური რიცხვის z არგუმენტის φ მნიშვნელობას, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას, ეწოდება მთავარი მნიშვნელობა და აღინიშნება arg z-ით.

არგუმენტები Arg z და arg z დაკავშირებულია

, (4)

ფორმულა (5) არის (3) სისტემის შედეგი, ამიტომ რთული რიცხვის ყველა არგუმენტი აკმაყოფილებს ტოლობას (5), მაგრამ (5) განტოლების φ ამონახსნი არ არის z რიცხვის არგუმენტები.

არანულოვანი რთული რიცხვის არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა გვხვდება ფორმულების მიხედვით:

რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით გამრავლებისა და გაყოფის ფორმულები შემდეგია:

. (7)

რთული რიცხვის ბუნებრივ სიმძლავრემდე აყვანისას გამოიყენება Moivre ფორმულა:

რთული რიცხვის ფესვის ამოღებისას გამოიყენება ფორმულა:

, (9)

სადაც k=0, 1, 2, ..., n-1.

ამოცანა 54. გამოთვალეთ სად .

მოდით წარმოვიდგინოთ ამ გამოთქმის გამოსავალი საჩვენებელი ფორმართული რიცხვის დაწერა: .

თუ, მაშინ.

მაშინ, . ამიტომ, მაშინ და , სად .

პასუხი: , ზე.

ამოცანა 55. დაწერეთ რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

ა) ; ბ) ; V) ; გ) ; დ) ; ე) ; და) .

ვინაიდან რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა არის , მაშინ:

ა) კომპლექსურ რიცხვში: .

,

Ამიტომაც

ბ) , სად,

გ) , სად,

ე) .

და) , ა , ეს .

Ამიტომაც

პასუხი: ; 4; ; ; ; ; .

ამოცანა 56. იპოვეთ რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

.

დაე, .

მაშინ, , .

მას შემდეგ, რაც და , , შემდეგ , და

ამიტომ, მაშასადამე

პასუხი: , სად .

ამოცანა 57. რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმის გამოყენებით შეასრულეთ შემდეგი მოქმედებები: .

წარმოვიდგინოთ რიცხვები და ტრიგონომეტრიული ფორმით.

1), სადაც მერე

იპოვნეთ მთავარი არგუმენტის მნიშვნელობა:

ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობები და გამოსახულებაში მივიღებთ

2) , სად მერე

მერე

3) ვიპოვოთ კოეფიციენტი

თუ დავუშვებთ k=0, 1, 2, მივიღებთ სასურველი ფესვის სამ განსხვავებულ მნიშვნელობას:

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ .

პასუხი::

:

: .

ამოცანა 58. იყოს , , , სხვადასხვა რთული რიცხვები და . დაამტკიცე რომ

რიცხვი მოქმედებს დადებითი რიცხვი;

ბ) თანასწორობა მოქმედებს:

ა) წარმოვიდგინოთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით:

იმიტომ რომ .

მოდით ვიფიქროთ, რომ. მერე

.

ბოლო გამოხატულება არის დადებითი რიცხვი, რადგან სინუს ნიშნები შეიცავს რიცხვებს ინტერვალიდან.

ნომრიდან რეალური და პოზიტიური. მართლაც, თუ a და b რთული რიცხვებია და არიან ნამდვილები და ნულზე მეტი, მაშინ .

გარდა ამისა,

შესაბამისად, დადასტურებულია საჭირო თანასწორობა.

ამოცანა 59. რიცხვი დაწერეთ ალგებრული ფორმით .

გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით და შემდეგ ვიპოვოთ მისი ალგებრული ფორმა. Ჩვენ გვაქვს . ამისთვის ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

ეს გულისხმობს თანასწორობას: .

Moivre-ის ფორმულის გამოყენება:

ვიღებთ

ნაპოვნია მოცემული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა.

ახლა დავწეროთ ეს რიცხვი ალგებრული ფორმით:

.

პასუხი: .

ამოცანა 60. იპოვეთ ჯამი , ,

განვიხილოთ თანხა

მოივრის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ

ეს ჯამი არის n წევრის ჯამი გეომეტრიული პროგრესიამნიშვნელით და პირველი წევრი .

ასეთი პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოყენება გვაქვს

ბოლო გამონათქვამში წარმოსახვითი ნაწილის იზოლირებას ვპოულობთ

რეალური ნაწილის გამოყოფისას ასევე ვიღებთ შემდეგ ფორმულას: , , .

ამოცანა 61. იპოვეთ ჯამი:

ა) ; ბ) .

ნიუტონის გაძლიერების ფორმულის მიხედვით გვაქვს

Moivre-ს ფორმულის გამოყენებით ვხვდებით:

მიღებული გამონათქვამების რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გათანაბრება ჩვენთვის:

და .

ეს ფორმულები შეიძლება დაიწეროს კომპაქტური სახით შემდეგნაირად:

,

, სად არის a რიცხვის მთელი ნაწილი.

ამოცანა 62. იპოვე ყველა , რისთვისაც .

Იმიტომ რომ , შემდეგ ფორმულის გამოყენებით

, ფესვების ამოსაღებად ვიღებთ ,

აქედან გამომდინარე, , ,

, .

რიცხვების შესაბამისი წერტილები განლაგებულია კვადრატის წვეროებზე, რომელიც ჩაწერილია 2 რადიუსის წრეში, ცენტრით წერტილში (0;0) (სურ. 30).

პასუხი: , ,

, .

ამოცანა 63. ამოხსენით განტოლება , .

პირობით; Ამიტომაც მოცემული განტოლებაარ აქვს ფესვი და, შესაბამისად, ის განტოლების ტოლფასია.

იმისათვის, რომ z რიცხვი იყოს მოცემული განტოლების ფესვი, რიცხვი უნდა იყოს ფესვი n-ე ხარისხი 1 ნომრიდან.

აქედან დავასკვნით, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს ფესვები, რომლებიც განისაზღვრება ტოლობებიდან

,

ამრიგად,

,

ე.ი. ,

პასუხი: .

ამოცანა 64. ამოხსენით განტოლება კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეში.

ვინაიდან რიცხვი არ არის ამ განტოლების ფესვი, მაშინ ეს განტოლებისთვის უდრის განტოლებას

ანუ განტოლება.

ამ განტოლების ყველა ფესვი მიღებულია ფორმულიდან (იხ. ამოცანა 62):

; ; ; ; .

ამოცანა 65. კომპლექსურ სიბრტყეზე დახაზეთ წერტილთა სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას: . (45 პრობლემის გადაჭრის მე-2 გზა)

დაე .

იდენტური მოდულების მქონე რთული რიცხვები შეესაბამება სიბრტყის წერტილებს, რომლებიც დევს საწყისზე ორიენტირებულ წრეზე, შესაბამისად უტოლობა დააკმაყოფილოს ღია რგოლის ყველა წერტილი, რომელიც შემოსაზღვრულია წრეებით საწყისთან და რადიუსებით საერთო ცენტრით და (სურ. 31). დაე, რთული სიბრტყის რომელიმე წერტილი შეესაბამებოდეს რიცხვს w0. ნომერი , აქვს მოდული რამდენჯერმე ნაკლები ვიდრე w0, არგუმენტი, on უფრო დიდი არგუმენტი w0. გეომეტრიული თვალსაზრისით, w1-ის შესაბამისი წერტილი შეიძლება მივიღოთ ჰომოთეტიკის გამოყენებით საწყისზე ცენტრით და კოეფიციენტით, ასევე საწყისთან მიმართებაში ბრუნვის გამოყენებით საათის ისრის საწინააღმდეგო კუთხით. ამ ორი გარდაქმნის რგოლის წერტილებზე გამოყენების შედეგად (სურ. 31), ეს უკანასკნელი გარდაიქმნება რგოლად, რომელიც შემოიფარგლება იმავე ცენტრით და 1 და 2 რადიუსებით წრეებით (სურ. 32).

კონვერტაცია განხორციელებულია ვექტორზე პარალელური გადაცემის გამოყენებით. ცენტრში მდებარე რგოლის მითითებულ ვექტორზე გადატანით ვიღებთ იმავე ზომის რგოლს ცენტრით წერტილში (სურ. 22).

შემოთავაზებული მეთოდი, რომელიც იყენებს თვითმფრინავის გეომეტრიული გარდაქმნების იდეას, ალბათ ნაკლებად მოსახერხებელია აღსაწერად, მაგრამ ძალიან ელეგანტური და ეფექტურია.

ამოცანა 66. იპოვეთ თუ .

მოდით, მაშინ და. საწყისი თანასწორობა მიიღებს ფორმას . ორი რთული რიცხვის ტოლობის პირობიდან ვიღებთ , , საიდანაც , . ამრიგად, .

ჩავწეროთ რიცხვი z ტრიგონომეტრიული ფორმით:

, სად , . მოივრის ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ .

პასუხი: - 64.

ამოცანა 67. რთული რიცხვისთვის იპოვეთ ყველა რთული რიცხვი ისეთი, რომ , და .

გამოვსახოთ რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით:

. აქედან,. ჩვენ მიერ მიღებული რიცხვისთვის შეიძლება იყოს ტოლი ან .

პირველ შემთხვევაში , მეორეში

.

პასუხი:, .

ამოცანა 68. იპოვეთ ისეთი რიცხვების ჯამი, რომ . გთხოვთ, მიუთითოთ ამ ნომრებიდან ერთ-ერთი.

გაითვალისწინეთ, რომ პრობლემის ფორმულირებიდანვე შეიძლება გავიგოთ, რომ განტოლების ფესვების ჯამი შეიძლება მოიძებნოს თავად ფესვების გამოთვლის გარეშე. მართლაც, განტოლების ფესვების ჯამი არის კოეფიციენტი , საპირისპირო ნიშნით აღებული (განზოგადებული ვიეტას თეორემა), ე.ი.

მოსწავლეები, სასკოლო დოკუმენტაცია, გამოიტანენ დასკვნებს ოსტატობის ხარისხის შესახებ ეს კონცეფცია. შეაჯამეთ მათემატიკური აზროვნების თავისებურებების შესწავლა და რთული რიცხვის ცნების ჩამოყალიბების პროცესი. მეთოდების აღწერა. დიაგნოსტიკა: I სტადია. საუბარი გაიმართა მათემატიკის მასწავლებელთან, რომელიც მე-10 კლასში ასწავლის ალგებრას და გეომეტრიას. საუბარი შედგა მას შემდეგ, რაც დაწყებიდან გარკვეული დრო გავიდა...

რეზონანსი“ (!)), რომელიც ასევე მოიცავს შეფასებას საკუთარი ქცევა. 4. სიტუაციის (ეჭვების) გაგების კრიტიკულად შეფასება. 5. და ბოლოს, იურიდიული ფსიქოლოგიის რეკომენდაციების გამოყენება (ადვოკატი ითვალისწინებს შესრულებული პროფესიული ქმედებების ფსიქოლოგიურ ასპექტებს - პროფესიული ფსიქოლოგიური მზადყოფნა). ახლა განვიხილოთ იურიდიული ფაქტების ფსიქოლოგიური ანალიზი. ...

ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მათემატიკა და შემუშავებული სწავლების მეთოდოლოგიის ეფექტურობის ტესტირება. მუშაობის ეტაპები: 1. ფაკულტატური კურსის შემუშავება თემაზე: „ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენება ალგებრული ამოცანების ამოხსნისას“ მოსწავლეებთან კლასებში გაღრმავებული მათემატიკით. 2. შემუშავებული არჩევითი კურსის ჩატარება. 3. დიაგნოსტიკური ტესტის ჩატარება...

შემეცნებითი ამოცანები მიზნად ისახავს მხოლოდ არსებული სასწავლო საშუალებების შევსებას და უნდა იყოს სათანადო კომბინაციაში ყველა ტრადიციულ საშუალებებთან და ელემენტებთან. სასწავლო პროცესი. განსხვავება სასწავლო მიზნებს შორის სწავლებაში ჰუმანიტარულიზუსტი, მათემატიკური ამოცანებიდან მხოლოდ ის არის, რომ ისტორიულ ამოცანებში არ არსებობს ფორმულები, მკაცრი ალგორითმები და ა.შ., რაც ართულებს მათ ამოხსნას. ...

რთული რიცხვები XI

§ 256. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმა

მოდით კომპლექსური რიცხვი a + bi შეესაბამება ვექტორს ო.ა.> კოორდინატებით ( ა, ბ ) (იხ. სურ. 332).

მოდით აღვნიშნოთ ამ ვექტორის სიგრძე რ და კუთხე, რომელსაც ის ქმნის ღერძთან X , მეშვეობით φ . სინუსის და კოსინუსის განმარტებით:

ა / რ = cos φ , ბ / რ = ცოდვა φ .

Ამიტომაც ა = რ cos φ , ბ = რ ცოდვა φ . მაგრამ ამ შემთხვევაში რთული რიცხვი a + bi შეიძლება დაიწეროს როგორც:

a + bi = რ cos φ + ირ ცოდვა φ = რ (კოს φ + მე ცოდვა φ ).

მოგეხსენებათ, ნებისმიერი ვექტორის სიგრძის კვადრატი უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამს. Ამიტომაც რ 2 = ა 2 + ბ 2, საიდანაც რ = √ა 2 + ბ 2

Ისე, ნებისმიერი რთული რიცხვი a + bi შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით :

a + bi = რ (კოს φ + მე ცოდვა φ ), (1)

სადაც რ = √ა 2 + ბ 2 და კუთხე φ განისაზღვრება მდგომარეობიდან:

რთული რიცხვების ჩაწერის ამ ფორმას ეწოდება ტრიგონომეტრიული.

ნომერი რ ფორმულაში (1) ეწოდება მოდულიდა კუთხე φ - არგუმენტი, რთული რიცხვი a + bi .

თუ რთული რიცხვია a + bi არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მისი მოდული დადებითია; თუ a + bi = 0, მაშინ a = b = 0 და შემდეგ რ = 0.

ნებისმიერი რთული რიცხვის მოდული ცალსახად არის განსაზღვრული.

თუ რთული რიცხვია a + bi არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მისი არგუმენტი განისაზღვრება ფორმულებით (2) აუცილებლადკუთხემდე, რომელიც იყოფა 2-ზე π . თუ a + bi = 0, მაშინ a = b = 0. ამ შემთხვევაში რ = 0. ფორმულიდან (1) ადვილი გასაგებია, რომ როგორც არგუმენტი φ ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ აირჩიოთ ნებისმიერი კუთხე: ბოლოს და ბოლოს, ნებისმიერისთვის φ

0 (კოს φ + მე ცოდვა φ ) = 0.

ამიტომ ნულოვანი არგუმენტი განუსაზღვრელია.

რთული რიცხვის მოდული რ ზოგჯერ აღინიშნება | ზ |, და არგუმენტი არგ ზ . მოდით შევხედოთ რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული ფორმით წარმოდგენის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი. 1. 1 + მე .

მოდი ვიპოვოთ მოდული რ და არგუმენტი φ ეს ნომერი.

რ = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

ამიტომ ცოდვა φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, საიდანაც φ = π / 4 + 2ნπ .

ამრიგად,

1 + მე = √ 2 ,

სად პ - ნებისმიერი მთელი რიცხვი. ჩვეულებრივ, რთული რიცხვის არგუმენტის მნიშვნელობების უსასრულო სიმრავლიდან არჩეულია ერთი, რომელიც არის 0-დან 2-მდე. π . ამ შემთხვევაში, ეს მნიშვნელობა არის π / 4 . Ამიტომაც

1 + მე = √ 2 (კოს π / 4 + მე ცოდვა π / 4)

მაგალითი 2.დაწერეთ რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით √ 3 - მე . Ჩვენ გვაქვს:

რ = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, ცოდვა φ = - 1 / 2

მაშასადამე, კუთხემდე, რომელიც იყოფა 2-ზე π , φ = 11 / 6 π ; აქედან გამომდინარე,

√ 3 - მე = 2 (cos 11/6 π + მე ცოდვა 11/6 π ).

მაგალითი 3დაწერეთ რთული რიცხვი ტრიგონომეტრიული ფორმით მე.

კომპლექსური ნომერი მე შეესაბამება ვექტორს ო.ა.> , მთავრდება ღერძის A წერტილში ზე ორდინატთან 1 (სურ. 333). ასეთი ვექტორის სიგრძე არის 1, ხოლო კუთხე, რომელსაც ის ქმნის x ღერძთან, ტოლია π / 2. Ამიტომაც

მე = cos π / 2 + მე ცოდვა π / 2 .

მაგალითი 4.დაწერეთ რთული რიცხვი 3 ტრიგონომეტრიული ფორმით.

კომპლექსური ნომერი 3 შეესაბამება ვექტორს ო.ა. > X აბსცისა 3 (სურ. 334).

ასეთი ვექტორის სიგრძე არის 3, ხოლო კუთხე, რომელსაც ის ქმნის x ღერძთან არის 0. მაშასადამე

3 = 3 (cos 0 + მე ცოდვა 0),

მაგალითი 5.დაწერეთ რთული რიცხვი -5 ტრიგონომეტრიული ფორმით.

კომპლექსური რიცხვი -5 შეესაბამება ვექტორს ო.ა.> მთავრდება ღერძის წერტილთან X აბსცისით -5 (სურ. 335). ასეთი ვექტორის სიგრძეა 5, ხოლო კუთხე, რომელიც ქმნის x ღერძთან ტოლია π . Ამიტომაც

5 = 5 (კოს π + მე ცოდვა π ).

Სავარჯიშოები

2047. ჩაწერეთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით, განსაზღვრეთ მათი მოდულები და არგუმენტები:

1) 2 + 2√3 მე , 4) 12მე - 5; 7).3მე ;

2) √3 + მე ; 5) 25; 8) -2მე ;

3) 6 - 6მე ; 6) - 4; 9) 3მე - 4.

2048. სიბრტყეზე მიუთითეთ კომპლექსური რიცხვების გამოსახული წერტილების სიმრავლე, რომელთა მოდულები r და არგუმენტები φ აკმაყოფილებს პირობებს:

1) რ = 1, φ = π / 4 ; 4) რ < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) რ =2; 5) 2 < რ <3; 8) 0 < φ < я;

3) რ < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < რ < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. შეიძლება თუ არა რიცხვები ერთდროულად იყოს რთული რიცხვის მოდული? რ და - რ ?

2050. რთული რიცხვის არგუმენტი შეიძლება იყოს ერთდროულად კუთხეები? φ და - φ ?

წარმოადგინეთ ეს რთული რიცხვები ტრიგონომეტრიული ფორმით, განსაზღვრეთ მათი მოდულები და არგუმენტები:

2051 *. 1 + cos α + მე ცოდვა α . 2054 *. 2 (20° - მე ცოდვა 20°).

2052 *. ცოდვა φ + მე cos φ . 2055 *. 3(- ფასი 15° - მე ცოდვა 15°).

ლექცია

რთული რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფორმა

Გეგმა

1. კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიული გამოსახულება.

2. რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა.

3. მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ტრიგონომეტრიული ფორმით.

რთული რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა.

ა) კომპლექსური რიცხვები წარმოდგენილია სიბრტყეზე წერტილებით შემდეგი წესით: ა + ბი = მ ( ა ; ბ ) (ნახ. 1).

სურათი 1

ბ) კომპლექსური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ვექტორით, რომელიც იწყება წერტილიდანშესახებ და ბოლო მოცემულ წერტილში (ნახ. 2).

სურათი 2

მაგალითი 7. ააგეთ კომპლექსური რიცხვების გამოსახული წერტილები:1; - მე ; - 1 + მე ; 2 – 3 მე (ნახ. 3).

სურათი 3

რთული რიცხვების ტრიგონომეტრიული აღნიშვნა.

კომპლექსური ნომერიზ = ა + ბი შეიძლება დაზუსტდეს რადიუსის ვექტორის გამოყენებით კოორდინატებით( ა ; ბ ) (ნახ. 4).

სურათი 4

განმარტება . ვექტორის სიგრძე კომპლექსურ რიცხვს წარმოადგენსზ , ეწოდება ამ რიცხვის მოდული და აღინიშნება ანრ .

ნებისმიერი რთული რიცხვისთვისზ მისი მოდულირ = | ზ | განისაზღვრება ცალსახად ფორმულით .

განმარტება . რეალური ღერძის დადებით მიმართულებასა და ვექტორს შორის კუთხის სიდიდე , რომელიც წარმოადგენს კომპლექსურ რიცხვს, ეწოდება ამ რთული რიცხვის არგუმენტი და აღინიშნებაა rg ზ ანφ .

რთული რიცხვის არგუმენტიზ = 0 განუსაზღვრელი. რთული რიცხვის არგუმენტიზ≠ 0 – მრავალმნიშვნელოვანი სიდიდე და განისაზღვრება ვადის ფარგლებში2 πკ (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): არგ ზ = არგ ზ + 2 πკ , სადარგ ზ – არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა, რომელიც შეიცავს ინტერვალში(-π; π] , ანუ-π < არგ ზ ≤ π (ზოგჯერ არგუმენტის მთავარ მნიშვნელობად მიიღება მნიშვნელობა, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს .

ეს ფორმულა როცარ =1 ხშირად უწოდებენ მოივრის ფორმულას:

(cos φ + i sin φ) ნ = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

მაგალითი 11: გამოთვალეთ(1 + მე ) 100 .

დავწეროთ რთული რიცხვი1 + მე ტრიგონომეტრიული ფორმით.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (კოს +ვცოდავ )] 100 = ( ) 100 (კოს 100 + ვცოდავთ ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღება.

რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის აღებისასა + ბი გვაქვს ორი შემთხვევა:

თუბ >ო , ეს ;