კოტანგენს x-ის წარმოებული. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები: ტანგენსი, სინუსი, კოსინუსი და სხვა. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებული ფორმულები

წარმოებული x ცვლადის მიმართ x-ის კოტანგენსიდან ტოლია მინუს ერთი გაყოფილი x-ის სინუს კვადრატზე:
(ctg x)′ =.

კოტანგენტების წარმოებული ფორმულის წარმოშობა

კოტანგენტის წარმოებულის ფორმულის გამოსატანად გამოვიყენებთ შემდეგ მათემატიკურ ფაქტებს:
1) კოტანგენსის გამოხატვა კოსინუსის და სინუსის მიხედვით:
(1) ;
2) კოსინუსის წარმოებულის მნიშვნელობა:
(2) ;
3) სინუს წარმოებულის მნიშვნელობა:
(3) ;
4) კოეფიციენტის წარმოებული ფორმულა:
(4) ;
5) ტრიგონომეტრიული ფორმულა:
(5) .

ჩვენ ვიყენებთ ამ ფორმულებს და წესებს კოტანგენტის წარმოებულზე.

.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კოტანგენტის წარმოებულის ფორმულა.

წარმოებული წილადის ფორმულა (4) მოქმედებს ცვლადის x-ის იმ მნიშვნელობებზე, რომლებისთვისაც არის ფუნქციების წარმოებულები და რომელთათვისაც წილადის მნიშვნელი არ ქრება:
.
ჩვენს შემთხვევაში
, . ვინაიდან კოსინუსის და სინუსის წარმოებულები განისაზღვრება x ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, კოტანგენტის წარმოებულის ფორმულა მოქმედებს ყველა x-სთვის, გარდა იმ წერტილებისა, რომლებშიც სინუსი ტოლია ნულის. ანუ ქულების გარდა
,
სად არის მთელი რიცხვი.
თავად ფუნქცია y = ctg xგანსაზღვრულია ყველა x-სთვის, გარდა წერტილისა
.
Ამიტომაც კოტანგენსების წარმოებული განისაზღვრება კოტანგენსის ფუნქციის განსაზღვრის მთელ დომენზე.

უმაღლესი რიგის წარმოებულები

მარტივი ფორმულა y = კოტანგენტის n-ე რიგის წარმოებულისთვის ctg x, არა. მაგრამ უმაღლესი რიგის წარმოებულების გაანგარიშება შეიძლება გამარტივდეს. თავად პროცესი შეიძლება შემცირდეს მრავალწევრის დიფერენციაცია.

ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთ კოტანგენტის წარმოებულს თავად კოტანგენტის მეშვეობით:
.
ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
(6) .

ვიპოვოთ (6) განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის წარმოებულები და გამოვიყენოთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი. ვიღებთ მეორე რიგის წარმოებული:
.
ჩავანაცვლოთ (6):
(7) .

ვიპოვოთ მესამე რიგის წარმოებული. ამისათვის ჩვენ განვასხვავებთ განტოლებას (7), ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს და ვიყენებთ გამოხატულებას (6) პირველი წარმოებულისთვის:
.

ანალოგიურად ვპოულობთ მეოთხე და მეხუთე რიგის წარმოებულები:

;

.

Ზოგადად, n-ე რიგის წარმოებული, კოტანგენსის ფუნქციის x ცვლადში, , შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც პოლინომი კოტანგენსის ხარისხებში:
.
ამ პოლინომის კოეფიციენტები დაკავშირებულია განმეორებითი მიმართებით:
,
სად
; ;
.

ზოგადი ფორმულა

წარმოვიდგინოთ დიფერენცირების პროცესი ერთი ფორმულით. ამისათვის გაითვალისწინეთ, რომ
.
მაშინ კოტანგენტის n-ე წარმოებულს აქვს შემდეგი ფორმა:
,
სად .

ყველაზე ხშირად დასმული კითხვები

შესაძლებელია თუ არა დოკუმენტზე შტამპის დადება მოწოდებული ნიმუშის მიხედვით? უპასუხე დიახ, შესაძლებელია. გამოგვიგზავნეთ სკანირებული ასლი ან კარგი ხარისხის ფოტო ჩვენს ელ.ფოსტის მისამართზე და ჩვენ გავაკეთებთ საჭირო დუბლიკატს.

რა სახის გადახდას ეთანხმებით? უპასუხე დოკუმენტის გადახდა შეგიძლიათ კურიერის მიერ მიღებისთანავე, დიპლომის შევსების სისწორისა და შესრულების ხარისხის შემოწმების შემდეგ. ეს ასევე შეიძლება გაკეთდეს საფოსტო კომპანიების ოფისებში, რომლებიც სთავაზობენ ნაღდი ფულის მიწოდების მომსახურებას.
დოკუმენტების მიწოდებისა და გადახდის ყველა პირობა აღწერილია განყოფილებაში "გადახდა და მიტანა". ჩვენ ასევე მზად ვართ მოვისმინოთ თქვენი წინადადებები დოკუმენტის მიწოდებისა და გადახდის პირობებთან დაკავშირებით.

შემიძლია ვიყო დარწმუნებული, რომ შეკვეთის გაკეთების შემდეგ ჩემი ფულით არ გაქრები? უპასუხე საკმაოდ დიდი გამოცდილება გვაქვს დიპლომის წარმოების სფეროში. ჩვენ გვაქვს რამდენიმე ვებგვერდი, რომელიც მუდმივად განახლდება. ჩვენი სპეციალისტები მუშაობენ ქვეყნის სხვადასხვა კუთხეში, დღეში 10-ზე მეტ დოკუმენტს ამზადებენ. წლების განმავლობაში ჩვენი დოკუმენტები ბევრ ადამიანს დაეხმარა დასაქმების პრობლემების გადაჭრაში ან მაღალანაზღაურებად სამუშაოებზე გადასვლაში. ჩვენ მოვიპოვეთ ნდობა და აღიარება კლიენტებს შორის, ასე რომ, ჩვენთვის აბსოლუტურად არანაირი მიზეზი არ არის ამის გაკეთება. უფრო მეტიც, ამის გაკეთება ფიზიკურად უბრალოდ შეუძლებელია: თქვენ იხდით თქვენს შეკვეთას, როდესაც მიიღებთ მას თქვენს ხელში, არ არის წინასწარ გადახდა.

შემიძლია თუ არა რომელიმე უნივერსიტეტის დიპლომის შეკვეთა? უპასუხე ზოგადად, დიახ. ამ სფეროში თითქმის 12 წელია ვმუშაობთ. ამ ხნის განმავლობაში ჩამოყალიბდა ქვეყნის თითქმის ყველა უნივერსიტეტის მიერ გამოცემული და გამოშვების სხვადასხვა წლების დოკუმენტების თითქმის სრული მონაცემთა ბაზა. საკმარისია აირჩიოთ უნივერსიტეტი, სპეციალობა, დოკუმენტი და შეავსოთ შეკვეთის ფორმა.

რა უნდა გააკეთოთ, თუ დოკუმენტში აღმოაჩენთ შეცდომას და შეცდომებს? უპასუხე ჩვენი კურიერის ან საფოსტო კომპანიისგან დოკუმენტის მიღებისას გირჩევთ, ყურადღებით შეამოწმოთ ყველა დეტალი. თუ დაფიქსირდა შეცდომა, შეცდომა ან უზუსტობა, თქვენ გაქვთ უფლება არ აიღოთ დიპლომი, მაგრამ აღმოჩენილი ხარვეზები პირადად უნდა მიუთითოთ კურიერს ან წერილობით ელფოსტის გაგზავნით.
ჩვენ შევასწორებთ დოკუმენტს რაც შეიძლება მალე და ხელახლა გამოგიგზავნით მითითებულ მისამართზე. რა თქმა უნდა, ტრანსპორტირებას გადაიხდის ჩვენი კომპანია.
ასეთი გაუგებრობების თავიდან ასაცილებლად, ორიგინალური ფორმის შევსებამდე მომხმარებელს ელფოსტით ვუგზავნით მომავალი დოკუმენტის მაკეტს საბოლოო ვერსიის შესამოწმებლად და დასამტკიცებლად. დოკუმენტის კურიერის ან ფოსტით გაგზავნამდე, ჩვენ ასევე ვიღებთ დამატებით ფოტოებსა და ვიდეოებს (მათ შორის ულტრაიისფერ შუქზე), რათა გქონდეთ მკაფიო წარმოდგენა იმაზე, თუ რას მიიღებთ საბოლოოდ.

რა უნდა გავაკეთო იმისათვის, რომ შევუკვეთო დიპლომი თქვენი კომპანიისგან? უპასუხე დოკუმენტის შეკვეთისთვის (სერთიფიკატი, დიპლომი, აკადემიური სერთიფიკატი და ა.შ.), თქვენ უნდა შეავსოთ ონლაინ შეკვეთის ფორმა ჩვენს ვებგვერდზე ან მოგვაწოდოთ თქვენი ელ. ჩვენთვის.
თუ არ იცით რა მიუთითოთ შეკვეთის ფორმის/კითხვის რომელიმე ველში, დატოვეთ ისინი ცარიელი. ამიტომ, ყველა გამოტოვებულ ინფორმაციას ტელეფონით დავაზუსტებთ.

უახლესი მიმოხილვები

Torywild:

მე გადავწყვიტე მეყიდა თქვენი კომპანიის დიპლომი, როცა სხვა ქალაქში გადავედი და ჩემს ნივთებს შორის დიპლომი ვერ ვიპოვე. მის გარეშე კარგ, მაღალანაზღაურებად სამსახურში არ ვიქცეოდი. თქვენმა კონსულტანტმა დამარწმუნა, რომ ეს ინფორმაცია არ არის გამჟღავნებული და არავინ განასხვავებს დოკუმენტს ორიგინალისგან. ეჭვი არ მეპარებოდა, მაგრამ გარისკვა მომიწია. მომეწონა, რომ წინასწარ გადახდა არ არის საჭირო. ზოგადად, დიპლომი დროზე ავიღე და არ მომიტყუებია. Გმადლობთ!

ოქსანა ივანოვნა:

დიპლომი რომ მომპარეს, საშინლად ვნერვიულობდი. ბოლოს და ბოლოს, სწორედ ამ დროს გამათავისუფლეს და ახლა თითქმის შეუძლებელია კარგი სამსახურის პოვნა უმაღლესი განათლების დიპლომის გარეშე. საბედნიეროდ, მეზობელმა შემოგვთავაზა დაუკავშირდით თქვენს ორგანიზაციას. თავიდან სკეპტიკურად ვიყავი განწყობილი, მაგრამ გადავწყვიტე გარისკვა. დავურეკე კომპანიის მენეჯერს და ავუხსენი ჩემი მდგომარეობა. და მე გამიმართლა! მათ ყველაფერი სასწრაფოდ გააკეთეს და რაც მთავარია, დამპირდნენ, რომ ჩემს საიდუმლოს არ გაამჟღავნებდნენ. ვნერვიულობდი, რომ დიპლომი შევიძინე, მოგვიანებით არ გამომდიოდა.

მაშა კუტენკოვა:

მადლობა სამუშაოსთვის! დიპლომი შევუკვეთე 1991 წლიდან. როდესაც მათ დაიწყეს საბუთების შედგენა, აღმოჩნდა, რომ მცირე გამოცდილება იყო და მათ ასევე სჭირდებოდათ განათლების დამადასტურებელი ქაღალდი. მე არ მყავდა და უფროსმა იცოდა ეს და მან თავად გირჩია თქვენი კომპანია (როგორც ჩანს, მე არ ვგავარ თანამშრომელს). დოკუმენტზე მან მიმანიშნა დეტალები - მაგალითად, რა წლებში იყენებენ მელანს ან მელანს, ხელმოწერის სისქეს და ა.შ. მადლობა ზედმიწევნით და ხარისხისთვის!

LenOK:

მას შემდეგ, რაც წავიკითხე ისტორიები იმ თანამშრომლების სამარცხვინო გათავისუფლების შესახებ, რომელთა დიპლომები ფერადი პრინტერზე იყო დაბეჭდილი, წავედი უნივერსიტეტში ჩასაბარებლად. სამწუხაროდ, არც ბიუჯეტია, არც სწავლის ფული და არც სესიების გადასახდელი, ამიტომ გარისკვა მომიწია. თუმცა ძალიან მიხარია, რომ შევხვდი თქვენს კომპანიას. მართალია, პრაქტიკული ბლოკის წარუმატებლობის გამო შენი დიპლომით არ მიმიღეს, შენი ბრალი არ არის. როგორც კი ახალ ადგილს ვიპოვი, პირდაპირ შენთან მოვალ, დაუყოვნებლად!

ჯერი ტერი:

იმის ყურება, თუ როგორი უხერხულობით გამოაგდეს ჩემი კოლეგა სამსახურიდან ყალბი დიპლომის გამო, საშინელი იყო მისი მაგალითის მიბაძვა. რომ არა ის ნათლია, რომელმაც შენგან ბრძანა, რისკზე არ წავიდოდი. მან დაარწმუნა, რომ აქ ყველაფერი კარგად იყო და ჩემი სახელი ყველგან იქნებოდა, სადაც საჭირო იყო. 4 დღე მქონდა ყველაფრის გასაკეთებლად. გმადლობთ სიჩქარისთვის - ჩვენ დავასრულეთ ის 3-ში და ასევე მოვახერხეთ დოკუმენტების გაყალბების მეთოდების ზედმიწევნით შესწავლა, მაგრამ თქვენი ფორმა არ არის ყალბი, რაც ნიშნავს, რომ ის გადავა ორიგინალისთვის.

ანდრეი:

ვერასდროს ვიფიქრებდი, რომ დიპლომის ყიდვა მომიწევდა. სკოლის დამთავრების შემდეგ, ჩემი ქალიშვილი სამუშაოდ წავიდა პოლონეთში, როცა 5 წლის შემდეგ დაბრუნდა, სურდა სამუშაოს მიღება ადგილობრივ მოდის სახლში ტანსაცმლის დიზაინერად. დიპლომის გარეშე არავის სურდა მისი აყვანა. მიხვდა, რომ თუ ამ სამსახურს არ იშოვი, ისევ წავიდოდა. საღამო ინტერნეტში ვზივარ, დილით კი უკვე ოფისში ვიყავი ჩემი ქალიშვილის საბუთებით. ერთი კვირის შემდეგ მან წაართვა დიპლომი და საბოლოოდ დარჩა თავის ქალაქში სამუშაოდ სასურველ პოზიციაზე. წარმოდგენაც არ გაქვს, როგორი მადლობელი ვარ შენი!

გეომეტრიისა და მათემატიკის კურსიდან სკოლის მოსწავლეები მიჩვეულნი არიან იმ ფაქტს, რომ წარმოებულის ცნება მათ გადაეცემა ფიგურის არეალის, დიფერენციალური, ფუნქციების საზღვრებისა და ასევე ლიმიტების მეშვეობით. შევეცადოთ წარმოებულის ცნებას სხვა კუთხით შევხედოთ და განვსაზღვროთ, თუ როგორ შეიძლება იყოს წარმოებული და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დაკავშირება.

მაშ ასე, განვიხილოთ რამდენიმე თვითნებური მრუდი, რომელიც აღწერილია აბსტრაქტული ფუნქციით y = f(x).

წარმოვიდგინოთ, რომ განრიგი არის ტურისტული მარშრუტის რუკა. ნამატის Δx (დელტა x) არის ბილიკის გარკვეული მანძილი, ხოლო ∆y არის ბილიკის სიმაღლის ცვლილება ზღვის დონიდან.
შემდეგ გამოდის, რომ თანაფარდობა ∆x/∆y ახასიათებს მარშრუტის სირთულეს მარშრუტის თითოეულ სეგმენტზე. ამ ღირებულების შესწავლის შემდეგ, შეგიძლიათ დარწმუნებით თქვათ, არის თუ არა ასვლა/დაღმართი ციცაბო, საჭირო იქნება თუ არა ასვლა აღჭურვილობა და სჭირდება თუ არა ტურისტებს გარკვეული ფიზიკური მომზადება. მაგრამ ეს მაჩვენებელი მოქმედებს მხოლოდ ერთი მცირე ინტერვალისთვის ∆x.

თუ მოგზაურობის ორგანიზატორი მიიღებს მნიშვნელობებს ბილიკის საწყისი და დასასრული წერტილებისთვის, ანუ Δx უდრის მარშრუტის სიგრძეს, მაშინ ის ვერ შეძლებს ობიექტურ მონაცემებს სირთულის ხარისხის შესახებ. მოგზაურობის. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია სხვა გრაფიკის აგება, რომელიც დაახასიათებს ბილიკზე ცვლილებების სიჩქარეს და „ხარისხს“, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განისაზღვროს თანაფარდობა ∆x/∆y მარშრუტის თითოეული „მეტრისთვის“.

ეს გრაფიკი იქნება კონკრეტული ბილიკის ვიზუალური წარმოებული და ობიექტურად აღწერს მის ცვლილებებს ინტერესის თითოეულ ინტერვალში. ამის გადამოწმება ძალიან მარტივია; მნიშვნელობა ∆x/∆y სხვა არაფერია, თუ არა დიფერენციალი, რომელიც აღებულია x და y კონკრეტული მნიშვნელობისთვის. მოდით გამოვიყენოთ დიფერენციაცია არა კონკრეტულ კოორდინატებზე, არამედ მთლიან ფუნქციაზე:

წარმოებული და ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები განუყოფლად არის დაკავშირებული წარმოებულებთან. ამის გაგება შესაძლებელია შემდეგი ნახატიდან. კოორდინატთა ღერძის ფიგურაში ნაჩვენებია ფუნქცია Y = f (x) - ლურჯი მრუდი.

K (x0; f (x0)) არის თვითნებური წერტილი, x0 + ∆x არის ზრდა OX ღერძის გასწვრივ და f (x0 + ∆x) არის ზრდა OY ღერძის გასწვრივ გარკვეულ L წერტილში.

გავავლოთ ხაზი K და L წერტილებს შორის და ავაგოთ მართკუთხა სამკუთხედი KLN. თუ გონებრივად გადაიტანეთ LN სეგმენტი გრაფიკის გასწვრივ Y = f (x), მაშინ L და N წერტილები მიისწრაფვის K მნიშვნელობებისკენ (x0; f (x0)). დავარქვათ ამ წერტილს გრაფიკის პირობითი დასაწყისი - ლიმიტი; თუ ფუნქცია უსასრულოა, თუნდაც ერთ-ერთ ინტერვალზე, ეს ტენდენციაც უსასრულო იქნება და მისი შემზღუდველი მნიშვნელობა 0-ს უახლოვდება.

ამ ტენდენციის ბუნება შეიძლება აისახოს არჩეულ y = kx + b წერტილზე ტანგენტით ან ორიგინალური ფუნქციის dy - მწვანე სწორი ხაზის წარმოებულის გრაფიკით.

მაგრამ სად არის აქ ტრიგონომეტრია?! ყველაფერი ძალიან მარტივია, განიხილეთ მარჯვენა სამკუთხედი KLN. დიფერენციალური მნიშვნელობა კონკრეტული K წერტილისთვის არის α ან ∠K კუთხის ტანგენსი:

ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია აღვწეროთ წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა და მისი ურთიერთობა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებული ფორმულები

წარმოებულის განსაზღვრისას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის გარდაქმნები უნდა იყოს დამახსოვრება.

ბოლო ორი ფორმულა არ არის შეცდომა, საქმე იმაშია, რომ არის განსხვავება მარტივი არგუმენტის წარმოებულისა და იმავე ტევადობის ფუნქციის განსაზღვრას შორის.

მოდით შევხედოთ შედარებით ცხრილს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის წარმოებულების ფორმულებით:

ფორმულები ასევე მიღებულია არქსინის, არკოზინის, არქტანგენტისა და არკოტანგენტის წარმოებულებისთვის, თუმცა ისინი ძალიან იშვიათად გამოიყენება:

აღსანიშნავია, რომ ზემოთ მოყვანილი ფორმულები აშკარად არ არის საკმარისი ტიპიური USE ამოცანების წარმატებით გადასაჭრელად, რაც ნაჩვენები იქნება ტრიგონომეტრიული გამოხატვის წარმოებულის პოვნის კონკრეტული მაგალითის ამოხსნისას.

ვარჯიში: აუცილებელია ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული და ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა π/4-ისთვის:

გამოსავალი: y-ის საპოვნელად საჭიროა გავიხსენოთ საწყისი ფუნქციის წარმოებულად გადაქცევის ძირითადი ფორმულები, კერძოდ.