ორი ექვივალენტურია. ორი თანაბარი მეტოქე თამაშობს ჭადრაკს. ექვივალენტური გარდაქმნები. ფორმულების გამარტივება
განმარტება. ორ განტოლებას f 1 (x) = g 1 (x) და f 2 (x) = g 2 (x) ეწოდება ეკვივალენტური, თუ მათი ფესვების სიმრავლეები ემთხვევა.
მაგალითად, განტოლებები x 2 - 9 = 0 და (2 NS + 6)(NS- 3) = 0 ექვივალენტურია, რადგან ორივეს ფესვები აქვს 3 და -3 რიცხვები. განტოლებები (3 NS + 1)-2 = x 2- + 1 და x 2+ 1 = 0, რადგან ორივეს ფესვი არ აქვს, ე.ი. მათი ფესვების ნაკრები ემთხვევა.
განმარტება. განტოლების ეკვივალენტური განტოლებით ჩანაცვლებას ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია ეწოდება.
ახლა გავარკვიოთ, რა გარდაქმნები იძლევა ეკვივალენტური განტოლებების მიღებას.
თეორემა 1.მოდით განტოლება f (x) და g (x)გადასაღებ მოედანზე მოცემულია და თ(x) არის გამოხატულება, რომელიც განსაზღვრულია იმავე ნაკრებზე. შემდეგ განტოლებები f (x) = g (x)(1) და f (x) + h(x) =g (x) + სთ(x) (2) ექვივალენტურია.
მტკიცებულება. მოდით აღვნიშნოთ T 1 -(1) განტოლების ამონახსნების სიმრავლე და მეშვეობით T 2 -(2) განტოლების ამონახსნების სიმრავლე. მაშინ განტოლებები (1) და (2) ექვივალენტური იქნება თუ T 1 = T 2.ამაში დასარწმუნებლად აუცილებელია იმის ჩვენება, რომ ნებისმიერი ფესვი T 1არის (2) განტოლების ფესვი და, პირიქით, ნებისმიერი ფესვი T 2არის (1) განტოლების ფესვი.
დაუშვით ნომერი აარის (1) განტოლების ფესვი. მერე ა? T 1,და როდესაც ჩანაცვლებულია განტოლებაში (1) აქცევს მას ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში f (a) = g (a)და გამოხატულება სთ (x)გარდაიქმნება რიცხვით გამოსახულებად თ(ა), რაც აზრი აქვს გადასაღებ მოედანზე X.დაამატეთ ჭეშმარიტი თანასწორობის ორივე მხარეს f (a) = g (a)რიცხვითი გამოხატულება თ(ა). ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობების თვისებების მიხედვით ვიღებთ ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობას f (a) + h(ა) =გ (ა) + სთ(ა), რაც მიუთითებს, რომ რიცხვი აარის (2) განტოლების ფესვი.
ასე რომ, დადასტურდა, რომ (1) განტოლების თითოეული ფესვი ასევე არის (2) განტოლების ფესვი, ე.ი. T 1თან T 2.
მოდით ახლა ა -(2) განტოლების ფესვი. მერე ა? T 2და როდესაც ჩანაცვლებულია განტოლებაში (2) აქცევს მას ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში f (a) + h(ა) =გ (ა) + სთ(ა). ამ თანასწორობის ორივე მხარეს დაამატეთ რიცხვითი გამოხატულება - თ(ა), ვიღებთ ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობას f (x) = g (x),რაც მიუთითებს, რომ რიცხვი ა -(1) განტოლების ფესვი.
ასე რომ, დადასტურდა, რომ (2) განტოლების თითოეული ფესვი ასევე არის (1) განტოლების ფესვი, ე.ი. T 2თან T 1.
იმიტომ რომ T 1თან T 2და T 2თან T 1,შემდეგ თანაბარი სიმრავლეების განმარტებით T 1= T 2, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებები (1) და (2) ეკვივალენტურია.
ეს თეორემა შეიძლება განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს: თუ დომენის განტოლების ორივე მხარეს Xდაამატეთ იგივე გამოხატულება ცვლადთან ერთად, რომელიც განსაზღვრულია იმავე სიმრავლით, შემდეგ მივიღებთ მოცემულის ტოლფას ახალ განტოლებას.
ეს თეორემა გულისხმობს შემდეგ შედეგებს, რომლებიც გამოიყენება განტოლებების ამოსახსნელად:
1. თუ ერთი ან მეორე რიცხვი დაემატება განტოლების ორივე მხარეს, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას.
2. თუ რომელიმე ტერმინი (რიცხობრივი გამოხატულება ან ცვლადის მქონე გამოსახულება) გადადის განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე, ტერმინის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლაზე, მაშინ მივიღებთ ამ განტოლებას.
თეორემა 2.მოდით განტოლება f (x) = g (x)გადასაღებ მოედანზე მოცემული Xდა სთ (x) -გამოხატულება, რომელიც განსაზღვრულია იმავე კომპლექტზე და არ ქრება რაიმე მნიშვნელობისთვის NSსიმრავლის X.შემდეგ განტოლებები f (x) = g (x)და f (x) სთ(x) =g (x) სთ(x) ექვივალენტები არიან.
ამ თეორემის მტკიცებულება მსგავსია თეორემა 1-ის დადასტურების.
თეორემა 2 შეიძლება განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს: თუ განტოლების ორივე მხარე დომენით Xგავამრავლოთ ერთი და იგივე გამოსახულებით, რომელიც განსაზღვრულია იმავე სიმრავლეზე და არ ქრება მასზე, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლფას ახალ განტოლებას.
ამ თეორემიდან გამომდინარეობს შემდეგი დასკვნა: თუ განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია (ან იყოფა) ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ტოლფას განტოლებას.
განტოლებების ამოხსნა ერთ ცვლადში
მოდით ამოხსნათ განტოლება 1- x/3 = x/6, x ? რდა დაასაბუთეთ ყველა ის ტრანსფორმაცია, რომელსაც ჩვენ განვახორციელებთ გადაწყვეტის პროცესში.
| გარდაქმნები | კონვერტაციის დასაბუთება |
| 1. განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს გამოსახულებები მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან: (6-2 NS)/ 6 = NS/6 | შეასრულა განტოლების მარცხენა მხარეს გამოსახულების იდენტური ტრანსფორმაცია. |
| 2. გააუქმეთ საერთო მნიშვნელი: 6-2 NS = NS | განტოლების ორივე გვერდი 6-ზე გამრავლებით (თეორემა 2) მივიღეთ განტოლება, რომელიც მოცემულის ტოლფასია. |
| 3. გამონათქვამს -2x გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით: 6 = NS+2NS. | ჩვენ გამოვიყენეთ დასკვნა 1 თეორემადან და მივიღეთ განტოლება, რომელიც ექვივალენტურია წინა და, შესაბამისად, მოცემული. |
| 4. განტოლების მარჯვენა მხარეს ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს: 6 = 3 NS. | შეასრულეს გამოხატვის იდენტური ტრანსფორმაცია. |
| 5. გაყავით განტოლების ორივე მხარე 3-ზე: NS = 2. | ჩვენ გამოვიყენეთ დასკვნა მე-2 თეორემადან, მივიღეთ წინა და, შესაბამისად, მოცემულის ექვივალენტური განტოლება. |
ვინაიდან ყველა ტრანსფორმაცია, რომელიც ჩვენ განვახორციელეთ ამ განტოლების ამოხსნისას იყო ეკვივალენტური, შეიძლება ითქვას, რომ 2 არის ამ განტოლების ფესვი.
თუ განტოლების ამოხსნის პროცესში 1 და 2 თეორემების პირობები არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ შეიძლება მოხდეს ფესვების დაკარგვა ან გამოჩნდეს უცხო ფესვები. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია განტოლების გარდაქმნისას, რათა მივიღოთ უფრო მარტივი, უზრუნველვყოთ, რომ ისინი მივყავართ ამ განტოლების ეკვივალენტამდე.
განვიხილოთ, მაგალითად, განტოლება x (x - 1) = 2x, x? რ... მოდით გავყოთ ორივე ნაწილად NS, ვიღებთ განტოლებას NS - 1 = 2, საიდანაც NS= 3, ანუ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი - რიცხვი 3. მაგრამ მართალია ეს? ადვილი მისახვედრია, რომ თუ მოცემულ განტოლებაში ცვლადის ნაცვლად NSჩაანაცვლეთ 0, ის გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში 0 · (0 - 1) = 2 · 0. ეს ნიშნავს, რომ 0 არის ამ განტოლების ფესვი, რომელიც ჩვენ დავკარგეთ გარდაქმნების შესრულებისას. გავაანალიზოთ ისინი. პირველი, რაც გავაკეთეთ, იყო განტოლების ორივე მხარის დაყოფა NS,იმათ. გამრავლებული გამოხატულებით xმაგრამ ზე NS= ოჰ, აზრი არ აქვს. შესაბამისად, ჩვენ არ შევასრულეთ თეორემა 2-ის პირობა, რამაც გამოიწვია ფესვის დაკარგვა.
იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ ამ განტოლების ფესვების სიმრავლე შედგება ორი რიცხვისგან 0 და 3, ჩვენ ვაძლევთ სხვა ამონახსნებს. ამოძრავეთ გამოხატულება 2 NSმარჯვნიდან მარცხნივ: x (x- 1) - 2x = 0. ვიღებთ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილებს გარეთ NSდა მიეცით მსგავსი წევრები: x (x - 3) = 0. ორი ფაქტორის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათგან ერთი მაინც ნულის ტოლია, ამიტომ x= 0 ან NS- 3 = 0. აქედან მივიღებთ, რომ ამ განტოლების ფესვები არის 0 და 3.
მათემატიკის დაწყებით კურსზე თეორიული საფუძველიგანტოლებების ამოხსნა არის ურთიერთობა კომპონენტებსა და ქმედებების შედეგებს შორის. მაგალითად, განტოლების ამოხსნა ( NS 9): 24 = 3 გამართლებულია შემდეგნაირად. ვინაიდან უცნობი არის დივიდენდში, დივიდენდის საპოვნელად გამყოფი უნდა გავამრავლოთ კოეფიციენტზე: NS 9 = 24 3, ან NS 9 = 72.
უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე: x = 72: 9, ან x = 8, შესაბამისად, ამ განტოლების ფესვი არის რიცხვი 8.
Სავარჯიშოები
1 ... დაადგინეთ, რომელია შემდეგი შენატანები ერთცვლადიანი განტოლებები:
ა) ( NS-3) 5 = 12 NS; დ) 3 + (12-7) 5 = 16;
ბ) ( NS-3) 5 = 12; ე) ( NS-3) წ =12NS;
v) ( NS-3) 17 + 12; ე) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. განტოლება 2 NS 4 + 4NSნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე მოცემულია 2 -6 = 0. ახსენით, რატომ არის რიცხვი 1 ამ განტოლების ფესვი, მაგრამ 2 და -1 არ არის მისი ფესვები.
3. განტოლებაში ( NS+ ...)(2NS + 5) - (NS - 3)(2NS+ 1) = 20 ერთი რიცხვი წაშლილია და ჩანაცვლებულია წერტილებით. იპოვეთ წაშლილი რიცხვი, თუ იცით, რომ ამ განტოლების ფესვი არის ნომერი 2.
4. ჩამოაყალიბეთ პირობები, რომლებშიც:
ა) რიცხვი 5 არის განტოლების ფესვი f (x) = g (x);
ბ) რიცხვი 7 არ არის განტოლების ფესვი f (x) = g (x).
5. გაარკვიეთ, რომელი განტოლებათა წყვილია ეკვივალენტური რეალური რიცხვების სიმრავლეზე:
ა) 3 + 7 NS= -4 და 2 (3 + 7ლ NS) = -8;
6)3 + 7NS= -4 და 6 + 7 NS = -1;
გ) 3 + 7 NS= -4 და ლ NS + 2 = 0.
6. ჩამოაყალიბეთ განტოლებათა ეკვივალენტური მიმართების თვისებები. რომელი მათგანი გამოიყენება განტოლების ამოხსნის პროცესში?
7. ამოხსენით განტოლებები (ყველა მათგანი მოცემულია ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე) და დაასაბუთეთ მათი გამარტივების პროცესში შესრულებული ყველა გარდაქმნა:
ა) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
ბ) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
2-ში - NS)2-NS (NS + 1,5) = 4.
8. მოსწავლემ ამოხსნა განტოლება 5 NS + 15 = 3 NS+ 9 შემდეგნაირად: მე ამოვიღე რიცხვი 5 მარცხენა მხარეს და 3 მარჯვენა მხარეს, მივიღე განტოლება 5 (x+ 3) = 3(NS+ 3) და შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი გამოხატულებად NS+ 3. მიიღო ტოლობა 5 = 3 და დაასკვნა, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები. მართალია სტუდენტი?
9. ამოხსენით განტოლება 2 / (2- x) - ½ = 4 / ((2- x)x); NS? რ... არის თუ არა ნომერი 2 ამ განტოლების ფესვი?
10. ამოხსენით განტოლებები კომპონენტებსა და მოქმედების შედეგებს შორის ურთიერთობის გამოყენებით:
ა) ( NS+ 70) 4 = 328; გ) (85 NS + 765): 170 = 98;
ბ) 560: ( NS+ 9) - 56; გ) ( NS - 13581):709 = 306.
11. ამოცანების ამოხსნა არითმეტიკული და ალგებრული მეთოდებით:
ა) პირველ თაროზე მეორეზე 16 წიგნით მეტია. თუ თითოეული თაროდან 3 წიგნს ამოიღებთ, მაშინ პირველ თაროზე ერთნახევარჯერ მეტი წიგნი იქნება, ვიდრე მეორეზე. რამდენი წიგნია თითოეულ თაროზე?
ბ) ველოსიპედისტმა მთელი გზა ბანაკის ადგილიდან სადგურამდე, რომელიც არის 26 კმ, გაიარა 1 საათსა 10 წუთში. ამ დროის პირველი 40 წუთი მან იმავე სიჩქარით მართავდა, ხოლო დანარჩენ დროს - 3 კმ/სთ ნაკლები სიჩქარით. იპოვეთ ველოსიპედისტის სიჩქარე ბილიკის პირველ ნაწილზე.
ღია გაკვეთილი მათემატიკაში "ბერნულის სქემა. ამოცანების ამოხსნა ბერნულისა და ლაპლასის სქემის მიხედვით"
დიდაქტიკური: უნარებისა და შესაძლებლობების შეძენა ბერნულის სქემით ალბათობების გამოსათვლელად.
განვითარება: ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარ-ჩვევების გამომუშავება, სტუდენტების ფუნქციური აზროვნების ჩამოყალიბება და განვითარება, შედარების, ანალიზისა და სინთეზის უნარების განვითარება, წყვილებში მუშაობის უნარ-ჩვევები, პროფესიული ლექსიკის გაფართოება.
როგორ შეგიძლიათ ითამაშოთ ეს თამაში:
საგანმანათლებლო: საგნისადმი ინტერესის გაღვივება პრაქტიკული გამოყენებათეორია, მოსწავლეთა სასწავლო მასალის შეგნებული ათვისების მიღწევა, გუნდური მუშაობის უნარის ჩამოყალიბება, კომპიუტერული ტერმინების სწორად გამოყენება, მეცნიერებისადმი ინტერესი, მომავალი პროფესიის პატივისცემა.
ცოდნის მეცნიერული ხასიათი: ბ
გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული გაკვეთილი:
- წინა გაკვეთილებზე გავლილი მასალის კონსოლიდაცია;
- თემატური, საინფორმაციო-პრობლემური ტექნოლოგია;
- ამ გაკვეთილზე შესწავლილი მასალის განზოგადება და კონსოლიდაცია.
სწავლების მეთოდი: განმარტებითი - საილუსტრაციო, პრობლემური.
ცოდნის კონტროლი: ფრონტალური გამოკითხვა, პრობლემის გადაჭრა, პრეზენტაცია.
გაკვეთილის მატერიალურ-ტექნიკური აღჭურვილობა. კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი.
მეთოდოლოგიური მხარდაჭერა: საცნობარო მასალები, პრეზენტაცია გაკვეთილის თემაზე, კროსვორდი.
გაკვეთილების დროს
1. საორგანიზაციო მომენტი: 5 წთ.
(მისალმება, ჯგუფის მზადყოფნა გაკვეთილისთვის).
2. ცოდნის ტესტირება:
შეამოწმეთ კითხვები ფრონტალურად სლაიდებზე: 10 წთ.
- განყოფილების "ალბათობის თეორიის" განმარტებები
- განყოფილების მთავარი კონცეფცია "ალბათობის თეორია"
- რა მოვლენებს სწავლობს "ალბათობის თეორია"?
- შემთხვევითი მოვლენისთვის დამახასიათებელი
- ალბათობების კლასიკური განმარტება
შეჯამება. 5 წუთი.
3. ამოცანების ამოხსნა მწკრივად: 5 წთ.
პრობლემა 1. კამათელი იყრება. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ლუწი და 5 ქულაზე ნაკლები დაიბრუნოს?
პრობლემა 2. ყუთში არის ცხრა იდენტური რადიოს მილი, რომელთაგან სამი იყო გამოყენებული. სამუშაო დღის განმავლობაში ოსტატის აღჭურვილობის შესაკეთებლად ორი რადიოს მილის აღება მოუწია. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე აღებული ნათურა იყო გამოყენებული?
პრობლემა 3. კინოთეატრის სამ დარბაზში ნაჩვენებია სამი განსხვავებული ფილმი. 1 დარბაზის სალაროებში გარკვეული საათის ბილეთების არსებობის ალბათობა არის 0.3, მე-2 დარბაზის სალაროებში - 0.2, ხოლო მე-3 დარბაზის სალაროებში - 0.4. რა არის იმის ალბათობა, რომ მოცემულ საათში შესაძლებელია მინიმუმ ერთი ფილმის ბილეთის ყიდვა?
4. პრობლემების გადაჭრის მეთოდების შემოწმება დაფაზე. დანართი 1.5 წთ.
მე-5 დასკვნა პრობლემების გადაჭრის შესახებ:
მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეული ამოცანისთვის ერთნაირია: m და n - კონსტ
6. მიზნის დასახვა დავალების მეშვეობით: 5 წთ.
დავალება. ორი ექვივალენტი მოჭადრაკე თამაშობს ჭადრაკს. რა არის ოთხიდან ორი თამაშის მოგების ალბათობა?
რა არის ექვსიდან სამი თამაშის მოგების ალბათობა (ფრე არ არის გათვალისწინებული)?
Კითხვა. დაფიქრდით და დაასახელეთ რით განსხვავდება ამ ამოცანის კითხვები წინა დავალების კითხვებისგან?
მსჯელობა, შედარება პასუხის მისაღწევად: კითხვებში m და n განსხვავებულია.
7. გაკვეთილის თემა:
მოვლენის დადგომის ალბათობის გამოთვლა k-ჯერ n ექსპერიმენტიდან p-const.
თუ ტარდება ტესტები, რომლებშიც A მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ტესტში არ არის დამოკიდებული სხვა ტესტების შედეგებზე, მაშინ ასეთ ტესტებს უწოდებენ A მოვლენისგან დამოუკიდებელ ტესტებს. თითოეულ მათგანში მოვლენის დადგომის ალბათობა არის იგივე.
ბერნულის ფორმულა. ალბათობა იმისა, რომ n დამოუკიდებელ ცდაში, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის ალბათობა არის p (0 ან დანართი 2 ბერნულის ფორმულა, სადაც k, n არის მცირე რიცხვები, სადაც q = 1-p ამოხსნა: ეკვივალენტური მოჭადრაკეები თამაშობენ, ამიტომ მოგების ალბათობა არის p = 1/2; შესაბამისად, q დაკარგვის ალბათობაც 1/2-ია. ვინაიდან ყველა თამაშში მოგების ალბათობა მუდმივია და არ აქვს მნიშვნელობა რა თანმიმდევრობით იქნება თამაშების მოგება, ბერნულის ფორმულა გამოიყენება. 5 წუთი მოდი ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ოთხი თამაშიდან ორი მოიგოს: მოდით ვიპოვოთ იმის ალბათობა, რომ ექვსიდან სამი თამაში მოიგოთ: ვინაიდან P4 (2)> P6 (3), უფრო სავარაუდოა, რომ მოიგოს ორი თამაში ოთხიდან, ვიდრე სამი ექვსიდან. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A მოხდება ზუსტად 70-ჯერ 243 ტესტში, თუ ამ მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ტესტში არის 0,25. k = 70, n = 243 აქედან გამომდინარე k და n დიდი რიცხვებია. ეს ნიშნავს, რომ ძნელია დათვლა ბერნულის ფორმულით. ასეთ შემთხვევებში გამოიყენება ადგილობრივი ლაპლასის ფორმულა: დანართი 3 x-ის დადებითი მნიშვნელობებისთვის მოცემულია დანართ 4-ში; x-ის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის გამოიყენეთ იგივე ცხრილი და =. 1. ორი თანაბარი მოთამაშე თამაშობს თამაშს, რომელშიც ფრე არ არის. რა არის ალბათობა პირველმა მოთამაშემ მოიგოს: ა) ორიდან ერთი თამაში? ბ) ოთხიდან ორი? გ) ექვსიდან სამი? პასუხი:ა) ; ბ); v) 3. სეგმენტი ABგაყოფილი წერტილით თან 2:1 თანაფარდობით. ამ სეგმენტზე შემთხვევით იყრება ოთხი ქულა. იპოვეთ ალბათობა, რომ ორი მათგანი იყოს C წერტილიდან მარცხნივ, ხოლო ორი მარჯვნივ. პასუხი: 4. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A მოხდება ზუსტად 70-ჯერ 243 ცდაში, თუ ამ მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ცდაში არის 0,25. პასუხი: . 5. ბიჭის გაჩენის ალბათობა 0,515-ია. იპოვეთ ალბათობა, რომ 100 ახალშობილს შორის თანაბრად იქნებიან ბიჭები და გოგონები. პასუხი: 0,0782 6. მაღაზიამ მიიღო 500 მინის ბოთლი. ტრანსპორტირებისას რომელიმე ბოთლის გატეხვის ალბათობა არის 0,003. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მაღაზიამ გატეხილი ბოთლი მიიღო: ა) ზუსტად ორი; ბ) ორზე ნაკლები; გ) მინიმუმ ორი; დ) ერთი მაინც. პასუხი:ა) 0,22; ბ) 0,20; გ) 0,80; დ) 0,95 7. საავტომობილო ქარხანა აწარმოებს მანქანების 80%-ს მნიშვნელოვანი დეფექტების გარეშე. რა არის იმის ალბათობა, რომ ქარხნიდან ავტობირჟაზე მიტანილ 600 მანქანას შორის იყოს მინიმუმ 500 მანქანა მნიშვნელოვანი დეფექტების გარეშე? პასუხი: 0,02. 8. რამდენჯერ დაგჭირდებათ მონეტის გადატრიალება ისე, რომ 0,95 ალბათობით მოსალოდნელია, რომ გერბის გარეგნობის ფარდობითი სიხშირე ალბათობას გადაუხვევს. რ= 0,5 გერბის გამოჩენა მონეტის ერთი გადაგდებით არაუმეტეს 0,02-ით? პასუხი: ნ ≥ 2401. 9. 100 დამოუკიდებელ მოვლენაში მოვლენის დადგომის ალბათობა მუდმივია და ტოლია გვ= 0.8. იპოვეთ მოვლენის გაჩენის ალბათობა: ა) არანაკლებ 75-ჯერ და არა უმეტეს 90-ჯერ; ბ) არანაკლებ 75-ჯერ; გ) არაუმეტეს 74-ჯერ. პასუხი: a B C) . 10. მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ დამოუკიდებელ ტესტში არის 0,2. იპოვეთ მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირის რა გადახრა მისი ალბათობიდან შეიძლება მოსალოდნელი იყოს 0,9128 ალბათობით 5000 ტესტისთვის. პასუხი: 11. რამდენჯერ უნდა გაისროლოს მონეტა ისე, რომ 0,6 ალბათობით შეიძლება ველოდოთ გერბის გარეგნობის ფარდობითი სიხშირის ალბათობის გადახრას. გვ= 0,5 გამოდის არაუმეტეს 0,01 აბსოლუტური მნიშვნელობით. პასუხი: ნ = 1764. 12. მოვლენის მოვლენის ალბათობა 10000 დამოუკიდებელ ცდაში თითოეულში არის 0,75. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე მისი ალბათობიდან აბსოლუტური სიდიდით გადაიხრება არაუმეტეს 0,01-ით. პასუხი: . 13. მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ დამოუკიდებელ ტესტში არის 0,5. იპოვეთ საცდელების რაოდენობა ნ, რომელშიც, 0,7698 ალბათობით, მოსალოდნელია, რომ მოვლენის დადგომის ფარდობითი სიხშირე გადაიხრება მისი ალბათობის აბსოლუტური სიდიდით არაუმეტეს 0,02-ით. განმარტება.ლოგიკის ალგებრის ორი ფორმულა A და Bუწოდებენ ექვივალენტი,თუ ისინი იღებენ ერთსა და იმავე ლოგიკურ მნიშვნელობებს ელემენტარული განცხადებების ფორმულებში შემავალი მნიშვნელობების ნებისმიერ კომპლექტზე. ფორმულების ეკვივალენტობა აღინიშნება ნიშნით და აღნიშვნით ა ვნიშნავს, რომ ფორმულები A და Bექვივალენტები არიან. მაგალითად, ფორმულები ექვივალენტურია: ფორმულა A ეწოდება იდენტური ჭეშმარიტი (ან ტავტოლოგია)თუ იგი იღებს 1 მნიშვნელობას მასში შემავალი ცვლადების ყველა მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, ფორმულები ,
. ფორმულა ადაურეკა ერთნაირად ცრუ,თუ იგი იღებს 0 მნიშვნელობას მასში შემავალი ცვლადების ყველა მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, ფორმულა იდენტურად მცდარია. ცხადია, რომ ეკვივალენტურობის მიმართება არის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი. ეკვივალენტობისა და ეკვივალენტობის ცნებებს შორის არსებობს შემდეგი კავშირი: თუ ფორმულები ადა ვექვივალენტურია, შემდეგ ფორმულა ა ვ- ტავტოლოგია და პირიქით, თუ ფორმულა ა ვ- ტავტოლოგია, შემდეგ ფორმულები ადა ვექვივალენტები არიან. ლოგიკის ალგებრის ყველაზე მნიშვნელოვანი ეკვივალენტები შეიძლება დაიყოს სამ ჯგუფად. 1. ძირითადი ეკვივალენტები: დავამტკიცოთ შთანთქმის ერთ-ერთი კანონი. განვიხილოთ ფორმულა .
თუ ამ ფორმულაში ა= 1 მაშინ, ცხადია, და ხოლო ორი ჭეშმარიტი განცხადების შეერთება. ახლა მოდით ფორმულა A x = 0. მაგრამ მაშინ, განსაზღვრებით, კავშირის ოპერაცია იქნება მცდარი და კავშირი .
ასე რომ, ყველა შემთხვევაში, ფორმულის მნიშვნელობები აემთხვევა ღირებულებებს ა,და, შესაბამისად ა x. 2. ეკვივალენტები, რომლებიც გამოხატავენ ზოგიერთ ლოგიკურ მოქმედებებს სხვების მეშვეობით: გასაგებია, რომ 5 და 6 ეკვივალენტები მიიღება შესაბამისად 3 და 4 ეკვივალენტებიდან, თუ ამ უკანასკნელის ორივე ნაწილიდან ავიღებთ ნეგატივებს და გამოვიყენებთ ორმაგი ნეგატივების მოხსნის კანონს. ამრიგად, პირველი ოთხი ეკვივალენტობა საჭიროებს მტკიცებულებას. დავამტკიცოთ ორი მათგანი: პირველი და მესამე. ვინაიდან იგივე ლოგიკური მნიშვნელობებით NSდა ზეფორმულები,, მართალია, შემდეგ კავშირი მოდით ახლა NSდა ზეგანსხვავებული ლოგიკური მნიშვნელობა აქვს. მაშინ ეკვივალენტობა და ორიდან ერთი ან იქნება მცდარი. Ამავე დროს მცდარი იქნება და კავშირი განვიხილოთ ეკვივალენტობა 3. თუ NSდა ზემიიღეთ ჭეშმარიტი მნიშვნელობები ამავე დროს, მაშინ კავშირი იქნება ჭეშმარიტი x & yდა კავშირის ცრუ უარყოფა. ამავდროულად, და და და იქნება ყალბი და, შესაბამისად, დისუნქცია .
ახლა მოდით, მინიმუმ ერთი ცვლადი NSან ზეიღებს ცრუ მნიშვნელობას. მაშინ კავშირი მცდარი იქნება x & yდა მისი ნამდვილი უარყოფა. ამავდროულად, მინიმუმ ერთი ცვლადის უარყოფა იქნება ჭეშმარიტი და, შესაბამისად, დისუნქცია ასევე იქნება ჭეშმარიტი. .
ამიტომ, ყველა შემთხვევაში, 3 ეკვივალენტობის ორივე ნაწილი იღებს ერთსა და იმავე ლოგიკურ მნიშვნელობებს. 2-ისა და 4-ის ეკვივალენტები დადასტურებულია ანალოგიურად. ამ ჯგუფის ეკვივალენტებიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგიკის ალგებრის ნებისმიერი ფორმულა შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური ფორმულით, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ორ ლოგიკურ ოპერაციას: შეერთება და უარყოფა ან დისიუნქცია და უარყოფა. ლოგიკური ოპერაციების შემდგომი გამორიცხვა შეუძლებელია. ასე რომ, თუ ვიყენებთ მხოლოდ კავშირს, მაშინ უკვე ისეთ ფორმულას, როგორიცაა უარყოფა NSარ შეიძლება გამოხატული იყოს კავშირის მოქმედების გამოყენებით. თუმცა, არის ოპერაციები, რომლებითაც შეიძლება გამოვხატოთ ხუთი ლოგიკური ოპერაციებიდან რომელიმე, რომელსაც ჩვენ ვიყენებთ. ასეთი ოპერაციაა, მაგალითად, Schaeffer Stroke ოპერაცია. ეს ოპერაცია მითითებულია სიმბოლოთი x | yდა განისაზღვრება შემდეგი ჭეშმარიტების ცხრილით: ცხადია, არის ეკვივალენტები: 2) x & y (x | y) | (x | y). ამ ორი ეკვივალენტობიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგიკის ალგებრის ნებისმიერი ფორმულა შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური ფორმულით, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ოპერაციას „შეფერის დარტყმა“. Ჩაინიშნე. ოპერაცია შეიძლება შევიდეს ანალოგიურად 3. ლოგიკის ალგებრის ძირითადი კანონების გამომხატველი ეკვივალენტები: 1. x & y y & x -კავშირის ურთიერთშენაცვლება. 2. x ზე წ NS- კომუტაციური დისიუნქცია. 3. x & (y & z) (x & y) & z- კავშირის ასოციაციურობა. 4. NS(y z )
(NS y)ზ- დისიუნქციის ასოციაციურობა. 5. x & (y ზ) (x & y) (x & z)- კავშირის განაწილება დისიუნქციასთან მიმართებაში. 6. NS (y & z) (NS y) & (xზ )
- დისიუნქციის განაწილება კავშირთან მიმართებაში. მოდით დავამტკიცოთ ჩამოთვლილი კანონებიდან ბოლო. თუ NS= 1, შემდეგ ფორმულები NS (y &ზ), NS y, xზ .
მაგრამ შემდეგ შეერთება (NS y) & (xზ ).
ამრიგად, ამისთვის NS= 1 ეკვივალენტობის ორივე ნაწილი 6 იღებს ერთსა და იმავე ლოგიკურ მნიშვნელობებს (true). მოდით ახლა x = 0. მაშინ NS (y & z) y&z, x ზე ზედა x z z ,
და ამიტომ კავშირი NS (y & z) წ და ზ... მაშასადამე, აქ 6-ის ეკვივალენტობის ორივე მხარე იგივე ფორმულის ექვივალენტია წ და ც,და ამიტომ მიიღეთ იგივე ლოგიკური მნიშვნელობები. § 5. ფორმულების ეკვივალენტური გარდაქმნები I, II და III ჯგუფების ეკვივალენტობების გამოყენებით შესაძლებელია ფორმულის ნაწილის ან ფორმულის ეკვივალენტური ფორმულით ჩანაცვლება. ფორმულების ასეთ გარდაქმნებს ე.წ ექვივალენტი. ეკვივალენტური გარდაქმნები გამოიყენება ეკვივალენტობის დასამტკიცებლად, ფორმულების მოცემულ ფორმამდე მისაყვანად, ფორმულების გასამარტივებლად. ფორმულა აითვლება უფრო მარტივად, ვიდრე ეკვივალენტური ფორმულა V,თუ ის შეიცავს ნაკლებ ასოებს, ნაკლებია ლოგიკური ოპერაციები. ამ შემთხვევაში, ეკვივალენტობისა და იმპლიკაციების ოპერაციები, როგორც წესი, იცვლება დისიუნქციისა და შეერთების ოპერაციებით, ხოლო უარყოფა მოიხსენიება, როგორც ელემენტარული განცხადებები. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს. 1. დაამტკიცეთ ეკვივალენტობა I, II და III ჯგუფების ეკვივალენტობების გამოყენება 2.
ფორმულის გამარტივება მოდით ჩამოვწეროთ ეკვივალენტური ფორმულების ჯაჭვი: 3. დაამტკიცეთ ფორმულის იდენტურობა მოდით ჩამოვწეროთ ეკვივალენტური ფორმულების ჯაჭვი: ბულის ალგებრა III ჯგუფის ეკვივალენტები მიუთითებს იმაზე, რომ ლოგიკის ალგებრას აქვს კომუტაციური და ასოციაციური კანონები შეერთებისა და დისიუნქციის მოქმედებების მიმართ და შეერთების გამანაწილებელი კანონი დისუნქციასთან მიმართებაში; იგივე კანონები ასევე მოქმედებს რიცხვთა ალგებრაში. მაშასადამე, ლოგიკის ალგებრის ფორმულებზე შეიძლება განხორციელდეს იგივე გარდაქმნები, რაც ხდება რიცხვების ალგებრაში (გახსნა ფრჩხილებში, ფრჩხილებში ჩასმა, საერთო ფაქტორის დატოვება ფრჩხილების გარეთ). მაგრამ ლოგიკის ალგებრაში სხვა გარდაქმნებიც შესაძლებელია ეკვივალენტების გამოყენების საფუძველზე: ეს თვისება საშუალებას აძლევს ადამიანს მიაღწიოს შორს მიმავალ განზოგადებებს. განვიხილოთ არა ცარიელი ნაკრები მნებისმიერი ბუნების ელემენტები ( x, y, z, ...} ,
რომელშიც განსაზღვრულია მიმართება "=" (ტოლი) და სამი ოპერაცია: "+" (მიმატება), "" (გამრავლება) და "-" (უარყოფა), ემორჩილება შემდეგ აქსიომებს: კომუტაციური კანონები: 1ა. x + y = y + x, 1ბ. NS y = y NS. ასოციაციური კანონები: 2ა. x + (y + z)= (x + y) + z, 2ბ. NS (ზე ზ) = (x y) ზ. განაწილების კანონები: 3ა. (x + y) z = (xზ ) + (y გ) 3ბ. (x y) + z = (x + z) (y + z). იმპოტენციის კანონები: 4ა. x + x = x, 4ბ. NS x = x. ორმაგი უარყოფის კანონი: დე მორგანის კანონები: 6ა. ,
6ბ .
. შთანთქმის კანონები: 7ა. x + (y NS)= NS, 7ბ. NS (y + x) = x. ამდენი მდაურეკა ლოგიკური ალგებრა. თუ ძირითადი ელემენტების ქვეშ x, y, z, ...იგულისხმება დებულებები ოპერაციებით "+", "", "-" დისიუნქცია, შეერთება, უარყოფა, შესაბამისად, და ტოლობის ნიშანი განიხილება, როგორც ეკვივალენტობის ნიშანი, შემდეგ, როგორც ჩანს I, II და III ჯგუფების ეკვივალენტებიდან. , ლოგიკური ალგებრის ყველა აქსიომა დაკმაყოფილებულია. იმ შემთხვევებში, როდესაც აქსიომების გარკვეული სისტემისთვის შესაძლებელია შეირჩეს კონკრეტული ობიექტები და მათ შორის კონკრეტული მიმართებები ისე, რომ ყველა აქსიომა დაკმაყოფილდეს, ამბობენ, რომ ნაპოვნია. ინტერპრეტაცია(ან მოდელი)აქსიომების ეს სისტემა. მაშასადამე, ბულის ალგებრა არის ლოგიკური ალგებრის ინტერპრეტაცია. ბულის ალგებრას სხვა ინტერპრეტაციებიც აქვს. მაგალითად, თუ ძირითადი ელემენტების ქვეშ x, y, z, ...სიმრავლეები მვიგულისხმოთ სიმრავლეები მოქმედებებით "+", "", "-" გაერთიანება, კვეთა, მიმატება, შესაბამისად და ტოლობის ნიშნით - სიმრავლეთა ტოლობის ნიშანი, მაშინ მივდივართ სიმრავლეთა ალგებრამდე. ადვილია იმის დადასტურება, რომ სიმრავლეების ალგებრაში ლოგიკური ალგებრის ყველა აქსიომა შეესაბამება. ბულის ალგებრის სხვადასხვა ინტერპრეტაციებს შორის არის ტექნიკური ხასიათის ინტერპრეტაციებიც. ერთ-ერთი მათგანი ქვემოთ იქნება განხილული. როგორც ნაჩვენები იქნება, ის მნიშვნელოვან როლს ასრულებს თანამედროვე ავტომატიზაციაში. ლოგიკური ალგებრას ფუნქციები როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ლოგიკის ალგებრის ფორმულის მნიშვნელობა მთლიანად დამოკიდებულია ამ ფორმულაში შემავალი განცხადებების მნიშვნელობებზე. მაშასადამე, ლოგიკის ალგებრის ფორმულა არის მასში შემავალი ელემენტარული განცხადებების ფუნქცია. მაგალითად, ფორმულა არის ფუნქცია სამი ცვლადი f (x, y, z).ამ ფუნქციის მახასიათებელია ის ფაქტი, რომ მისი არგუმენტები იღებენ ერთს ორი მნიშვნელობიდან: ნულოვანი ან ერთი, და ფუნქცია ასევე იღებს ორი მნიშვნელობიდან ერთს: ნულს ან ერთს. განმარტება. ლოგიკური ალგებრის ფუნქციაჰა ცვლადები (ან ლოგიკური ფუნქცია)იწოდება m ცვლადის ფუნქცია, სადაც თითოეული ცვლადი იღებს ორ მნიშვნელობას: 0 და 1, ხოლო ფუნქციას შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ერთი ორი მნიშვნელობიდან: 0 ან 1. ცხადია, რომ ლოგიკის ალგებრის იდენტური ჭეშმარიტი და ცრუ ფორმულები მუდმივი ფუნქციებია და ორი ეკვივალენტური ფორმულა გამოხატავს ერთსა და იმავე ფუნქციას. მოდით გავარკვიოთ რა არის n ცვლადის ფუნქციების რაოდენობა. ცხადია, ლოგიკის ალგებრის თითოეული ფუნქცია (ისევე როგორც ლოგიკის ალგებრის ფორმულა) შეიძლება განისაზღვროს ჭეშმარიტების ცხრილის გამოყენებით, რომელიც შეიცავს 2 n ხაზს. ამიტომ, n ცვლადის თითოეული ფუნქცია იღებს 2 n მნიშვნელობას, რომელიც შედგება ნულებისაგან და ერთისგან. ამრიგად, n ცვლადის ფუნქცია მთლიანად განისაზღვრება ნულებისა და 2 n სიგრძის ერთეულების სიმრავლით. ლოგიკური ალგებრის ფუნქციები NSცვლადები ტოლია. კერძოდ, არსებობს ერთი ცვლადის ოთხი განსხვავებული ფუნქცია და ორი ცვლადის თექვსმეტი განსხვავებული ფუნქცია. მოდით ჩამოვწეროთ ერთის ლოგიკის ალგებრის ყველა ფუნქცია დაორი ცვლადი. განვიხილოთ სიმართლის ცხრილი ერთი ცვლადის სხვადასხვა ფუნქციისთვის. აშკარად ასე გამოიყურება: ამ ცხრილიდან გამომდინარეობს, რომ ერთი ცვლადის ორი ფუნქცია იქნება მუდმივი: f 1 (x) = 1, f 4 (x) = 0 და f 2 (x) NS,და f 3 (x) .
ჭეშმარიტების ცხრილი ორი ცვლადის ყველა შესაძლო ფუნქციისთვის არის: f i = f i (x, y) ნათელია, რომ ამ ფუნქციების ანალიტიკური გამონათქვამები შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად. ნაწილი 2. ფორმულების ლოგიკური ეკვივალენტობა. წინადადების ალგებრის ფორმულების ნორმალური ფორმები ეკვივალენტობის კოეფიციენტი ჭეშმარიტების ცხრილების გამოყენებით, შესაძლებელია დადგინდეს, თუ რომელ ფორმულა მიიღებს შემომავალი ცვლადების სიმართლის მნიშვნელობების ჭეშმარიტ ან მცდარ მნიშვნელობას (ასევე დებულებას შესაბამისი ლოგიკური სტრუქტურით), რომელი ფორმულები იქნება ტავტოლოგია ან წინააღმდეგობები. და ასევე იმის დადგენა, არის თუ არა ორი მოცემული ფორმულა ექვივალენტი. ლოგიკაში ამბობენ, რომ ორი წინადადება ეკვივალენტურია, თუ ორივე ჭეშმარიტია ან მცდარი. სიტყვა "ერთდროულად" ამ ფრაზაში ორაზროვანია. ასე რომ, წინადადებებისთვის "ხვალ იქნება სამშაბათი" და "გუშინ კვირა იყო" ამ სიტყვას პირდაპირი მნიშვნელობა აქვს: ორშაბათს ორივე მართალია, ხოლო კვირის დანარჩენ დღეს - ორივე მცდარია. განტოლებისთვის " x = 2"და" 2x = 4"" ამავე დროს "ნიშნავს" ცვლადის იმავე მნიშვნელობებზე ". პროგნოზები „ხვალ იწვიმებს“ და „არაა, რომ ხვალ არ იწვიმებს“ ერთდროულად დადასტურდება (მართალი გამოდის) ან არ დადასტურდება (მცდარი აღმოჩნდება). არსებითად, ეს არის ერთი და იგივე პროგნოზი, გამოხატული ორი განსხვავებული ფორმით, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმულებით NSდა . ეს ფორმულები ერთდროულად იღებენ მნიშვნელობას "true" ან მნიშვნელობას "false". შესამოწმებლად საკმარისია სიმართლის ცხრილის შედგენა: ჩვენ ვხედავთ, რომ პირველ და ბოლო სვეტებში სიმართლის მნიშვნელობები იგივეა. ბუნებრივია ასეთი ფორმულების, ისევე როგორც მათ შესაბამისი წინადადებების ეკვივალენტად მიჩნევა. ფორმულებს F 1 და F 2 ეწოდება ექვივალენტი, თუ მათი ეკვივალენტი არის ტავტოლოგია. ორი ფორმულის ეკვივალენტობა იწერება შემდეგნაირად: (წაიკითხეთ: ფორმულა F 1ფორმულის ტოლფასია F 2). არსებობს სამი გზა იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა ფორმულები ეკვივალენტური: 1) შეადგინეთ მათი ეკვივალენტობა და გამოიყენეთ ჭეშმარიტების ცხრილი, რათა შეამოწმოთ არის თუ არა ის ტავტოლოგია; 2) თითოეული ფორმულისთვის შეადგინეთ სიმართლის ცხრილი და შეადარეთ საბოლოო შედეგები; თუ ბოლო სვეტებში ცვლადი მნიშვნელობების იგივე სიმრავლით
ორივე ფორმულის სიმართლის მნიშვნელობები ტოლი იქნება, მაშინ ფორმულები ექვივალენტურია; 3) ეკვივალენტური გარდაქმნების გამოყენებით. მაგალითი 2.1:გაარკვიეთ არის თუ არა ფორმულები ეკვივალენტური: 1),; 2),. 1) ეკვივალენტობის დასადგენად გამოვიყენებთ პირველ მეთოდს, ანუ გავარკვევთ არის თუ არა ფორმულების ეკვივალენტობაც ტავტოლოგია. მოდით შევადგინოთ ფორმულების ეკვივალენტი:. შედეგად მიღებული ფორმულა შეიცავს ორ განსხვავებულ ცვლადს ( ადა ვ) და 6 ოპერაცია: 1); 2); 3); 4) ; 5) ; 6). ეს ნიშნავს, რომ შესაბამის ჭეშმარიტების ცხრილს ექნება 5 სტრიქონი და 8 სვეტი: ჭეშმარიტების ცხრილის ბოლო სვეტიდან ჩანს, რომ შედგენილი ეკვივალენტობა არის ტავტოლოგია და, შესაბამისად,. 2) იმის გასარკვევად, არის თუ არა ფორმულები და არის თუ არა ეკვივალენტური, ვიყენებთ მეორე მეთოდს, ანუ ვადგენთ სიმართლის ცხრილს თითოეული ფორმულისთვის და ვადარებთ ბოლო სვეტებს. ( კომენტარი... მეორე მეთოდის ეფექტურად გამოყენების მიზნით, აუცილებელია, რომ ყველა შედგენილი ჭეშმარიტების ცხრილი დაიწყოს ერთნაირად, ანუ, ცვლადი მნიშვნელობების კომპლექტი იგივე იყო შესაბამის ხაზებში
.) ფორმულას აქვს ორი განსხვავებული ცვლადი და 2 ოპერაცია, რაც ნიშნავს, რომ შესაბამის ჭეშმარიტების ცხრილს აქვს 5 მწკრივი და 4 სვეტი: ფორმულას აქვს ორი განსხვავებული ცვლადი და 3 ოპერაცია, რაც ნიშნავს, რომ შესაბამის ჭეშმარიტების ცხრილს აქვს 5 მწკრივი და 5 სვეტი: შედგენილი სიმართლის ცხრილების ბოლო სვეტების შედარებისას (რადგან ცხრილები იწყება იმავე გზით, ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ცვლადის მნიშვნელობების სიმრავლე), ვხედავთ, რომ ისინი არ ემთხვევა და, შესაბამისად, ფორმულები არ არის ეკვივალენტური (). გამოთქმა არ არის ფორმულა (რადგან სიმბოლო "" არ ეხება რაიმე ლოგიკურ ოპერაციას). გამოხატავს დამოკიდებულებაფორმულებს შორის (ისევე როგორც რიცხვებს შორის თანასწორობა, წრფეებს შორის პარალელიზმი და ა.შ.). მართებულია თეორემა ეკვივალენტური მიმართების თვისებების შესახებ: თეორემა 2.1.ეკვივალენტურობის კავშირი წინადადების ალგებრის ფორმულებს შორის: 1) რეფლექსურად:; 2) სიმეტრიულად: თუ, მაშინ; 3) გარდამავალი: თუ და, მაშინ. ლოგიკის კანონები ფორმულების ეკვივალენტობას წინადადებების ლოგიკაში ხშირად უწოდებენ ლოგიკის კანონები... ჩამოვთვალოთ მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანი: 1. - იდენტობის კანონი. 2.- გამორიცხული მესამედის კანონი 3. – წინააღმდეგობის კანონი 4. - დისიუნქცია ნულთან 5. - ნულთან შეერთება 6. - გათიშვა ერთეულთან 7. - ერთთან შეერთება 8. – ორმაგი უარყოფის კანონი 9. - კავშირის ურთიერთშენაცვლება 10. - დისუნქციური კომუტატიურობა 11. - კავშირის ასოციაციურობა 12. - დისიუნქციის ასოციაციურობა 13. - კავშირის განაწილება 14. - გამანაწილებელი დისიუნქცია 15.- იმპოტენციის კანონები 16. 17. 18. 19. 20.- ეკვივალენტობის გამოხატვის კანონები სხვა ლოგიკური მოქმედებებით ლოგიკის კანონები გამოიყენება რთული ფორმულების გასამარტივებლად და იმის დასამტკიცებლად, რომ ფორმულები თანაბრად ჭეშმარიტია თუ მცდარი. ექვივალენტური გარდაქმნები. ფორმულების გამარტივება თუ ერთი და იგივე ფორმულა ყველგან შეიცვლება ეკვივალენტურ ფორმულებში რაიმე ცვლადის ნაცვლად, მაშინ ახლად მიღებული ფორმულებიც ეკვივალენტური აღმოჩნდება ჩანაცვლების წესის შესაბამისად. ამ გზით, თითოეული ეკვივალენტიდან იმდენი ახალი ეკვივალენტობის მიღება შეიძლება. მაგალითი 1:თუ დე მორგანის კანონში ნაცვლად NSშემცვლელი და ნაცვლად იშემცვლელი, ვიღებთ ახალ ეკვივალენტს. მიღებული ეკვივალენტობის მართებულობის შემოწმება მარტივია ჭეშმარიტების ცხრილის გამოყენებით. თუ რომელიმე ფორმულა, რომელიც ფორმულის ნაწილია ფ, ჩანაცვლებულია ფორმულის ექვივალენტური ფორმულით, შემდეგ მიღებული ფორმულა აღმოჩნდება ფორმულის ექვივალენტი ფ. შემდეგ, მაგალითი 2-ის ფორმულისთვის, შეიძლება განხორციელდეს შემდეგი ცვლილებები: - ორმაგი უარყოფის კანონი; - დე მორგანის კანონი; - ორმაგი უარყოფის კანონი; - ასოციაციურობის კანონი; ეკვივალენტურობის მიმართების გარდამავალ თვისებით შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ ერთი ფორმულის შეცვლა მეორით, მისი ტოლფასი, ე.წ ექვივალენტური კონვერტაცია
ფორმულები. ქვეშ გამარტივება
ფორმულები, რომლებიც არ შეიცავს იმპლიკამენტისა და ეკვივალენტობის ნიშნებს, ესმით ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია, რომელიც მივყავართ ფორმულამდე, რომელიც არ შეიცავს არაელემენტარული ფორმულების უარყოფას (კერძოდ, ორმაგ უარყოფას) ან შეიცავს მთლიანობაში ნაკლებ შეერთებისა და განშორების ნიშანს, ვიდრე თავდაპირველი. . მაგალითი 2.2:მოდით გავამარტივოთ ფორმულა პირველ ეტაპზე, ჩვენ გამოვიყენეთ კანონი, რომელიც გარდაქმნის იმპლიკაციას დისიუქციად. მეორე საფეხურზე გამოვიყენეთ შემცვლელი კანონი. მესამე საფეხურზე ჩვენ გამოვიყენეთ უძლურების კანონი. მეოთხე არის დე მორგანის კანონი. მეხუთეზე კი – ორმაგი უარყოფის კანონი. შენიშვნა 1... თუ გარკვეული ფორმულა არის ტავტოლოგია, მაშინ მისი ექვივალენტური ფორმულა ასევე ტავტოლოგიაა. ამრიგად, ეკვივალენტური გარდაქმნები ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას გარკვეული ფორმულების იდენტური ჭეშმარიტების დასამტკიცებლად. ამისათვის ეს ფორმულა უნდა შემცირდეს ექვივალენტური გარდაქმნებით ერთ-ერთ ფორმულამდე, რომელიც არის ტავტოლოგია. შენიშვნა 2... ზოგიერთი ტავტოლოგია და ეკვივალენტობა გაერთიანებულია წყვილებში (წინააღმდეგობის კანონი და ალტერნატიული, კომუტაციური, ასოციაციური კანონების კანონი და ა.შ.). ამ მიმოწერებში ე.წ ორმაგობის პრინციპი
. ორი ფორმულა, რომელიც არ შეიცავს იმპლიკამენტისა და ეკვივალენტობის ნიშნებს, ეწოდება ამბივალენტური
თუ თითოეული მათგანის მიღება შესაძლებელია მეორისგან ნიშნების შეცვლით, შესაბამისად. ორმაგობის პრინციპი ამბობს შემდეგს: თეორემა 2.2:თუ ორი ფორმულა, რომლებიც არ შეიცავს იმპლიკამენტისა და ეკვივალენტობის ნიშნებს, ექვივალენტურია, მაშინ მათი ორმაგი ფორმულებიც ექვივალენტურია. ნორმალური ფორმები ნორმალური ფორმაარის ფორმულის დაწერის სინტაქსურად ერთმნიშვნელოვანი გზა, რომელიც ახორციელებს მოცემულ ფუნქციას. ლოგიკის ცნობილი კანონების გამოყენებით, ნებისმიერი ფორმულა შეიძლება გარდაიქმნას ფორმის ეკვივალენტურ ფორმულად. მაგალითი 2.3:დიდ ფორმულებში ან მრავალჯერადი გარდაქმნებისთვის, ჩვეულებრივია შემაერთებელი ნიშნის გამოტოვება (გამრავლების ნიშნის ანალოგიით):. ჩვენ ვხედავთ, რომ განხორციელებული გარდაქმნების შემდეგ, ფორმულა არის სამი კავშირის დისიუქცია. ამ ფორმას ე.წ დიუნქციური ნორმალური ფორმა
(DNF). DNF-ის ცალკეულ ელემენტს უწოდებენ ელემენტარული შეერთება
ან შემადგენელი ერთეული. ანალოგიურად, ნებისმიერი ფორმულა შეიძლება შემცირდეს ეკვივალენტურ ფორმულამდე, რომელიც იქნება ელემენტების შეერთება, რომელთაგან თითოეული იქნება ლოგიკური ცვლადების დისიუნიქცია უარყოფითი ნიშნით ან მის გარეშე. ანუ, თითოეული ფორმულა შეიძლება შემცირდეს ფორმის ეკვივალენტურ ფორმულამდე მაგალითი 2.4: CNF-ის ცალკეულ ელემენტს ე.წ ელემენტარული დისიუნქცია
ან ნულის შემადგენელი. ცხადია, თითოეულ ფორმულას აქვს უსასრულოდ ბევრი DNF და CNF. მაგალითი 2.5:მოდით ვიპოვოთ რამდენიმე DNF ფორმულისთვის იდეალური ნორმალური ფორმები SDNF (სრულყოფილი DNF) არის DNF, რომელშიც თითოეული ელემენტარული კავშირი შეიცავს ყველა ელემენტარულ დებულებას, ან მათ უარყოფას ერთჯერადად, ელემენტარული კავშირები არ მეორდება. SKNF (სრულყოფილი CNF) არის CNF, რომელშიც თითოეული ელემენტარული დისიუნქცია შეიცავს ყველა ელემენტარულ დებულებას, ან მათ უარყოფას ერთჯერადად, ელემენტარული დისიუნქციები არ მეორდება. მაგალითი 2.6: 1) - SDNF 2) 1 - SKNF მოდით ჩამოვაყალიბოთ SDNF-ის (SKNF) დამახასიათებელი ნიშნები. 1) დისუნქციის (შეერთების) ყველა წევრი განსხვავებულია; 2) ყოველი კავშირის (დისიუნქციის) ყველა წევრი განსხვავებულია; 3) არც ერთი კავშირი (დისიუნქცია) არ შეიცავს ცვლადსაც და მის უარყოფას; 4) ყოველი კავშირი (დისიუნქცია) შეიცავს თავდაპირველ ფორმულაში შეტანილ ყველა ცვლადს. როგორც ვხედავთ, დამახასიათებელი ნიშნები (მაგრამ არა ფორმები!) აკმაყოფილებს ორმაგობის დეფინიციას, ამიტომ საკმარისია ერთ ფორმასთან გამკლავება, რათა ვისწავლოთ ორივეს მიღება. DNF-დან (CNF), ეკვივალენტური ტრანსფორმაციების გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად მიიღოთ SDNF (SKNF). ვინაიდან სრულყოფილი ნორმალური ფორმების მიღების წესები ასევე ორმაგია, ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ SDNF-ის მიღების წესს და ჩამოვაყალიბებთ SKNF-ის მიღების წესს თავად ორმაგობის განმარტების გამოყენებით. ფორმულის SDNF-მდე შემცირების ზოგადი წესი ექვივალენტური ტრანსფორმაციების გამოყენებით:
ფორმულის მისაცემად ფ, რომელიც არ არის იდენტური მცდარი, SDNF-სთვის საკმარისია: 1) მიიყვანეთ იგი ზოგიერთ DNF-თან; 2) ამოიღეთ ცვლადის შემცველი დისუნქციის წევრები მის უარყოფასთან ერთად (ასეთის არსებობის შემთხვევაში); 3) ამოიღონ ყველა იდენტური წევრის გარდა ერთისა (ასეთის არსებობის შემთხვევაში); 4) ამოიღეთ ყველა, გარდა ერთისა, თითოეული კავშირის იდენტური წევრის (ასეთის არსებობის შემთხვევაში); 5) თუ რომელიმე კავშირი არ შეიცავს ცვლადს თავდაპირველ ფორმულაში შეტანილი ცვლადების რიცხვიდან, დაამატეთ ტერმინი ამ კავშირში და გამოიყენეთ შესაბამისი გამანაწილებელი კანონი; 6) თუ შედეგად გამოყოფა შეიცავს იგივე ტერმინებს, გამოიყენეთ რეცეპტი 3. შედეგად მიღებული ფორმულა არის ამ ფორმულის SDNF. მაგალითი 2.7:მოდით ვიპოვოთ SDNF და SKNF ფორმულისთვის ვინაიდან ამ ფორმულის DNF უკვე ნაპოვნია (იხ. მაგალითი 2.5), ჩვენ დავიწყებთ SDNF-ის მოპოვებით: 2) მიღებულ დისიუნქციაში არ არის ცვლადები მათ უარყოფასთან ერთად; 3) დისუნქციაში არ არის იდენტური წევრები; 4) არ არსებობს იდენტური ცვლადები არცერთ კავშირში; 5) პირველი ელემენტარული კავშირი შეიცავს ყველა ცვლადს, რომელიც შედის თავდაპირველ ფორმულაში, ხოლო მეორე ელემენტარულ კავშირს აკლია ცვლადი ზმაშ, დავამატოთ მას წევრი და გამოვიყენოთ გამანაწილებელი კანონი:; 6) ადვილი მისახვედრია, რომ იდენტური ტერმინები გაჩნდა დისუნქციაში, ამიტომ ვხსნით ერთს (რეცეპტი 3); 3) ამოიღეთ ერთი და იგივე დისიუნქცია: 4) დარჩენილ პუნქტებში არ არის იდენტური წევრები; 5) არცერთი ელემენტარული დისიუნქცია არ შეიცავს თავდაპირველ ფორმულაში შეტანილ ყველა ცვლადს, ამიტომ თითოეულ მათგანს ვამატებთ კავშირს:; 6) მიღებულ კავშირში არ არის იდენტური დისიუნქციები, შესაბამისად, ნაპოვნი კავშირების ფორმა სრულყოფილია. ვინაიდან მთლიანობაში SKNF და SDNF ფორმულებში ფ 8 წევრი, ისინი, სავარაუდოდ, სწორად არიან ნაპოვნი. თითოეულ შესრულებად (უარმყოფად) ფორმულას აქვს ერთი SDNF და ერთი უნიკალური SKNF. ტავტოლოგიას არ აქვს SKNF, ხოლო წინააღმდეგობას არ აქვს SDNF.8. დავალება.
9. ვადგენთ პრობლემის გადაჭრის ალგორითმს: 5 წთ.
10. ამოცანის ამოხსნა დაფაზე ანალიზით. დანართი 5.10 წთ.
11. გაკვეთილის ინფორმაციის შეჯამება პრეზენტაციების საშუალებით
.
ამიტომ, ამ შემთხვევაში, ეკვივალენტობის ორივე ნაწილს აქვს იგივე ჭეშმარიტი მნიშვნელობები.... ამრიგად, ამ შემთხვევაში, ეკვივალენტობის ორივე ნაწილს აქვს იგივე ლოგიკური მნიშვნელობები.x წ x | y
.
.
.
x f 1 (x)
f 2 (x)
f 3 (x)
f 3 (x)
1
x
წ
ვ 1
ვ 2
ვ 3
ვ 4
ვ 5
ვ 6
ვ 7
ვ 8
ვ 9
ვ 10
ვ 11
ვ 12
ვ 13
ვ 14
ვ 15
ვ 16
NS
1
0
1
0
1
0
ა
ვ
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
ა
ვ
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
ა
ვ
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
; 
- შთანთქმის კანონები
; 
- დე მორგანის კანონები
- კანონი, რომელიც გამოხატავს გავლენას დისიუნიქციის გზით
- კონტრაპოზიციის კანონი
- იმპოტენციის კანონი.
.
.
, სადაც და თითოეული არის ან ცვლადი, ან ცვლადის უარყოფა, ან ცვლადების შეერთება ან მათი უარყოფა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი ფორმულა შეიძლება შემცირდეს მარტივი სტანდარტული ფორმის ეკვივალენტურ ფორმულამდე, რომელიც იქნება ელემენტების განცალკევება, რომელთაგან თითოეული არის ცალკეული განსხვავებული ლოგიკური ცვლადების შეერთება, უარყოფითი ნიშნით ან მის გარეშე.
, სადაც და თითოეული არის ან ცვლადი, ან ცვლადის უარყოფა, ან ცვლადების ან მათი უარყოფა. ამ ფორმას ე.წ შემაერთებელი ნორმალური ფორმა
(CNF).
.
.
;
