Դասախոսություն «Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձևը» թեմայով։ Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական ձևը Ներկայացվում է եռանկյունաչափական ձևով

3.1. Բևեռային կոորդինատներ

Հաճախ օգտագործվում է ինքնաթիռում բևեռային կոորդինատային համակարգ . Այն սահմանվում է, եթե տրված է O կետ, կոչվում է բեւեռ, և բևեռից բխող ճառագայթը (մեզ համար սա առանցքն է Եզ) – բևեռային առանցք: M կետի դիրքը ամրագրված է երկու թվով. շառավիղը (կամ շառավիղի վեկտորը) և φ անկյունը բևեռային առանցքի և վեկտորի միջև:Ֆ անկյունը կոչվում է բևեռային անկյուն; չափվում է ռադիաններով և հաշվվում բևեռային առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ:

Բևեռային կոորդինատային համակարգում կետի դիրքը տրվում է դասավորված թվերի զույգով (r; φ): Բևեռում r = 0,իսկ φ սահմանված չէ։ Մնացած բոլոր կետերի համար r > 0,և φ սահմանվում է մինչև 2π-ի բազմապատիկ տերմինը: Այս դեպքում թվերի զույգերը (r; φ) և (r 1; φ 1) կապված են նույն կետի հետ, եթե .

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի համար xOyկետի դեկարտյան կոորդինատները հեշտությամբ արտահայտվում են դրա միջոցով բևեռային կոորդինատներհետևյալ կերպ.

3.2. Երկրաչափական մեկնաբանությունհամալիր համարը

Դիտարկենք հարթության վրա դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ xOy.

Ցանկացած կոմպլեքս թիվ z=(a, b) կապված է հարթության մի կետի հետ կոորդինատներով ( x, y), որտեղ կոորդինատ x = a, այսինքն. կոմպլեքս թվի իրական մասը, իսկ y = bi կոորդինատը երևակայական մասն է:

Այն հարթությունը, որի կետերը բարդ թվեր են, բարդ հարթություն է:

Նկարում՝ կոմպլեքս թիվ z = (a, b)համապատասխանում է կետին M(x, y).

Զորավարժություններ.Կոմպլեքս թվեր գծե՛ք կոորդինատային հարթության վրա.

3.3. Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

Հարթության վրա կոմպլեքս թիվն ունի կետի կոորդինատներ M(x;y). Որտեղ:

Կոմպլեքս թվի գրելը - կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձև.

կոչվում է r թիվը մոդուլ համալիր համարը զև նշանակված է. Մոդուլը ոչ բացասական իրական թիվ է: Համար .

Մոդուլը զրո է, եթե և միայն եթե z = 0, այսինքն. a = b = 0.

Ֆ թիվը կոչվում է փաստարկ z և նշանակված է. Z արգումենտը սահմանվում է երկիմաստորեն, ինչպես բևեռային անկյունը բևեռային կոորդինատային համակարգում, մասնավորապես մինչև տերմինը, որը 2π-ի բազմապատիկ է:

Այնուհետև մենք ընդունում ենք՝ , որտեղ φ փաստարկի ամենափոքր արժեքն է։ Ակնհայտ է, որ

.

Թեման ավելի խորը ուսումնասիրելիս ներմուծվում է օժանդակ փաստարկ φ*, այնպիսին, որ

Օրինակ 1. Գտե՛ք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը:

Լուծում. 1) հաշվի առեք մոդուլը.

2) փնտրում է φ: ;

3) եռանկյունաչափական ձև.

Օրինակ 2.Գտե՛ք բարդ թվի հանրահաշվական ձևը .

Այստեղ բավական է փոխարինել արժեքները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներև փոխակերպել արտահայտությունը.

Օրինակ 3.Գտե՛ք բարդ թվի մոդուլը և արգումենտը;

1) ;

2) ; φ – 4 եռամսյակում.

3.4. Գործողություններ բարդ թվերի հետ եռանկյունաչափական ձևով

· Գումարում և հանումավելի հարմար է կատարել կոմպլեքս թվերով հանրահաշվական ձև:

· Բազմապատկում– պարզ եռանկյունաչափական փոխակերպումների միջոցով կարելի է ցույց տալ, որ Բազմապատկելիս թվերի մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում են. ;

2.3. Եռանկյունաչափական ձև կոմպլեքս թվեր

Թող վեկտորը նշված լինի բարդ հարթության վրա թվով:

Ֆ-ով նշենք դրական կիսաառանցքի Ox-ի և վեկտորի անկյունը (ֆ անկյունը համարվում է դրական, եթե այն չափվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ հակառակ դեպքում՝ բացասական):

Վեկտորի երկարությունը նշանակենք r-ով։ Հետո . Նշում ենք նաև

Ոչ զրոյական կոմպլեքս z թիվը ձևով գրելը

կոչվում է z բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև։ r թիվը կոչվում է z կոմպլեքս թվի մոդուլ, իսկ φ թիվը՝ այս բարդ թվի արգումենտ և նշանակվում է Արգ z-ով։

Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական ձև - (Էյլերի բանաձև) - բարդ թիվ գրելու էքսպոնենցիալ ձև.

Կոմպլեքս z թիվը ունի անսահման շատ արգումենտներ. եթե φ0-ը z թվի որևէ արգումենտ է, ապա մնացած բոլորը կարելի է գտնել բանաձևի միջոցով:

Կոմպլեքս թվի համար արգումենտը և եռանկյունաչափական ձևը սահմանված չեն:

Այսպիսով, ոչ զրոյական բարդ թվի փաստարկը հավասարումների համակարգի ցանկացած լուծում է.

(3)

Z կոմպլեքս թվի փաստարկի φ արժեքը, որը բավարարում է անհավասարությունները, կոչվում է հիմնական արժեք և նշանակվում է arg z-ով։

Arg z և arg z արգումենտները կապված են ըստ

, (4)

Բանաձևը (5) (3) համակարգի հետևանք է, հետևաբար բարդ թվի բոլոր փաստարկները բավարարում են հավասարությունը (5), բայց (5) հավասարման ոչ բոլոր φ լուծումներն են z թվի արգումենտներ։

Ոչ զրոյական կոմպլեքս թվի փաստարկի հիմնական արժեքը հայտնաբերվում է ըստ բանաձևերի.

Կոմպլեքս թվերը եռանկյունաչափական ձևով բազմապատկելու և բաժանելու բանաձևերը հետևյալն են.

. (7)

Կոմպլեքս թիվը բնական հզորության բարձրացնելիս օգտագործվում է Moivre բանաձևը.

Բարդ թվի արմատը հանելիս օգտագործվում է բանաձևը.

, (9)

որտեղ k=0, 1, 2, …, n-1:

Խնդիր 54. Հաշվիր որտեղ .

Եկեք պատկերացնենք այս արտահայտության լուծումը ցուցադրական ձևգրելով բարդ թիվ.

Եթե, ապա.

Հետո, . Հետեւաբար, ուրեմն Եվ , Որտեղ.

Պատասխան. , ժամը .

Խնդիր 55. Կոմպլեքս թվերը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով.

Ա) ; բ) ; V) ; G) ; դ) ; ե) ; և) .

Քանի որ բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը հետևյալն է.

ա) կոմպլեքս թվով.

,

Ահա թե ինչու

բ) , Որտեղ ,

G) , Որտեղ ,

ե) .

և) , Ա , Դա .

Ահա թե ինչու

Պատասխան. ; 4; ; ; ; ; .

Խնդիր 56. Գտե՛ք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը

.

Թող, .

Հետո, , .

Քանի որ և , , ապա , եւ

Հետևաբար, հետևաբար

Պատասխան. , Որտեղ.

Խնդիր 57. Օգտագործելով կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձևը՝ կատարե՛ք հետևյալ գործողությունները.

Պատկերացնենք թվերը և եռանկյունաչափական ձևով.

1), որտեղ Հետո

Գտեք հիմնական փաստարկի արժեքը.

Փոխարինենք արժեքները և արտահայտության մեջ մենք ստանում ենք

2) , որտեղ ապա

Հետո

3) Գտնենք գործակիցը

Ենթադրելով k=0, 1, 2, մենք ստանում ենք ցանկալի արմատի երեք տարբեր արժեքներ.

Եթե, ապա

Եթե, ապա

Եթե, ապա .

Պատասխան՝ :

:

: .

Խնդիր 58. Թողեք , , , տարբեր կոմպլեքս թվեր և . Ապացուցեք դա

թիվ վավեր է դրական թիվ;

բ) հավասարությունը գործում է.

ա) Ներկայացնենք այս բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով.

Որովհետեւ .

Եկեք ձևացնենք, որ. Հետո

.

Վերջին արտահայտությունը դրական թիվ է, քանի որ սինուսային նշանները պարունակում են թվեր միջակայքից:

համարից սկսած իրական և դրական: Իսկապես, եթե a-ն և b-ը բարդ թվեր են և իրական են և մեծ են զրոյից, ապա .

Բացի այդ,

հետեւաբար ապացուցված է պահանջվող հավասարությունը։

Խնդիր 59. Թիվը գրի՛ր հանրահաշվական տեսքով .

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական ձևով և հետո գտնենք նրա հանրահաշվական ձևը: Մենք ունենք . Համար մենք ստանում ենք համակարգը.

Սա ենթադրում է հավասարություն. .

Կիրառելով Moivre-ի բանաձևը.

մենք ստանում ենք

Գտնված է տրված թվի եռանկյունաչափական ձևը։

Այժմ այս թիվը գրենք հանրահաշվական ձևով.

.

Պատասխան. .

Խնդիր 60. Գտե՛ք գումարը , ,

Դիտարկենք գումարը

Կիրառելով Moivre-ի բանաձեւը՝ մենք գտնում ենք

Այս գումարը n տերմինների գումարն է երկրաչափական առաջընթացհայտարարով և առաջին անդամը .

Կիրառելով նման առաջընթացի պայմանների գումարի բանաձևը, մենք ունենք

Վերջին արտահայտության մեջ առանձնացնելով երևակայական մասը՝ գտնում ենք

Մեկուսացնելով իրական մասը՝ ստանում ենք նաև հետևյալ բանաձևը՝ , , .

Խնդիր 61. Գտե՛ք գումարը.

Ա) ; բ) .

Ըստ Նյուտոնի հզորացման բանաձևի՝ ունենք

Օգտագործելով Moivre-ի բանաձևը, մենք գտնում ենք.

Հավասարեցնելով ստացված արտահայտությունների իրական և երևակայական մասերը , մենք ունենք.

Եվ .

Այս բանաձևերը կարելի է կոմպակտ ձևով գրել հետևյալ կերպ.

,

, որտեղ է a թվի ամբողջ մասը։

Խնդիր 62. Գտի՛ր բոլորը, որոնց համար .

Քանի որ , ապա՝ օգտագործելով բանաձեւը

, Արմատները հանելու համար մենք ստանում ենք ,

Հետևաբար, , ,

, .

Թվերին համապատասխան կետերը գտնվում են 2 շառավղով շրջանագծի մեջ ներգծված քառակուսու գագաթներում, որի կենտրոնը գտնվում է (0;0) կետում (նկ. 30):

Պատասխան. , ,

, .

Խնդիր 63. Լուծե՛ք հավասարումը , .

Ըստ պայմանի; Ահա թե ինչու տրված հավասարումըչունի արմատ, և հետևաբար այն համարժեք է հավասարմանը:

Որպեսզի z թիվը լինի տրված հավասարման արմատը, թիվը պետք է լինի արմատը n-րդ աստիճանթիվ 1-ից.

Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ սկզբնական հավասարումը ունի հավասարություններից որոշված ​​արմատներ

,

Այսպիսով,

,

այսինքն. ,

Պատասխան. .

Խնդիր 64. Լուծե՛ք բարդ թվերի բազմության հավասարումը:

Քանի որ թիվը այս հավասարման արմատը չէ, ուրեմն այս հավասարման համար համարժեք է հավասարմանը.

Այսինքն՝ հավասարումը։

Այս հավասարման բոլոր արմատները ստացվում են բանաձևից (տես խնդիրը 62).

; ; ; ; .

Խնդիր 65. Կոմպլեքս հարթության վրա գծե՛ք անհավասարությունները բավարարող կետերի բազմություն. . (45-րդ խնդրի լուծման 2-րդ եղանակ)

Թող .

Նույնական մոդուլներ ունեցող բարդ թվերը համապատասխանում են հարթության կետերին, որոնք ընկած են սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի վրա, հետևաբար անհավասարությունը բավարարել բաց օղակի բոլոր կետերը, որոնք սահմանափակված են սկզբնամասում ընդհանուր կենտրոնով և շառավղով շրջաններով և (նկ. 31): Թող բարդ հարթության ինչ-որ կետ համապատասխանի w0 թվին: Թիվ , ունի մի քանի անգամ փոքր մոդուլ, քան w0, արգումենտ, on մոդուլը ավելի մեծ փաստարկ w0. Երկրաչափական տեսակետից w1-ին համապատասխան կետը կարելի է ստանալ սկզբնամասում կենտրոնով և գործակից ունեցող հոմոթետի միջոցով, ինչպես նաև սկզբնակետի նկատմամբ պտույտ՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ հակառակ անկյան միջոցով։ Այս երկու փոխակերպումները օղակի կետերում կիրառելու արդյունքում (նկ. 31) վերջինս կվերածվի օղակի, որը սահմանափակված է նույն կենտրոնով և 1 և 2 շառավղով շրջաններով (նկ. 32):

Փոխակերպում իրականացվում է վեկտորին զուգահեռ փոխանցման միջոցով: Կենտրոնով օղակը տեղափոխելով նշված վեկտորին՝ ստանում ենք նույն չափի օղակ, որի կենտրոնը գտնվում է կետում (նկ. 22):

Առաջարկվող մեթոդը, որն օգտագործում է ինքնաթիռի երկրաչափական վերափոխումների գաղափարը, հավանաբար ավելի քիչ հարմար է նկարագրելու համար, բայց շատ էլեգանտ է և արդյունավետ:

Խնդիր 66. Գտե՛ք, եթե .

Թող , ապա եւ . Սկզբնական հավասարությունը կընդունի ձևը . Երկու կոմպլեքս թվերի հավասարության պայմանից ստանում ենք , , որից , . Այսպիսով, .

Եկեք z թիվը գրենք եռանկյունաչափական ձևով.

, Որտեղ , . Ըստ Moivre-ի բանաձևի, մենք գտնում ենք.

Պատասխան՝ 64.

Խնդիր 67. Կոմպլեքս թվի համար գտե՛ք բոլոր բարդ թվերը, որ , և .

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական ձևով.

. Այստեղից, . Մեր ստացած թվի համար կարող է հավասար լինել կամ .

Առաջին դեպքում , երկրորդում

.

Պատասխան., .

Խնդիր 68. Գտե՛ք այնպիսի թվերի գումարը, որ . Խնդրում ենք նշել այս թվերից մեկը։

Նկատի ունեցեք, որ խնդրի հենց ձևակերպումից կարելի է հասկանալ, որ հավասարման արմատների գումարը կարելի է գտնել առանց իրենց արմատները հաշվարկելու: Իրոք, հավասարման արմատների գումարը -ի գործակիցն է, վերցված հակառակ նշանով (ընդհանրացված Վիետայի թեորեմ), այսինքն.

Սովորողներ, դպրոցական փաստաթղթեր, եզրակացություններ արեք յուրացման աստիճանի վերաբերյալ այս հայեցակարգը. Ամփոփեք մաթեմատիկական մտածողության առանձնահատկությունների ուսումնասիրությունը և բարդ թվի հասկացության ձևավորման գործընթացը: Մեթոդների նկարագրություն. Ախտորոշում. I փուլ. Զրույցը վարվեց մաթեմատիկայի ուսուցչի հետ, ով դասավանդում է 10-րդ դասարանում հանրահաշիվ և երկրաչափություն։ Զրույցը կայացել է սկզբից որոշ ժամանակ անց...

ռեզոնանս» (!)), որը ներառում է նաև գնահատական սեփական վարքագիծը. 4. Քննադատաբար գնահատելով իրավիճակի ձեր ըմբռնումը (կասկածները): 5. Ի վերջո, իրավական հոգեբանության առաջարկությունների օգտագործումը (փաստաբանը հաշվի է առնում կատարված մասնագիտական ​​գործողությունների հոգեբանական ասպեկտները՝ մասնագիտական ​​հոգեբանական պատրաստվածություն): Այժմ դիտարկենք իրավական փաստերի հոգեբանական վերլուծությունը: ...

Եռանկյունաչափական փոխարինման մաթեմատիկա և մշակված դասավանդման մեթոդիկայի արդյունավետության ստուգում. Աշխատանքի փուլերը՝ 1. «Եռանկյունաչափական փոխարինման կիրառում հանրահաշվական խնդիրների լուծման համար» թեմայով ընտրովի դասընթացի մշակում խորացված մաթեմատիկայի դասարանների սովորողների հետ: 2. Մշակված ընտրովի դասընթացի անցկացում. 3. Ախտորոշիչ հետազոտություն իրականացնելու...

Ճանաչողական առաջադրանքները նախատեսված են միայն լրացնելու առկա ուսումնական միջոցները և պետք է համապատասխան համակցված լինեն բոլոր ավանդական միջոցների և տարրերի հետ։ ուսումնական գործընթաց. Ուսուցման նպատակների տարբերությունը ուսուցման մեջ հումանիտար գիտություններճշգրիտ, մաթեմատիկական խնդիրներից միայն այն է, որ պատմական խնդիրներում չկան բանաձևեր, խիստ ալգորիթմներ և այլն, ինչը բարդացնում է դրանց լուծումը։ ...

ՀԱՄԱԼԻՐ ԹՎԵՐ XI

§ 256. Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական ձևը

Թող կոմպլեքս թիվը a + bi համապատասխան վեկտոր Օ.Ա.> կոորդինատներով ( ա, բ ) (տես նկ. 332):

Նշենք այս վեկտորի երկարությունը ըստ r , և անկյունը, որը կազմում է առանցքի հետ X , միջոցով φ . Սինուսի և կոսինուսի սահմանմամբ.

ա / r =cos φ , բ / r = մեղք φ .

Ահա թե ինչու Ա = r cos φ , բ = r մեղք φ . Բայց այս դեպքում կոմպլեքս թիվը a + bi կարելի է գրել այսպես.

a + bi = r cos φ + ir մեղք φ = r (cos φ + ես մեղք φ ).

Ինչպես գիտեք, ցանկացած վեկտորի երկարության քառակուսին հավասար է նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարին: Ահա թե ինչու r 2 = ա 2 + բ 2, որտեղից r = √ ա 2 + բ 2

Այսպիսով, ցանկացած բարդ թիվ ա + բի կարող է ներկայացվել ձևով :

a + bi = r (cos φ + ես մեղք φ ), (1)

որտեղ r = √ ա 2 + բ 2 և անկյունը φ որոշվում է պայմանից.

Բարդ թվեր գրելու այս ձևը կոչվում է եռանկյունաչափական.

Թիվ r բանաձևում (1) կոչվում է մոդուլ, և անկյունը φ - փաստարկ, կոմպլեքս թիվ ա + բի .

Եթե ​​բարդ թիվ ա + բի հավասար չէ զրոյի, ապա դրա մոդուլը դրական է. եթե ա + բի = 0, ապա ա = բ = 0 և հետո r = 0.

Ցանկացած բարդ թվի մոդուլը եզակիորեն որոշվում է:

Եթե ​​բարդ թիվ ա + բի հավասար չէ զրոյի, ապա դրա արգումենտը որոշվում է բանաձևերով (2) հաստատճշգրիտ անկյան վրա, որը բաժանվում է 2-ի π . Եթե ա + բի = 0, ապա ա = բ = 0. Այս դեպքում r = 0. Բանաձևից (1) հեշտ է հասկանալ, որ որպես փաստարկ φ այս դեպքում կարող եք ընտրել ցանկացած անկյուն՝ ի վերջո ցանկացածի համար φ

0 (cos φ + ես մեղք φ ) = 0.

Հետևաբար, զրոյական արգումենտն անորոշ է:

Կոմպլեքս թվի մոդուլ r երբեմն նշվում է | զ |, իսկ փաստարկը արգ զ . Դիտարկենք բարդ թվերը եռանկյունաչափական ձևով ներկայացնելու մի քանի օրինակ:

Օրինակ. 1. 1 + ես .

Եկեք գտնենք մոդուլը r և փաստարկ φ այս թիվը.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ուստի մեղք φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, որտեղից φ = π / 4 + 2nπ .

Այսպիսով,

1 + ես = √ 2 ,

Որտեղ Պ - ցանկացած ամբողջ թիվ: Սովորաբար, կոմպլեքս թվի արգումենտի արժեքների անսահման շարքից ընտրվում է մեկը, որը գտնվում է 0-ից 2-ի միջև: π . Այս դեպքում այս արժեքն է π / 4 . Ահա թե ինչու

1 + ես = √ 2 (cos π / 4 + ես մեղք π / 4)

Օրինակ 2.Գրի՛ր կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական տեսքով √ 3 - ես . Մենք ունենք:

r = √ 3 + 1 = 2, կոթ φ = √ 3 / 2, մեղք φ = - 1 / 2

Հետևաբար, մինչև 2-ի բաժանվող անկյունը π , φ = 11 / 6 π ; հետևաբար,

√ 3 - ես = 2 (cos 11 / 6 π + ես մեղք 11/6 π ).

Օրինակ 3Գրի՛ր կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական տեսքով ես.

Կոմպլեքս համարը ես համապատասխան վեկտոր Օ.Ա.> , ավարտվում է առանցքի A կետում ժամը 1-ին օրդինատով (նկ. 333): Նման վեկտորի երկարությունը 1 է, իսկ x առանցքի հետ կազմած անկյունը հավասար է π / 2. Ահա թե ինչու

ես =cos π / 2 + ես մեղք π / 2 .

Օրինակ 4. 3 կոմպլեքս թիվը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով:

3 կոմպլեքս թիվը համապատասխանում է վեկտորին Օ.Ա. > X abscissa 3 (նկ. 334):

Նման վեկտորի երկարությունը 3 է, իսկ x առանցքի հետ նրա կազմած անկյունը՝ 0։ Հետևաբար

3 = 3 (cos 0 + ես մեղք 0),

Օրինակ 5.-5 կոմպլեքս թիվը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով:

-5 կոմպլեքս թիվը համապատասխանում է վեկտորի Օ.Ա.> ավարտվում է առանցքի կետով X աբսցիսով -5 (նկ. 335): Նման վեկտորի երկարությունը 5 է, իսկ x առանցքի հետ նրա կազմած անկյունը հավասար է π . Ահա թե ինչու

5 = 5 (cos π + ես մեղք π ).

Զորավարժություններ

2047. Այս կոմպլեքս թվերը գրի՛ր եռանկյունաչափական ձևով՝ սահմանելով դրանց մոդուլներն ու արգումենտները.

1) 2 + 2√3 ես , 4) 12ես - 5; 7).3ես ;

2) √3 + ես ; 5) 25; 8) -2ես ;

3) 6 - 6ես ; 6) - 4; 9) 3ես - 4.

2048. Հարթության վրա նշել բարդ թվեր ներկայացնող կետերի մի շարք, որոնց մոդուլները r և φ արգումենտները բավարարում են պայմանները.

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Կարո՞ղ են թվերը միաժամանակ լինել բարդ թվի մոդուլ: r Եվ - r ?

2050. Կոմպլեքս թվի փաստարկը կարո՞ղ է միաժամանակ լինել անկյուններ: φ Եվ - φ ?

Ներկայացրե՛ք այս բարդ թվերը եռանկյունաչափական ձևով՝ սահմանելով դրանց մոդուլներն ու փաստարկները.

2051*. 1 + cos α + ես մեղք α . 2054*. 2 (20° - ես մեղք 20°):

2052*։ մեղք φ + ես cos φ . 2055*։ 3 (- cos 15° - ես մեղք 15°):

Դասախոսություն

Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

Պլանավորել

1. Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը.

2. Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական նշում.

3. Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա եռանկյունաչափական տեսքով:

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը:

ա) Կոմպլեքս թվերը ներկայացված են հարթության վրա գտնվող կետերով՝ համաձայն հետևյալ կանոնի. ա + երկ = Մ ( ա ; բ ) (նկ. 1):

Նկար 1

բ) Կոմպլեքս թիվը կարող է ներկայացվել վեկտորով, որը սկսվում է կետիցՄԱՍԻՆ և վերջը տվյալ կետում (նկ. 2):

Նկար 2

Օրինակ 7. Կառուցեք բարդ թվեր ներկայացնող կետեր.1; - ես ; - 1 + ես ; 2 – 3 ես (նկ. 3):

Նկար 3

Բարդ թվերի եռանկյունաչափական նշում.

Կոմպլեքս համարըզ = ա + երկ կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով շառավիղի վեկտորը կոորդինատներով( ա ; բ ) (նկ. 4):

Նկար 4

Սահմանում . Վեկտորի երկարությունը , որը ներկայացնում է բարդ թիվզ , կոչվում է այս թվի մոդուլ և նշվում կամr .

Ցանկացած բարդ թվի համարզ դրա մոդուլըr = | զ | որոշվում է եզակի բանաձևով .

Սահմանում . Իրական առանցքի դրական ուղղության և վեկտորի միջև անկյան մեծությունը , որը ներկայացնում է բարդ թիվ, կոչվում է այս բարդ թվի արգումենտ և նշվումԱ rg զ կամφ .

Համալիր թվի փաստարկզ = 0 անորոշ. Համալիր թվի փաստարկզ≠ 0 - բազմարժեք մեծություն և որոշվում է ժամկետում2 πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Արգ զ = արգ զ + 2 πk , Որտեղարգ զ – միջակայքում պարունակվող փաստարկի հիմնական արժեքը(-π; π] , այն է-π < արգ զ ≤ π (երբեմն ինտերվալին պատկանող արժեքը վերցվում է որպես փաստարկի հիմնական արժեք .

Այս բանաձեւը, երբr =1 հաճախ կոչվում է Moivre-ի բանաձևը.

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Օրինակ 11. Հաշվել(1 + ես ) 100 .

Գրենք բարդ թիվ1 + ես եռանկյունաչափական ձևով.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ես մեղք եմ գործում )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ես մեղք եմ գործում ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Կոմպլեքս թվի քառակուսի արմատ հանելը.

Բարդ թվի քառակուսի արմատ վերցնելիսա + երկ ունենք երկու դեպք.

Եթեբ >օ , Դա ;