Հեքիաթներ

Տրված են եռանկյան բարձրությունների հավասարումները։ Ինչպե՞ս սովորել լուծել խնդիրներ վերլուծական երկրաչափության մեջ: Ինքնաթիռի վրա եռանկյունու տիպիկ խնդիր

1 - 20 խնդիրներում տրված են ABC եռանկյան գագաթները։
Գտե՛ք՝ 1) AB կողմի երկարությունը. 2) AB և AC կողմերի հավասարումները և դրանց անկյունային գործակիցները. 3) ներքին A անկյունը ռադիաններով 0,01 ճշտությամբ. 4) CD-ի բարձրության և դրա երկարության հավասարումը. 5) շրջանագծի հավասարումը, որի բարձրությունը CD տրամագիծն է. 6) ABC եռանկյունը սահմանող գծային անհավասարությունների համակարգ.

Եռանկյան կողմերի երկարությունը.
|ԱԲ| = 15
|AC| = 11.18
|մ.թ.ա.| = 14.14
d հեռավորությունը M կետից՝ d = 10
Տրված են եռանկյան գագաթների կոորդինատները՝ A(-5,2), B(7,-7), C(5,7):
2) Եռանկյան կողմերի երկարությունը
M 1 (x 1 ; y 1) և M 2 (x 2 ; y 2) կետերի միջև հեռավորությունը d որոշվում է բանաձևով.

8) գծի հավասարում
A 1 (x 1 ; y 1) և A 2 (x 2 ; y 2) կետերով անցնող ուղիղ գիծը ներկայացված է հետևյալ հավասարումներով.

AB տողի հավասարումը

կամ

կամ
y = -3 / 4 x -7 / 4 կամ 4y + 3x +7 = 0
AC գծի հավասարումը
Գծի կանոնական հավասարում.

կամ

կամ
y = 1 / 2 x + 9 / 2 կամ 2y -x - 9 = 0
Ք.ա. ուղղի հավասարումը
Գծի կանոնական հավասարում.

կամ

կամ
y = -7x + 42 կամ y + 7x - 42 = 0
3) Անկյուն ուղիղ գծերի միջև
Ուղիղ AB:y = -3 / 4 x -7 / 4 հավասարումը
Գծային հավասարումը AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Երկու ուղիղ գծերի միջև φ անկյունը, որը տրված է y = k 1 x + b 1 և y 2 = k 2 x + b 2 անկյունային գործակիցներով հավասարումներով, հաշվարկվում է բանաձևով.

Այս գծերի թեքությունները -3/4 և 1/2 են։ Եկեք օգտագործենք բանաձևը և վերցնենք դրա աջ կողմի մոդուլը.

tg φ = 2
φ = արկտան (2) = 63,44 0 կամ 1,107 ռադ:
9) Բարձրության հավասարումը C գագաթով
N 0 (x 0 ;y 0) կետով անցնող և Ax + By + C = 0 ուղիղին ուղղահայաց ուղիղ գիծն ունի ուղղության վեկտոր (A;B) և, հետևաբար, ներկայացված է հավասարումներով.

Այս հավասարումը կարելի է գտնել այլ կերպ. Դա անելու համար եկեք գտնենք AB ուղիղ գծի k 1 թեքությունը:
AB հավասարումը. y = -3 / 4 x -7 / 4, այսինքն. k 1 = -3 / 4
Երկու ուղիղների ուղղահայացության պայմանից գտնենք ուղղահայաց k գործակիցը՝ k 1 *k = -1։
Փոխարինելով այս գծի թեքությունը k 1-ի փոխարեն՝ ստանում ենք.
-3 / 4 k = -1, որտեղից k = 4 / 3
Քանի որ ուղղահայացն անցնում է C(5,7) կետով և ունի k = 4 / 3, մենք դրա հավասարումը կփնտրենք ձևով՝ y-y 0 = k(x-x 0):
Փոխարինելով x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 մենք ստանում ենք.
y-7 = 4 / 3 (x-5)
կամ
y = 4 / 3 x + 1 / 3 կամ 3y -4x - 1 = 0
Գտնենք AB ուղիղի հետ հատման կետը.
Մենք ունենք երկու հավասարումների համակարգ.
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Առաջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք y և այն փոխարինում երկրորդ հավասարմամբ:
Մենք ստանում ենք.
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) C գագաթից գծված եռանկյան բարձրության երկարությունը
D հեռավորությունը M 1 (x 1 ;y 1) կետից մինչև Ax + By + C = 0 ուղիղ գիծը հավասար է մեծության բացարձակ արժեքին.

Գտեք C(5;7) կետի և AB տողի միջև հեռավորությունը (4y + 3x +7 = 0)

Բարձրության երկարությունը կարելի է հաշվարկել մեկ այլ բանաձևի միջոցով՝ որպես C(5;7) և D(-1;-1) կետի միջև հեռավորությունը:
Երկու կետերի միջև հեռավորությունը կոորդինատներով արտահայտվում է բանաձևով.

5) շրջանագծի հավասարումը, որի բարձրությունը CD տրամագիծն է.
E(a;b) կետում կենտրոն ունեցող R շառավղով շրջանագծի հավասարումը ունի ձև.
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Քանի որ CD-ն ցանկալի շրջանագծի տրամագիծն է, նրա E կենտրոնը CD հատվածի միջնակետն է: Օգտագործելով հատվածը կիսով չափ բաժանելու բանաձևերը՝ ստանում ենք.

Հետևաբար, E(2;3) և R = CD / 2 = 5: Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք ցանկալի շրջանագծի հավասարումը. (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25:

6) ABC եռանկյունը սահմանող գծային անհավասարությունների համակարգ.
AB տողի հավասարումը` y = -3 / 4 x -7 / 4
AC տողի հավասարումը` y = 1 / 2 x + 9 / 2
BC տողի հավասարումը` y = -7x + 42

Ինչպե՞ս սովորել լուծել խնդիրներ վերլուծական երկրաչափության մեջ:
Ինքնաթիռի վրա եռանկյունու տիպիկ խնդիր

Այս դասը ստեղծվել է հարթության երկրաչափության և տարածության երկրաչափության միջև հասարակածին մոտեցման վերաբերյալ: Այս պահին անհրաժեշտություն կա համակարգել կուտակված տեղեկատվությունը և պատասխանել մի շատ կարևոր հարցի. Ինչպե՞ս սովորել լուծել վերլուծական երկրաչափության խնդիրները:Դժվարությունն այն է, որ դուք կարող եք անսահման թվով խնդիրներ առաջացնել երկրաչափության մեջ, և ոչ մի դասագիրք չի պարունակի օրինակների ամբողջ բազմությունն ու բազմազանությունը: Չէ ֆունկցիայի ածանցյալտարբերակման հինգ կանոններով, աղյուսակով և մի քանի տեխնիկայով…

Կա լուծում! Ես բարձրաձայն չեմ խոսի այն մասին, որ ես մշակել եմ ինչ-որ վիթխարի տեխնիկա, այնուամենայնիվ, իմ կարծիքով, կա արդյունավետ մոտեցում դիտարկվող խնդրին, որը թույլ է տալիս նույնիսկ ամբողջական կեղծամին հասնել լավ և գերազանց արդյունքների: Գոնե իմ գլխում շատ հստակ ձևավորվեց երկրաչափական խնդիրների լուծման ընդհանուր ալգորիթմը։

ԻՆՉ ՊԵՏՔ Է ԻՄԱՆԱԼ ԵՎ ԿԱՐՈՂԱՆՔ ԱՆԵԼ
երկրաչափության խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար։

Սրանից փախուստ չկա. որպեսզի պատահականորեն կոճակները քթով չխոթեք, դուք պետք է տիրապետեք վերլուծական երկրաչափության հիմունքներին: Հետևաբար, եթե նոր եք սկսել ուսումնասիրել երկրաչափությունը կամ ամբողջովին մոռացել եք այն, խնդրում ենք սկսել դասից. Վեկտորներ կեղծամների համար. Բացի վեկտորներից և դրանց հետ գործողություններից, դուք պետք է իմանաք հարթության երկրաչափության հիմնական հասկացությունները, մասնավորապես. հարթության մեջ գծի հավասարումըԵվ . Տարածության երկրաչափությունը ներկայացված է հոդվածներում Հարթության հավասարում, Տիեզերքում գծի հավասարումներ, Հիմնական խնդիրներ ուղիղ գծի և հարթության վրա և մի քանի այլ դասեր. Երկրորդ կարգի կոր գծերն ու տարածական մակերեսները որոշ չափով իրարից հեռու են, և դրանց հետ կապված այնքան էլ առանձնահատուկ խնդիրներ չկան։

Ենթադրենք, որ ուսանողն արդեն ունի տարրական գիտելիքներ և հմտություններ վերլուծական երկրաչափության ամենապարզ խնդիրները լուծելու համար։ Բայց դա տեղի է ունենում այսպես՝ կարդում ես խնդրի դրույթը, և... ուզում ես ընդհանրապես փակել այն, նետել այն հեռավոր անկյունն ու մոռանալ, ինչպես վատ երազ։ Ավելին, սա սկզբունքորեն կախված չէ ձեր որակավորումների մակարդակից, ես ինքս ժամանակ առ ժամանակ հանդիպում եմ այնպիսի խնդիրների, որոնց լուծումն ակնհայտ չէ. Ի՞նչ անել նման դեպքերում: Պետք չէ վախենալ մի առաջադրանքից, որը դուք չեք հասկանում:

Նախ, պետք է տեղադրվի - Սա «հարթ» կամ տարածական խնդիր է:Օրինակ, եթե պայմանը ներառում է երկու կոորդինատներով վեկտորներ, ապա, իհարկե, սա հարթության երկրաչափությունն է։ Իսկ եթե ուսուցիչը երախտապարտ ունկնդրին բարձել է բուրգով, ապա ակնհայտորեն կա տարածության երկրաչափությունը։ Առաջին քայլի արդյունքներն արդեն բավականին լավ են, քանի որ մեզ հաջողվեց կտրել հսկայական քանակությամբ տեղեկատվություն, որն անհրաժեշտ չէ այս առաջադրանքի համար:

Երկրորդ. Այս պայմանը սովորաբար ձեզ կվերաբերի ինչ-որ երկրաչափական պատկերով: Իսկապես, քայլիր հայրենի համալսարանի միջանցքներով, և կտեսնես շատ մտահոգ դեմքեր։

«հարթ» խնդիրներում, էլ չեմ խոսում ակնհայտ կետերի ու գծերի մասին, ամենահայտնի գործիչը եռանկյունին է։ Մենք այն շատ մանրամասն կվերլուծենք։ Հաջորդը գալիս է զուգահեռագիծը, և շատ ավելի քիչ տարածված են ուղղանկյունը, քառակուսին, ռոմբուսը, շրջանագիծը և այլ ձևեր:

Տարածական խնդիրների դեպքում կարող են թռչել նույն հարթ ֆիգուրները + իրենք՝ ինքնաթիռները և զուգահեռ եռանկյունաձև բուրգերը։

Հարց երկրորդ - Դուք ամեն ինչ գիտե՞ք այս գործչի մասին:Ենթադրենք, պայմանը խոսում է հավասարաչափ եռանկյունու մասին, և դուք շատ աղոտ հիշում եք, թե ինչպիսի եռանկյունի է դա: Բացում ենք դպրոցական դասագիրք և կարդում հավասարաչափ եռանկյունու մասին: Ի՞նչ անել... բժիշկն ասաց ռոմբուս, դա նշանակում է ռոմբուս: Անալիտիկ երկրաչափությունը անալիտիկ երկրաչափություն է, բայց խնդիրը կլուծվի հենց պատկերների երկրաչափական հատկություններով, մեզ հայտնի է դպրոցական ծրագրից։ Եթե չգիտեք, թե որքան է եռանկյան անկյունների գումարը, կարող եք երկար տառապել:

Երրորդ. ՄԻՇՏ փորձեք հետևել գծագրությանը(սևագրի/ավարտի պատճենի վրա/մտավոր), նույնիսկ եթե դա չի պահանջվում պայմանով: «Տափակ» խնդիրներում Էվկլիդեսն ինքը հրամայեց վերցնել քանոն և մատիտ, և ոչ միայն պայմանը հասկանալու համար, այլ նաև ինքնաստուգման նպատակով: Այս դեպքում ամենահարմար սանդղակը 1 միավոր = 1 սմ է (2 նոթատետրի բջիջ): Չխոսենք անզգույշ ուսանողների ու մաթեմատիկոսների մասին, որոնք պտտվում են իրենց գերեզմաններում՝ նման խնդիրներում սխալվելը գրեթե անհնար է։ Տարածական առաջադրանքների համար մենք կատարում ենք սխեմատիկ գծագրություն, որը կօգնի նաև վերլուծել վիճակը։

Գծանկարը կամ սխեմատիկ գծագիրը հաճախ թույլ է տալիս անմիջապես տեսնել խնդրի լուծման ճանապարհը: Իհարկե, դրա համար անհրաժեշտ է իմանալ երկրաչափության հիմքը և հասկանալ երկրաչափական ձևերի հատկությունները (տես նախորդ պարբերությունը):

Չորրորդ. Լուծման ալգորիթմի մշակում. Երկրաչափության շատ խնդիրներ բազմաքայլ են, ուստի լուծումը և դրա ձևավորումը շատ հարմար է կետերի բաժանելու համար: Հաճախ ալգորիթմը անմիջապես մտքում է գալիս պայմանը կարդալուց կամ գծագրությունն ավարտելուց հետո: Դժվարությունների դեպքում սկսում ենք առաջադրանքի ՀԱՐՑից. Օրինակ՝ «Ուղիղ գիծ կառուցելու համար» պայմանի համաձայն։ Այստեղ ամենատրամաբանական հարցը հետևյալն է. «Ի՞նչն է բավարար իմանալու համար այս ուղիղ գիծը կառուցելու համար»: Ենթադրենք, «մենք գիտենք կետը, մենք պետք է իմանանք ուղղության վեկտորը»: Մենք տալիս ենք հետևյալ հարցը. «Ինչպե՞ս գտնել այս ուղղության վեկտորը: որտե՞ղ։ և այլն:

Երբեմն լինում է «սխալ»՝ խնդիրը չի լուծվում, և վերջ։ Կանգառի պատճառները կարող են լինել հետևյալը.

- Հիմնական գիտելիքների լուրջ բացը: Այսինքն՝ դու չգիտես և/կամ չես տեսնում շատ պարզ բան։

– Երկրաչափական պատկերների հատկությունների անտեղյակություն:

- Առաջադրանքը բարդ էր. Այո, դա տեղի է ունենում: Ժամերով շոգեխաշելն ու արցունքները թաշկինակում հավաքելն իմաստ չունի։ Խորհուրդ փնտրեք ձեր ուսուցչից, համակուրսեցիներից կամ հարցեր տվեք ֆորումում: Ավելին, ավելի լավ է նրա հայտարարությունը կոնկրետացնել՝ լուծման այն հատվածի մասին, որը դուք չեք հասկանում։ Լաց՝ «Ինչպե՞ս լուծել խնդիրը» ձևով։ այնքան էլ լավ տեսք չունի... և, առաջին հերթին, ձեր սեփական հեղինակության համար:

Փուլ հինգ. Որոշում ենք-ստուգում, որոշում-ստուգում, որոշում-ստուգում-պատասխանում ենք։ Շահավետ է ստուգել առաջադրանքի յուրաքանչյուր կետը այն ավարտելուց անմիջապես հետո. Սա կօգնի ձեզ անմիջապես հայտնաբերել սխալը: Բնականաբար, ոչ ոք չի արգելում արագ լուծել ամբողջ խնդիրը, բայց ամեն ինչ նորից վերաշարադրելու վտանգ կա (հաճախ մի քանի էջ):

Սրանք են, թերեւս, բոլոր այն հիմնական նկատառումները, որոնց պետք է հետևել խնդիրները լուծելիս։

Դասի գործնական մասը ներկայացված է հարթ երկրաչափությամբ: Կլինեն ընդամենը երկու օրինակ, բայց դա բավարար չի թվա =)

Եկեք անցնենք ալգորիթմի այն շարանը, որը ես հենց նոր նայեցի իմ փոքրիկ գիտական աշխատանքում.

Օրինակ 1

Տրված են զուգահեռագծի երեք գագաթներ։ Գտեք գագաթը:

Եկեք սկսենք հասկանալ.

Քայլ առաջինԱկնհայտ է, որ խոսքը «հարթ» խնդրի մասին է։

Քայլ երկուԽնդիրը վերաբերում է զուգահեռագծին: Բոլորը հիշու՞մ են այս զուգահեռագիծը: Ժպտալու կարիք չկա, շատերն իրենց կրթությունը ստանում են 30-40-50 և ավելի տարեկանում, ուստի նույնիսկ պարզ փաստերը կարող են ջնջվել հիշողությունից։ Զուգահեռագծի սահմանումը տրված է դասի 3-րդ օրինակում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորների հիմքը.

Քայլ երրորդԿատարենք գծանկար, որի վրա նշում ենք երեք հայտնի գագաթներ։ Զվարճալի է, որ դժվար չէ անմիջապես կառուցել ցանկալի կետը.

Դրա կառուցումը, իհարկե, լավ է, բայց լուծումը պետք է վերլուծական ձևակերպել։

Քայլ չորրորդԼուծման ալգորիթմի մշակում: Առաջին բանը, որ գալիս է մտքին, այն է, որ կետը կարելի է գտնել որպես գծերի հատում: Մենք չգիտենք նրանց հավասարումները, ուստի մենք ստիպված կլինենք զբաղվել այս հարցով.

1) Հակառակ կողմերը զուգահեռ են: Ըստ միավորների Գտնենք այս կողմերի ուղղության վեկտորը։ Սա ամենապարզ խնդիրն է, որը քննարկվել է դասարանում։ Վեկտորներ կեղծամների համար.

Նշում: ավելի ճիշտ է ասել «կողմ պարունակող ուղիղի հավասարումը», բայց այստեղ և հետագա հակիրճության համար կօգտագործեմ «կողմի հավասարում», «կողմի ուղղության վեկտոր» և այլն արտահայտությունները։

3) Հակառակ կողմերը զուգահեռ են: Օգտագործելով կետերը, մենք գտնում ենք այս կողմերի ուղղության վեկտորը:

4) Եկեք ստեղծենք ուղիղ գծի հավասարում, օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր

1-2-րդ և 3-4-րդ պարբերություններում մենք փաստացի երկու անգամ լուծեցինք նույն խնդիրը, այն քննարկվեց դասի թիվ 3 օրինակում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները. Կարելի էր ավելի երկար ճանապարհ անցնել՝ նախ գտեք գծերի հավասարումները և միայն այնուհետև «հանեք» ուղղության վեկտորները դրանցից:

5) Այժմ ուղիղների հավասարումները հայտնի են: Մնում է կազմել և լուծել գծային հավասարումների համապատասխան համակարգը (տե՛ս նույն դասի թիվ 4, 5 օրինակները. Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները).

Կետը գտնվել է.

Խնդիրը բավականին պարզ է, և դրա լուծումն ակնհայտ է, բայց կա ավելի կարճ ճանապարհ։

Երկրորդ լուծում:

Զուգահեռագծի անկյունագծերը կիսվում են իրենց հատման կետով: Ես նշել էի կետը, բայց որպեսզի գծագիրը չխառնվի, ես ինքնուրույն չգծեցի անկյունագծերը:

Կետ առ կետ կազմենք կողմի հավասարումը :

Ստուգելու համար դուք պետք է մտովի կամ նախագծով փոխարինեք յուրաքանչյուր կետի կոորդինատները ստացված հավասարման մեջ: Հիմա եկեք գտնենք թեքությունը: Դա անելու համար մենք վերագրում ենք ընդհանուր հավասարումը թեքության գործակցով հավասարման տեսքով.

Այսպիսով, թեքությունը հետևյալն է.

Նմանապես, մենք գտնում ենք կողմերի հավասարումները: Ես շատ իմաստ չեմ տեսնում նույն բանը նկարագրելու մեջ, այնպես որ ես անմիջապես կտամ ավարտված արդյունքը.

2) Գտեք կողմի երկարությունը: Սա ամենապարզ խնդիրն է, որն ընդգրկված է դասարանում: Վեկտորներ կեղծամների համար. Միավորների համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Օգտագործելով նույն բանաձևը, հեշտ է գտնել մյուս կողմերի երկարությունները: Ստուգումը կարելի է շատ արագ կատարել սովորական քանոնով։

Մենք օգտագործում ենք բանաձևը .

Գտնենք վեկտորները.

Այսպիսով.

Ի դեպ, ճանապարհին գտանք կողմերի երկարությունները։

Որպես արդյունք:

Դե, կարծես թե ճիշտ է, որպեսզի համոզիչ լինի, անկյունին կարող ես կցել;

Ուշադրություն. Մի շփոթեք եռանկյան անկյունը ուղիղ գծերի միջև անկյան հետ: Եռանկյան անկյունը կարող է բութ լինել, բայց ուղիղ գծերի միջև անկյունը չի կարող (տե՛ս հոդվածի վերջին պարբերությունը Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները). Այնուամենայնիվ, եռանկյան անկյունը գտնելու համար կարող եք օգտագործել նաև վերը նշված դասի բանաձևերը, բայց կոպտությունն այն է, որ այդ բանաձևերը միշտ տալիս են սուր անկյուն: Նրանց օգնությամբ ես լուծեցի այս խնդիրը սեւագրով և ստացա արդյունքը։ Եվ վերջնական օրինակի վրա ես ստիպված կլինեի գրել լրացուցիչ արդարացումներ, որ .

4) Գրի՛ր ուղիղին զուգահեռ կետով անցնող ուղիղի հավասարումը:

Ստանդարտ առաջադրանք՝ մանրամասն քննարկված դասի թիվ 2 օրինակում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները. Գծի ընդհանուր հավասարումից Եկեք հանենք ուղեցույցի վեկտորը: Եկեք ստեղծենք ուղիղ գծի հավասարում, օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր.

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան բարձրությունը:

5) Ստեղծենք բարձրության հավասարում և գտնենք դրա երկարությունը:

Խիստ սահմանումներից փրկություն չկա, այնպես որ դուք ստիպված կլինեք գողանալ դպրոցական դասագրքից.

Եռանկյունի բարձրությունը կոչվում է եռանկյան գագաթից հակառակ կողմը պարունակող ուղղին գծված ուղղահայացը։

Այսինքն՝ անհրաժեշտ է ստեղծել գագաթից դեպի կողմ գծված ուղղահայաց ուղղահայաց համարի հավասարում։ Այս առաջադրանքը քննարկվում է դասի թիվ 6, 7 օրինակներում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրները. Սկսած հավասար. հեռացնել նորմալ վեկտորը. Կազմենք բարձրության հավասարումը՝ օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք չգիտենք կետի կոորդինատները:

Երբեմն բարձրության հավասարումը հայտնաբերվում է ուղղահայաց գծերի անկյունային գործակիցների հարաբերակցությունից. Այս դեպքում, ապա. Կազմենք բարձրության հավասարումը` օգտագործելով կետ և անկյունային գործակից (տե՛ս դասի սկիզբը Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա):

Բարձրության երկարությունը կարելի է գտնել երկու եղանակով.

Կա շրջանաձև ճանապարհ.

ա) գտնել՝ բարձրության և կողմի հատման կետը.
բ) գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով երկու հայտնի կետեր:

Բայց դասարանում Հարթության վրա ուղիղ գծի ամենապարզ խնդիրներըԴիտարկվել է կետից ուղիղ հեռավորության հարմար բանաձև: Կետը հայտնի է՝ , հայտնի է նաև ուղիղի հավասարումը. , Այսպիսով.

6) Հաշվիր եռանկյան մակերեսը. Տիեզերքում եռանկյունու մակերեսը ավանդաբար հաշվարկվում է օգտագործելով վեկտորների վեկտորային արտադրյալ, բայց այստեղ մեզ տրվում է եռանկյունի հարթության վրա։ Մենք օգտագործում ենք դպրոցական բանաձևը.
- Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին:

Այս դեպքում:

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյան միջինը:

7) Ստեղծենք միջինի հավասարում:

Եռանկյան միջն կոչվում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի կեսին միացնող հատված։

ա) Գտե՛ք կետը՝ կողքի կեսը: Մենք օգտագործում ենք Հատվածի միջնակետի կոորդինատների բանաձևեր. Հատվածի ծայրերի կոորդինատները հայտնի են. , ապա միջինի կոորդինատները.

Այսպիսով.

Կետ առ կետ կազմենք մեդիանայի հավասարումը :

Հավասարումը ստուգելու համար անհրաժեշտ է դրա մեջ փոխարինել կետերի կոորդինատները:

8) Գտե՛ք բարձրության և միջնագծի հատման կետը: Կարծում եմ, բոլորն արդեն սովորել են, թե ինչպես կատարել գեղասահքի այս տարրը առանց ընկնելու.

Խնդիր 1. Տրված են ABC եռանկյան գագաթների կոորդինատները՝ A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16): Գտե՛ք՝ 1) AB կողմի երկարությունը. 2) AB և BC կողմերի հավասարումները և դրանց անկյունային գործակիցները. 3) B անկյունը ռադիաններով երկու նիշի ճշտությամբ. 4) բարձրության CD-ի և դրա երկարության հավասարումը. 5) միջին AE-ի հավասարումը և այս մեդիանայի K կետի հատման կետը CD բարձրության հետ. 6) AB կողմին զուգահեռ K կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. 7) M կետի կոորդինատները, որոնք սիմետրիկորեն տեղակայված են A կետի նկատմամբ ուղիղ գծի CD-ի նկատմամբ:

Լուծում:

1. A(x 1,y 1) և B(x2,y 2) կետերի միջև հեռավորությունը d որոշվում է բանաձևով.

Կիրառելով (1)՝ մենք գտնում ենք AB կողմի երկարությունը.

2. A(x 1 ,y 1) և B(x 2 ,y 2) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումն ունի ձև.

(2)

A և B կետերի կոորդինատները փոխարինելով (2-ով)՝ ստանում ենք AB կողմի հավասարումը.

Լուծելով y-ի վերջին հավասարումը, մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը անկյունային գործակցով ուղիղ գծի հավասարման տեսքով.

որտեղ

B և C կետերի կոորդինատները փոխարինելով (2-ով)՝ ստանում ենք BC ուղիղ գծի հավասարումը.

Կամ

3. Հայտնի է, որ երկու ուղիղների միջև անկյան շոշափողը, որոնց անկյունային գործակիցները համապատասխանաբար հավասար են, հաշվարկվում է բանաձևով.

(3)

Ցանկալի B անկյունը ձևավորվում է AB և BC ուղիղ գծերով, որոնց անկյունային գործակիցները գտնված են. Կիրառելով (3)՝ ստանում ենք.

Կամ ուրախ:

4. Տրված կետով տվյալ ուղղությամբ անցնող ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձևը

(4)

CD բարձրությունը ուղղահայաց է AB կողմին: Բարձրության CD-ի թեքությունը գտնելու համար օգտագործում ենք գծերի ուղղահայացության պայմանը։ Այդ ժամանակվանից Փոխարինելով (4) C կետի կոորդինատները և գտնված բարձրության անկյունային գործակիցը, ստանում ենք

Բարձրության CD երկարությունը գտնելու համար նախ որոշում ենք D կետի կոորդինատները՝ AB և CD ուղիղ գծերի հատման կետը։ Համակարգի լուծումը միասին.

մենք գտնում ենք դրանք. D(8;0):

Օգտագործելով բանաձևը (1) մենք գտնում ենք բարձրության CD երկարությունը.

5. Միջին AE-ի հավասարումը գտնելու համար նախ որոշում ենք E կետի կոորդինատները, որը հանդիսանում է BC կողմի միջնամասը՝ օգտագործելով հատվածը երկու հավասար մասերի բաժանելու բանաձևերը.

(5)

Հետևաբար,

Փոխարինելով A և E կետերի կոորդինատները (2-ով)՝ գտնում ենք միջինի հավասարումը.

Բարձրության CD-ի և միջին AE-ի հատման կետի կոորդինատները գտնելու համար միասին լուծում ենք հավասարումների համակարգը.

Մենք գտնում ենք.

6. Քանի որ ցանկալի ուղիղ գիծը զուգահեռ է AB կողմին, դրա անկյունային գործակիցը հավասար կլինի AB ուղիղ գծի անկյունային գործակցին: Գտնված K կետի կոորդինատները և անկյունային գործակիցը փոխարինելով (4)-ով՝ ստանում ենք

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Քանի որ AB ուղիղ գիծը ուղղահայաց է CD ուղիղ գծին, ապա ցանկալի M կետը, որը սիմետրիկորեն տեղակայված է A կետի նկատմամբ, ուղիղ CD-ի նկատմամբ, գտնվում է AB ուղիղ գծի վրա: Բացի այդ, D կետը AM հատվածի միջնակետն է: Օգտագործելով (5) բանաձևերը, մենք գտնում ենք ցանկալի M կետի կոորդինատները.

ABC եռանկյունը, բարձրությունը CD, միջին AE, ուղիղ գիծը KF և M կետը կառուցված են xOy կոորդինատային համակարգում Նկ. 1.

Առաջադրանք 2. Հավասարություն ստեղծե՛ք այն կետերի տեղանքի համար, որոնց հեռավորությունները տվյալ կետից A(4; 0) և x=1 տված ուղղին հավասար են 2-ի:

Լուծում:

xOy կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք A(4;0) կետը և x = 1 ուղիղ գիծը: Թող M(x;y) լինի կետերի ցանկալի երկրաչափական դիրքի կամայական կետ: Ուղղահայաց ՄԲ-ն իջեցնենք տվյալ ուղղին x = 1 և որոշենք B կետի կոորդինատները: Քանի որ B կետը գտնվում է տվյալ ուղիղի վրա, դրա աբսցիսան հավասար է 1-ի: B կետի օրդինատը հավասար է M կետի օրդինատին: Հետևաբար, B(1;y) (նկ. 2):

Ըստ խնդրի պայմանների |ՄԱ|: |ՄՎ| = 2. Հեռավորություններ |MA| եւ |ՄԲ| 1-ի խնդրի բանաձևից (1) մենք գտնում ենք.

Ձախ և աջ կողմերը քառակուսի դնելով, մենք ստանում ենք

Ստացված հավասարումը հիպերբոլա է, որի իրական կիսաառանցքը a = 2 է, իսկ երևակայական կիսաառանցքը՝

Սահմանենք հիպերբոլայի օջախները։ Հիպերբոլայի համար հավասարությունը բավարարված է, և - հիպերբոլային հնարքներ. Ինչպես տեսնում եք, տրված A(4;0) կետը հիպերբոլայի ճիշտ կիզակետն է:

Եկեք որոշենք ստացված հիպերբոլայի էքսցենտրիկությունը.

Հիպերբոլայի ասիմպտոտների հավասարումները ունեն ձև և . Հետևաբար, կամ և հիպերբոլայի ասիմպտոտներ են: Հիպերբոլա կառուցելուց առաջ մենք կառուցում ենք նրա ասիմպտոտները:

Խնդիր 3. Ստեղծեք A(4; 3) կետից և y = 1 ուղիղ գծից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղանքի հավասարումը: Ստացված հավասարումը հասցրեք ամենապարզ ձևին:

Լուծում:Թող M(x; y) լինի ցանկալի երկրաչափական կետերի կետերից մեկը: Եկեք ուղղահայաց ՄԲ-ն գցենք M կետից այս ուղիղ y = 1 (նկ. 3): Որոշենք B կետի կոորդինատները: Ակնհայտ է, որ B կետի աբսցիսան հավասար է M կետի աբսցիսային, իսկ B կետի օրդինատը հավասար է 1-ի, այսինքն՝ B(x; 1): Ըստ խնդրի պայմանների |ՄԱ|=|ՄՎ|. Հետևաբար, ցանկացած M(x;y) կետի համար, որը պատկանում է կետերի ցանկալի երկրաչափական տեղանքին, ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը.

Ստացված հավասարումը սահմանում է պարաբոլա, որի գագաթն է կետում:

Վարժություն 1

57. Տրված են ABC եռանկյան գագաթները։ Գտեք

) AB կողմի երկարությունը.

) AB և AC կողմերի հավասարումները և դրանց անկյունային գործակիցները.

) ներքին անկյուն A;

) B գագաթից կազմված մեդիանայի հավասարումը.

) բարձրության CD-ի և դրա երկարության հավասարումը.

) շրջանագծի հավասարումը, որի համար CD բարձրությունը տրամագիծն է և AC կողմի հետ այս շրջանագծի հատման կետերը.

) ներքին անկյան կիսագծի հավասարումը A.

) ABC եռանկյան մակերեսը.

) ABC եռանկյունը սահմանող գծային անհավասարությունների համակարգ։

Կատարեք նկարչություն:

A (7, 9); B (-2, -3); C(-7, 7)

Լուծում:

1) Գտնենք վեկտորի երկարությունը

= (x բ - x ա )2+ (y բ -y ա )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - AB կողմի երկարությունը

2) Գտնենք AB կողմի հավասարումը

Կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը

Օ՜ Ա ; ժամը Վ ) և B (x Ա ; ժամը Վ ) ընդհանուր առմամբ

A և B կետերի կոորդինատները փոխարինենք ուղիղ գծի այս հավասարման մեջ

Ս ԱԲ = (- 3, - 4) կոչվում է AB ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր: Այս վեկտորը զուգահեռ է AB ուղղին:

4 (x - 7) = - 3 (y - 9)

4x + 28 = - 3y + 27

4x + 3y + 1 = 0 - AB տողի հավասարումը

Եթե հավասարումը գրված է ձևով՝ y = X - ապա կարող ենք առանձնացնել նրա անկյունային գործակիցը՝ k 1 =4/3

Վեկտոր Ն ԱԲ = (-4, 3) կոչվում է AB ուղղի նորմալ վեկտոր:

Վեկտոր Ն ԱԲ = (-4, 3) ուղղահայաց է AB ուղղին:

Նմանապես, մենք գտնում ենք AC կողմի հավասարումը

Ս AC = (- 7, - 1) - AC կողմի ուղղության վեկտոր

(x - 7) = - 7 (y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - AC կողմի հավասարումը

y = = x + 8 որտեղից է լանջին k 2 = 1/7

Վեկտոր Ն A.C. = (- 1, 7) - AC գծի նորմալ վեկտոր:

Վեկտոր Ն A.C. = (- 1, 7) ուղղահայաց է AC գծին:

3) Գտնենք A անկյունը

Գրենք վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձեւը Եվ

* = *cos ∟A

A անկյունը գտնելու համար բավական է գտնել այս անկյան կոսինուսը։ Նախորդ բանաձևից գրում ենք A անկյան կոսինուսի արտահայտությունը

cos ∟A =

Վեկտորների սկալյար արտադրյալի հայտնաբերում Եվ

= (x Վ - X Ա ; ժամը Վ - y Ա ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (x Հետ - X Ա ; ժամը Հետ - y Ա ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Վեկտորի երկարությունը = 15 (գտնվել է ավելի վաղ)

Գտնենք վեկտորի երկարությունը

= (x ՀԵՏ - x Ա )2+ (y Հետ -y ա )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14.14 - կողմի երկարությունը AC

Այնուհետև cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) Գտնենք B կետից AC կողմ գծված BE-ի միջնամասի հավասարումը

Միջին հավասարումը ընդհանուր ձևով

Այժմ դուք պետք է գտնեք BE ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

Եկեք լրացնենք ABC եռանկյունը մինչև ABCD զուգահեռագիծը, այնպես որ AC կողմը նրա անկյունագիծն է: Զուգահեռագծի անկյունագծերը բաժանված են կիսով չափ, այսինքն՝ AE = EC: Հետևաբար, E կետը գտնվում է BF գծի վրա:

BE վեկտորը կարելի է ընդունել որպես BE ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր , որը մենք կգտնենք։

= +

= (x գ - X բ ; ժամը գ - y բ ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Եկեք փոխարինենք հավասարման մեջ

Փոխարինենք C կետի կոորդինատները (-7; 7)

(x + 7) = 2 (y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - միջին BE-ի հավասարումը

Քանի որ E կետը AC կողմի միջինն է, դրա կոորդինատները

X ե = (x Ա + x Հետ )/2 = (7 - 7)/2 = 0

ժամը ե = (y Ա + y Հետ )/2 = (9 + 7)/2 = 8

E կետի կոորդինատները (0; 8)

5) Գտնենք CD բարձրության և դրա երկարության հավասարումը

Ընդհանուր հավասարում

Անհրաժեշտ է գտնել ուղիղ գծի CD-ի ուղղության վեկտորը

Գծի CD-ն ուղղահայաց է AB տողին, հետևաբար, CD գծի ուղղության վեկտորը զուգահեռ է AB տողի նորմալ վեկտորին:

CD ‖ԱԲ

Այսինքն՝ AB ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը կարելի է ընդունել որպես ուղիղ գծի CD-ի ուղղորդող վեկտոր

Վեկտոր ԱԲ հայտնաբերվել է ավելի վաղ: ԱԲ (-4, 3)

Փոխարինենք C կետի կոորդինատները (- 7; 7)

(x + 7) = - 4 (y - 7)

x + 21 = - 4y + 28

x + 4y - 7 = 0 - բարձրության հավասարումը C D

D կետի կոորդինատները.

D կետը պատկանում է AB տողին, հետևաբար՝ D(x) կետի կոորդինատները դ . y դ ) պետք է բավարարի ավելի վաղ հայտնաբերված AB ուղիղ գծի հավասարումը

D կետը պատկանում է CD տողին, հետևաբար՝ D(x) կետի կոորդինատները դ . y դ ) պետք է բավարարի ուղիղ գծի CD-ի հավասարումը,

Սրա հիման վրա ստեղծենք հավասարումների համակարգ

Կոորդինատներ D(1; 1)

Գտե՛ք ուղիղ գծի CD-ի երկարությունը

= (x դ - x գ )2+ (y դ -y գ )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - ուղիղ գծի CD երկարությունը

6) Գտե՛ք CD տրամագծով շրջանագծի հավասարումը

Ակնհայտ է, որ ուղիղ գիծ CD-ն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, քանի որ դրա հավասարումը -3x - 4y = 0 է, հետևաբար շրջանագծի հավասարումը կարող է գրվել ձևով.

(x - a) 2 + (y - b) 2= Ռ 2- շրջանագծի հավասարումը կենտրոնով (ա; բ) կետում

Այստեղ R = СD/2 = 10 /2 = 5

(x - a) 2 + (y - b) 2 = 25

O (a; b) շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է CD հատվածի մեջտեղում: Գտնենք դրա կոորդինատները.

X 0= ա = = = - 3;

y 0= բ = = = 4

Շրջանագծի հավասարում.

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

Գտնենք այս շրջանագծի հատումը AC կողմի հետ.

K կետը պատկանում է և՛ շրջանագծին, և՛ AC ուղղին

x + 7y - 56 = 0 - ավելի վաղ հայտնաբերված AC ուղիղ գծի հավասարումը:

Եկեք համակարգ ստեղծենք