Սահմանային կետի թեորեմ. Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմ. Ընդլայնումը կամայական չափման տարածության դեպքում

Սահմանում հ.7. Թվային տողի x € R կետը կոչվում է (xn) հաջորդականության սահմանային կետ, եթե U (x) և ցանկացած բնական N թվի համար հնարավոր է գտնել այս հարևանությանը պատկանող xn տարր, որի թիվն ավելի մեծ է. LG, այսինքն. x 6 R - սահմանային կետ, եթե. Այլ կերպ ասած, x կետը կլինի սահմանային կետ (xn)-ի համար, եթե նրա հարևաններից որևէ մեկը պարունակում է այս հաջորդականության տարրեր կամայականորեն մեծ թվերով, թեև թերևս ոչ բոլոր տարրերն են n > N թվերով: Հետևաբար, հետևյալ հայտարարությունը միանգամայն ակնհայտ է: . Հայտարարություն բ.բ. Եթե ​​lim(xn) = 6 6 R, ապա b-ը (xn) հաջորդականության միակ սահմանային կետն է: Իրոք, հաջորդականության սահմանի 6.3 սահմանման ուժով, նրա բոլոր տարրերը, սկսած որոշակի թվից, ընկնում են 6-րդ կետի կամայականորեն փոքր հարևանությամբ, և, հետևաբար, կամայականորեն մեծ թվով տարրերը չեն կարող ընկնել որևէ այլ կետի հարևանությամբ: . Հետևաբար, 6.7 սահմանման պայմանը բավարարվում է միայն 6-րդ կետի համար: Այնուամենայնիվ, հաջորդականության յուրաքանչյուր սահմանային կետ (երբեմն կոչվում է բարակ խտացված կետ) դրա սահմանը չէ: Այսպիսով, (b.b) հաջորդականությունը սահման չունի (տես օրինակ 6.5), բայց ունի երկու սահմանային կետ x = 1 և x = - 1: ((-1)pp) հաջորդականությունը ունի երկու անսահման կետ +oo և որպես սահմանային կետեր - ընդլայնված թվային տողով, որի միությունը նշվում է մեկ խորհրդանիշով oo. Այդ իսկ պատճառով կարելի է ենթադրել, որ անսահման սահմանային կետերը համընկնում են, իսկ անսահման oo կետը, ըստ (6.29)-ի, այս հաջորդականության սահմանն է։ Հերթական թվային տողի սահմանային կետերը Վայերշտրասի թեստի և Քոշիի չափանիշի ապացույցը։ Թող տրվի (jn) հաջորդականությունը, իսկ k թվերը կազմեն դրական ամբողջ թվերի աճող հաջորդականություն: Այնուհետև հաջորդականությունը (Vnb, որտեղ yn = xkn> կոչվում է սկզբնական հաջորդականության ենթահաջորդականություն: Ակնհայտորեն, եթե (i„) ունի 6 թիվը որպես սահման, ապա դրա ցանկացած ենթահաջորդություն ունի նույն սահմանը, քանի որ սկսվում է որոշակի թվից: Ե՛վ սկզբնական հաջորդականության, և՛ նրա ցանկացած ենթահաջորդականության բոլոր տարրերը ընկնում են 6-րդ կետի ցանկացած ընտրված հարևանության մեջ: սահմանային կետը, կարելի է ընտրել ենթահաջորդականություն, որն ունի այս սահմանային կետը, թող b լինի հաջորդականության սահմանային կետը (xn), ապա, ըստ սահմանման 6-ի. 7 սահմանային կետ, յուրաքանչյուր n-ի համար կա 1/n շառավղով b կետի U (6, 1/n) հարևանությանը պատկանող տարր։ ijtj, ...1 ... կետերից կազմված ենթահաջորդականությունը, որտեղ zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, ունի սահման 6 կետում: Իրոք, կամայական e > 0-ի համար կարելի է ընտրել N. այնպիսին է, որ. Այնուհետև ենթահաջորդականության բոլոր տարրերը՝ սկսած կմ թվից, կընկնեն 6-րդ կետի ^-հարևանություն U(6, e), որը համապատասխանում է հաջորդականության սահմանի սահմանման 6.3 պայմանին։ Ճիշտ է նաև հակադարձ թեորեմը. Հերթական թվային տողի սահմանային կետերը Վայերշտրասի թեստի և Քոշիի չափանիշի ապացույցը։ Թեորեմ 8.10. Եթե ​​ինչ-որ հաջորդականություն ունի 6 սահման ունեցող ենթահաջորդականություն, ապա b-ն այս հաջորդականության սահմանային կետն է: Հերթականության սահմանի 6.3 սահմանումից հետևում է, որ, սկսած որոշակի թվից, b սահմանով ենթահաջորդականության բոլոր տարրերը ընկնում են կամայական շառավիղով U(b, ​​e) հարևանությամբ: Քանի որ ենթահաջորդականության տարրերը. Միաժամանակ (xn) հաջորդականության տարրեր են> xn տարրերը ընկնում են այս հարևանությամբ նույնքան կամայական մեծ թվերով, և դա, 6.7 սահմանման ուժով նշանակում է, որ b-ը (n) հաջորդականության սահմանային կետն է: Դիտողություն 0.2. 6.9 և 6.10 թեորեմները վավեր են նաև այն դեպքում, երբ սահմանային կետն անվերջ է, եթե U(6, 1 /n) մերթոյի հարևանությունն ապացուցելիս դիտարկենք հարևանությունը (կամ հարևանները): Այն պայմանը, որի դեպքում կոնվերգենտ ենթահաջորդություն կարող է մեկուսացված լինել հաջորդականությունից, որը հաստատվում է հետևյալ թեորեմով. Թեորեմ 6.11 (Բոլզանո - Վայերշտրաս): Յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն պարունակում է վերջավոր սահմանին համընկնող ենթահաջորդականություն: Թող (an) հաջորդականության բոլոր տարրերը լինեն a և 6 թվերի միջև: , այսինքն. xn € [a, b] Vn € N: Բաժանեք [a, b] հատվածը կիսով չափ: Այնուհետև դրա կեսերից առնվազն մեկը կպարունակի հաջորդականության անսահման թվով տարրեր, քանի որ հակառակ դեպքում ամբողջ հատվածը [a, b]-ը կպարունակի դրանց վերջավոր թիվը, ինչը անհնար է: Թող ] լինի [a, 6] հատվածի կեսերը, որը պարունակում է (zn) հաջորդականության տարրերի անսահման բազմություն (կամ եթե երկու կեսերն էլ այդպիսին են. , ապա դրանցից որևէ մեկը)։Նմանապես՝ հաջորդականության տարրերի անսահման բազմություն պարունակող հատվածից և այլն։ Շարունակելով այս գործընթացը, մենք կկառուցենք bn - an = (6- a)/2P-ով տեղադրված հատվածների համակարգ: Համաձայն բնադրված հատվածների սկզբունքի՝ կա x կետ, որը պատկանում է այս բոլոր հատվածներին։ Այս կետը կլինի (xn) հաջորդականության սահմանային կետը - Փաստորեն, ցանկացած էլեկտրոնային հարևանության համար U(x, e) = (xx + e) ​​x կետ կա C U(x, e) հատված (դա բավական է պարզապես ընտրել n անհավասարությունից (, որը պարունակում է հաջորդականության (sn) անսահման թվով տարրեր։ Համաձայն 6.7 սահմանման x-ը այս հաջորդականության սահմանային կետն է։ Այնուհետև թեորեմ 6.9-ով կա x կետին համընկնող ենթահաջորդականություն: Այս թեորեմի ապացուցման մեջ օգտագործվող պատճառաբանության մեթոդը (այն երբեմն կոչվում է Բոլցանո-Վեյեր-Ստրաս լեմմա) և կապված է դիտարկվող հատվածների հաջորդական կիսման հետ, հայտնի է որպես Բոլզանոյի մեթոդ։ Այս թեորեմը մեծապես պարզեցնում է բազմաթիվ բարդ թեորեմների ապացուցումը։ Այն թույլ է տալիս ապացուցել մի շարք հիմնական թեորեմներ այլ (երբեմն ավելի պարզ) եղանակով։ Հավելված 6.2. Վայերշտրասի թեստի և Քոշիի չափանիշի ապացույցը Նախ, մենք ապացուցում ենք 6.1 պնդումը (Վայերշտրասի թեստ սահմանափակված միապաղաղ հաջորդականության կոնվերգենցիայի համար): Ենթադրենք, որ (jn) հաջորդականությունը չնվազող է։ Այնուհետև դրա արժեքների բազմությունը սահմանափակված է վերևում և, թեորեմ 2.1-ով, ունի գերագույն գումար, որը մենք նշում ենք sup(xn)-ով R: Գերագույնի հատկությունների պատճառով (տես 2.7) հաջորդականության սահմանային կետերը թիվն են: տող Վայերշտրասի թեստի և Քոշիի չափանիշի ապացույց: Համաձայն 6.1 սահմանման՝ չնվազող հաջորդականության համար մենք ունենք կամ Then > Ny և հաշվի առնելով (6.34) մենք ստանում ենք, որ համապատասխանում է հաջորդականության սահմանի 6.3 սահմանմանը, այսինքն. 31im (sn) և lim (xn) = 66R: Եթե ​​հաջորդականությունը (xn) ոչ աճող է, ապա ապացույցի ընթացքը նման է։ Այժմ անցնենք հաջորդականության սերտաճման համար Կոչիայի չափանիշի բավարարության ապացուցմանը (տե՛ս հայտարարությունը 6.3), քանի որ չափանիշի պայմանի անհրաժեշտությունը բխում է 6.7 թեորեմից։ Թող հաջորդականությունը (jn) լինի հիմնարար: Ըստ սահմանման 6.4-ի, կամայական € > 0-ի դեպքում կարելի է գտնել այնպիսի թիվ N(եր), որ m^N և n^N ենթադրում են: Այնուհետև, հաշվի առնելով m - N, Vn > N-ի համար մենք ստանում ենք € £ Քանի որ դիտարկվող հաջորդականությունն ունի վերջավոր թվով տարրեր, որոնց թվերը չեն գերազանցում N-ը, (6.35)-ից հետևում է, որ հիմնարար հաջորդականությունը սահմանափակված է (համեմատության համար տե՛ս. Թեորեմ 6.2-ի ապացույցը կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանների վերաբերյալ): Սահմանափակ հաջորդականության արժեքների մի շարքի համար կան ինֆիմում և գերագույն սահմաններ (տես Թեորեմ 2.1): n > N-ի համար տարրերի արժեքների բազմության համար մենք համապատասխանաբար նշում ենք այս դեմքերը an = inf xn և bjy = sup xn: Քանի որ N-ն ավելանում է, ճշգրիտ ինֆիմումը չի նվազում, իսկ ճշգրիտ գերագույնը չի աճում, այսինքն. . Ստանա՞մ օդորակման համակարգ: հատվածներ Բնադրված հատվածների սկզբունքի համաձայն՝ կա ընդհանուր կետ, որը պատկանում է բոլոր հատվածներին։ Նշանակենք b-ով։ Այսպիսով, համեմատությունից (6. 36) և (6.37) արդյունքում մենք ստանում ենք, որ համապատասխանում է հաջորդականության սահմանի 6.3 սահմանմանը, այսինքն. 31im(x„) and lim(sn) = 6 6 Ռ.Բոլցանոն սկսեց ուսումնասիրել հիմնարար հաջորդականությունները։ Բայց նա չուներ իրական թվերի խիստ տեսություն, և, հետևաբար, նա չկարողացավ ապացուցել հիմնարար հաջորդականության մերձեցումը: Կոշին դա արեց՝ համարելով բնադրված հատվածների սկզբունքը, որը հետագայում հիմնավորեց Կանտորը։ Ոչ միայն հաջորդականության սերտաճման չափանիշը տրվում է Քոշի անունով, այլև հիմնարար հաջորդականությունը հաճախ կոչվում է Քոշի հաջորդականություն, իսկ ներդիր հատվածների սկզբունքը կոչվում է Քանտորի անունով։ Հարցեր և առաջադրանքներ 8.1. Ապացուցեք, որ 6.2. Բերե՛ք Q և R\Q բազմություններին պատկանող տարրերով ոչ կոնվերգենտ հաջորդականությունների օրինակներ: 0.3. Ի՞նչ պայմաններում են թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացների տերմինները կազմում նվազող և աճող հաջորդականություններ: 6.4. Ապացուցե՛ք աղյուսակից բխող հարաբերությունները: 6.1. 6.5. Կառուցե՛ք անվերջ կետերին ձգվող հաջորդականությունների օրինակներ +oo, -oo, oo և 6 կետին համընկնող հաջորդականության օրինակ R. c.v. Կարո՞ղ է անսահմանափակ հաջորդականությունը բ.բ. լինել: Եթե ​​այո, ապա բերեք օրինակ։ ժամը 7-ին։ Կառուցեք դրական տարրերից բաղկացած դիվերգենտ հաջորդականության օրինակ, որը չունի ոչ վերջավոր, ոչ էլ անսահման սահման: 6.8. Ապացուցե՛ք sn+i = sin(xn/2) կրկնվող բանաձևով տրված (jn) հաջորդականության կոնվերգենցիան «1 = 1» պայմանով: 6.9. Ապացուցեք, որ lim(xn)=09 եթե sn+i/xn-»g€ .

Բաժանել հատվածը [ ա 0 ,բ 0 ] կիսով չափ երկու հավասար հատվածների: Ստացված հատվածներից առնվազն մեկը պարունակում է հաջորդականության անսահման թվով անդամներ: Նշենք այն [ ա 1 ,բ 1 ] .

Հաջորդ քայլում մենք կկրկնենք ընթացակարգը հատվածով [ ա 1 ,բ 1 ]. բաժանիր այն երկու հավասար հատվածների և ընտրիր դրանցից այն մեկը, որի վրա ընկած է անսահման թվով անդամներ։ Նշենք այն [ ա 2 ,բ 2 ] .

Շարունակելով գործընթացը, մենք ստանում ենք ներդիր հատվածների հաջորդականություն

որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդը նախորդի կեսն է և պարունակում է հաջորդականության անսահման թվով անդամներ ( x կ } .

Հատվածների երկարությունները հակված են զրոյի.

Բնադրված հատվածների Կոշի-Կանտոր սկզբունքի հիման վրա գոյություն ունի ξ մի կետ, որը պատկանում է բոլոր հատվածներին.

Յուրաքանչյուր հատվածի վրա կառուցման միջոցով [ա մ ,բ մ ] կա հաջորդականության անդամների անսահման քանակություն։ Ընտրենք հաջորդաբար

թվերի աճի պայմանը դիտարկելիս.

Այնուհետև ենթահաջորդականությունը համընկնում է ξ կետին: Սա բխում է այն փաստից, որ ξ-ից հեռավորությունը չի գերազանցում դրանք պարունակող հատվածի երկարությունը [ա մ ,բ մ ] , որտեղ

Ընդլայնումը կամայական չափման տարածության դեպքում

Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմը հեշտությամբ ընդհանրացվում է կամայական չափման տարածության դեպքում:

Թող տրվի տարածության կետերի հաջորդականություն.

(ստորին ինդեքսը հաջորդականության անդամի համարն է, վերին ինդեքսը կոորդինատային թիվն է): Եթե ​​տարածության մեջ կետերի հաջորդականությունը սահմանափակ է, ապա կոորդինատների թվային հաջորդականություններից յուրաքանչյուրը.

նաև սահմանափակ ( - կոորդինատային համարը):

Բոլցանո-Վեյրշտրասի թեորեմի միաչափ տարբերակի շնորհիվ հաջորդականությունից ( x կ) մենք կարող ենք ընտրել կետերի ենթահաջորդականություն, որոնց առաջին կոորդինատները կազմում են կոնվերգենտ հաջորդականություն։ Ստացված ենթահաջորդականությունից մենք ևս մեկ անգամ ընտրում ենք ենթահաջորդականություն, որը համընկնում է երկրորդ կոորդինատի երկայնքով: Այս դեպքում առաջին կոորդինատի երկայնքով կոնվերգենցիան կպահպանվի այն պատճառով, որ կոնվերգենտ հաջորդականության յուրաքանչյուր ենթահաջորդություն նույնպես զուգակցվում է: Եվ այսպես շարունակ։

հետո nմենք ստանում ենք քայլերի որոշակի հաջորդականություն

որը ,-ի հաջորդականությունն է և համընկնում է կոորդինատներից յուրաքանչյուրի երկայնքով: Այստեղից հետևում է, որ այս ենթահաջորդականությունը համընկնում է։

Պատմություն

Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմ (գործի համար n= 1) առաջին անգամ ապացուցվել է չեխ մաթեմատիկոս Բոլցանոյի կողմից 1817 թ. Բոլցանոյի աշխատանքում այն ​​հանդես է եկել որպես շարունակական ֆունկցիայի միջանկյալ արժեքների թեորեմի ապացուցման լեմմա, որն այժմ հայտնի է որպես Բոլզանո-Կոշիի թեորեմ։ Այնուամենայնիվ, այս և այլ արդյունքները, որոնք ապացուցվել են Բոլցանոյի կողմից Կոշիից և Վայերշտրասից շատ առաջ, աննկատ մնացին:

Միայն կես դար անց Վայերշտրասը, անկախ Բոլցանոյից, նորից հայտնաբերեց և ապացուցեց այս թեորեմը։ Սկզբնապես կոչվում էր Վայերշտրասի թեորեմ, նախքան Բոլցանոյի աշխատանքը հայտնի և ընդունված։

Այսօր այս թեորեմը կրում է Բոլցանոյի և Վայերշտրասի անունները։ Այս թեորեմը հաճախ կոչվում է Բոլցանո-Վայերշտրասի լեմմա, և երբեմն սահմանային կետի լեմմա.

Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմը և կոմպակտության հայեցակարգը

Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմը սահմանում է սահմանափակ բազմության հետևյալ հետաքրքիր հատկությունը՝ կետերի յուրաքանչյուր հաջորդականություն. Մպարունակում է կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն.

Վերլուծության մեջ տարբեր դրույթներ ապացուցելիս նրանք հաճախ դիմում են հետևյալ տեխնիկայի. նրանք որոշում են կետերի հաջորդականություն, որն ունի որոշակի ցանկալի հատկություն, և դրանից հետո ընտրում են ենթահերթություն, որը նույնպես ունի այն, բայց արդեն կոնվերգենտ է: Օրինակ՝ այսպես է ապացուցվում Վայերշտրասի թեորեմը, որ ինտերվալի վրա շարունակական ֆունկցիան սահմանափակված է և ընդունում է իր ամենամեծ և փոքրագույն արժեքները։

Նման տեխնիկայի արդյունավետությունն ընդհանրապես, ինչպես նաև Վայերշտրասի թեորեմը կամայական մետրային տարածությունների վրա տարածելու ցանկությունը ստիպեցին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Մորիս Ֆրեշեին 1906 թ. կոմպակտություն. Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմով հաստատված սահմանափակ բազմությունների հատկությունը, պատկերավոր ասած, այն է, որ բազմության կետերը գտնվում են բավականին «սերտ» կամ «կոմպակտ». այս բազմության երկայնքով անսահման քայլեր կատարելով՝ մենք անշուշտ, այնքան մոտ ենք, որքան մենք ցանկանում ենք, ինչ-որ կետ տիեզերքում:

Ֆրեշետը ներկայացնում է հետևյալ սահմանումը Մկանչեց կոմպակտ, կամ կոմպակտ, եթե իր կետերի յուրաքանչյուր հաջորդականություն պարունակում է այս բազմության ինչ-որ կետին համընկնող ենթահաջորդականություն: Ենթադրվում է, որ նկարահանման հրապարակում Մմետրիկը սահմանված է, այսինքն՝ այն

Սահմանում 1.Անսահման ուղիղի x կետը կոչվում է (x n) հաջորդականության սահմանային կետ, եթե այս կետի ցանկացած e-հարևանությունում կան հաջորդականության անսահման շատ տարրեր (x n):

Լեմմա 1.Եթե ​​x-ը ( x k ) հաջորդականության սահմանային կետն է, ապա այս հաջորդականությունից կարող ենք ընտրել ենթահաջորդականություն (x n k )՝ համընկնող x թվին։

Մեկնաբանություն.Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. Եթե ​​(x k) հաջորդականությունից հնարավոր է ընտրել x թվին համընկնող ենթահաջորդականություն, ապա x թիվը (x k) հաջորդականության սահմանային կետն է։ Իրոք, x կետի ցանկացած էլեկտրոնային հարևանությամբ կան ենթահաջորդականության, հետևաբար և հենց հաջորդականության անսահման շատ տարրեր (x k):

Լեմմայից 1-ից հետևում է, որ մենք կարող ենք տալ հաջորդականության սահմանային կետի մեկ այլ սահմանում, որը համարժեք է սահմանմանը 1:

Սահմանում 2.Անսահման ուղիղի x կետը կոչվում է հաջորդականության սահմանային կետ (x k), եթե այս հաջորդականությունից հնարավոր է ընտրել x-ին համընկնող ենթահաջորդականություն։

Լեմմա 2.Յուրաքանչյուր կոնվերգենտ հաջորդականություն ունի միայն մեկ սահմանային կետ, որը համընկնում է այդ հաջորդականության սահմանի հետ։

Մեկնաբանություն.Եթե ​​հաջորդականությունը համընկնում է, ապա Լեմմա 2-ով այն ունի միայն մեկ սահմանային կետ: Այնուամենայնիվ, եթե (xn) կոնվերգենտ չէ, ապա այն կարող է ունենալ մի քանի սահմանային կետեր (և, ընդհանուր առմամբ, անսահման շատ սահմանային կետեր): Եկեք ցույց տանք, օրինակ, որ (1+(-1) n )-ն ունի երկու սահմանային կետ:

Իրոք, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... ունի երկու սահմանային կետ՝ 0 և 2, քանի որ. Այս հաջորդականության ենթահաջորդականությունները (0)=0,0,0,... և (2)=2,2,2,... ունեն համապատասխանաբար 0 և 2 թվերի սահմաններ։Այս հաջորդականությունը չունի սահմանային այլ կետեր։ Իսկապես, թող x լինի թվային առանցքի ցանկացած կետ, բացի 0 և 2 կետերից: Վերցնենք e >0, այսպես

փոքր այնպես, որ 0, x և 2 կետերի e- հարեւանությունները չհատվեն: 0 և 2 կետերի էլեկտրոնային հարևանությունը պարունակում է հաջորդականության բոլոր տարրերը և, հետևաբար, x կետի էլեկտրոնային հարևանությունը չի կարող պարունակել անսահման շատ տարրեր (1+(-1) n ) և հետևաբար այս հաջորդականության սահմանային կետ չէ։

Թեորեմ.Յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն ունի առնվազն մեկ սահմանային կետ:

Մեկնաբանություն.Չգերազանցող x թիվը (x n) հաջորդականության սահմանափակող կետ է, այսինքն. - հաջորդականության ամենամեծ սահմանային կետը (x n):

Թող x լինի ցանկացած թիվ, քան . Եկեք ընտրենք e>0 այնքան փոքր, որ

իսկ x 1 О(x), x 1-ից աջ կան (x n) հաջորդականության որոշ տարրեր կամ ընդհանրապես չկան, այսինքն. x-ը հաջորդականության սահմանային կետ չէ (x n):

Սահմանում.Հերթականության ամենամեծ սահմանային կետը (x n) կոչվում է հաջորդականության վերին սահման և նշվում է նշանով։ Դիտողությունից հետևում է, որ յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն ունի վերին սահման։

Նմանապես, ներկայացվում է ստորին սահման հասկացությունը (որպես հաջորդականության ամենափոքր սահմանային կետ (x n )):

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք հետևյալ հայտարարությունը. Յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն ունի վերին և ստորին սահմաններ:

Առանց ապացույցի ձևակերպենք հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ.Որպեսզի (x n) հաջորդականությունը կոնվերգենտ լինի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն սահմանափակված լինի և վերին և ստորին սահմանները համընկնեն։

Այս բաժնի արդյունքները հանգեցնում են Բոլցանո-Վայերշտրասի հետևյալ հիմնական թեորեմին.

Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմ.Ցանկացած սահմանափակ հաջորդականությունից կարելի է ընտրել կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն:

Ապացույց.Քանի որ (x n) հաջորդականությունը սահմանափակված է, այն ունի առնվազն մեկ սահմանային կետ x: Այնուհետև այս հաջորդականությունից մենք կարող ենք ընտրել x կետին համընկնող ենթահաջորդականություն (հետևում է սահմանային կետի 2-րդ սահմանմանը):

Մեկնաբանություն.Ցանկացած սահմանափակ հաջորդականությունից կարելի է առանձնացնել միատոն կոնվերգենտ հաջորդականությունը: