Արհեստներ

Ինչպե՞ս լուծել դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը գործառնական մեթոդով: Գծային դիֆերենցիալ հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման գործառնական մեթոդ Դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի լուծում Լապլասի մեթոդով

Դիտարկենք դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման գործառնական մեթոդը՝ օգտագործելով երրորդ կարգի հավասարման օրինակը։

Ենթադրենք, որ մենք պետք է կոնկրետ լուծում գտնենք երրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար մշտական գործակիցներով

նախնական պայմանները բավարարելը.

c 0, c 1, c 2 - տրված թվեր:

Օգտագործելով բնօրինակի տարբերակման հատկությունը՝ գրում ենք.

(6.4.1) հավասարման մեջ բնօրինակներից անցնենք պատկերների

Ստացված հավասարումը կոչվում է օպերատորկամ պատկերների հավասարում: Լուծե՛ք այն Յ.

Հանրահաշվական բազմանդամները փոփոխականում Ռ.

Հավասարությունը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման օպերատորի լուծում (6.4.1):

Բնօրինակը գտնելը y(t), համապատասխան գտնված պատկերին, մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում:

Օրինակ. Օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը, գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է տրված սկզբնական պայմանները

Եկեք բնօրինակներից անցնենք պատկերների

Եկեք գրենք սկզբնական հավասարումը պատկերներով և լուծենք այն Յ

Ստացված պատկերի բնօրինակը գտնելու համար մենք գործոնացնում ենք կոտորակի հայտարարը և ստացված կոտորակը գրում որպես պարզ կոտորակների գումար։

Գտնենք գործակիցները A, B,Եվ ՀԵՏ.

Օգտագործելով աղյուսակը, մենք արձանագրում ենք ստացված պատկերի բնօրինակը

Բնօրինակի հավասարման առանձնահատուկ լուծում.

Գործառնական մեթոդը նմանապես կիրառվում է հաստատուն գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի լուծման համար

Անհայտ գործառույթներ.

Անցնենք պատկերներին

Մենք ստանում ենք հավասարումների ներկայացման համակարգ

Մենք լուծում ենք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը։ Մենք գտնում ենք որոշիչները.

Պատկերային համակարգի լուծում գտնելը X(p), Y(p), Z(p):

Մենք ստացանք համակարգի պահանջվող լուծումը

Օգտագործելով գործառնական հաշվարկը, դուք կարող եք գտնել գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ փոփոխական գործակիցներով և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներով. հաշվարկել ինտեգրալները. Միաժամանակ խնդիրների լուծումը մեծապես պարզեցված է։ Օգտագործվում է մաթեմատիկական ֆիզիկայի հավասարումների խնդիրներ լուծելիս։

Հարցեր ինքնատիրապետման համար.

1. Ո՞ր ֆունկցիան է կոչվում բնօրինակ:

2. Ո՞ր ֆունկցիան է կոչվում բնագրի պատկեր:

3. Heaviside ֆունկցիան և դրա պատկերը:

4. Ստացեք պատկեր բնօրինակների գործառույթների համար՝ օգտագործելով պատկերի սահմանումը. f(t) =t , .

5. Ստացեք պատկերներ ֆունկցիաների համար՝ օգտագործելով Լապլասի փոխակերպումների հատկությունները:

6. Գտե՛ք բնօրինակների ֆունկցիաները՝ օգտագործելով պատկերների աղյուսակը՝ ;

7. Գտեք գծային դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում՝ օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդները:

Գրականություն՝ էջ 411-439, էջ 572-594։

Օրինակներ՝ էջ 305-316։

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Դանկո Պ.Է. Բարձրագույն մաթեմատիկա վարժություններում և խնդիրներում: 2 մասով՝ I մաս՝ Դասագիրք. ձեռնարկ քոլեջների համար/P.E. Դանկոն, Ա.Գ. Պոպով, Տ.Յա. Կոժևնիկովա - Մ.: Բարձրագույն: դպրոց, 1997.– 304 p.

2. Դանկո Պ.Է. Բարձրագույն մաթեմատիկա վարժություններում և խնդիրներում: 2 մասով՝ II մաս՝ Դասագիրք. ձեռնարկ քոլեջների համար./ P.E. Դանկոն, Ա.Գ. Պոպով, Տ.Յա. Կոժևնիկովա - Մ.: Բարձրագույն: դպրոց, 1997.– 416 էջ.

3. Կապլան Ի.Ա. Բարձրագույն մաթեմատիկայի գործնական պարապմունքներ. Մաս 4./ Ի.Ա. Կապլան - Խարկովի պետական համալսարանի հրատարակչություն, 1966, 236 էջ.

4. Պիսկունով Ն.Ս. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ: 2 հատորով, հատոր 1. դասագիրք. ձեռնարկ քոլեջների համար./ N.S. Պիսկունով - Մ.: խմբ. «Գիտություն», 1972. – 456 с.

5. Պիսկունով Ն.Ս. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ քոլեջների համար. 2 հատորով, հատոր 2՝ դասագիրք. Ձեռնարկ քոլեջների համար../ N.S. Պիսկունով – Մ.: խմբ. «Գիտություն», 1972. – 456 с.

6. Գրավոր Դ.Թ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի վերաբերյալ դասախոսությունների նշումներ. ամբողջական դասընթաց.–4th ed./ D.T. Գրված – Մ.: Iris-press, 2006.–608 p. - (Բարձրագույն կրթություն).

7. Սլոբոդսկայա Վ.Ա. Բարձրագույն մաթեմատիկայի կարճ դասընթաց. Էդ. 2-րդ, վերամշակված և լրացուցիչ Դասագիրք ձեռնարկ քոլեջների համար./ Վ.Ա. Սլոբոդսկայա - Մ.: Բարձրագույն: դպրոց, 1969.– 544 էջ.

Դասախոսությունների նշումներ Բարձրագույն մաթեմատիկա

6.070104 «Ծովային և գետային տրանսպորտ» ուղղության ուսանողների համար.

«Նավային էլեկտրակայանների շահագործում» մասնագիտությունը.

լրիվ և հեռակա դասընթացներ 2-րդ կուրս

Շրջանառություն______ օրինակ Ստորագրված է հրապարակման ______________

Պատվերի թիվ __________. Ծավալ__2.78__p.l.

«Կերչի պետական ծովային տեխնոլոգիական համալսարան» հրատարակչություն

98309 Կերչ, Օրջոնիկիձե, 82

Դրսում շոգ ժամանակ է, բարդիների բմբուլ է թռչում, և այս եղանակը նպաստավոր է հանգստի համար: Ուսումնական տարվա ընթացքում բոլորի մոտ հոգնածություն է կուտակվել, սակայն ամառային արձակուրդների/հանգստի սպասումը պետք է ոգեշնչի նրանց՝ հաջողությամբ հանձնելու քննություններն ու թեստերը։ Ի դեպ, սեզոնին դասախոսներն էլ են ձանձրալի, ուստի շուտով ես էլ ժամանակ կհատկացնեմ ուղեղս բեռնաթափելու համար։ Եվ հիմա կա սուրճ, համակարգային միավորի ռիթմիկ բզզոց, մի քանի սատկած մոծակներ պատուհանագոգին և ամբողջովին աշխատանքային վիճակ... ...օհ, անիծյալ,... մի կատաղած բանաստեղծ:

Դեպի կետ. Ո՞վ է մտածում, բայց այսօր ինձ համար հունիսի 1-ն է, և մենք կանդրադառնանք բարդ վերլուծության մեկ այլ տիպիկ խնդրի. գտնել դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի որոշակի լուծում՝ օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը. Ի՞նչ պետք է իմանաք և կարողանաք անել, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես լուծել այն: Նախ եւ առաջ, խիստ խորհուրդ են տալիսանդրադառնալ դասին. Խնդրում ենք կարդալ ներածական մասը, հասկանալ թեմայի ընդհանուր դրույթը, տերմինաբանությունը, նշումը և առնվազն երկու-երեք օրինակ: Փաստն այն է, որ դիֆուզերային համակարգերի դեպքում ամեն ինչ կլինի գրեթե նույնը և նույնիսկ ավելի պարզ:

Իհարկե, դուք պետք է հասկանաք, թե դա ինչ է դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, ինչը նշանակում է համակարգի ընդհանուր լուծում և համակարգի կոնկրետ լուծում գտնել:

Հիշեցնեմ, որ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը կարելի է լուծել «ավանդական» եղանակով. վերացման միջոցովկամ օգտագործելով բնորոշ հավասարումը. Գործառնական հաշվարկի մեթոդը, որը կքննարկվի, կիրառելի է հեռակառավարման համակարգի համար, երբ առաջադրանքը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Գտեք դիֆերենցիալ հավասարումների միատարր համակարգի որոշակի լուծում , նախնական պայմաններին համապատասխան .

Որպես այլընտրանք, համակարգը կարող է լինել տարասեռ՝ «լրացուցիչ կշիռներով» գործառույթների տեսքով և աջ կողմերում.

Բայց երկու դեպքում էլ պետք է ուշադրություն դարձնել պայմանի երկու հիմնարար կետերի վրա.

1) Խոսքը վերաբերում է միայն մասնավոր լուծման մասին.
2) սկզբնական պայմանների փակագծերում են խիստ զրոներ, և ուրիշ ոչինչ։

Ընդհանուր դասընթացը և ալգորիթմը շատ նման կլինեն լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը գործառնական մեթոդով. Տեղեկատվական նյութերից ձեզ նույնը պետք կգա բնօրինակների և պատկերների աղյուսակ.

Օրինակ 1

, ,

Լուծում:Սկիզբը չնչին է՝ օգտագործելը Լապլասի փոխակերպման աղյուսակներԲնօրինակներից անցնենք համապատասխան պատկերներին։ Հեռակառավարման համակարգերի հետ կապված խնդիրների դեպքում այս անցումը սովորաբար պարզ է.

Օգտագործելով թիվ 1, 2 աղյուսակային բանաձևերը, հաշվի առնելով նախնական պայմանը, ստանում ենք.

Ի՞նչ անել «խաղերի» հետ: Աղյուսակում մտավոր «X»-երը փոխեք «I»-ի: Օգտագործելով նույն փոխակերպումները թիվ 1, 2, հաշվի առնելով նախնական պայմանը, գտնում ենք.

Գտնված պատկերները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ :

Հիմա ձախ մասերումպետք է հավաքել հավասարումներ Բոլորըպայմաններ, որոնցում կամ առկա է: Դեպի աջ մասերհավասարումները պետք է «պաշտոնականացվեն» այլպայմանները:

Հաջորդը, յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում մենք կատարում ենք փակագծում.

Այս դեպքում առաջին դիրքերում պետք է տեղադրվեն, իսկ երկրորդ հորիզոնականներում.

Ստացված երկու անհայտներով հավասարումների համակարգը սովորաբար լուծվում է ըստ Քրամերի բանաձեւերի. Եկեք հաշվարկենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Որոշիչի հաշվարկի արդյունքում ստացվել է բազմանդամ.

Կարևոր տեխնիկա!Այս բազմանդամն ավելի լավն է Միանգամիցփորձեք այն գործոնավորել: Այս նպատակների համար պետք է փորձել լուծել քառակուսի հավասարումը , բայց շատ ընթերցողներ, ովքեր վերապատրաստված երկրորդ կուրսի աչք ունեն, դա կնկատեն .

Այսպիսով, համակարգի մեր հիմնական որոշիչն է.

Համակարգի հետագա ապամոնտաժումը, շնորհակալություն Կրամերին, ստանդարտ է.

Արդյունքում մենք ստանում ենք համակարգի օպերատորի լուծում:

Քննարկվող առաջադրանքի առավելությունն այն է, որ կոտորակները սովորաբար պարզ են դառնում, և դրանց հետ գործ ունենալը շատ ավելի հեշտ է, քան խնդիրներում պարունակվող կոտորակների հետ: DE-ի կոնկրետ լուծում գտնելը, օգտագործելով գործառնական մեթոդը. Ձեր կանխազգացումը ձեզ չխաբեց՝ հին բարին անորոշ գործակիցների մեթոդ, որի օգնությամբ յուրաքանչյուր կոտորակը տարրալուծում ենք տարրական կոտորակների.

1) Եկեք զբաղվենք առաջին կոտորակի հետ.

Այսպիսով.

2) Երկրորդ կոտորակը բաժանում ենք նմանատիպ սխեմայի համաձայն, բայց ավելի ճիշտ է օգտագործել այլ հաստատուններ (չսահմանված գործակիցներ).

Այսպիսով.

Ես խաբեբաներին խորհուրդ եմ տալիս գրի առնել քայքայված օպերատորի լուծումը հետևյալ ձևով.
- սա ավելի պարզ կդարձնի վերջնական փուլը` հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը:

Օգտագործելով աղյուսակի աջ սյունակը, եկեք պատկերներից անցնենք համապատասխան բնօրինակներին.

Լավ մաթեմատիկական վարքագծի կանոնների համաձայն, մենք մի փոքր կկարգավորենք արդյունքը.

Պատասխան.

Պատասխանը ստուգվում է ըստ ստանդարտ սխեմայի, որը մանրամասն քննարկվում է դասում։ Ինչպե՞ս լուծել դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը:Միշտ փորձեք այն ավարտին հասցնել՝ առաջադրանքին մեծ գումարած ավելացնելու համար:

Օրինակ 2

Գործառնական հաշվարկի միջոցով գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի որոշակի լուծում, որը համապատասխանում է տվյալ սկզբնական պայմաններին:
, ,

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրի վերջնական ձևի մոտավոր նմուշ և պատասխանը դասի վերջում:

Դիֆերենցիալ հավասարումների ոչ միատարր համակարգի լուծումն ալգորիթմորեն տարբեր չէ, բացառությամբ, որ տեխնիկապես մի փոքր ավելի բարդ կլինի.

Օրինակ 3

Լուծում:Օգտագործելով Լապլասի փոխակերպման աղյուսակը՝ հաշվի առնելով նախնական պայմանները , բնօրինակներից անցնենք համապատասխան պատկերներին.

Բայց սա դեռ ամենը չէ, հավասարումների աջ կողմում կան միայնակ հաստատուններ: Ի՞նչ անել այն դեպքերում, երբ հաստատունը լիովին մենակ է ինքնուրույն: Դա արդեն քննարկվել է դասարանում: Ինչպես լուծել DE-ն՝ օգտագործելով գործառնական մեթոդը. Կրկնենք. միայնակ հաստատունները պետք է մտովի բազմապատկվեն մեկով, և միավորների վրա պետք է կիրառվի հետևյալ Լապլասի փոխակերպումը.

Գտնված պատկերները փոխարինենք սկզբնական համակարգով.

Եկեք տեղափոխենք պարունակող տերմինները դեպի ձախ և տեղադրենք մնացած տերմինները աջ կողմերում.

Ձախ կողմերում մենք կիրականացնենք փակագծում, բացի այդ, երկրորդ հավասարման աջ կողմը կբերենք ընդհանուր հայտարարի.

Եկեք հաշվարկենք համակարգի հիմնական որոշիչը՝ չմոռանալով, որ նպատակահարմար է անմիջապես փորձել ֆակտորիզացնել արդյունքը.
, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Անցնենք առաջ.

Այսպիսով, համակարգի օպերատորի լուծումը հետևյալն է.

Երբեմն մեկ կամ նույնիսկ երկու կոտորակները կարող են կրճատվել, և երբեմն այնքան հաջող, որ գործնականում կարիք չկա որևէ բան ընդլայնելու: Իսկ որոշ դեպքերում դուք անմիջապես անվճար եք ստանում, ի դեպ, դասի հետևյալ օրինակը կլինի ցուցիչ.

Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը՝ ստանում ենք տարրական կոտորակների գումարները։

Բաշխենք առաջին կոտորակը.

Եվ մենք հասնում ենք երկրորդին.

Արդյունքում օպերատորի լուծումը ստանում է մեզ անհրաժեշտ ձևը.

Օգտագործելով աջ սյունակը բնօրինակների և պատկերների աղյուսակներՄենք իրականացնում ենք հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը.

Ստացված պատկերները փոխարինենք համակարգի օպերատորի լուծման մեջ.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Ինչպես տեսնում եք, տարասեռ համակարգում անհրաժեշտ է միատարր համակարգի համեմատ ավելի աշխատատար հաշվարկներ կատարել։ Դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ սինուսներով և կոսինուսներով, և դա բավական է, քանի որ դիտարկվելու են խնդրի գրեթե բոլոր տեսակները և լուծման նրբությունների մեծ մասը:

Օրինակ 4

Օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը, գտեք որոշակի լուծում դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի՝ տրված նախնական պայմաններով,

Լուծում:Ես ինքս էլ կվերլուծեմ այս օրինակը, բայց մեկնաբանությունները վերաբերելու են միայն հատուկ պահերին։ Ենթադրում եմ, որ դուք արդեն լավ տիրապետում եք լուծման ալգորիթմին:

Բնօրինակներից անցնենք համապատասխան պատկերներին.

Եկեք փոխարինենք գտնված պատկերները սկզբնական հեռակառավարման համակարգում.

Եկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը.
, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Ստացված բազմանդամը չի կարող ֆակտորիզացվել: Ի՞նչ անել նման դեպքերում: Բացարձակ ոչինչ։ Այս մեկն էլ կանի։

Արդյունքում, համակարգի օպերատոր լուծումը հետևյալն է.

Ահա հաջողակ տոմսը: Անորոշ գործակիցների մեթոդն ընդհանրապես պետք չէ կիրառել։ Միակ բանն այն է, որ աղյուսակի փոխակերպումները կիրառելու համար մենք լուծումը վերագրում ենք հետևյալ ձևով.

Պատկերներից անցնենք համապատասխան բնօրինակներին.

Ստացված պատկերները փոխարինենք համակարգի օպերատորի լուծման մեջ.

Heaviside ընդարձակման բանաձև

Թող ֆունկցիայի պատկերը լինի կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա:

Թեորեմ.Թող, որտեղ և կան դիֆերենցիալ ֆունկցիաներ: Ներկայացնենք ֆունկցիայի երկու բևեռները, այսինքն. նրա հայտարարի արմատները (զրոները): Այնուհետև, եթե ստանանք Heaviside բանաձևը.

Մենք ապացուցում ենք այն դեպքի համար, երբ և են աստիճանների բազմանդամներ ՏԵվ Պհամապատասխանաբար, մինչդեռ Տ Պ. Ապա դա պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ է: Ներկայացնենք որպես պարզ կոտորակների գումար.

Այստեղից մենք գտնում ենք նույնականության գործակիցները (17.2)՝ այն վերաշարադրելով ձևով

Եկեք բազմապատկենք վերջին հավասարության երկու կողմերը և գնանք դեպի սահմանը: Հաշվի առնելով դա և, մենք ստանում ենք

որտեղից հետևում է (17.1). Թեորեմն ապացուցված է.

Ծանոթագրություն 1.Եթե բազմանդամների գործակիցներն իրական են, ապա բազմանդամի բարդ արմատները զույգ-զույգ խոնարհված են։ Հետևաբար, (17.1) բանաձևում բարդ խոնարհված մեծությունները կլինեն բազմանդամի բարդ խոնարհված արմատներին համապատասխանող անդամներ, իսկ Հևիսայդի բանաձևը կունենա ձև.

որտեղ առաջին գումարը տարածվում է բազմանդամի բոլոր իրական արմատների վրա, երկրորդը՝ դրական երևակայական մասերով նրա բոլոր բարդ արմատներին:

Ծանոթագրություն 2.Բանաձևի յուրաքանչյուր անդամ (17.1) ներկայացնում է բարդ ձևով գրված տատանում, որտեղ. Այսպիսով, իրական արմատները () համապատասխանում են պարբերական տատանումներին, բարդ արմատները բացասական իրական մասերով համապատասխանում են խամրված տատանումներին, իսկ զուտ երևակայական արմատները՝ չխոնարհված ներդաշնակ տատանումների։

Եթե հայտարարը չունի արմատներ դրական իրական մասերով, ապա բավական մեծ արժեքների համար մենք ստանում ենք կայուն վիճակ.

Դրական երևակայական մասերով բազմանդամի զուտ երևակայական արմատներ:

Բացասական իրական մասեր ունեցող արմատներին համապատասխան տատանումները աստիճանաբար քայքայվում են և հետևաբար չեն մտնում կայուն վիճակ:

Օրինակ 1.Գտեք բնօրինակ պատկերը

Լուծում. Մենք ունենք. Գրենք բազմանդամի արմատները՝ .

Ըստ բանաձևի (17.1)

Այստեղ, քանի որ թվերը հավասարման արմատներն են։ Հետևաբար,

Օրինակ 2.Գտեք բնօրինակ պատկերը

Որտեղ Ա 0; .

Լուծում. Այստեղ ֆունկցիան, բացի ակնհայտ արմատից, ունի անսահման շատ արմատներ, որոնք ֆունկցիայի զրոներն են։ Լուծելով հավասարումը, մենք ստանում ենք, թե որտեղ

Այսպիսով, հայտարարի արմատները ունեն ձև և, որտեղ

Օգտագործելով բանաձևը (17.3) մենք գտնում ենք բնօրինակը

Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման օպերատորի մեթոդ

Դիֆերենցիալ հավասարումներ.Դիտարկենք Քոշիի խնդիրը գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար

(այստեղ) նախնական պայմաններով

Անցնելով պատկերներին (18.1), Լապլասի փոխակերպման գծայինության շնորհիվ կունենանք

Օգտագործելով § 16-ի 3-րդ թեորեմը և սկզբնական պայմանները (18.2), մենք գրում ենք ածանցյալների պատկերները ձևով.

(18.4)-ը (18.3) փոխարինելով՝ պարզ փոխակերպումներից հետո ստանում ենք օպերատորի հավասարումը

որտեղ (բնորոշ բազմանդամ); .

(18.5) հավասարումից մենք գտնում ենք օպերատորի լուծումը

Քոշիի խնդրի լուծումը (18.1), (18.2) օպերատորի սկզբնական լուծումն է (18.6).

Կոշիի խնդրի համար ընդունված նշումով կարող ենք գրել

Օպերատորի հավասարումն ունի ձև

Եկեք բաժանենք օպերատորի լուծումը պարզ կոտորակների.

Օգտագործելով § 15-ում ստացված բանաձևերը, մենք ստանում ենք բնօրինակները.

Այսպիսով, Կոշիի խնդրի լուծումը կունենա ձև

Օրինակ 1.Լուծե՛ք Քոշիի խնդիրը սկզբնական պայմաններով դիֆերենցիալ հավասարման համար, որտեղ.

Լուծում.

Դրա լուծումն ունի ձև

Օգտագործելով § 16-ի 2-րդ թեորեմը, մենք հետևողականորեն գտնում ենք.

Օրինակ 2.Լուծե՛ք Քոշիի խնդիրը զրոյական սկզբնական պայմաններով դիֆերենցիալ հավասարման համար, որտեղ է քայլի իմպուլսի ֆունկցիան:

Լուծում. Եկեք գրենք օպերատորի հավասարումը

և նրա որոշումը

§ 16-ի 2-րդ թեորեմից հետևում է

ուշացման թեորեմի համաձայն (§ 15)

Վերջապես,

Օրինակ 3.Մեկ կետային զանգվածի համար Տ, ամրացված աղբյուրին կոշտությամբ Հետև գտնվում է հարթ հորիզոնական հարթության վրա, պարբերաբար փոփոխվող ուժ է գործում: Ժամանակի պահին կետը ենթարկվել է իմպուլս կրող հարվածի։ Անտեսելով դիմադրությունը, գտե՛ք կետի շարժման օրենքը, եթե սկզբնական պահին այն սկզբում եղել է հանգստի վիճակում:

Լուծում. Շարժման հավասարումը գրում ենք ձևով

որտեղ է առաձգական ուժը; - Դիրակի ֆունկցիա: Եկեք լուծենք օպերատորի հավասարումը

Եթե (ռեզոնանսի դեպք), ապա

Հետաձգման թեորեմով

Վերջապես,

Դյուհամելի ինտեգրալը (բանաձևը). Դիտարկենք Քոշիի խնդիրը (18.1) հավասարման համար սկզբնական պայմաններում: Օպերատորի լուծումն այս դեպքում ունի ձևը

Թող քաշի ֆունկցիան լինի բնօրինակը: ապա § 16-ի 1-ին թեորեմով մենք ստանում ենք

Հարաբերությունը (18.7) կոչվում է Դյուհամելի ինտեգրալ (բանաձև):

Մեկնաբանություն.Ոչ զրոյական սկզբնական պայմանների դեպքում Դյուամելի բանաձևը ուղղակիորեն կիրառելի չէ: Այս դեպքում անհրաժեշտ է սկզբնական խնդիրը վերափոխել միատարր (զրոյական) սկզբնական պայմաններով խնդրի։ Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք նոր գործառույթ՝ ենթադրելով

որտեղ են ցանկալի լուծման սկզբնական արժեքները:

Որքան հեշտ է դա տեսնել, և հետևաբար .

Այսպիսով, ֆունկցիան (18.1) հավասարման լուծումն է, որի աջ կողմը ստացվում է (18.8) փոխարինելով (18.1)՝ զրոյական սկզբնական տվյալներով:

Օգտագործելով (18.7) մենք գտնում ենք և.

Օրինակ 4.Օգտագործելով Duhamel ինտեգրալը, գտեք Քոշիի խնդրի լուծումը

սկզբնական պայմաններով։

Լուծում. Սկզբնական տվյալները զրոյական չեն։ Մենք ենթադրում ենք, համաձայն (18.8), . Այնուհետև սահմանման համար մենք ստանում ենք միատարր սկզբնական պայմաններով հավասարում:

Քննարկվող խնդրի համար հատկանշական բազմանդամ, քաշային ֆունկցիա։ Դյուհամելի բանաձեւով

Վերջապես,

Մշտական գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգեր.Կոշիի խնդիրը գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար մատրիցային նշումով ունի ձև

որտեղ է անհրաժեշտ ֆունկցիաների վեկտորը. - աջ կողմերի վեկտոր; - գործակիցների մատրիցա; - սկզբնական տվյալների վեկտորը.

Գտեք դիֆերենցիալ հավասարումների միատարր համակարգի որոշակի լուծում , նախնական պայմաններին համապատասխան .

Բայց երկու դեպքում էլ պետք է ուշադրություն դարձնել պայմանի երկու հիմնարար կետերի վրա.

Օրինակ 1

, ,

Օգտագործելով թիվ 1, 2 աղյուսակային բանաձևերը, հաշվի առնելով նախնական պայմանը, ստանում ենք.

Գտնված պատկերները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ :

Որոշիչի հաշվարկի արդյունքում ստացվել է բազմանդամ.

Այսպիսով, համակարգի մեր հիմնական որոշիչն է.

Համակարգի հետագա ապամոնտաժումը, շնորհակալություն Կրամերին, ստանդարտ է.

Արդյունքում մենք ստանում ենք համակարգի օպերատորի լուծում:

1) Եկեք զբաղվենք առաջին կոտորակի հետ.

Այսպիսով.

Օգտագործելով աղյուսակի աջ սյունակը, եկեք պատկերներից անցնենք համապատասխան բնօրինակներին.

Լավ մաթեմատիկական վարքագծի կանոնների համաձայն, մենք մի փոքր կկարգավորենք արդյունքը.

Պատասխան.

Օրինակ 2

Օրինակ 3

Գտնված պատկերները փոխարինենք սկզբնական համակարգով.

Եկեք տեղափոխենք պարունակող տերմինները դեպի ձախ և տեղադրենք մնացած տերմինները աջ կողմերում.

Անցնենք առաջ.

Այսպիսով, համակարգի օպերատորի լուծումը հետևյալն է.

Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը՝ ստանում ենք տարրական կոտորակների գումարները։

Բաշխենք առաջին կոտորակը.

Եվ մենք հասնում ենք երկրորդին.

Արդյունքում օպերատորի լուծումը ստանում է մեզ անհրաժեշտ ձևը.

Ստացված պատկերները փոխարինենք համակարգի օպերատորի լուծման մեջ.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Օրինակ 4

Բնօրինակներից անցնենք համապատասխան պատկերներին.

Եկեք փոխարինենք գտնված պատկերները սկզբնական հեռակառավարման համակարգում.

Ստացված բազմանդամը չի կարող ֆակտորիզացվել: Ի՞նչ անել նման դեպքերում: Բացարձակ ոչինչ։ Այս մեկն էլ կանի։

Արդյունքում, համակարգի օպերատոր լուծումը հետևյալն է.

Պատկերներից անցնենք համապատասխան բնօրինակներին.

Ստացված պատկերները փոխարինենք համակարգի օպերատորի լուծման մեջ.

Ինչպես լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը
գործառնական հաշվարկի մեթոդ.

Այս դասում մանրամասն կքննարկվի բարդ վերլուծության բնորոշ և տարածված առաջադրանքը. 2-րդ կարգի DE-ի կոնկրետ լուծում գտնելը հաստատուն գործակիցներով՝ օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը. Ժամանակ առ ժամանակ ես ազատում եմ ձեզ այն նախապաշարմունքից, որ նյութն աներևակայելի բարդ է և անհասանելի: Ծիծաղելի է, բայց օրինակներին տիրապետելու համար դուք կարող եք չկարողանալ տարբերակել, ինտեգրվել և նույնիսկ չիմանալ, թե ինչ է դա կոմպլեքս թվեր. Պահանջվում է կիրառելու հմտություններ անորոշ գործակիցների մեթոդ, որը մանրամասն քննարկվում է հոդվածում Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում. Իրականում առաջադրանքի հիմնաքարը պարզ հանրահաշվական գործողություններն են, և ես վստահ եմ, որ նյութը հասանելի է նույնիսկ ավագ դպրոցի աշակերտին:

Նախ՝ հակիրճ տեսական տեղեկատվություն դիտարկվող մաթեմատիկական վերլուծության բաժնի վերաբերյալ: Հիմնական կետը գործառնական հաշվարկհետևյալն է՝ ֆունկցիա վավերփոփոխական օգտագործելով այսպես կոչված Լապլասի փոխակերպումցուցադրված է ֆունկցիան համապարփակփոփոխական :

Տերմինաբանություն և նշանակումներ.
ֆունկցիան կոչվում է օրիգինալ;
ֆունկցիան կոչվում է պատկեր;
մեծատառը նշանակում է Լապլասի փոխակերպում.

Պարզ ասած, իրական ֆունկցիան (բնօրինակը) ըստ որոշակի կանոնների պետք է վերածվի բարդ ֆունկցիայի (պատկերի): Սլաքը ցույց է տալիս հենց այս փոխակերպումը: Իսկ «որոշ կանոններն» իրենք են Լապլասի փոխակերպում, որը մենք կդիտարկենք միայն ֆորմալ առումով, ինչը միանգամայն բավարար կլինի խնդիրների լուծման համար։

Հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը նույնպես իրագործելի է, երբ պատկերը վերածվում է բնօրինակի.

Ինչու է այս ամենը անհրաժեշտ: Բարձրագույն մաթեմատիկայի մի շարք խնդիրների դեպքում բնօրինակներից պատկերների անցնելը կարող է շատ ձեռնտու լինել, քանի որ այս դեպքում խնդրի լուծումը զգալիորեն պարզեցված է (ուղղակի կատակում եմ): Եվ մենք կդիտարկենք այս խնդիրներից միայն մեկը. Եթե դուք ապրել եք գործառնական հաշվարկը տեսնելու համար, ապա ձևակերպումը պետք է ձեզ շատ ծանոթ լինի.

Գտեք երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում՝ տրված սկզբնական պայմանների համար հաստատուն գործակիցներով:

Նշում: երբեմն դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է միատարր լինել. , դրա համար վերը նշված ձևակերպման մեջ կիրառելի է նաև գործառնական հաշվարկի մեթոդը։ Այնուամենայնիվ, գործնական օրինակներում 2-րդ կարգի միատարր DEչափազանց հազվադեպ է, և հետագայում մենք կխոսենք անհամասեռ հավասարումների մասին:

Իսկ հիմա կքննարկվի երրորդ մեթոդը՝ գործառնական հաշվարկի միջոցով դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում։ Եվս մեկ անգամ շեշտում եմ այն փաստը, որ մենք խոսում ենք կոնկրետ լուծում գտնելու մասին, Բացի այդ, սկզբնական պայմանները խիստ ձև ունեն(«X»-երը հավասար են զրոների):

Ի դեպ, «X»-ների մասին. Հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.
, որտեղ «x»-ը անկախ փոփոխական է, իսկ «y»-ը՝ ֆունկցիա: Պատահական չէ, որ ես խոսում եմ այս մասին, քանի որ քննարկվող խնդրի մեջ առավել հաճախ օգտագործվում են այլ տառեր.

Այսինքն՝ անկախ փոփոխականի դերը խաղում է «te» փոփոխականը («x»-ի փոխարեն), իսկ ֆունկցիայի դերը՝ «x» փոփոխականը («y»-ի փոխարեն):

Ես հասկանում եմ, որ դա, իհարկե, անհարմար է, բայց ավելի լավ է հավատարիմ մնալ այն նշումներին, որոնք կան խնդրահարույց գրքերի և ուսումնական ձեռնարկների մեծ մասում:

Այսպիսով, մյուս տառերի հետ կապված մեր խնդիրը գրված է հետևյալ կերպ.

Գտեք երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում՝ տրված նախնական պայմանների համար հաստատուն գործակիցներով .

Առաջադրանքի իմաստը ընդհանրապես չի փոխվել, փոխվել են միայն տառերը։

Ինչպե՞ս լուծել այս խնդիրը՝ օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը:

Առաջին հերթին ձեզ հարկավոր կլինի բնօրինակների և պատկերների աղյուսակ. Սա լուծման հիմնական գործիք է, և դուք չեք կարող անել առանց դրա: Հետևաբար, հնարավորության դեպքում փորձեք տպել տրամադրված տեղեկատու նյութը: Անմիջապես բացատրեմ, թե ինչ է նշանակում «pe» տառը. բարդ փոփոխական (սովորական «z»-ի փոխարեն): Թեև այս փաստն առանձնապես կարևոր չէ խնդիրների լուծման համար, բայց «պե»-ն «պե»-ն է:

Օգտագործելով աղյուսակը, բնօրինակները պետք է վերածվեն որոշ պատկերների: Հետևյալը բնորոշ գործողությունների շարք է, և օգտագործվում է հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը (նաև աղյուսակում): Այսպիսով, կգտնվի ցանկալի կոնկրետ լուծում։

Բոլոր խնդիրները, ինչը հաճելի է, լուծվում են բավականին խիստ ալգորիթմի համաձայն։

Օրինակ 1

, ,

Լուծում:Առաջին քայլում բնօրինակներից կտեղափոխվենք համապատասխան պատկերներ։ Մենք օգտագործում ենք ձախ կողմը:

Նախ, եկեք նայենք սկզբնական հավասարման ձախ կողմին: Լապլասի փոխակերպման համար մենք ունենք գծայինության կանոններ, հետևաբար մենք անտեսում ենք բոլոր հաստատունները և աշխատում ենք ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների հետ առանձին։

Օգտագործելով թիվ 1 աղյուսակային բանաձևը, մենք փոխակերպում ենք ֆունկցիան.

Համաձայն թիվ 2 բանաձեւի , հաշվի առնելով նախնական պայմանը, փոխակերպում ենք ածանցյալը.

Օգտագործելով թիվ 3 բանաձևը, հաշվի առնելով նախնական պայմանները, փոխակերպում ենք երկրորդ ածանցյալը.

Մի շփոթվեք նշաններով:

Ես ընդունում եմ, որ ավելի ճիշտ է ասել «փոխակերպումներ», քան «բանաձևեր», բայց պարզության համար ժամանակ առ ժամանակ աղյուսակի բովանդակությունը կանվանեմ բանաձևեր։

Այժմ նայենք աջ կողմին, որը պարունակում է բազմանդամը։ Շնորհիվ նույն գծայինության կանոններԼապլասի փոխակերպում, յուրաքանչյուր տերմինի հետ աշխատում ենք առանձին։

Դիտարկենք առաջին անդամը. - սա «te» անկախ փոփոխականն է՝ բազմապատկված հաստատունով: Անտեսում ենք հաստատունը և, օգտագործելով աղյուսակի թիվ 4 կետը, կատարում ենք փոխակերպումը.

Դիտարկենք երկրորդ տերմինը՝ –5. Երբ հաստատունը միայնակ է հայտնաբերվում, ապա այն այլևս չի կարելի բաց թողնել: Մեկ հաստատունով նրանք դա անում են. պարզության համար այն կարող է ներկայացվել որպես արտադրյալ՝ , և փոխակերպումը կարող է կիրառվել միասնության նկատմամբ.

Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր տարրերի (բնօրինակների) համար համապատասխան պատկերները գտնվել են աղյուսակի միջոցով.

Գտնված պատկերները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ.

Հաջորդ խնդիրը արտահայտելն է օպերատորի լուծումմնացած ամեն ինչի միջոցով, մասնավորապես մեկ կոտորակի միջոցով: Այս դեպքում խորհուրդ է տրվում հետևել հետևյալ ընթացակարգին.

Նախ, բացեք փակագծերը ձախ կողմում.

Նմանատիպ տերմիններ ներկայացնում ենք ձախ կողմում (եթե դրանք կան): Այս դեպքում ավելացնում ենք –2 և –3 թվերը։ Ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս, որ թեյնիկները մի շրջանցեն այս քայլը.

Ձախ կողմում մենք թողնում ենք պարունակող տերմինները, իսկ մնացած տերմինները նշանի փոփոխությամբ տեղափոխում ենք աջ.

Ձախ կողմում փակագծերից դուրս ենք դնում օպերատորի լուծումը, աջ կողմում արտահայտությունը կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Ձախ կողմում գտնվող բազմանդամը պետք է ֆակտորիզացվի (եթե հնարավոր է): Քառակուսային հավասարման լուծում.

Այսպիսով.

Մենք վերականգնում ենք աջ կողմի հայտարարին.

Նպատակը ձեռք է բերվել՝ օպերատորի լուծումն արտահայտվում է մեկ կոտորակի տեսքով։

Գործողություն երկրորդ. Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդ, հավասարման օպերատորի լուծումը պետք է ընդլայնվի տարրական կոտորակների գումարի մեջ.

Համապատասխան հզորությունների գործակիցները հավասարեցնենք և լուծենք համակարգը.

Եթե դուք խնդիրներ ունեք խնդրում ենք հետևել հոդվածներին Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրումԵվ Ինչպե՞ս լուծել հավասարումների համակարգը:Սա շատ կարևոր է, քանի որ կոտորակները, ըստ էության, խնդրի ամենակարևոր մասն են:

Այսպիսով, գտնված են գործակիցները՝ , և օպերատորի լուծումը հայտնվում է մեր առջև ապամոնտաժված տեսքով.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ հաստատունները չեն գրվում կոտորակային համարիչներում: Ձայնագրման այս ձևն ավելի շահավետ է, քան . Եվ դա ավելի շահավետ է, քանի որ վերջնական գործողությունը տեղի կունենա առանց շփոթության և սխալների.

Խնդրի վերջնական փուլը Լապլասի հակադարձ փոխակերպման օգտագործումն է՝ պատկերներից համապատասխան բնօրինակներին անցնելու համար։ Օգտագործելով աջ սյունակը բնօրինակների և պատկերների աղյուսակներ.

Թերևս ոչ բոլորն են հասկանում դարձը: Այստեղ օգտագործվում է աղյուսակի թիվ 5 կետի բանաձեւը՝ . Ավելի մանրամասն. . Փաստորեն, նմանատիպ դեպքերի համար բանաձևը կարող է փոփոխվել. Իսկ թիվ 5 կետի բոլոր աղյուսակային բանաձեւերը շատ հեշտ է վերաշարադրել նմանատիպ եղանակով։

Հակադարձ անցումից հետո DE-ի ցանկալի մասնակի լուծումը ստացվում է արծաթե սկուտեղի վրա.

էր.

Դարձավ՝

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Եթե ժամանակ ունեք, միշտ խորհուրդ է տրվում ստուգում կատարել։ Թեստը կատարվում է ստանդարտ սխեմայով, որն արդեն քննարկվել է դասարանում։ 2-րդ կարգի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ. Կրկնենք.

Ստուգենք նախնական պայմանի կատարումը.
- կատարած.

Գտնենք առաջին ածանցյալը.

Ստուգենք երկրորդ նախնական պայմանի կատարումը.
- կատարած.

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը.

Եկեք փոխարինենք , և սկզբնական հավասարման ձախ կողմում՝

Ստացվում է սկզբնական հավասարման աջ կողմը:

Եզրակացություն՝ առաջադրանքը ճիշտ է կատարվել:

Փոքր օրինակ ձեր սեփական լուծման համար.

Օրինակ 2

Օգտագործելով գործառնական հաշվարկը, գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում տվյալ սկզբնական պայմաններում:

Վերջնական առաջադրանքի մոտավոր նմուշ դասի վերջում։

Դիֆերենցիալ հավասարումների ամենատարածված հյուրը, ինչպես շատերը վաղուց նկատել են, էքսպոնենցիալներն են, ուստի եկեք հաշվի առնենք մի քանի օրինակ նրանց, նրանց հարազատների հետ.

Օրինակ 3

, ,

Լուծում:Օգտագործելով Laplace-ի փոխակերպման աղյուսակը (աղյուսակի ձախ կողմը) մենք բնօրինակներից տեղափոխվում ենք համապատասխան պատկերներ։

Եկեք նախ նայենք հավասարման ձախ կողմին: Այնտեղ առաջին ածանցյալ չկա։ Եւ ինչ? Հիանալի: Ավելի քիչ աշխատանք. Հաշվի առնելով նախնական պայմանները, օգտագործելով աղյուսակային թիվ 1, 3 բանաձևերը, գտնում ենք պատկերները.

Այժմ նայեք աջ կողմին՝ – երկու ֆունկցիայի արտադրյալ: Առավելություններից օգտվելու համար գծայինության հատկություններԼապլասի փոխակերպում, անհրաժեշտ է բացել փակագծերը. Քանի որ հաստատունները ապրանքների մեջ են, մենք մոռանում ենք դրանց մասին և օգտագործելով աղյուսակային բանաձևերի թիվ 5 խումբը, գտնում ենք պատկերները.

Գտնված պատկերները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ.

Հիշեցնեմ, որ հաջորդ խնդիրը օպերատորի լուծումն արտահայտելն է մեկ կոտորակի տեսքով։

Ձախ կողմում մենք թողնում ենք այն տերմինները, որոնք պարունակում են , իսկ մնացած տերմինները տեղափոխում ենք աջ կողմ: Միևնույն ժամանակ, աջ կողմում մենք սկսում ենք կամաց-կամաց կրճատել կոտորակները ընդհանուր հայտարարի.

Ձախ կողմում այն հանում ենք փակագծերից, աջ կողմում արտահայտությունը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Ձախ կողմում մենք ստանում ենք բազմանդամ, որը հնարավոր չէ գործոնացնել: Եթե բազմանդամը հնարավոր չէ ֆակտորիզացնել, ապա խեղճին պետք է անմիջապես գցել աջ կողմի հատակը, ոտքերը բետոնացնել ավազանում։ Իսկ համարիչում բացում ենք փակագծերը և ներկայացնում նմանատիպ տերմիններ.

Ամենադժվար փուլը եկել է. չորոշված գործակիցների մեթոդԵկեք ընդլայնենք հավասարման օպերատորի լուծումը տարրական կոտորակների գումարի մեջ.

Այսպիսով.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է կոտորակը քայքայվում. , շուտով կբացատրեմ, թե ինչու է այդպես։

Ավարտել. եկեք պատկերներից անցնենք համապատասխան բնօրինակներին, օգտագործենք աղյուսակի աջ սյունակը.

Երկու ստորին փոխակերպումների ժամանակ օգտագործվել են աղյուսակի 6-րդ և 7-րդ բանաձևերը, և կոտորակը նախապես ընդլայնվել է, որպեսզի այն «տեղավորվի» աղյուսակի փոխակերպումների մեջ:

Արդյունքում, որոշակի լուծում.

Պատասխան.պահանջվող կոնկրետ լուծում.

Նմանատիպ օրինակ DIY լուծման համար.

Օրինակ 4

Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում՝ օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը:

Դասի վերջում կարճ լուծում և պատասխան.

Օրինակ 4-ում նախնական պայմաններից մեկը զրո է: Սա, անշուշտ, հեշտացնում է լուծումը, և ամենաիդեալական տարբերակն այն է, երբ երկու նախնական պայմաններն էլ զրոյական են. . Այս դեպքում ածանցյալները վերածվում են առանց պոչերի պատկերների.

Ինչպես արդեն նշվեց, խնդրի ամենադժվար տեխնիկական կողմը ֆրակցիայի ընդլայնումն է չորոշված գործակիցների մեթոդ, իսկ ես բավականին աշխատատար օրինակներ ունեմ իմ տրամադրության տակ։ Այնուամենայնիվ, ես ոչ ոքի չեմ վախեցնի հրեշներով.

Օրինակ 5

Օգտագործելով գործառնական հաշվարկի մեթոդը, գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է տրված սկզբնական պայմանները:
, ,

Լուծում:Օգտագործելով Լապլասի փոխակերպման աղյուսակը, մենք բնօրինակներից տեղափոխվում ենք համապատասխան պատկերներ։ Հաշվի առնելով նախնական պայմանները :

Աջ կողմի հետ նույնպես խնդիրներ չկան.

(Հիշեք, որ բազմապատկիչ հաստատուններն անտեսվում են)

Եկեք ստացված պատկերները փոխարինենք սկզբնական հավասարման մեջ և կատարենք ստանդարտ գործողություններ, որոնք, հուսով եմ, արդեն լավ աշխատել եք.

Մենք հաստատունը վերցնում ենք կոտորակից դուրս հայտարարի մեջ, գլխավորն այն է, որ հետագայում չմոռանանք դրա մասին.

Մտածում էի, թե արդյոք համարիչից հանե՞լ հավելյալ երկուսը, այնուամենայնիվ, հաշվառումից հետո եկա այն եզրակացության, որ այս քայլը գործնականում չի պարզեցնի հետագա որոշումը։

Առաջադրանքի առանձնահատկությունը ստացված կոտորակն է։ Թվում է, թե դրա քայքայումը երկար ու դժվար կլինի, բայց արտաքին տեսքը խաբուսիկ է։ Բնականաբար, դժվար բաներ կան, բայց ամեն դեպքում՝ առաջ, առանց վախի և կասկածի.

Այն փաստը, որ որոշ հավանականություններ պարզվել են, որ կոտորակային են, չպետք է շփոթեցնի այս իրավիճակը. Եթե միայն հաշվողական տեխնոլոգիան չտապալվեր։ Բացի այդ, պատասխանը ստուգելու հնարավորություն միշտ կա։

Արդյունքում օպերատորի լուծումը հետևյալն է.