Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։ Հզոր-էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Մաթեմատիկայում ֆիզիկական խնդիրների կամ օրինակների լուծումը լիովին անհնար է առանց ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության: Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության ամենակարեւոր հասկացություններից մեկն է: Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ի՞նչ է ածանցյալը, ի՞նչ ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն ունի, ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը։ Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:

Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Թող ֆունկցիա լինի f(x) , նշված է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) . Այս միջակայքին են պատկանում x և x0 կետերը: Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն՝ դրա արժեքների տարբերությունը x-x0 . Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ աճը երկու կետում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է: Ածանցյալի սահմանում.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:

Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.

Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը։ Եվ ահա թե ինչ է դա.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի և տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափմանը:

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. ուղու ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։

Իսկապես, դպրոցական օրերից բոլորը գիտեն, որ արագությունը որոշակի ճանապարհ է x=f(t) և ժամանակ տ . Միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում.

Ժամանակի ընթացքում շարժման արագությունը պարզելու համար t0 դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.

Կանոն առաջին. սահմանել հաստատուն

Հաստատունը կարելի է հանել ածանցյալ նշանից։ Ավելին, դա պետք է արվի։ Մաթեմատիկայում օրինակներ լուծելիս ընդունեք որպես կանոն. Եթե ​​դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, համոզվեք, որ այն պարզեցրեք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.

Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։

Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ կդիտարկենք գործնական օրինակ:

Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ

Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Լուծում:

Այստեղ կարևոր է խոսել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկման մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտության.

Այս դեպքում միջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ ուժին: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար մենք նախ հաշվարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք բուն միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Չորրորդ կանոն՝ երկու ֆունկցիայի քանորդի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձև.

Մենք փորձեցինք խոսել զրոյից ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:

Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցով կարող եք կապվել ուսանողական ծառայության հետ: Կարճ ժամանակում մենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար թեստը և հասկանալ առաջադրանքները, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք արել ածանցյալ հաշվարկներ։

Շատ հեշտ է հիշել:

Դե, եկեք հեռու չգնանք, անմիջապես դիտարկենք հակադարձ գործառույթը: Ո՞ր ֆունկցիան է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հակադարձ. Լոգարիթմ:

Մեր դեպքում հիմքը համարն է.

Նման լոգարիթմը (այսինքն՝ հիմք ունեցող լոգարիթմը) կոչվում է «բնական», և դրա համար մենք օգտագործում ենք հատուկ նշում՝ փոխարենը գրում ենք։

Ինչի՞ն է դա հավասար։ Իհարկե, .

Բնական լոգարիթմի ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է.

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը:
2. Ո՞րն է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Պատասխանները: Էքսպոնենցիալ և բնական լոգարիթմը ածանցյալ տեսանկյունից եզակի պարզ ֆունկցիաներ են: Ցանկացած այլ հիմքի հետ էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները կունենան այլ ածանցյալ, որը մենք կվերլուծենք ավելի ուշ՝ տարբերակման կանոնները անցնելուց հետո։

Տարբերակման կանոններ

Ինչի կանոններ. Նորից նոր ժամկետ, էլի՞...

Տարբերակումածանցյալը գտնելու գործընթացն է։

Այսքանը: Ուրիշ ինչ կարող եք անվանել այս գործընթացը մեկ բառով: Ոչ ածանցյալ... Մաթեմատիկոսները դիֆերենցիալն անվանում են ֆունկցիայի նույն աճը: Այս տերմինը գալիս է լատիներեն տարբերակից՝ տարբերություն։ Այստեղ.

Այս բոլոր կանոնները բխեցնելիս մենք կօգտագործենք երկու գործառույթ, օրինակ և. Մեզ անհրաժեշտ կլինեն նաև դրանց ավելացման բանաձևեր.

Ընդհանուր առմամբ կա 5 կանոն.

Հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից։

Եթե ​​- ինչ-որ հաստատուն թիվ (հաստատուն), ապա.

Ակնհայտ է, որ այս կանոնը նույնպես գործում է տարբերության համար.

Եկեք ապացուցենք դա։ Թող լինի, կամ ավելի պարզ:

Օրինակներ.

Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.

1. մի կետում;
2. մի կետում;
3. մի կետում;
4. կետում։

Լուծումներ:

1. (ածանցյալը բոլոր կետերում նույնն է, քանի որ գծային ֆունկցիա է, հիշու՞մ եք):

Արտադրանքի ածանցյալ

Այստեղ ամեն ինչ նման է. եկեք ներկայացնենք նոր գործառույթ և գտնենք դրա աճը.

Ածանցյալ:

Օրինակներ.

1. Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները և.
2. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը մի կետում:

Լուծումներ:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Այժմ ձեր գիտելիքները բավական են, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես գտնել ցանկացած էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը, և ոչ միայն ցուցիչները (դուք դեռ մոռացե՞լ եք, թե դա ինչ է):

Այսպիսով, որտեղ է որոշ թիվ:

Մենք արդեն գիտենք ֆունկցիայի ածանցյալը, ուստի եկեք փորձենք մեր ֆունկցիան իջեցնել նոր հիմքի.

Դա անելու համար մենք կօգտագործենք պարզ կանոն. Ապա.

Դե, ստացվեց: Այժմ փորձեք գտնել ածանցյալը և մի մոռացեք, որ այս ֆունկցիան բարդ է:

Տեղի է ունեցել?

Ահա, ստուգեք ինքներդ.

Բանաձևը շատ նման է ցուցիչի ածանցյալին. ինչպես եղել է, այնպես էլ մնացել է, հայտնվել է միայն գործակիցը, որն ընդամենը թիվ է, բայց ոչ փոփոխական։

Օրինակներ.
Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Պատասխանները:

Սա ընդամենը մի թիվ է, որը հնարավոր չէ հաշվարկել առանց հաշվիչի, այսինքն՝ այն չի կարելի գրել ավելի պարզ ձևով։ Ուստի պատասխանում թողնում ենք այս տեսքով.

Նկատի ունեցեք, որ այստեղ երկու ֆունկցիաների քանորդն է, ուստի մենք կիրառում ենք համապատասխան տարբերակման կանոնը.

Այս օրինակում երկու ֆունկցիաների արտադրյալը.

Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ

Այստեղ նման է. դուք արդեն գիտեք բնական լոգարիթմի ածանցյալը.

Հետևաբար, այլ հիմքով կամայական լոգարիթմ գտնելու համար, օրինակ.

Մենք պետք է կրճատենք այս լոգարիթմը մինչև հիմք: Ինչպե՞ս փոխել լոգարիթմի հիմքը: Հուսով եմ հիշում եք այս բանաձևը.

Միայն հիմա փոխարենը կգրենք.

Հայտարարը պարզապես հաստատուն է (հաստատուն թիվ, առանց փոփոխականի): Ածանցյալը ստացվում է շատ պարզ.

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաների ածանցյալներ Միասնական պետական ​​քննությունում գրեթե երբեք չեն գտնում, բայց դրանց իմացությունը ավելորդ չի լինի։

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Ի՞նչ է «բարդ ֆունկցիան»: Ոչ, սա լոգարիթմ չէ և արկտանգենս չէ: Այս ֆունկցիաները կարող են դժվար հասկանալի լինել (չնայած եթե լոգարիթմը ձեզ համար դժվար է, կարդացեք «Լոգարիթմներ» թեման և լավ կլինեք), բայց մաթեմատիկական տեսանկյունից «բարդ» բառը չի նշանակում «դժվար»:

Պատկերացրեք մի փոքրիկ փոխակրիչ. երկու հոգի նստած են և ինչ-որ գործողություններ են անում որոշ առարկաների հետ: Օրինակ՝ առաջինը շոկոլադե սալիկը փաթաթում է փաթաթանով, իսկ երկրորդը կապում է ժապավենով։ Արդյունքը կոմպոզիտային առարկա է՝ շոկոլադե սալիկ, որը փաթաթված և կապվում է ժապավենով: Շոկոլադե սալիկ ուտելու համար հարկավոր է հակառակ քայլերն անել հակառակ հերթականությամբ։

Եկեք ստեղծենք նմանատիպ մաթեմատիկական խողովակաշար՝ նախ կգտնենք թվի կոսինուսը, իսկ հետո ստացված թիվը քառակուսի կդնենք։ Այսպիսով, մեզ տրվում է թիվ (շոկոլադ), ես գտնում եմ դրա կոսինուսը (փաթաթան), այնուհետև դու քառակուսի ես դնում իմ ստացածը (կապում ես ժապավենով): Ինչ է պատահել? Գործառույթ. Սա բարդ ֆունկցիայի օրինակ է. երբ դրա արժեքը գտնելու համար մենք կատարում ենք առաջին գործողությունը ուղղակիորեն փոփոխականի հետ, իսկ հետո երկրորդ գործողությունը՝ առաջինից ստացվածով:

Այլ կերպ ասած, կոմպլեքս ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի արգումենտը մեկ այլ ֆունկցիա է: .

Մեր օրինակի համար.

Մենք կարող ենք հեշտությամբ կատարել նույն քայլերը հակառակ հերթականությամբ. սկզբում դուք քառակուսի եք դնում այն, իսկ հետո ես փնտրում եմ ստացված թվի կոսինուսը՝ . Հեշտ է կռահել, որ արդյունքը գրեթե միշտ տարբեր կլինի։ Բարդ ֆունկցիաների կարևոր հատկանիշ. երբ փոխվում է գործողությունների հերթականությունը, ֆունկցիան փոխվում է։

Երկրորդ օրինակ. (նույն բանը): .

Այն գործողությունը, որը մենք վերջին անգամ ենք անում, կկոչվի «արտաքին» գործառույթ, և գործողությունը կատարվեց առաջինը `համապատասխանաբար «ներքին» գործառույթը(սրանք ոչ պաշտոնական անուններ են, ես դրանք օգտագործում եմ միայն նյութը պարզ լեզվով բացատրելու համար):

Փորձեք ինքներդ որոշել, թե որ գործառույթն է արտաքին և որը ներքին.

Պատասխանները:Ներքին և արտաքին ֆունկցիաների տարանջատումը շատ նման է փոփոխականների փոփոխմանը. օրինակ՝ ֆունկցիայի մեջ

1. Ի՞նչ գործողություն ենք մենք առաջինը կատարելու: Նախ, եկեք հաշվարկենք սինուսը, և միայն դրանից հետո խորանարդենք այն: Սա նշանակում է, որ դա ներքին ֆունկցիա է, բայց արտաքին։
   Իսկ սկզբնական գործառույթը նրանց կազմն է.
2. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
3. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
4. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.
5. Ներքին: ; արտաքին:
   Փորձաքննություն.

Փոխում ենք փոփոխականները և ստանում ֆունկցիա։

Դե, հիմա մենք կքաղենք մեր շոկոլադե սալիկն ու կփնտրենք ածանցյալը: Գործընթացը միշտ հակադարձվում է՝ սկզբում փնտրում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, այնուհետև արդյունքը բազմապատկում ենք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալով։ Բնօրինակի օրինակի հետ կապված, այն ունի հետևյալ տեսքը.

Մեկ այլ օրինակ.

Այսպիսով, վերջապես ձևակերպենք պաշտոնական կանոնը.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

Պարզ է թվում, չէ՞:

Եկեք ստուգենք օրինակներով.

Լուծումներ:

1) Ներքին՝ ;

Արտաքին:

2) ներքին՝ ;

(Պարզապես մի փորձեք կտրել այն մինչ այժմ: Կոսինուսի տակից ոչինչ դուրս չի գալիս, հիշում եք):

3) ներքին՝ ;

Արտաքին:

Անմիջապես պարզ է դառնում, որ սա եռաստիճան բարդ ֆունկցիա է. ի վերջո, սա արդեն ինքնին բարդ ֆունկցիա է, և մենք դրանից հանում ենք նաև արմատը, այսինքն՝ կատարում ենք երրորդ գործողությունը (շոկոլադը դնում ենք փաթաթայի մեջ։ և պայուսակի մեջ ժապավենով): Բայց վախենալու պատճառ չկա. մենք դեռ «կբացենք» այս գործառույթը սովորական հերթականությամբ՝ վերջից:

Այսինքն՝ սկզբում տարբերակում ենք արմատը, հետո կոսինուսը, հետո միայն փակագծերում արտահայտությունը։ Եվ հետո մենք բազմապատկում ենք այդ ամենը:

Նման դեպքերում հարմար է համարակալել գործողությունները։ Այսինքն՝ պատկերացնենք, թե ինչ գիտենք։ Ի՞նչ հերթականությամբ ենք մենք կատարելու գործողություններ այս արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Դիտարկենք օրինակ.

Որքան ուշ կատարվի գործողությունը, այնքան ավելի «արտաքին» կլինի համապատասխան գործառույթը։ Գործողությունների հաջորդականությունը նույնն է, ինչ նախկինում.

Այստեղ բնադրումը հիմնականում 4 մակարդակ է։ Եկեք որոշենք գործողությունների ընթացքը.

1. Արմատական ​​արտահայտություն. .

2. Արմատ. .

3. Սինուս. .

4. Քառակուսի. .

5. Բոլորը միասին դնելով.

ածանցյալ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Ֆունկցիայի ածանցյալ- ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը փաստարկի անվերջ փոքր աճի փաստարկի աճին.

Հիմնական ածանցյալներ.

Տարբերակման կանոններ.

Հաստատունը հանվում է ածանցյալ նշանից.

Գումարի ածանցյալը.

Արտադրանքի ածանցյալը.

Գործակիցի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու ալգորիթմ.

1. Մենք սահմանում ենք «ներքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
2. Մենք սահմանում ենք «արտաքին» ֆունկցիան և գտնում դրա ածանցյալը:
3. Մենք բազմապատկում ենք առաջին և երկրորդ կետերի արդյունքները:

Տրված են ածանցյալների հաշվարկման օրինակներ՝ օգտագործելով բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը:

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևի ապացույց

Հիմնական բանաձևեր

Այստեղ մենք բերում ենք հետևյալ գործառույթների ածանցյալների հաշվարկման օրինակներ.
; ; ; ; .

Եթե ​​ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես բարդ ֆունկցիա հետևյալ ձևով.
,
ապա դրա ածանցյալը որոշվում է բանաձևով.
.
Ստորև բերված օրինակներում մենք այս բանաձևը կգրենք հետևյալ կերպ.
.
Որտեղ.
Այստեղ ածանցյալ նշանի տակ գտնվող ենթագրերը նշանակում են այն փոփոխականները, որոնցով կատարվում է տարբերակումը։

Սովորաբար ածանցյալների աղյուսակներում տրվում են x փոփոխականից ֆունկցիաների ածանցյալներ։ Այնուամենայնիվ, x-ը պաշտոնական պարամետր է: x փոփոխականը կարող է փոխարինվել ցանկացած այլ փոփոխականով։ Հետևաբար, ֆունկցիան փոփոխականից տարբերելիս մենք ուղղակի ածանցյալների աղյուսակում x փոփոխականը փոխում ենք u փոփոխականի։

Պարզ օրինակներ

Օրինակ 1

Գտե՛ք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը
.

Տրված ֆունկցիան գրենք համարժեք ձևով.
.
Ածանցյալների աղյուսակում մենք գտնում ենք.
;
.

Համաձայն բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևի՝ ունենք.
.
Այստեղ .

Օրինակ 2

Գտի՛ր ածանցյալը
.

Ածանցյալ նշանից հանում ենք 5 հաստատունը և ածանցյալների աղյուսակից գտնում ենք.
.

.
Այստեղ .

Օրինակ 3

Գտի՛ր ածանցյալը
.

Մենք հանում ենք հաստատուն -1 ածանցյալի նշանի համար և ածանցյալների աղյուսակից գտնում ենք.
;
Ածանցյալների աղյուսակից մենք գտնում ենք.
.

Մենք կիրառում ենք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը.
.
Այստեղ .

Ավելի բարդ օրինակներ

Ավելի բարդ օրինակներում մենք մի քանի անգամ կիրառում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը։ Այս դեպքում ածանցյալը հաշվում ենք վերջից։ Այսինքն՝ մենք ֆունկցիան բաժանում ենք իր բաղադրիչ մասերի և գտնում ենք ամենապարզ մասերի ածանցյալները՝ օգտագործելով ածանցյալների աղյուսակ. Մենք նաև օգտագործում ենք գումարների տարբերակման կանոններ, ապրանքներ և կոտորակներ։ Այնուհետև կատարում ենք փոխարինումներ և կիրառում բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը.

Օրինակ 4

Գտի՛ր ածանցյալը
.

Ընտրենք բանաձևի ամենապարզ մասը և գտնենք դրա ածանցյալը։ .

.
Այստեղ մենք օգտագործել ենք նշումը
.

Ստացված արդյունքներով մենք գտնում ենք սկզբնական ֆունկցիայի հաջորդ մասի ածանցյալը: Գումարը տարբերակելու կանոնը կիրառում ենք.
.

Կրկին կիրառում ենք բարդ ֆունկցիաների տարբերակման կանոնը։

.
Այստեղ .

Օրինակ 5

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
.

Ընտրենք բանաձևի ամենապարզ մասը և ածանցյալների աղյուսակից գտնենք դրա ածանցյալը։ .

Կիրառում ենք բարդ ֆունկցիաների տարբերակման կանոնը.
.
Այստեղ
.

Ստացված արդյունքներով տարբերակենք հաջորդ մասը։
.
Այստեղ
.

Տարբերակենք հաջորդ մասը.

.
Այստեղ
.

Այժմ մենք գտնում ենք ցանկալի ֆունկցիայի ածանցյալը:

.
Այստեղ
.

Տես նաեւ:

Այս դասը նվիրված է «Բարդ ֆունկցիաների տարբերակում. Խնդիր մաթեմատիկայի պետական ​​միասնական քննությանը նախապատրաստվելու պրակտիկայից»։ Այս դասը ուսումնասիրում է բարդ ֆունկցիաների տարբերակումը: Կազմվում է բարդ ֆունկցիայի ածանցյալների աղյուսակ։ Բացի այդ, դիտարկվում է մաթեմատիկայի պետական ​​միասնական քննությանը նախապատրաստվելու պրակտիկայից խնդրի լուծման օրինակ։

Թեմա՝ Ածանցյալ

Դաս. Բարդ ֆունկցիայի տարբերակում: Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելու պրակտիկ առաջադրանք

Համալիրֆունկցիանմենք արդեն տարբերակել ենք, բայց փաստարկը գծային ֆունկցիա էր, այսինքն՝ մենք գիտենք, թե ինչպես կարելի է տարբերակել ֆունկցիան: Օրինակ, . Այժմ, նույն կերպ, մենք կգտնենք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալներ, որտեղ գծային ֆունկցիայի փոխարեն կարող է լինել մեկ այլ ֆունկցիա։

Սկսենք ֆունկցիայից

Այսպիսով, մենք գտանք սինուսի ածանցյալը բարդ ֆունկցիայից, որտեղ սինուսի արգումենտը քառակուսի ֆունկցիա էր:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել ածանցյալի արժեքը կոնկրետ կետում, ապա այս կետը պետք է փոխարինվի հայտնաբերված ածանցյալով:

Այսպիսով, երկու օրինակով մենք տեսանք, թե ինչպես է գործում կանոնը տարբերակումհամալիր գործառույթները.

2.

3. . Հիշեցնենք, որ.

7.

8. .

Այսպիսով, մենք այս փուլում կավարտենք բարդ ֆունկցիաների տարբերակման աղյուսակը։ Այնուհետև, իհարկե, այն էլ ավելի կընդհանրացվի, բայց հիմա անցնենք ածանցյալի կոնկրետ խնդիրներին:

Միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելու պրակտիկայում առաջարկվում են հետևյալ առաջադրանքները.

Գտեք ֆունկցիայի նվազագույնը .

ՕՁ: .

Գտնենք ածանցյալը։ Հիշեցնենք, որ ս. .

Ածանցյալը հավասարեցնենք զրոյի։ Կետը ներառված է ODZ-ում:

Գտնենք ածանցյալի հաստատուն նշանի միջակայքերը (ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը) (տե՛ս նկ. 1):

Բրինձ. 1. Ֆունկցիայի համար միապաղաղության միջակայքերը .

Եկեք նայենք մի կետ և պարզենք, թե արդյոք դա ծայրահեղ կետ է: Ծայրահեղության բավարար նշանն այն է, որ ածանցյալը փոխում է նշանը կետով անցնելիս: Այս դեպքում ածանցյալը փոխում է նշանը, ինչը նշանակում է, որ դա ծայրահեղ կետ է: Քանի որ ածանցյալը փոխում է «-»-ից «+»-ի նշանը, ապա սա նվազագույն կետն է: Գտնենք ֆունկցիայի արժեքը նվազագույն կետում՝ . Եկեք գծենք դիագրամ (տես նկ. 2):

Նկ.2. Ֆունկցիայի ծայրահեղություն .

Ինտերվալի վրա - ֆունկցիան նվազում է, միացված - ֆունկցիան մեծանում է, ծայրահեղ կետը եզակի է: Ֆունկցիան իր ամենափոքր արժեքը վերցնում է միայն կետում:

Դասի ընթացքում դիտարկեցինք բարդ ֆունկցիաների տարբերակումը, կազմեցինք աղյուսակ և դիտարկեցինք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնները և օրինակ բերեցինք միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելու պրակտիկայից ածանցյալ օգտագործելու օրինակ։

1. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից): Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), հրատ. Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2009 թ.

2. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից): Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), խմբ. Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2007 թ.

3. Վիլենկին Ն.Յա., Իվաշև-Մուսատով Օ.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծություն 10-րդ դասարանի համար (դասագիրք դպրոցների և դասարանների ուսանողների համար մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ): - Մ.: Պրոսվեշչենիե, 1996 թ.

4. Գալիցկի Մ.Լ., Մոշկովիչ Մ.Մ., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Հանրահաշվի և մաթեմատիկական վերլուծության խորը ուսումնասիրություն:-Մ.: Կրթություն, 1997 թ.

5. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների դիմորդների համար (խմբ.՝ Մ.Ի. Սկանավի) - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 1992 թ.

6. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Հանրահաշվական սիմուլյատոր.-K.: A.S.K., 1997 թ.

7. Զվավիչ Լ.Ի., Շլյապոչնիկ Լ.Յա., Չինկինա հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը: 8-11 դասարաններ՝ Ձեռնարկ մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ դպրոցների և դասարանների համար (դիդակտիկ նյութեր) - Մ.: Բուստարդ, 2002 թ.

8. Սահակյան Ս.Մ., Գոլդման Ա.Մ., Դենիսով Դ.Վ. Խնդիրներ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ (ձեռնարկ հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների ուսանողների համար): - Մ.: Պրոսվեշչենիե, 2003 թ.

9. Կարպ Ա.Պ. Հանրահաշվի խնդիրների և վերլուծության սկզբունքների ժողովածու. Դասագիրք. նպաստ 10-11 դասարանների համար. խորությամբ ուսումնասիրված Մաթեմատիկա.-Մ.՝ Կրթություն, 2006 թ.

10. Գլեյզեր Գ.Ի. Մաթեմատիկայի պատմություն դպրոցում. 9-10 դասարաններ (ձեռնարկ ուսուցիչների համար):-Մ.: Կրթություն, 1983

Լրացուցիչ վեբ ռեսուրսներ

2. Բնական գիտությունների պորտալ ().

Պատրաստեք այն տանը

Թիվ 42.2, 42.3 (Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, 10-րդ դասարան (երկու մասով): Խնդիրների գիրք հանրակրթական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ) խմբագրել է Ա. Գ. Մորդկովիչը: - Մ.: Mnemosyne, 2007 թ.)

Եթե ​​հետևում եք սահմանմանը, ապա մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը Δ ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է։ yփաստարկի ավելացման Δ x:

Ամեն ինչ կարծես պարզ է. Բայց փորձեք այս բանաձևով հաշվարկել, ասենք, ֆունկցիայի ածանցյալը զ(x) = x 2 + (2x+ 3) · ե xմեղք x. Եթե ​​ամեն ինչ անում եք ըստ սահմանման, ապա մի երկու էջ հաշվարկներից հետո դուք պարզապես կքնեք։ Հետեւաբար, կան ավելի պարզ եւ արդյունավետ ուղիներ:

Սկզբից մենք նշում ենք, որ գործառույթների ամբողջ բազմազանությունից մենք կարող ենք առանձնացնել այսպես կոչված տարրական գործառույթները: Սրանք համեմատաբար պարզ արտահայտություններ են, որոնց ածանցյալները վաղուց հաշվարկված ու աղյուսակավորված են։ Նման գործառույթները բավականին հեշտ է հիշել՝ դրանց ածանցյալների հետ միասին:

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Տարրական գործառույթները բոլորն են, որոնք թվարկված են ստորև: Այս ֆունկցիաների ածանցյալները պետք է անգիր հայտնի լինեն։ Ավելին, դրանք անգիր անելն ամենևին էլ դժվար չէ, դրա համար էլ տարրական են։

Այսպիսով, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները.

Անուն	Գործառույթ	Ածանցյալ
Մշտական	զ(x) = Գ, Գ ∈ Ռ	0 (այո, զրո!)
Հզորությունը ռացիոնալ ցուցիչով	զ(x) = x n	n · x n − 1
Սինուս	զ(x) = մեղք x	cos x
Կոսինուս	զ(x) = cos x	− մեղք x(մինուս սինուս)
Շոշափող	զ(x) = տգ x	1/co 2 x
Կոտանգենս	զ(x) = ctg x	− 1/մեղք 2 x
Բնական լոգարիթմ	զ(x) = գերան x	1/x
Կամայական լոգարիթմ	զ(x) = գերան ա x	1/(x ln ա)
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա	զ(x) = ե x	ե x(ոչինչ չի փոխվել)

Եթե ​​տարրական ֆունկցիան բազմապատկվում է կամայական հաստատունով, ապա նոր ֆունկցիայի ածանցյալը նույնպես հեշտությամբ հաշվարկվում է.

(Գ · զ)’ = Գ · զ ’.

Ընդհանրապես հաստատունները կարելի է հանել ածանցյալի նշանից։ Օրինակ:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Ակնհայտ է, որ տարրական գործառույթները կարելի է ավելացնել միմյանց, բազմապատկել, բաժանել և շատ ավելին: Այսպես կհայտնվեն նոր գործառույթներ՝ արդեն ոչ առանձնապես տարրական, այլ նաև տարբերակված՝ ըստ որոշակի կանոնների։ Այս կանոնները քննարկվում են ստորև:

Գումարի և տարբերության ածանցյալ

Թող տրվեն գործառույթները զ(x) Եվ է(x), որի ածանցյալները մեզ հայտնի են։ Օրինակ, կարող եք վերցնել վերը քննարկված տարրական գործառույթները: Այնուհետև կարող եք գտնել այս ֆունկցիաների գումարի և տարբերության ածանցյալը.

1. (զ + է)’ = զ ’ + է ’
2. (զ − է)’ = զ ’ − է ’

Այսպիսով, երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը): Կարող են լինել ավելի շատ ժամկետներ: Օրինակ, ( զ + է + հ)’ = զ ’ + է ’ + հ ’.

Խիստ ասած, հանրահաշվում «հանում» հասկացություն չկա: Գոյություն ունի «բացասական տարր» հասկացություն։ Հետևաբար տարբերությունը զ − էկարող է վերագրվել որպես գումար զ+ (−1) է, և հետո մնում է միայն մեկ բանաձև՝ գումարի ածանցյալը։

զ(x) = x 2 + մեղք x; է(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար.

զ ’(x) = (x 2 + մեղք x)’ = (x 2)’ + (մեղ x)’ = 2x+ cos x;

Մենք նմանապես հիմնավորում ենք ֆունկցիայի համար է(x) Միայն կան երեք տերմիններ (հանրահաշվի տեսանկյունից).

է ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Պատասխան.
զ ’(x) = 2x+ cos x;
է ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Արտադրանքի ածանցյալ

Մաթեմատիկան տրամաբանական գիտություն է, ուստի շատերը կարծում են, որ եթե գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին, ապա արտադրանքի ածանցյալը. գործադուլ«>հավասար է ածանցյալների արտադրյալին: Բայց պտտեցե՛ք ձեզ: Արտադրանքի ածանցյալը հաշվարկվում է բոլորովին այլ բանաձևով: Մասնավորապես.

(զ · է) ’ = զ ’ · է + զ · է ’

Բանաձևը պարզ է, բայց հաճախ մոռացվում է. Եվ ոչ միայն դպրոցականներ, այլեւ ուսանողներ։ Արդյունքը սխալ լուծված խնդիրներն են։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = x 3 cos x; է(x) = (x 2 + 7x− 7) · ե x .

Գործառույթ զ(x) երկու տարրական ֆունկցիաների արդյունք է, ուստի ամեն ինչ պարզ է.

զ ’(x) = (x 3 կո x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 կո x + x 3 (− մեղք x) = x 2 (3cos x − xմեղք x)

Գործառույթ է(x) առաջին բազմապատկիչը մի փոքր ավելի բարդ է, բայց ընդհանուր սխեման չի փոխվում: Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի առաջին գործոնը է(x) բազմանդամ է և նրա ածանցյալը գումարի ածանցյալն է։ Մենք ունենք:

է ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ե x)’ = (x 2 + 7x− 7)» · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ( ե x)’ = (2x+ 7) · ե x + (x 2 + 7x− 7) · ե x = ե x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ե x = x(x+ 9) · ե x .

Պատասխան.
զ ’(x) = x 2 (3cos x − xմեղք x);
է ’(x) = x(x+ 9) · ե x .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին քայլում ածանցյալը գործոնացվում է: Ֆորմալ կերպով դա պետք չէ անել, բայց ածանցյալների մեծ մասը հաշվարկվում է ոչ թե ինքնուրույն, այլ ֆունկցիան ուսումնասիրելու համար: Սա նշանակում է, որ հետագայում ածանցյալը կհավասարեցվի զրոյի, կորոշվեն նրա նշանները և այլն։ Նման դեպքի համար ավելի լավ է արտահայտությունը ֆակտորիզացված լինի։

Եթե ​​կան երկու գործառույթ զ(x) Եվ է(x), և է(x) ≠ 0 մեզ հետաքրքրող բազմության վրա, կարող ենք նոր ֆունկցիա սահմանել հ(x) = զ(x)/է(x) Նման ֆունկցիայի համար կարող եք նաև գտնել ածանցյալը.

Թույլ չէ, հա՞: Որտեղի՞ց եկավ մինուսը: Ինչո՞ւ է 2? Եվ այսպես. Սա ամենաբարդ բանաձևերից մեկն է. առանց շշի չես կարող հասկանալ: Ուստի ավելի լավ է այն ուսումնասիրել կոնկրետ օրինակներով։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պարունակում են տարրական ֆունկցիաներ, ուստի մեզ անհրաժեշտ է գործակիցի ածանցյալի բանաձևը.

Ավանդույթի համաձայն, եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչը, սա մեծապես կպարզեցնի պատասխանը.

Բարդ ֆունկցիան պարտադիր չէ, որ կես կիլոմետր երկարությամբ բանաձև լինի: Օրինակ, բավական է վերցնել ֆունկցիան զ(x) = մեղք xև փոխարինել փոփոխականը x, ասենք, վրա x 2 + ln x. Կստացվի զ(x) = մեղք ( x 2 + ln x) - սա բարդ գործառույթ է: Այն ունի նաև ածանցյալ, բայց այն հնարավոր չի լինի գտնել՝ օգտագործելով վերը քննարկված կանոնները։

Ինչ պետք է անեմ? Նման դեպքերում բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի փոփոխականի և բանաձևի փոխարինումը օգնում է.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ», Եթե xփոխարինվում է տ(x).

Որպես կանոն, այս բանաձևը հասկանալու հետ կապված իրավիճակը նույնիսկ ավելի տխուր է, քան գործակիցի ածանցյալը: Հետևաբար, ավելի լավ է նաև այն բացատրել՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ՝ յուրաքանչյուր քայլի մանրամասն նկարագրությամբ:

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիաների ածանցյալները. զ(x) = ե 2x + 3 ; է(x) = մեղք ( x 2 + ln x)

Նշենք, որ եթե ֆունկցիայի մեջ զ(x) 2 արտահայտության փոխարեն x+ 3-ը հեշտ կլինի x, ապա ստանում ենք տարրական ֆունկցիա զ(x) = ե x. Հետևաբար, մենք կատարում ենք փոխարինում. թող 2 x + 3 = տ, զ(x) = զ(տ) = ե տ. Մենք փնտրում ենք բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ՝ օգտագործելով բանաձևը.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (ե տ)’ · տ ’ = ե տ · տ ’

Եվ հիմա - ուշադրություն: Մենք կատարում ենք հակադարձ փոխարինում. տ = 2x+ 3. Մենք ստանում ենք.

զ ’(x) = ե տ · տ ’ = ե 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ե 2x+ 3 2 = 2 ե 2x + 3

Հիմա եկեք նայենք գործառույթին է(x) Ակնհայտ է, որ այն պետք է փոխարինվի x 2 + ln x = տ. Մենք ունենք:

է ’(x) = է ’(տ) · տ= (մեղ տ)’ · տ= cos տ · տ ’

Հակադարձ փոխարինում. տ = x 2 + ln x. Ապա.

է ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Այսքանը: Ինչպես երևում է վերջին արտահայտությունից, ամբողջ խնդիրը կրճատվել է մինչև ածանցյալ գումարի հաշվարկը։

Պատասխան.
զ ’(x) = 2 · ե 2x + 3 ;
է ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Շատ հաճախ իմ դասերի ժամանակ «ածանցյալ» տերմինի փոխարեն ես օգտագործում եմ «պրիմ» բառը։ Օրինակ, գումարի հարվածը հավասար է հարվածների գումարին: Դա ավելի պարզ է? Դե, դա լավ է:

Այսպիսով, ածանցյալի հաշվարկը հանգում է վերը քննարկված կանոնների համաձայն այս նույն հարվածներից ազատվելուն: Որպես վերջնական օրինակ՝ վերադառնանք ռացիոնալ ցուցիչով ածանցյալ հզորությանը.

(x n)’ = n · x n − 1

Քչերը գիտեն դա դերում nկարող է լինել կոտորակային թիվ: Օրինակ, արմատն է x 0.5. Իսկ եթե արմատի տակ ինչ-որ շքեղ բան կա: Դարձյալ արդյունքը կլինի բարդ ֆունկցիա՝ նրանք սիրում են նման կոնստրուկցիաներ տալ թեստերում և քննություններում։

Առաջադրանք. Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Նախ, եկեք արմատը վերագրենք որպես ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող ուժ.

զ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Այժմ մենք փոխարինում ենք. թող x 2 + 8x − 7 = տ. Մենք գտնում ենք ածանցյալը բանաձևով.

զ ’(x) = զ ’(տ) · տ ’ = (տ 0.5)» · տ= 0,5 · տ−0,5 · տ ’.

Եկեք կատարենք հակառակ փոխարինումը. տ = x 2 + 8x− 7. Մենք ունենք.

զ ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Վերջապես, վերադառնանք արմատներին.