Հեռավորությունը կետից մինչև ինքնաթիռ: Մանրամասն տեսություն օրինակներով (2020) մեթոդ. Վեկտորային մեթոդ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՄԻԱՍՆԱԿԱՆ ՊԵՏԱԿԱՆ ՔՆՆՈՒԹՅԱՆ Գ2 ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ ԳՏՆԵԼՈՒ ԿԵՏԻՑ ՄԻՆՉԵՎ ՀԵՌԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ.

Կուլիկովա Անաստասիա Յուրիևնա

5-րդ կուրսի մաթ. վերլուծություն, հանրահաշիվ և երկրաչափություն EI KFU, Ռուսաստանի Դաշնություն, Թաթարստանի Հանրապետություն, Էլաբուգա

Գանեևա Այգուլ Ռիֆովնա

գիտական ​​ղեկավար, բ.գ.թ. պեդ. Գիտություններ, դոցենտ EI KFU, Ռուսաստանի Դաշնություն, Թաթարստանի Հանրապետություն, Էլաբուգա

Վերջին տարիներին մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներում հայտնվել են կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը հաշվարկելու առաջադրանքները: Այս հոդվածում, օգտագործելով մեկ խնդրի օրինակ, դիտարկվում են կետից հարթություն հեռավորությունը գտնելու տարբեր մեթոդներ: Ամենահարմար մեթոդը կարող է օգտագործվել տարբեր խնդիրների լուծման համար։ Խնդիրը լուծելով մեկ մեթոդով, կարող եք ստուգել արդյունքի ճիշտությունը մեկ այլ մեթոդով:

Սահմանում.Կետից մինչև այս կետը չպարունակող հարթության հեռավորությունը այս կետից մինչև տվյալ հարթությունը գծված ուղղահայաց հատվածի երկարությունն է։

Առաջադրանք.Տրվում է ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդ ԱԲՀԵՏԴ.Ա. 1 Բ 1 Գ 1 Դ 1 կողմերով ԱԲ=2, Ք.ա.=4, Ա.Ա. 1 = 6. Գտեք հեռավորությունը կետից Դդեպի ինքնաթիռ ACԴ 1 .

1 ճանապարհ. Օգտագործելով սահմանում. Գտեք հեռավորությունը r( Դ, ACԴ 1) կետից Դդեպի ինքնաթիռ ACԴ 1 (նկ. 1):

Նկար 1. Առաջին մեթոդ

Եկեք իրականացնենք Դ.Հ.⊥AC, հետևաբար, երեք ուղղանկյունների թեորեմով Դ 1 Հ⊥ACԵվ (DD 1 Հ)⊥AC. Եկեք իրականացնենք ուղիղ Դ.Տ.ուղղահայաց Դ 1 Հ. Ուղիղ Դ.Տ.ընկած է ինքնաթիռում DD 1 Հ, հետևաբար Դ.Տ.⊥A.C.. Հետևաբար, Դ.Տ.⊥ACԴ 1.

ԱDCեկեք գտնենք հիպոթենուսը ACև բարձրությունը Դ.Հ.

Ուղղանկյուն եռանկյունից Դ 1 Դ.Հ. եկեք գտնենք հիպոթենուսը Դ 1 Հև բարձրությունը Դ.Տ.

Պատասխան.

Մեթոդ 2.Ծավալի մեթոդ (օժանդակ բուրգի օգտագործումը). Այս տիպի խնդիրը կարող է կրճատվել մինչև բուրգի բարձրությունը հաշվարկելու խնդիր, որտեղ բուրգի բարձրությունը կետից մինչև հարթություն պահանջվող հեռավորությունն է: Ապացուցեք, որ այս բարձրությունը պահանջվող հեռավորությունն է. Գտե՛ք այս բուրգի ծավալը երկու եղանակով և արտահայտե՛ք այս բարձրությունը։

Նկատի ունեցեք, որ այս մեթոդով կարիք չկա տվյալ կետից տվյալ հարթությանը ուղղահայաց կառուցել։

Խորանարդը զուգահեռաբարձ է, որի բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն են:

ԱԲ=CD=2, Ք.ա.=ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ=4, Ա.Ա. 1 =6.

Պահանջվող հեռավորությունը կլինի բարձրությունը հբուրգեր ACD 1 Դ, վերեւից իջեցված Դհիմքի վրա ACD 1 (նկ. 2):

Հաշվենք բուրգի ծավալը ACD 1 Դերկու ճանապարհ.

Հաշվարկելիս առաջին ձևով հիմք ենք ընդունում ∆ ACD 1 ապա

Երկրորդ եղանակով հաշվարկելիս հիմք ենք ընդունում ∆ ACD, Հետո

Հավասարեցնենք վերջին երկու հավասարումների աջ կողմերը և ստացենք

Նկար 2. Երկրորդ մեթոդ

Ուղղանկյուն եռանկյուններից ACԴ, ԱՎԵԼԱՑՆԵԼ 1 , CDDԳտե՛ք հիպոթենուսը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը

ACD

Հաշվեք եռանկյան մակերեսը ACԴ 1 օգտագործելով Հերոնի բանաձևը

Պատասխան.

3 ճանապարհ. Կոորդինացիոն մեթոդ.

Թող մի միավոր տրվի Մ(x 0 ,y 0 ,զ 0) և հարթություն α , տրված է հավասարմամբ կացին+կողմից+cz+դ=0 ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում: Հեռավորությունը կետից Մα հարթության վրա կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ (նկ. 3): Կոորդինատների ծագումը մի կետում IN;

Ուղիղ ԱԲ- առանցք X, ուղիղ Արև- առանցք y, ուղիղ ԲԲ 1 - առանցք զ.

Նկար 3. Երրորդ մեթոդ

Բ(0,0,0), Ա(2,0,0), ՀԵՏ(0,4,0), Դ(2,4,0), Դ 1 (2,4,6).

Թող աx+կողմից+ cz+ դ=0 – հարթության հավասարում ACD 1 . Փոխարինելով կետերի կոորդինատները դրա մեջ Ա, Գ, Դ 1 մենք ստանում ենք.

Ինքնաթիռի հավասարումը ACD 1-ը կվերցնի ձևը

Պատասխան.

4 ճանապարհ. Վեկտորային մեթոդ.

Ներկայացնենք հիմքը (նկ. 4) , .

Նկար 4. Չորրորդ մեթոդ

, Մրցույթ «Դասի ներկայացում»

Դասարան: 11

Ներկայացում դասի համար

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել շնորհանդեսի բոլոր հատկանիշները: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Նպատակները:

• ուսանողների գիտելիքների և հմտությունների ընդհանրացում և համակարգում.
• վերլուծելու, համեմատելու, եզրակացություններ անելու հմտությունների զարգացում.

Սարքավորումներ:

• մուլտիմեդիա պրոյեկտոր;
• համակարգիչ;
• խնդրահարույց տեքստերով թերթեր

ԴԱՍԱՐԱՆԻ ԱՌԱՋԸՆԹԱՑԸ

I. Կազմակերպչական պահ

II. Գիտելիքների թարմացման փուլ(սլայդ 2)

Կրկնում ենք, թե ինչպես է որոշվում կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը

III. Դասախոսություն(սլայդներ 3-15)

Այս դասում մենք կդիտարկենք տարբեր եղանակներ՝ գտնելու կետից հարթություն հեռավորությունը:

Առաջին մեթոդ. քայլ առ քայլ հաշվարկ

Հեռավորությունը M կետից α հարթություն.
– հավասար է α հարթության հեռավորությանը a կամայական P կետից, որը գտնվում է a ուղիղ գծի վրա, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է α հարթությանը.
– հավասար է α հարթության հեռավորությանը β հարթության վրա ընկած P կամայական կետից, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է α հարթությանը։

Մենք կլուծենք հետևյալ խնդիրները.

№1. A...D 1 խորանարդում գտե՛ք C 1 կետից մինչև AB 1 C հարթությունը։

Մնում է հաշվարկել O 1 N հատվածի երկարության արժեքը:

№2. Կանոնավոր վեցանկյուն A...F 1 պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք հեռավորությունը A կետից մինչև DEA 1 հարթությունը։

Հաջորդ մեթոդը. ծավալային մեթոդ.

Եթե ​​ABCM բուրգի ծավալը հավասար է V-ի, ապա հեռավորությունը M կետից մինչև α հարթությունը, որը պարունակում է ∆ABC, հաշվարկվում է ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = բանաձևով:
Խնդիրներ լուծելիս մենք օգտագործում ենք մեկ գործչի ծավալների հավասարությունը՝ արտահայտված երկու տարբեր ձևերով։

Եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը.

№3. DABC բուրգի AD եզրը ուղղահայաց է բազային հարթությանը ABC: Գտե՛ք A-ից մինչև AB, AC և AD եզրերի միջնակետերով անցնող հարթությունը հեռավորությունը, եթե.

Խնդիրներ լուծելիս կոորդինատային մեթոդհեռավորությունը M կետից մինչև α հարթություն կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով ρ(M; α) = բանաձևը , որտեղ M(x 0; y 0; z 0), իսկ հարթությունը տրված է ax + by + cz + d = 0 հավասարմամբ

Եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը.

№4. A...D 1 միավոր խորանարդի մեջ գտե՛ք հեռավորությունը A 1 կետից մինչև BDC 1 հարթությունը:

Ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ A կետի սկզբնավորմամբ, y առանցքը կանցնի AB եզրով, x առանցքը AD եզրով, իսկ z առանցքը AA 1 եզրով: Այնուհետև B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) կետերի կոորդինատները:
B, D, C 1 կետերով անցնող հարթության համար ստեղծենք հավասարում։

Այնուհետև – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0: Հետևաբար, ρ =

Հետևյալ մեթոդը, որը կարող է օգտագործվել այս տեսակի խնդիրների լուծման համար, հետևյալն է աջակցության մեթոդի խնդիրներ:

Այս մեթոդի կիրառումը բաղկացած է հայտնի հղումային խնդիրների կիրառումից, որոնք ձևակերպված են որպես թեորեմներ։

Եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը.

№5. A...D 1 միավոր խորանարդի մեջ գտե՛ք D 1 կետից մինչև AB 1 C հարթությունը։

Դիտարկենք դիմումը վեկտորային մեթոդ.

№6. A...D 1 միավոր խորանարդի մեջ գտե՛ք հեռավորությունը A 1 կետից մինչև BDC 1 հարթությունը:

Այսպիսով, մենք դիտարկեցինք տարբեր մեթոդներ, որոնք կարող են օգտագործվել այս տեսակի խնդիրների լուծման համար: Այս կամ այն ​​մեթոդի ընտրությունը կախված է կոնկրետ առաջադրանքից և ձեր նախասիրություններից:

IV. Խմբային աշխատանք

Փորձեք խնդիրը լուծել տարբեր ձևերով։

№1. A...D 1 խորանարդի եզրը հավասար է . Գտե՛ք հեռավորությունը C գագաթից մինչև BDC 1 հարթությունը:

№2. Եզր ունեցող ABCD կանոնավոր քառաեդրոնում գտե՛ք հեռավորությունը A կետից մինչև BDC հարթությունը

№3. ABCA 1 B 1 C 1 կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք A-ից մինչև BCA 1 հարթությունը:

№4. SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, գտե՛ք հեռավորությունը A-ից մինչև SCD հարթությունը:

V. Դասի ամփոփում, տնային աշխատանք, մտորում

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այս պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տեղեկությունները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության պրակտիկան և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկատվությունը մեզ թույլ է տալիս կապվել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները ապահով են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Դիտարկենք որոշակի հարթություն π և կամայական M 0 կետ տարածության մեջ: Եկեք ընտրենք ինքնաթիռի համար միավոր նորմալ վեկտոր n հետ սկիզբըինչ-որ կետում M 1 ∈ π, և թող p(M 0 ,π) լինի M 0 կետից մինչև π հարթությունը: Այնուհետև (նկ. 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

քանի որ |n| = 1.

Եթե ​​π հարթությունը տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ՝ իր ընդհանուր հավասարմամբ Ax + By + Cz + D = 0, ապա նրա նորմալ վեկտորը կոորդինատներով վեկտորն է (A; B; C) և մենք կարող ենք ընտրել.

Թող (x 0; y 0; z 0) և (x 1; y 1; z 1) լինեն M 0 և M 1 կետերի կոորդինատները: Այնուհետև գործում է Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 հավասարությունը, քանի որ M 1 կետը պատկանում է հարթությանը, և կարելի է գտնել M 1 M 0 վեկտորի կոորդինատները. M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; Ձայնագրությունը սկալյար արտադրանք nM 1 M 0 կոորդինատային ձևով և փոխակերպելով (5.8), մենք ստանում ենք

քանի որ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D: Այսպիսով, կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է կետի կոորդինատները փոխարինել հարթության ընդհանուր հավասարման մեջ, այնուհետև բաժանել բացարձակ արժեքը: արդյունքը նորմալացնող գործակցով, որը հավասար է համապատասխան նորմալ վեկտորի երկարությանը: