Անհավասարությունների լուծում մոդուլով. Արտադասարանական դաս - թվային մոդուլ Դրական և բացասական թվեր

ՇՄՕ պետ
մաթեմատիկայի ուսուցիչներ _______Կալաշնիկովա Ժ.ՅուՄունիցիպալ բյուջետային ուսումնական հաստատություն
«Միջին հանրակրթական դպրոցթիվ 89»
Թեմատիկ թեստեր մաթեմատիկայից 6-րդ դասարանների համար
դասագրքի համաձայն Ի.Ի. Զուբարևան և Ա.Գ. Մորդկովիչ
Կազմող՝ մաթեմատիկայի ուսուցիչներ.
Կալաշնիկովա Ժաննա Յուրիևնա
Ստոլբովա Լյուդմիլա Անտոնովնա
ZATO Seversk
2016թ
Բովանդակություն
Թեստ թիվ 1…………………………………………………………………………………….3-6
Թիվ 2 թեստ………………………………………………………………………………….7-10
Թեստ թիվ 3…………………………………………………………………………………………………….11-14
Պատասխաններ……………………………………………………………………………………………………………………..15
Թիվ 1 «Դրական և բացասական թվեր» թեստ.
Տարբերակ 1
Մուտքագրեք բացասական կոտորակային թիվ.
-165
38
-7.92
67 Նկարագրեք իրադարձությունը «-5.5 թիվը նշված է կոորդինատային ճառագայթի վրա»
Հուսալի
Անհնարին
Պատահական

Չորս թվերից ո՞րն է ամենամեծը:
8,035
80,35
0,8035
803,5
Ո՞ր կետն է գտնվում O (0) կետից աջ կոորդինատային գծի վրա:
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1.2)
Գիշերը օդի ջերմաստիճանը եղել է -5°C։ Օրվա ընթացքում ջերմաչափն արդեն +3 °C էր։ Ինչպե՞ս է փոխվել օդի ջերմաստիճանը.
8o-ով ավելացել է
Նվազել է 2o-ով
Ավելացել է 2o-ով
Նվազել է 8o
Համաչափության կենտրոնի կոորդինատային գծի վրա նշվում է x(-2) կետը: Նշե՛ք այս ուղղի վրա գտնվող կետերի կոորդինատները սիմետրիկորեն x կետին:

(-1) և (1)
(-1) և (1)
(3) և (-3)
(0) և (-4)
Կոորդինատային գծի որ կետերը սիմետրիկ չեն սկզբի նկատմամբ՝ O (0) կետ:
B(-5) և C(5)
D(0.5) և E (-0.5)
M(-3) և K(13)
A(18) և X(-18)
Որքա՞ն է 0,316+0,4 թվերի գումարը։
0,356
0,716
4,316
0,32
Հաշվեք 0.4-ի 25%-ը:
0,1
0,001
10
100
Հաշվի՛ր 9100-ի և 0,03-ի տարբերությունը
0,05
0,6
9,03
350 Տարբերակ 2
Մուտքագրեք բացասական կոտորակային թիվ:
8,63
-1045
913-0,2
Նկարագրեք իրադարձությունը «7 թիվը նշված է կոորդինատային ճառագայթի վրա»:
Պատահական
Անհնարին
Հուսալի
Ո՞ր թիվն է ամենափոքրը:
15,49
154,9
1,549
1549
Կետերից ո՞րն է գտնվում O(0) կետից ձախ կոորդինատային գծի վրա:
A(-0.5)
ժամը 6)
M (0.5)
K(38)
Ցերեկը ջերմաչափը ցույց է տվել +5°C, իսկ երեկոյան -2°C։ Ինչպե՞ս է փոխվել օդի ջերմաստիճանը.
Ավելացել է 3o-ով
Նվազել է 7o
Նվազել է 3o-ով
Աճել է 7օ
Համաչափության կենտրոնը նշվում է կոորդինատային ուղղի վրա՝ կետ A(-3): Նշեք այս ուղիղի վրա գտնվող կետերի կոորդինատները A կետի նկատմամբ սիմետրիկորեն:

(-2) և (2)
(0) և (-5)
(-6) և (1)
(-1) և (-5)
Կոորդինատային ուղիղի ո՞ր կետերն են սիմետրիկ ոչ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ – O(0) կետ:
A(6) և B(-6)
C(12) և D(-2)
M(-1) և K(1)
X (-9) և Y (9)
Որքա՞ն է 0,237 և 0,3 թվերի գումարը:
0,24
3,237
0,537
0,267
Հաշվեք 0.5-ի 20%-ը
10
0,1
0,2
0,01
Հաշվի՛ր 0.07 և 31001250.5 տարբերությունը
1
425Թիվ 2 թեստ. Թվի բացարձակ արժեքը. Հակառակ թվեր.
Տարբերակ 1
Տրված թվերից որն ունի ամենափոքր մոդուլը
-11
1013-4,196
-4,2
Նշեք սխալ հավասարում
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Մոդուլը ոչ բացասական թիվէ ոչ բացասական թիվ. Ճի՞շտ է արդյոք այս հայտարարությունը:
Այո՛
Ոչ
Այս թվերից ո՞րն է հակադիր -34 թվին:43-43-3434Որքա՞ն է -(-m) արտահայտության արժեքը, եթե m = -15:
+15
-15
Հաշվի՛ր արտահայտության արժեքը՝ -2,5∙4--919
-10
1
-1
Լուծե՛ք հավասարումը x=40-40
40
40 կամ -40
Ի՞նչ ամբողջ թվեր են գտնվում 2.75 և 3.9 թվերի կոորդինատային գծում:
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
-30>-50 անհավասարությունը ճի՞շտ է
Ոչ
Թվարկեք բոլոր x ամբողջ թվերը, եթե x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Տարբերակ 2
Ո՞ր թիվն ունի ամենամեծ մոդուլը:
-0,6
-50,603
493550,530
Նշեք սխալ հավասարում
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Կարո՞ղ է բացասական թվի մոդուլը լինել բացասական թիվ
Այո՛
Ոչ

Այս թվերից ո՞րն է 124-ի հակառակը:
-24
24
-124124Որքա՞ն է կազմում –(-k) արտահայտության արժեքը, եթե k = -9
-9
+9
Հաշվի՛ր արտահայտության արժեքը՝ 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Լուծե՛ք x=100100 հավասարումը
-100
100 կամ -100
Ի՞նչ ամբողջ թվեր են գտնվում 1 և - 4.5 թվերի միջև կոորդինատային գծում
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Ճի՞շտ է արդյոք -25 անհավասարությունը:<-10?
Այո՛
Ոչ
Թվարկեք բոլոր x ամբողջ թվերը, եթե x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Թիվ 3 թեստ. Թվերի համեմատություն
Տարբերակ 1
Անհավասարություններից ո՞րն է սխալ:
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
Ճի՞շտ է, որ 0 թիվը մեծ է ցանկացած բացասական թվից:
Այո՛
Ոչ
Ա թիվը ոչ բացասական է։ Ինչպե՞ս կարող ենք այս հայտարարությունը գրել որպես անհավասարություն:
ա<0a≤0a≥0a>0Նշի՛ր տրված թվերից ամենամեծը:
0,16
-3018-0,4
0,01
x-ի ո՞ր բնական արժեքների համար է ճիշտ x≤44, 3, 2 անհավասարությունը:
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
y-ի ո՞ր ամբողջ արժեքների դեպքում է ճշմարիտ y անհավասարությունը:<-2?0
-1
0, -1, 1
Նման արժեքներ չկան
Համարներ -6; -3.8; -115; 0.8 տեղակայված:
Նվազման կարգով
Աճող կարգով
անկարգության մեջ
Եղանակի տեսությունը հեռարձակվել է ռադիոյով՝ սպասվում է ջերմաստիճանի անկում մինչև -20 °C։ Նկարագրեք այս իրադարձությունը.
Անհնարին
Հուսալի
Պատահական
Տարբերակ 2
Անհավասարություններից ո՞րն է ճիշտ:
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Ի՞նչ նշան պետք է գրվի այս կոտորակների միջև, որպեսզի անհավասարությունը ճիշտ լինի:
-1315 -715<
>
=
Ճի՞շտ է, որ 0 թիվը փոքր է ցանկացած բացասական թվից:
Այո՛
Ոչ
x թիվը զրոյից մեծ չէ։ Ինչպե՞ս կարող ենք այս հայտարարությունը գրել որպես անհավասարություն:
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 a-ի ո՞ր բնական արժեքների համար է ճշմարիտ a≤3 անհավասարությունը:1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
m-ի ո՞ր ամբողջ արժեքների դեպքում է ճշմարիտ m անհավասարությունը:<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Նման արժեքներ չկան
Թվեր 1,2; -1,2; -427; -100 տեղակայված:
անկարգության մեջ
Աճող կարգով
Նվազման կարգով
Կոորդինատային գծի վրա նշվում է A(5) կետը: Այս տողի վրա պատահականորեն նշվեց մեկ այլ կետ, որի կոորդինատը 5-ի հակառակ թիվն էր: Նկարագրեք այս իրադարձությունը:
Պատահական
Հուսալի
Անհնարին
Պատասխանները
Թիվ 1 թեստ թիվ 2
No Տարբերակ 1 Տարբերակ 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
No Տարբերակ 1 Տարբերակ 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Թիվ 3 թեստ
No Տարբերակ 1 Տարբերակ 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3

Բաղկացած է դրական (բնական) թվերից, բացասական թվերից և զրոյից։

Բոլոր բացասական թվերը, և միայն նրանք, փոքր են զրոյից: Թվային տողի վրա բացասական թվերը գտնվում են զրոյից ձախ: Նրանց համար, ինչպես դրական թվերի դեպքում, սահմանված է կարգի հարաբերություն, որը թույլ է տալիս մեկ ամբողջ թիվը համեմատել մյուսի հետ։

Յուրաքանչյուր բնական թվի համար nկա մեկ և միայն մեկ բացասական թիվ, որը նշվում է -n, որը լրացնում է nզրոյի: n + (− n) = 0 . Երկու թվերն էլ կոչվում են հակառակըմիմյանց համար. Ամբողջ թվի հանում ահամարժեք է այն իր հակադիրով ավելացնելուն. -ա.

Բացասական թվերի հատկությունները

Բացասական թվերը հետևում են գրեթե նույն կանոններին, ինչ բնական թվերը, բայց ունեն որոշ առանձնահատուկ հատկանիշներ:

Պատմական ուրվագիծ

գրականություն

• Vygodsky M. Ya.Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ. - Մ.՝ ՀՍՏ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Գլեյզեր Գ.Ի.Մաթեմատիկայի պատմությունը դպրոցում. - Մ.: Կրթություն, 1964. - 376 էջ.

Հղումներ

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.

• Անխոհեմ վնաս պատճառելը
• Նեոտրոպիկներ

Տեսեք, թե ինչ է «Ոչ բացասական թիվը» այլ բառարաններում.

Իրական թիվ- Իրական կամ իրական թիվը մաթեմատիկական աբստրակցիա է, որն առաջացել է շրջակա աշխարհի երկրաչափական և ֆիզիկական մեծությունները չափելու, ինչպես նաև այնպիսի գործողություններ իրականացնելու, ինչպիսիք են արմատներ հանելը, լոգարիթմների հաշվարկը, լուծելը... ... Վիքիպեդիա:

սովորաբար փոքր ոչ բացասական ամբողջ թիվ- Կոդավորման մի մասը, որը ներկայացնում է անսահմանափակ ոչ բացասական ամբողջ թվի արժեքները, բայց որտեղ փոքր արժեքներն ավելի հաճախ են առաջանալու (ITU T X.691): Թեմաներ... ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

ԻՐԱԿԱՆ ԹԻՎ- իրական թիվ, դրական թիվ, բացասական թիվ կամ զրո: Թվային թվ հասկացությունն առաջացել է ռացիոնալ թվի հասկացության ընդլայնմամբ։ Այս ընդլայնման անհրաժեշտությունը պայմանավորված է թե՛ մաթեմատիկայի գործնական կիրառմամբ արտահայտման մեջ... ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

պարզ թիվ- Պարզ թիվն այն բնական թիվն է, որն ունի ուղիղ երկու տարբեր բնական բաժանարար՝ մեկը և ինքն իրեն: Բոլոր մյուս բնական թվերը, բացի մեկից, կոչվում են բաղադրյալ։ Այսպիսով, բոլոր բնական թվերը մեկից մեծ են... ... Վիքիպեդիա

բնական թիվ- ▲ ամբողջ թիվ արտահայտող, իրական, թվային բնական թիվ ոչ բացասական ամբողջ թիվ; արտահայտում է առանձին ամբողջ օբյեկտների թիվը, ինչ լ. ագրեգատներ; նշել իրական ամբողջ օբյեկտների քանակը. թվերի արտահայտություն. չորս... Ռուսաց լեզվի գաղափարագրական բառարան

Տասնորդական- Տասնորդականը կոտորակի տեսակ է, որը իրական թվերը ներկայացնելու միջոց է այն ձևով, որտեղ կոտորակի նշանն է. .... Վիքիպեդիա Վիքիպեդիա

Որպես հատուկ համար՝ այն չունի նշան։

Թվեր գրելու օրինակներ. + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.)Վերջին թիվը նշան չունի և հետևաբար դրական է։

Պետք է նշել, որ գումարած և մինուս թվերի համար նշան է նշվում, բայց ոչ բառացի փոփոխականների կամ հանրահաշվական արտահայտությունների համար: Օրինակ, բանաձեւերում − t ; a+b; − (a 2 + b 2) (\ցուցադրման ոճ -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2)))Պլյուս և մինուս նշանները նշում են ոչ թե իրենց նախորդող արտահայտության նշանը, այլ թվաբանական գործողության նշանը, ուստի արդյունքի նշանը կարող է լինել ցանկացած բան, որը որոշվում է միայն արտահայտությունը գնահատելուց հետո:

Բացի թվաբանությունից, նշան հասկացությունն օգտագործվում է մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում, այդ թվում՝ ոչ թվային մաթեմատիկական օբյեկտների համար (տես ստորև)։ Նշանի հասկացությունը կարևոր է նաև ֆիզիկայի այն ճյուղերում, որտեղ ֆիզիկական մեծությունները բաժանվում են երկու դասի, որոնք պայմանականորեն կոչվում են դրական և բացասական, օրինակ՝ էլեկտրական լիցքեր, դրական և բացասական արձագանքներ, տարբեր ձգողական և վանող ուժեր:

Թվի նշան

Դրական և բացասական թվեր

Զրոյին որևէ նշան չի նշանակվում, այսինքն + 0 (\displaystyle +0)Եվ − 0 (\displaystyle -0)- սա նույն թիվն է թվաբանության մեջ: Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ՝ սիմվոլների նշանակությունը + 0 (\displaystyle +0)Եվ − 0 (\displaystyle -0)կարող է տարբեր լինել, տես այս բացասական և դրական զրոյի մասին; Համակարգչային գիտության մեջ երկու զրոների (ամբողջ թվի տիպ) համակարգչային կոդավորումը կարող է տարբերվել, տես Ուղղակի կոդը:

Վերոնշյալի կապակցությամբ ներկայացվում են ևս մի քանի օգտակար տերմիններ.

• Թիվ ոչ բացասական, եթե այն մեծ է կամ հավասար է զրոյի։
• Թիվ բացասական, եթե այն փոքր է կամ հավասար է զրոյի։
• Առանց զրո դրական և առանց զրոյի բացասական թվերը երբեմն (ընդգծելու համար, որ դրանք զրոյից դուրս չեն) կոչվում են համապատասխանաբար «խիստ դրական» և «խիստ բացասական»:

Նույն տերմինաբանությունը երբեմն օգտագործվում է իրական գործառույթների համար: Օրինակ, ֆունկցիան կոչվում է դրականեթե դրա բոլոր արժեքները դրական են, ոչ բացասական, եթե նրա բոլոր արժեքները ոչ բացասական են և այլն։ Նրանք նաև ասում են, որ ֆունկցիան դրական/բացասական է իր սահմանման տվյալ միջակայքում։

Ֆունկցիան օգտագործելու օրինակի համար տե՛ս Քառակուսի արմատ#Բարդ թվեր հոդվածը։

Թվի մոդուլ (բացարձակ արժեք):

Եթե ​​համարը x (\displaystyle x)հրաժարվել նշանը, ստացված արժեքը կոչվում է մոդուլկամ բացարձակ արժեքթվեր x (\displaystyle x), նշանակված է | x | . (\ցուցադրման ոճ |x|.)Օրինակներ. | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\ցուցադրման ոճ |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Ցանկացած իրական թվերի համար a , b (\displaystyle a,b)պահպանվում են հետևյալ հատկությունները.

Նշան ոչ թվային օբյեկտների համար

Անկյունի նշան

Հարթության վրա անկյան արժեքը համարվում է դրական, եթե այն չափվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, հակառակ դեպքում՝ բացասական: Պտտման երկու դեպքեր դասակարգվում են նույն կերպ.

• ռոտացիա հարթության վրա - օրինակ, (–90°) պտույտը տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ;
• Տիեզերքում պտույտը կողմնորոշված ​​առանցքի շուրջը սովորաբար համարվում է դրական, եթե բավարարվում է «գիմլետի կանոնը», հակառակ դեպքում այն ​​համարվում է բացասական:

Ուղղության նշան

Անալիտիկ երկրաչափության և ֆիզիկայի մեջ առաջընթացները տվյալ ուղիղ գծի կամ կորի երկայնքով հաճախ պայմանականորեն բաժանվում են դրական և բացասական: Նման բաժանումը կարող է կախված լինել խնդրի ձևակերպումից կամ ընտրված կոորդինատային համակարգից: Օրինակ, կորի աղեղի երկարությունը հաշվարկելիս հաճախ հարմար է այս երկարությանը մինուս նշան նշանակել երկու հնարավոր ուղղություններից մեկով:

Մուտք գործեք հաշվարկ

ամենակարևորը
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Ամբողջ թվի նշանը ներկայացնելու համար համակարգիչներից շատերն օգտագործում են

Այս դասը կվերանայի իրական թվի մոդուլի հայեցակարգը և կներկայացնի դրա հիմնական սահմանումներից մի քանիսը, որին կհետևեն օրինակներ, որոնք ցույց են տալիս այս տարբեր սահմանումների օգտագործումը:

Առարկա:Իրական թվեր

Դաս.Իրական թվի մոդուլ

1. Մոդուլի սահմանումներ

Դիտարկենք այնպիսի հասկացություն, ինչպիսին է իրական թվի մոդուլը, այն ունի մի քանի սահմանումներ.

Սահմանում 1. Կոորդինատային գծի կետից մինչև զրո հեռավորությունը կոչվում է մոդուլի համարը, որն այս կետի կոորդինատն է (նկ. 1):

Օրինակ 1. . Նկատի ունեցեք, որ հակադիր թվերի մոդուլները հավասար են և ոչ բացասական, քանի որ դա հեռավորություն է, բայց այն չի կարող բացասական լինել, և զրոյից սիմետրիկ թվերից մինչև սկզբնաղբյուրը հավասար են:

Սահմանում 2. .

Օրինակ 2. Ներկայացված սահմանումների համարժեքությունը ցույց տալու համար դիտարկենք նախորդ օրինակում առաջադրված խնդիրներից մեկը։ , ինչպես տեսնում ենք, մոդուլի նշանի տակ բացասական թվով, դրա դիմաց ևս մեկ մինուս ավելացնելով, ստացվում է ոչ բացասական արդյունք, ինչպես հետևում է մոդուլի սահմանումից։

Հետևանք. Կոորդինատային գծի կոորդինատներով երկու կետերի միջև հեռավորությունը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ անկախ կետերի հարաբերական դիրքից (նկ. 2):

2. Մոդուլի հիմնական հատկությունները

1. Ցանկացած թվի մոդուլը ոչ բացասական է

2. Արտադրանքի մոդուլը մոդուլների արտադրյալն է

3. Քվոտենտ մոդուլը մոդուլների քանորդն է

3. Խնդիրների լուծում

Օրինակ 3. Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Եկեք օգտագործենք երկրորդ մոդուլի սահմանումը. և գրեք մեր հավասարումը մոդուլը բացելու տարբեր տարբերակների համար հավասարումների համակարգի տեսքով:

Օրինակ 4. Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Նախորդ օրինակի լուծման նման մենք ստանում ենք, որ .

Օրինակ 5. Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Եկեք լուծենք մոդուլի առաջին սահմանման հետևանքով. Սա պատկերենք թվային առանցքի վրա՝ հաշվի առնելով, որ ցանկալի արմատը կլինի 3-րդ կետից 2 հեռավորության վրա (նկ. 3):

Նկարի հիման վրա մենք ստանում ենք հավասարման արմատները. , քանի որ նման կոորդինատներով կետերը գտնվում են 3 կետից 2 հեռավորության վրա, ինչպես պահանջվում է հավասարման մեջ։

Պատասխանել. .

Օրինակ 6. Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Նախորդ խնդրի համեմատ կա միայն մեկ բարդություն. սա այն է, որ կոորդինատային առանցքի վրա թվերի միջև հեռավորության վերաբերյալ եզրակացության ձևակերպման հետ ամբողջական նմանություն չկա, քանի որ մոդուլի նշանի տակ կա գումարած նշան, ոչ թե մինուս: նշան. Բայց դժվար չէ այն բերել անհրաժեշտ ձևին, ինչը մենք կանենք.

Եկեք պատկերենք սա թվային առանցքի վրա, ինչպես նախորդ լուծումը (նկ. 4):

Հավասարման արմատները .

Պատասխանել. .

Օրինակ 7. Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Այս հավասարումը մի փոքր ավելի բարդ է, քան նախորդը, քանի որ անհայտը երկրորդ տեղում է և ունի մինուս նշան, բացի այդ, ունի նաև թվային բազմապատկիչ։ Առաջին խնդիրը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք մոդուլի հատկություններից մեկը և ստանում.

Երկրորդ խնդիրը լուծելու համար կատարենք փոփոխականների փոփոխություն՝ , որը մեզ կհանգեցնի ամենապարզ հավասարմանը: Մոդուլի երկրորդ սահմանմամբ . Փոխարինեք այս արմատները փոխարինող հավասարման մեջ և ստացեք երկու գծային հավասարումներ.

Պատասխանել. .

4. Քառակուսի արմատ և մոդուլ

Շատ հաճախ արմատներով խնդիրներ լուծելիս առաջանում են մոդուլներ, և պետք է ուշադրություն դարձնել այն իրավիճակներին, որոնցում դրանք առաջանում են:

Այս ինքնության առաջին հայացքից կարող են հարցեր առաջանալ. «ինչու՞ կա մոդուլ այնտեղ»: և «ինչու՞ է ինքնությունը կեղծ»: Ստացվում է, որ երկրորդ հարցին կարող ենք տալ պարզ հակաօրինակ՝ եթե դա պետք է ճիշտ լինի, ինչը համարժեք է, բայց սա կեղծ ինքնություն է։

Սրանից հետո կարող է հարց առաջանալ՝ «նման ինքնությունը հարց չի՞ լուծում», բայց կա նաև այս առաջարկի հակաօրինակը։ Եթե ​​դա պետք է ճիշտ լինի, դա համարժեք է, բայց սա կեղծ ինքնություն է:

Ըստ այդմ, եթե հիշենք, որ ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը ոչ բացասական թիվ է, իսկ մոդուլի արժեքը՝ ոչ բացասական, պարզ է դառնում, թե ինչու է վերը նշված պնդումը ճիշտ.

.

Օրինակ 8. Հաշվի՛ր արտահայտության արժեքը։

Լուծում. Նման առաջադրանքներում կարևոր է ոչ թե անհապաղ արմատից ազատվել, այլ օգտագործել վերը նշված ինքնությունը, քանի որ .

Այսօր ընկերներ, ոչ մի մռութ ու սենտիմենտալություն չի լինի։ Փոխարենը, ես ձեզ առանց հարցերի կուղարկեմ ճակատամարտի 8-9-րդ դասարանների հանրահաշվի դասընթացի ամենահզոր հակառակորդներից մեկի հետ:

Այո, դուք ամեն ինչ ճիշտ հասկացաք՝ խոսքը մոդուլով անհավասարությունների մասին է։ Մենք կդիտարկենք չորս հիմնական տեխնիկա, որոնցով դուք կսովորեք լուծել նման խնդիրների մոտ 90%-ը: Ի՞նչ կասեք մնացած 10%-ի մասին։ Դե, մենք նրանց մասին կխոսենք առանձին դասում :)

Այնուամենայնիվ, նախքան տեխնիկաներից որևէ մեկը վերլուծելը, ես կցանկանայի հիշեցնել ձեզ երկու փաստի մասին, որոնք դուք արդեն պետք է իմանաք: Հակառակ դեպքում, դուք ռիսկի եք դիմում ընդհանրապես չհասկանալ այսօրվա դասի նյութը:

Այն, ինչ դուք արդեն պետք է իմանաք

Կապիտան Ակնհայտությունը կարծես ակնարկում է, որ անհավասարությունները մոդուլով լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ երկու բան.

1. Ինչպես են լուծվում անհավասարությունները;
2. Ինչ է մոդուլը:

Սկսենք երկրորդ կետից.

Մոդուլի սահմանում

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Գոյություն ունի երկու սահմանում` հանրահաշվական և գրաֆիկական: Սկսելու համար - հանրահաշվական.

Սահմանում. $x$ թվի մոդուլը կամ ինքնին թիվն է, եթե այն ոչ բացասական է, կամ հակառակ թիվն է, եթե սկզբնական $x$-ը դեռ բացասական է:

Գրված է այսպես.

\[\ձախ| x \աջ|=\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x,\ x\ge 0, \\ & -x, \ x \lt 0. \\\ վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

Պարզ ասած, մոդուլը «թիվ է առանց մինուսի»: Եվ հենց այս երկակիության մեջ է (որոշ տեղերում դուք պետք չէ որևէ բան անել սկզբնական համարի հետ, բայց որոշ տեղերում դուք ստիպված կլինեք հեռացնել ինչ-որ մինուս), որտեղ սկսնակ ուսանողների համար ամբողջ դժվարությունն է:

Կա նաև երկրաչափական սահմանում. Օգտակար է նաև իմանալ, բայց դրան կանդրադառնանք միայն բարդ և որոշ հատուկ դեպքերում, որտեղ երկրաչափական մոտեցումն ավելի հարմար է, քան հանրահաշվականը (սպոյլերը՝ ոչ այսօր):

Սահմանում. Թող $a$ կետը նշվի թվային տողի վրա։ Այնուհետև մոդուլը $\left| x-a \right|$-ն այս տողի $x$ կետից մինչև $a$ կետ հեռավորությունն է:

Եթե ​​նկար նկարեք, կստանաք այսպիսի բան.

Գրաֆիկական մոդուլի սահմանում

Այսպես թե այնպես, մոդուլի սահմանումից անմիջապես հետևում է նրա հիմնական հատկությունը. Թվի մոդուլը միշտ ոչ բացասական մեծություն է. Այս փաստը կդառնա կարմիր թել, որը կանցնի այսօրվա մեր ողջ պատմվածքի միջով:

Անհավասարությունների լուծում. Ինտերվալ մեթոդ

Հիմա նայենք անհավասարություններին։ Դրանցից շատերը շատ են, բայց մեր խնդիրն է հիմա կարողանանք լուծել դրանցից գոնե ամենապարզը։ Նրանք, որոնք նվազեցնում են գծային անհավասարություններին, ինչպես նաև միջակայքի մեթոդին:

Ես ունեմ երկու մեծ դաս այս թեմայով (ի դեպ, շատ, ՇԱՏ օգտակար, խորհուրդ եմ տալիս ուսումնասիրել դրանք).

1. Անհավասարությունների միջակայքային մեթոդ (հատկապես դիտեք տեսանյութը);
2. Կոտորակի ռացիոնալ անհավասարությունները շատ ծավալուն դաս են, բայց դրանից հետո ընդհանրապես հարցեր չեք ունենա:

Եթե ​​դուք գիտեք այս ամենը, եթե «եկեք անցնենք անհավասարությունից դեպի հավասարում» արտահայտությունը ձեզ պատին հարվածելու անորոշ ցանկություն չի առաջացնում, ապա դուք պատրաստ եք. բարի գալուստ դժոխք դասի հիմնական թեմային:

1. «Մոդուլը փոքր է ֆունկցիայից» ձևի անհավասարություններ.

Սա մոդուլների հետ կապված ամենատարածված խնդիրներից մեկն է: Ձևի անհավասարությունը լուծելու համար պահանջվում է.

\[\ձախ| f\աջ| \ltg\]

$f$ և $g$ ֆունկցիաները կարող են լինել ցանկացած բան, բայց սովորաբար դրանք բազմանդամներ են: Նման անհավասարությունների օրինակներ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ| 2x+3 \աջ| \lt x+7; \\ & \ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ|+3\ձախ(x+1 \աջ) \lt 0; \\ & \ձախ| ((x)^(2))-2\ձախ| x \աջ|-3 \իրավունք| \lt 2. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դրանք բոլորը կարող են լուծվել բառացիորեն մեկ տողում հետևյալ սխեմայի համաձայն.

\[\ձախ| f\աջ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \ ձախ (\Rightarrow \ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\վերջ (հավասարեցնել) \ճիշտ.\ճիշտ)\]

Հեշտ է տեսնել, որ մենք ազատվում ենք մոդուլից, բայց դրա դիմաց ստանում ենք կրկնակի անհավասարություն (կամ, որը նույնն է, երկու անհավասարությունների համակարգ)։ Բայց այս անցումը հաշվի է առնում բացարձակապես բոլոր հնարավոր խնդիրները. եթե մոդուլի տակ թիվը դրական է, մեթոդն աշխատում է. եթե բացասական է, այն դեռ աշխատում է; և նույնիսկ եթե $f$ կամ $g$-ի փոխարեն ամենաանհամարժեք ֆունկցիան լինի, մեթոդը դեռ կաշխատի:

Բնականաբար, հարց է առաջանում՝ մի՞թե ավելի պարզ չէր։ Ցավոք, դա հնարավոր չէ: Սա է մոդուլի ամբողջ իմաստը:

Այնուամենայնիվ, բավական է փիլիսոփայությունը: Եկեք լուծենք մի քանի խնդիր.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| 2x+3 \աջ| \lt x+7\]

Լուծում. Այսպիսով, մենք մեր առջև ունենք «մոդուլն ավելի քիչ» ձևի դասական անհավասարություն. նույնիսկ փոխակերպելու բան չկա: Մենք աշխատում ենք ըստ ալգորիթմի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ| f\աջ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ձախ| 2x+3 \աջ| \lt x+7\Աջ սլաք -\ձախ(x+7 \աջ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մի շտապեք բացել փակագծերը, որոնց նախորդում է «մինուսը». միանգամայն հնարավոր է, որ ձեր շտապողականության ժամանակ վիրավորական սխալ թույլ տաք:

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\]

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Խնդիրը հասցվել է երկու տարրական անհավասարության։ Նկատենք դրանց լուծումները զուգահեռ թվային ուղիղների վրա.

Շատերի խաչմերուկ

Այս հավաքածուների խաչմերուկը կլինի պատասխանը:

Պատասխան՝ $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \աջ)$

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ|+3\ձախ(x+1 \աջ) \lt 0\]

Լուծում. Այս առաջադրանքը մի փոքր ավելի բարդ է։ Նախ, եկեք մեկուսացնենք մոդուլը՝ երկրորդ տերմինը տեղափոխելով աջ.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \lt -3\ձախ(x+1 \աջ)\]

Ակնհայտ է, որ մենք կրկին ունենք «մոդուլն ավելի փոքր է» ձևի անհավասարություն, ուստի մենք ազատվում ենք մոդուլից՝ օգտագործելով արդեն հայտնի ալգորիթմը.

\[-\ ձախ (-3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \ աջ) \ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \lt -3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \]

Հիմա ուշադրություն. մեկը կասի, որ ես մի քիչ այլասերված եմ այս բոլոր փակագծերով։ Բայց ևս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ մեր առանցքային նպատակն է ճիշտ լուծել անհավասարությունը և ստանալ պատասխանը. Հետագայում, երբ դուք հիանալի տիրապետում եք այս դասում նկարագրված ամեն ինչին, կարող եք այլասերել ինքներդ ձեզ, ինչպես ցանկանում եք՝ բացեք փակագծերը, ավելացրեք մինուսներ և այլն։

Սկզբից մենք պարզապես կազատվենք ձախ կողմում գտնվող կրկնակի մինուսից.

\[-\ ձախ (-3 \ ձախ (x + 1 \ աջ) \ աջ) = \ ձախ (-1 \ աջ) \ cdot \ ձախ (-3 \ աջ) \ cdot \ ձախ (x + 1 \ աջ) =3\ձախ(x+1 \աջ)\]

Այժմ բացենք բոլոր փակագծերը կրկնակի անհավասարության մեջ.

Անցնենք կրկնակի անհավասարությանը։ Այս անգամ հաշվարկներն ավելի լուրջ են լինելու.

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ\( \սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \վերջ( հավասարեցնել)\աջ։\]

Երկու անհավասարություններն էլ քառակուսի են և կարող են լուծվել միջակայքի մեթոդով (այդ իսկ պատճառով ես ասում եմ. եթե չգիտեք, թե ինչ է սա, ավելի լավ է դեռ մոդուլներ չվերցնեք): Անցնենք առաջին անհավասարության հավասարմանը.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ ձախ (x+5 \աջ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինչպես տեսնում եք, ելքը թերի քառակուսի հավասարում է, որը կարելի է լուծել տարրական եղանակով։ Այժմ դիտարկենք համակարգի երկրորդ անհավասարությունը։ Այնտեղ դուք պետք է կիրառեք Վիետայի թեորեմը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \ձախ (x-3 \աջ)\ձախ (x+2 \աջ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ստացված թվերը նշում ենք երկու զուգահեռ ուղիղների վրա (առաջին անհավասարության համար առանձնացված և երկրորդի համար առանձին).

Կրկին, քանի որ մենք լուծում ենք անհավասարությունների համակարգ, մեզ հետաքրքրում է ստվերավորված բազմությունների խաչմերուկը՝ $x\in \left(-5;-2 \right)$։ Սա է պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \left(-5;-2 \աջ)$

Կարծում եմ, որ այս օրինակներից հետո լուծման սխեման չափազանց պարզ է.

1. Մեկուսացրեք մոդուլը` տեղափոխելով բոլոր մյուս տերմինները անհավասարության հակառակ կողմ: Այսպիսով մենք ստանում ենք $\left| ձևի անհավասարություն f\աջ| \ltg$.
2. Լուծեք այս անհավասարությունը՝ ազատվելով մոդուլից՝ համաձայն վերը նկարագրված սխեմայի։ Ինչ-որ պահի անհրաժեշտ կլինի կրկնակի անհավասարությունից անցնել երկու անկախ արտահայտությունների համակարգի, որոնցից յուրաքանչյուրն արդեն կարելի է լուծել առանձին։
3. Վերջապես, մնում է հատել այս երկու անկախ արտահայտությունների լուծումները, և վերջ, մենք կստանանք վերջնական պատասխանը:

Նմանատիպ ալգորիթմ գոյություն ունի հետևյալ տիպի անհավասարությունների համար, երբ մոդուլը մեծ է ֆունկցիայից։ Այնուամենայնիվ, կան մի քանի լուրջ «բայց». Մենք հիմա կխոսենք այս «բայցերի» մասին:

2. «Մոդուլը մեծ է ֆունկցիայից» ձևի անհավասարություններ.

Նրանք այսպիսի տեսք ունեն.

\[\ձախ| f\աջ| \gtg\]

Նմա՞ն է նախորդին: Թվում է. Եվ այնուամենայնիվ նման խնդիրները լուծվում են բոլորովին այլ կերպ։ Ֆորմալ կերպով սխեման հետևյալն է.

\[\ձախ| f\աջ| \gt g\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

Այլ կերպ ասած, մենք դիտարկում ենք երկու դեպք.

1. Նախ, մենք պարզապես անտեսում ենք մոդուլը և լուծում սովորական անհավասարությունը.
2. Այնուհետև, ըստ էության, մենք ընդլայնում ենք մոդուլը մինուս նշանով, իսկ հետո անհավասարության երկու կողմերը բազմապատկում ենք −1-ով, մինչդեռ ես ունեմ նշանը։

Այս դեպքում տարբերակները համակցված են քառակուսի փակագծով, այսինքն. Մեր առջեւ դրված է երկու պահանջների համադրություն.

Խնդրում եմ ևս մեկ անգամ նկատի ունենալ. հետևաբար սա համակարգ չէ, այլ ամբողջություն Պատասխանում բազմությունները համակցված են, քան հատվում. Սա հիմնարար տարբերություն է նախորդ կետից:

Ընդհանուր առմամբ, շատ ուսանողներ ամբողջովին շփոթված են արհմիությունների և խաչմերուկների հետ, ուստի եկեք մեկընդմիշտ կարգավորենք այս հարցը.

• «∪»-ը միության նշան է։ Փաստորեն, սա ոճավորված «U» տառ է, որը մեզ է հասել անգլերենից և «Union»-ի հապավումն է, այսինքն. «Ասոցիացիաներ».
• «∩»-ը հատման նշանն է։ Այս հիմարությունը ոչ մի տեղից չի եկել, այլ պարզապես հայտնվել է որպես «∪»-ի հակապատկեր:

Որպեսզի հիշելն էլ ավելի հեշտ լինի, ակնոցներ պատրաստելու համար պարզապես ոտքերը քաշեք դեպի այս նշանները (ուղղակի մի մեղադրեք ինձ թմրամոլության և ալկոհոլիզմի խթանման մեջ. եթե լրջորեն ուսումնասիրում եք այս դասը, ուրեմն արդեն թմրամոլ եք).

Տարբերությունը բազմությունների խաչմերուկի և միավորման միջև

Ռուսերեն թարգմանված՝ սա նշանակում է հետևյալը. բայց խաչմերուկը (համակարգը) ներառում է միայն այն տարրերը, որոնք միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ խմբերում են։ Հետևաբար, բազմությունների խաչմերուկը երբեք ավելի մեծ չէ, քան աղբյուրի հավաքածուները:

Այսպիսով, ավելի պարզ դարձավ. Հոյակապ է. Անցնենք պրակտիկային։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| 3x+1 \աջ| \gt 5-4x\]

Լուծում. Մենք գործում ենք ըստ սխեմայի.

\[\ձախ| 3x+1 \աջ| \gt 5-4x\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\ձախ (5-4x \աջ) \\\վերջ (հավասարեցնել) \ ճիշտ.\]

Մենք լուծում ենք յուրաքանչյուր անհավասարություն բնակչության մեջ.

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ։\]

\[\ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Ստացված յուրաքանչյուր բազմություն նշում ենք թվային տողի վրա, այնուհետև միավորում ենք դրանք.

Կոմպլեկտների միություն

Ակնհայտ է, որ պատասխանը կլինի $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Պատասխան՝ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \աջ)$

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \gt x\]

Լուծում. Դե? Ոչինչ - ամեն ինչ նույնն է: Մենք մոդուլով անհավասարությունից անցնում ենք երկու անհավասարությունների բազմության.

\[\ձախ| ((x)^(2))+2x-3 \աջ| \gt x\Աջ սլաք \ձախ[ \սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ:\]

Մենք լուծում ենք յուրաքանչյուր անհավասարություն։ Ցավոք, այնտեղ արմատները այնքան էլ լավ չեն լինի.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Երկրորդ անհավասարությունը նույնպես մի փոքր վայրի է.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այժմ դուք պետք է նշեք այս թվերը երկու առանցքների վրա՝ մեկ առանցք յուրաքանչյուր անհավասարության համար: Այնուամենայնիվ, դուք պետք է նշեք կետերը ճիշտ հերթականությամբ. որքան մեծ է թիվը, այնքան կետը շարժվում է դեպի աջ:

Եվ ահա մեզ սպասվում է կարգավորում: Եթե ​​ամեն ինչ պարզ է $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (առաջինի համարիչի պայմանները. Կոտորակը փոքր է երկրորդի համարիչի անդամներից, ուստի գումարը նույնպես փոքր է, $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt թվերով: (21))(2)$ նույնպես դժվարություններ չեն լինի (դրական թիվն ակնհայտորեն ավելի բացասական է), ապա վերջին զույգի հետ ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ։ Ո՞րն է ավելի մեծ՝ $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ կամ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$: Այս հարցի պատասխանից կախված կլինի միավորների տեղադրումը թվային տողերի վրա և, ըստ էության, պատասխանը:

Այսպիսով, եկեք համեմատենք.

\[\ Սկիզբ (մատրիցան) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\ end (matrix)\]

Մենք մեկուսացրինք արմատը, ստացանք ոչ բացասական թվեր անհավասարության երկու կողմերում, ուստի իրավունք ունենք երկու կողմերն էլ քառակուսի դնել.

\[\ սկիզբ (մատրիցան) ((\ ձախ (2+\ sqrt (13) \աջ)) ^ (2)) \ vee ((\ ձախ (\ sqrt (21) \ աջ)) ^ (2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\վերջ (մատրիցան)\]

Կարծում եմ, անիմաստ է, որ $4\sqrt(13) \gt 3$, այնպես որ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, առանցքների վրա վերջնական կետերը կտեղադրվեն այսպես.

Տգեղ արմատների դեպք

Հիշեցնեմ, որ մենք ժողովածու ենք լուծում, ուստի պատասխանը կլինի միացում, ոչ թե ստվերային հավաքածուների հատում։

Պատասխան՝ $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Ինչպես տեսնում եք, մեր սխեման հիանալի է աշխատում ինչպես պարզ, այնպես էլ շատ դժվար խնդիրների դեպքում: Այս մոտեցման միակ «թույլ կետն» այն է, որ դուք պետք է ճիշտ համեմատեք իռացիոնալ թվերը (և հավատացեք ինձ, դրանք միայն արմատներ չեն): Բայց առանձին (և շատ լուրջ) դաս կնվիրվի համեմատության խնդիրներին։ Եվ մենք առաջ ենք շարժվում:

3. Անհավասարություններ ոչ բացասական «պոչերով»

Այժմ մենք անցնում ենք ամենահետաքրքիր հատվածին: Սրանք ձևի անհավասարություններ են.

\[\ձախ| f\աջ| \gt \ձախ| g\աջ|\]

Ընդհանուր առմամբ, այն ալգորիթմը, որի մասին մենք հիմա կխոսենք, ճիշտ է միայն մոդուլի համար։ Այն աշխատում է բոլոր անհավասարություններում, որտեղ աջ և ձախ կողմում կան երաշխավորված ոչ բացասական արտահայտություններ.

Ի՞նչ անել այս առաջադրանքների հետ: Պարզապես հիշեք.

Ոչ բացասական «պոչերով» անհավասարությունների դեպքում երկու կողմերն էլ կարող են բարձրացվել ցանկացած բնական ուժի: Լրացուցիչ սահմանափակումներ չեն լինի։

Նախևառաջ, մեզ կհետաքրքրի քառակուսիացումը. այն այրում է մոդուլները և արմատները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ(\ձախ| f \աջ| \աջ))^(2))=((զ)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \աջ))^(2))=f. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Պարզապես մի շփոթեք սա քառակուսու արմատ վերցնելու հետ.

\[\sqrt(((f)^(2)))=\ձախ| f \աջ|\ne f\]

Անհամար սխալներ են թույլ տրվել, երբ ուսանողը մոռացել է տեղադրել մոդուլը: Բայց սա բոլորովին այլ պատմություն է (սրանք, կարծես, իռացիոնալ հավասարումներ են), ուստի մենք հիմա չենք խորանա սրա մեջ: Եկեք ավելի լավ լուծենք մի քանի խնդիր.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| x+2 \աջ|\ge \ձախ| 1-2x \աջ|\]

Լուծում. Անմիջապես նկատենք երկու բան.

1. Սա խիստ անհավասարություն չէ։ Թվային գծի կետերը կծակվեն:
2. Անհավասարության երկու կողմերն էլ ակնհայտորեն ոչ բացասական են (սա մոդուլի հատկությունն է՝ $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$):

Հետևաբար, մենք կարող ենք քառակուսի դնել անհավասարության երկու կողմերը՝ մոդուլից ազատվելու և խնդիրը լուծելու համար՝ օգտագործելով սովորական միջակայքի մեթոդը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ(\ձախ| x+2 \աջ| \աջ))^(2))\ge ((\ձախ(\ձախ| 1-2x \աջ| \աջ) )^(2)); \\ & ((\ ձախ (x+2 \աջ)) ^ (2))\ge ((\ ձախ (2x-1 \աջ)) ^ (2)): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Վերջին քայլում ես մի փոքր խաբեցի. ես փոխեցի տերմինների հաջորդականությունը՝ օգտվելով մոդուլի հավասարությունից (փաստորեն, $1-2x$ արտահայտությունը բազմապատկեցի −1-ով)։

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (2x-1 \աջ))^(2))-((\ ձախ (x+2 \աջ))^(2))\le 0; \\ & \ ձախ (\ ձախ (2x-1 \ աջ) - \ ձախ (x + 2 \ աջ) \ աջ) \ cdot \ ձախ (\ ձախ (2x-1 \ աջ) + \ ձախ (x + 2 \ աջ)\աջ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \ձախ (x-3 \աջ)\cdot \ձախ (3x+1 \աջ)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք լուծում ենք միջակայքի մեթոդով: Անհավասարությունից անցնենք հավասարման.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (x-3 \աջ)\ձախ (3x+1 \աջ)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Թվային տողի վրա նշում ենք գտնված արմատները։ Եվս մեկ անգամ. բոլոր կետերը ստվերված են, քանի որ սկզբնական անհավասարությունը խիստ չէ:

Ազատվել մոդուլի նշանից

Հատկապես համառների համար հիշեցնեմ՝ նշանները վերցնում ենք վերջին անհավասարությունից, որը գրվել է նախքան հավասարմանը անցնելը։ Եվ մենք ներկում ենք նույն անհավասարության մեջ պահանջվող տարածքները: Մեր դեպքում դա $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ է։

Լավ, հիմա ամեն ինչ ավարտված է: Խնդիրը լուծված է։

Պատասխան՝ $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| ((x)^(2))+x+1 \աջ|\le \ձախ| ((x)^(2))+3x+4 \աջ|\]

Լուծում. Մենք ամեն ինչ անում ենք նույնը. Չեմ մեկնաբանի, միայն տեսեք գործողությունների հաջորդականությունը։

Քառակուսի այն:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((\ ձախ (\ձախ| ((x)^(2))+x+1 \աջ| \աջ))^(2))\le ((\ձախ(\ձախ |. ((x)^(2))+3x+4 \աջ))^(2)); \\ & ((\ ձախ (((x)^(2))+x+1 \աջ))^(2))\le ((\ ձախ (((x)^(2))+3x+4 \աջ))^(2)); \\ & ((\ ձախ (((x)^(2))+x+1 \աջ))^(2))-((\ ձախ (((x)^(2))+3x+4 \ ճիշտ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \աջ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \աջ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \աջ)\le 0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ինտերվալ մեթոդ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & \ձախ (-2x-3 \աջ)\ձախ (2((x)^(2))+4x+5 \աջ)=0 \\ & -2x-3=0\ Աջ սլաք x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Թվային տողի վրա կա միայն մեկ արմատ.

Պատասխանը մի ամբողջ ընդմիջում է

Պատասխան՝ $x\in \ձախ[ -1.5;+\infty \աջ)$:

Մի փոքրիկ նշում վերջին առաջադրանքի մասին. Ինչպես ճշգրիտ նշեց իմ ուսանողներից մեկը, այս անհավասարության երկու ենթամոդուլային արտահայտություններն էլ ակնհայտորեն դրական են, ուստի մոդուլի նշանը կարող է բաց թողնել առանց առողջությանը վնաս պատճառելու:

Բայց սա բոլորովին այլ մտածողության մակարդակ է և այլ մոտեցում՝ պայմանականորեն կարելի է անվանել հետևանքների մեթոդ։ Դրա մասին - առանձին դասում: Այժմ եկեք անցնենք այսօրվա դասի վերջին մասին և նայենք ունիվերսալ ալգորիթմին, որը միշտ աշխատում է: Նույնիսկ այն ժամանակ, երբ նախորդ բոլոր մոտեցումներն անզոր էին :)

4. Ընտրանքների թվարկման մեթոդ

Իսկ եթե այս բոլոր տեխնիկան չօգնե՞ն: Եթե ​​անհավասարությունը չի կարող կրճատվել ոչ բացասական պոչերի, եթե հնարավոր չէ մեկուսացնել մոդուլը, եթե ընդհանուր առմամբ կա ցավ, տխրություն, մելամաղձություն:

Այնուհետև ասպարեզ է դուրս գալիս բոլոր մաթեմատիկայի «ծանր հրետանին»՝ բիրտ ուժի մեթոդը: Ինչ վերաբերում է մոդուլով անհավասարություններին, դա հետևյալն է.

1. Դուրս գրեք բոլոր ենթամոդուլային արտահայտությունները և հավասարեցրեք դրանք զրոյի;
2. Լուծե՛ք ստացված հավասարումները և նշե՛ք մեկ թվային տողի վրա հայտնաբերված արմատները.
3. Ուղիղ գիծը կբաժանվի մի քանի հատվածների, որոնցում յուրաքանչյուր մոդուլ ունի ֆիքսված նշան և, հետևաբար, եզակիորեն բացահայտվում է.
4. Լուծեք անհավասարությունը յուրաքանչյուր այդպիսի հատվածի վրա (հուսալիության համար կարող եք առանձին դիտարկել 2-րդ քայլում ստացված արմատ-սահմանները): Միավորեք արդյունքները, սա կլինի պատասխանը:)

Այնպես, ինչպես? Թույլ? Հեշտությամբ! Միայն երկար ժամանակ։ Եկեք տեսնենք գործնականում.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

\[\ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-\frac(3)(2)\]

Լուծում. Այս հիմարությունը չի հանգում այնպիսի անհավասարությունների, ինչպիսին $\left|-ն է f\աջ| \lt g$, $\ձախ| f\աջ| \gt g$ կամ $\ ձախ| f\աջ| \lt \ձախ| g \right|$, ուստի մենք գործում ենք առաջ:

Մենք դուրս ենք գրում ենթամոդուլային արտահայտությունները, դրանք հավասարեցնում ենք զրոյի և գտնում ենք արմատները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2=0\Աջ սլաք x=-2; \\ & x-1=0\Աջ սլաք x=1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ընդհանուր առմամբ, մենք ունենք երկու արմատ, որոնք թվային գիծը բաժանում են երեք հատվածի, որոնցում յուրաքանչյուր մոդուլ բացահայտվում է եզակի.

Թվային տողի բաժանում ենթամոդուլային ֆունկցիաների զրոներով

Եկեք նայենք յուրաքանչյուր բաժին առանձին:

1. Թող $x \lt -2$: Այնուհետև երկու ենթամոդուլային արտահայտությունները բացասական են, և սկզբնական անհավասարությունը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & -\ ձախ (x+2 \աջ) \lt -\ ձախ (x-1 \աջ)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք ստացել ենք բավականին պարզ սահմանափակում. Եկեք այն հատենք նախնական ենթադրությամբ, որ $x \lt -2$:

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք x\in \varnothing \]

Ակնհայտ է, որ $x$ փոփոխականը չի կարող միաժամանակ լինել −2-ից փոքր և 1,5-ից մեծ: Այս ոլորտում լուծումներ չկան։

1.1. Եկեք առանձին դիտարկենք սահմանային դեպքը՝ $x=-2$: Պարզապես այս թիվը փոխարինենք սկզբնական անհավասարությամբ և ստուգենք՝ ճի՞շտ է:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ. \ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-1.5 \աջ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \ձախ| -3\աջ|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Աջ սլաք \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Ակնհայտ է, որ հաշվարկների շղթան մեզ հանգեցրել է ոչ ճիշտ անհավասարության։ Հետևաբար, սկզբնական անհավասարությունը նույնպես սխալ է, և $x=-2$-ը ներառված չէ պատասխանի մեջ։

2. Հիմա թող $-2 \lt x \lt 1$: Ձախ մոդուլն արդեն կբացվի «պլյուսով», բայց աջը դեռ կբացվի «մինուսով»: Մենք ունենք:

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2 \lt -\ձախ (x-1 \աջ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Կրկին մենք հատվում ենք սկզբնական պահանջի հետ.

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք x\in \varnothing \]

Եվ կրկին, լուծումների բազմությունը դատարկ է, քանի որ չկան թվեր, որոնք և՛ −2,5-ից փոքր են, և՛ −2-ից մեծ։

2.1. Եվ կրկին հատուկ դեպք՝ $x=1$։ Մենք փոխարինում ենք սկզբնական անհավասարության մեջ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել) & ((\ձախ. \ձախ| x+2 \աջ| \lt \ձախ| x-1 \աջ|+x-1.5 \աջ|)_(x=1)) \\ & \ձախ| 3\աջ| \lt \ձախ| 0 \աջ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Նախորդ «հատուկ դեպքի» նման, $x=1$ թիվը ակնհայտորեն ներառված չէ պատասխանի մեջ։

3. Գծի վերջին հատվածը՝ $x \gt 1$։ Այստեղ բոլոր մոդուլները բացվում են գումարած նշանով.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \վերջ (հավասարեցնել)\ ]

Եվ նորից գտնված բազմությունը հատում ենք սկզբնական սահմանափակումով.

\[\ձախ\( \սկիզբ (հավասարեցնել) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \աջ.\Աջ սլաք x\in \ձախ (4.5;+\infty \աջ)\ ]

Վերջապես! Մենք գտել ենք մի ընդմիջում, որը կլինի պատասխանը։

Պատասխան՝ $x\in \left(4,5;+\infty \աջ)$

Վերջապես, մեկ նշում, որը կարող է փրկել ձեզ հիմար սխալներից իրական խնդիրներ լուծելիս.

Մոդուլներով անհավասարությունների լուծումները սովորաբար ներկայացնում են թվային տողի շարունակական բազմություններ՝ ընդմիջումներ և հատվածներ: Մեկուսացված կետերը շատ ավելի քիչ են տարածված: Եվ նույնիսկ ավելի հազվադեպ է պատահում, որ լուծման սահմանը (հատվածի վերջը) համընկնում է դիտարկվող միջակայքի սահմանի հետ:

Հետևաբար, եթե սահմանները (նույն «հատուկ դեպքերը») ներառված չեն պատասխանում, ապա այդ սահմաններից աջ և ձախ հատվածները գրեթե անկասկած չեն ներառվի պատասխանում։ Եվ հակառակը՝ սահմանը մտավ պատասխանի մեջ, ինչը նշանակում է, որ դրա շուրջ որոշ հատվածներ նույնպես կլինեն պատասխաններ։

Հիշեք սա ձեր լուծումները վերանայելիս: