Անսահման երկրաչափական առաջընթաց: Երկրաչափական առաջընթաց. Օրինակ լուծումով. Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը
Դիտարկենք որոշակի շարք.
7 28 112 448 1792...
Միանգամայն պարզ է, որ նրա ցանկացած տարրի արժեքը նախորդից ուղիղ չորս անգամ մեծ է։ Սա նշանակում է, որ այս շարքը պրոգրեսիա է։
Երկրաչափական պրոգրեսիան թվերի անսահման հաջորդականություն է, որի հիմնական առանձնահատկությունն այն է, որ հաջորդ թիվը ստացվում է նախորդից՝ բազմապատկելով որոշակի թվով։ Սա արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.
a z +1 =a z ·q, որտեղ z-ն ընտրված տարրի թիվն է:
Համապատասխանաբար, z ∈ Ն.
Դպրոցում երկրաչափական պրոգրեսիա ուսումնասիրելու շրջանը 9-րդ դասարանն է։ Օրինակները կօգնեն ձեզ հասկանալ հայեցակարգը.
0.25 0.125 0.0625...
Այս բանաձևի հիման վրա առաջընթացի հայտարարը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.
Ո՛չ q, ո՛չ b z-ն չեն կարող զրո լինել: Նաև պրոգրեսիայի տարրերից յուրաքանչյուրը չպետք է հավասար լինի զրոյի:
Ըստ այդմ, հաջորդ թիվը պարզելու համար անհրաժեշտ է վերջինը բազմապատկել q-ով:
Այս առաջընթացը սահմանելու համար դուք պետք է նշեք դրա առաջին տարրը և հայտարարը: Սրանից հետո հնարավոր է գտնել հետագա տերմիններից որևէ մեկը և դրանց գումարը։
Սորտերի
Կախված q և a 1-ից, այս առաջընթացը բաժանվում է մի քանի տեսակների.
- Եթե և՛ a 1-ը, և՛ q-ը մեկից մեծ են, ապա այդպիսի հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, որն աճում է յուրաքանչյուր հաջորդ տարրի հետ: Դրա օրինակը ներկայացված է ստորև:
Օրինակ՝ a 1 =3, q=2 - երկու պարամետրերն էլ մեկից մեծ են:
Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.
3 6 12 24 48 ...
- Եթե |ք| մեկից փոքր է, այսինքն՝ դրանով բազմապատկելը համարժեք է բաժանմանը, ապա նմանատիպ պայմաններով առաջընթացը նվազող երկրաչափական պրոգրեսիա է։ Դրա օրինակը ներկայացված է ստորև:
Օրինակ՝ a 1 =6, q=1/3 - a 1-ը մեկից մեծ է, q փոքր է:
Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
6 2 2/3 ... - ցանկացած տարր 3 անգամ մեծ է նրան հաջորդող տարրից:
- Փոփոխական նշան. Եթե ք<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Օրինակ՝ a 1 = -3, q = -2 - երկու պարամետրերն էլ զրոյից փոքր են:
Այնուհետև թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես.
3, 6, -12, 24,...
Բանաձևեր
Երկրաչափական պրոգրեսիաների հարմար օգտագործման համար կան բազմաթիվ բանաձևեր.
- Z-տերմինի բանաձև. Թույլ է տալիս հաշվարկել տարրը որոշակի թվի տակ՝ առանց նախորդ թվերը հաշվարկելու:
Օրինակ:ք = 3, ա 1 = 4. Պահանջվում է հաշվել առաջընթացի չորրորդ տարրը:
Լուծում:ա 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Առաջին տարրերի գումարը, որոնց քանակը հավասար է զ. Թույլ է տալիս հաշվարկել հաջորդականության բոլոր տարրերի գումարը մինչևա զներառական։
Քանի որ (1-ք) հայտարարի մեջ է, ապա (1 - q)≠ 0, հետևաբար q-ն հավասար չէ 1-ի:
Նշում. եթե q=1, ապա առաջընթացը կլինի անվերջ կրկնվող թվերի շարք:
Երկրաչափական առաջընթացի գումար, օրինակներ.ա 1 = 2, ք= -2. Հաշվեք S5.
Լուծում:Ս 5 = 22 - հաշվարկ, օգտագործելով բանաձևը.
- Գումարը, եթե |ք| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Օրինակ:ա 1 = 2 , ք= 0,5. Գտեք գումարը:
Լուծում:Ս զ = 2 · = 4
Ս զ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Որոշ հատկություններ.
- Բնութագրական հատկություն. Եթե հետեւյալ պայմանը աշխատում է ցանկացածի համարզ, ապա տրված թվերի շարքը երկրաչափական պրոգրեսիա է.
ա զ 2 = ա զ -1 · աz+1
- Նաև երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած թվի քառակուսին գտնում ենք՝ ավելացնելով տվյալ շարքի ցանկացած այլ թվերի քառակուսիները, եթե դրանք հավասար են այս տարրից:
ա զ 2 = ա զ - տ 2 + ա զ + տ 2 , Որտեղտ- այս թվերի միջև եղած հեռավորությունը:
- Տարրերտարբերվում են քմեկ անգամ.
- Պրոգրեսիայի տարրերի լոգարիթմները նույնպես կազմում են պրոգրեսիա, բայց թվաբանական, այսինքն՝ նրանցից յուրաքանչյուրը որոշակի թվով մեծ է նախորդից։
Որոշ դասական խնդիրների օրինակներ
Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչ է երկրաչափական առաջընթացը, կարող են օգնել 9-րդ դասի լուծումներով օրինակները:
- Պայմաններ:ա 1 = 3, ա 3 = 48. Գտեքք.
Լուծում. յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ավելի մեծ է, քան նախորդըք մեկ անգամ.Անհրաժեշտ է որոշ տարրեր արտահայտել մյուսների մասով՝ օգտագործելով հայտարար։
Հետևաբար,ա 3 = ք 2 · ա 1
Փոխարինման ժամանակք= 4
- Պայմաններ:ա 2 = 6, ա 3 = 12. Հաշվիր S 6.
Լուծում:Դա անելու համար պարզապես գտեք q՝ առաջին տարրը և փոխարինեք այն բանաձևով:
ա 3 = ք· ա 2 , հետևաբար,ք= 2
ա 2 = ք · a 1,Ահա թե ինչու ա 1 = 3
S 6 = 189
- · ա 1 = 10, ք= -2. Գտեք առաջընթացի չորրորդ տարրը:
Լուծում. դա անելու համար բավական է չորրորդ տարրը արտահայտել առաջինի և հայտարարի միջոցով:
a 4 = q 3· ա 1 = -80
Դիմումի օրինակ.
- Բանկի հաճախորդը ավանդ է ներդրել 10000 ռուբլու չափով, որի պայմաններով ամեն տարի հաճախորդին դրա 6%-ը կավելացվի մայր գումարին: Որքա՞ն գումար կմնա հաշվին 4 տարի հետո:
Լուծում Նախնական գումարը 10 հազար ռուբլի է: Սա նշանակում է, որ ներդրումից մեկ տարի անց հաշիվը կունենա 10,000 + 10,000 գումար · 0,06 = 10000 1,06
Ըստ այդմ, հաշվում գումարը մեկ տարի անց կարտահայտվի հետևյալ կերպ.
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
Այսինքն՝ ամեն տարի այդ գումարն ավելանում է 1,06 անգամ։ Սա նշանակում է, որ 4 տարի հետո հաշվում առկա միջոցների չափը գտնելու համար բավական է գտնել պրոգրեսիայի չորրորդ տարրը, որը տրվում է 10 հազարի հավասար առաջին տարրով և 1,06 հավասար հայտարարով։
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Գումարի հաշվարկման խնդիրների օրինակներ.
Երկրաչափական պրոգրեսիան օգտագործվում է տարբեր խնդիրների դեպքում։ Գումարը գտնելու օրինակ կարելի է բերել հետևյալ կերպ.
ա 1 = 4, ք= 2, հաշվարկիրՍ 5.
Լուծում. հաշվարկի համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները հայտնի են, պարզապես անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել բանաձևով:
Ս 5 = 124
- ա 2 = 6, ա 3 = 18. Հաշվի՛ր առաջին վեց տարրերի գումարը:
Լուծում:
Գեոմի մեջ. առաջընթաց, յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը q անգամ մեծ է նախորդից, այսինքն՝ գումարը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ տարրըա 1 և հայտարարք.
ա 2 · ք = ա 3
ք = 3
Նմանապես, դուք պետք է գտնեքա 1 , իմանալովա 2 Եվք.
ա 1 · ք = ա 2
ա 1 =2
Ս 6 = 728.
>> Մաթեմատիկա. Երկրաչափական առաջընթաց
Ընթերցողի հարմարության համար այս պարբերությունը կառուցված է ճիշտ նույն պլանի համաձայն, որին մենք հետևեցինք նախորդ պարբերությունում:
1. Հիմնական հասկացություններ.
Սահմանում.Թվային հաջորդականությունը, որի բոլոր անդամները տարբերվում են 0-ից, և որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, ստացվում է նախորդ անդամից՝ այն նույն թվով բազմապատկելով, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա։ Այս դեպքում 5 թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։
Այսպիսով, երկրաչափական առաջընթացը թվային հաջորդականություն է (b n), որը պարբերաբար սահմանվում է հարաբերություններով.
Հնարավո՞ր է թվերի հաջորդականությանը նայել և որոշել, թե արդյոք դա երկրաչափական պրոգրեսիա է: Կարող է. Եթե համոզված եք, որ հաջորդականության որևէ անդամի հարաբերակցությունը նախորդ անդամին հաստատուն է, ապա դուք ունեք երկրաչափական պրոգրեսիա։
Օրինակ 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3:
Օրինակ 2.
Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որն ունի
Օրինակ 3.
Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որն ունի
Օրինակ 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որում b 1 - 8, q = 1:
Նկատի ունեցեք, որ այս հաջորդականությունը նույնպես թվաբանական առաջընթաց է (տես օրինակ 3-ը § 15-ից):
Օրինակ 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որտեղ b 1 = 2, q = -1:
Ակնհայտ է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան աճող հաջորդականություն է, եթե b 1 > 0, q > 1 (տես օրինակ 1), և նվազող հաջորդականություն, եթե b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Նշելու համար, որ (b n) հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, երբեմն հարմար է հետևյալ նշումը.
Սրբապատկերը փոխարինում է «երկրաչափական առաջընթաց» արտահայտությունը։
Եկեք նշենք երկրաչափական պրոգրեսիայի մեկ հետաքրքիր և միևնույն ժամանակ բավականին ակնհայտ հատկություն.
Եթե հաջորդականությունը 
երկրաչափական պրոգրեսիա է, ապա քառակուսիների հաջորդականությունը, այսինքն. 
երկրաչափական պրոգրեսիա է։
Երկրորդ երկրաչափական պրոգրեսիայում առաջին անդամը հավասար է և հավասար է q 2-ին:
Եթե երկրաչափական պրոգրեսիայում մենք հրաժարվում ենք b n-ին հաջորդող բոլոր տերմիններից, մենք ստանում ենք վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա: 
Այս բաժնի հետագա պարբերություններում մենք կքննարկենք երկրաչափական առաջընթացի ամենակարևոր հատկությունները:
2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը:
Դիտարկենք երկրաչափական առաջընթացը 
հայտարար ք. Մենք ունենք:
Դժվար չէ կռահել, որ ցանկացած n թվի համար հավասարությունը ճիշտ է
Սա երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևն է:
Մեկնաբանություն.
Եթե կարդացել եք նախորդ պարբերության կարևոր դիտողությունը և հասկացել եք այն, ապա փորձեք ապացուցել բանաձևը (1)՝ օգտագործելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը, ինչպես արվեց թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի համար:
Վերաշարադրենք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը
և ներկայացրեք նշումը. Մենք ստանում ենք y = mq 2, կամ, ավելի մանրամասն, 
x արգումենտը պարունակվում է ցուցիչում, ուստի այս ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Սա նշանակում է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան կարելի է համարել որպես բնական թվերի N բազմության վրա սահմանված էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Նկ. 96ա-ում ներկայացված է ֆունկցիայի գրաֆիկը Նկ. 966 - ֆունկցիայի գրաֆիկ 
Երկու դեպքում էլ մենք ունենք մեկուսացված կետեր (աբսցիսներով x = 1, x = 2, x = 3 և այլն), որոնք ընկած են որոշակի կորի վրա (երկու նկարներն էլ ցույց են տալիս նույն կորը, միայն տարբեր տեղակայված և տարբեր մասշտաբներով պատկերված): Այս կորը կոչվում է էքսպոնենցիալ կոր։ Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի և դրա գրաֆիկի մասին ավելի մանրամասն կքննարկվի 11-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասընթացում:
Վերադառնանք նախորդ պարբերությունից 1-5 օրինակներին։
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի համար b 1 = 1, q = 3: Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը 
2) 
Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի համար ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը 
Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որն ունի 
Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի համար b 1 = 8, q = 1: Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որտեղ b 1 = 2, q = -1: Եկեք ստեղծենք n-րդ անդամի բանաձևը 
Օրինակ 6.
Հաշվի առնելով երկրաչափական առաջընթացը
Բոլոր դեպքերում լուծումը հիմնված է երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևի վրա
ա) Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևում դնելով n = 6, մենք ստանում ենք.
բ) ունենք
Քանի որ 512 = 2 9, մենք ստանում ենք n - 1 = 9, n = 10:
դ) ունենք
Օրինակ 7.
Երկրաչափական պրոգրեսիայի յոթերորդ և հինգերորդ անդամների տարբերությունը 48 է, առաջընթացի հինգերորդ և վեցերորդ անդամների գումարը նույնպես 48։ Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի տասներկուերորդ անդամը։
Առաջին փուլ.Մաթեմատիկական մոդելի կազմում:
Խնդրի պայմանները հակիրճ կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
Օգտագործելով երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը, մենք ստանում ենք.
Այնուհետև խնդրի երկրորդ պայմանը (b 7 - b 5 = 48) կարելի է գրել այսպես
Խնդրի երրորդ պայմանը (b 5 + b 6 = 48) կարելի է գրել այսպես
Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու հավասարումների համակարգ երկու b 1 և q փոփոխականներով.
որը վերը գրված 1) պայմանի հետ միասին ներկայացնում է խնդրի մաթեմատիկական մոդելը:
Երկրորդ փուլ.
Կազմված մոդելի հետ աշխատելը. Համակարգի երկու հավասարումների ձախ կողմերը հավասարեցնելով՝ ստանում ենք.
(հավասարման երկու կողմերը բաժանեցինք b 1 q 4 ոչ զրոյական արտահայտությամբ):
q 2 - q - 2 = 0 հավասարումից մենք գտնում ենք q 1 = 2, q 2 = -1: Փոխարինելով q = 2 արժեքը համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք 
Փոխարինելով q = -1 արժեքը համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք b 1 1 0 = 48; այս հավասարումը լուծումներ չունի։
Այսպիսով, b 1 =1, q = 2 - այս զույգը հավասարումների կազմված համակարգի լուծումն է:
Այժմ մենք կարող ենք գրել խնդրի մեջ քննարկված երկրաչափական առաջընթացը՝ 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... :
Երրորդ փուլ.
Խնդրի հարցի պատասխանը. Դուք պետք է հաշվարկեք b 12: Մենք ունենք
Պատասխան՝ b 12 = 2048:
3. Վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը.
Թող տրվի վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա
S n-ով նշանակենք նրա տերմինների գումարը, այսինքն.
Եկեք այս գումարը գտնելու բանաձև բերենք.
Սկսենք ամենապարզ դեպքից, երբ q = 1. Այնուհետև b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn երկրաչափական պրոգրեսիան բաղկացած է b 1-ին հավասար n թվերից, այսինքն. առաջընթացը կարծես b 1, b 2, b 3, ..., b 4: Այս թվերի գումարը nb 1 է:
Հիմա q = 1 S n գտնելու համար մենք կիրառում ենք արհեստական տեխնիկա՝ կատարում ենք S n q արտահայտության որոշ փոխակերպումներ։ Մենք ունենք:
Փոխակերպումներ կատարելիս մենք, առաջին հերթին, օգտագործեցինք երկրաչափական պրոգրեսիայի սահմանումը, ըստ որի (տե՛ս հիմնավորման երրորդ տողը); երկրորդ՝ գումարել-հանել են, ինչի պատճառով արտահայտության իմաստը, իհարկե, չի փոխվել (տե՛ս պատճառաբանության չորրորդ տողը); երրորդ, մենք օգտագործեցինք երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը.
Բանաձևից (1) մենք գտնում ենք.
Սա երկրաչափական պրոգրեսիայի n տերմինների գումարի բանաձևն է (այն դեպքում, երբ q = 1):
Օրինակ 8.
Տրվում է վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա
ա) առաջընթացի ժամկետների հանրագումարը. բ) նրա անդամների քառակուսիների գումարը.
բ) Վերևում (տե՛ս էջ 132) մենք արդեն նշել ենք, որ եթե երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամները քառակուսի են, ապա մենք ստանում ենք երկրաչափական պրոգրեսիա b 2 առաջին անդամով և q 2 հայտարարով։ Այնուհետև նոր առաջընթացի վեց անդամների գումարը կհաշվարկվի ըստ
Օրինակ 9.
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի 8-րդ անդամը, որի համար
Փաստորեն, մենք ապացուցել ենք հետևյալ թեորեմը.
Թվային հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա յուրաքանչյուր անդամի քառակուսին, բացառությամբ առաջին թեորեմի (և վերջինը, վերջավոր հաջորդականության դեպքում), հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների արտադրյալին ( երկրաչափական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն):
Masterweb-ից
22.09.2018 22:00Երկրաչափական պրոգրեսիան, թվաբանական առաջընթացի հետ մեկտեղ, կարևոր թվային շարք է, որն ուսումնասիրվում է 9-րդ դասարանի դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում։ Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարին և ինչպես է դրա արժեքը ազդում նրա հատկությունների վրա:
Երկրաչափական առաջընթացի սահմանում
Նախ, եկեք տանք այս թվային շարքի սահմանումը: Երկրաչափական պրոգրեսիան ռացիոնալ թվերի շարք է, որը ձևավորվում է իր առաջին տարրը հաջորդաբար բազմապատկելով հաստատուն թվով, որը կոչվում է հայտարար։
Օրինակ՝ 3, 6, 12, 24, ... շարքի թվերը երկրաչափական պրոգրեսիա են, քանի որ եթե 3-ը (առաջին տարրը) բազմապատկես 2-ով, կստանաս 6, եթե 6-ը բազմապատկես 2-ով, կստացվի. 12 և այլն:
Քննարկվող հաջորդականության անդամները սովորաբար նշվում են ai նշանով, որտեղ i-ն ամբողջ թիվ է, որը ցույց է տալիս շարքի տարրի թիվը։
Պրոգրեսիայի վերը նշված սահմանումը մաթեմատիկական լեզվով կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ an = bn-1 * a1, որտեղ b-ն հայտարարն է։ Հեշտ է ստուգել այս բանաձևը. եթե n = 1, ապա b1-1 = 1, և մենք ստանում ենք a1 = a1: Եթե n = 2, ապա an = b * a1, և նորից գալիս ենք խնդրո առարկա թվերի շարքի սահմանմանը: Նմանատիպ պատճառաբանությունը կարող է շարունակվել n-ի մեծ արժեքների համար:
Երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար
b թիվը ամբողջությամբ որոշում է, թե ինչ նիշ կունենա ամբողջ թվային շարքը: b հայտարարը կարող է լինել դրական, բացասական կամ մեկից մեծ կամ փոքր: Վերոհիշյալ բոլոր տարբերակները հանգեցնում են տարբեր հաջորդականությունների.
- b > 1. Կա ռացիոնալ թվերի աճող շարք: Օրինակ՝ 1, 2, 4, 8, ... Եթե a1 տարրը բացասական է, ապա ամբողջ հաջորդականությունը կաճի միայն բացարձակ արժեքով, բայց կնվազի՝ կախված թվերի նշանից։
- b = 1. Հաճախ այս դեպքը չի կոչվում պրոգրեսիա, քանի որ կա միանման ռացիոնալ թվերի սովորական շարք: Օրինակ՝ -4, -4, -4:
Գումարի բանաձև
Նախքան դիտարկվող առաջընթացի տիպի հայտարարի օգտագործմամբ կոնկրետ խնդիրների քննարկմանը անցնելը, պետք է տրվի դրա առաջին n տարրերի գումարի կարևոր բանաձևը: Բանաձևը նման է Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1):
Դուք կարող եք ինքներդ ստանալ այս արտահայտությունը, եթե հաշվի առնեք առաջընթացի տերմինների ռեկուրսիվ հաջորդականությունը: Նկատի ունեցեք նաև, որ վերոնշյալ բանաձևում բավական է իմանալ միայն առաջին տարրը և հայտարարը կամայական թվով տերմինների գումարը գտնելու համար։
Անսահման նվազող հաջորդականություն
Վերևում տրվեց բացատրություն, թե ինչ է դա: Այժմ, իմանալով Sn-ի բանաձևը, եկեք այն կիրառենք այս թվային շարքի վրա։ Քանի որ ցանկացած թիվ, որի մոդուլը չի գերազանցում 1-ը, հակված է զրոյի, երբ բարձրացվում է մեծ հզորությունների, այսինքն՝ b∞ => 0, եթե -1
Քանի որ տարբերությունը (1 - բ) միշտ դրական կլինի՝ անկախ հայտարարի արժեքից, անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի S∞-ի գումարի նշանը եզակիորեն որոշվում է նրա առաջին տարրի a1 նշանով։
Այժմ անդրադառնանք մի քանի խնդիրներին, որտեղ ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է ձեռք բերված գիտելիքները կիրառել կոնկրետ թվերի վրա։
Առաջադրանք թիվ 1. Պրոգրեսիայի և գումարի անհայտ տարրերի հաշվարկ
Երկրաչափական պրոգրեսիայով առաջընթացի հայտարարը 2 է, իսկ առաջին տարրը՝ 3։ Ինչի՞ են հավասար նրա 7-րդ և 10-րդ անդամները, և որքա՞ն է նրա յոթ սկզբնական տարրերի գումարը։
Խնդրի պայմանը բավականին պարզ է և ներառում է վերը նշված բանաձևերի ուղղակի օգտագործումը։ Այսպիսով, n տարրը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք an = bn-1 * a1 արտահայտությունը: 7-րդ տարրի համար ունենք՝ a7 = b6 * a1, փոխարինելով հայտնի տվյալները, ստանում ենք՝ a7 = 26 * 3 = 192. Նույնը անում ենք 10-րդ անդամի համար՝ a10 = 29 * 3 = 1536:
Եկեք օգտագործենք գումարի հայտնի բանաձևը և որոշենք այս արժեքը շարքի առաջին 7 տարրերի համար: Մենք ունենք՝ S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381:
Խնդիր թիվ 2. Պրոգրեսիայի կամայական տարրերի գումարի որոշում
Թող -2-ը հավասար լինի bn-1 * 4 երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարին, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: Անհրաժեշտ է որոշել գումարը այս շարքի 5-րդից 10-րդ տարրից ներառյալ։
Առաջադրված խնդիրը չի կարող ուղղակիորեն լուծվել՝ օգտագործելով հայտնի բանաձևերը: Այն կարելի է լուծել՝ օգտագործելով 2 տարբեր մեթոդներ. Թեմայի ամբողջականության համար ներկայացնում ենք երկուսն էլ.
Մեթոդ 1. Գաղափարը պարզ է՝ պետք է հաշվարկել առաջին անդամների երկու համապատասխան գումարները, իսկ հետո մեկից հանել մյուսը: Մենք հաշվարկում ենք ավելի փոքր գումարը՝ S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364: Այժմ մենք հաշվարկում ենք ավելի մեծ գումարը՝ S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20: Նկատենք, որ վերջին արտահայտության մեջ ընդամենը 4 անդամ է գումարվել, քանի որ 5-րդն արդեն ներառված է այն գումարի մեջ, որը պետք է հաշվարկվի ըստ խնդրի պայմանների։ Ի վերջո, մենք վերցնում ենք տարբերությունը՝ S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344:
Մեթոդ 2. Մինչ թվերը փոխարինելը և հաշվելը կարող եք ստանալ տվյալ շարքի m և n անդամների գումարի բանաձևը: Մենք անում ենք ճիշտ այնպես, ինչպես 1-ին մեթոդով, միայն մենք նախ աշխատում ենք գումարի խորհրդանշական ներկայացմամբ: Մենք ունենք՝ Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ստացված արտահայտության մեջ կարող եք փոխարինել հայտնի թվերը և հաշվարկել վերջնական արդյունքը՝ S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344:
Խնդիր թիվ 3. Ո՞րն է հայտարարը:
Թող a1 = 2, գտնենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը, պայմանով, որ դրա անսահման գումարը լինի 3, և հայտնի է, որ սա թվերի նվազող շարք է։
Ելնելով խնդրի պայմաններից՝ դժվար չէ կռահել, թե որ բանաձեւով է այն լուծել։ Իհարկե, անսահման նվազող առաջընթացի գումարի համար։ Մենք ունենք՝ S∞ = a1 / (1 - b): Որտեղից ենք արտահայտում հայտարարը՝ b = 1 - a1 / S∞: Մնում է փոխարինել հայտնի արժեքները և ստանալ անհրաժեշտ թիվը՝ b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 կամ -0.333(3): Մենք կարող ենք որակապես ստուգել այս արդյունքը, եթե հիշենք, որ այս տեսակի հաջորդականության համար b մոդուլը չպետք է գերազանցի 1-ը: Ինչպես երևում է, |-1 / 3|
Առաջադրանք թիվ 4. Մի շարք թվերի վերականգնում
Թող տրվի թվային շարքի 2 տարր, օրինակ՝ 5-րդը հավասար է 30-ի, իսկ 10-ը՝ 60-ի։ Անհրաժեշտ է այս տվյալներից վերակառուցել ամբողջ շարքը՝ իմանալով, որ այն բավարարում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հատկությունները։
Խնդիրը լուծելու համար նախ պետք է գրել յուրաքանչյուր հայտնի տերմինի համապատասխան արտահայտությունը։ Մենք ունենք՝ a5 = b4 * a1 և a10 = b9 * a1: Այժմ երկրորդ արտահայտությունը բաժանեք առաջինի վրա, ստանում ենք՝ a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5: Այստեղից մենք որոշում ենք հայտարարը՝ վերցնելով խնդրի հայտարարությունից հայտնի տերմինների հարաբերակցության հինգերորդ արմատը՝ b = 1,148698: Ստացված թիվը փոխարինում ենք հայտնի տարրի արտահայտություններից մեկի մեջ, ստանում ենք՝ a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966:
Երկրաչափական պրոգրեսիան թվային հաջորդականություն է, որի առաջին անդամը զրոյական չէ, և յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը հավասար է նախորդ անդամին, որը բազմապատկվում է նույն ոչ զրոյական թվով։
Նշվում է երկրաչափական պրոգրեսիա b1,b2,b3, …, bn, ….
Երկրաչափական սխալի ցանկացած անդամի և նրա նախորդ անդամի հարաբերությունը հավասար է նույն թվին, այսինքն՝ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Սա ուղղակիորեն հետևում է թվաբանական առաջընթացի սահմանմանը: Այս թիվը կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար։ Սովորաբար երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը նշվում է q տառով։
Միապաղաղ և հաստատուն հաջորդականություն
Երկրաչափական պրոգրեսիա սահմանելու եղանակներից մեկը նրա առաջին b1 անդամը և q երկրաչափական սխալի հայտարարը նշելն է։ Օրինակ՝ b1=4, q=-2: Այս երկու պայմանները սահմանում են երկրաչափական առաջընթացը 4, -8, 16, -32, ...:
Եթե q>0 (q-ը հավասար չէ 1-ի), ապա առաջընթացն է միապաղաղ հաջորդականություն.Օրինակ՝ 2, 4,8,16,32, ... հաջորդականությունը միապաղաղ աճող հաջորդականություն է (b1=2, q=2):
Եթե երկրաչափական սխալի հայտարարը q=1 է, ապա երկրաչափական պրոգրեսիայի բոլոր անդամները հավասար կլինեն միմյանց: Նման դեպքերում ասում են՝ առաջընթաց է մշտական հաջորդականություն.
Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը
Որպեսզի թվային հաջորդականությունը (bn) լինի երկրաչափական պրոգրեսիա, անհրաժեշտ է, որ նրա յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, լինի հարևան անդամների երկրաչափական միջինը։ Այսինքն՝ անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ հավասարումը
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), ցանկացած n>0-ի համար, որտեղ n-ը պատկանում է N բնական թվերի բազմությանը։
Երկրաչափական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը հետևյալն է.
bn=b1*q^(n-1),
որտեղ n-ը պատկանում է N բնական թվերի բազմությանը։
Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը
Երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), որտեղ q-ը հավասար չէ 1-ի։
Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.
Երկրաչափական պրոգրեսիայում b1=6, q=3, n=8 գտե՛ք Sn.
S8-ը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարի բանաձևը։
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680։
Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ
Տեսական տեղեկատվություն
Տեսական տեղեկատվություն
Թվաբանական առաջընթաց |
Երկրաչափական առաջընթաց |
|
Սահմանում |
Թվաբանական առաջընթաց a nհաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդ անդամին դ (դ- առաջընթացի տարբերություն) |
Երկրաչափական առաջընթաց b nոչ զրոյական թվերի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, հավասար է նախորդ անդամին բազմապատկած նույն թվով. ք (ք- առաջընթացի հայտարար) |
Կրկնվող բանաձեւ |
Ցանկացած բնականի համար n |
Ցանկացած բնականի համար n |
Բանաձև n-րդ կիսամյակ |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Բնութագրական հատկություն |  |
|
| Առաջին n անդամների գումարը |  |
 |
Առաջադրանքների օրինակներ մեկնաբանություններով
Վարժություն 1
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6, ա 2
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1+ d (22 - 1) = ա 1+ 21 դ
Ըստ պայմանի.
ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21 դ .
Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ = ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 2
Գտե՛ք երկրաչափական պրոգրեսիայի հինգերորդ անդամը՝ -3; 6;....
1-ին մեթոդ (n-term բանաձևի օգտագործմամբ)
Երկրաչափական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Որովհետեւ բ 1 = -3,
2-րդ մեթոդ (կրկնվող բանաձևի օգտագործմամբ)
Քանի որ պրոգրեսիայի հայտարարը -2 է (q = -2), ապա.
բ 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
բ 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
բ 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. բ 5 = -48.
Առաջադրանք 3
Թվաբանական առաջընթացով ( ա ժ) ա 74 = 34; ա 76= 156. Գտե՛ք այս առաջընթացի յոթանասունհինգերորդ անդամը:
Թվաբանական առաջընթացի համար բնորոշ հատկությունն ունի ձևը 
.
Հետևաբար.
.
Տվյալները փոխարինենք բանաձևով.
Պատասխան՝ 95։
Առաջադրանք 4
Թվաբանական առաջընթացով ( a n ) a n= 3n - 4. Գտե՛ք առաջին տասնյոթ անդամների գումարը:
Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը գտնելու համար օգտագործվում են երկու բանաձև.
.
Դրանցից որն է ավելի հարմար օգտագործել այս դեպքում:
Ըստ պայմանի, հայտնի է սկզբնական առաջընթացի n-րդ անդամի բանաձևը ( a n) a n= 3n - 4. Դուք կարող եք անմիջապես գտնել և ա 1, Եվ ա 16առանց գտնելու դ. Հետեւաբար, մենք կօգտագործենք առաջին բանաձեւը.
Պատասխան՝ 368։
Առաջադրանք 5
Թվաբանական առաջընթացով ( a n) ա 1 = -6; ա 2= -8. Գտեք առաջընթացի քսաներկուերորդ անդամը:
n-րդ անդամի բանաձևի համաձայն.
ա 22 = ա 1 + դ (22 – 1) = ա 1+ 21 դ.
Պայմանով, եթե ա 1= -6, ապա ա 22= -6 + 21 դ . Անհրաժեշտ է գտնել առաջընթացների տարբերությունը.
դ = ա 2 – ա 1 = -8 – (-6) = -2
ա 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Պատասխան. ա 22 = -48.
Առաջադրանք 6
Երկրաչափական պրոգրեսիայի մի քանի հաջորդական անդամներ գրված են.
Գտե՛ք x-ով նշված պրոգրեսիայի տերմինը:
Լուծելիս կօգտագործենք n-րդ անդամի բանաձևը b n = b 1 ∙ q n - 1երկրաչափական առաջընթացների համար. Առաջընթացի առաջին տերմինը. q պրոգրեսիայի հայտարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել պրոգրեսիայի տրված անդամներից որևէ մեկը և բաժանել նախորդի վրա։ Մեր օրինակում մենք կարող ենք վերցնել և բաժանել: Մենք ստանում ենք q = 3: Բանաձևում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 3, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել տվյալ երկրաչափական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը:
Գտնված արժեքները բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան.
Առաջադրանք 7
n-րդ անդամի բանաձևով տրված թվաբանական առաջընթացներից ընտրե՛ք այն մեկը, որի համար պայմանը բավարարված է. ա 27 > 9:
Քանի որ տրված պայմանը պետք է բավարարվի պրոգրեսիայի 27-րդ անդամի համար, չորս առաջընթացներից յուրաքանչյուրում n-ի փոխարեն փոխարինում ենք 27-ը: 4-րդ առաջընթացում մենք ստանում ենք.
.
Պատասխան՝ 4.
Առաջադրանք 8
Թվաբանական առաջընթացում ա 1= 3, d = -1,5: Նշեք n-ի ամենամեծ արժեքը, որի համար գործում է անհավասարությունը a n > -6.
