Կոտանգենս x-ի ածանցյալ. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ՝ շոշափող, սինուս, կոսինուս և այլն։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ բանաձևեր

x-ի կոտանգենսից x փոփոխականի նկատմամբ ածանցյալը հավասար է մինուս մեկին, որը բաժանվում է x-ի սինուսի քառակուսու վրա:
(ctg x)′ =.

Կոտանգենտի ածանցյալ բանաձևի ստացում

Կոտանգենտի ածանցյալի բանաձևը ստանալու համար մենք կօգտագործենք հետևյալ մաթեմատիկական փաստերը.
1) Կոտանգենսն արտահայտելով կոսինուսով և սինուսով.
(1) ;
2) Կոսինուսի ածանցյալի արժեքը.
(2) ;
3) Սինուսային ածանցյալի արժեքը.
(3) ;
4) Քաղորդի ածանցյալ բանաձևը.
(4) ;
5) Եռանկյունաչափական բանաձև.
(5) .

Մենք կիրառում ենք այս բանաձևերը և կանոնները կոտանգենսի ածանցյալի նկատմամբ։

.

Այսպիսով, մենք ստացանք կոտանգենսի ածանցյալի բանաձևը.

Ածանցյալ կոտորակի բանաձևը (4) վավեր է x փոփոխականի այն արժեքների համար, որոնց համար կան ֆունկցիաների ածանցյալներ և որոնց համար կոտորակի հայտարարը չի անհետանում.
.
Մեր դեպքում
, . Քանի որ կոսինուսի և սինուսի ածանցյալները սահմանվում են x փոփոխականի բոլոր արժեքների համար, կոտանգենսի ածանցյալի բանաձևը վավեր է բոլոր x-ի համար, բացառությամբ այն կետերի, որոնցում սինուսը հավասար է զրոյի: Այսինքն՝ բացի կետերից
,
որտեղ է ամբողջ թիվ.
Ֆունկցիան ինքնին y = ctg xսահմանված բոլոր x-ի համար, բացառությամբ կետերի
.
Ահա թե ինչու կոտանգենսի ածանցյալը սահմանվում է կոտանգենս ֆունկցիայի սահմանման ողջ տիրույթում.

Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ

Պարզ բանաձև y = կոտանգենսի n-րդ կարգի ածանցյալի համար ctg x, Ոչ Բայց ավելի բարձր կարգի ածանցյալների հաշվարկը կարելի է պարզեցնել։ Գործընթացը ինքնին կարող է կրճատվել բազմանդամի տարբերակում.

Դա անելու համար մենք արտահայտում ենք կոտանգենսի ածանցյալը հենց կոտանգենսի միջոցով.
.
Այսպիսով, մենք գտանք.
(6) .

Գտնենք (6) հավասարման ձախ և աջ կողմերի ածանցյալները և կիրառենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը։ Մենք ստանում ենք երկրորդ կարգի ածանցյալ:
.
Փոխարինենք (6).
(7) .

Գտնենք երրորդ կարգի ածանցյալը. Դա անելու համար մենք տարբերակում ենք (7) հավասարումը, կիրառում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը և առաջին ածանցյալի համար օգտագործում ենք արտահայտությունը (6).
.

Նման կերպ մենք գտնում ենք չորրորդ և հինգերորդ կարգի ածանցյալներ:

;

.

Ընդհանուր առմամբ, n-րդ կարգի ածանցյալ, կոտանգենս ֆունկցիայի x փոփոխականում , կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամ կոտանգենսի հզորություններով.
.
Այս բազմանդամի գործակիցները կապված են կրկնության հարաբերությամբ.
,
Որտեղ
; ;
.

Ընդհանուր բանաձև

Պատկերացնենք տարբերակման գործընթացը մեկ բանաձեւով. Դա անելու համար նշեք, որ
.
Այնուհետև կոտանգենսի n-րդ ածանցյալն ունի հետևյալ ձևը.
,
Որտեղ.

Ամենահաճախ տրվող հարցերը

Հնարավո՞ր է փաստաթղթի վրա կնիք անել ըստ ներկայացված նմուշի: Պատասխանել Այո, դա հնարավոր է: Ուղարկեք սկանավորված պատճեն կամ լավ որակի լուսանկար մեր էլ. հասցեին, և մենք կկատարենք անհրաժեշտ կրկնօրինակը:

Վճարման ի՞նչ տեսակներ եք ընդունում: Պատասխանել Փաստաթղթի համար կարող եք վճարել սուրհանդակի կողմից ստանալուց հետո՝ դիպլոմի լրացման և կատարման որակը ստուգելուց հետո: Դա կարելի է անել նաև փոստային ընկերությունների գրասենյակում, որոնք առաջարկում են կանխիկ առաքման ծառայություններ:
Փաստաթղթերի առաքման և վճարման բոլոր պայմանները նկարագրված են «Վճարում և առաքում» բաժնում: Մենք պատրաստ ենք լսել նաև ձեր առաջարկները՝ կապված փաստաթղթի առաքման և վճարման պայմանների հետ:

Կարո՞ղ եմ վստահ լինել, որ պատվեր կատարելուց հետո դուք չեք անհետանա իմ փողի հետ: Պատասխանել Մենք բավականին երկար փորձ ունենք դիպլոմների արտադրության ոլորտում։ Մենք ունենք մի քանի կայքեր, որոնք անընդհատ թարմացվում են։ Մեր մասնագետները աշխատում են երկրի տարբեր հատվածներում՝ օրական պատրաստելով ավելի քան 10 փաստաթուղթ: Տարիների ընթացքում մեր փաստաթղթերը շատերին օգնել են լուծել զբաղվածության խնդիրները կամ տեղափոխվել ավելի բարձր վարձատրվող աշխատանքի: Մենք վստահություն և ճանաչում ենք վաստակել հաճախորդների շրջանում, ուստի բացարձակապես որևէ պատճառ չկա, որ մենք դա անենք: Ընդ որում, դա ֆիզիկապես անհնար է անել. պատվերի համար վճարում ես այն պահին, երբ այն ստանում ես ձեռքում, չկա կանխավճար:

Կարո՞ղ եմ ցանկացած համալսարանի դիպլոմ պատվիրել: Պատասխանել Ընդհանուր առմամբ՝ այո։ Մենք այս ոլորտում աշխատում ենք գրեթե 12 տարի։ Այս ընթացքում ձևավորվել է հանրապետության գրեթե բոլոր բուհերի կողմից տրված և թողարկման տարբեր տարիների փաստաթղթերի գրեթե ամբողջական բազա։ Ձեզ անհրաժեշտ է ընդամենը ընտրել համալսարան, մասնագիտություն, փաստաթուղթ և լրացնել պատվերի ձևը:

Ի՞նչ անել, եթե փաստաթղթում հայտնաբերեք տառասխալներ և սխալներ: Պատասխանել Մեր սուրհանդակային կամ փոստային ընկերությունից փաստաթուղթ ստանալիս խորհուրդ ենք տալիս ուշադիր ստուգել բոլոր մանրամասները: Տառասխալ, սխալ կամ անճշտություն հայտնաբերելու դեպքում դուք իրավունք ունեք չվերցնել դիպլոմը, սակայն հայտնաբերված թերությունները պետք է անձամբ նշեք սուրհանդակին կամ գրավոր՝ նամակ ուղարկելով:
Մենք հնարավորինս շուտ կուղղենք փաստաթուղթը և նորից կուղարկենք նշված հասցեով: Իհարկե, առաքումը կվճարի մեր ընկերությունը։
Նման թյուրիմացություններից խուսափելու համար, նախքան բնօրինակ ձևը լրացնելը, մենք հաճախորդին էլեկտրոնային փոստով ուղարկում ենք ապագա փաստաթղթի մոդել՝ վերջնական տարբերակի ստուգման և հաստատման համար: Փաստաթուղթը սուրհանդակով կամ փոստով ուղարկելուց առաջ մենք նաև լրացուցիչ լուսանկարներ և տեսանյութեր ենք վերցնում (այդ թվում՝ ուլտրամանուշակագույն լույսի ներքո), որպեսզի դուք հստակ պատկերացնեք, թե ինչ եք ստանալու վերջում։

Ի՞նչ պետք է անեմ ձեր ընկերությունից դիպլոմ պատվիրելու համար: Պատասխանել Փաստաթուղթ (վկայական, դիպլոմ, գիտական ​​վկայական և այլն) պատվիրելու համար դուք պետք է լրացնեք առցանց պատվերի ձևը մեր կայքում կամ տրամադրեք ձեր էլ. մեզ.
Եթե ​​չգիտեք, թե ինչ նշել պատվերի ձևի/հարցաշարի որևէ դաշտում, թողեք դրանք դատարկ: Ուստի մենք հեռախոսով կճշտենք բոլոր բացակայող տեղեկությունները։

Վերջին ակնարկներ

Torywild:

Ես որոշեցի դիպլոմ գնել ձեր ընկերությունից, երբ տեղափոխվեցի այլ քաղաք և չկարողացա դիպլոմս գտնել իմ իրերի մեջ։ Առանց նրա ես աշխատանքի չէի ընդունվի լավ, լավ վարձատրվող աշխատանքի համար։ Ձեր խորհրդատուն ինձ վստահեցրեց, որ այս տեղեկատվությունը չի բացահայտվում, և ոչ ոք չի տարբերի փաստաթուղթը բնօրինակից: Կասկածներ չկար, բայց ես պետք է ռիսկի դիմեի։ Ինձ դուր եկավ, որ կանխավճար չի պահանջվում։ Ընդհանրապես, դիպլոմս ժամանակին եմ ստացել ու ինձ չեն խաբել։ Շնորհակալություն!

Օքսանա Իվանովնա.

Երբ դիպլոմս գողացան, ես ահավոր վրդովվեցի։ Ի վերջո, հենց այդ ժամանակ ինձ ազատեցին աշխատանքից, և հիմա գրեթե անհնար է լավ աշխատանք գտնել առանց բարձրագույն կրթության դիպլոմի։ Բարեբախտաբար, հարեւաններից մեկն առաջարկեց կապ հաստատել ձեր կազմակերպության հետ: Սկզբում թերահավատ էի, բայց որոշեցի ռիսկի դիմել։ Ես զանգահարեցի ընկերության մենեջերին և բացատրեցի իմ վիճակը։ Եվ ես հաջողակ եմ: Նրանք ամեն ինչ օպերատիվ արեցին, և որ ամենակարևորն է՝ խոստացան չհրապարակել իմ գաղտնիքը։ Ես անհանգստանում էի, որ այն փաստը, որ ես գնել եմ դիպլոմը, հետո դուրս չի գա։

Մաշա Կուտենկովա.

Շնորհակալություն աշխատանքի համար: Դիպլոմ եմ պատվիրել 1991թ. Երբ նրանք սկսեցին փաստաթղթերը բարձրացնել, պարզվեց, որ փորձը քիչ է, և նրանց անհրաժեշտ էր նաև իրենց կրթությունը հաստատող թուղթ։ Ես չունեի, և պետը գիտեր դա, և նա ինքն է խորհուրդ տվել ձեր ընկերությանը (ըստ երևույթին, ես աշխատողի նման չեմ): Փաստաթղթի վրա նա ինձ մատնանշեց մանրամասները, օրինակ, թե որ տարիներին են թանաք կամ թանաք օգտագործում, ստորագրության հաստությունը և այլն: Շնորհակալություն մանրակրկիտության և որակի համար:

LenOK:

Աշխատակիցների ամոթալի աշխատանքից ազատումների մասին պատմություններ կարդալուց հետո, որոնց դիպլոմները տպված էին գունավոր տպիչի վրա, գնացի համալսարան դիմելու։ Ավաղ, ոչ բյուջե կա, ոչ սովորելու և ոչ էլ սեանսների համար վճարելու գումար, ուստի ես ստիպված էի ռիսկի դիմել: Չնայած ես շատ ուրախ եմ, որ հանդիպեցի ձեր ընկերությանը։ Չնայած ես քո դիպլոմով աշխատանքի չեմ ընդունվել պրակտիկ բլոկի ձախողման պատճառով, բայց դու մեղավոր չես։ Հենց նոր տեղ գտնեմ, անմիջապես կգամ ձեզ մոտ, առանց հապաղելու:

Ջերի Թերի.

Նայելով, թե ինչ ամոթով էին իմ գործընկերոջը աշխատանքից հանել կեղծ դիպլոմի համար, սարսափելի էր նրա օրինակին հետևելը։ Եթե ​​քեզնից պատվիրած կնքամայրը չլիներ, ես ռիսկի չէի դիմի։ Նա վստահեցրեց, որ այստեղ ամեն ինչ հարթ է, և իմ անունը կլինի ամենուր, որտեղ անհրաժեշտ լինի։ Ես 4 օր ունեի ամեն ինչ անելու համար։ Շնորհակալություն արագության համար. մենք այն ավարտեցինք 3-ում, ինչպես նաև կարողացանք մանրակրկիտ ուսումնասիրել փաստաթղթերի կեղծման մեթոդները, բայց ձեր ձևը չի որակվում որպես կեղծ, ինչը նշանակում է, որ այն կանցնի բնօրինակի համար:

Անդրեյ.

Երբեք չէի մտածի, որ պետք է դիպլոմ գնեմ։ Դպրոցից հետո աղջիկս գնաց Լեհաստան՝ աշխատելու, երբ վերադարձավ 5 տարի անց, նա ցանկացավ աշխատանքի ընդունվել որպես հագուստի դիզայներ տեղական նորաձեւության տանը: Առանց դիպլոմի ոչ ոք չէր ուզում նրան աշխատանքի ընդունել։ Նա հասկանում էր, որ եթե չստանա այս աշխատանքը, նորից կհեռանա։ Ես երեկոն անցկացրեցի ինտերնետում, իսկ առավոտյան արդեն գրասենյակում էի աղջկաս փաստաթղթերով։ Մեկ շաբաթ անց նա իր հետ վերցրեց դիպլոմը, և նա վերջապես մնաց իր քաղաքում աշխատելու ցանկալի պաշտոնում։ Դուք չեք պատկերացնում, թե որքան շնորհակալ եմ ձեզ:

Երկրաչափության և մաթեմատիկայի դասընթացից դպրոցականները սովոր են այն փաստին, որ ածանցյալ հասկացությունն իրենց է փոխանցվում գործչի տարածքի, դիֆերենցիալների, ֆունկցիաների սահմանների, ինչպես նաև սահմանների միջոցով: Փորձենք դիտարկել ածանցյալ հասկացությունը այլ տեսանկյունից և որոշել, թե ինչպես կարելի է կապել ածանցյալ և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները:

Այսպիսով, եկեք դիտարկենք մի կամայական կոր, որը նկարագրված է y = f(x) աբստրակտ ֆունկցիայով։

Պատկերացնենք, որ չվացուցակը զբոսաշրջային երթուղու քարտեզ է։ Նկարում ∆x (դելտա x) աճը ուղու որոշակի հեռավորությունն է, իսկ ∆y-ը ծովի մակարդակից ուղու բարձրության փոփոխությունն է:
Այնուհետև պարզվում է, որ ∆x/∆y հարաբերակցությունը բնութագրելու է երթուղու բարդությունը երթուղու յուրաքանչյուր հատվածում: Սովորելով այս արժեքը՝ դուք կարող եք վստահորեն ասել, թե արդյոք վերելքը/իջնելը զառիթափ է, արդյոք անհրաժեշտ կլինի մագլցող սարքավորումներ և արդյոք զբոսաշրջիկներին անհրաժեշտ է որոշակի ֆիզիկական պատրաստվածություն: Բայց այս ցուցանիշը վավեր կլինի միայն մեկ փոքր ինտերվալի ∆x:

Եթե ​​ուղևորության կազմակերպիչը վերցնում է արահետի մեկնարկային և ավարտական ​​կետերի արժեքները, այսինքն՝ ∆x-ը հավասար է երթուղու երկարությանը, ապա նա չի կարողանա օբյեկտիվ տվյալներ ստանալ դժվարության աստիճանի վերաբերյալ։ ճամփորդության։ Հետևաբար, անհրաժեշտ է կառուցել մեկ այլ գրաֆիկ, որը կբնութագրի ուղու փոփոխությունների արագությունն ու «որակը», այլ կերպ ասած՝ կորոշի երթուղու յուրաքանչյուր «մետրի» համար ∆x/∆y հարաբերակցությունը:

Այս գրաֆիկը կլինի տեսողական ածանցյալ կոնկրետ ճանապարհի համար և օբյեկտիվորեն նկարագրելու է դրա փոփոխությունները յուրաքանչյուր հետաքրքրության միջակայքում: Շատ պարզ է դա ստուգելը. ∆x/∆y արժեքը ոչ այլ ինչ է, քան դիֆերենցիալ, որը վերցված է x-ի և y-ի որոշակի արժեքի համար: Եկեք կիրառենք տարբերակումը ոչ թե կոնկրետ կոորդինատների, այլ ֆունկցիայի նկատմամբ որպես ամբողջություն.

Ածանցյալ և եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները անքակտելիորեն կապված են ածանցյալների հետ։ Սա կարելի է հասկանալ հետևյալ գծագրից. Կոորդինատային առանցքի նկարը ցույց է տալիս Y = f (x) ֆունկցիան՝ կապույտ կորը:

K (x0; f (x0)) կամայական կետ է, x0 + ∆x-ը OX առանցքի երկայնքով աճն է, իսկ f (x0 + ∆x) աճը OY առանցքի երկայնքով L որոշակի կետում:

Եկեք գծենք K և L կետերով և կառուցենք KLN ուղղանկյուն եռանկյուն: Եթե ​​մտովի տեղափոխեք LN հատվածը Y = f (x) գրաֆիկի երկայնքով, ապա L և N կետերը կհակվեն դեպի K արժեքները (x0; f (x0)): Այս կետը անվանենք գրաֆիկի պայմանական սկիզբ՝ սահման, եթե ֆունկցիան անվերջ է, գոնե ինտերվալներից մեկի վրա, ապա այս միտումը նույնպես անվերջ կլինի, իսկ սահմանափակող արժեքը մոտ է 0-ին։

Այս միտումի բնույթը կարելի է նկարագրել ընտրված y = kx + b կետին շոշափողով կամ սկզբնական dy ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկով` կանաչ ուղիղ գիծ:

Բայց որտե՞ղ է այստեղ եռանկյունաչափությունը: Ամեն ինչ շատ պարզ է, հաշվի առեք աջ եռանկյունը KLN: K կոնկրետ կետի դիֆերենցիալ արժեքը α կամ ∠K անկյան շոշափումն է.

Այս կերպ մենք կարող ենք նկարագրել ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը և նրա կապը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ բանաձևեր

Ածանցյալը որոշելիս պետք է հիշել սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի փոխակերպումները։

Վերջին երկու բանաձևերը սխալ չեն, բանն այն է, որ տարբերություն կա պարզ արգումենտի և նույն հզորությամբ ֆունկցիայի ածանցյալ սահմանելու միջև։

Եկեք նայենք համեմատական ​​աղյուսակին՝ սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի ածանցյալների բանաձևերով.

Բանաձևեր են ստացվել նաև արկսինի, արկկոսինի, արկտանգենսի և արկոտանգենսի ածանցյալների համար, թեև դրանք շատ հազվադեպ են օգտագործվում.

Հարկ է նշել, որ վերը նշված բանաձևերը ակնհայտորեն բավարար չեն տիպիկ USE առաջադրանքները հաջողությամբ լուծելու համար, որոնք կցուցադրվեն եռանկյունաչափական արտահայտության ածանցյալը գտնելու կոնկրետ օրինակ լուծելիս:

ԶորավարժություններԱնհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը և գտնել դրա արժեքը π/4-ի համար.

Լուծում y-ը գտնելու համար անհրաժեշտ է հիշել սկզբնական ֆունկցիան ածանցյալի վերածելու հիմնական բանաձևերը, մասնավորապես.