Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության պրակտիկան և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկատվությունը մեզ թույլ է տալիս կապվել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկատվությունը, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկա:

Այս հոդվածում դուք կգտնեք եռանկյան կիսաչափի և միջինի հատկությունները, որոնք կարող են օգտակար լինել խնդիրների լուծման համար:

Բիսեկտորներ.

1. Եռանկյան կիսադիրների հատման կետը եռանկյան ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։

Ապացույց.

Իրոք, անկյան կիսագծի վրա ընկած կետերը հավասար են անկյան կողմերից: Հետևաբար, կիսատների հատման կետը եռանկյան բոլոր կողմերից հավասար է, այսինքն՝ ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։

2. Եռանկյան կիսադիրը հակառակ կողմը բաժանում է հարակից կողմերին համաչափ հատվածների.

Ապացույց.

Կատարենք լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ։ Եկեք կետին զուգահեռ ուղիղ գծենք

Ուղիղ գծի և ուղիղ գծի հատման կետը.

∠1=∠2, քանի որ - կիսադիր ∠

∠2=∠3 խաչաձև պառկած, ինչպես շինարարությամբ:

Հետևաբար, ∠1=∠3 և եռանկյունը հավասարաչափ է, և .

հետևաբար,

3. Բիսեկտորի երկարությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևերով.

Ապացուցենք երկրորդ բանաձեւը.

Ներկայացնենք հետևյալ նշումը.

Եկեք հավասարեցնենք եռանկյան մակերեսի արտահայտությունները.

4. Թող O-ն լինի շրջանագծի կենտրոնը և լինի եռանկյան անկյան կիսորդը.

Այնուհետև հարաբերությունը պահպանվում է.

Ապացույց:

Դիտարկենք եռանկյուն.

Անկյունի կիսորդը, հետևաբար, եռանկյան կիսաչափի հատկությամբ

Թող այդպես լինի

Եկեք արտահայտենք. Ըստ եռանկյան կիսադիրի հատկության.

Այստեղից

Որոշ խնդիրներում հարմար է եռանկյան կիսաչափը երկարացնել մինչև շրջագծված շրջանագծի հատման կետը:

Լեմմա եռանկյունի մասին.

Տրվում է եռանկյուն: Կետ - անկյան կիսաչափի հատման կետը եռանկյան շրջանագծի հետ: Թող լինի եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը: Հետո

Ապացույց.

Հավասար աղեղներ ձգող ներգծված անկյունները հավասար են: Նշեք հավասար ներգծված անկյունները.

Այստեղից։

Հետևաբար, շրջանագծի կենտրոնը անկյան կիսորդն է:

Եռանկյունից

Հետո եռանկյունից

Ստացել է .

Այսինքն՝ եռանկյունը հավասարաչափ է։

Այստեղից։

Դա ապացուցեց

Եկեք ապացուցենք (1) բանաձևը 3-րդ կետից.

Ապացույց:

Եկեք շարունակենք կիսադիրը մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ: Դիտարկենք եռանկյունները և . Նշենք հավասար անկյունները.

Եռանկյունը նման է երկու անկյան տակ գտնվող եռանկյունին: Այստեղից.

Հատվող ակորդների հատվածների հատկությամբ

Եկեք (3) փոխարինենք (2)-ով և օգտագործենք (4).

Եկեք արտահայտենք այն հատվածների երկարությունները, որոնց մեջ կիսորդը բաժանում է եռանկյան կողմը եռանկյան կողմերի երկարությունների առումով: Ներկայացնենք հետևյալ նշումը.

Մենք ստանում ենք համակարգը.

Մեդիաներ.

1. Եռանկյան միջնամասերը բաժանվում են հատման կետով 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշվելով գագաթից.

2. Եռանկյան ներսում այնպիսի կետ լինի, որ պահպանվի հետևյալ կապը. , ապա եռանկյան միջինների հատման կետն է.

Ապացույց.

Եկեք ապացուցենք օժանդակ թեորեմը.

Լեմմա.

Եռանկյունի ներսում կամայական կետի համար գործում է հետևյալ կապը.

Եկեք իջնենք կետերից և ուղղահայացներից դեպի :

Եռանկյունների նմանությունից ստանում ենք.

Եթե ​​դիտարկենք ընդհանուր հիմքով եռանկյուններ , ապա մենք ստանում ենք հարաբերությունը.

Նմանապես մենք ստանում ենք

Այս հավասարություններն ավելացնելով՝ մենք ստանում ենք.

Մենք օգտագործում ենք այս լեմման 2-րդ հայտարարությունը ապացուցելու համար:

Եթե ​​հավասարությունը պահպանվի (1), ապա հավասարությունը (2) և լեմմայից հետևում է, որ (2) հավասարության դեպքում յուրաքանչյուր կոտորակ հավասար է .

Փաստենք, որ այս դեպքում հատվածները մեդիաններ են։

Եթե , ապա մենք ստանում ենք . Եկեք ուղիղ գծեր գծենք կետին զուգահեռ և միջով և դիտարկենք երկու զույգ նման եռանկյուններ.

Այստեղից մենք ստանում ենք

Եռանկյունների նմանությունից մենք ստանում ենք, այսինքն, կետը հատվածի կեսն է: Այստեղից։

Հետևաբար, եռանկյան միջինն է:

3. Եռանկյան միջնամասերը, հատվելով, բաժանիր այն 6 հավասար եռանկյունների։

Ապացույց.

Ապացուցենք դա

որովհետեւ ,

որովհետեւ ,

Հետևաբար,

Բարձրություններ.

1. Եռանկյան բարձրությունները պարունակող ուղիղները հատվում են մեկ կետում։ Սուր եռանկյունու դեպքում բարձրություններն իրենք հատվում են մի կետում:

2. Եռանկյան բարձրությունների հատման կետն ունի հետևյալ հատկությունը՝ եռանկյան գագաթից և հակառակ կողմի քառակուսու հեռավորության քառակուսու գումարը նույնն է ցանկացած գագաթի համար.

Ապացույց.

Փաստենք հավասարության առաջին մասը.

Եկեք այն վերաշարադրենք ձևով.

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն՝ (եռանկյուններից և)

(եռանկյունից)

(եռանկյունից)

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1-ով)՝ ստանում ենք.

Բացենք փակագծերը և ստանանք.

Մենք ինքնություն ստացանք. Հավասարության երկրորդ մասը նույն կերպ է ապացուցված.

3. Եթե ​​նկարագրենք շրջանագիծ եռանկյան շուրջը և երկարացնենք եռանկյան բարձրությունները մինչև դրանք հատվեն այս շրջանագծի հետ,

ապա եռանկյան ցանկացած բարձրության համար բարձրության հիմքից մինչև շրջանագծի հետ բարձրության շարունակման կետի հեռավորությունը հավասար է բարձրության հիմքից մինչև բարձունքների հատման կետը.

Կամ այսպես. Եռանկյունի եռանկյան բարձրությունների հատման կետին սիմետրիկ կետերը եռանկյան կողմերի համեմատ գտնվում են եռանկյան շրջանագծի վրա:

Ապացույց.

Եկեք ապացուցենք դա։

Դա անելու համար հաշվի առեք եռանկյունները և , և ապացուցեք դա :

Եկեք օգտագործենք այն նշանը, որ եռանկյունները հավասար են մի կողմի և երկու հարակից անկյունների երկայնքով: - ընդհանուր կողմը. Ապացուցենք երկու անկյունների հավասարությունը։

Ապացուցենք, որ ∠ ∠

Թող ∠, ապա եռանկյունից մենք ստանում ենք դա

∠. Հետևաբար, եռանկյունից մենք ստանում ենք դա

Բայց ∠ և ∠ հենվում են նույն աղեղի վրա, հետևաբար ∠ ∠ ∠

Նմանապես մենք գտնում ենք, որ ∠ ∠

4. Եռանկյան մեջ կետերը և գագաթներից գծված բարձրությունների հիմքերն են և. Ապացուցեք, որ եռանկյունը նման է եռանկյունին, և նմանության գործակիցը հավասար է .

Ապացույց:

Ուղղանկյուն եռանկյան շրջագծի կենտրոնը գտնվում է հիպոթենուսի մեջտեղում . Բանն այս շրջանակի վրա է, քանի որ - Ուղղանկյուն եռանկյունի հիպոթենուս.

Մեկ աղեղի վրա հիմնված ներգծված անկյունների նման։

եռանկյունից:

Այստեղից։ Անկյունը եռանկյունների ընդհանուր անկյունն է և. Հետևաբար, եռանկյունը նման է եռանկյունին: Նմանության գործակիցը հավասար է միանման կողմերի հարաբերակցությանը, այսինքն՝ կողմերի, որոնք գտնվում են հակառակ հավասար անկյուններով.

Սևայի թեորեմը

Թողեք եռանկյունի մեջ

Հատվածները հատվում են մի կետում, եթե և միայն եթե

Ապացույց.

Փաստենք, որ եթե հատվածները հատվում են մի կետում, ապա (1) կապը բավարարված է։

Հեշտ է ստուգել, ​​որ եթե , ապա պահպանվում է

Եկեք կիրառենք համամասնության այս հատկությունը.

Նմանապես:

Սևայի թեորեմը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Եթե ​​հատվածները հատվում են մի կետում, ապա գործում է հետևյալ կապը.

Ապացուցել Սևայի թեորեմը սինուսների տեսքով, բավական է հավասարության երկրորդ մասում (2) եռանկյունների մակերեսների փոխարեն փոխարինել յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսի բանաձևը. .

Աղախանով Նազար Խանգելդևիչի և Վլադիմիր Վիկտորովիչ Տրուշկովի դասախոսություններից, KPK MIPT.

Եռանկյունը երեք կողմերով բազմանկյուն է, կամ երեք օղակներով փակ կոտրված գիծ, ​​կամ երեք հատվածներով կազմված պատկեր, որոնք միացնում են երեք կետերը, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա (տես նկ. 1):

Եռանկյան հիմնական տարրերը abc

Պիկեր - A, B և C կետեր;

Կուսակցություններ – գագաթները միացնող հատվածներ a = BC, b = AC և c = AB;

Անկյուններ – α, β, γ կազմված երեք զույգ կողմերից: Անկյունները հաճախ նշանակվում են այնպես, ինչպես գագաթները՝ A, B և C տառերով:

Եռանկյան կողմերից կազմված և նրա ներքին տարածքում ընկած անկյունը կոչվում է ներքին անկյուն, իսկ նրան կիցը՝ եռանկյան կից անկյունը (2, էջ 534)։

Եռանկյան բարձրությունները, միջնագիծը, կիսատները և միջնագիծը

Եռանկյան հիմնական տարրերից բացի, դիտարկվում են նաև այլ հետաքրքիր հատկություններ ունեցող հատվածներ՝ բարձրություններ, միջնագիծ, կիսաչափ և միջնագիծ։

Բարձրություն

Եռանկյունի բարձրություններ- սրանք ուղղահայացներ են, որոնք իջել են եռանկյան գագաթներից դեպի հակառակ կողմերը:

Բարձրությունը գծագրելու համար դուք պետք է կատարեք հետևյալ քայլերը.

1) գծեք ուղիղ գիծ, ​​որը պարունակում է եռանկյան կողմերից մեկը (եթե բարձրությունը գծված է բութ եռանկյան սուր անկյան գագաթից).

2) գծված գծին հակառակ ընկած գագաթից կետից այս ուղիղ հատված գծեք՝ դրանով կազմելով 90 աստիճանի անկյուն։

Բարձրության հատման կետը եռանկյան կողմի հետ կոչվում է բարձրության հիմքը (տես նկ. 2):

Եռանկյունի բարձրությունների հատկությունները

Ուղղանկյուն եռանկյունում, աջ անկյան գագաթից գծված բարձրությունը այն բաժանում է երկու եռանկյունների, որոնք նման են սկզբնական եռանկյունին:

Սուր եռանկյունու մեջ նրա երկու բարձրությունները նրանից կտրում են նմանատիպ եռանկյունները:

Եթե ​​եռանկյունը սուր է, ապա բարձրությունների բոլոր հիմքերը պատկանում են եռանկյան կողմերին, իսկ բութ եռանկյունում երկու բարձրություններ ընկնում են կողմերի շարունակության վրա։

Սուր եռանկյան երեք բարձրությունները հատվում են մեկ կետում և այս կետը կոչվում է orthocenter եռանկյուն.

Միջին

Մեդիաներ(լատիներեն mediana - «միջին») - սրանք եռանկյան գագաթները միմյանց հակառակ կողմերի միջնակետերի հետ կապող հատվածներ են (տե՛ս նկ. 3):

Մեդիան կառուցելու համար դուք պետք է կատարեք հետևյալ քայլերը.

1) գտնել կողքի կեսը.

2) այն կետը, որը եռանկյան կողմի կեսն է հակառակ գագաթին, միացնել հատվածով.

Եռանկյան միջանկյալների հատկությունները

Միջինը եռանկյունը բաժանում է հավասար մակերեսով երկու եռանկյունների:

Եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշվելով գագաթից: Այս կետը կոչվում է ծանրության կենտրոն եռանկյուն.

Ամբողջ եռանկյունը իր միջիններով բաժանված է վեց հավասար եռանկյունների։

Բիսեկտոր

Բիսեկտորներ(լատիներեն bis - երկու անգամ և seko - cut) եռանկյունի ներսում պարփակված ուղիղ հատվածներն են, որոնք կիսում են նրա անկյունները (տես նկ. 4):

Բիսեկտոր կառուցելու համար դուք պետք է կատարեք հետևյալ քայլերը.

1) կառուցել անկյան գագաթից դուրս եկող ճառագայթ և այն բաժանելով երկու հավասար մասերի (անկյան կիսադիր).

2) գտնել եռանկյան անկյան կիսորդի հատման կետը հակառակ կողմի հետ.

3) ընտրել մի հատված, որը կապում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի հատման կետի հետ:

Եռանկյան կիսանկյունների հատկությունները

Եռանկյան անկյան կիսադիրը հակառակ կողմը բաժանում է հարակից երկու կողմերի հարաբերությանը հավասար հարաբերությամբ։

Եռանկյան ներքին անկյունների կիսադիրները հատվում են մեկ կետում: Այս կետը կոչվում է ներգծված շրջանագծի կենտրոն:

Ներքին և արտաքին անկյունների կիսադիրներն ուղղահայաց են:

Եթե ​​եռանկյան արտաքին անկյան կիսորդը հատում է հակառակ կողմի երկարացումը, ապա ADBD=ACBC:

Եռանկյան մեկ ներքին և երկու արտաքին անկյունների կիսորդները հատվում են մեկ կետում: Այս կետը այս եռանկյան երեք շրջանագծերից մեկի կենտրոնն է:

Եռանկյան երկու ներքին և մեկ արտաքին անկյունների կիսադիրների հիմքերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, եթե արտաքին անկյան կիսադիրը զուգահեռ չէ եռանկյան հակառակ կողմին:

Եթե ​​եռանկյան արտաքին անկյունների կիսադիրները զուգահեռ չեն հակառակ կողմերին, ապա դրանց հիմքերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա։

Դպրոցական դասընթացում որևէ թեմա ուսումնասիրելիս կարող եք ընտրել որոշակի նվազագույն խնդիրներ, և դրանց լուծման մեթոդներին տիրապետելով՝ ուսանողները կկարողանան լուծել ցանկացած խնդիր՝ ծրագրի պահանջների մակարդակով ուսումնասիրվող թեմայի վերաբերյալ: Առաջարկում եմ դիտարկել խնդիրներ, որոնք թույլ կտան տեսնել առանձին թեմաների փոխկապակցվածությունը դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում։ Ուստի առաջադրանքների կազմված համակարգը ուսանողներին քննությանը նախապատրաստելու ընթացքում ուսումնական նյութի կրկնության, ընդհանրացման և համակարգման արդյունավետ միջոց է։

Քննությունը հանձնելու համար օգտակար կլինի լրացուցիչ տեղեկություններ ունենալ եռանկյունու որոշ տարրերի մասին։ Դիտարկենք եռանկյան միջնագծի հատկությունները և խնդիրները, որոնց լուծման ժամանակ կարող են օգտագործվել այդ հատկությունները: Առաջարկվող առաջադրանքները իրականացնում են մակարդակների տարբերակման սկզբունքը: Բոլոր առաջադրանքները պայմանականորեն բաժանված են մակարդակների (մակարդակը նշված է յուրաքանչյուր առաջադրանքից հետո փակագծերում):

Հիշենք եռանկյան միջնագծի որոշ հատկություններ

Գույք 1. Ապացուցեք, որ եռանկյան միջնագիծը ABC, վերցված գագաթից Ա, կողմերի գումարի կեսից պակաս ԱԲԵվ A.C..

Ապացույց

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Գույք 2. Միջինը կտրում է եռանկյունը երկու հավասար տարածքների:

Ապացույց

Եկեք ABC եռանկյան B գագաթից քաշենք BD միջնագիծը և BE..gif բարձրությունը" alt="Տարածք" width="82" height="46">!}

Քանի որ BD հատվածը միջինն է, ուրեմն

Ք.Ե.Դ.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Գույք 4. Եռանկյան միջնամասերը եռանկյունը բաժանում են 6 հավասար եռանկյունների։

Ապացույց

Եկեք ապացուցենք, որ վեց եռանկյուններից յուրաքանչյուրի մակերեսը, որոնց միջնամասերը բաժանում են ABC եռանկյունին, հավասար է ABC եռանկյան մակերեսին: Դա անելու համար հաշվի առեք, օրինակ, AOF եռանկյունը և ուղղահայաց AK գցեք A գագաթից դեպի BF ուղիղ:

Սեփականության պատճառով 2.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Գույք 6. Ուղիղ անկյան գագաթից գծված ուղղանկյուն եռանկյան միջնագիծը հավասար է հիպոթենուսի կեսին:

Ապացույց

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Հետեւանքները:1. Ուղղանկյուն եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է հիպոթենուսի մեջտեղում:

2. Եթե եռանկյան մեջ միջինի երկարությունը հավասար է այն կողմի երկարության կեսին, որին այն գծված է, ապա այս եռանկյունը ուղղանկյուն է:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

Յուրաքանչյուր հաջորդ խնդիրը լուծելիս օգտագործվում են ապացուցված հատկություններ:

№1 Թեմաներ՝ մեդիանայի կրկնապատկում: Բարդություն՝ 2+

Զուգահեռագծի նշանները և հատկությունները Դասարաններ՝ 8,9

Վիճակ

Միջինի շարունակության մասին Ա.Մ.եռանկյուն ABCմեկ միավորով Մհատվածը հետաձգվել է Մ.Դ., հավասար Ա.Մ.. Ապացուցեք, որ քառանկյունը ABDC- զուգահեռագիծ.

Լուծում

Եկեք օգտագործենք զուգահեռագծի նշաններից մեկը. Քառանկյան անկյունագծեր ABDCհատվում են մի կետում Մկիսեք այն կիսով չափ, այսպես քառանկյուն ABDC- զուգահեռագիծ.

Կա մի թեորեմ, որ Եռանկյան միջնամասերը հատվում են մի կետում, և այս կետը յուրաքանչյուր միջինը բաժանում է 2։1 հարաբերությամբ։, որտեղ 2-ը համապատասխանում է գագաթից այն հատվածին, որտեղից մեդիանը գծված է միջնամասերի հատման կետին, իսկ 1-ը համապատասխանում է միջնորների հատման կետից դեպի այն կողմի կեսը, որտեղ գծված է միջնագիծը։

Այս թեորեմն ապացուցելու համար դիտարկենք ABC եռանկյունը AE, BF, CD միջնորդներով: Այսինքն՝ D, E, F կետերը կիսում են համապատասխանաբար AB, BC, CA կողմերը։
Մենք չգիտենք, թե արդյոք բոլոր մեդիանները հատվում են մի կետում (սա դեռ պետք է ապացուցվի): Այնուամենայնիվ, ցանկացած երկու միջնաչափ կհատվեն մի կետում, քանի որ դրանք չեն կարող զուգահեռ լինել: Թող միջինները AE և BF հատվեն O կետում:

Միջին BF-ը մեդիանային AE-ն բաժանում է երկու հատվածի՝ AO և EO: Ե կետով BF-ին զուգահեռ ուղիղ գծենք։ Այս ուղիղը հատելու է AC կողմը L որոշակի կետում: Մենք նաև BF-ին զուգահեռ մեկ այլ ուղիղ գծում ենք AB հատվածի միջով (կետ D): Այն կհատվի AC կետում Կ.

Համաձայն Թալեսի թեորեմի, եթե անկյան մի կողմում նրա գագաթից հաջորդաբար հավասար հատվածներ դնենք և զուգահեռ գծեր գծենք այս հատվածների ծայրերով, որոնք հատում են անկյան մյուս կողմը, ապա այս զուգահեռ ուղիղները նույնպես կկտրեն հավասար հատվածներ։ անկյան երկրորդ կողմում:

Դիտարկենք այս եռանկյունու BCA անկյունը: BE և EC հատվածները հավասար են միմյանց, BF և EL ուղիղները զուգահեռ են միմյանց: Այնուհետեւ, ըստ Թալեսի թեորեմի, CL = LF:
Եթե ​​նայենք BAC անկյունին, քանի որ AD = BD և DK || BF, ապա AK = KF:

Քանի որ AF և CF հատվածները հավասար են միմյանց (քանի որ դրանք ձևավորվում են միջինով), և դրանցից յուրաքանչյուրը բաժանված է երկու հավասար հատվածի, ապա AC կողմի բոլոր չորս հատվածները հավասար են միմյանց. AK = KF = FL: = LC.

Դիտարկենք EAC անկյունը: AC կողմի երեք հավասար հատվածների ծայրերով զուգահեռ գծեր են գծվում: Հետևաբար, նրանք կտրում են հավասար հատվածներ AE կողմում: AO հատվածը պարունակում է երկու այդպիսի հատված, իսկ EO-ն միայն մեկը: Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ եռանկյան առնվազն մեկ միջինը բաժանված է երկու հատվածի մեկ այլ միջնորդի հետ հատման կետով, որոնց երկարությունները կապված են 2:1:

Այժմ դիտարկենք միջնադարյան AE-ի հատումը միջնադարյան CD-ի հետ: Թող հատվեն P կետում։

Ինչպես նախորդը, ապացուցված է, որ FM, CD, EN զուգահեռ ուղիղները AB կողմը բաժանում են հավասար հատվածների։ Իր հերթին նրանք AE-ն բաժանում են երեք հավասար հատվածների: Ընդ որում, A գագաթից մինչև մեդիանների հատում կա երկու այդպիսի հատված, իսկ դրանից հետո կա մեկը։

Նույն հատվածը չի կարող բաժանվել երեք հավասար մասերի, որպեսզի բաժանման մեկ տարբերակով դրանք լինեն նույն չափի, իսկ մյուսի հետ՝ տարբեր: Հետևաբար, O և P կետերը պետք է համընկնեն: Սա նշանակում է, որ եռանկյունների բոլոր երեք միջինները հատվում են մեկ կետում:

Ապացուցելու համար, որ մյուս երկու միջինները բաժանված են հատման կետով 2:1 հարաբերությամբ, կարող եք, ինչպես նախորդը, զուգահեռ գծեր գծել AB և BC կողմերին: