बढ़िया काम04/02/12. आइए समीक्षा करें * किस समीकरण को द्विघात कहा जाता है? * किन समीकरणों को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है? * कौन सा। रेखा समीकरण की अवधारणा. समीकरण चित्र 6 का उपयोग करके एक रेखा को परिभाषित करना। सदिश रेखा समीकरण

फॉर्म एफ की समानता (एक्स, वाई) = 0दो चरों वाला एक समीकरण कहलाता है एक्स, हाँ,यदि यह संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है एक्स, वाई.वे दो नंबर कहते हैं एक्स = एक्स 0 , y=y 0, प्रपत्र के कुछ समीकरण को संतुष्ट करें एफ(एक्स, वाई)=0,यदि चर के स्थान पर इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करते समय एक्सऔर परसमीकरण में, इसका बायाँ भाग लुप्त हो जाता है।

किसी दी गई रेखा का समीकरण (एक निर्दिष्ट समन्वय प्रणाली में) दो चर वाला एक समीकरण है जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और उस पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

निम्नलिखित में अभिव्यक्ति के स्थान पर रेखा का समीकरण दिया गया है एफ(एक्स, y) = 0" हम अक्सर संक्षेप में कहेंगे: एक पंक्ति दी गई है एफ (एक्स, वाई) = 0.

यदि दो रेखाओं के समीकरण दिये गये हैं एफ(एक्स, वाई) = 0और एफ(एक्स, वाई) = क्यू,फिर सिस्टम का संयुक्त समाधान

उनके सभी प्रतिच्छेदन बिंदु देता है। अधिक सटीक रूप से, संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा जो इस प्रणाली का संयुक्त समाधान है, प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक को निर्धारित करता है।

*) ऐसे मामलों में जहां समन्वय प्रणाली का नाम नहीं है, यह माना जाता है कि यह कार्टेशियन आयताकार है।

157. अंक दिए गए हैं *) एम 1 (2; - 2), एम 2 (2; 2), एम 3 (2; - 1), एम 4 (3; -3), एम 5 (5; -5), एम 6 (3; -2). निर्धारित करें कि कौन से प्रकाशित बिंदु समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित हैं एक्स+ आप = 0,और कौन से उस पर झूठ नहीं बोलते. इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे चित्र पर बनाएं।)

158. समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर एक्स 2 +y 2 =25, वे बिंदु ज्ञात कीजिए जिनके भुज निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हैं: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; उसी रेखा पर ऐसे बिंदु खोजें जिनके निर्देशांक निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: e) 3, f) - 5, g) - 8. इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे चित्र पर बनाएं।)

159. निर्धारित करें कि कौन सी रेखाएँ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित होती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ):

1) एक्स - वाई = 0; 2) एक्स + वाई = 0; 3) एक्स- 2 = 0; 4) एक्स+ 3 = 0;

5) वाई - 5 = 0; 6) य+ 2 = 0; 7) एक्स = 0; 8) य = 0;

9) एक्स 2 - एक्सवाई = 0; 10) xy+ y 2 = 0; ग्यारह) एक्स 2 - य 2 = 0; 12) xy= 0;

13) वाई 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) एक्स 2 य - 7xy + 10य = 0; 17) य =|एक्स|; 18) एक्स =|पर|; 19)य + |एक्स|=0;

20) एक्स +|पर|= 0; 21)य =|एक्स- 1|; 22) य = |एक्स+ 2|; 23) एक्स 2 + पर 2 = 16;

24) (एक्स-2) 2 +(य-1) 2 =16; 25) (एक्स+ 5) 2 +(य- 1) 2 = 9;

26) (एक्स - 1) 2 + य 2 = 4; 27) एक्स 2 +(य + 3) 2 = 1; 28) (एक्स -3) 2 + य 2 = 0;

29) एक्स 2 + 2य 2 = 0; 30) 2एक्स 2 + 3य 2 + 5 = 0

31) (एक्स- 2) 2 + (य + 3) 2 + 1=0.

160. दी गई पंक्तियाँ:

1)एक्स+ य = 0; 2)एक्स - वाई = 0; 3) एक्स 2 + य 2 - 36 = 0;

4) एक्स 2 +य 2 -2एक्स==0; 5) एक्स 2 +य 2 + 4एक्स-6य-1 =0.

निर्धारित करें कि उनमें से कौन मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

161. दी गई पंक्तियाँ:

1) एक्स 2 + य 2 = 49; 2) (एक्स- 3) 2 + (य+ 4) 2 = 25;

3) (एक्स+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4)( एक्स + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) एक्स 2 +य 2 - 12एक्स + 16वाई = 0; 6) एक्स 2 +य 2 - 2एक्स + 8पर+ 7 = 0;

7) एक्स 2 +य 2 - 6एक्स + 4वाई + 12 = 0.

उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: a) अक्ष के साथ ओह;बी) एक अक्ष के साथ ओयू.

162.दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें;

1)एक्स 2 +य 2 = 8, x-y = 0;

2) एक्स 2 +य 2 -16एक्स+4पर+18 = 0, एक्स + वाई= 0;

3) एक्स 2 +य 2 -2एक्स+4पर -3 = 0, एक्स 2 + वाई 2 = 25;

4) एक्स 2 +य 2 -8एक्स+10у+40 = 0, एक्स 2 + वाई 2 = 4.

163. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में अंक दिये गये हैं

एम 1 (1; ), एम 2 (2; 0), एम 3 (2; )

एम 4 (
;) और एम 5 (1; )

निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा बिंदु समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित है धुवीय निर्देशांक = 2 cos , और कौन से इस पर नहीं हैं। इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं :)

164. समीकरण  = द्वारा परिभाषित रेखा पर , ऐसे बिंदु खोजें जिनके ध्रुवीय कोण निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) ,बी) - , सी) 0, डी) . इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है?

(इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

165.समीकरण  = द्वारा परिभाषित रेखा पर , ऐसे बिंदु खोजें जिनकी ध्रुवीय त्रिज्याएँ निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 1, b) 2, c)
. इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

166. निम्नलिखित समीकरणों द्वारा स्थापित करें कि ध्रुवीय निर्देशांक में कौन सी रेखाएँ निर्धारित होती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  पाप  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 पाप ; 8) पाप  = 9) पाप  =

167. चित्र पर निम्नलिखित आर्किमिडीज़ सर्पिल का निर्माण करें:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)आर = -1.

168. चित्र पर निम्नलिखित अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिलों का निर्माण करें:

1)  = ; 2) = ; 3)= ; 4)=- .

169. ड्राइंग पर निम्नलिखित लघुगणकीय सर्पिल बनाएं:

,
.

170. उन खंडों की लंबाई निर्धारित करें जिनमें आर्किमिडीज़ सर्पिल कटता है

किरण ध्रुव से निकलती है और ध्रुवीय अक्ष पर एक कोण पर झुकती है
. एक चित्र बनाओ.

171. आर्किमिडीज़ सर्पिल पर
बात को नोट कर लिया गया साथ,जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 47 है। निर्धारित करें कि यह सर्पिल बिंदु की ध्रुवीय त्रिज्या को कितने भागों में काटता है साथ,एक चित्र बनाओ.

172. एक अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल पर
एक बिंदु खोजें आर,जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 12 है। एक चित्र बनाओ।

173. एक लघुगणकीय सर्पिल पर
बिंदु Q ढूंढें जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 81 है। एक चित्र बनाएं।

आइए समीक्षा करें * किस समीकरण को द्विघात कहा जाता है? *किस समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है द्विघातीय समीकरण? *किस द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है? *द्विघात समीकरण का मूल क्या कहलाता है? * द्विघात समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? किस समीकरण को द्विघात कहा जाता है? कौन से समीकरण अपूर्ण द्विघात समीकरण कहलाते हैं? किस द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है? द्विघात समीकरण का मूल क्या है? द्विघात समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? किस समीकरण को द्विघात कहा जाता है? कौन से समीकरण अपूर्ण द्विघात समीकरण कहलाते हैं? किस द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है? द्विघात समीकरण का मूल क्या है? द्विघात समीकरण को हल करने का क्या मतलब है?

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम: 1. द्विघात समीकरण को हल करने का सबसे तर्कसंगत तरीका निर्धारित करें 2. हल करने का सबसे तर्कसंगत तरीका चुनें 3. द्विघात समीकरण की जड़ों की संख्या निर्धारित करना 4. बेहतरी के लिए द्विघात समीकरण की जड़ों का पता लगाना याद करने के लिए, तालिका भरें... बेहतर याद रखने के लिए, तालिका भरें... बेहतर याद करने के लिए, तालिका भरें...

अतिरिक्त शर्त समीकरण मूल उदाहरण 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), जहां c/a 0. b) यदि c/a 0, तो कोई समाधान नहीं है 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/2 a, जहां D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – सम संख्या(в = 2k), а 0, в 0, с 0 ах 2 + 2kx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, जहां k = 6. प्रमेय प्रमेय का व्युत्क्रमविएटा x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

द्वितीय. विशेष विधियाँ 7. द्विपद का वर्ग अलग करने की विधि। लक्ष्य: समीकरण दीजिए सामान्य रूप से देखेंअपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए. ध्यान दें: यह विधि किसी भी द्विघात समीकरण पर लागू होती है, लेकिन इसका उपयोग करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण: समीकरण x 2 -6 x+8=0 को हल करें 8. उच्चतम गुणांक को "स्थानांतरित" करने की विधि। द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 और y 2 +by+ac=0 के मूल संबंधों से संबंधित हैं: और ध्यान दें: विधि "सुविधाजनक" गुणांक वाले द्विघात समीकरणों के लिए अच्छी है। कुछ मामलों में, यह आपको द्विघात समीकरण को मौखिक रूप से हल करने की अनुमति देता है। उदाहरण: समीकरण 2 x 2 -9 x-5=0 को हल करें प्रमेय के आधार पर: उदाहरण: समीकरण 157 x x-177=0 को हल करें 9. यदि द्विघात समीकरण में a+b+c=0 है, तो इनमें से एक मूल 1 है, और दूसरा, वियता के प्रमेय के अनुसार, c/a 10 के बराबर है। यदि द्विघात समीकरण में a + c = b है, तो जड़ों में से एक -1 के बराबर है, और दूसरा, वियता के अनुसार, प्रमेय, -c/a के बराबर है उदाहरण: समीकरण को हल करें 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

तृतीय. सामान्य तरीकेसमीकरण हल करना 11. गुणनखंडन विधि। लक्ष्य: एक सामान्य द्विघात समीकरण को A(x)·B(x)=0 के रूप में कम करें, जहां A(x) और B(x) x के संबंध में बहुपद हैं। विधियाँ: सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना; संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना; समूहीकरण विधि. उदाहरण: समीकरण 3 x 2 +2 x-1=0 12 को हल करें। एक नया चर पेश करने की विधि। नए चर का अच्छा चयन समीकरण की संरचना को अधिक पारदर्शी बनाता है उदाहरण: समीकरण को हल करें (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8

समतल और अंतरिक्ष में सीधी रेखा।

गुणों का अध्ययन ज्यामितीय आकारबीजगणित का प्रयोग करना कहलाता है विश्लेषणात्मक ज्यामिति , और हम तथाकथित का उपयोग करेंगे समन्वय विधि .

किसी समतल पर एक रेखा को आमतौर पर उन बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके गुण अद्वितीय होते हैं। तथ्य यह है कि इस रेखा पर स्थित किसी बिंदु के x और y निर्देशांक (संख्याएँ) किसी समीकरण के रूप में विश्लेषणात्मक रूप से लिखे जाते हैं।

Def.1 एक रेखा का समीकरण (वक्र का समीकरण) ऑक्सी तल पर एक समीकरण (*) कहा जाता है, जो किसी दी गई रेखा पर प्रत्येक बिंदु के x और y निर्देशांक से संतुष्ट होता है और इस रेखा पर नहीं पड़ने वाले किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

परिभाषा 1 से यह पता चलता है कि समतल पर प्रत्येक रेखा वर्तमान निर्देशांकों के बीच कुछ समीकरण से मेल खाती है ( एक्स, वाई ) इस रेखा के बिंदु और इसके विपरीत, प्रत्येक समीकरण, आम तौर पर बोलते हुए, एक निश्चित रेखा से मेल खाता है।

यह समतल पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति की दो मुख्य समस्याओं को जन्म देता है।

1. एक रेखा बिन्दुओं के समूह के रूप में दी गई है। हमें इस रेखा के लिए एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है।

2. रेखा का समीकरण दिया गया है। इसके ज्यामितीय गुणों (आकार और स्थान) का अध्ययन करना आवश्यक है।

उदाहरण. क्या बातें झूठ बोलती हैं ए(-2;1) और में (1;1) पंक्ति 2 पर एक्स +पर +3=0?

समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की समस्या उन निर्देशांकों को खोजने तक आती है जो दोनों रेखाओं के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए।

यदि इस प्रणाली का कोई वास्तविक समाधान नहीं है, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करतीं।

यूसीएस में एक लाइन की अवधारणा को इसी तरह से पेश किया गया है।

एक समतल पर एक रेखा को दो समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

कहाँ एक्स और पर - मनमाना बिंदु निर्देशांक एम(एक्स;वाई), इस लाइन पर झूठ बोलना, और टी - एक वैरिएबल कहा जाता है पैरामीटर , पैरामीटर विमान पर बिंदु की स्थिति निर्धारित करता है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो पैरामीटर t=2 का मान समतल पर बिंदु (3;4) से मेल खाता है।

यदि पैरामीटर बदलता है, तो विमान पर बिंदु वर्णन करते हुए चलता है यह रेखा. किसी रेखा को परिभाषित करने की इस विधि को कहा जाता है पैरामीट्रिक, और समीकरण (5.1) रेखा का एक पैरामीट्रिक समीकरण है।

पैरामीट्रिक समीकरणों से सामान्य समीकरण (*) में जाने के लिए, किसी तरह दो समीकरणों से पैरामीटर को खत्म करना होगा। हालाँकि, हम ध्यान दें कि ऐसा परिवर्तन हमेशा उचित नहीं होता है और हमेशा संभव नहीं होता है।

समतल पर एक रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है सदिश समीकरण , जहां t एक अदिश चर पैरामीटर है। प्रत्येक पैरामीटर मान एक विशिष्ट समतल वेक्टर से मेल खाता है। पैरामीटर बदलते समय, वेक्टर का अंत एक निश्चित रेखा का वर्णन करेगा।

सदिश समीकरण डीएससी में दो अदिश समीकरण मेल खाते हैं

(5.1), यानी एक रेखा के सदिश समीकरण के निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण के समीकरण इसके होते हैं

पैरामीट्रिक समीकरण.

सदिश समीकरण और पैरामीट्रिक रेखा समीकरण का एक यांत्रिक अर्थ होता है। यदि कोई बिंदु किसी समतल पर गति करता है, तो संकेतित समीकरण कहलाते हैं गति के समीकरण , और रेखा बिंदु का प्रक्षेप पथ है, पैरामीटर t समय है।

निष्कर्ष: समतल पर प्रत्येक रेखा प्रपत्र के एक समीकरण से मेल खाती है.

सामान्य स्थिति में, किसी दृश्य का कोई भी समीकरण एक निश्चित रेखा से मेल खाता है, जिसके गुण दिए गए समीकरण द्वारा निर्धारित होते हैं (इस अपवाद के साथ कि कोई भी ज्यामितीय छवि किसी समतल पर समीकरण से मेल नहीं खाती है)।

मान लीजिए कि समतल पर एक समन्वय प्रणाली चुनी गई है।

हार। 5.1. रेखा समीकरण इस प्रकार के समीकरण को कहा जाता हैएफ(एक्स;वाई) =0, जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और इस पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

रूप का समीकरणएफ(एक्स;वाई) )=0 - बुलाया गया सामान्य समीकरणअन्तर्निहित रूप में रेखा या समीकरण।

इस प्रकार, रेखा Г इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का स्थान है Г=((x, y): F(x;y)=0).

रेखा भी कहा जाता है टेढ़ा.

समीकरण हल करना

किसी समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए ग्राफ़िकल विधि का चित्रण

किसी समीकरण को हल करना तर्कों के ऐसे मान ज्ञात करने का कार्य है जिन पर यह समानता प्राप्त होती है। तर्कों के संभावित मूल्यों पर अतिरिक्त शर्तें (पूर्णांक, वास्तविक, आदि) लगाई जा सकती हैं।

किसी अन्य रूट को प्रतिस्थापित करने से गलत कथन उत्पन्न होता है:

.

इस प्रकार, दूसरी जड़ को अप्रासंगिक मानकर त्याग दिया जाना चाहिए।

समीकरणों के प्रकार

बीजगणितीय, पैरामीट्रिक, ट्रान्सेंडैंटल, कार्यात्मक, अंतर और अन्य प्रकार के समीकरण हैं।

समीकरणों के कुछ वर्गों में विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं, जो सुविधाजनक होते हैं क्योंकि वे न केवल मूल का सटीक मान देते हैं, बल्कि आपको समाधान को सूत्र के रूप में लिखने की भी अनुमति देते हैं, जिसमें पैरामीटर शामिल हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँन केवल जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है, बल्कि पैरामीटर मानों के आधार पर उनके अस्तित्व और उनकी मात्रा का विश्लेषण करने की भी अनुमति देता है, जो अक्सर और भी महत्वपूर्ण होता है व्यावहारिक अनुप्रयोग, जड़ों के विशिष्ट मूल्यों की तुलना में।

जिन समीकरणों के विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं उनमें चौथी डिग्री से अधिक के बीजगणितीय समीकरण शामिल हैं: रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चौथी डिग्री समीकरण। बीजगणितीय समीकरणसामान्य स्थिति में, उच्च डिग्री के समीकरणों में विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होते हैं, हालांकि उनमें से कुछ को कम डिग्री के समीकरणों में घटाया जा सकता है।

एक समीकरण जिसमें ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन शामिल होते हैं उसे ट्रान्सेंडैंटल कहा जाता है। उनमें से कुछ के लिए विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं त्रिकोणमितीय समीकरण, चूँकि त्रिकोणमितीय फलनों के शून्य सर्वविदित हैं।

सामान्य स्थिति में, जब कोई विश्लेषणात्मक समाधान नहीं पाया जा सकता है, तो संख्यात्मक तरीकों का उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक विधियाँ एक सटीक समाधान प्रदान नहीं करती हैं, बल्कि केवल उस अंतराल को कम करने की अनुमति देती हैं जिसमें मूल एक निश्चित पूर्व निर्धारित मान पर स्थित होता है।

समीकरणों के उदाहरण

यह सभी देखें

साहित्य

• बेकारेविच, ए. बी. स्कूल गणित पाठ्यक्रम में समीकरण / ए. बी. बेकारेविच। - एम., 1968.
• मार्कुशेविच, एल. ए. बीजगणित पाठ्यक्रम की अंतिम पुनरावृत्ति में समीकरण और असमानताएँ हाई स्कूल/ एल. ए. मार्कुशेविच, आर. एस. चर्कासोव। / स्कूल में गणित। - 2004. - नंबर 1.
• कपलान वाई. वी. रिवन्यान्या। - कीव: रेडियांस्का स्कूल, 1968।
• समीकरण- ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया से लेख
• समीकरण// कोलियर का विश्वकोश। - खुला समाज. 2000.
• समीकरण// दुनिया भर का विश्वकोश
• समीकरण // गणितीय विश्वकोश. - एम।: सोवियत विश्वकोश. आई. एम. विनोग्रादोव। 1977-1985.

लिंक

• EqWorld - गणितीय समीकरणों की दुनिया - में गणितीय समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों के बारे में व्यापक जानकारी शामिल है।

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

समानार्थी शब्द:

विलोम शब्द:

• खडज़िम्बा, राउल दज़ुमकोविच
• ईएस कंप्यूटर

देखें अन्य शब्दकोशों में "समीकरण" क्या है:

समीकरण - (1) गणितीय संकेतनतर्कों के ऐसे मान खोजने की समस्या (देखें (2)) जिसके लिए दो डेटा (देखें) के मान बराबर हैं। जिन तर्कों पर ये फ़ंक्शन निर्भर करते हैं उन्हें अज्ञात कहा जाता है, और अज्ञात के मान जिन पर मान ... ... बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

समीकरण- समीकरण, समीकरण, सीएफ। 1. चौ. के तहत कार्रवाई सीएच के अनुसार बराबर और स्थिति को बराबर करें। बराबर करना बराबर करना. समान अधिकार। समय का समीकरण (सच्चे सौर समय का औसत सौर समय में अनुवाद, समाज और विज्ञान में स्वीकृत;... ... शब्दकोषउषाकोवा

समीकरण- (समीकरण) वह आवश्यकता गणितीय अभिव्यक्तिएक निश्चित अर्थ ग्रहण कर लिया। उदाहरण के लिए, एक द्विघात समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है: ax2+bx+c=0. जिसके लिए समाधान x का मान है दिया गया समीकरणएक पहचान बन जाती है. में… … आर्थिक शब्दकोश

समीकरण- तर्कों के मूल्यों को खोजने की समस्या का गणितीय प्रतिनिधित्व जिसके लिए दो दिए गए कार्यों के मान बराबर हैं। जिन तर्कों पर ये फ़ंक्शन निर्भर करते हैं उन्हें अज्ञात कहा जाता है, और अज्ञात के मान जिन पर फ़ंक्शन मान बराबर होते हैं... ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

समीकरण- समीकरण, एक समान चिह्न से जुड़े दो भाव; इन अभिव्यक्तियों में एक या अधिक चर शामिल होते हैं जिन्हें अज्ञात कहा जाता है। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है अज्ञात के सभी मान ज्ञात करना जिस पर यह एक पहचान बन जाता है, या स्थापित करना... आधुनिक विश्वकोश

एक समतल पर एक रेखा इस तल पर बिंदुओं का एक संग्रह है जिसमें कुछ गुण होते हैं, जबकि जो बिंदु किसी दी गई रेखा पर नहीं होते हैं उनमें ये गुण नहीं होते हैं। एक रेखा का समीकरण इस रेखा पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक के बीच एक विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त संबंध को परिभाषित करता है। मान लीजिए कि यह संबंध समीकरण द्वारा दिया गया है

एफ( एक्स, वाई)=0. (2.1)

(2.1) को संतुष्ट करने वाली संख्याओं की एक जोड़ी मनमाना नहीं है: यदि एक्सदिया, तो परकुछ भी नहीं हो सकता मतलब परके साथ जुड़े एक्स. जब यह बदलता है एक्सपरिवर्तन पर, और निर्देशांक के साथ एक बिंदु ( एक्स, वाई) इस पंक्ति का वर्णन करता है। यदि बिंदु M 0 के निर्देशांक ( एक्स 0 ,पर 0) समीकरण (2.1) को संतुष्ट करें, अर्थात। एफ( एक्स 0 ,पर 0)=0 एक सच्ची समानता है, तो बिंदु M 0 इस रेखा पर स्थित है। इसका उलटा भी सच है।

परिभाषा। किसी समतल पर एक रेखा का समीकरण वह समीकरण है जो इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और इस रेखा पर स्थित नहीं होने वाले बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है.

यदि किसी निश्चित रेखा का समीकरण ज्ञात है, तो इस रेखा के ज्यामितीय गुणों के अध्ययन को उसके समीकरण के अध्ययन तक कम किया जा सकता है - यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मुख्य विचारों में से एक है। समीकरणों के अध्ययन के लिए सुविकसित विधियाँ मौजूद हैं गणितीय विश्लेषण, जो रेखा गुणों के अध्ययन को सरल बनाता है।

रेखाओं पर विचार करते समय इस शब्द का प्रयोग किया जाता है वर्तमान बिंदुरेखा - परिवर्तनशील बिंदु M( एक्स, वाई), इस लाइन के साथ आगे बढ़ रहे हैं। COORDINATES एक्सऔर परवर्तमान बिंदु कहलाते हैं वर्तमान निर्देशांकरेखा बिंदु.

यदि समीकरण (2.1) से हम स्पष्ट रूप से व्यक्त कर सकते हैं पर
के माध्यम से एक्सअर्थात समीकरण (2.1) को इस रूप में लिखें तो ऐसे समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र कहलाता है अनुसूचीकार्य एफ(एक्स).

1. समीकरण दिया गया है: , या . अगर एक्सफिर, मनमाना मान लेता है परके बराबर मान लेता है एक्स. नतीजतन, इस समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा में समन्वय अक्षों ऑक्स और ओए से समान दूरी पर स्थित बिंदु शामिल हैं - यह I-III समन्वय कोणों का समद्विभाजक है (चित्र 2.1 में सीधी रेखा)।

समीकरण, या, II-IV समन्वय कोणों के समद्विभाजक को निर्धारित करता है (चित्र 2.1 में सीधी रेखा)।

0 एक्स 0 एक्स सी 0 एक्स

चावल। 2.1 अंजीर. 2.2 अंजीर. 2.3

2. समीकरण दिया गया है: , जहां C कुछ स्थिरांक है। इस समीकरण को अलग ढंग से लिखा जा सकता है: . यह समीकरण केवल उन्हीं बिन्दुओं, निर्देशांकों से संतुष्ट होता है परजो किसी भी भुज मान के लिए C के बराबर हैं एक्स. ये बिंदु ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित हैं (चित्र 2.2)। इसी प्रकार, समीकरण ओए अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है (चित्र 2.3)।

F(के रूप का प्रत्येक समीकरण नहीं) एक्स, वाई)=0 समतल पर एक रेखा को परिभाषित करता है: समीकरण एक बिंदु - O(0,0) से संतुष्ट होता है, और समीकरण समतल पर किसी भी बिंदु से संतुष्ट नहीं होता है।

दिए गए उदाहरणों में, हम दिया गया समीकरणइस समीकरण द्वारा निर्धारित एक रेखा बनाई। आइए व्युत्क्रम समस्या पर विचार करें: दी गई रेखा का उपयोग करके इसका समीकरण बनाएं।

3. बिंदु P पर केंद्र वाले एक वृत्त के लिए एक समीकरण बनाएं( ए,बी) और
त्रिज्या आर .

○ बिंदु P पर केंद्र और त्रिज्या R वाला एक वृत्त, बिंदु P से दूरी R पर स्थित बिंदुओं का एक समूह है। इसका मतलब है कि वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु M के लिए, MP = R, लेकिन यदि बिंदु M पर स्थित नहीं है वृत्त, फिर MP ≠ R.. ●