द्विघात समीकरणों का मौखिक समाधान और विएटा का प्रमेय। द्विघात और अन्य समीकरणों के लिए Vieta की प्रमेय Vieta के प्रमेय का अनुप्रयोग

इस व्याख्यान में, हम द्विघात समीकरण के मूल और उसके गुणांकों के बीच के जिज्ञासु संबंधों से परिचित होंगे। इन संबंधों की खोज सबसे पहले फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस वियत (1540-1603) ने की थी।

उदाहरण के लिए, समीकरण Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 के लिए, इसकी जड़ों को खोजने के बिना, आप Vieta प्रमेय का उपयोग करके तुरंत कह सकते हैं कि जड़ों का योग है , और जड़ों का उत्पाद है
यानी - 2. और समीकरण x 2 - 6x + 8 \u003d 0 के लिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: जड़ों का योग 6 है, जड़ों का उत्पाद 8 है; वैसे, यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि जड़ें किसके बराबर हैं: 4 और 2।
विएटा के प्रमेय का प्रमाण। द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0 के मूल x 1 और x 2 सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं

जहाँ D \u003d b 2 - 4ac समीकरण का विवेचक है। इन जड़ों को बिछाना
हम पाते हैं

अब हम मूल x 1 और x 2 के गुणनफल की गणना करते हैं

दूसरा संबंध सिद्ध होता है:
टिप्पणी। विएटा का प्रमेय उस स्थिति में भी मान्य होता है जब द्विघात समीकरण की एक जड़ होती है (अर्थात, जब D \u003d 0), तो बस इस मामले में यह माना जाता है कि समीकरण की दो समान जड़ें हैं, जिन पर उपरोक्त संबंध लागू होते हैं।
कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q \u003d 0 के लिए सिद्ध संबंध विशेष रूप से सरल रूप लेते हैं। इस मामले में, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 \u003d एक्स 2 \u003d -पी, एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू
वे। दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।
विएटा प्रमेय का उपयोग करके, व्यक्ति द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध भी प्राप्त कर सकता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं। तब

हालांकि, विएटा के प्रमेय का मुख्य उद्देश्य यह नहीं है कि यह द्विघात समीकरण के मूल और गुणांक के बीच कुछ संबंधों को व्यक्त करता है। बहुत अधिक महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि वीटा प्रमेय की सहायता से, एक वर्ग त्रिपद के गुणन के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाता है, जिसके बिना हम भविष्य में नहीं करेंगे।

सबूत। हमारे पास है

उदाहरण 1. वर्ग त्रिपद 3x 2 - 10x + 3 का गुणनखंड कीजिए।
समाधान। समीकरण Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 को हल करने के बाद, हम वर्ग त्रिपद Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d की जड़ें पाते हैं।
प्रमेय 2 का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इसके बजाय Zx - 1 लिखना समझ में आता है। फिर हमें अंततः Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) मिलता है।
ध्यान दें कि दिए गए वर्ग त्रिपद को समूहन विधि का उपयोग करके प्रमेय 2 का उपयोग किए बिना गुणनखंडित किया जा सकता है:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1)।

लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, इस पद्धति से सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि हम एक सफल समूहन पा सकते हैं या नहीं, जबकि पहली विधि से सफलता की गारंटी है।
उदाहरण 1. अंश कम करें

समाधान। समीकरण 2x 2 + 5x + 2 = 0 से हम x 1 = - 2 पाते हैं,

समीकरण x2 - 4x - 12 = 0 से हम x 1 = 6, x 2 = -2 पाते हैं। इसीलिए
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2)।
अब दिए गए भिन्न को घटाते हैं:

उदाहरण 3. भावों को गुणनखंडित करें:
क) x4 + 5x 2 +6; ख) 2x+-3
हल। क) हम एक नया चर y = x 2 पेश करते हैं। यह हमें दिए गए व्यंजक को चर y के संबंध में एक वर्ग त्रिपद के रूप में, अर्थात् y 2 + bу + 6 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा।
समीकरण y 2 + bу + 6 \u003d 0 को हल करने के बाद, हम वर्ग त्रिपद y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3 की जड़ें पाते हैं। अब हम प्रमेय 2 का प्रयोग करते हैं; हम पाते हैं

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3)।
यह याद रखना बाकी है कि y \u003d x 2, अर्थात, दिए गए व्यंजक पर लौटें। इसलिए,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3)।
ख) आइए एक नए चर y = का परिचय दें। यह हमें दिए गए व्यंजक को चर y के संबंध में एक वर्ग त्रिपद के रूप में, अर्थात् 2y 2 + y - 3 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा। समीकरण को हल करने के बाद
2y 2 + y - 3 = 0, वर्ग त्रिपद 2y 2 + y - 3 के मूल ज्ञात कीजिए।
वाई 1 = 1, वाई 2 =। इसके अलावा, प्रमेय 2 का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

यह याद रखना बाकी है कि y \u003d, अर्थात, दिए गए व्यंजक पर लौटें। इसलिए,

खंड के अंत में, कुछ तर्क, फिर से विएटा प्रमेय के साथ जुड़े हुए हैं, या यों कहें, विपरीत अभिकथन के साथ:
यदि संख्याएँ x 1, x 2 ऐसी हैं कि x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, तो ये संख्याएँ समीकरण की जड़ें हैं
इस कथन का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल कर सकते हैं, बिना बोझिल मूल सूत्रों का उपयोग किए, और दिए गए मूलों के साथ द्विघात समीकरण भी बना सकते हैं। आइए उदाहरण देते हैं।

1) x 2 - 11x + 24 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = 8, x 2 = 3।

2) x 2 + 11x + 30 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = -5, x 2 = -6।
ध्यान दें कि यदि समीकरण का मुक्त पद एक धनात्मक संख्या है, तो दोनों मूल या तो धनात्मक हैं या ऋणात्मक; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

3) x 2 + x - 12 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12। यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4।
कृपया ध्यान दें: यदि समीकरण का मुक्त पद एक ऋणात्मक संख्या है, तो संकेत में मूल भिन्न होते हैं; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. यह देखना आसान है कि x = 1 समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात। x 1 \u003d 1 - समीकरण की जड़। चूंकि x 1 x 2 \u003d -, और x 1 \u003d 1, हमें वह x 2 \u003d - मिलता है।

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830। यदि आप इस तथ्य पर ध्यान दें कि 2830 = 283. 10, और 293 \u003d 283 + 10, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (अब कल्पना करें कि मानक सूत्रों का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए क्या गणना करनी होगी)।

6) हम एक द्विघात समीकरण की रचना करते हैं ताकि संख्याएँ x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 इसकी जड़ों के रूप में काम करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में वे कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q \u003d 0 बनाते हैं।
हमारे पास x 1 + x 2 \u003d -p है, इसलिए 8 - 4 \u003d -p, अर्थात p \u003d -4। इसके अलावा, x 1 x 2 = q, अर्थात्। 8"(-4) = q, जहाँ से हमें q = -32 प्राप्त होता है। तो, p \u003d -4, q \u003d -32, जिसका अर्थ है कि वांछित द्विघात समीकरण का रूप x 2 -4x-32 \u003d 0 है।

कोई भी पूर्ण द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0दिमाग में लाया जा सकता है एक्स 2 + (बी/ए) एक्स + (सी/ए) = 0, यदि हम पहले प्रत्येक पद को गुणांक a से विभाजित करते हैं x2. और अगर हम नए नोटेशन पेश करते हैं (बी/ए) = पीतथा (सी/ए) = क्यू, तो हमारे पास समीकरण होगा एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0, जिसे गणित में कहा जाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण.

कम द्विघात समीकरण की जड़ें और गुणांक पीतथा क्यूआपस में जुड़ा हुआ। इसकी पुष्टि हो गई है विएटा का प्रमेय, फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर, जो 16 वीं शताब्दी के अंत में रहते थे।

प्रमेय. घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0दूसरे गुणांक के बराबर पी, विपरीत चिन्ह के साथ लिया जाता है, और जड़ों का गुणनफल - मुक्त पद के लिए क्यू.

हम इन अनुपातों को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

होने देना एक्स 1तथा x2कम समीकरण की विभिन्न जड़ें एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. विएटा के प्रमेय के अनुसार x1 + x2 = -pतथा एक्स 1 एक्स 2 = क्यू.

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए समीकरण में प्रत्येक मूल x 1 और x 2 को प्रतिस्थापित करें। हमें दो सच्ची समानताएँ मिलती हैं:

एक्स 1 2 + पीएक्स 1 + क्यू = 0

एक्स 2 2 + पीएक्स 2 + क्यू = 0

पहली समानता से दूसरे को घटाएं। हम पाते हैं:

x 1 2 - x 2 2 + p(x 1 - x 2) = 0

हम वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार पहले दो पदों का विस्तार करते हैं:

(एक्स 1 - एक्स 2) (एक्स 1 - एक्स 2) + पी (एक्स 1 - एक्स 2) = 0

शर्त के अनुसार, मूल x 1 और x 2 भिन्न हैं। इसलिए, हम समानता को (x 1 - x 2) ≠ 0 से कम कर सकते हैं और p व्यक्त कर सकते हैं।

(एक्स 1 + एक्स 2) + पी = 0;

(एक्स 1 + एक्स 2) = -पी।

पहली समानता सिद्ध होती है।

दूसरी समानता को सिद्ध करने के लिए, हम पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करते हैं

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 गुणांक p के बजाय, इसकी समान संख्या (x 1 + x 2) है:

एक्स 1 2 - (एक्स 1 + एक्स 2) एक्स 1 + क्यू \u003d 0

समीकरण के बाएँ पक्ष को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 2 - एक्स 2 2 - एक्स 1 एक्स 2 + क्यू \u003d 0;

x 1 x 2 = q, जिसे सिद्ध किया जाना था।

विएटा का प्रमेय अच्छा है क्योंकि, द्विघात समीकरण की जड़ों को जाने बिना भी, हम उनके योग और गुणनफल की गणना कर सकते हैं .

Vieta की प्रमेय दिए गए द्विघात समीकरण की पूर्णांक जड़ों को निर्धारित करने में मदद करती है। लेकिन कई छात्रों के लिए, यह इस तथ्य के कारण कठिनाइयों का कारण बनता है कि वे कार्रवाई के स्पष्ट एल्गोरिदम को नहीं जानते हैं, खासकर अगर समीकरण की जड़ों में अलग-अलग संकेत होते हैं।

तो, दिए गए द्विघात समीकरण का रूप x 2 + px + q \u003d 0 है, जहाँ x 1 और x 2 इसके मूल हैं। वियत प्रमेय के अनुसार x 1 + x 2 = -p और x 1 x 2 = q.

हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं:.

यदि समीकरण में अंतिम पद ऋण चिह्न से पहले आता है, तो मूल x 1 और x 2 के अलग-अलग चिह्न होते हैं। इसके अलावा, छोटे मूल का चिह्न समीकरण में दूसरे गुणांक के चिह्न के समान है।

इस तथ्य के आधार पर कि विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को जोड़ते समय, उनके मॉड्यूल घटाए जाते हैं, और परिणाम के सामने मापांक में बड़ी संख्या का चिन्ह रखा जाता है, आपको निम्नानुसार आगे बढ़ना चाहिए:

1. संख्या q के ऐसे गुणनखंड ज्ञात कीजिए ताकि उनका अंतर संख्या p के बराबर हो;
2. प्राप्त संख्याओं में से छोटी संख्या के सामने समीकरण के दूसरे गुणांक का चिह्न लगाएं; दूसरी जड़ का विपरीत चिन्ह होगा।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1.

समीकरण x 2 - 2x - 15 = 0 को हल कीजिए।

समाधान.

आइए ऊपर प्रस्तावित नियमों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें। तब हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि इस समीकरण के दो भिन्न मूल होंगे, क्योंकि डी \u003d बी 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

अब, संख्या 15 (1 और 15, 3 और 5) के सभी गुणनखंडों में से, हम उन्हें चुनते हैं जिनका अंतर 2 के बराबर है। ये संख्याएँ 3 और 5 होंगी। हम छोटी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाते हैं। , अर्थात। समीकरण के दूसरे गुणांक का चिह्न। इस प्रकार, हमें समीकरण x 1 \u003d -3 और x 2 \u003d 5 की जड़ें मिलती हैं।

उत्तर। x 1 = -3 और x 2 = 5।

उदाहरण 2.

समीकरण x 2 + 5x - 6 = 0 को हल कीजिए।

समाधान.

आइए देखें कि क्या इस समीकरण की जड़ें हैं। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक पाते हैं:

डी \u003d बी 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं।

संख्या 6 के संभावित गुणनखंड 2 और 3, 6 और 1 हैं। अंतर 6 और 1 के एक जोड़े के लिए 5 है। इस उदाहरण में, दूसरे पद के गुणांक में धन का चिह्न है, इसलिए छोटी संख्या का होगा एक ही चिन्ह। लेकिन दूसरे नंबर से पहले माइनस साइन होगा।

उत्तर: x 1 = -6 और x 2 = 1।

Vieta के प्रमेय को पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए भी लिखा जा सकता है। अतः यदि द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0जड़ें x 1 और x 2 हैं, तो वे समानता को संतुष्ट करते हैं

एक्स 1 + एक्स 2 = -(बी/ए)तथा एक्स 1 एक्स 2 = (सी/ए). हालाँकि, पूर्ण द्विघात समीकरण में इस प्रमेय का अनुप्रयोग बल्कि समस्याग्रस्त है, क्योंकि यदि जड़ें हैं, तो उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक संख्या है। और भिन्नों के चयन के साथ कार्य करना काफी कठिन है। लेकिन अभी भी एक रास्ता है।

पूर्ण द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें। इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणांक a से गुणा करें। समीकरण (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 का रूप लेगा। अब आइए एक नए चर का परिचय दें, उदाहरण के लिए t = ax।

इस मामले में, परिणामी समीकरण t 2 + bt + ac = 0 के रूप में कम द्विघात समीकरण में बदल जाएगा, जिसके मूल t 1 और t 2 (यदि कोई हो) को Vieta प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

इस स्थिति में, मूल द्विघात समीकरण के मूल होंगे

एक्स 1 = (टी 1 / ए) और एक्स 2 = (टी 2 / ए)।

उदाहरण 3.

समीकरण 15x 2 - 11x + 2 = 0 को हल करें।

समाधान.

हम एक सहायक समीकरण बनाते हैं। आइए समीकरण के प्रत्येक पद को 15 से गुणा करें:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

हम परिवर्तन t = 15x करते हैं। हमारे पास है:

टी 2 - 11टी + 30 = 0.

वियत प्रमेय के अनुसार, इस समीकरण के मूल t 1 = 5 और t 2 = 6 होंगे।

हम प्रतिस्थापन t = 15x पर लौटते हैं:

5 = 15x या 6 = 15x। इस प्रकार x 1 = 5/15 और x 2 = 6/15। हम कम करते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त करते हैं: x 1 = 1/3 और x 2 = 2/5।

उत्तर। x 1 = 1/3 और x 2 = 2/5।

वियत प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों के समाधान में महारत हासिल करने के लिए, छात्रों को यथासंभव अभ्यास करने की आवश्यकता है। ठीक यही सफलता का रहस्य है।

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द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच, मूल सूत्रों के अलावा, अन्य उपयोगी संबंध भी हैं जो निम्न द्वारा दिए गए हैं विएटा का प्रमेय. इस लेख में, हम द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय का सूत्रीकरण और प्रमाण देंगे। इसके बाद, हम विएटा के प्रमेय के विलोम प्रमेय पर विचार करते हैं। उसके बाद, हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे। अंत में, हम वियत सूत्र लिखते हैं जो वास्तविक जड़ों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं बीजीय समीकरणडिग्री n और इसके गुणांक।

पृष्ठ नेविगेशन।

विएटा का प्रमेय, सूत्रीकरण, प्रमाण

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 की जड़ों के सूत्रों से, जहां D=b 2 −4 a c , संबंध x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = सीए । इन परिणामों की पुष्टि विएटा का प्रमेय:

प्रमेय।

यदि एक x 1 और x 2 द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 के मूल हैं, तो मूलों का योग गुणांक b और a के अनुपात के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, और का गुणनफल जड़ें गुणांक c और a के अनुपात के बराबर हैं, अर्थात, ।

सबूत।

हम निम्नलिखित योजना के अनुसार वियत प्रमेय को सिद्ध करेंगे: हम ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों के योग और उत्पाद की रचना करेंगे, फिर हम परिणामी अभिव्यक्तियों को बदल देंगे, और सुनिश्चित करेंगे कि वे −b के बराबर हैं /ए और सी/ए, क्रमशः।

आइए जड़ों के योग से शुरू करें, इसकी रचना करें। अब हम भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं, हमारे पास है। परिणामी भिन्न के अंश में, जिसके बाद : . अंत में, 2 के बाद, हमें मिलता है। यह द्विघात समीकरण के मूलों के योग के लिए Vieta के प्रमेय का पहला संबंध सिद्ध करता है। चलिए दूसरे पर चलते हैं।

हम द्विघात समीकरण की जड़ों के उत्पाद की रचना करते हैं:। भिन्नों के गुणन के नियम के अनुसार, अंतिम गुणनफल को इस प्रकार लिखा जा सकता है। अब हम अंश में ब्रैकेट को ब्रैकेट से गुणा करते हैं, लेकिन इस उत्पाद को किसके द्वारा संक्षिप्त करना तेज़ है वर्ग सूत्र का अंतर, इसलिए । फिर, याद करते हुए, हम अगला संक्रमण करते हैं। और चूंकि सूत्र D=b 2 −4 a·c द्विघात समीकरण के विवेचक से मेल खाता है, तो b 2 −4·a·c को D के बजाय अंतिम भिन्न में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, हम पाते हैं। कोष्ठकों को खोलने और समान पदों को कम करने के बाद, हम भिन्न पर पहुंचते हैं, और इसमें 4·a की कमी करने पर . यह जड़ों के गुणनफल के लिए वियत प्रमेय का दूसरा संबंध सिद्ध करता है।

यदि हम स्पष्टीकरणों को छोड़ देते हैं, तो विएटा प्रमेय का प्रमाण संक्षिप्त रूप लेगा:
,
.

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि जब विवेचक शून्य के बराबर होता है, तो द्विघात समीकरण का एक मूल होता है। हालांकि, अगर हम मानते हैं कि इस मामले में समीकरण की दो समान जड़ें हैं, तो विएटा प्रमेय से समानताएं भी होती हैं। वास्तव में, D=0 के लिए द्विघात समीकरण का मूल है , तब और , और चूंकि D=0 , यानी b 2 −4·a·c=0 , जहां से b 2 =4·a·c , तब ।

व्यवहार में, Vieta के प्रमेय का प्रयोग x 2 +p·x+q=0 रूप के कम द्विघात समीकरण (उच्चतम गुणांक 1 के बराबर) के संबंध में किया जाता है। कभी-कभी इसे केवल इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के लिए तैयार किया जाता है, जो व्यापकता को सीमित नहीं करता है, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण को इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करके एक समान समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यहाँ विएटा के प्रमेय का संगत सूत्रीकरण है:

प्रमेय।

घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + p x + q \u003d 0 के मूलों का योग x पर गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद होता है, अर्थात x 1 + एक्स 2 \u003d -पी, एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।

वियत के प्रमेय के विपरीत प्रमेय

विएटा प्रमेय का दूसरा सूत्रीकरण, पिछले पैराग्राफ में दिया गया है, यह दर्शाता है कि यदि x 1 और x 2 कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं, तो संबंध x 1 +x 2 = - पी , एक्स 1 एक्स 2 = क्यू। दूसरी ओर, लिखित संबंधों से x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, यह इस प्रकार है कि x 1 और x 2 द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं। दूसरे शब्दों में, विएटा के प्रमेय के विपरीत अभिकथन सत्य है। हम इसे एक प्रमेय के रूप में बनाते हैं, और इसे सिद्ध करते हैं।

प्रमेय।

यदि संख्याएँ x 1 और x 2 ऐसी हैं कि x 1 +x 2 =−p और x 1 x 2 =q, तो x 1 और x 2 कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं। .

सबूत।

गुणांक p और q को उनके व्यंजक के समीकरण x 2 +p x+q=0 में x 1 और x 2 से बदलने के बाद, यह एक तुल्य समीकरण में बदल जाता है।

हम परिणामी समीकरण में x के बजाय संख्या x 1 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास समानता है x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, जो किसी भी x 1 और x 2 के लिए सही संख्यात्मक समानता 0=0 है, क्योंकि x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. इसलिए, x 1 समीकरण का मूल है x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, जिसका अर्थ है कि x 1 समतुल्य समीकरण x 2 +p x+q=0 का मूल है।

यदि समीकरण में x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x के बजाय संख्या x 2 को प्रतिस्थापित करें, तो हमें समानता मिलती है x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. यह सही समीकरण है क्योंकि x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. इसलिए, x 2 भी समीकरण का मूल है x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, और इसलिए समीकरण x 2 +p x+q=0 ।

यह प्रमेय के प्रमाण को विएटा के प्रमेय के विपरीत पूरा करता है।

Vieta के प्रमेय का उपयोग करने के उदाहरण

यह वियत के प्रमेय और इसके व्युत्क्रम प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में बात करने का समय है। इस उपधारा में, हम कई सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों का विश्लेषण करेंगे।

हम Vieta के प्रमेय के विलोम प्रमेय को लागू करके प्रारंभ करते हैं। इसका उपयोग यह जांचने के लिए सुविधाजनक है कि दी गई दो संख्याएं किसी दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं या नहीं। इस मामले में, उनके योग और अंतर की गणना की जाती है, जिसके बाद संबंधों की वैधता की जांच की जाती है। यदि ये दोनों संबंध संतुष्ट हैं, तो, प्रमेय के आधार पर वियत के प्रमेय के विपरीत, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि ये संख्याएं समीकरण की जड़ें हैं। यदि कम से कम एक संबंध संतुष्ट नहीं है, तो ये संख्याएं द्विघात समीकरण के मूल नहीं हैं। इस दृष्टिकोण का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करते समय पाया गया जड़ों की जांच के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण।

संख्याओं का कौन-सा युग्म 1) x 1 =−5, x 2 =3, या 2), या 3) द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के मूलों का युग्म है?

समाधान।

दिए गए द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के गुणांक हैं a=4 , b=−16 , c=9 । विएटा की प्रमेय के अनुसार, द्विघात समीकरण के मूलों का योग −b/a के बराबर होना चाहिए, अर्थात 16/4=4 और जड़ों का गुणनफल c/a, यानी 9 के बराबर होना चाहिए। /4.

आइए अब दिए गए तीन जोड़े में से प्रत्येक में संख्याओं के योग और गुणनफल की गणना करें, और उनकी तुलना अभी प्राप्त मूल्यों से करें।

पहले मामले में, हमारे पास x 1 +x 2 =−5+3=−2 है। परिणामी मान 4 से भिन्न है, इसलिए, आगे सत्यापन नहीं किया जा सकता है, लेकिन प्रमेय द्वारा, विएटा के प्रमेय के विपरीत, हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संख्याओं की पहली जोड़ी किसी दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों की जोड़ी नहीं है .

चलिए दूसरे मामले पर चलते हैं। यहाँ, अर्थात् पहली शर्त संतुष्ट है। हम दूसरी शर्त की जांच करते हैं: , परिणामी मान 9/4 से भिन्न होता है। इसलिए, संख्याओं का दूसरा युग्म द्विघात समीकरण के मूलों का युग्म नहीं है।

आखिरी मामला बाकी है। यहाँ और । दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए ये संख्याएँ x 1 और x 2 दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं।

उत्तर:

प्रमेय, Vieta के प्रमेय के विपरीत, एक द्विघात समीकरण की जड़ों का चयन करने के लिए अभ्यास में इस्तेमाल किया जा सकता है। आमतौर पर, पूर्णांक गुणांक वाले दिए गए द्विघात समीकरणों की पूर्णांक जड़ों का चयन किया जाता है, क्योंकि अन्य मामलों में ऐसा करना काफी कठिन होता है। उसी समय, वे इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि यदि दो संख्याओं का योग ऋण चिह्न के साथ लिए गए द्विघात समीकरण के दूसरे गुणांक के बराबर है, और इन संख्याओं का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, तो ये संख्याएँ हैं इस द्विघात समीकरण की जड़ें। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।

आइए द्विघात समीकरण x 2 −5 x+6=0 लेते हैं। इस समीकरण की जड़ें x 1 और x 2 के लिए, दो समानताएँ x 1 +x 2 \u003d 5 और x 1 x 2 \u003d 6 संतुष्ट होनी चाहिए। ऐसी संख्याओं को चुनना बाकी है। इस मामले में, यह करना काफी आसान है: 2+3=5 और 2 3=6 के बाद से ऐसी संख्याएं 2 और 3 हैं। इस प्रकार, 2 और 3 इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।

प्रमेय, विएटा के प्रमेय के विपरीत, कम द्विघात समीकरण की दूसरी जड़ को खोजने के लिए लागू करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है, जब जड़ों में से एक पहले से ही ज्ञात या स्पष्ट है। इस मामले में, दूसरी जड़ किसी भी रिश्ते से मिलती है।

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 512 x 2 −509 x−3=0 लेते हैं। यहाँ यह देखना आसान है कि इकाई समीकरण का मूल है, क्योंकि इस द्विघात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। तो एक्स 1 = 1। दूसरा मूल x 2 पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संबंध x 1 x 2 =c/a से। हमारे पास 1 x 2 =−3/512 है, जहां से x 2 =−3/512 है। इसलिए हमने द्विघात समीकरण के दोनों मूलों को परिभाषित किया है: 1 और −3/512।

यह स्पष्ट है कि जड़ों का चयन केवल सरलतम मामलों में ही समीचीन है। अन्य मामलों में, जड़ों को खोजने के लिए, आप विभेदक के माध्यम से द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्रों को लागू कर सकते हैं।

प्रमेय का एक और व्यावहारिक अनुप्रयोग, विएटा के प्रमेय के विपरीत, दिए गए मूल x 1 और x 2 के लिए द्विघात समीकरणों का संकलन है। ऐसा करने के लिए, यह जड़ों के योग की गणना करने के लिए पर्याप्त है, जो दिए गए द्विघात समीकरण के विपरीत चिह्न के साथ x का गुणांक देता है, और जड़ों का उत्पाद, जो मुक्त शब्द देता है।

उदाहरण।

एक द्विघात समीकरण लिखिए जिसके मूल संख्या −11 और 23 हैं।

समाधान।

x 1 =−11 और x 2 =23 को निरूपित करें। हम इन संख्याओं के योग और गुणनफल की गणना करते हैं: x 1 + x 2 \u003d 12 और x 1 x 2 \u003d −253। इसलिए, ये संख्याएं दूसरे गुणांक -12 और मुक्त पद -253 के साथ दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं। अर्थात्, x 2 −12·x−253=0 वांछित समीकरण है।

उत्तर:

x 2 -12 x−253=0 ।

विएटा के प्रमेय का उपयोग अक्सर द्विघात समीकरणों की जड़ों के संकेतों से संबंधित कार्यों को हल करने में किया जाता है। वीटा की प्रमेय कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 की जड़ों के संकेतों से कैसे संबंधित है? यहां दो प्रासंगिक कथन दिए गए हैं:

• यदि अंतःखंड q एक धनात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, तो या तो वे दोनों धनात्मक हैं या दोनों ऋणात्मक हैं।
• यदि मुक्त पद q एक ऋणात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, तो उनके चिह्न भिन्न हैं, दूसरे शब्दों में, एक मूल धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है।

ये कथन सूत्र x 1 x 2 =q के साथ-साथ सकारात्मक, ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। उनके आवेदन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

आर सकारात्मक है। विभेदक सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , व्यंजक r 2 का मान +8 किसी भी वास्तविक r के लिए धनात्मक है, इस प्रकार किसी भी वास्तविक r के लिए D>0। इसलिए, मूल द्विघात समीकरण में पैरामीटर r के किसी भी वास्तविक मान के लिए दो जड़ें हैं।

अब आइए जानें कि जड़ों के अलग-अलग चिन्ह कब होते हैं। यदि मूलों के चिह्न भिन्न हैं, तो उनका गुणनफल ऋणात्मक होता है, और वियत प्रमेय द्वारा दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। इसलिए, हम r के उन मानों में रुचि रखते हैं जिनके लिए मुक्त पद r−1 ऋणात्मक है। इस प्रकार, r के मूल्यों को खोजने के लिए जो हमारे लिए रुचिकर हैं, हमें करने की आवश्यकता है एक रैखिक असमानता को हल करेंआर-1<0 , откуда находим r<1 .

उत्तर:

r . पर<1 .

वियत सूत्र

ऊपर, हमने द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय के बारे में बात की और उन संबंधों का विश्लेषण किया जो यह दावा करता है। लेकिन ऐसे सूत्र हैं जो न केवल द्विघात समीकरणों के वास्तविक मूलों और गुणांकों को जोड़ते हैं, बल्कि घन समीकरणों, चौगुनी समीकरणों और सामान्य रूप से भी, बीजीय समीकरणडिग्री एन. वे कहते हैं वियत सूत्र.

हम फॉर्म की डिग्री n के बीजीय समीकरण के लिए Vieta सूत्र लिखते हैं, जबकि हम मानते हैं कि इसकी n वास्तविक जड़ें x 1, x 2, ..., x n हैं (उनमें से एक ही हो सकती है):

Vieta सूत्र प्राप्त करें बहुपद गुणन प्रमेय, साथ ही उनके सभी संगत गुणांकों की समानता के माध्यम से समान बहुपदों की परिभाषा। अत: बहुपद और इसका रैखिक गुणनखंडों में प्रसार बराबर होता है। अंतिम उत्पाद में कोष्ठक खोलना और संबंधित गुणांकों की बराबरी करना, हम Vieta सूत्र प्राप्त करते हैं।

विशेष रूप से, n=2 के लिए हम द्विघात समीकरण के लिए पहले से ही परिचित Vieta सूत्र हैं।

घन समीकरण के लिए, Vieta सूत्रों का रूप है

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि विएटा सूत्रों के बाईं ओर तथाकथित प्राथमिक हैं सममित बहुपद.

ग्रंथ सूची।

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द्विघात समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक अनुप्रयोग है VIETA सूत्र, जिसका नाम फ्रेंकोइस वियत के नाम पर रखा गया था।

वह एक प्रसिद्ध वकील थे, और 16 वीं शताब्दी में फ्रांसीसी राजा के साथ सेवा की। अपने खाली समय में उन्होंने खगोल विज्ञान और गणित का अध्ययन किया। उन्होंने द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित किया।

सूत्र के लाभ:

1 . सूत्र को लागू करके, आप जल्दी से समाधान पा सकते हैं। क्योंकि आपको वर्ग में दूसरा गुणांक दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है, फिर उसमें से 4ac घटाएं, विवेचक खोजें, इसके मान को मूल खोजने के लिए सूत्र में बदलें।

2 . समाधान के बिना, आप जड़ों के संकेतों को निर्धारित कर सकते हैं, जड़ों के मूल्यों को उठा सकते हैं।

3 . दो अभिलेखों की प्रणाली को हल करने के बाद, जड़ों को स्वयं खोजना मुश्किल नहीं है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में, मूलों का योग ऋण चिह्न वाले दूसरे गुणांक के मान के बराबर होता है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल तीसरे गुणांक के मान के बराबर होता है।

4 . दिए गए मूलों के अनुसार द्विघात समीकरण लिखिए, अर्थात् प्रतिलोम समस्या को हल कीजिए। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग सैद्धांतिक यांत्रिकी में समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

5 . जब अग्रणी गुणांक एक के बराबर हो तो सूत्र को लागू करना सुविधाजनक होता है।

कमियां:

1 . सूत्र सार्वभौमिक नहीं है।

विएटा का प्रमेय ग्रेड 8

सूत्र
यदि x 1 और x 2 दिए गए द्विघात समीकरण x 2 + px + q \u003d 0 के मूल हैं, तो:

उदाहरण
एक्स 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - समीकरण की जड़ें x 2 - 2x - 3 \u003d 0।

पी = -2, क्यू = -3।

एक्स 1 + एक्स 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -पी,

एक्स 1 एक्स 2 = -1 3 = -3 = क्यू।

उलटा प्रमेय

सूत्र
यदि संख्याएँ x 1 , x 2 , p, q शर्तों से जुड़ी हैं:

तब x 1 और x 2 समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।

उदाहरण
आइए इसकी जड़ों से द्विघात समीकरण बनाते हैं:

एक्स 1 \u003d 2 -? 3 और x 2 \u003d 2 +? 3.

पी \u003d एक्स 1 + एक्स 2 \u003d 4; पी = -4; क्यू \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

वांछित समीकरण का रूप है: x 2 - 4x + 1 = 0।

2.5 उच्च डिग्री के बहुपद (समीकरण) के लिए वीटा सूत्र

द्विघात समीकरणों के लिए Vieta द्वारा व्युत्पन्न सूत्र उच्च डिग्री वाले बहुपदों के लिए भी सही हैं।

चलो बहुपद

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

n भिन्न मूल हैं x 1, x 2…, x n ।

इस मामले में, इसमें फॉर्म का एक कारक है:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

आइए इस समानता के दोनों हिस्सों को 0 ≠ 0 से विभाजित करें और पहले भाग में कोष्ठक का विस्तार करें। हमें समानता मिलती है:

एक्स एन + () एक्स एन -1 + ... + () = एक्स एन - (एक्स 1 + एक्स 2 + ... + एक्स एन) एक्स एन -1 + (एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 2 एक्स 3 + ... + एक्स एन -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

लेकिन दो बहुपद समान रूप से समान होते हैं यदि और केवल यदि समान घातों के गुणांक समान हों। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समानता

एक्स 1 + एक्स 2 + … + एक्स एन = -

एक्स 1 एक्स 2 + एक्स 2 एक्स 3 + … + एक्स एन -1 एक्स एन =

एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन = (-1) एन

उदाहरण के लिए, तीसरी डिग्री के बहुपदों के लिए

ए 0 एक्स³ + ए 1 एक्स² + ए 2 एक्स + ए 3

हमारी है पहचान

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

एक्स 1 एक्स 2 एक्स 3 = -

द्विघात समीकरणों के लिए, इस सूत्र को विएटा सूत्र कहा जाता है। इन सूत्रों के बाएँ भाग दिए गए समीकरण के मूल x 1, x 2 ..., x n से सममित बहुपद हैं, और दाएँ भाग बहुपद के गुणांक के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

2.6 वर्ग के लिए कम करने योग्य समीकरण (द्विघात)

चौथी डिग्री के समीकरण द्विघात समीकरणों में कम हो जाते हैं:

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी = 0,

द्विघात कहा जाता है, इसके अलावा, एक 0।

इस समीकरण में x 2 \u003d y डालना पर्याप्त है, इसलिए,

ay² + by + c = 0

परिणामी द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

वाई 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 के मूल ज्ञात करने के लिए y को x से बदलें और प्राप्त करें

x2 =

एक्स 1,2,3,4 = .

यदि चौथी डिग्री के समीकरण में x 1 है, तो इसका एक मूल x 2 \u003d -x 1 भी है।

यदि x 3 है, तो x 4 \u003d - x 3। ऐसे समीकरण के मूलों का योग शून्य होता है।

2x 4 - 9x² + 4 = 0

हम द्विघात समीकरणों की जड़ों के लिए समीकरण को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

एक्स 1,2,3,4 = ,

यह जानकर कि x 1 \u003d -x 2, और x 3 \u003d -x 4, तब:

एक्स 3.4 =

उत्तर: x 1.2 \u003d ± 2; एक्स 1.2 =

2.7 द्विघात समीकरणों का अध्ययन

आइए द्विघात समीकरण लें

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी = 0,

जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a > 0. एक सहायक अज्ञात y = x² का परिचय देकर, हम इस समीकरण की जड़ों की जाँच करते हैं, और परिणामों को एक तालिका में दर्ज करते हैं (परिशिष्ट संख्या 1 देखें)।

2.8 कार्डानो फॉर्मूला

यदि हम आधुनिक प्रतीकवाद का उपयोग करते हैं, तो कार्डानो सूत्र की व्युत्पत्ति इस तरह दिख सकती है:

एक्स =

यह सूत्र तीसरी डिग्री के सामान्य समीकरण की जड़ों को निर्धारित करता है:

कुल्हाड़ी 3 + 3बीएक्स 2 + 3सीएक्स + डी = 0।

यह सूत्र बहुत बोझिल और जटिल है (इसमें कई जटिल मूलक हैं)। यह हमेशा लागू नहीं होता है, क्योंकि। पूरा करना बहुत मुश्किल।

एफ (एक्सओ) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

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