ऑनलाइन लाइनों के बीच का क्षेत्र खोजें। y=f(x), x=g(y) रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना। समतल वक्र की चाप की लंबाई

मान लें कि फलन गैर-ऋणात्मक और अंतराल पर निरंतर है। फिर, एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, इस फ़ंक्शन के ग्राफ से ऊपर से घिरा हुआ एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र, नीचे से अक्ष द्वारा, बाएं और दाएं से सीधी रेखाओं द्वारा और (चित्र 2 देखें) ) सूत्र द्वारा गणना की जाती है

उदाहरण 9एक रेखा से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और धुरी।

समाधान. फंक्शन ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर इंगित करती हैं। आइए इसे बनाते हैं (चित्र 3)। एकीकरण की सीमा निर्धारित करने के लिए, हम अक्ष (सीधी रेखा) के साथ रेखा (परवलय) के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं

हम पाते हैं: , कहाँ पे , ; फलस्वरूप, , ।

चावल। 3

आकृति का क्षेत्रफल सूत्र (5) द्वारा ज्ञात किया जाता है:

यदि फ़ंक्शन गैर-सकारात्मक और खंड पर निरंतर है, तो इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा नीचे से घिरा हुआ वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र, ऊपर से अक्ष द्वारा, बाएँ और दाएँ सीधी रेखाओं द्वारा और , है सूत्र द्वारा गणना

. (6)

यदि फ़ंक्शन एक खंड पर निरंतर है और बिंदुओं की एक सीमित संख्या पर संकेत बदलता है, तो छायांकित आकृति का क्षेत्र (चित्र 4) संबंधित निश्चित अभिन्न के बीजगणितीय योग के बराबर है:

चावल। चार

उदाहरण 10अक्ष से बंधे आकृति के क्षेत्र और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए गणना करें।

चावल। 5

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 5)। वांछित क्षेत्र क्षेत्रों का योग है और . आइए इनमें से प्रत्येक क्षेत्र को खोजें। सबसे पहले, हम सिस्टम को हल करके एकीकरण की सीमा निर्धारित करते हैं हम पाते हैं , । फलस्वरूप:

;

.

अत: छायांकित आकृति का क्षेत्रफल है

(वर्ग इकाइयों)।

चावल। 6

चलो, अंत में, वक्रीय समलम्बाकार खंड पर निरंतर कार्यों के रेखांकन द्वारा ऊपर और नीचे से घिरा हुआ है,
और बाएँ और दाएँ - सीधे और (चित्र 6)। फिर इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (8)

उदाहरण 11.रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और .

समाधान।यह आंकड़ा अंजीर में दिखाया गया है। 7. हम सूत्र (8) का उपयोग करके इसके क्षेत्रफल की गणना करते हैं। समीकरणों के निकाय को हल करने पर, हम पाते हैं; फलस्वरूप, , । खंड पर हमारे पास है: . इसलिए, सूत्र (8) में हम लेते हैं: एक्स, और जैसे - । हम पाते हैं:

(वर्ग इकाइयों)।

क्षेत्रों की गणना करने की अधिक जटिल समस्याओं को गैर-अंतर्विभाजक भागों में तोड़कर और इन भागों के क्षेत्रों के योग के रूप में पूरी आकृति के क्षेत्र की गणना करके हल किया जाता है।

चावल। 7

उदाहरण 12.रेखाओं द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 8)। इस आकृति को एक वक्रीय समलंब चतुर्भुज के रूप में माना जा सकता है जो नीचे से अक्ष से, बाएँ और दाएँ से - सीधी रेखाओं से और ऊपर से - कार्यों के ग्राफ़ द्वारा और . चूँकि आकृति ऊपर से दो फलनों के आलेखों से घिरी हुई है, तो इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम इस सीधी आकृति को दो भागों में विभाजित करते हैं (1 रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है और)। इनमें से प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल सूत्र (4) द्वारा ज्ञात किया जाता है:

(वर्ग इकाइयों); (वर्ग इकाइयों)। फलस्वरूप:

(वर्ग इकाइयों)।

चावल। आठ

एक्स= जे ​​( पर)

चावल। 9

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि यदि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज सीधी रेखाओं और , अक्ष और वक्र पर निरंतर (चित्र 9) से घिरा है, तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जाता है

क्रांति के शरीर का आयतन

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज को एक खंड, एक अक्ष, सीधी रेखाओं पर निरंतर एक फलन के ग्राफ से घिरा होने दें और अक्ष के चारों ओर घूमें (चित्र 10)। फिर क्रांति के परिणामी निकाय के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (9)

उदाहरण 13हाइपरबोला, सीधी रेखाओं और अक्ष से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार अक्ष के चारों ओर घूर्णन करके प्राप्त निकाय के आयतन की गणना करें।

समाधान. आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 11)।

यह समस्या की स्थिति से इस प्रकार है कि , . सूत्र (9) से हम प्राप्त करते हैं

.

चावल। दस

चावल। ग्यारह

एक अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन कहांवक्रीय समलम्ब चतुर्भुज सीधी रेखाओं से घिरा हुआ है वाई = सीतथा वाई = डी, एक्सिस कहांऔर एक खंड पर निरंतर फलन का ग्राफ (चित्र 12), सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

. (10)

एक्स= जे ​​( पर)

चावल। 12

उदाहरण 14. एक अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें कहांवक्रीय समलम्बाकार रेखाओं से घिरा हुआ एक्स 2 = 4पर, वाई = 4, एक्स = 0 (चित्र 13)।

समाधान. समस्या की स्थिति के अनुसार, हम एकीकरण की सीमाएँ पाते हैं: , । सूत्र (10) से हम प्राप्त करते हैं:

चावल। 13

समतल वक्र की चाप की लंबाई

मान लीजिए कि समीकरण द्वारा दिया गया वक्र, जहाँ , एक समतल में स्थित है (चित्र 14)।

चावल। चौदह

परिभाषा। एक चाप की लंबाई को उस सीमा के रूप में समझा जाता है जिस पर इस चाप में अंकित पॉलीलाइन की लंबाई तब होती है जब पॉलीलाइन के लिंक की संख्या अनंत तक जाती है, और सबसे बड़ी लिंक की लंबाई शून्य हो जाती है।

यदि फलन और उसका अवकलज खंड पर सतत हैं, तो वक्र की चाप लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

. (11)

उदाहरण 15. उन बिंदुओं के बीच संलग्न वक्र के चाप की लंबाई की गणना करें जिसके लिए .

समाधान. समस्या की स्थिति से हमारे पास है . सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं:

.

4. अनुचित समाकलन
एकीकरण की अनंत सीमाओं के साथ

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा को पेश करते समय, यह माना गया कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

ए) एकीकरण की सीमाएं एकऔर सीमित हैं;

बी) इंटीग्रैंड खंड पर घिरा हुआ है।

यदि इनमें से कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो समाकलक कहलाता है अनुचित.

आइए पहले हम एकीकरण की अनंत सीमाओं के साथ अनुचित समाकलनों पर विचार करें।

परिभाषा। मान लें कि अंतराल पर फलन परिभाषित और सतत है, तबऔर दाईं ओर असीमित (चित्र 15)।

यदि अनुचित समाकलन अभिसरण करता है, तो यह क्षेत्र परिमित है; यदि अनुचित अभिन्न विचलन करता है, तो यह क्षेत्र अनंत है।

चावल। पंद्रह

एकीकरण की अनंत निचली सीमा के साथ एक अनुचित अभिन्न को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

. (13)

यह समाकलन अभिसरण करता है यदि समानता के दायीं ओर की सीमा (13) मौजूद है और परिमित है; अन्यथा समाकल को अपसारी कहा जाता है।

एकीकरण की दो अनंत सीमाओं के साथ एक अनुचित समाकलन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

, (14)

जहां с अंतराल का कोई बिंदु है। समाकलन तभी अभिसरित होता है जब दोनों समाकलन समानता के दायीं ओर अभिसरित हों (14)।

;

जी) = [हर में पूर्ण वर्ग का चयन करें:] = [प्रतिस्थापन:

] =

इसलिए, अनुचित अभिन्न अभिसरण करता है और इसका मूल्य बराबर होता है।

वह फ़ंक्शन दर्ज करें जिसके लिए आप अभिन्न खोजना चाहते हैं

कैलकुलेटर निश्चित इंटीग्रल का विस्तृत समाधान प्रदान करता है।

यह कैलकुलेटर दी गई ऊपरी और निचली सीमाओं के साथ फ़ंक्शन f(x) के निश्चित इंटीग्रल को हल करता है।

उदाहरण

डिग्री के उपयोग के साथ
(वर्ग और घन) और भिन्न

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

वर्गमूल

वर्ग(x)/(x + 1)

घनमूल

सीबीआरटी(x)/(3*x + 2)

साइन और कोसाइन का उपयोग करना

2*पाप(x)*क्योंकि(x)

आर्कसिन

एक्स * आर्कसिन (एक्स)

चाप कोसाइन

एक्स * आर्कोस (एक्स)

लघुगणक का अनुप्रयोग

एक्स * लॉग (एक्स, 10)

प्राकृतिक

प्रदर्शक

टीजी (एक्स) * पाप (एक्स)

कोटैंजेंट

सीटीजी(x)*cos(x)

अपरिमेय भिन्न

(वर्ग(x) - 1)/वर्ग(x^2 - x - 1)

आर्कटिक

एक्स * आर्कटिक (एक्स)

चाप स्पर्शरेखा

एक्स * आर्कसीटीजी (एक्स)

हाइबरबोलिक साइन और कोसाइन

2*श(x)*ch(x)

हाइबरबोलिक स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

सीटीजीएच (एक्स) / टीजीएच (एक्स)

हाइबरबोलिक आर्क्साइन और आर्ककोसाइन

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

हाइबरबोलिक आर्कटैंगेंट और आर्ककोटैंजेंट

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

भाव और कार्य दर्ज करने के नियम

अभिव्यक्तियों में कार्य शामिल हो सकते हैं (नोटेशन वर्णानुक्रम में दिए गए हैं): निरपेक्ष (एक्स)निरपेक्ष मूल्य एक्स
(मापांक एक्सया |x|) आर्ककोस (एक्स)समारोह - चाप कोसाइन एक्स आर्ककोश (एक्स)चाप कोसाइन अतिपरवलयिक से एक्स आर्कसिन (एक्स)आर्क्सिन से एक्स आर्कसिंह (एक्स)आर्क्सिन हाइपरबोलिक से एक्स आर्कटिक (एक्स)समारोह - चाप स्पर्शरेखा . से एक्स आर्कटिक (एक्स)चाप स्पर्शरेखा से अतिपरवलयिक है एक्स इ इएक संख्या जो लगभग 2.7 . के बराबर है क्स्प (एक्स)फलन - से घातांक एक्स(जो है इ^एक्स) लॉग (एक्स)या लॉग (एक्स)का प्राकृतिक लघुगणक एक्स
(प्राप्त होना लॉग 7 (एक्स), आपको लॉग(x)/लॉग(7) दर्ज करना होगा (या, उदाहरण के लिए, for लॉग 10 (एक्स)=लॉग(x)/लॉग(10)) अनुकरणीयसंख्या "पाई" है, जो लगभग 3.14 . के बराबर है पाप (एक्स)समारोह - की साइन एक्स कॉस (एक्स)समारोह - की कोज्या एक्स सिंह (एक्स)समारोह - की अतिपरवलयिक ज्या एक्स नकद (एक्स)समारोह - की अतिपरवलयिक कोज्या एक्स वर्ग (एक्स)फलन का वर्गमूल है एक्स वर्ग (एक्स)या एक्स^2समारोह - वर्ग एक्स टीजी (एक्स)समारोह - स्पर्शरेखा . से एक्स टीजीएच (एक्स)फलन - की अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा एक्स सीबीआरटी (एक्स)फलन का घनमूल है एक्स

आप अभिव्यक्तियों में निम्नलिखित परिचालनों का उपयोग कर सकते हैं: वास्तविक संख्याफॉर्म में दर्ज करें 7.5 , नहीं 7,5 2*x- गुणन 3/x- विभाजन एक्स^3- घातांक एक्स + 7- योग एक्स - 6- घटाव
अन्य सुविधाओं: मंजिल (एक्स)समारोह - गोलाई एक्सनीचे (उदाहरण मंजिल(4.5)==4.0) छत (एक्स)समारोह - गोलाई एक्सऊपर (उदाहरण सीलिंग(4.5)==5.0) साइन (एक्स)समारोह - संकेत एक्स ईआरएफ (एक्स)त्रुटि फ़ंक्शन (या संभाव्यता अभिन्न) लैपलेस (एक्स)लाप्लास समारोह

एक आकृति के क्षेत्र की गणनायह शायद क्षेत्र सिद्धांत की सबसे कठिन समस्याओं में से एक है। स्कूल ज्यामिति में, उन्हें बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों को खोजने के लिए सिखाया जाता है जैसे, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज, एक समचतुर्भुज, एक आयत, एक समलम्ब, एक वृत्त, आदि। हालांकि, किसी को अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना से निपटना पड़ता है। ऐसी समस्याओं को हल करने में ही समाकलन कलन का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है।

परिभाषा।

वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजकुछ आकृति G को कहा जाता है, जो y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a और x \u003d b से घिरा है, और फ़ंक्शन f (x) खंड पर निरंतर है [a; b] और उस पर अपना चिन्ह नहीं बदलता (चित्र एक)।एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल S(G) द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

फलन f(x) के लिए निश्चित समाकल ʃ a b f(x)dx, जो खंड [a; बी], और इसी वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्र है।

अर्थात्, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a और x \u003d b रेखाओं से घिरी आकृति G का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, निश्चित अभिन्न की गणना करना आवश्यक है ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

इस तरह, एस (जी) = ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

यदि फलन y = f(x) [a; पर धनात्मक नहीं है; बी], फिर वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है एस (जी) = -ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

उदाहरण 1

y \u003d x 3 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 1; एक्स = 2.

समाधान।

दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जिसे हैचिंग करके दिखाया गया है चावल। 2.

वांछित क्षेत्र वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज DACE और वर्ग DABE के क्षेत्रों के बीच के अंतर के बराबर है।

सूत्र S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) का प्रयोग करके हम समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई \u003d एक्स 3,
(वाई = 1.

इस प्रकार, हमारे पास x 1 \u003d 1 - निचली सीमा और x \u003d 2 - ऊपरी सीमा है।

तो, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: 11/4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 2

y \u003d √x द्वारा बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 2; एक्स = 9.

समाधान।

दी गई रेखाएं आकृति ABC बनाती हैं, जो ऊपर से फलन के ग्राफ द्वारा परिबद्ध है

y \u003d √x, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे से y \u003d 2. परिणामी आकृति को हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 3.

वांछित क्षेत्र S = a b (√x - 2) के बराबर है। आइए एकीकरण की सीमाएँ ज्ञात करें: b = 9, a खोजने के लिए, हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई = x,
(वाई = 2.

इस प्रकार, हमारे पास x = 4 = a निचली सीमा है।

तो, एस = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: एस = 2 2/3 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 3

y \u003d x 3 - 4x की रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें; वाई = 0; एक्स 0.

समाधान।

आइए फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x x 0 के लिए प्लॉट करें। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न y ' पाते हैं:

y' = 3x 2 - 4, y' = 0 पर = ±2/√3 ≈ 1.1 क्रांतिक बिंदु हैं।

यदि हम वास्तविक अक्ष पर क्रांतिक बिंदु खींचते हैं और अवकलज के चिह्न लगाते हैं, तो हम पाते हैं कि फलन शून्य से घटकर 2/√3 हो जाता है और 2/√3 से धन अनंत तक बढ़ जाता है। तब x = 2/√3 न्यूनतम बिंदु है, फलन y का न्यूनतम मान न्यूनतम = -16/(3√3) ≈ -3 है।

आइए निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें:

यदि x \u003d 0, तो y \u003d 0, जिसका अर्थ है कि A (0; 0) ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है;

यदि y \u003d 0, तो x 3 - 4x \u003d 0 या x (x 2 - 4) \u003d 0, या x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, जहां से x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (उपयुक्त नहीं, क्योंकि x 0)।

अंक A(0; 0) और B(2; 0) ऑक्‍स अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

दी गई रेखाएँ OAB आकृति बनाती हैं, जिसे हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। चार।

चूंकि फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 4x (0; 2) पर ऋणात्मक मान लेता है, तब

एस = |ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx|।

हमारे पास है: 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2/2)| 0 2 \u003d -4, जहां से एस \u003d 4 वर्ग मीटर। इकाइयों

उत्तर: एस = 4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 4

परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1, सीधी रेखाओं x \u003d 0, y \u003d 0 और इस परवलय की स्पर्शरेखा द्वारा भुज x 0 \u003d बिंदु पर परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 2.

समाधान।

सबसे पहले, हम परवलय y \u003d 2x 2 - 2x + 1 के स्पर्शरेखा के समीकरण को भुज x₀ \u003d 2 के साथ बिंदु पर बनाते हैं।

चूँकि अवकलज y' = 4x - 2 है, तो x 0 = 2 के लिए हमें k = y'(2) = 6 प्राप्त होता है।

स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5।

इसलिए, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: y - 5 \u003d 6 (x - 2) या y \u003d 6x - 7।

आइए रेखाओं से घिरी एक आकृति बनाएं:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - परवलय। समन्वय अक्षों के साथ चौराहे के बिंदु: ए(0; 1) - ओए अक्ष के साथ; ऑक्स अक्ष के साथ - कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, क्योंकि समीकरण 2x 2 - 2x + 1 = 0 का कोई हल नहीं है (D .)< 0). Найдем вершину параболы:

एक्स बी \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, यानी परवलय बिंदु B के शीर्ष में निर्देशांक B (1/2; 1/2) है।

अत: जिस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, उसे हैचिंग द्वारा दर्शाया गया है चावल। 5.

हमारे पास है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी।

शर्त से बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

6x - 7 = 0, अर्थात्। x \u003d 7/6, फिर DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6।

हम सूत्र S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC का उपयोग करके त्रिभुज DBC का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस तरह,

एस एडीबीसी = 1/2 5/6 5 = 25/12 वर्ग। इकाइयों

एस ओएबीसी = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (वर्ग इकाइयाँ)।

अंत में हमें मिलता है: एस ओ ए बी डी \u003d एस ओएबीसी - एस एडीबीसी \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (वर्ग इकाइयाँ)।

उत्तर: एस = 1 1/4 वर्ग। इकाइयों

हमने उदाहरणों की समीक्षा की है दी गई रेखाओं से घिरी हुई आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करना. ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको एक समतल पर कार्यों की रेखाएँ और रेखांकन बनाने में सक्षम होने की आवश्यकता है, रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, क्षेत्र खोजने के लिए सूत्र लागू करें, जिसका अर्थ है कुछ अभिन्नों की गणना करने की क्षमता और कौशल।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

एक)

समाधान।

निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है.

आइए एक चित्र बनाएं:

समीकरण वाई = 0 एक्स-अक्ष सेट करता है;

- एक्स = -2 तथा एक्स = 1 - सीधे, अक्ष के समानांतर कहां;

- वाई \u003d एक्स 2 +2 - एक परवलय जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, एक बिंदु (0; 2) पर एक शीर्ष के साथ।

टिप्पणी।एक परवलय का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। डाल एक्स = 0 अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए कहां और संबंधित द्विघात समीकरण को हल करते हुए, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करें ओह .

एक परवलय का शीर्ष सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आप रेखाएँ खींच सकते हैं और बिंदु से बिंदु बना सकते हैं।

अंतराल पर [-2;1] फलन का ग्राफ वाई = एक्स 2 +2 स्थित अक्ष के ऊपर बैल , इसीलिए:

उत्तर: एस \u003d 9 वर्ग इकाइयां

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास, उत्तर, कहते हैं: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आकृति में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे ओह?

बी)रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए वाई=-ई एक्स , एक्स = 1 और कुल्हाड़ियों का समन्वय करें।

समाधान।

आइए एक ड्राइंग बनाएं।

यदि एक वक्रीय समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे ओह , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

उत्तर: एस = (ई -1) वर्ग इकाई" 1.72 वर्ग इकाई

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपको बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकल को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह ऋणात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित समाकल का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है! यही कारण है कि माइनस अभी विचार किए गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे विमानों दोनों में स्थित होता है।

साथ)रेखाओं द्वारा परिबद्ध समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x।

समाधान।

सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। यह दो तरह से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है।

हम समीकरण हल करते हैं:

तो एकीकरण की निचली सीमा ए = 0 , एकीकरण की ऊपरी सीमा ख = 3 .

हम दी गई रेखाओं का निर्माण करते हैं: 1. परवलय - बिंदु पर शीर्ष (1;1); अक्ष चौराहा ओह -अंक (0;0) और (0;2)। 2. सीधी रेखा - दूसरे और चौथे समन्वय कोणों का द्विभाजक। और अब ध्यान! यदि अंतराल पर [ ए;बी] कुछ निरंतर कार्य एफ (एक्स)किसी सतत फलन से बड़ा या उसके बराबर जी (एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: . और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आंकड़ा कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह महत्वपूर्ण है कि कौन सा चार्ट उच्च है (दूसरे चार्ट के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है। विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

बिंदु-दर-बिंदु रेखाओं का निर्माण संभव है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।

खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: एस \u003d 4.5 वर्ग इकाइयाँ

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान।

हम दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

हम देखतें है: एक्स 1 = -2, एक्स 2 = 4.

तो, ये रेखाएँ, जो एक परवलय और एक सीधी रेखा हैं, बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं ए(-2; 0), बी(4; 6).

ये रेखाएँ एक बंद आकृति बनाती हैं, जिसके क्षेत्रफल की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं:

एक दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान।

I चतुर्थांश के लिए दीर्घवृत्त समीकरण से हमारे पास . यहाँ से, सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

आइए प्रतिस्थापन लागू करें एक्स = एकपाप टी, डीएक्स = एकक्योंकि टी डीटी. एकीकरण की नई सीमाएं टी = α तथा टी = β समीकरणों से निर्धारित होते हैं 0 = एकपाप टी, एक = एकपाप टी. डाला जा सकता है α = 0 और β = π /2.

हमें आवश्यक क्षेत्रफल का एक चौथाई भाग मिलता है

यहाँ से एस = पीएबी.

रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिएआप = - एक्स 2 + एक्स + 4 औरआप = - एक्स + 1.

समाधान।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आप = -एक्स 2 + एक्स + 4, आप = -एक्स+1, रेखाओं के निर्देशांक की बराबरी करना: - एक्स 2 + एक्स + 4 = -एक्स+ 1 या एक्स 2 - 2एक्स- 3 = 0. मूल ज्ञात कीजिए एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 3 और उनके संगत कोटि आप 1 = 2, आप 2 = -2.

आकृति क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

परवलय से घिरे क्षेत्र का पता लगाएंआप = एक्स 2 +1 और प्रत्यक्षएक्स + आप = 3.

समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करना

प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ज्ञात कीजिए एक्स 1 = -2 और एक्स 2 = 1.

यह मानते हुए आप 2 = 3 - एक्सतथा आप 1 = एक्स 2 + 1, सूत्र के आधार पर हमें प्राप्त होता है

बर्नौली नींबू के भीतर निहित क्षेत्र की गणना करेंआर 2 = एक 2 क्योंकि 2 φ .

समाधान।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, वक्र के चाप से घिरी आकृति का क्षेत्रफल आर = एफ(φ ) और दो ध्रुवीय त्रिज्या φ 1 = ʅ तथा φ 2 = ʆ , अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है

वक्र की समरूपता के कारण, हम पहले वांछित क्षेत्र का एक चौथाई निर्धारित करते हैं

इसलिए, कुल क्षेत्रफल है एस = एक 2 .

एक क्षुद्रग्रह की चाप की लंबाई की गणना करेंएक्स 2/3 + आप 2/3 = एक 2/3 .

समाधान।

हम एस्ट्रोइड के समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

(एक्स 1/3) 2 + (आप 1/3) 2 = (एक 1/3) 2 .

चलो रखो एक्स 1/3 = एक 1/3 कोस टी, आप 1/3 = एक 1/3 पाप टी.

यहां से हम एस्ट्रोइड के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करते हैं

एक्स = एकक्योंकि 3 टी, आप = एकपाप 3 टी, (*)

जहां 0 टी ≤ 2π .

वक्र (*) की समरूपता को देखते हुए, चाप की लंबाई का एक चौथाई ज्ञात करना पर्याप्त है लीपैरामीटर परिवर्तन के अनुरूप टी 0 से . तक π /2.

हम पाते हैं

डीएक्स = -3एकक्योंकि 2 टीपाप टी डीटी, डीवाई = 3एकपाप 2 टीक्योंकि टी डीटी.

यहाँ से हम पाते हैं

परिणामी अभिव्यक्ति को 0 से . की सीमा में एकीकृत करना π /2, हमें मिलता है

यहाँ से ली = 6एक.

आर्किमिडीज के सर्पिल से घिरे क्षेत्र का पता लगाएंआर = अज़ी और दो त्रिज्या वेक्टर जो ध्रुवीय कोणों के अनुरूप हैंφ 1 तथाφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

समाधान।

वक्र से घिरा क्षेत्र आर = एफ(φ ) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है, जहां α तथा β - ध्रुवीय कोण के परिवर्तन की सीमा।

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

(*)

(*) से यह इस प्रकार है कि ध्रुवीय अक्ष से घिरा क्षेत्र और आर्किमिडीज सर्पिल का पहला मोड़ ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

इसी तरह, हम ध्रुवीय अक्ष से घिरा क्षेत्र और आर्किमिडीज सर्पिल के दूसरे मोड़ को पाते हैं ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

आवश्यक क्षेत्रफल इन क्षेत्रों के अंतर के बराबर है

एक अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करेंबैल परवलयों से घिरी आकृतिआप = एक्स 2 तथाएक्स = आप 2 .

समाधान।

आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

और पाओ एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 1, आप 1 = 0, आप 2 = 1, जहां से वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु हे(0; 0), बी(ग्यारह)। जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, क्रांति के पिंड का वांछित आयतन अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले दो खंडों के अंतर के बराबर है बैलवक्रीय समलम्बाकार ओसीबीएतथा ओडीबीए:

अक्ष से घिरे क्षेत्र की गणना करेंबैल और साइनसॉइडआप = पापएक्स खंडों पर: ए); बी) ।

समाधान।

a) खंड पर, फलन sin एक्ससंकेत को संरक्षित करता है, और इसलिए सूत्र द्वारा, मानते हुए आप= पाप एक्स, हम देखतें है

बी) खंड पर, समारोह पाप एक्ससंकेत बदलता है। समस्या के सही समाधान के लिए खंड को दो भागों में विभाजित करना आवश्यक है और [ π , 2π ], जिनमें से प्रत्येक में फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखता है।

संकेतों के नियम के अनुसार, खंड पर [ π , 2π ] क्षेत्र को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।

नतीजतन, वांछित क्षेत्र बराबर है

अंडाकार के घूर्णन से प्राप्त सतह से घिरे शरीर की मात्रा निर्धारित करेंप्रमुख अक्ष के चारों ओरएक .

समाधान।

यह देखते हुए कि दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों के बारे में सममित है, यह अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले आयतन को खोजने के लिए पर्याप्त है बैलक्षेत्र ओएबी, दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर, और परिणाम को दोगुना कर देता है।

आइए हम क्रांति के पिंड के आयतन को के माध्यम से निरूपित करें वी एक्स; फिर, सूत्र के आधार पर, हमारे पास , जहां 0 और . है एक- अंक की अनुपस्थिति बीतथा ए. दीर्घवृत्त के समीकरण से हम पाते हैं। यहाँ से

इस प्रकार, अभीष्ट आयतन के बराबर है। (जब दीर्घवृत्त लघु अक्ष के चारों ओर घूमता है बी, शरीर का आयतन है )

परवलय से घिरा क्षेत्र ज्ञात कीजिएआप 2 = 2 पिक्सल तथाएक्स 2 = 2 पीयू .

समाधान।

सबसे पहले, हम एकीकरण अंतराल को निर्धारित करने के लिए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक पाते हैं। मूल समीकरणों को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं और । इन मानों की बराबरी करने पर, हम प्राप्त करते हैं या एक्स 4 - 8पी 3 एक्स = 0.

एक्स 4 - 8पी 3 एक्स = एक्स(एक्स 3 - 8पी 3) = एक्स(एक्स - 2पी)(एक्स 2 + 2पिक्सल + 4पी 2) = 0.

हम समीकरणों की जड़ें पाते हैं:

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि बिंदु एपरवलयों का प्रतिच्छेदन पहली तिमाही में होता है, फिर एकीकरण की सीमा एक्स= 0 और एक्स = 2पी.

वांछित क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जाता है