रबड़ के कंगन

विएटा का प्रमेय। प्रयोग के उदाहरण। गणित में Vieta के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को कैसे हल करें एक समीकरण के लिए Vieta का सूत्र

गणित में, ऐसी विशेष तरकीबें हैं जिनके साथ कई द्विघात समीकरण बहुत जल्दी और बिना किसी भेदभाव के हल हो जाते हैं। इसके अलावा, उचित प्रशिक्षण के साथ, कई लोग द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल करना शुरू करते हैं, शाब्दिक रूप से "एक नज़र में।"

दुर्भाग्य से, स्कूली गणित के आधुनिक पाठ्यक्रम में, ऐसी तकनीकों का लगभग अध्ययन नहीं किया जाता है। और आपको पता होना चाहिए! और आज हम इनमें से एक तकनीक पर विचार करेंगे - विएटा की प्रमेय। सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा पेश करें।

x 2 + bx + c = 0 के रूप का द्विघात समीकरण घटा हुआ कहलाता है। कृपया ध्यान दें कि x 2 पर गुणांक 1 के बराबर है। गुणांक पर कोई अन्य प्रतिबंध नहीं हैं।

x 2 + 7x + 12 = 0 घटा हुआ द्विघात समीकरण है;
x 2 - 5x + 6 = 0 भी घटाया गया है;
2x 2 - 6x + 8 = 0 - लेकिन यह बिल्कुल भी नहीं दिया गया है, क्योंकि x 2 पर गुणांक 2 है।

बेशक, ax 2 + bx + c = 0 के रूप के किसी भी द्विघात समीकरण को कम किया जा सकता है - यह सभी गुणांक को संख्या a से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। हम इसे हमेशा कर सकते हैं, क्योंकि यह एक द्विघात समीकरण की परिभाषा का अनुसरण करता है कि a 0.

सच है, जड़ें खोजने के लिए ये परिवर्तन हमेशा उपयोगी नहीं होंगे। थोड़ा कम, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि यह तभी किया जाना चाहिए जब अंतिम वर्ग समीकरण में सभी गुणांक पूर्णांक हों। अभी के लिए, आइए कुछ सरल उदाहरण देखें:

एक कार्य। द्विघात समीकरण को घटा में बदलें:

3x2 -12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;

2x2 + 7x - 11 = 0.

आइए प्रत्येक समीकरण को चर x 2 के गुणांक से विभाजित करें। हम पाते हैं:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - सब कुछ 3 से विभाजित;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4 से विभाजित;
1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - 1.5 से विभाजित, सभी गुणांक पूर्णांक बन गए;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - 2 से विभाजित। इस मामले में, भिन्नात्मक गुणांक उत्पन्न हुए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दिए गए द्विघात समीकरणों में पूर्णांक गुणांक हो सकते हैं, भले ही मूल समीकरण में भिन्न हों।

अब हम मुख्य प्रमेय तैयार करते हैं, जिसके लिए, वास्तव में, एक कम द्विघात समीकरण की अवधारणा पेश की गई थी:

विएटा का प्रमेय। x 2 + bx + c \u003d 0 के रूप के कम द्विघात समीकरण पर विचार करें। मान लीजिए कि इस समीकरण की वास्तविक जड़ें x 1 और x 2 हैं। इस मामले में, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

x1 + x2 = -बी। दूसरे शब्दों में, दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग, विपरीत चिह्न से लिए गए चर x के गुणांक के बराबर होता है;

एक्स 1 एक्स 2 = सी। द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त गुणांक के बराबर होता है।

उदाहरण। सादगी के लिए, हम केवल दिए गए द्विघात समीकरणों पर विचार करेंगे जिन्हें अतिरिक्त परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है:

x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (-9) = 9; एक्स 1 एक्स 2 = 20; जड़ें: x 1 = 4; एक्स 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -15; जड़ें: x 1 = 3; एक्स 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; एक्स 1 एक्स 2 = 4; जड़ें: x 1 \u003d -1; एक्स 2 \u003d -4।

विएटा का प्रमेय हमें द्विघात समीकरण की जड़ों के बारे में अतिरिक्त जानकारी देता है। पहली नज़र में, यह जटिल लग सकता है, लेकिन न्यूनतम प्रशिक्षण के साथ भी, आप जड़ों को "देखना" सीखेंगे और सचमुच कुछ ही सेकंड में उनका अनुमान लगा लेंगे।

एक कार्य। द्विघात समीकरण को हल करें:

x2 - 9x + 14 = 0;

एक्स 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x - 210 = 0.

आइए विएटा प्रमेय के अनुसार गुणांकों को लिखने का प्रयास करें और जड़ों का "अनुमान लगाएं":

x 2 - 9x + 14 = 0 एक घटा हुआ द्विघात समीकरण है।
वीटा प्रमेय से, हमारे पास है: x 1 + x 2 = -(-9) = 9; x 1 x 2 = 14. यह देखना आसान है कि मूल संख्या 2 और 7 हैं;
x 2 - 12x + 27 = 0 भी घटाया गया है।
वीटा प्रमेय द्वारा: x 1 + x 2 = -(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. इसलिए मूल: 3 और 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - यह समीकरण कम नहीं होता है। लेकिन अब हम समीकरण के दोनों पक्षों को गुणांक a \u003d 3 से विभाजित करके इसे ठीक कर देंगे। हमें मिलता है: x 2 + 11x + 10 \u003d 0।
हम वियत प्रमेय के अनुसार हल करते हैं: x 1 + x 2 = -11; x 1 x 2 = 10 मूल: −10 और −1;
−7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - फिर से x 2 पर गुणांक 1 के बराबर नहीं है, अर्थात। समीकरण नहीं दिया। हम प्रत्येक वस्तु को संख्या a = −7 से भाग देते हैं। हम पाते हैं: x 2 - 11x + 30 = 0।
वीटा प्रमेय द्वारा: x 1 + x 2 = -(−11) = 11; एक्स 1 एक्स 2 = 30; इन समीकरणों से जड़ों का अनुमान लगाना आसान है: 5 और 6।

उपरोक्त तर्क से, यह देखा जा सकता है कि विएटा का प्रमेय द्विघात समीकरणों के समाधान को कैसे सरल करता है। कोई जटिल गणना नहीं, कोई अंकगणितीय जड़ें और अंश नहीं। और यहां तक कि विवेचक (पाठ देखें " द्विघात समीकरणों को हल करना") हमें इसकी आवश्यकता नहीं थी।

बेशक, हमारे सभी प्रतिबिंबों में, हम दो महत्वपूर्ण मान्यताओं से आगे बढ़े, जो आम तौर पर वास्तविक समस्याओं में हमेशा पूरी नहीं होती हैं:

द्विघात समीकरण कम हो जाता है, अर्थात। x 2 पर गुणांक 1 है;
समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। बीजगणित की दृष्टि से, इस मामले में विवेचक D > 0 - वास्तव में, हम शुरू में यह मान लेते हैं कि यह असमानता सत्य है।

हालाँकि, विशिष्ट गणितीय समस्याओं में ये शर्तें पूरी होती हैं। यदि गणना का परिणाम एक "खराब" द्विघात समीकरण है (x 2 पर गुणांक 1 से भिन्न है), तो इसे ठीक करना आसान है - पाठ की शुरुआत में उदाहरणों पर एक नज़र डालें। मैं आमतौर पर जड़ों के बारे में चुप रहता हूं: यह किस तरह का काम है जिसमें कोई जवाब नहीं है? बेशक जड़ें होंगी।

इस प्रकार, वियत प्रमेय के अनुसार द्विघात समीकरणों को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

द्विघात समीकरण को दिए गए समीकरण में कम करें, यदि यह पहले से ही समस्या की स्थिति में नहीं किया गया है;
यदि उपरोक्त द्विघात समीकरण के गुणांक भिन्नात्मक निकले, तो हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं। तुम भी अधिक "सुविधाजनक" संख्याओं के साथ काम करने के लिए मूल समीकरण पर वापस जा सकते हैं;
पूर्णांक गुणांकों के मामले में, हम वियत प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को हल करते हैं;
यदि कुछ सेकंड के भीतर जड़ों का अनुमान लगाना संभव नहीं था, तो हम विएटा प्रमेय पर स्कोर करते हैं और विवेचक के माध्यम से हल करते हैं।

एक कार्य। समीकरण हल करें: 5x 2 - 35x + 50 = 0।

तो, हमारे पास एक समीकरण है जो कम नहीं है, क्योंकि गुणांक a \u003d 5. सब कुछ 5 से विभाजित करें, हमें मिलता है: x 2 - 7x + 10 \u003d 0।

द्विघात समीकरण के सभी गुणांक पूर्णांक हैं - आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास करें। हमारे पास है: x 1 + x 2 = -(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. इस मामले में, जड़ों का अनुमान लगाना आसान है - ये 2 और 5 हैं। आपको विवेचक के माध्यम से गिनने की आवश्यकता नहीं है।

एक कार्य। समीकरण हल करें: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0।

हम देखते हैं: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - यह समीकरण कम नहीं हुआ है, हम दोनों पक्षों को गुणांक a = −5 से विभाजित करते हैं। हमें मिलता है: x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - भिन्नात्मक गुणांक वाला एक समीकरण।

मूल समीकरण पर वापस लौटना और विभेदक के माध्यम से गिनना बेहतर है: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 D = 8 2 - 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; एक्स 2 \u003d 0.4।

एक कार्य। समीकरण को हल करें: 2x 2 + 10x - 600 = 0।

शुरू करने के लिए, हम सब कुछ गुणांक a \u003d 2 से विभाजित करते हैं। हमें समीकरण x 2 + 5x - 300 \u003d 0 मिलता है।

वीटा प्रमेय के अनुसार यह घटा हुआ समीकरण है: x 1 + x 2 = −5; एक्स 1 एक्स 2 \u003d -300। इस मामले में द्विघात समीकरण की जड़ों का अनुमान लगाना मुश्किल है - व्यक्तिगत रूप से, जब मैंने इस समस्या को हल किया तो मैं गंभीरता से "जम गया"।

हमें विभेदक के माध्यम से जड़ों की तलाश करनी होगी: D = 5 2 - 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 । यदि आपको विवेचक का मूल याद नहीं है, तो मैं केवल यह नोट करूंगा कि 1225: 25 = 49. इसलिए, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 ।

अब जबकि विवेचक का मूल ज्ञात हो गया है, समीकरण को हल करना कठिन नहीं है। हमें मिलता है: x 1 \u003d 15; एक्स 2 \u003d -20।

स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करते समय, प्राप्त जड़ों के गुणों पर विचार करें। उन्हें अब विएटा के प्रमेय के रूप में जाना जाता है। इस लेख में इसके उपयोग के उदाहरण दिए गए हैं।

द्विघात समीकरण

दूसरा क्रम समीकरण एक समानता है, जो नीचे दी गई तस्वीर में दिखाया गया है।

यहाँ प्रतीक a, b, c कुछ संख्याएँ हैं जिन्हें विचाराधीन समीकरण के गुणांक कहा जाता है। एक समानता को हल करने के लिए, आपको x मान खोजने होंगे जो इसे सही बनाते हैं।

ध्यान दें कि चूँकि x को जिस घात तक बढ़ाया गया है उसका अधिकतम मान दो है, तो सामान्य स्थिति में मूलों की संख्या भी दो होती है।

इस प्रकार की समानता को हल करने के कई तरीके हैं। इस लेख में, हम उनमें से एक पर विचार करेंगे, जिसमें तथाकथित विएटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

विएटा के प्रमेय का कथन

16 वीं शताब्दी के अंत में, प्रसिद्ध गणितज्ञ फ्रेंकोइस वियत (फ्रांसीसी) ने विभिन्न द्विघात समीकरणों की जड़ों के गुणों का विश्लेषण करते हुए देखा कि उनमें से कुछ संयोजन विशिष्ट संबंधों को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, ये संयोजन उनके उत्पाद और योग हैं।

विएटा का प्रमेय निम्नलिखित को स्थापित करता है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें, जब योग किया जाता है, तो रैखिक का अनुपात विपरीत चिह्न के साथ द्विघात गुणांक के साथ दिया जाता है, और जब उन्हें गुणा किया जाता है, तो वे मुक्त पद के अनुपात को द्विघात गुणांक तक ले जाते हैं। .

यदि समीकरण के सामान्य रूप को लेख के पिछले भाग में फोटो में दिखाया गया है, तो गणितीय रूप से इस प्रमेय को दो समानता के रूप में लिखा जा सकता है:

आर 2 + आर 1 \u003d -बी / ए;
आर 1 एक्स आर 2 \u003d सी / ए।

जहाँ r 1 , r 2 माना समीकरण के मूलों का मान है।

इन दो समानताओं का उपयोग कई अलग-अलग गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समाधान के साथ उदाहरणों में विएटा प्रमेय का उपयोग लेख के निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच, मूल सूत्रों के अलावा, अन्य उपयोगी संबंध भी हैं जो निम्न द्वारा दिए गए हैं विएटा का प्रमेय. इस लेख में, हम द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय का सूत्रीकरण और प्रमाण देंगे। इसके बाद, हम विएटा के प्रमेय के विलोम प्रमेय पर विचार करते हैं। उसके बाद, हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे। अंत में, हम वियत सूत्र लिखते हैं जो वास्तविक जड़ों के बीच संबंध को परिभाषित करते हैं बीजीय समीकरणडिग्री n और इसके गुणांक।

पृष्ठ नेविगेशन।

विएटा का प्रमेय, सूत्रीकरण, प्रमाण

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 की जड़ों के सूत्रों से, जहां D=b 2 −4 a c , संबंध x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = सीए । इन परिणामों की पुष्टि विएटा का प्रमेय:

प्रमेय।

यदि एक x 1 और x 2 द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 के मूल हैं, तो मूलों का योग गुणांक b और a के अनुपात के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, और का गुणनफल जड़ें गुणांक c और a के अनुपात के बराबर हैं, अर्थात, ।

सबूत।

हम निम्नलिखित योजना के अनुसार वियत प्रमेय को सिद्ध करेंगे: हम ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों के योग और उत्पाद की रचना करेंगे, फिर हम परिणामी अभिव्यक्तियों को बदल देंगे, और सुनिश्चित करेंगे कि वे −b के बराबर हैं /ए और सी/ए, क्रमशः।

आइए जड़ों के योग से शुरू करें, इसकी रचना करें। अब हम भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं, हमारे पास है। परिणामी भिन्न के अंश में, जिसके बाद : . अंत में, 2 के बाद, हमें मिलता है। यह द्विघात समीकरण के मूलों के योग के लिए Vieta के प्रमेय का पहला संबंध सिद्ध करता है। चलिए दूसरे पर चलते हैं।

हम द्विघात समीकरण की जड़ों के उत्पाद की रचना करते हैं:। भिन्नों के गुणन के नियम के अनुसार, अंतिम गुणनफल को इस प्रकार लिखा जा सकता है। अब हम अंश में ब्रैकेट को ब्रैकेट से गुणा करते हैं, लेकिन इस उत्पाद को किसके द्वारा संक्षिप्त करना तेज़ है वर्ग सूत्र का अंतर, इसलिए । फिर, याद करते हुए, हम अगला संक्रमण करते हैं। और चूंकि सूत्र D=b 2 −4 a·c द्विघात समीकरण के विवेचक से मेल खाता है, तो b 2 −4·a·c को D के बजाय अंतिम भिन्न में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, हम पाते हैं। कोष्ठकों को खोलने और समान पदों को कम करने के बाद, हम भिन्न पर पहुंचते हैं, और इसमें 4·a की कमी करने पर . यह जड़ों के गुणनफल के लिए वियत प्रमेय का दूसरा संबंध सिद्ध करता है।

यदि हम स्पष्टीकरणों को छोड़ देते हैं, तो विएटा प्रमेय का प्रमाण संक्षिप्त रूप लेगा:
,
.

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि जब विवेचक शून्य के बराबर होता है, तो द्विघात समीकरण का एक मूल होता है। हालांकि, अगर हम मानते हैं कि इस मामले में समीकरण की दो समान जड़ें हैं, तो विएटा प्रमेय से समानताएं भी होती हैं। वास्तव में, D=0 के लिए द्विघात समीकरण का मूल है , तब और , और चूंकि D=0 , यानी b 2 −4·a·c=0 , जहां से b 2 =4·a·c , तब ।

व्यवहार में, Vieta के प्रमेय का प्रयोग x 2 +p·x+q=0 रूप के कम द्विघात समीकरण (उच्चतम गुणांक 1 के बराबर) के संबंध में किया जाता है। कभी-कभी इसे केवल इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के लिए तैयार किया जाता है, जो व्यापकता को सीमित नहीं करता है, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण को इसके दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करके एक समान समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यहाँ विएटा के प्रमेय का संगत सूत्रीकरण है:

प्रमेय।

घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + p x + q \u003d 0 के मूलों का योग x पर गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद होता है, अर्थात x 1 + एक्स 2 \u003d -पी, एक्स 1 एक्स 2 \u003d क्यू।

वियत के प्रमेय के विपरीत प्रमेय

विएटा प्रमेय का दूसरा सूत्रीकरण, पिछले पैराग्राफ में दिया गया है, यह दर्शाता है कि यदि x 1 और x 2 कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं, तो संबंध x 1 +x 2 = - पी , एक्स 1 एक्स 2 = क्यू। दूसरी ओर, लिखित संबंधों से x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, यह इस प्रकार है कि x 1 और x 2 द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं। दूसरे शब्दों में, विएटा के प्रमेय के विपरीत अभिकथन सत्य है। हम इसे एक प्रमेय के रूप में बनाते हैं, और इसे सिद्ध करते हैं।

प्रमेय।

यदि संख्याएँ x 1 और x 2 ऐसी हैं कि x 1 +x 2 =−p और x 1 x 2 =q, तो x 1 और x 2 कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 के मूल हैं। .

सबूत।

गुणांक p और q को उनके व्यंजक के समीकरण x 2 +p x+q=0 में x 1 और x 2 से बदलने के बाद, यह एक तुल्य समीकरण में बदल जाता है।

हम परिणामी समीकरण में x के बजाय संख्या x 1 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास समानता है x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, जो किसी भी x 1 और x 2 के लिए सही संख्यात्मक समानता 0=0 है, क्योंकि x 1 2 -(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. इसलिए, x 1 समीकरण का मूल है x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, जिसका अर्थ है कि x 1 समतुल्य समीकरण x 2 +p x+q=0 का मूल है।

यदि समीकरण में x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x के बजाय संख्या x 2 को प्रतिस्थापित करें, तो हमें समानता मिलती है x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. यह सही समीकरण है क्योंकि x 2 2 -(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. इसलिए, x 2 भी समीकरण का मूल है x 2 -(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, और इसलिए समीकरण x 2 +p x+q=0 ।

यह प्रमेय के प्रमाण को विएटा के प्रमेय के विपरीत पूरा करता है।

Vieta के प्रमेय का उपयोग करने के उदाहरण

यह वियत के प्रमेय और इसके व्युत्क्रम प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में बात करने का समय है। इस उपधारा में, हम कई सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधानों का विश्लेषण करेंगे।

हम Vieta के प्रमेय के विलोम प्रमेय को लागू करके प्रारंभ करते हैं। इसका उपयोग यह जांचने के लिए सुविधाजनक है कि दी गई दो संख्याएं किसी दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं या नहीं। इस मामले में, उनके योग और अंतर की गणना की जाती है, जिसके बाद संबंधों की वैधता की जांच की जाती है। यदि ये दोनों संबंध संतुष्ट हैं, तो, प्रमेय के आधार पर वियत के प्रमेय के विपरीत, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि ये संख्याएं समीकरण की जड़ें हैं। यदि कम से कम एक संबंध संतुष्ट नहीं है, तो ये संख्याएं द्विघात समीकरण के मूल नहीं हैं। इस दृष्टिकोण का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करते समय पाया गया जड़ों की जांच के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण।

संख्याओं का कौन-सा युग्म 1) x 1 =−5, x 2 =3, या 2), या 3) द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के मूलों का युग्म है?

समाधान।

दिए गए द्विघात समीकरण 4 x 2 −16 x+9=0 के गुणांक हैं a=4 , b=−16 , c=9 । विएटा की प्रमेय के अनुसार, द्विघात समीकरण के मूलों का योग −b/a के बराबर होना चाहिए, अर्थात 16/4=4 और जड़ों का गुणनफल c/a, यानी 9 के बराबर होना चाहिए। /4.

आइए अब दिए गए तीन जोड़े में से प्रत्येक में संख्याओं के योग और गुणनफल की गणना करें, और उनकी तुलना अभी प्राप्त मूल्यों से करें।

पहले मामले में, हमारे पास x 1 +x 2 =−5+3=−2 है। परिणामी मान 4 से भिन्न है, इसलिए, आगे सत्यापन नहीं किया जा सकता है, लेकिन प्रमेय द्वारा, विएटा के प्रमेय के विपरीत, हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संख्याओं की पहली जोड़ी किसी दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों की जोड़ी नहीं है .

चलिए दूसरे मामले पर चलते हैं। यहाँ, अर्थात् पहली शर्त संतुष्ट है। हम दूसरी शर्त की जांच करते हैं: , परिणामी मान 9/4 से भिन्न होता है। इसलिए, संख्याओं का दूसरा युग्म द्विघात समीकरण के मूलों का युग्म नहीं है।

आखिरी मामला बाकी है। यहाँ और । दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए ये संख्याएँ x 1 और x 2 दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं।

उत्तर:

प्रमेय, Vieta के प्रमेय के विपरीत, एक द्विघात समीकरण की जड़ों का चयन करने के लिए अभ्यास में इस्तेमाल किया जा सकता है। आमतौर पर, पूर्णांक गुणांक वाले दिए गए द्विघात समीकरणों की पूर्णांक जड़ों का चयन किया जाता है, क्योंकि अन्य मामलों में ऐसा करना काफी कठिन होता है। उसी समय, वे इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि यदि दो संख्याओं का योग ऋण चिह्न के साथ लिए गए द्विघात समीकरण के दूसरे गुणांक के बराबर है, और इन संख्याओं का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, तो ये संख्याएँ हैं इस द्विघात समीकरण की जड़ें। आइए एक उदाहरण के साथ इससे निपटें।

आइए द्विघात समीकरण x 2 −5 x+6=0 लेते हैं। इस समीकरण की जड़ें x 1 और x 2 के लिए, दो समानताएँ x 1 +x 2 \u003d 5 और x 1 x 2 \u003d 6 संतुष्ट होनी चाहिए। ऐसी संख्याओं को चुनना बाकी है। इस मामले में, यह करना काफी आसान है: 2+3=5 और 2 3=6 के बाद से ऐसी संख्याएं 2 और 3 हैं। इस प्रकार, 2 और 3 इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।

प्रमेय, विएटा के प्रमेय के विपरीत, कम द्विघात समीकरण की दूसरी जड़ को खोजने के लिए लागू करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है, जब जड़ों में से एक पहले से ही ज्ञात या स्पष्ट है। इस मामले में, दूसरी जड़ किसी भी रिश्ते से मिलती है।

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 512 x 2 −509 x−3=0 लेते हैं। यहाँ यह देखना आसान है कि इकाई समीकरण का मूल है, क्योंकि इस द्विघात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है। तो एक्स 1 = 1। दूसरा मूल x 2 पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संबंध x 1 x 2 =c/a से। हमारे पास 1 x 2 =−3/512 है, जहां से x 2 =−3/512 है। इसलिए हमने द्विघात समीकरण के दोनों मूलों को परिभाषित किया है: 1 और −3/512।

यह स्पष्ट है कि जड़ों का चयन केवल सरलतम मामलों में ही समीचीन है। अन्य मामलों में, जड़ों को खोजने के लिए, आप विभेदक के माध्यम से द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्रों को लागू कर सकते हैं।

प्रमेय का एक और व्यावहारिक अनुप्रयोग, विएटा के प्रमेय के विपरीत, दिए गए मूल x 1 और x 2 के लिए द्विघात समीकरणों का संकलन है। ऐसा करने के लिए, यह जड़ों के योग की गणना करने के लिए पर्याप्त है, जो दिए गए द्विघात समीकरण के विपरीत चिह्न के साथ x का गुणांक देता है, और जड़ों का उत्पाद, जो मुक्त शब्द देता है।

उदाहरण।

एक द्विघात समीकरण लिखिए जिसके मूल संख्या −11 और 23 हैं।

समाधान।

x 1 =−11 और x 2 =23 को निरूपित करें। हम इन संख्याओं के योग और गुणनफल की गणना करते हैं: x 1 + x 2 \u003d 12 और x 1 x 2 \u003d −253। इसलिए, ये संख्याएं दूसरे गुणांक -12 और मुक्त पद -253 के साथ दिए गए द्विघात समीकरण के मूल हैं। अर्थात्, x 2 −12·x−253=0 वांछित समीकरण है।

उत्तर:

x 2 -12 x−253=0 ।

विएटा के प्रमेय का उपयोग अक्सर द्विघात समीकरणों की जड़ों के संकेतों से संबंधित कार्यों को हल करने में किया जाता है। वीटा की प्रमेय कम द्विघात समीकरण x 2 +p x+q=0 की जड़ों के संकेतों से कैसे संबंधित है? यहां दो प्रासंगिक कथन दिए गए हैं:

यदि अंतःखंड q एक धनात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, तो या तो वे दोनों धनात्मक हैं या दोनों ऋणात्मक हैं।
यदि मुक्त पद q एक ऋणात्मक संख्या है और यदि द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल हैं, तो उनके चिह्न भिन्न हैं, दूसरे शब्दों में, एक मूल धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक है।

ये कथन सूत्र x 1 x 2 =q के साथ-साथ सकारात्मक, ऋणात्मक संख्याओं और संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। उनके आवेदन के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

आर सकारात्मक है। विभेदक सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , व्यंजक r 2 का मान +8 किसी भी वास्तविक r के लिए धनात्मक है, इस प्रकार किसी भी वास्तविक r के लिए D>0। इसलिए, मूल द्विघात समीकरण में पैरामीटर r के किसी भी वास्तविक मान के लिए दो जड़ें हैं।

अब आइए जानें कि जड़ों के अलग-अलग चिन्ह कब होते हैं। यदि मूलों के चिह्न भिन्न हैं, तो उनका गुणनफल ऋणात्मक होता है, और वियत प्रमेय द्वारा दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। इसलिए, हम r के उन मानों में रुचि रखते हैं जिनके लिए मुक्त पद r−1 ऋणात्मक है। इस प्रकार, r के मूल्यों को खोजने के लिए जो हमारे लिए रुचिकर हैं, हमें करने की आवश्यकता है एक रैखिक असमानता को हल करेंआर-1<0 , откуда находим r<1 .

उत्तर:

r . पर<1 .

वियत सूत्र

ऊपर, हमने द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय के बारे में बात की और उन संबंधों का विश्लेषण किया जो यह दावा करता है। लेकिन ऐसे सूत्र हैं जो न केवल द्विघात समीकरणों के वास्तविक मूलों और गुणांकों को जोड़ते हैं, बल्कि घन समीकरणों, चौगुनी समीकरणों और सामान्य रूप से भी, बीजीय समीकरणडिग्री एन. वे कहते हैं वियत सूत्र.

हम फॉर्म की डिग्री n के बीजीय समीकरण के लिए Vieta सूत्र लिखते हैं, जबकि हम मानते हैं कि इसकी n वास्तविक जड़ें x 1, x 2, ..., x n हैं (उनमें से एक ही हो सकती है):

Vieta सूत्र प्राप्त करें बहुपद गुणन प्रमेय, साथ ही उनके सभी संगत गुणांकों की समानता के माध्यम से समान बहुपदों की परिभाषा। अत: बहुपद और इसका रैखिक गुणनखंडों में प्रसार बराबर होता है। अंतिम उत्पाद में कोष्ठक खोलना और संबंधित गुणांकों की बराबरी करना, हम Vieta सूत्र प्राप्त करते हैं।

विशेष रूप से, n=2 के लिए हम द्विघात समीकरण के लिए पहले से ही परिचित Vieta सूत्र हैं।

घन समीकरण के लिए, Vieta सूत्रों का रूप है

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि विएटा सूत्रों के बाईं ओर तथाकथित प्राथमिक हैं सममित बहुपद.

ग्रंथ सूची।

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मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। 8 वीं कक्षा। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच। - 11 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनमोज़िना, 2009. - 215 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01155-2।
बीजगणितऔर गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफाइल। स्तर / [यू। एम। कोल्यागिन, एम। वी। तकाचेवा, एन। ई। फेडोरोवा, एम। आई। शबुनिन]; ईडी। ए बी झिझचेंको। - तीसरा संस्करण। - एम .: ज्ञानोदय, 2010.- 368 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-022771-1।

द्विघात समीकरणों के लिए विएटा के प्रमेय का निरूपण और प्रमाण। उलटा वीटा प्रमेय। क्यूबिक समीकरणों और मनमानी क्रम के समीकरणों के लिए वीटा का प्रमेय।

विषय

यह सभी देखें: द्विघात समीकरण की जड़ें

द्विघातीय समीकरण

विएटा का प्रमेय

आज्ञा देना और घटाए गए द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करना
(1) .
तब मूलों का योग गुणांक के बराबर होता है, जो विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है। जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
;
.

एकाधिक जड़ों के बारे में एक नोट

यदि समीकरण (1) का विवेचक शून्य है, तो इस समीकरण का एक मूल है। लेकिन, बोझिल फॉर्मूलेशन से बचने के लिए, आम तौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि इस मामले में, समीकरण (1) में दो बहु, या बराबर जड़ें हैं:
.

सबूत एक

आइए समीकरण (1) के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र लागू करें:
;
;
.

जड़ों का योग ज्ञात करना:
.

उत्पाद खोजने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं:
.
फिर

.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमाण दो

यदि संख्याएँ और द्विघात समीकरण (1) के मूल हैं, तो
.
हम कोष्ठक खोलते हैं।

.
इस प्रकार, समीकरण (1) रूप लेगा:
.
(1) की तुलना में हम पाते हैं:
;
.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उलटा वीटा प्रमेय

मनमानी संख्या होने दें। तब और द्विघात समीकरण के मूल हैं
,
कहाँ पे
(2) ;
(3) .

विएटा के विलोम प्रमेय का प्रमाण

द्विघात समीकरण पर विचार करें
(1) .
हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि यदि और , तो और समीकरण (1) के मूल हैं।

स्थानापन्न (2) और (3) में (1):
.
हम समीकरण के बाईं ओर की शर्तों को समूहित करते हैं:
;
;
(4) .

में स्थानापन्न (4) :
;
.

में स्थानापन्न (4) :
;
.
समीकरण पूरा हो गया है। अर्थात् संख्या समीकरण (1) का मूल है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

अब पूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें
(5) ,
जहाँ , और कुछ संख्याएँ हैं। और ।

हम समीकरण (5) को इससे विभाजित करते हैं:
.
अर्थात्, हमने उपरोक्त समीकरण प्राप्त किया है
,
कहाँ पे ; .

फिर पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए वियत प्रमेय का निम्न रूप है।

मान लीजिए और पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करें
.
फिर जड़ों का योग और उत्पाद सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
.

घन समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

इसी तरह, हम एक घन समीकरण की जड़ों के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। घन समीकरण पर विचार करें
(6) ,
जहाँ , , , कुछ संख्याएँ हैं। और ।
आइए इस समीकरण को इसके द्वारा विभाजित करें:
(7) ,
कहाँ पे , , ।
मान लीजिए, समीकरण (7) (और समीकरण (6)) के मूल हैं। फिर

.

समीकरण (7) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
;
.

nth डिग्री समीकरण के लिए Vieta की प्रमेय

इसी तरह, आप nth डिग्री के समीकरण के लिए, जड़ों , , ... , , के बीच संबंध पा सकते हैं
.

nth डिग्री समीकरण के लिए Vieta के प्रमेय का निम्न रूप है:
;
;
;

.

इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में समीकरण लिखते हैं:
.
फिर हम गुणांकों को , , , ... पर समान करते हैं और मुक्त पद की तुलना करते हैं।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।
सेमी। निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव एट अल।, बीजगणित: शैक्षणिक संस्थानों की 8 वीं कक्षा के लिए एक पाठ्यपुस्तक, मॉस्को, शिक्षा, 2006।

यह सभी देखें:

द्विघात समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक अनुप्रयोग है VIETA सूत्र, जिसका नाम फ्रेंकोइस वियत के नाम पर रखा गया था।

वह एक प्रसिद्ध वकील थे, और 16 वीं शताब्दी में फ्रांसीसी राजा के साथ सेवा की। अपने खाली समय में उन्होंने खगोल विज्ञान और गणित का अध्ययन किया। उन्होंने द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित किया।

सूत्र के लाभ:

1 . सूत्र को लागू करके, आप जल्दी से समाधान पा सकते हैं। क्योंकि आपको वर्ग में दूसरा गुणांक दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है, फिर उसमें से 4ac घटाएं, विवेचक खोजें, इसके मान को मूल खोजने के लिए सूत्र में बदलें।

2 . समाधान के बिना, आप जड़ों के संकेतों को निर्धारित कर सकते हैं, जड़ों के मूल्यों को उठा सकते हैं।

3 . दो अभिलेखों की प्रणाली को हल करने के बाद, जड़ों को स्वयं खोजना मुश्किल नहीं है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में, मूलों का योग ऋण चिह्न वाले दूसरे गुणांक के मान के बराबर होता है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल तीसरे गुणांक के मान के बराबर होता है।

4 . दिए गए मूलों के अनुसार द्विघात समीकरण लिखिए, अर्थात् प्रतिलोम समस्या को हल कीजिए। उदाहरण के लिए, इस पद्धति का उपयोग सैद्धांतिक यांत्रिकी में समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

5 . जब अग्रणी गुणांक एक के बराबर हो तो सूत्र को लागू करना सुविधाजनक होता है।

कमियां:

1 . सूत्र सार्वभौमिक नहीं है।