समतल पर एक रेखा के समीकरण की परिभाषा दीजिए। बढ़िया काम04/02/12. आइए समीक्षा करें * किस समीकरण को द्विघात कहा जाता है? * किन समीकरणों को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है? * कौन सा। देखें अन्य शब्दकोशों में "समीकरण" क्या है

समीकरण हल करना

किसी समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए ग्राफ़िकल विधि का चित्रण

किसी समीकरण को हल करना तर्कों के ऐसे मान ज्ञात करने का कार्य है जिन पर यह समानता प्राप्त होती है। तर्कों के संभावित मूल्यों पर अतिरिक्त शर्तें (पूर्णांक, वास्तविक, आदि) लगाई जा सकती हैं।

किसी अन्य रूट को प्रतिस्थापित करने से गलत कथन उत्पन्न होता है:

.

इस प्रकार, दूसरी जड़ को अप्रासंगिक मानकर त्याग दिया जाना चाहिए।

समीकरणों के प्रकार

बीजगणितीय, पैरामीट्रिक, ट्रान्सेंडैंटल, कार्यात्मक, अंतर और अन्य प्रकार के समीकरण हैं।

समीकरणों के कुछ वर्गों में विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं, जो सुविधाजनक होते हैं क्योंकि वे न केवल मूल का सटीक मान देते हैं, बल्कि आपको समाधान को सूत्र के रूप में लिखने की भी अनुमति देते हैं, जिसमें पैरामीटर शामिल हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँन केवल जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है, बल्कि पैरामीटर मानों के आधार पर उनके अस्तित्व और उनकी मात्रा का विश्लेषण करने की भी अनुमति देता है, जो अक्सर और भी महत्वपूर्ण होता है व्यावहारिक अनुप्रयोग, जड़ों के विशिष्ट मूल्यों की तुलना में।

जिन समीकरणों के विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं उनमें चौथी डिग्री से अधिक के बीजगणितीय समीकरण शामिल हैं: रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चौथी डिग्री समीकरण। बीजगणितीय समीकरणसामान्य स्थिति में, उच्च डिग्री के समीकरणों में विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होते हैं, हालांकि उनमें से कुछ को कम डिग्री के समीकरणों में घटाया जा सकता है।

एक समीकरण जिसमें ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन शामिल होते हैं उसे ट्रान्सेंडैंटल कहा जाता है। उनमें से कुछ के लिए विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं त्रिकोणमितीय समीकरण, चूँकि त्रिकोणमितीय फलनों के शून्य सर्वविदित हैं।

सामान्य स्थिति में, जब कोई विश्लेषणात्मक समाधान नहीं पाया जा सकता है, तो संख्यात्मक तरीकों का उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक विधियाँ एक सटीक समाधान प्रदान नहीं करती हैं, बल्कि केवल उस अंतराल को कम करने की अनुमति देती हैं जिसमें मूल एक निश्चित पूर्व निर्धारित मान पर स्थित होता है।

समीकरणों के उदाहरण

यह सभी देखें

साहित्य

• बेकारेविच, ए. बी. स्कूल गणित पाठ्यक्रम में समीकरण / ए. बी. बेकारेविच। - एम., 1968.
• मार्कुशेविच, एल. ए. बीजगणित पाठ्यक्रम की अंतिम पुनरावृत्ति में समीकरण और असमानताएँ हाई स्कूल/ एल. ए. मार्कुशेविच, आर. एस. चर्कासोव। / स्कूल में गणित। - 2004. - नंबर 1.
• कपलान वाई. वी. रिवन्यान्या। - कीव: रेडियांस्का स्कूल, 1968।
• समीकरण- ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया से लेख
• समीकरण// कोलियर का विश्वकोश। - खुला समाज. 2000.
• समीकरण// दुनिया भर का विश्वकोश
• समीकरण // गणितीय विश्वकोश. - एम।: सोवियत विश्वकोश. आई. एम. विनोग्रादोव। 1977-1985.

लिंक

• EqWorld - गणितीय समीकरणों की दुनिया - में गणितीय समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों के बारे में व्यापक जानकारी शामिल है।

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

समानार्थी शब्द:

विलोम शब्द:

• खडज़िम्बा, राउल दज़ुमकोविच
• ईएस कंप्यूटर

देखें अन्य शब्दकोशों में "समीकरण" क्या है:

समीकरण - (1) गणितीय संकेतनतर्कों के ऐसे मान खोजने की समस्या (देखें (2)) जिसके लिए दो डेटा (देखें) के मान बराबर हैं। जिन तर्कों पर ये फ़ंक्शन निर्भर करते हैं उन्हें अज्ञात कहा जाता है, और अज्ञात के मान जिन पर मान ... ... बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

समीकरण- समीकरण, समीकरण, सीएफ। 1. चौ. के तहत कार्रवाई सीएच के अनुसार बराबर और स्थिति को बराबर करें। बराबर करना बराबर करना. समान अधिकार। समय का समीकरण (सच्चे सौर समय का औसत सौर समय में अनुवाद, समाज और विज्ञान में स्वीकृत;... ... शब्दकोषउषाकोवा

समीकरण- (समीकरण) वह आवश्यकता गणितीय अभिव्यक्तिएक निश्चित अर्थ ग्रहण कर लिया। उदाहरण के लिए, एक द्विघात समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है: ax2+bx+c=0. समाधान x का वह मान है जिस पर दिया गया समीकरण एक पहचान बन जाता है। में… … आर्थिक शब्दकोश

समीकरण- तर्कों के मूल्यों को खोजने की समस्या का गणितीय प्रतिनिधित्व जिसके लिए दो दिए गए कार्यों के मान बराबर हैं। जिन तर्कों पर ये फ़ंक्शन निर्भर करते हैं उन्हें अज्ञात कहा जाता है, और अज्ञात के मान जिन पर फ़ंक्शन मान बराबर होते हैं... ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

समीकरण- समीकरण, एक समान चिह्न से जुड़े दो भाव; इन अभिव्यक्तियों में एक या अधिक चर शामिल होते हैं जिन्हें अज्ञात कहा जाता है। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है अज्ञात के सभी मान ज्ञात करना जिस पर यह एक पहचान बन जाता है, या स्थापित करना... आधुनिक विश्वकोश

1. किस कथन को परिणाम कहा जाता है? सिद्ध कीजिए कि दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटने वाली रेखा दूसरी को भी काटती है

यदि दो रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं।3. इस प्रमेय का व्युत्क्रम किस प्रमेय को कहा जाता है? इन आंकड़ों के व्युत्क्रम प्रमेयों के उदाहरण दीजिए। 4. सिद्ध कीजिए कि जब दो समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो कोण बराबर होते हैं। सिद्ध कीजिए कि यदि कोई रेखा दो में से किसी एक पर लंबवत है समानांतर रेखाएँ, तो यह दूसरी रेखा पर भी लंबवत होती हैं। 6. सिद्ध करें कि जब दो समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती हैं: a) संगत कोण बराबर होते हैं; बी) एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।

कृपया ज्यामिति (ग्रेड 9) पर प्रश्नों में मेरी सहायता करें! 2) एक सदिश को दो भागों में विघटित करने का क्या अर्थ है?

इन वैक्टरों के लिए. 9) किसी बिंदु का त्रिज्या वेक्टर क्या है? सिद्ध करें कि बिंदु के निर्देशांक वेक्टर के संगत निर्देशांक के बराबर हैं। 10) किसी वेक्टर के आरंभ और अंत के निर्देशांक से उसके निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें। 11) किसी वेक्टर के सिरों के निर्देशांक से उसके निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें। 12) किसी सदिश के निर्देशांकों से उसकी लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें। 13) दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना उनके निर्देशांक के आधार पर करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें। 15) इस रेखा का समीकरण क्या कहलाता है? एक उदाहरण दीजिए। 16) किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र वाले किसी दिए गए त्रिज्या के वृत्त का समीकरण व्युत्पन्न करें।

1) संरेख सदिशों के बारे में प्रमेयिका बताएं और सिद्ध करें।

3) एक सदिश के दो असंरेख सदिशों में विघटित होने के बारे में एक प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें।
4) बताएं कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली कैसे पेश की जाती है।
5) निर्देशांक सदिश क्या हैं?
6) एक मनमाने सदिश के समन्वय सदिशों में अपघटन के बारे में एक कथन तैयार करें और सिद्ध करें।
7) सदिश निर्देशांक क्या हैं?
8) सदिशों के योग और अंतर के निर्देशांक, साथ ही दिए गए सदिश निर्देशांकों पर एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल ज्ञात करने के नियम बनाएं और सिद्ध करें।
10) किसी वेक्टर के आरंभ और अंत के निर्देशांक से उसके निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें।
11) किसी वेक्टर के सिरों के निर्देशांक से उसके निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें।
12) किसी सदिश के निर्देशांकों से उसकी लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।
13) दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना उनके निर्देशांक के आधार पर करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।
14) समाधान का एक उदाहरण दीजिए ज्यामितीय समस्यासमन्वय विधि का उपयोग करना।
16) किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र वाले किसी दिए गए त्रिज्या के वृत्त का समीकरण व्युत्पन्न करें।
17) मूल बिंदु पर केंद्र लेकर दिए गए त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण लिखें।
18) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इस रेखा का समीकरण व्युत्पन्न करें।
19) किसी दिए गए बिंदु M0 (X0: Y0) से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाओं का समीकरण लिखें।
20) निर्देशांक अक्षों का समीकरण लिखिए।
21) ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय एक वृत्त और एक रेखा के समीकरणों का उपयोग करने के उदाहरण दें।

कृपया, मुझे वास्तव में इसकी आवश्यकता है! अधिमानतः चित्रों के साथ (जहाँ आवश्यक हो)!

ज्यामिति 9वीं कक्षा।

1) संरेख सदिशों के बारे में प्रमेयिका बताएं और सिद्ध करें।
2) एक वेक्टर को दो दिए गए वेक्टर में विघटित करने का क्या मतलब है।
3) एक सदिश के दो असंरेख सदिशों में विघटित होने के बारे में एक प्रमेय तैयार करें और सिद्ध करें।
4) बताएं कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली कैसे पेश की जाती है।
5) निर्देशांक सदिश क्या हैं?
6) एक मनमाने सदिश के समन्वय सदिशों में विघटित होने के बारे में एक कथन तैयार करें और सिद्ध करें।
7) सदिश निर्देशांक क्या हैं?
8) सदिशों के योग और अंतर के निर्देशांक, साथ ही दिए गए सदिश निर्देशांकों पर एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल ज्ञात करने के नियम बनाएं और सिद्ध करें।
9) किसी बिंदु का त्रिज्या सदिश क्या है? सिद्ध कीजिए कि किसी बिंदु के निर्देशांक सदिशों के संगत निर्देशांक के बराबर होते हैं।
14) निर्देशांक विधि का उपयोग करके एक ज्यामितीय समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।
15)इस रेखा का समीकरण क्या कहलाता है? एक उदाहरण दें।
17) मूल बिंदु पर केंद्र लेकर दिए गए त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण लिखें।
18) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इस रेखा का समीकरण व्युत्पन्न करें।
19) किसी दिए गए बिंदु M0 (X0: Y0) से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाओं का समीकरण लिखें।
20) निर्देशांक अक्षों का समीकरण लिखिए।
21) ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय एक वृत्त और एक रेखा के समीकरणों का उपयोग करने के उदाहरण दें।

समतल और अंतरिक्ष में सीधी रेखा।

गुणों का अध्ययन ज्यामितीय आकारबीजगणित का प्रयोग करना कहलाता है विश्लेषणात्मक ज्यामिति , और हम तथाकथित का उपयोग करेंगे समन्वय विधि .

किसी समतल पर एक रेखा को आमतौर पर उन बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके गुण अद्वितीय होते हैं। तथ्य यह है कि इस रेखा पर स्थित किसी बिंदु के x और y निर्देशांक (संख्याएँ) किसी समीकरण के रूप में विश्लेषणात्मक रूप से लिखे जाते हैं।

Def.1 एक रेखा का समीकरण (वक्र का समीकरण) ऑक्सी तल पर एक समीकरण (*) कहा जाता है, जो किसी दी गई रेखा पर प्रत्येक बिंदु के x और y निर्देशांक से संतुष्ट होता है और इस रेखा पर नहीं पड़ने वाले किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

परिभाषा 1 से यह पता चलता है कि समतल पर प्रत्येक रेखा वर्तमान निर्देशांकों के बीच कुछ समीकरण से मेल खाती है ( एक्स, वाई ) इस रेखा के बिंदु और इसके विपरीत, प्रत्येक समीकरण, आम तौर पर बोलते हुए, एक निश्चित रेखा से मेल खाता है।

यह समतल पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति की दो मुख्य समस्याओं को जन्म देता है।

1. एक रेखा बिन्दुओं के समूह के रूप में दी गई है। हमें इस रेखा के लिए एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है।

2. रेखा का समीकरण दिया गया है। इसके ज्यामितीय गुणों (आकार और स्थान) का अध्ययन करना आवश्यक है।

उदाहरण. क्या बातें झूठ बोलती हैं ए(-2;1) और में (1;1) पंक्ति 2 पर एक्स +पर +3=0?

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने की समस्या, समीकरणों द्वारा दिया गयाऔर, उन निर्देशांकों को खोजने के लिए नीचे आता है जो दोनों रेखाओं के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, यानी। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए।

यदि इस प्रणाली का कोई वास्तविक समाधान नहीं है, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करतीं।

यूसीएस में एक लाइन की अवधारणा को इसी तरह से पेश किया गया है।

एक समतल पर एक रेखा को दो समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

कहाँ एक्स और पर - मनमाना बिंदु निर्देशांक एम(एक्स;वाई), इस लाइन पर झूठ बोलना, और टी - एक वैरिएबल कहा जाता है पैरामीटर , पैरामीटर विमान पर बिंदु की स्थिति निर्धारित करता है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो पैरामीटर t=2 का मान समतल पर बिंदु (3;4) से मेल खाता है।

यदि पैरामीटर बदलता है, तो विमान पर बिंदु इस रेखा का वर्णन करते हुए चलता है। किसी रेखा को परिभाषित करने की इस विधि को कहा जाता है पैरामीट्रिक, और समीकरण (5.1) रेखा का एक पैरामीट्रिक समीकरण है।

पैरामीट्रिक समीकरणों से सामान्य समीकरण (*) में जाने के लिए, किसी तरह दो समीकरणों से पैरामीटर को खत्म करना होगा। हालाँकि, हम ध्यान दें कि ऐसा परिवर्तन हमेशा उचित नहीं होता है और हमेशा संभव नहीं होता है।

समतल पर एक रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है सदिश समीकरण , जहां t एक अदिश चर पैरामीटर है। प्रत्येक पैरामीटर मान एक विशिष्ट समतल वेक्टर से मेल खाता है। पैरामीटर बदलते समय, वेक्टर का अंत एक निश्चित रेखा का वर्णन करेगा।

सदिश समीकरण डीएससी में दो अदिश समीकरण मेल खाते हैं

(5.1), यानी एक रेखा के सदिश समीकरण के निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण के समीकरण इसके होते हैं

पैरामीट्रिक समीकरण.

सदिश समीकरणऔर रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों का एक यांत्रिक अर्थ होता है। यदि कोई बिंदु किसी समतल पर गति करता है, तो संकेतित समीकरण कहलाते हैं गति के समीकरण , और रेखा बिंदु का प्रक्षेप पथ है, पैरामीटर t समय है।

निष्कर्ष: समतल पर प्रत्येक रेखा प्रपत्र के एक समीकरण से मेल खाती है.

सामान्य स्थिति में, किसी दृश्य का कोई भी समीकरण एक निश्चित रेखा से मेल खाता है, जिसके गुण दिए गए समीकरण द्वारा निर्धारित होते हैं (इस अपवाद के साथ कि कोई भी ज्यामितीय छवि किसी समतल पर समीकरण से मेल नहीं खाती है)।

मान लीजिए कि समतल पर एक समन्वय प्रणाली चुनी गई है।

हार। 5.1. रेखा समीकरण इस प्रकार के समीकरण को कहा जाता हैएफ(एक्स;वाई) =0, जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और इस पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

रूप का समीकरणएफ(एक्स;वाई) )=0 - एक रेखा का सामान्य समीकरण या अंतर्निहित रूप में एक समीकरण कहा जाता है।

इस प्रकार, रेखा Г इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का स्थान है Г=((x, y): F(x;y)=0).

रेखा भी कहा जाता है टेढ़ा.

लक्ष्य:एक समतल पर एक रेखा की अवधारणा पर विचार करें, उदाहरण दें। एक रेखा की परिभाषा के आधार पर, एक समतल पर एक रेखा के समीकरण की अवधारणा का परिचय दें। सीधी रेखाओं के प्रकारों पर विचार करें, सीधी रेखा को परिभाषित करने के उदाहरण और तरीके बताएं। एक सीधी रेखा के समीकरण का अनुवाद करने की क्षमता को मजबूत करें सामान्य रूप से देखेंएक कोणीय गुणांक के साथ "खंडों में" एक सीधी रेखा के समीकरण में।

1. समतल पर एक रेखा का समीकरण.
2. समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. समीकरणों के प्रकार.
3. सीधी रेखा निर्दिष्ट करने की विधियाँ.

1. मान लीजिए x और y दो मनमाने चर हैं।

परिभाषा: F(x,y)=0 के रूप का एक संबंध कहा जाता है समीकरण , यदि यह संख्या x और y के किसी भी जोड़े के लिए सत्य नहीं है।

उदाहरण: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

यदि समानता F(x,y)=0 किसी भी x, y के लिए है, तो, इसलिए, F(x,y) = 0 एक पहचान है।

उदाहरण: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

वे कहते हैं कि संख्याएँ x 0 हैं और y 0 हैं समीकरण को संतुष्ट करें , यदि उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर यह वास्तविक समानता में बदल जाता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा एक रेखा के समीकरण की अवधारणा है।

परिभाषा: किसी दी गई रेखा का समीकरण समीकरण F(x,y)=0 है, जो इस रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और इस रेखा पर न पड़ने वाले किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

समीकरण y = f(x) द्वारा परिभाषित रेखा को f(x) का ग्राफ कहा जाता है। चर x और y को वर्तमान निर्देशांक कहा जाता है, क्योंकि वे एक चर बिंदु के निर्देशांक हैं।

कुछ उदाहरणपंक्ति परिभाषाएँ.

1) एक्स - वाई = 0 => एक्स = वाई। यह समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => बिंदुओं को या तो समीकरण x - y = 0, या समीकरण x + y = 0 को संतुष्ट करना होगा, जो कि समतल पर संगत है प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं का एक युग्म जो निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक हैं:

3) x 2 + y 2 = 0. यह समीकरण केवल एक बिंदु O(0,0) से संतुष्ट होता है।

2. परिभाषा: समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक्स + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक ए और बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, यानी। A 2 + B 2 ¹ 0. यह प्रथम कोटि का समीकरण कहलाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

ए = 0, बी ¹ 0, सी ¹ 0 (बाय + सी = 0) - ऑक्स अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = 0, ए ¹ 0, सी ¹ 0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = सी = 0, ए ¹ 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए = सी = 0, बी ¹ 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती होती है

किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा Ax + By + C = 0 का सामान्य समीकरण निम्न रूप में घटाया जाए:

और निरूपित करें, तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण.

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

मैं फ़िन सामान्य समीकरणसीधी रेखा Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, फिर, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: या, जहां

ज्यामितीय अर्थगुणांक वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को एक संख्या से विभाजित किया जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosj + ysinj - p = 0 - एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि m×С< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा तक डाले गए लंबवत की लंबाई है, और j इस लंबवत द्वारा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।

3. एक बिंदु और ढलान का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण।

माना कि रेखा का कोणीय गुणांक k के बराबर है, रेखा बिंदु M(x 0, y 0) से होकर गुजरती है। फिर सीधी रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा पाया जाता है: y - y 0 = k(x - x 0)

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण.

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:

यदि कोई भी हर शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

समतल पर, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल किया गया है:

यदि x 1 ¹ x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।

भिन्न = k कहा जाता है ढलानसीधा।

मान लीजिए कि  तल पर एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी और कुछ रेखा L दी गई है।

परिभाषा. समीकरण F(x;y)=0 (1)बुलाया रेखा का समीकरणएल(किसी दिए गए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष), यदि यह समीकरण रेखा L पर स्थित किसी बिंदु के x और y निर्देशांक से संतुष्ट होता है, न कि रेखा L पर स्थित किसी भी बिंदु के x और y निर्देशांक से।

वह। एक विमान पर लाइनबिंदुओं (M(x;y)) का स्थान है जिसके निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं।

समीकरण (1) एल रेखा को परिभाषित करता है।

उदाहरण। एक वृत्त का समीकरण.

घेरा- किसी दिए गए बिंदु M 0 (x 0,y 0) से समान दूरी पर बिंदुओं का एक सेट।

बिंदु M 0 (x 0,y 0) – वृत्त का केंद्र.

वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु M(x;y) के लिए, दूरी MM 0 =R (R=const)

मिमी 0 ==आर

(x-x 0 ) 2 +(ओह 0 ) 2 =आर 2 –(2) – बिंदु M 0 (x 0,y 0) पर केंद्र के साथ त्रिज्या R के एक वृत्त का समीकरण।

एक रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण.

मान लीजिए कि रेखा L पर बिंदुओं के x और y निर्देशांक को पैरामीटर t का उपयोग करके व्यक्त किया गया है:

(3) - डीएससी में रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण

जहां फ़ंक्शन (t) और (t) पैरामीटर t (इस पैरामीटर की भिन्नता की एक निश्चित सीमा में) के संबंध में निरंतर हैं।

समीकरण (3) से पैरामीटर टी को छोड़कर, हमें समीकरण (1) प्राप्त होता है।

आइए हम रेखा L को एक निश्चित नियम के अनुसार लगातार चलते हुए एक भौतिक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ के रूप में मानें। मान लीजिए कि चर t किसी आरंभिक क्षण से गिने गए समय को दर्शाता है। फिर गति के नियम का विनिर्देश गतिमान बिंदु के निर्देशांक x और y के विनिर्देशन को समय t के कुछ निरंतर कार्यों x=(t) और y=(t) के रूप में दर्शाता है।

उदाहरण. आइए मूल बिंदु पर केंद्र के साथ त्रिज्या r>0 के एक वृत्त के लिए एक पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करें। मान लीजिए कि M(x,y) इस वृत्त का एक मनमाना बिंदु है, और t त्रिज्या वेक्टर और ऑक्स अक्ष के बीच का कोण है, जिसे वामावर्त गिना जाता है।

फिर x=r क्योंकि x y=r पाप टी। (4)

समीकरण (4) विचाराधीन वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। पैरामीटर t कोई भी मान ले सकता है, लेकिन बिंदु M(x,y) को एक बार वृत्त के चारों ओर जाने के लिए, पैरामीटर परिवर्तन की सीमा आधे-खंड 0t2 तक सीमित है।

समीकरण (4) का वर्ग करने और जोड़ने पर, हमें वृत्त (2) का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है।

2. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (पीएससी)।

आइए हम L अक्ष चुनें ( ध्रुवीय अक्ष) और इस अक्ष का बिंदु O निर्धारित करें ( खंभा). समतल पर कोई भी बिंदु विशिष्ट रूप से परिभाषित होता है धुवीय निर्देशांकρ और φ, कहाँ

ρ – ध्रुवीय त्रिज्या, बिंदु M से ध्रुव O (ρ≥0) तक की दूरी के बराबर;

φ – कोनावेक्टर दिशा के बीच ॐऔर एल अक्ष ( ध्रुवीय कोण). एम(ρ ; φ )

यूसीएस में रेखा समीकरणलिखा जा सकता है:

ρ=f(φ) (5) यूसीएस में रेखा का स्पष्ट समीकरण

F=(ρ; φ) (6) यूसीएस में अंतर्निहित रेखा समीकरण

एक बिंदु के कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच संबंध।

(x;y) (ρ ; φ ) त्रिभुज OMA से:

tan φ=(कोण की बहालीφ ज्ञात के अनुसारस्पर्शरेखा उत्पन्न होती हैइस बात को ध्यान में रखते हुए कि चतुर्थांश बिंदु M किसमें स्थित है)।(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

उदाहरण . बिंदु M(3;4) और P(1;-1) के ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

M:=5, φ=arctg (4/3) के लिए। पी के लिए: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

समतल रेखाओं का वर्गीकरण.

परिभाषा 1.लाइन कहा जाता है बीजगणितीय,यदि कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, यदि इसे समीकरण F(x;y)=0 (1) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसमें फ़ंक्शन F(x;y) एक बीजगणितीय बहुपद है।

परिभाषा 2.प्रत्येक गैर-बीजगणितीय रेखा को कहा जाता है ट्रान्सेंडैंटल.

परिभाषा 3. बीजगणितीय रेखा कहलाती है आदेश की पंक्तिएन, यदि कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में यह रेखा समीकरण (1) द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसमें फ़ंक्शन F(x;y) nवीं डिग्री का एक बीजगणितीय बहुपद है।

इस प्रकार, nवें क्रम की एक रेखा कुछ कार्टेशियन आयताकार प्रणाली में दो अज्ञात के साथ डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित एक रेखा है।

निम्नलिखित प्रमेय परिभाषाओं 1,2,3 की शुद्धता स्थापित करने में योगदान देता है।

प्रमेय(दस्तावेज़ पृष्ठ 107 पर)। यदि किसी कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है, तो किसी अन्य कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में यह रेखा उसी डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है।