निर्माण कार्यों में, हम एक ज्यामितीय आकृति के निर्माण पर विचार करेंगे, जिसे एक शासक और एक कम्पास का उपयोग करके किया जा सकता है।

एक शासक के साथ, आप कर सकते हैं:

मनमाना रेखा;

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमाना रेखा;

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

कम्पास का उपयोग करके, आप किसी दिए गए केंद्र से दिए गए त्रिज्या के एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर एक खंड खींचने के लिए एक कंपास का उपयोग किया जा सकता है।

निर्माण के लिए मुख्य कार्यों पर विचार करें।

कार्य 1।दिए गए पक्षों a, b, c के साथ एक त्रिभुज की रचना कीजिए (आकृति 1)।

समाधान। एक रूलर की सहायता से, एक मनमाना सीधी रेखा खींचिए और उस पर एक मनमाना बिंदु B लीजिए। a के बराबर कंपास खोलने पर, हम केंद्र B और त्रिज्या a वाले एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए C रेखा के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है। सी के बराबर एक कंपास खोलने के साथ, हम केंद्र बी से एक सर्कल का वर्णन करते हैं, और बी के बराबर एक कंपास खोलने के साथ - केंद्र सी से एक सर्कल। ए को इन सर्किलों का चौराहे बिंदु होने दें। त्रिभुज ABC की भुजाएँ a, b, c के बराबर हैं।

टिप्पणी। त्रिभुज की भुजाओं के रूप में कार्य करने के लिए तीन रेखाखंडों के लिए, यह आवश्यक है कि उनमें से बड़ा अन्य दो के योग से कम हो (और< b + с).

कार्य 2.

समाधान। शीर्ष A और बीम OM वाला यह कोण चित्र 2 में दिखाया गया है।

दिए गए कोण के शीर्ष A पर केन्द्रित एक मनमाना वृत्त खींचिए। मान लीजिए कि कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु B और C हैं (चित्र 3, a)। आइए त्रिज्या AB के साथ एक वृत्त बनाएं जिसका केंद्र बिंदु O पर हो - इस किरण का प्रारंभिक बिंदु (चित्र 3, b)। दी गई किरण के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को 1 के रूप में दर्शाया जाएगा। आइए हम केंद्र C 1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करें। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन का बिंदु B 1 वांछित कोण के किनारे स्थित है। यह समानता ABC \u003d OB 1 C 1 (त्रिकोण की समानता के लिए तीसरा मानदंड) से आता है।

कार्य 3.दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना कीजिए (आकृति 4)।

समाधान। किसी दिए गए कोण के शीर्ष A से, जैसा कि केंद्र से होता है, हम मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए कि कोण की भुजाओं के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु B और C हैं। समान त्रिज्या वाले बिंदु B और C से हम वृत्तों का वर्णन करते हैं। मान लें कि D उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है, जो A से भिन्न है। रे AD कोण A को आधे में विभाजित करता है। यह समानता ΔABD = ACD (त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरा मानदंड) से अनुसरण करता है।

कार्य 4.इस खण्ड पर एक माध्यक लम्ब खींचिए (चित्र 5)।

समाधान। एक मनमाना लेकिन समान कम्पास उद्घाटन (बड़ा 1/2 AB) के साथ, हम दो चापों का वर्णन करते हैं जिनके केंद्र बिंदु A और B पर हैं, जो एक दूसरे को कुछ बिंदुओं C और D पर काटेंगे। सीधी रेखा CD आवश्यक लंबवत होगी। वास्तव में, जैसा कि निर्माण से देखा जा सकता है, प्रत्येक बिंदु C और D, A और B से समान रूप से दूर है; इसलिए, ये बिंदु खंड AB के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होने चाहिए।

कार्य 5.इस भाग को आधा भाग में बाँट लें। इसे उसी तरह हल किया जाता है जैसे समस्या 4 (चित्र 5 देखें)।

कार्य 6.किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से, दी गई रेखा पर लंबवत रेखा खींचें।

समाधान। दो मामले संभव हैं:

1) दिया गया बिंदु O दी गई सीधी रेखा a पर स्थित है (चित्र 6)।

बिंदु 0 से हम एक मनमाना त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचते हैं जो सीधी रेखा a को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करता है। बिंदु A और B से हम समान त्रिज्या वाले वृत्त खींचते हैं। माना 1 उनका प्रतिच्छेदन बिंदु से भिन्न है। हमें 1 AB प्राप्त होता है। वास्तव में, बिंदु O और O 1 खंड AB के सिरों से समान दूरी पर हैं और इसलिए, इस खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित हैं।

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान

माध्यमिक विद्यालय संख्या 34 व्यक्तिगत विषयों के गहन अध्ययन के साथ

मैन, भौतिकी और गणित अनुभाग

"कम्पास और स्ट्रेटेज का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माण"

द्वारा पूरा किया गया: 7 "ए" कक्षा के छात्र

बतिशचेवा विक्टोरिया

प्रमुख: कोल्टोव्सकाया वी.वी.

वोरोनिश, 2013

3. दिए गए कोण के बराबर कोण की रचना।

पी दिए गए कोण के शीर्ष A पर केन्द्रित एक मनमाना वृत्त खींचिए (चित्र 3)। बी और सी कोण के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे बिंदु बनें। त्रिज्या AB से, हम बिंदु O पर केन्द्रित एक वृत्त खींचते हैं, जो दी गई अर्ध-रेखा का प्रारंभिक बिंदु है। दी गई अर्ध-रेखा के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को C . द्वारा निरूपित किया जाता है 1 . केंद्र C वाले वृत्त का वर्णन कीजिए 1 और चित्र 3

त्रिज्या ई.पू. प्वाइंट बी 1 निर्दिष्ट अर्ध-तल में निर्मित हलकों का प्रतिच्छेदन आवश्यक कोण के किनारे पर स्थित है।

6. लंबवत रेखाओं का निर्माण।

हम बिंदु 0 पर केन्द्रित एक मनमाना त्रिज्या r के साथ एक वृत्त खींचते हैं। चित्र 6। वृत्त रेखा को बिंदु A और B पर काटता है।बिंदु A और B से हम AB त्रिज्या वाले वृत्त खींचते हैं। उदासी सी को इन वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। एक मनमाना त्रिज्या के साथ एक वृत्त का निर्माण करते समय, पहले चरण में हमें अंक A और B प्राप्त हुए।

वांछित रेखा बिंदु C और O से होकर गुजरती है।

चित्र 6

ज्ञात पहलु

1.ब्रह्मगुप्त का कार्य

चार भुजाओं वाला एक उत्कीर्ण चतुर्भुज की रचना कीजिए। एक समाधान अपोलोनियस के चक्र का उपयोग करता है।आइए एक ट्राइसाइकिल और एक त्रिकोण के बीच सादृश्य का उपयोग करके अपोलोनियस समस्या को हल करें। हम एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त कैसे पाते हैं: हम द्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करते हैं, इससे लंबों को त्रिभुज की भुजाओं तक छोड़ते हैं, लंबों के आधार (लंब के प्रतिच्छेदन के बिंदु जिस पर इसे उतारा जाता है) और हमें आवश्यक वृत्त पर पड़े हुए तीन बिंदु दें। हम इन तीन बिंदुओं के माध्यम से एक वृत्त खींचते हैं - समाधान तैयार है। हम अपोलोनियस समस्या के साथ भी ऐसा ही करेंगे।

2. अपोलोनियस की समस्या

दिए गए तीन वृत्तों के स्पर्शरेखा वाले वृत्त की रचना करने के लिए एक कंपास और स्ट्रेटेज का उपयोग करें। किंवदंती के अनुसार, समस्या को 220 ईसा पूर्व के आसपास पेर्गा के अपोलोनियस द्वारा तैयार किया गया था। इ। पुस्तक "टच" में, जो खो गया था, लेकिन 1600 में फ्रेंकोइस विएटा, "गैलिक एपोलोनियस" द्वारा बहाल किया गया था, जैसा कि उनके समकालीनों ने उन्हें बुलाया था।

यदि दिए गए वृत्तों में से कोई भी दूसरे के अंदर नहीं है, तो इस समस्या के 8 अनिवार्य रूप से भिन्न समाधान हैं।

नियमित बहुभुजों का निर्माण।

पी

सही (या समभुज ) त्रिकोण - यह नियमित बहुभुजतीन पक्षों के साथ, नियमित बहुभुजों में से पहला। हर चीज़एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ समान हैं, और सभीकोण 60° हैं। एक समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए, आपको वृत्त को 3 बराबर भागों में विभाजित करना होगा। ऐसा करने के लिए, व्यास के केवल एक छोर से इस वृत्त की त्रिज्या R के साथ एक चाप खींचना आवश्यक है, हमें पहला और दूसरा भाग मिलता है। तीसरा विभाजन व्यास के विपरीत छोर पर है। इन बिन्दुओं को जोड़ने पर हमें एक समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है।

नियमित षट्भुज कर सकते हैंएक कंपास और सीधा किनारे के साथ निर्माण करें। नीचेनिर्माण विधि दी गई हैवृत्त को 6 भागों में विभाजित करके। हम एक नियमित षट्भुज की भुजाओं की समानता का उपयोग परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या से करते हैं। वृत्त के व्यासों में से एक के विपरीत छोर से, हम त्रिज्या R के चापों का वर्णन करते हैं। दिए गए वृत्त के साथ इन चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु इसे 6 बराबर भागों में विभाजित करेंगे। पाए गए बिंदुओं को लगातार जोड़कर, एक नियमित षट्भुज प्राप्त होता है।

एक नियमित पेंटागन का निर्माण।

पी
नियमित पेंटागन हो सकता हैएक कंपास और सीधा किनारे का उपयोग करके, या इसे किसी दिए गए में फिट करके बनाया गयासर्कल, या किसी दिए गए पक्ष के आधार पर निर्माण करके। इस प्रक्रिया का वर्णन यूक्लिड द्वारा किया गया हैउनके तत्वों में, लगभग 300 ई.पू. इ।

यहाँ दिए गए वृत्त में एक नियमित पंचभुज बनाने की एक विधि है:

एक वृत्त की रचना कीजिए जिसमें पंचभुज खुदा होगा और उसके केंद्र को इस रूप में निर्दिष्ट करेंहे . (यह दाईं ओर दिए गए आरेख में हरा वृत्त है)।

वृत्त पर एक बिंदु चुनेंए , जो पंचभुज के शीर्षों में से एक होगा। एक रेखा बनाएंहे औरए .

रेखा के लंबवत रेखा का निर्माण करेंओए बिंदु के माध्यम से गुजर रहा हैहे . वृत्त के साथ इसके किसी एक प्रतिच्छेदन को एक बिंदु के रूप में निर्दिष्ट करेंबी .

एक बिंदु बनाएँसी बीच मेंहे औरबी .

सी एक बिंदु के माध्यम सेए . इसके प्रतिच्छेदन को रेखा से चिह्नित करेंओबी (मूल वृत्त के अंदर) एक बिंदु के रूप मेंडी .

पर केंद्रित एक वृत्त बनाएंए बिंदु D से होकर, इस वृत्त के प्रतिच्छेदन को मूल (हरे वृत्त) से बिंदुओं के रूप में चिह्नित करेंइ औरएफ .

पर केंद्रित एक वृत्त बनाएंइ एक बिंदु के माध्यम सेए जी .

पर केंद्रित एक वृत्त बनाएंएफ एक बिंदु के माध्यम सेए . मूल सर्कल के साथ इसके दूसरे चौराहे को एक बिंदु के रूप में नामित करेंएच .

एक नियमित पेंटागन बनाएँएईजीएचएफ .

अनसुलझी समस्याएं

निम्नलिखित तीन निर्माण कार्य पुरातनता में निर्धारित किए गए थे:

कोण ट्राइसेक्शन - एक मनमाना कोण को तीन बराबर भागों में विभाजित करें।

दूसरे शब्दों में, कोण के त्रिभुजों का निर्माण करना आवश्यक है - कोण को तीन बराबर भागों में विभाजित करने वाली किरणें। पी. एल. वंज़ेल ने 1837 में साबित किया कि समस्या तभी हल हो सकती है, उदाहरण के लिए, कोण α = 360°/n के लिए ट्रिसेक्शन संभव है, बशर्ते कि पूर्णांक n 3 से विभाज्य न हो। हालांकि, समय-समय पर प्रेस में प्रकाशित (गलत) एक कंपास और स्ट्रेटएज के साथ एक कोण को ट्राइसेक्ट करने के तरीके।

घन को दोगुना करना - एक कम्पास और एक शासक के साथ घन के निर्माण पर एक क्लासिक प्राचीन समस्या, जिसका आयतन किसी दिए गए घन के आयतन का दोगुना है।

आधुनिक संकेतन में, समस्या समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाती है. यह सब लंबाई के एक खंड के निर्माण की समस्या के लिए नीचे आता है. P. Wanzel ने 1837 में साबित कर दिया कि इस समस्या को कम्पास और स्ट्रेटेज की मदद से हल नहीं किया जा सकता है।

वृत्त को चुकता करना - एक कंपास और एक वर्ग के शासक का उपयोग करके एक निर्माण खोजने का कार्य जो किसी दिए गए सर्कल के क्षेत्रफल के बराबर है.

जैसा कि आप जानते हैं, एक कम्पास और एक रूलर की सहायता से, आप सभी 4 अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं और वर्गमूल निकाल सकते हैं; इसलिए यह इस प्रकार है कि एक वृत्त का वर्ग बनाना संभव है यदि और केवल यदि, ऐसे संक्रियाओं की एक सीमित संख्या की सहायता से लंबाई का एक खंड बनाना संभव है। इस प्रकार, इस समस्या की असाध्यता संख्या की गैर-बीजीय प्रकृति (पारगमन) से होती है, जिसे 1882 में लिंडमैन द्वारा सिद्ध किया गया था।

एक अन्य प्रसिद्ध समस्या जिसे कम्पास और रूलर की सहायता से हल नहीं किया जा सकता है, वह हैतीन दी गई लंबाई के समद्विभाजक द्वारा त्रिभुज की रचना .

इसके अलावा, ट्राइसेक्टर की उपस्थिति में भी यह समस्या अनसुलझी बनी हुई है।

केवल 19वीं शताब्दी में ही यह साबित हो गया था कि केवल एक कंपास और स्ट्रेटेज का उपयोग करके तीनों समस्याएं अनसुलझी थीं। गैलोइस सिद्धांत पर आधारित बीजगणितीय विधियों द्वारा निर्माण की संभावना का प्रश्न पूरी तरह से हल किया गया है।

क्या आप जानते हैं कि...

(ज्यामितीय निर्माण के इतिहास से)

एक बार, नियमित बहुभुजों के निर्माण में एक रहस्यमय अर्थ का निवेश किया गया था।

तो, पाइथागोरस, पाइथागोरस द्वारा स्थापित धार्मिक और दार्शनिक शिक्षाओं के अनुयायी, और जो प्राचीन ग्रीस में रहते थे (वीमैं-मैं वीसदियों ईसा पूर्व बीसी), उनके मिलन के संकेत के रूप में एक नियमित पेंटागन के विकर्णों द्वारा गठित एक स्टार बहुभुज को अपनाया।

कुछ नियमित बहुभुजों के सख्त ज्यामितीय निर्माण के नियमों को प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड की पुस्तक "बिगिनिंग्स" में निर्धारित किया गया है, जो यहां रहते थे।तृतीयमें। ई.पू. इन निर्माणों को करने के लिए, यूक्लिड ने केवल एक शासक और एक कम्पास का उपयोग करने का सुझाव दिया, जिसमें उस समय पैरों को जोड़ने के लिए एक टिका हुआ उपकरण नहीं था (उपकरणों में ऐसी सीमा प्राचीन गणित की एक अनिवार्य आवश्यकता थी)।

प्राचीन खगोल विज्ञान में नियमित बहुभुजों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता था। यदि यूक्लिड गणित की दृष्टि से इन आकृतियों के निर्माण में रुचि रखते थे, तो प्राचीन यूनानी खगोलशास्त्री क्लॉडियस टॉलेमी (लगभग 90 - 160 ईस्वी) के लिए यह खगोलीय समस्याओं को हल करने में एक सहायक उपकरण के रूप में आवश्यक निकला। तो, अल्मागेस्ट की पहली किताब में, पूरा दसवां अध्याय नियमित पेंटागन और डिकैगन के निर्माण के लिए समर्पित है।

हालांकि, विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक कार्यों के अलावा, नियमित बहुभुजों का निर्माण बिल्डरों, कारीगरों और कलाकारों के लिए पुस्तकों का एक अभिन्न अंग था। इन आकृतियों को चित्रित करने की क्षमता लंबे समय से वास्तुकला, गहनों और ललित कलाओं में आवश्यक है।

रोमन वास्तुकार विट्रुवियस (जो लगभग 63-14 ईसा पूर्व रहते थे) द्वारा "आर्किटेक्चर पर दस पुस्तकें" कहती हैं कि शहर की दीवारें योजना में एक नियमित बहुभुज की तरह दिखनी चाहिए, और किले के टावरों को "गोल या बहुभुज बनाया जाना चाहिए, क्योंकि चतुर्भुज बल्कि घेराबंदी के हथियारों से नष्ट।

शहरों की योजना विट्रुवियस के लिए बहुत रुचि थी, जो मानते थे कि सड़कों की योजना बनाना आवश्यक था ताकि मुख्य हवाएं उनके साथ न चलें। यह मान लिया गया था कि ऐसी आठ हवाएँ हैं और वे कुछ दिशाओं में चलती हैं।

पुनर्जागरण के दौरान, नियमित बहुभुजों का निर्माण, और विशेष रूप से पेंटागन, एक साधारण गणितीय खेल नहीं था, बल्कि किले के निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त थी।

नियमित षट्भुज महान जर्मन खगोलशास्त्री और गणितज्ञ जोहान्स केपलर (1571-1630) द्वारा एक विशेष अध्ययन का विषय था, जिसके बारे में वह अपनी पुस्तक न्यू ईयर्स गिफ्ट या हेक्सागोनल स्नोफ्लेक्स में बात करते हैं। उन्होंने उन कारणों पर चर्चा की कि स्नोफ्लेक्स का हेक्सागोनल आकार क्यों होता है, वे विशेष रूप से निम्नलिखित नोट करते हैं: "... विमान को केवल निम्नलिखित आंकड़ों द्वारा अंतराल के बिना कवर किया जा सकता है: समबाहु त्रिभुज, वर्ग और नियमित षट्भुज। इन आंकड़ों में, नियमित षट्भुज सबसे बड़े क्षेत्र को कवर करता है।

ज्यामितीय निर्माण में शामिल सबसे प्रसिद्ध वैज्ञानिकों में से एक महान जर्मन कलाकार और गणितज्ञ अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471 -1528) थे, जिन्होंने अपनी पुस्तक "दिशानिर्देश ..." का एक महत्वपूर्ण हिस्सा उन्हें समर्पित किया। उन्होंने 3. 4, 5 ... 16 भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों के निर्माण के लिए नियम प्रस्तावित किए। ड्यूरर द्वारा प्रस्तावित सर्कल को विभाजित करने के तरीके सार्वभौमिक नहीं हैं, प्रत्येक मामले में, एक व्यक्तिगत तकनीक का उपयोग किया जाता है।

ड्यूरर ने कलात्मक अभ्यास में नियमित बहुभुज बनाने के तरीकों को लागू किया, उदाहरण के लिए, लकड़ी की छत के लिए विभिन्न प्रकार के गहने और पैटर्न बनाते समय। इस तरह के पैटर्न के रेखाचित्र उन्होंने नीदरलैंड की यात्रा के दौरान बनाए थे, जहां कई घरों में लकड़ी के फर्श पाए गए थे।

ड्यूरर ने नियमित बहुभुजों से आभूषण बनाए, जो छल्लों में जुड़े हुए हैं (छह समबाहु त्रिभुज, चार चतुर्भुज, तीन या छह षट्भुज, चौदह हेप्टागोन, चार अष्टकोण)।

निष्कर्ष

इसलिए,ज्यामितीय निर्माण एक समस्या को हल करने की एक विधि है जिसमें उत्तर ग्राफिक रूप से प्राप्त किया जाता है। निर्माण कार्य की अधिकतम सटीकता और सटीकता के साथ ड्राइंग टूल्स के साथ किया जाता है, क्योंकि निर्णय की शुद्धता इस पर निर्भर करती है।

इस काम के लिए धन्यवाद, मैं कंपास की उत्पत्ति के इतिहास से परिचित हुआ, ज्यामितीय निर्माण करने के नियमों को और अधिक विस्तार से जाना, नया ज्ञान प्राप्त किया और इसे अभ्यास में लाया।
एक कंपास और एक शासक के साथ निर्माण पर समस्याओं को हल करना एक उपयोगी शगल है जो आपको ज्यामितीय आकृतियों और उनके तत्वों के ज्ञात गुणों पर नए सिरे से विचार करने की अनुमति देता है।इस पत्र में, हम एक कंपास और स्ट्रेटेज का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माण से जुड़ी सबसे जरूरी समस्याओं पर विचार करते हैं। मुख्य कार्यों पर विचार किया जाता है और उनके समाधान दिए जाते हैं। उपरोक्त कार्य काफी व्यावहारिक रुचि के हैं, ज्यामिति में प्राप्त ज्ञान को समेकित करते हैं और व्यावहारिक कार्य के लिए उपयोग किए जा सकते हैं।
इस प्रकार, कार्य का लक्ष्य प्राप्त होता है, निर्धारित कार्य पूरे होते हैं।

क्रीमिया के स्कूली बच्चों के विज्ञान की छोटी अकादमी

"खोजक"

खंड "गणित"

दो तरफा शासक का उपयोग करके ज्यामितीय निर्माण

मैंने काम कर लिया है लेकिन

_____________

कक्षा छात्र

वैज्ञानिक सलाहकार

परिचय ………………………………………………………………..3

I. विमान पर ज्यामितीय निर्माण ………………… 4

मैं.1 रचनात्मक ज्यामिति के सामान्य स्वयंसिद्ध। गणितीय उपकरणों के स्वयंसिद्ध ………………………………………………………………..4

मैं 2. ……………………….....5

आई.3. एक शासक के साथ ज्यामितीय निर्माण …………………………..7

मैं.4. दो तरफा शासक के निर्माण के मुख्य कार्य……………..8

मैं 5. निर्माण के लिए विभिन्न कार्यों को हल करना

मैं 6. एकतरफा शासक के साथ निर्माण ……………………………………….20

मैं 7. कम्पास और शासक के साथ दो तरफा शासक की विनिमेयता… .21

निष्कर्ष……………………………………………………….24

प्रयुक्त साहित्य की सूची………………………………………….25

परिचय

सीमित साधनों के साथ निर्माण के कार्यों में केवल एक कंपास और एक शासक के साथ निर्माण के कार्य शामिल हैं, जिन्हें स्कूल पाठ्यक्रम में माना जाता है। क्या केवल एक शासक के साथ निर्माण समस्याओं को हल करना संभव है? अक्सर हाथ में कोई कम्पास नहीं होता है, और एक शासक हमेशा मिल सकता है।

ज्यामिति में निर्माण कार्य एक आकर्षक खंड है। इसमें रुचि ज्यामितीय सामग्री की सुंदरता और सरलता के कारण है। इन समस्याओं पर विचार करने की तात्कालिकता इस तथ्य के कारण बढ़ जाती है कि यह व्यवहार में लागू होती है। इस पत्र में विचार की गई समस्याओं को हल करने के लिए एक शासक का उपयोग करने की क्षमता का व्यवहार में बहुत महत्व है, क्योंकि हमें लगातार एक खंड को आधे में विभाजित करने, किसी दिए गए खंड को दोगुना करने आदि की समस्याओं का सामना करना पड़ता है।

इस पत्र में, हम निर्माण के मुख्य कार्यों पर विचार करते हैं, जो अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में सहायता के रूप में कार्य करते हैं।

जैसा कि अनुभव से पता चलता है, निर्माण कार्य रुचि जगाते हैं, मानसिक गतिविधि की सक्रियता में योगदान करते हैं। उन्हें हल करते समय, आंकड़ों के गुणों के बारे में ज्ञान सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, तर्क करने की क्षमता विकसित होती है, ज्यामितीय निर्माण के कौशल में सुधार होता है। नतीजतन, रचनात्मक क्षमताओं का विकास होता है, जो ज्यामिति के अध्ययन के लक्ष्यों में से एक है।

परिकल्पना: सभी निर्माण समस्याएं जिन्हें एक कंपास और शासक के साथ हल किया जा सकता है केवल दो तरफा शासक के साथ हल किया जा सकता है।

अध्ययन का उद्देश्य: निर्माण कार्य और दो तरफा शासक।

अध्ययन के उद्देश्य: यह साबित करना कि सभी निर्माण समस्याओं को केवल दो तरफा शासक की मदद से हल किया जा सकता है.

अनुसंधान के उद्देश्य: निर्माण समस्याओं को हल करने की सैद्धांतिक नींव का अध्ययन करना; दो तरफा शासक की मदद से बुनियादी निर्माण समस्याओं को हल करना; अधिक जटिल निर्माण कार्यों के उदाहरण दें; सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री को व्यवस्थित करें।

I. विमान पर ज्यामितीय निर्माण

मैं.1 रचनात्मक ज्यामिति के सामान्य स्वयंसिद्ध। गणितीय उपकरणों के अभिगृहीत

रचनात्मक ज्यामिति के लिए, एक सटीक और गणितीय उद्देश्यों के लिए, किसी विशेष उपकरण का पूरा विवरण होना आवश्यक है। ऐसा विवरण अभिगृहीतों के रूप में दिया गया है। अमूर्त गणितीय रूप में ये स्वयंसिद्ध वास्तविक ड्राइंग टूल्स के उन गुणों को व्यक्त करते हैं जिनका उपयोग ज्यामितीय निर्माण के लिए किया जाता है।

ज्यामितीय निर्माण के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं:शासक (एक तरफा) , दिशा सूचक यंत्र, द्विपक्षीय शासक (समानांतर किनारों के साथ) और कुछ अन्य।

ए शासक स्वयंसिद्ध।

शासक आपको निम्नलिखित ज्यामितीय निर्माण करने की अनुमति देता है:
ए) दो निर्मित बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड का निर्माण करें;

बी) दो निर्मित बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का निर्माण करें;

ग) एक निर्मित बिंदु से निकलने वाली और दूसरे निर्मित बिंदु से गुजरने वाली किरण का निर्माण करें।

B. कम्पास का अभिगृहीत।

कम्पास आपको निम्नलिखित ज्यामितीय निर्माण करने की अनुमति देता है:
क) एक वृत्त का निर्माण करें यदि वृत्त का केंद्र और वृत्त की त्रिज्या (या उसके सिरों) के बराबर एक खंड का निर्माण किया जाता है;

B. दो तरफा शासक का स्वयंसिद्ध।

दो तरफा शासक आपको इसकी अनुमति देता है:

a) अभिगृहीत A में सूचीबद्ध किसी भी निर्माण का प्रदर्शन;

बी) निर्मित रेखा द्वारा परिभाषित प्रत्येक अर्ध-तल में, इस रेखा के समानांतर एक रेखा का निर्माण करें और इससे कुछ दूरी पर गुजरेंलेकिन, कहाँ पे लेकिन - किसी दिए गए शासक (शासक की चौड़ाई) के लिए तय किया गया खंड;

c) यदि दो बिंदु A और B बनाए गए हैं, तो निर्धारित करें कि क्या AB किसी निश्चित खंड से बड़ा होगालेकिन (शासक चौड़ाई), और यदि AB >लेकिन , फिर क्रमशः बिंदु A और B से होकर गुजरने वाली समानांतर रेखाओं के दो जोड़े बनाएं, और एक दूसरे से कुछ दूरी पर होंलेकिन .

सूचीबद्ध उपकरणों के अलावा, ज्यामितीय निर्माण के लिए अन्य उपकरणों का उपयोग किया जा सकता है: एक मनमाना कोण, एक वर्ग, निशान के साथ एक शासक, समकोण की एक जोड़ी, विशेष वक्र खींचने के लिए विभिन्न उपकरण, आदि।

मैं 2. भवन की समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य सिद्धांत

निर्माण कार्य इस तथ्य में शामिल हैं कि संकेतित उपकरणों के साथ एक निश्चित आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, यदि कोई अन्य आकृति दी गई है और वांछित आकृति के तत्वों और इस आकृति के तत्वों के बीच कुछ संबंधों को इंगित किया गया है।

प्रत्येक आकृति जो समस्या की शर्तों को संतुष्ट करती है, कहलाती हैफैसलाइस कार्य।

समाधान ढूंढें निर्माण कार्य का अर्थ है इसे बुनियादी निर्माणों की एक सीमित संख्या तक कम करना, अर्थात, बुनियादी निर्माणों के एक सीमित अनुक्रम को इंगित करना, जिसके बाद वांछित आकृति को पहले से ही रचनात्मक ज्यामिति के स्वीकृत स्वयंसिद्धों के आधार पर निर्मित माना जाएगा। स्वीकार्य बुनियादी निर्माणों की सूची, और, परिणामस्वरूप, समस्या को हल करने का तरीका अनिवार्य रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि निर्माण के लिए किस प्रकार के उपकरणों का उपयोग किया जाता है।

निर्माण की समस्या का समाधान - साधन, सभी समाधान खोजें .

अंतिम परिभाषा को कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। समस्या की स्थितियों को संतुष्ट करने वाले आंकड़े आकार या आकार और विमान पर स्थिति दोनों में भिन्न हो सकते हैं। विमान पर स्थिति में अंतर को ध्यान में रखा जाता है या निर्माण समस्या के निर्माण के आधार पर ध्यान में नहीं रखा जाता है, इस पर कि समस्या की स्थिति किसी दिए गए के सापेक्ष वांछित आकृति के एक निश्चित स्थान के लिए प्रदान करती है या नहीं। आंकड़े।

यदि किसी समस्या का समाधान मिल जाता है, तो भविष्य में उसे इस समाधान का उपयोग "समग्र रूप से" करने की अनुमति है, अर्थात, इसे बुनियादी निर्माणों में विभाजित किए बिना।

कई सरल ज्यामितीय निर्माण समस्याएं हैं, जिन्हें विशेष रूप से अक्सर अधिक जटिल समस्याओं के समाधान में घटकों के रूप में शामिल किया जाता है। हम उन्हें प्राथमिक ज्यामितीय निर्माण समस्याएँ कहेंगे। प्राथमिक कार्यों की सूची, निश्चित रूप से, सशर्त है। सबसे आम कार्यों में निम्नलिखित शामिल हैं:

इस खंड को आधा में विभाजित करें।

इस कोण को आधा में विभाजित करें।

दिए गए एक के बराबर एक खंड की दी गई रेखा पर निर्माण।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई रेखा के समानांतर गुजरने वाली रेखा की रचना करना।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली और किसी दी गई रेखा के लंबवत रेखा का निर्माण।

इस संबंध में खंड का विभाजन।

एक त्रिभुज की रचना, जिसमें तीन भुजाएँ हों।

एक त्रिभुज की रचना जिसमें एक भुजा और दो आसन्न कोण दिए गए हों।

एक त्रिभुज की रचना जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच एक कोण दिया गया हो।

किसी भी जटिल निर्माण समस्या को हल करते समय, प्रश्न उठता है कि समस्या को हल करने का तरीका खोजने के लिए, समस्या के सभी समाधान प्राप्त करने के लिए, समस्या को हल करने की संभावना के लिए शर्तों का पता लगाने के लिए कैसे तर्क किया जाए, आदि। इसलिए , रचनात्मक समस्याओं को हल करते समय, वे निम्नलिखित चार चरणों वाली समाधान योजना का उपयोग करते हैं:

1) विश्लेषण;
2) निर्माण;
3) सबूत;
4) अनुसंधान।

आई.3. एक शासक के साथ ज्यामितीय निर्माण

हम शासक को दो दृष्टिकोणों से मानेंगे: एक शासक के रूप में और एक दोतरफा शासक के रूप में।

1. दो तरफा शासकचौड़ाई लेकिन हम दूरी पर स्थित समानांतर किनारों वाले शासक को बुलाएंगे लेकिन एक दूसरे से, सीधे निर्माण करना संभव बनाता है:

ए) एक मनमाना रेखा;

बी) समस्या को हल करने की प्रक्रिया में दिए गए या प्राप्त किए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा;

सी) समानांतर रेखाएं, जिनमें से प्रत्येक एक बिंदु से गुजरती है, जिसके बीच की दूरी . से अधिक हैलेकिन (इस निर्माण के दौरान, रूलर ऐसी स्थिति में होता है कि इसके दो समानांतर किनारों में से प्रत्येक में दिए गए दो बिंदुओं में से एक होता है; इस मामले में, हम प्रत्यक्ष निर्माण के बारे में बात करेंगे)।

इस निर्माण में शासक की चौड़ाई स्थिर मानी जाती है, और इसलिए, यदि किसी विशिष्ट समस्या को हल करने की प्रक्रिया में कुछ प्राप्त बिंदुओं के संबंध में प्रत्यक्ष निर्माण करना आवश्यक हो जाता हैलेकिनऔर में , तो हमें यह साबित करना होगा कि लंबाईअबअधिक लंबाई लेकिन .

एक बिंदु का निर्माण माना जाएगा यदि यह डेटा में से एक है या दो निर्मित लाइनों का प्रतिच्छेदन है; बदले में, हम निर्मित रेखा पर विचार करेंगे यदि वह निर्मित या दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है।

दो तरफा शासक का उपयोग करके, आप निम्नलिखित का निर्माण कर सकते हैं।

a) किन्हीं दो बिंदुओं से होकर एक रेखा खींची जा सकती है, लेकिन केवल एक।

b) रेखा जो भी हो, समतल में उसके समानांतर और उससे कुछ दूरी पर ठीक दो रेखाएँ होती हैंए .

ग) AB . पर दो बिंदुओं A और B से होकर लेकिन समानांतर के दो जोड़े खींचना संभव हैसीधे; एबी = पर लेकिन आप समानांतर रेखाओं का एक युग्म खींच सकते हैं, जिसके बीच की दूरी के बराबर हैलेकिन .

यदि एक, दो, तीन अंक दिए गए हों, तो कोई नया बिंदु नहीं बनाया जा सकता है

(आकृति 1);

यदि चार बिंदु दिए गए हैं, जिनमें से कुछ तीन (या चारों) एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो कोई अन्य बिंदु नहीं बनाया जा सकता है (चित्र 2);

एक समांतर चतुर्भुज के शीर्षों पर स्थित चार बिंदुओं को देखते हुए, केवल एक बिंदु - इसका केंद्र बनाना संभव है। (चित्र। 3)।

उपरोक्त को स्वीकार करने के बाद, हम दो तरफा शासक द्वारा हल की गई समस्याओं पर अलग से विचार करते हैं।

मैं.4. दो तरफा शासक के निर्माण पर बुनियादी कार्य

1
. कोण ABC के समद्विभाजक की रचना कीजिए।

समाधान: (चित्र 4)

लेकिन  (में सी) और बी  (एक बैंड  बी = डी .

बी प्राप्त करें डी- द्विभाजक  एबीसी.

वास्तव में, द्वारा प्राप्त

समांतर चतुर्भुज निर्माण है

समचतुर्भुज, क्योंकि इसकी ऊँचाई बराबर होती है। मेंडी –

समचतुर्भुज का विकर्ण समद्विभाजक है एबीसी. चित्र 4

2
. दिए गए कोण ABC को दोगुना करें

समाधान : (चित्र 5) ए) लेकिन  (एबी),

लेकिन  (में सी)= डी , अंक बी और . के माध्यम से डी

बी सीधे;

बी) बिंदु बी और . के माध्यम सेडी एम  बी

सीधे,बी Ç ए = एफ .

प्राप्त Ð अब एफ = 2 Ð एबीसी .

चित्र 5

3 . इस लाइन के लिए M एन इस में

बिंदु A पर एक लंब खींचो

समाधान : (चित्र 6)

1) (एए 1) || (वीवी 1) || (एसएस 1 ) -

सीधे (में (एम एन),

से Î (एम एन)); 2) ए और बी के माध्यम से

एम || एन - सीधे,

एम Ç (एसएस 1) = डी .

हमें मिलता है (ए डी )  (एम एन ).

चित्र 6.

4
. किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से झूठ नहीं बोलना

यह रेखा, एक सीधा ड्रा करें

प्रति यह सीधी रेखा।

समाधान: इस बिंदु के माध्यम से हम आकर्षित करते हैं

किसी दिए गए को प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाएँ

सीधी रेखा AB, और परिणामी कोणों को दोगुना करें

किसी दिए गए त्रिभुज से सटे

सीधा।  ओए एन = 2  ओएबी और

ओवी एन = 2  ओवीए (चित्र 7)।

चित्र 7

5. दी गई रेखा के सन्दर्भ में दिए गए बिंदु के सममित बिंदु की रचना कीजिए।

समाधान: समस्या 4 देखें। (बिंदु O, बिंदु के सममित हैएन. चित्र 7)

6. एक सीधी रेखा खींचना इसके समानांतर

पी
लाइन एम एन , बिंदु A से होकर नहीं

M . रेखा से संबंधित एन .

समाधान 1: (चित्र 8)

1)(एए 1) || (वीवी 1) || (एसएस 1) || (डीडी 1 ) || (केके 1) -

– सीधे, (एसए)Ç (बीबी 1) \u003d सी 2;

2) (सी 2 के) Ç (डीडी 1 ) = एफ .

(लेकिन एफ ) वांछित रेखा है।

आंकड़ा 8

समाधान 2 . चित्र 8 में 1 को क्रमांकित किया गया है

सीधी रेखाओं का क्रम,

जिनमें से 1, 2 और 3 समानांतर हैं

प्रत्यक्ष निर्माण;

(लेकिन एफ) || (एम एन).

चित्र.8 1

7
. इस खंड AB को आधे में विभाजित करें।

समाधान 1 (चित्र 9) (केवल उस स्थिति के लिए जब रूलर की चौड़ाई दिए गए खंड की लंबाई से कम हो)। समांतर रेखाओं के दो युग्म सीधे खींचिए

इस खंड के सिरों, और फिर विकर्ण

परिणामी समचतुर्भुज। O, AB का मध्यबिंदु है।

चावल। नौ.

समाधान 2 (चित्र 9,ए)

1) ए || (एक बैंड बी || (एबी) - सीधे;

2) (एआर), (एआर)Ç ए = सी, (एपी) Ç बी = डी ;

3) (डी में) Ç ए = एम, (सीबी) Ç बी = एन ;

4) (एम एन ) Ç (एबी) = के;

5) (डी प्रति) Ç (लेकिन एन ) = एफ ;

6) (इन एफ ) Ç बी = डी 1, (बी एफ ) Ç ए \u003d सी 1;

7) (डी में ) Ç (लेकिन डी 1 ) = एक्स,

(एसी 1 ) Ç (सीबी) = जेड.

8) (एक्स जेड) Ç (एबी) = ओ। हमें AO = OB मिलता है।

अंजीर। 9, ए

समाधान 3 .(चावल। 9बी)

जैसा कि जाना जाता है , मध्य समलम्ब चतुर्भुज में

आधार, चौराहे का बिंदु

विकर्ण और प्रतिच्छेदन बिंदु

साइड एक्सटेंशन

एक ही लाइन पर लेट जाओ।

1) एम || (एबी) - सीधे;

2) सी Î एम , डी Î एम , (एसी) Ç (में डी ) = प्रति; अंजीर.9, बी

3) (सीबी) Ç (लेकिन डी ) = एफ ; 4) (के एफ ) Ç (एबी) = ओ। हमें AO = OB मिलता है।

मैं 5. विभिन्न भवन समस्याओं का समाधान

केवल दो तरफा शासक के निर्माण पर निम्नलिखित समस्याओं को हल करने में, समानांतर रेखाओं का सीधा निर्माण और उपरोक्त सात मुख्य समस्याओं का उपयोग किया जाता है।

1. इस बिंदु से दो परस्पर लंबवत रेखाएँ खींचिए।

आर समाधान: इस बिंदु से गुजरें

दो मनमानी रेखाएं,

और फिर द्विभाजक

आसन्न कोनों। (चित्र.10)

चित्र.10

2. दिया गया खंड A डी एक दी गई लंबाई।

एक खंड की रचना कीजिए जिसकी लंबाई .

आर
समाधान : चलो खर्च करें एम  लेकिनऔर एच || एम आर - पार

बिंदु ए. एफ || (लेकिन डी ) , क || (विज्ञापन) सीधे।

आइए AB और AC खींचते हैं, जहाँ B =एफ  एम ,

एक सी = एम  क . एक ज्ञात तरीके से

AB और AC को आधे में विभाजित करें और

त्रिभुज की माध्यिकाएँ खींचे

एबीसी. मध्यस्थों की संपत्ति से

त्रिकोण, ओह डी = - इच्छित

खंड (चित्र.11)

चावल। ग्यारह

3. एक रेखाखंड की रचना कीजिए जिसकी लंबाई है

त्रिभुज की परिधि के बराबर।

समाधान: (चित्र 12)। चलो समद्विभाजक बनाते हैं

त्रिभुज के दो बाहरी कोने, और फिर

3 चोटियाँ में लंबवत खींचे

इन द्विभाजक को।

डे = ए + बी + साथ

चित्र 12

4. लंबाई के एक खंड को देखते हुए a. लंबाई खंडों का निर्माण 2ए, 3ए.

आर समाधान: (चित्र 13)

1एम एन) || (एबी) और (एम 1 एन 1 ) || (एम एन) || (एम 2 एन 2 ) –

सीधे;

2) (सीए) और (सीबी) ए और बी के माध्यम से।

खंड ए 1 बी 1 और ए 2 बी 2 आवश्यक हैं।

इस समस्या का एक और समाधान हो सकता है

समस्या के समाधान से प्राप्त करें 7.

चावल। 13

5. एक सीधी रेखा पर दो खंड दिए गए हैं, जिनकी लंबाई a और . है बी . उन खंडों का निर्माण करें जिनकी लंबाई एक + . के बराबर है बी , बी - लेकिन, ( ए + बी )/2 और ( बी - ए )/2 .

समाधान: और किसके लिए ए + बी(चित्र 14, ए)

अंजीर। 14, ए

बी) के लिए ( ए + बी)/2 (चित्र 14, ख)

1) (ए 1 बी 1) || (ए 2 बी 2) || (एबी) - सीधे;

2) एम Î (ए 2 बी 2), (एमएक्स) Ç (ए 1 बी 1) = एन, (एम एच) Ç (ए 1 बी 1) = पी;

3) (पीवाई) Ç (ए 2 बी 2) = ली, (एलजेड ) Ç (ए 1 बी 1) = हे

हमें मिला: एन हे = एनपी + पीओ =
.

चावल। 14बी

ग) के लिए बी - लेकिन(चित्र 14,सी)

चावल। 14, इंच

ग) के लिए ( बी - ए )/2 (चित्र 14d)

चावल। 14, जी

6
. इस वृत्त के केंद्र की रचना कीजिए।

समाधान : (आकृति 15) एक सीधी रेखा AB खींचिए,

वृत्त को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करना;

रवि  AB, जहाँ C प्रतिच्छेद बिन्दु है

एक सर्कल के साथ।

बिंदु C से होकर AB के समांतर खींचिए

सीधी रेखा सी डी; सेडीघेरे को पार करता है

बिंदु परडी.

जोड़करडीबी और ए के साथ सी, हम प्राप्त करते हैं

वांछित बिंदु वृत्त का केंद्र है। चावल। 15

समाधान 2: (आकृति 16) दो भुजाओं वाले रूलर की सहायता से दो समान्तर जीवाओं की रचना कीजिएविज्ञापन औरईसा पूर्व . हमें एक समद्विबाहु समलम्ब प्राप्त होता हैऐ बी सी डी. रहने दोक औरपी - रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुएसी औरबीडी , अब औरडीसी . फिर रेखापी क समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरता है, जिसका अर्थ है कि यह दिए गए वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। इसी तरह एक और ऐसी सीधी रेखा का निर्माण करने के बाद, हम वृत्त का केंद्र पाते हैं।

चावल। 16

7. एक वृत्त का चाप दिया गया है। वृत्त के केंद्र की रचना करें

समाधान . (चित्र 17) इस चाप पर तीन बिंदु A, B और C अंकित करें। आइए खंड AB के सिरों पर एक रूलर लगाएँ और इसके किनारों को घेरें। हमें दो समानांतर रेखाएँ मिलती हैं। रूलर की स्थिति बदलकर, दो और समानांतर सीधी रेखाएँ खींचिए। हमें एक समचतुर्भुज (समान ऊँचाइयों वाला समांतर चतुर्भुज) प्राप्त होता है। समचतुर्भुज के विकर्णों में से एक खंड का लंब समद्विभाजक हैअब , क्योंकि समचतुर्भुज का विकर्ण दूसरे विकर्ण के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है। इसी तरह, हम खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करते हैंएसी . निर्मित मध्यलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित वृत्त का केंद्र है।

चावल। 17

8. एक खंड AB दिया है, एक रेखा l जो उसके समांतर नहीं है और उस पर एक बिंदु M है। एक दो भुजा वाले रूलर का प्रयोग करते हुए, केंद्र M वाली त्रिज्या AB वाले वृत्त के साथ रेखा l के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की रचना कीजिए।

समाधान: (चित्र.18)

आइए त्रिभुज को पूरा करेंएबीएम समांतर चतुर्भुज के लिएएबीएनएम . आइए हम समद्विभाजक MT और की रचना करेंएमएसके बीच के कोणएम.एन.और प्रत्यक्षमैं . आइए बिंदु से गुजरते हैंएन इन द्विभाजक के समानांतर रेखाएँ:एनक्यू || एमएस, एन.आर. || मीट्रिक टन. मीट्रिक टन│ एमएसआसन्न कोणों के द्विभाजक के रूप में। साधन,एनक्यू │ एमटी, यानी त्रिभुज मेंएनएमक्यूद्विभाजक ऊंचाई है, इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है:एमक्यू = एम.एन.. इसी तरह,श्री = एम.एन.. अंकक्यूऔरआरइच्छित।

चावल। अठारह

9. एक रेखा l और एक खंड OA दिया गया है जो l के समानांतर है। एक दो भुजा वाले रूलर का प्रयोग करते हुए, O पर केन्द्रित त्रिज्या OA वाले वृत्त के साथ रेखा l के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की रचना कीजिए।

समाधान: (चित्र 19, ए)

आइए एक सीधी रेखा खींचते हैंमैं 1 , रेखा के समानांतरओए और उससे कुछ दूरी परए . आइए इसे सीधे लेंमैं मनमाना बिंदुबी . रहने दोबी 1 - रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओबी औरमैं 1 . आइए बिंदु से गुजरते हैंबी 1 सीधा, समानांतरअब ; यह रेखा रेखा को काटती हैओए बिंदु परए 1 . आइए अब बिंदुओं से गुजरते हैंहे औरए 1 समानांतर रेखाओं का एक जोड़ा, जिसके बीच की दूरी के बराबर हैए (ऐसी दो जोड़ी रेखाएं हो सकती हैं); रहने दोएक्स औरएक्स 1 - बिंदु से गुजरने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदुहे , सीधी रेखाओं के साथमैं औरमैं 1 . इसलियेओए 1 = बैल 1 औरओए 1 एक्स 1 ∆ ओएक्स , फिर = ОХ, बिंदुएक्स इच्छित।

इसी प्रकार, हम वृत्त के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु और सीधी रेखा की रचना करते हैं - बिंदुयू(चित्र.18,बी)।

चावल। 18, ए

चावल। 18बी

मैं 6.एक तरफा शासक के साथ निर्माण

जेड
यहां हम एक विशेष स्थिति पर विचार करते हैं: मान लीजिए कि बिंदु P दिया गया है,क्यू, आर 1 औरक्यू 1 . और वे समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष पर स्थित हैं।

1. खंड P . को विभाजित करें क्यू आधे में

समाधान चित्र 19 . में दिखाया गया है

दिए गए बिंदु P,क्यू, आर 1 औरक्यू 1 और समानांतर रेखाएं

आरक्यू, आर 1 क्यू 1 . चलो पी खर्च करते हैंक्यू 1  क्यूआर 1 = बी , आरआर 1  क्यू क्यू 1 = ए

ए और बी कनेक्ट करें। एबी आरक्यू = एफ- मध्य

खंड पीक्यू.

चावल। 19

2. दोहरा खंड आर 1 क्यू 1.

आर
समाधान चित्र 20 में दिखाया गया है। आइए निर्माण करें

बिंदुएफ- खंड के मध्य Rक्यूऔर इसे कनेक्ट करें

सेक्यू 1. आर 1 क्यू एफक्यू 1 = एम। चलो आरएम करते हैं। आर एम आर 1 क्यू 1 = आर

समानताआरक्यूऔर आर 1 क्यू 1 समानता से अनुसरण करता है

त्रिभुज आर एमएफऔर आरएमक्यू 1 ,

एफएमक्यूऔर आर 1 एमक्यू 1 , और समानताएफऔरएफक्यू.

चावल। बीस

3
. एक लंबाई खंड का निर्माण करें एन  आर 1 क्यू 1 .

एम – 1 समान खंड पीक्यू 2 , क्यू 2 क्यू 3, … क्यू एम -1 क्यू एम

फिर हम निर्माण करते हैं (आरआर 1 ) औरक्यू एम क्यू 1 और कनेक्ट

उनका प्रतिच्छेदन बिंदु A बिंदुओं के साथ

क्यू 2 , क्यू 3, … क्यू एम प्राप्तएम -1 सीधे

विभाजनआर 1 क्यू 1 परएम बराबरी का भागों।

के लियेएम = 4 समाधान चित्र 22 . में दिखाया गया है

चित्र.22

मैं 7. कम्पास और शासक के साथ दो तरफा शासक की विनिमेयता

आइए हम साबित करें कि एक दो तरफा शासक एक कंपास और एक शासक के साथ अदला-बदली कर सकता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित कथनों को सिद्ध करते हैं:

प्रस्ताव 1: कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ किए जा सकने वाले सभी निर्माण दो-तरफा स्ट्रेटेज के साथ किए जा सकते हैं।

चूंकि एक कंपास और एक शासक के साथ निर्माण करते समय, शासक दो बिंदुओं के माध्यम से सीधी रेखा खींचता है, और कंपास एक सर्कल बनाता है (दिए गए बिंदुओं से समान दूरी पर बिंदुओं का एक सेट ढूंढता है), तो कंपास और शासक के साथ सभी निर्माण कम हो जाते हैं दो सीधी रेखाओं, दो वृत्तों और एक सीधी रेखा वाले वृत्त के प्रतिच्छेदन का निर्माण करना।

एक रूलर की सहायता से दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन खींचा जा सकता है।

एक वृत्त और एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन (चित्र 23):

इमारत:माना खंड AB दिया गया है - वृत्त की त्रिज्या, सीधी रेखामैं , वृत्त O का केंद्र, तब:

1) हम ओएस खर्च करते हैं ||मैं , ओएस = एबी।

2) हम ओएस खर्च करते हैं ||कऔर रिमोट ए.

3) हम खर्च करते हैंआयुध डिपो, आयुध डिपो मैं = डी; आयुध डिपो k) थेल्स प्रमेय के परिणाम के अनुसार

4) समानता की ट्रांजिटिविटी के नियम के अनुसार

5) विचार करेंओमक्यूई. ओमक्यूईएक समांतर चतुर्भुज है, क्योंकि OM ||eq केऔर ओई ||एम सी(रैखिक पक्ष समानांतर हैं)। आइए सिद्ध करें कि यह एक समचतुर्भुज है।

5.1) आचरणQZ ओसीऔरक्यूजी पर, फिरक्यूजी = QZ = ए.

5.2)  ओमक्यू =  आरक्यूएम(क्रॉस झूठ बोलना);  ओएस =पर, जिसे साबित करना था।

दो वृत्तों का प्रतिच्छेदन: समान।

कथन 2: दो तरफा शासक के साथ संभव सभी निर्माण एक कंपास और सीधी किनारे के साथ व्यवहार्य हैं।

ऐसा करने के लिए, हम एक कंपास और एक शासक का उपयोग करके दो-तरफा शासक के लिए मानक निर्माण करेंगे।

1) एक रूलर का उपयोग करके एक दो-बिंदु रेखा आसानी से खींची जाती है।

2) एक सीधी रेखा का निर्माण, किसी दिए गए के समानांतर और एक निश्चित दूरी पर उससे दूर:

2.1) मान लीजिए एक पंक्ति दी गई हैकऔर लंबाई का एक खंडए.

2.2) हम एक मनमानी रेखा बनाते हैंबी क, रहने दोक बी= बी.

2.3) परबीडॉट के दोनों ओरबीएक सीधी रेखा परबीएक लंबाई अलग सेट करेंए, अंक देंसीऔरडी.

2.4) एक बिंदु के माध्यम सेसीएक सीधी रेखा बनाएँसी क.

2.5) एक बिंदु के माध्यम सेडीएक सीधी रेखा बनाएँडी क.

2.6) प्रत्यक्षसीऔरडी- वांछित, चूंकिईसा पूर्वऔरबीडीबराबरी काएनिर्माण द्वारा और रेखा के बीच की दूरी के बराबर हैंकऔर प्रत्यक्ष

3) एक दूसरे के समानांतर और दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं का निर्माण, और बीच की दूरी के बीच की दूरी दिए गए खंड के बराबर है:

3.1) अंक दिए जाने देंएऔरबीऔर लंबाई का एक खंडए.

3.2) एक बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त बनाएंएऔर त्रिज्याए.

3.3) हम दिए गए वृत्त पर एक बिंदु से होकर एक स्पर्श रेखा की रचना करते हैंबी; ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ हैं, यदिबीवृत्त के बाहर स्थित है (यदिअब> ए), एक अगरबीवृत्त पर स्थित है (यदिअब= ए), कोई नहीं अगरबीसर्कल के अंदर स्थित है (अब< ए) यह स्पर्शरेखा वांछित रेखाओं में से एक है; बिंदु से गुजरने के लिए छोड़ दियाएइसके समानांतर सीधी रेखा।

3.4) चूँकि रेखाओं में से एक वृत्त की त्रिज्या पर स्पर्शरेखा के रूप में लंबवत है, दूसरी भी इसके लंबवत है (क्योंकि वे समानांतर हैं), इसलिए, उनके बीच की दूरी त्रिज्या के बराबर है, जो निर्माण द्वारा, बराबर है प्रतिएजो आवश्यक था।

इस प्रकार, हमने एक दो तरफा शासक और एक कंपास और एक शासक की अदला-बदली साबित कर दी है।

निष्कर्ष: एक दो तरफा शासक कम्पास और एक शासक के साथ विनिमेय है।

निष्कर्ष

तो, एक कंपास और एक शासक की मदद से शास्त्रीय निर्माण समस्याओं को हल करने के लिए एक शासक का उपयोग करने की संभावना के प्रश्न पर विचार किया गया है और हल किया गया है। यह पता चला है कि केवल समानांतर किनारों वाले शासक का उपयोग करके निर्माण समस्याओं को हल किया जा सकता है। अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय, भविष्य में इस पेपर में तथाकथित बुनियादी निर्माणों पर भरोसा करना चाहिए।

प्रस्तुत सामग्री को न केवल गणित के पाठों में, गणितीय वृत्त की कक्षाओं में, बल्कि व्यावहारिक गतिविधियों में भी सीधे लागू किया जा सकता है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची

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एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश। एम।, शिक्षाशास्त्र। 1985

उदाहरण

एक रेखा को आधे में विभाजित करना

द्विभाजन समस्या. इस खंड को विभाजित करने के लिए एक कंपास और सीधा किनारे का प्रयोग करें अबदो बराबर भागों में। समाधानों में से एक चित्र में दिखाया गया है:

• कम्पास बिंदुओं पर केंद्रित वृत्त खींचते हैं एऔर बी RADIUS अब.
• चौराहे के बिंदु ढूँढना पीऔर क्यूदो निर्मित वृत्त (आर्क)।
• रूलर पर, बिंदुओं से होकर जाने वाला एक खंड या रेखा खींचिए पीऔर क्यू.
• खंड के मध्य बिंदु ढूँढना अब- चौराहे का बिंदु अबऔर पी क्यू.

औपचारिक परिभाषा

निर्माण की समस्याएं विमान के सभी बिंदुओं के सेट, विमान की सभी पंक्तियों के सेट और विमान के सभी मंडलों के सेट पर विचार करती हैं, जिस पर निम्नलिखित संचालन की अनुमति है:

1. सभी बिंदुओं के सेट से एक बिंदु चुनें:
   1. मनमाना बिंदु
   2. दी गई रेखा पर मनमाना बिंदु
   3. किसी दिए गए वृत्त पर मनमाना बिंदु
   4. दो दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु
   5. किसी दी गई रेखा और दिए गए वृत्त के प्रतिच्छेदन / स्पर्शरेखा के बिंदु
   6. दो दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेदन/स्पर्शरेखा बिंदु
2. "के जरिए शासकों» सभी पंक्तियों के सेट से एक पंक्ति का चयन करें:
   1. मनमानी रेखा
   2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी रेखा
   3. दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा
3. "के जरिए दिशा सूचक यंत्र» सभी मंडलियों के सेट से एक मंडली चुनें:
   1. मनमाना चक्र
   2. किसी दिए गए बिंदु पर केंद्रित एक मनमाना वृत्त
   3. दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर त्रिज्या वाला एक मनमाना वृत्त
   4. किसी दिए गए बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त और दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर त्रिज्या के साथ

समस्या की स्थितियों में, बिंदुओं का एक निश्चित सेट निर्दिष्ट किया जाता है। उपरोक्त अनुमत संचालनों में से एक और सेट का निर्माण करने के लिए, संचालन की एक सीमित संख्या का उपयोग करके, यह आवश्यक है, जो मूल सेट के साथ दिए गए संबंध में है।

निर्माण समस्या के समाधान में तीन आवश्यक भाग होते हैं:

1. दिए गए समुच्चय को बनाने की विधि का विवरण।
2. एक प्रमाण है कि वर्णित तरीके से निर्मित सेट वास्तव में मूल सेट के साथ दिए गए संबंध में है। आमतौर पर निर्माण का प्रमाण एक प्रमेय के नियमित प्रमाण के रूप में किया जाता है, जो स्वयंसिद्ध और अन्य सिद्ध प्रमेयों पर निर्भर करता है।
3. प्रारंभिक स्थितियों के विभिन्न रूपों के साथ-साथ वर्णित विधि द्वारा प्राप्त समाधान की विशिष्टता या गैर-विशिष्टता के लिए इसकी प्रयोज्यता के लिए वर्णित निर्माण विधि का विश्लेषण।

ज्ञात पहलु

• तीन दिए गए वृत्तों के स्पर्शरेखा वाले वृत्त के निर्माण की अपोलोनियस की समस्या। यदि दिए गए वृत्तों में से कोई भी दूसरे के अंदर नहीं है, तो इस समस्या के 8 अनिवार्य रूप से भिन्न समाधान हैं।
• ब्रह्मगुप्त की चार भुजाओं पर एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के निर्माण की समस्या।

नियमित बहुभुजों का निर्माण

प्राचीन जियोमीटर सही निर्माण करना जानते थे एन-gons के लिए , , और .

संभव और असंभव निर्माण

सभी रचनाएँ किसी समीकरण के समाधान से अधिक कुछ नहीं हैं, और इस समीकरण के गुणांक दिए गए खंडों की लंबाई से संबंधित हैं। इसलिए, एक संख्या के निर्माण के बारे में बात करना सुविधाजनक है - एक निश्चित प्रकार के समीकरण के लिए एक ग्राफिकल समाधान। उपरोक्त आवश्यकताओं के ढांचे के भीतर, निम्नलिखित निर्माण संभव हैं:

• रैखिक समीकरणों के समाधान का निर्माण।
• द्विघात समीकरणों के समाधान का निर्माण।

दूसरे शब्दों में, मूल संख्याओं (खंडों की लंबाई) के वर्गमूल का उपयोग करके केवल अंकगणितीय अभिव्यक्तियों के बराबर संख्याओं का निर्माण करना संभव है। उदाहरण के लिए,

विविधताएं और सामान्यीकरण

• एक कंपास के साथ निर्माण। Mohr-Mascheroni theorem के अनुसार, एक कंपास की मदद से आप कोई भी आकृति बना सकते हैं जिसे कंपास और रूलर से बनाया जा सकता है। इस मामले में, एक रेखा का निर्माण माना जाता है यदि उस पर दो बिंदु दिए गए हों।
• एक ही शासक के साथ निर्माण।यह देखना आसान है कि एक शासक की सहायता से केवल अनुमानित रूप से अपरिवर्तनीय निर्माण किए जा सकते हैं। विशेष रूप से, खंड को दो समान भागों में विभाजित करना, या खींचे गए वृत्त का केंद्र खोजना असंभव है। लेकिन अगर एक शासक का उपयोग करके एक चिह्नित केंद्र के साथ विमान पर एक पूर्व-तैयार सर्कल है, तो आप एक कंपास और एक शासक (पोंसेलेट-स्टीनर प्रमेय (पोंसेलेट-स्टीनर प्रमेय) के समान निर्माण कर सकते हैं। अंग्रेज़ी)), 1833। यदि रूलर पर दो सेरिफ़ हों, तो उसकी सहायता से निर्माण कंपास और रूलर की सहायता से किए गए निर्माणों के समान होते हैं (नेपोलियन ने इसे सिद्ध करने में एक महत्वपूर्ण कदम उठाया)।
• सीमित उपकरणों के साथ निर्माण।इस तरह की समस्याओं में, उपकरण (समस्या के शास्त्रीय निरूपण के विपरीत) को आदर्श नहीं माना जाता है, लेकिन सीमित: दो बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा केवल एक शासक का उपयोग करके खींची जा सकती है यदि इन बिंदुओं के बीच की दूरी एक निश्चित से अधिक न हो। मूल्य; कम्पास से खींचे गए वृत्तों की त्रिज्या ऊपर, नीचे या ऊपर और नीचे दोनों से सीमित की जा सकती है।
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टिप्पणियाँ

साहित्य

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• वाई. पीटरसनज्यामितीय निर्माण समस्याओं को हल करने के तरीके और सिद्धांत। - एम।: ई। लिसनर और यू। रोमन का प्रिंटिंग हाउस, 1892. - 114 पी।
• वी. वी. प्रसोलोवतीन क्लासिक बिल्डिंग समस्याएं। एक क्यूब को दोगुना करना, एक कोण का ट्राइसेक्शन, एक सर्कल को स्क्वायर करना। - एम।: नौका, 1992। - 80 पी। - (गणित पर लोकप्रिय व्याख्यान)।
• जे. स्टेनरएक सीधी रेखा और एक निश्चित वृत्त का उपयोग करके किए गए ज्यामितीय निर्माण। - एम।: उचपेडिज, 1939। - 80 पी।
• गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम। 7-9 / कॉम्प। आई एल निकोल्सकाया। - एम।: शिक्षा, 1991। - एस। 80. - 383 पी। - आईएसबीएन 5-09-001287-3

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

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यूक्लिडियन ज्यामिति का खंड, जिसे प्राचीन काल से जाना जाता है। निर्माण कार्यों में, निम्नलिखित ऑपरेशन संभव हैं: विमान पर एक मनमाना बिंदु, निर्मित लाइनों में से एक पर एक बिंदु, या दो निर्मित लाइनों के चौराहे बिंदु को चिह्नित करें। की मदद से ... ... विकिपीडिया

कंपास और स्ट्रेटेज की मदद से निर्माण प्राचीन काल से ज्ञात यूक्लिडियन ज्यामिति का एक खंड। निर्माण कार्यों में, निम्नलिखित ऑपरेशन संभव हैं: विमान पर एक मनमाना बिंदु, निर्मित लाइनों में से एक पर एक बिंदु, या एक बिंदु ... विकिपीडिया को चिह्नित करें।

उदा।, एस।, उपयोग। कॉम्प. अक्सर आकृति विज्ञान: (नहीं) क्या? किस लिए निर्माण? निर्माण, (देखें) क्या? क्या निर्माण? निर्माण, किस बारे में? निर्माण के बारे में; कृपया क्या? निर्माण, (नहीं) क्या? निर्माण, क्यों? निर्माण, (देखें) क्या? से निर्माण? ... ... दिमित्रीव का शब्दकोश

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt="(!LANG:>रूलर और कंपास ज्यामिति के साथ निर्माण">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="(!LANG:> दिए गए खंड के बराबर खंड बनाएं समस्या A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="(!LANG:> दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना त्रिभुजों पर विचार करें"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="(!LANG:> कोण समद्विभाजक का निर्माण समस्या Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="(!LANG:> लंबवत रेखाओं का निर्माण Ú एक रेखा को देखते हुए समस्या"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="(!LANG:> एक खंड के मध्य बिंदु का निर्माण कार्य Ú एक के मध्य बिंदु का निर्माण दिया गया"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}