व्युत्पन्न का परिचय किसने दिया? व्युत्पन्न क्या है? व्युत्पन्न फलन की परिभाषा और अर्थ। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

समस्या B9 एक फ़ंक्शन या व्युत्पन्न का एक ग्राफ़ देती है जिससे आपको निम्नलिखित में से एक मात्रा निर्धारित करने की आवश्यकता होती है:

1. किसी बिंदु पर व्युत्पन्न का मान x 0,
2. अधिकतम या न्यूनतम अंक (चरम बिंदु),
3. बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल (एकरसता के अंतराल)।

इस समस्या में प्रस्तुत फ़ंक्शन और डेरिवेटिव हमेशा निरंतर होते हैं, जिससे समाधान बहुत आसान हो जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि कार्य अनुभाग का है गणितीय विश्लेषण, यह सबसे कमजोर छात्रों की क्षमताओं के भीतर भी है, क्योंकि यहां किसी गहन सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है।

व्युत्पन्न, चरम बिंदु और एकरसता अंतराल का मान ज्ञात करने के लिए, सरल और सार्वभौमिक एल्गोरिदम हैं - उन सभी पर नीचे चर्चा की जाएगी।

मूर्खतापूर्ण गलतियाँ करने से बचने के लिए समस्या B9 की शर्तों को ध्यान से पढ़ें: कभी-कभी आपको काफी लंबे पाठ देखने को मिलते हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण स्थितियाँ होती हैं जो समाधान की दिशा को प्रभावित करती हैं।

व्युत्पन्न मूल्य की गणना. दो बिंदु विधि

यदि समस्या में किसी बिंदु x 0 पर इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा फ़ंक्शन f(x) का ग्राफ़ दिया गया है, और इस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना आवश्यक है, तो निम्नलिखित एल्गोरिदम लागू किया जाता है:

1. स्पर्शरेखा ग्राफ़ पर दो "पर्याप्त" बिंदु खोजें: उनके निर्देशांक पूर्णांक होने चाहिए। आइए इन बिंदुओं को A (x 1 ; y 1) और B (x 2 ; y 2) निरूपित करें। निर्देशांकों को सही ढंग से लिखें - यह समाधान में एक महत्वपूर्ण बिंदु है, और यहां कोई भी गलती गलत उत्तर की ओर ले जाएगी।
2. निर्देशांक को जानने के बाद, तर्क Δx = x 2 - x 1 की वृद्धि और फ़ंक्शन Δy = y 2 - y 1 की वृद्धि की गणना करना आसान है।
3. अंत में, हम व्युत्पन्न D = Δy/Δx का मान ज्ञात करते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि को तर्क की वृद्धि से विभाजित करने की आवश्यकता है - और यही उत्तर होगा।

आइए एक बार फिर से ध्यान दें: बिंदु ए और बी को सटीक रूप से स्पर्शरेखा पर देखा जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन एफ (एक्स) के ग्राफ़ पर, जैसा कि अक्सर होता है। स्पर्शरेखा रेखा में आवश्यक रूप से कम से कम दो ऐसे बिंदु होंगे - अन्यथा समस्या की रचना सही ढंग से नहीं की जाएगी।

बिंदु A (−3; 2) और B (−1; 6) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

आइए अवकलज का मान ज्ञात करें: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

काम। यह चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु A (0; 3) और B (3; 0) पर विचार करें, वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

अब हम अवकलज का मान ज्ञात करते हैं: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

काम। यह चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु A (0; 2) और B (5; 2) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना बाकी है: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

पिछले उदाहरण से, हम एक नियम बना सकते हैं: यदि स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है। इस मामले में, आपको कुछ भी गिनने की ज़रूरत नहीं है - बस ग्राफ़ को देखें।

अधिकतम और न्यूनतम अंक की गणना

कभी-कभी, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बजाय, समस्या B9 व्युत्पन्न का ग्राफ़ देता है और फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम बिंदु को खोजने की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, दो-बिंदु विधि बेकार है, लेकिन एक और भी सरल एल्गोरिथ्म है। सबसे पहले, आइए शब्दावली को परिभाषित करें:

1. बिंदु x 0 को फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में निम्नलिखित असमानता है: f(x 0) ≥ f(x)।
2. बिंदु x 0 को फ़ंक्शन f(x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में निम्नलिखित असमानता है: f(x 0) ≤ f(x)।

व्युत्पन्न ग्राफ़ से अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने के लिए, बस इन चरणों का पालन करें:

1. सभी अनावश्यक जानकारी को हटाते हुए, व्युत्पन्न ग्राफ़ को फिर से बनाएं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अनावश्यक डेटा केवल निर्णय में हस्तक्षेप करता है। इसलिए, हम निर्देशांक अक्ष पर व्युत्पन्न के शून्य को चिह्नित करते हैं - और बस इतना ही।
2. शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न ज्ञात कीजिए। यदि किसी बिंदु x 0 के लिए यह ज्ञात है कि f'(x 0) ≠ 0, तो केवल दो विकल्प संभव हैं: f'(x 0) ≥ 0 या f'(x 0) ≤ 0. अवकलज का चिह्न है मूल रेखाचित्र से निर्धारित करना आसान है: यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित है, तो f'(x) ≥ 0. और इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के नीचे है, तो f'(x) ≤ 0.
3. फिर से हम व्युत्पन्न के शून्य और चिह्नों की जाँच करते हैं। जहां चिह्न ऋण से धन में बदलता है वह न्यूनतम बिंदु है। इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह अधिकतम बिंदु है। गिनती सदैव बाएँ से दाएँ की ओर की जाती है।

यह योजना केवल निरंतर कार्यों के लिए काम करती है - समस्या B9 में कोई अन्य नहीं हैं।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−5; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 5]. इस खंड पर फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं और केवल सीमाएं छोड़ें [−5; 5] और अवकलज x = −3 और x = 2.5 के शून्य। हम संकेतों पर भी ध्यान देते हैं:

जाहिर है, बिंदु x = −3 पर व्युत्पन्न का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। यह न्यूनतम बिंदु है.

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−3; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 7]. इस खंड पर फलन f(x) का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए, केवल सीमाओं को छोड़कर, ग्राफ़ को फिर से बनाएं [−3; 7] और अवकलज x = −1.7 और x = 5 के शून्य। आइए हम परिणामी ग्राफ़ पर अवकलज के चिह्नों पर ध्यान दें। हमारे पास है:

जाहिर है, बिंदु x = 5 पर व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है - यह अधिकतम बिंदु है।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−6; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 4]. खंड [−4;'' से संबंधित फलन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। 3].

समस्या की स्थितियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि ग्राफ़ के केवल खंड [−4; 3]. इसलिए, हम एक नया ग्राफ बनाते हैं जिस पर हम केवल सीमाओं को चिह्नित करते हैं [−4; 3] और इसके अंदर व्युत्पन्न के शून्य। अर्थात्, अंक x = −3.5 और x = 2. हमें मिलता है:

इस ग्राफ़ पर केवल एक अधिकतम बिंदु x = 2 है। यह इस बिंदु पर है कि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है।

गैर-पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में एक छोटा सा नोट। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में बिंदु x = −3.5 पर विचार किया गया था, लेकिन उसी सफलता के साथ हम x = −3.4 ले सकते हैं। यदि समस्या सही ढंग से संकलित की गई है, तो ऐसे परिवर्तनों से उत्तर प्रभावित नहीं होना चाहिए, क्योंकि "निवास स्थान के बिना" बिंदु समस्या को हल करने में सीधे भाग नहीं लेते हैं। बेशक, यह युक्ति पूर्णांक बिंदुओं के साथ काम नहीं करेगी।

बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल ढूँढना

ऐसी समस्या में, अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं की तरह, उन क्षेत्रों को खोजने के लिए व्युत्पन्न ग्राफ़ का उपयोग करने का प्रस्ताव है जिनमें फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता या घटता है। सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि वृद्धि और कमी क्या हैं:

1. एक फलन f(x) को एक खंड पर बढ़ता हुआ माना जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . दूसरे शब्दों में, तर्क मान जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन मान उतना ही बड़ा होगा।
2. एक फलन f(x) को एक खंड पर घटता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . वे। एक बड़ा तर्क मान छोटे फ़ंक्शन मान से मेल खाता है।

आइए हम बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त स्थितियाँ तैयार करें:

1. के लिए सतत कार्यखंड पर f(x) बढ़ता है, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है, अर्थात। एफ'(एक्स) ≥ 0.
2. एक सतत फलन f(x) के खंड पर घटने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) ≤ 0.

आइए हम इन बयानों को बिना सबूत के स्वीकार कर लें। इस प्रकार, हम बढ़ते और घटते अंतरालों को खोजने के लिए एक योजना प्राप्त करते हैं, जो कई मायनों में चरम बिंदुओं की गणना के लिए एल्गोरिदम के समान है:

1. सभी अनावश्यक जानकारी हटा दें. व्युत्पन्न के मूल ग्राफ़ में, हम मुख्य रूप से फ़ंक्शन के शून्य में रुचि रखते हैं, इसलिए हम केवल उन्हें छोड़ देंगे।
2. शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न अंकित करें। जहां f'(x) ≥ 0, फ़ंक्शन बढ़ता है, और जहां f'(x) ≤ 0, यह घटता है। यदि समस्या वेरिएबल x पर प्रतिबंध लगाती है, तो हम अतिरिक्त रूप से उन्हें एक नए ग्राफ़ पर चिह्नित करते हैं।
3. अब जब हम फ़ंक्शन के व्यवहार और बाधाओं को जानते हैं, तो समस्या में आवश्यक मात्रा की गणना करना बाकी है।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−3; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 7.5]. फलन f(x) के घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांकों का योग इंगित करें।

हमेशा की तरह, आइए ग्राफ़ को फिर से बनाएं और सीमाओं को चिह्नित करें [−3; 7.5], साथ ही अवकलज x = −1.5 और x = 5.3 के शून्य भी। फिर हम व्युत्पन्न के चिह्नों पर ध्यान देते हैं। हमारे पास है:

चूँकि अंतराल (− 1.5) पर अवकलज ऋणात्मक है, यह घटते फलन का अंतराल है। इस अंतराल के अंदर मौजूद सभी पूर्णांकों का योग करना बाकी है:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−10; 4]. फलन f(x) की वृद्धि के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं। आइए हम केवल सीमाएँ छोड़ दें [−10; 4] और अवकलज के शून्य, जिनमें से इस बार चार थे: x = −8, x = −6, x = −3 और x = 2। आइए अवकलज के चिह्नों को चिह्नित करें और निम्नलिखित चित्र प्राप्त करें:

हम बढ़ते फलन के अंतरालों में रुचि रखते हैं, अर्थात्। ऐसे जहां f'(x) ≥ 0. ग्राफ़ पर ऐसे दो अंतराल हैं: (−8; −6) और (−3; 2)। आइए उनकी लंबाई की गणना करें:
एल 1 = − 6 − (−8) = 2;
एल 2 = 2 − (−3) = 5.

चूँकि हमें सबसे बड़े अंतराल की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, हम उत्तर के रूप में मान l 2 = 5 लिखते हैं।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन को एक बिंदु और उसके कुछ पड़ोस पर परिभाषित किया गया है। आइए तर्क को इस प्रकार बढ़ाएँ कि बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में आ जाए। इसके बाद कार्य बढ़ाया जाएगा।

परिभाषा। एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा को तर्क की वृद्धि कहा जाता है, (यदि यह सीमा मौजूद है और सीमित है), अर्थात।

निरूपित करें: ,,,।

दाएँ (बाएँ) पर एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बुलाया

(यदि यह सीमा मौजूद है और सीमित है)।

द्वारा निर्दिष्ट: , - दाईं ओर बिंदु पर व्युत्पन्न,

, बाईं ओर के बिंदु पर व्युत्पन्न है।

जाहिर है, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय. किसी फ़ंक्शन का एक बिंदु पर व्युत्पन्न होता है यदि और केवल यदि इस बिंदु पर दाएं और बाएं पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न मौजूद होते हैं और एक दूसरे के बराबर होते हैं। इसके अतिरिक्त

निम्नलिखित प्रमेय एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अस्तित्व और उस बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के बीच संबंध स्थापित करता है।

प्रमेय (एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)। यदि किसी फ़ंक्शन का किसी बिंदु पर व्युत्पन्न है, तो उस बिंदु पर फ़ंक्शन निरंतर है।

सबूत

इसे अस्तित्व में रहने दो. तब

,

जहां पर अतिसूक्ष्म है.

टिप्पणी

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न और निरूपित करें

कार्य का विभेदन .

ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

1) व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ. यदि कोई फ़ंक्शन और उसके तर्क हैं भौतिक मात्रा, तो व्युत्पन्न एक बिंदु पर चर के सापेक्ष एक चर के परिवर्तन की दर है। उदाहरण के लिए, यदि समय में किसी बिंदु द्वारा तय की गई दूरी है, तो इसका व्युत्पन्न समय के क्षण में गति है। यदि एक पल में कंडक्टर के क्रॉस सेक्शन के माध्यम से बहने वाली बिजली की मात्रा है, तो एक पल में बिजली की मात्रा में परिवर्तन की दर है, यानी। समय के एक क्षण में वर्तमान ताकत।

2) व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ.

चलो कोई वक्र हो, वक्र पर एक बिंदु हो।

कम से कम दो बिंदुओं को प्रतिच्छेद करने वाली कोई भी सीधी रेखा कहलाती है काटनेवाला .

एक बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा यदि बिंदु किसी वक्र के अनुदिश गति करता है, तो इसे सेकेंट की सीमा स्थिति कहा जाता है।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि यदि किसी बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा मौजूद है, तो वह एकमात्र है

एक वक्र पर विचार करें (अर्थात किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़)। इसे एक बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा होने दें। इसका समीकरण: (एक बिंदु से गुजरने वाली और कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण)।

ढलान की परिभाषा के अनुसार

अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण कहां है।

मान लीजिए कि छेदक के अक्ष पर झुकाव का कोण है, जहां। चूँकि स्पर्शरेखा है, तो कब

इस तरह,

इस प्रकार, हमें वह मिल गया - बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक(एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ)। अत: किसी बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा का समीकरण इस रूप में लिखा जा सकता है

टिप्पणी . किसी बिंदु से होकर उस बिंदु पर वक्र पर खींची गई स्पर्शरेखा के लंबवत गुजरने वाली सीधी रेखा को कहा जाता है बिंदु पर वक्र के सामान्य . चूँकि लंब सीधी रेखाओं के कोणीय गुणांक संबंध से संबंधित होते हैं, एक बिंदु पर वक्र के सामान्य के समीकरण का रूप होगा

, अगर ।

यदि, तो बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा का रूप होगा

और सामान्य.

स्पर्शरेखा और सामान्य समीकरण

स्पर्शरेखा समीकरण

मान लीजिए कि फलन समीकरण द्वारा दिया गया है य=एफ(एक्स), आपको समीकरण लिखना होगा स्पर्शरेखाबिंदु पर एक्स 0. व्युत्पन्न की परिभाषा से:

य/(एक्स)=limΔ एक्स→0Δ यΔ एक्स

Δ य=एफ(एक्स+Δ एक्स)−एफ(एक्स).

समीकरण स्पर्शरेखाफ़ंक्शन के ग्राफ़ पर: य=केएक्स+बी (क,बी=कॉन्स्ट). व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ से: एफ/(एक्स 0)=टीजीα= कक्योंकि एक्स 0 और एफ(एक्स 0)∈ सीधी रेखा, फिर समीकरण स्पर्शरेखाइस प्रकार लिखा गया है: य−एफ(एक्स 0)=एफ/(एक्स 0)(एक्स−एक्स 0) , या

य=एफ/(एक्स 0)· एक्स+एफ(एक्स 0)−एफ/(एक्स 0)· एक्स 0.

सामान्य समीकरण

सामान्य- के लंबवत है स्पर्शरेखा(तस्वीर देखने)। इस पर आधारित:

टीजीβ= टीजी(2π−α)= सीटीजीα=1 टीजीα=1 एफ/(एक्स 0)

क्योंकि अभिलंब के झुकाव का कोण कोण β1 है, तो हमारे पास है:

टीजीβ1= टीजी(π−β)=− टीजीβ=−1 एफ/(एक्स).

बिंदु ( एक्स 0,एफ(एक्स 0))∈ सामान्य, समीकरण निम्न रूप लेता है:

य−एफ(एक्स 0)=−1एफ/(एक्स 0)(एक्स−एक्स 0).

सबूत

इसे अस्तित्व में रहने दो. तब

,

जहां पर अतिसूक्ष्म है.

लेकिन इसका मतलब यह है कि यह एक बिंदु पर निरंतर है (निरंतरता की ज्यामितीय परिभाषा देखें)। ∎

टिप्पणी . किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता किसी बिंदु पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्त नहीं है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन सतत है, लेकिन किसी बिंदु पर उसका कोई व्युत्पन्न नहीं है। वास्तव में,

और इसलिए अस्तित्व में नहीं है.

यह स्पष्ट है कि पत्राचार किसी सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है। वे उसे बुलाते हैं किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न और निरूपित करें

किसी फ़ंक्शन के लिए उसके व्युत्पन्न फ़ंक्शन को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है कार्य का विभेदन .

योग और अंतर का व्युत्पन्न

मान लीजिए कि फलन f(x) और g(x) दिए गए हैं जिनके अवकलज हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

(एफ + जी)' = एफ '+ जी'

(एफ - जी)' = एफ ' - जी'

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, (f + g + h)' = f' + g' + h'।

कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए, अंतर f - g को योग f + (−1) g के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।

लेख की सामग्री

व्युत्पन्न- फ़ंक्शन का व्युत्पन्न य = एफ(एक्स), एक निश्चित अंतराल पर दिया गया ( ए, बी) बिंदु पर एक्सइस अंतराल को वह सीमा कहा जाता है जिस तक फलन की वृद्धि का अनुपात प्रवृत्त होता है एफइस बिंदु पर तर्क की संगत वृद्धि पर जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।

व्युत्पन्न को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है:

अन्य पदनाम भी व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं:

तुरंत गति.

आइए बात को स्पष्ट करें एमएक सीधी रेखा में चलता है. दूरी एसगतिमान बिंदु, कुछ प्रारंभिक स्थिति से गिना जाता है एम 0 , समय पर निर्भर करता है टी, अर्थात। एससमय का एक कार्य है टी: एस= एफ(टी). चलो किसी समय टीगतिमान बिंदु एमकी दूरी पर था एसआरंभिक स्थिति से एम 0, और किसी अगले पल में टी+डी टीखुद को एक स्थिति में पाया एम 1 - दूरी पर एस+डी एसप्रारंभिक स्थिति से ( तस्वीर देखें.).

इस प्रकार, समय के साथ डी टीदूरी एसराशि D द्वारा बदला गया एस. इस मामले में उनका कहना है कि समय अंतराल के दौरान डी टीपरिमाण एसवेतन वृद्धि प्राप्त हुई डी एस.

औसत गति सभी मामलों में किसी बिंदु की गति की गति को सटीक रूप से चित्रित नहीं कर सकती है एमएक समय में टी. यदि, उदाहरण के लिए, अंतराल डी की शुरुआत में शरीर टीबहुत तेज़ी से आगे बढ़ा, और अंत में बहुत धीमी गति से, तो औसत गति बिंदु की गति की संकेतित विशेषताओं को प्रतिबिंबित करने में सक्षम नहीं होगी और इस समय इसकी गति की वास्तविक गति का अंदाजा नहीं दे पाएगी टी. औसत गति का उपयोग करके वास्तविक गति को अधिक सटीक रूप से व्यक्त करने के लिए, आपको कम समय डी लेने की आवश्यकता है टी. इस समय किसी बिंदु की गति की गति को पूरी तरह से चित्रित करता है टीवह सीमा जिस तक औसत गति D पर जाती है टी® 0. इस सीमा को वर्तमान गति कहा जाता है:

इस प्रकार, किसी निश्चित क्षण में गति की गति को पथ वृद्धि अनुपात डी की सीमा कहा जाता है एससमय वृद्धि के लिए डी टी, जब समय वृद्धि शून्य हो जाती है। क्योंकि

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ. किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा.

स्पर्शरेखा रेखाओं का निर्माण उन समस्याओं में से एक है जिसके कारण विभेदक कलन का जन्म हुआ। डिफरेंशियल कैलकुलस से संबंधित पहला प्रकाशित कार्य लाइबनिज द्वारा लिखित था, जिसका शीर्षक था मैक्सिमा और मिनिमा की एक नई विधि, साथ ही स्पर्शरेखा, जिसके लिए न तो भिन्नात्मक और न ही अपरिमेय मात्राएँ बाधा हैं, और इसके लिए एक विशेष प्रकार की कलन.

मान लीजिए कि वक्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ है य =एफ(एक्स) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में ( सेमी. चावल।)।

कुछ कीमत पर एक्सकार्य मायने रखता है य =एफ(एक्स). ये मूल्य एक्सऔर यवक्र पर बिंदु संगत है एम 0(एक्स, य). यदि तर्क एक्सदेना वृद्धि डी एक्स, फिर तर्क का नया मान एक्स+डी एक्सनए फ़ंक्शन मान से मेल खाता है y+डी य = एफ(एक्स + डी एक्स). वक्र का संगत बिंदु बिंदु होगा एम 1(एक्स+डी एक्स,य+डी य). यदि आप एक सेकेंट बनाते हैं एम 0एम 1 और j द्वारा निरूपित किया गया अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक तिर्यक रेखा द्वारा बनाया गया कोण बैल, चित्र से यह तुरंत स्पष्ट है कि .

यदि अब डी एक्सशून्य की ओर जाता है, फिर बात एम 1 वक्र के अनुदिश बिंदु की ओर बढ़ता है एम 0, और कोण जे डी के साथ परिवर्तन एक्स. पर डीएक्स® 0 कोण j एक निश्चित सीमा a और बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा की ओर जाता है एम 0 और x-अक्ष की सकारात्मक दिशा वाला घटक, कोण a, वांछित स्पर्शरेखा होगा। इसका ढलान है:

इस तरह, एफ´( एक्स) = टीजीए

वे। व्युत्पन्न मूल्य एफ´( एक्स) किसी दिए गए तर्क मान के लिए एक्सफ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा से बने कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है एफ(एक्स) संगत बिंदु पर एम 0(एक्स,य) सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ बैल.

कार्यों की भिन्नता.

परिभाषा। यदि फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) बिंदु पर एक व्युत्पन्न है एक्स = एक्स 0, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है।

व्युत्पन्न वाले फ़ंक्शन की निरंतरता। प्रमेय.

यदि फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) कुछ बिंदु पर भिन्न है एक्स = एक्स 0, तो यह इस बिंदु पर निरंतर है।

इस प्रकार, फ़ंक्शन में असंततता बिंदुओं पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। विपरीत निष्कर्ष गलत है, अर्थात इस तथ्य से कि किसी बिंदु पर एक्स = एक्स 0 फ़ंक्शन य = एफ(एक्स) निरंतर है इसका मतलब यह नहीं है कि यह इस बिंदु पर भिन्न है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन य = |एक्स| सभी के लिए निरंतर एक्स(–Ґ x x = 0 का कोई अवकलज नहीं है। इस बिंदु पर ग्राफ़ की कोई स्पर्श रेखा नहीं है। एक दाहिनी स्पर्श रेखा और एक बाईं स्पर्श रेखा है, लेकिन वे संपाती नहीं हैं।

अवकलनीय कार्यों पर कुछ प्रमेय। व्युत्पन्न की जड़ों पर प्रमेय (रोले का प्रमेय)।यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स) खंड पर निरंतर है [ए,बी], इस खंड के सभी आंतरिक बिंदुओं और सिरों पर भिन्न है एक्स = एऔर एक्स = बीशून्य पर चला जाता है ( एफ(ए) = एफ(बी) = 0), फिर खंड के अंदर [ ए,बी] कम से कम एक बिंदु तो है एक्स= साथ, एसी बी, जिसमें व्युत्पन्न एफў( एक्स) शून्य पर चला जाता है, अर्थात एफў( सी) = 0.

परिमित वृद्धि प्रमेय (लैग्रेंज प्रमेय)।यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर है [ ए, बी] और इस खंड के सभी आंतरिक बिंदुओं पर भिन्न है, फिर खंड के अंदर [ ए, बी] कम से कम एक बिंदु तो है साथ, एसी बी वो

एफ(बी) – एफ(ए) = एफў( सी)(बी– ए).

दो कार्यों की वृद्धि के अनुपात पर प्रमेय (कॉची का प्रमेय)।अगर एफ(एक्स) और जी(एक्स) - खंड पर दो कार्य निरंतर [ए, बी] और इस खंड के सभी आंतरिक बिंदुओं पर भिन्न, और जीў( एक्स) इस खंड के अंदर कहीं भी गायब नहीं होता है, फिर खंड के अंदर [ ए, बी] एक ऐसी बात है एक्स = साथ, एसी बी वो

विभिन्न आदेशों के व्युत्पन्न।

कार्य करने दो य =एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर अवकलनीय है [ ए, बी]. व्युत्पन्न मूल्य एफ ў( एक्स), आम तौर पर बोलना, पर निर्भर करता है एक्स, अर्थात। यौगिक एफ ў( एक्स) का भी एक कार्य है एक्स. इस फ़ंक्शन को विभेदित करने पर, हमें फ़ंक्शन का तथाकथित दूसरा व्युत्पन्न प्राप्त होता है एफ(एक्स), जिसे दर्शाया गया है एफ ўў ( एक्स).

यौगिक एन-कार्य का वां क्रम एफ(एक्स) को अवकलज का अवकलज (प्रथम क्रम) कहा जाता है एन- 1- वें और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है य(एन) = (य(एन– 1))ў.

विभिन्न आदेशों के अंतर.

फ़ंक्शन अंतर य = एफ(एक्स), कहाँ एक्स- स्वतंत्र चर, हाँ डीवाई = एफ ў( एक्स)डीएक्स, से कुछ कार्य एक्स, लेकिन से एक्सकेवल पहला कारक ही निर्भर हो सकता है एफ ў( एक्स), दूसरा कारक ( डीएक्स) स्वतंत्र चर की वृद्धि है एक्सऔर इस चर के मान पर निर्भर नहीं करता है. क्योंकि डीवाईसे एक फ़ंक्शन है एक्स, तो हम इस फ़ंक्शन का अंतर निर्धारित कर सकते हैं। किसी फ़ंक्शन के अंतर के अंतर को इस फ़ंक्शन का दूसरा अंतर या दूसरे क्रम का अंतर कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है डी 2य:

डी(डीएक्स) = डी 2य = एफ ўў( एक्स)(डीएक्स) 2 .

अंतर एन-प्रथम कोटि का अवकलन प्रथम अवकलन कहलाता है एन- 1- वां क्रम:

डी एन वाई = डी(डी एन–1य) = एफ(एन)(एक्स)डीएक्स(एन).

आंशिक व्युत्पन्न।

यदि कोई फ़ंक्शन एक पर नहीं, बल्कि कई तर्कों पर निर्भर करता है एक्स मैं(मैं 1 से भिन्न होता है एन,मैं= 1, 2,… एन),एफ(एक्स 1,एक्स 2,… एक्स एन), फिर विभेदक कैलकुलस में आंशिक व्युत्पन्न की अवधारणा पेश की जाती है, जो केवल एक तर्क में परिवर्तन होने पर कई चर के फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है, उदाहरण के लिए, एक्स मैं. के संबंध में प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न एक्स मैंइसे एक सामान्य व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, और यह माना जाता है कि सभी तर्कों को छोड़कर एक्स मैं, स्थिर मान रखें। आंशिक व्युत्पन्नों के लिए, अंकन प्रस्तुत किया गया है

इस तरह से परिभाषित प्रथम क्रम के आंशिक व्युत्पन्न (समान तर्कों के कार्यों के रूप में), बदले में, आंशिक व्युत्पन्न भी हो सकते हैं, ये दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं, आदि। विभिन्न तर्कों से लिए गए ऐसे व्युत्पन्नों को मिश्रित कहा जाता है। एक ही क्रम के निरंतर मिश्रित व्युत्पन्न विभेदन के क्रम पर निर्भर नहीं होते हैं और एक दूसरे के बराबर होते हैं।

अन्ना चुगैनोवा

(\large\bf किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न)

फ़ंक्शन पर विचार करें y=f(x), अंतराल पर निर्दिष्ट (ए, बी). होने देना एक्स- अंतराल का कोई निश्चित बिंदु (ए, बी), ए Δx- एक मनमाना संख्या जैसे कि मान x+Δxअंतराल का भी है (ए, बी). यह नंबर Δxतर्क वृद्धि कहा जाता है।

परिभाषा. कार्य वृद्धि y=f(x)बिंदु पर एक्स, तर्क वृद्धि के अनुरूप Δx, चलो नंबर पर कॉल करें

Δy = f(x+Δx) - f(x).

ऐसा हमारा विश्वास है Δx ≠ 0. किसी निश्चित बिंदु पर विचार करें एक्सइस बिंदु पर फ़ंक्शन वृद्धि का अनुपात संबंधित तर्क वृद्धि से है Δx

इस संबंध को हम अंतर संबंध कहेंगे. मान के बाद से एक्सहम निश्चित मानते हैं, अंतर अनुपात तर्क का एक कार्य है Δx. यह फ़ंक्शन सभी तर्क मानों के लिए परिभाषित है Δx, बिंदु के कुछ पर्याप्त छोटे पड़ोस से संबंधित Δx=0, बिंदु को छोड़कर Δx=0. इस प्रकार, हमें निर्दिष्ट फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के प्रश्न पर विचार करने का अधिकार है Δx → 0.

परिभाषा. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y=f(x)किसी निश्चित बिंदु पर एक्सपर सीमा कहा जाता है Δx → 0अंतर अनुपात, अर्थात्

बशर्ते कि यह सीमा मौजूद हो.

पद का नाम. y'(x)या एफ'(एक्स).

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ(एक्स)इस समय एक्सअक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर बैलऔर संबंधित बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा:

f′(x 0) = \tgα.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न बिंदु की सीधी गति की गति के बराबर है:

एक रेखा की स्पर्शरेखा का समीकरण y=f(x)बिंदु पर म 0 (x 0 ,y 0)रूप ले लेता है

y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).

किसी बिंदु पर किसी वक्र का अभिलंब उसी बिंदु पर स्पर्शरेखा का लंबवत होता है। अगर f′(x 0)≠ 0, फिर रेखा के अभिलम्ब का समीकरण y=f(x)बिंदु पर म 0 (x 0 ,y 0)इस प्रकार लिखा गया है:

किसी फ़ंक्शन की भिन्नता की अवधारणा

कार्य करने दो y=f(x)एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित (ए, बी), एक्स- इस अंतराल से कुछ निश्चित तर्क मान, Δx- तर्क की कोई भी वृद्धि जैसे कि तर्क का मूल्य x+Δx ∈ (ए, बी).

परिभाषा. समारोह y=f(x)किसी दिए गए बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है एक्स, यदि वृद्धि Δयबिंदु पर यह कार्य एक्स, तर्क वृद्धि के अनुरूप Δx, प्रपत्र में दर्शाया जा सकता है

Δy = A Δx +αΔx,

कहाँ ए- कुछ संख्या से स्वतंत्र Δx, ए α - तर्क समारोह Δx, जो कि अतिसूक्ष्म है Δx→ 0.

चूँकि दो अतिसूक्ष्म फलनों का गुणनफल αΔxअतिसूक्ष्म से अधिक है उच्च स्तर, कैसे Δx(3 अतिसूक्ष्म फलनों का गुणधर्म), तो हम लिख सकते हैं:

Δy = A Δx +o(Δx).

प्रमेय. समारोह के लिए y=f(x)किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न था एक्स, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस बिंदु पर इसका एक सीमित व्युत्पन्न हो। जिसमें ए=एफ′(एक्स), वह है

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

व्युत्पन्न खोजने की क्रिया को आमतौर पर विभेदीकरण कहा जाता है।

प्रमेय. यदि फ़ंक्शन y=f(x) एक्स, तो यह इस बिंदु पर निरंतर है।

टिप्पणी. समारोह की निरंतरता से y=f(x)इस समय एक्स, सामान्यतया, फ़ंक्शन की भिन्नता का पालन नहीं होता है एफ(एक्स)इस समय। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=|x|- एक बिंदु पर निरंतर एक्स=0, लेकिन इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है।

विभेदक कार्य की अवधारणा

परिभाषा. फ़ंक्शन अंतर y=f(x)इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और स्वतंत्र चर की वृद्धि का उत्पाद कहा जाता है एक्स:

डाई = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

समारोह के लिए y=xहम पाते हैं dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, वह है dx=Δx- एक स्वतंत्र चर का अंतर इस चर की वृद्धि के बराबर होता है।

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं

डाई = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

अंतर डीवाईऔर वेतन वृद्धि Δयकार्य y=f(x)इस समय एक्स, दोनों एक ही तर्क वृद्धि के अनुरूप हैं Δx, सामान्यतया, एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।

अंतर का ज्यामितीय अर्थ: किसी फ़ंक्शन का अंतर तर्क बढ़ने पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि के बराबर होता है Δx.

विभेदीकरण के नियम

प्रमेय. यदि प्रत्येक कार्य यू(एक्स)और वी(एक्स)किसी दिए गए बिंदु पर भिन्न होना एक्स, फिर इन कार्यों का योग, अंतर, उत्पाद और भागफल (भागफल प्रदान किया गया)। वी(एक्स)≠ 0) इस बिंदु पर भी भिन्न हैं, और सूत्र मानते हैं:

जटिल फ़ंक्शन पर विचार करें y=f(φ(x))≡ F(x), कहाँ y=f(u), u=φ(x). इस मामले में यूबुलाया मध्यवर्ती तर्क, एक्स - स्वतंत्र चर.

प्रमेय. अगर y=f(u)और u=φ(x)उनके तर्कों के अवकलनीय फलन हैं, फिर एक जटिल फलन के व्युत्पन्न y=f(φ(x))मौजूद है और मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है, अर्थात।

टिप्पणी. एक जटिल फ़ंक्शन के लिए यह तीन फ़ंक्शंस का सुपरपोज़िशन है y=F(f(φ(x))), विभेदीकरण नियम का रूप है

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

कार्य कहां हैं v=φ(x), यू=एफ(वी)और y=F(u)- उनके तर्कों के भिन्न-भिन्न कार्य।

प्रमेय. कार्य करने दो y=f(x)बढ़ता है (या घटता है) और बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर रहता है एक्स 0. इसके अलावा, यह फ़ंक्शन संकेतित बिंदु पर भिन्न हो सकता है एक्स 0और इस बिंदु पर इसका व्युत्पन्न f′(x 0) ≠ 0. फिर संबंधित बिंदु के किसी पड़ोस में आप 0 =एफ(एक्स 0)व्युत्क्रम को परिभाषित किया गया है y=f(x)समारोह x=f -1 (y), और संकेतित व्युत्क्रम फलन संगत बिंदु पर अवकलनीय है आप 0 =एफ(एक्स 0)और इस बिंदु पर इसके व्युत्पन्न के लिए यसूत्र मान्य है

व्युत्पन्न तालिका

प्रथम अंतर के स्वरूप का अपरिवर्तन

आइए एक जटिल फ़ंक्शन के अंतर पर विचार करें। अगर y=f(x), x=φ(t)- उनके तर्कों के कार्य भिन्न होते हैं, फिर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न y=f(φ(t))सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

y′ t = y′ x x′ t.

ए-प्राथमिकता डाई=वाई′ टी डीटी, तो हमें मिलता है

डाई = y' t dt = y' x · x' t dt = y' x (x' t dt) = y' x dx,

डाई = y′ x dx.

तो, हमने साबित कर दिया है

किसी फ़ंक्शन के पहले अंतर के रूप की अपरिवर्तनीयता की संपत्ति: जैसे उस मामले में जब तर्क एक्सएक स्वतंत्र चर है, और उस स्थिति में जब तर्क एक्सस्वयं नए चर का एक अवकलनीय फलन है, अवकलन डीवाईकार्य y=f(x)इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को तर्क के अंतर से गुणा करने के बराबर है डीएक्स.

अनुमानित गणना में अंतर का अनुप्रयोग

हमने वह अंतर दिखाया है डीवाईकार्य y=f(x)सामान्यतया, वेतन वृद्धि के बराबर नहीं है Δययह फ़ंक्शन. हालाँकि, अनंत तक की सटीकता के साथ छोटा सा कार्यकी तुलना में छोटेपन का उच्च क्रम Δx, अनुमानित समानता मान्य है

Δy ≈ डाई.

अनुपात को इस समानता की समानता की सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है। क्योंकि Δy-dy=o(Δx), तो इस समानता की सापेक्ष त्रुटि घटते-बढ़ते वांछित जितनी छोटी हो जाती है |Δх|.

ध्यान में रख कर Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, हम पाते हैं f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxया

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

यह अनुमानित समानता त्रुटि की अनुमति देती है हे(Δx)फ़ंक्शन बदलें एफ(एक्स)बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में एक्स(अर्थात् छोटे मानों के लिए Δx) रैखिक प्रकार्यतर्क Δx, दाहिनी ओर खड़ा है।

उच्च क्रम डेरिवेटिव

परिभाषा. किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न (या दूसरे क्रम का व्युत्पन्न)। y=f(x)इसके प्रथम अवकलज का अवकलज कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के लिए संकेतन y=f(x):

दूसरे व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ. यदि फ़ंक्शन y=f(x)एक सीधी रेखा में किसी भौतिक बिंदु की गति के नियम का वर्णन करता है, फिर दूसरा व्युत्पन्न एफ″(एक्स)समय के क्षण में किसी गतिमान बिंदु के त्वरण के बराबर एक्स.

तीसरा और चौथा व्युत्पन्न समान रूप से निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा. एनवें व्युत्पन्न (या व्युत्पन्न एन-वें क्रम) कार्य y=f(x)इसका व्युत्पन्न कहा जाता है एन-1वें व्युत्पन्न:

y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.

पदनाम: आप″′, य चतुर्थ, वाई वीवगैरह।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

वक्र की स्पर्शरेखा की परिभाषा किसी वक्र की स्पर्शरेखा y=˒(x)बिंदु पर एमकिसी बिंदु से खींची गई छेदक रेखा की सीमित स्थिति कहलाती है एमऔर उसके समीप बिंदु एम 1वक्र, बशर्ते कि बिंदु एम 1वक्र के अनुदिश बिंदु तक अनिश्चित काल तक पहुंचता है एम. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y=˒(x)बिंदु पर एक्स 0 संख्यात्मक रूप से अक्ष के झुकाव कोण की स्पर्श रेखा के बराबर है ओहवक्र की स्पर्शरेखा y=˒(x)बिंदु पर एम (एक्स 0; उं (एक्स 0)).

वेरिएशन डॉटिक टू कर्व वक्र की ओर बिंदीदार y=˒(x)बिल्कुल एमबिंदु से होकर खींची गई रेखा की सीमा स्थिति कहलाती है एमऔर अगला बिंदु उसके साथ एम 1कुटिल, मन के लिए, क्या बात है एम 1वक्र अनिवार्य रूप से बिंदु के निकट आ रहा है एम. ज्यामितीय ज़मिस्ट पोखिडनोई समान कार्य y=˒(x)बिल्कुल एक्स 0संख्यात्मक रूप से अक्ष पर ढलान की स्पर्शरेखा के बराबर ओहडॉटिक, वक्र तक ले जाया गया y=˒(x)बिल्कुल एम (एक्स 0; उं (एक्स 0)).

व्युत्पत्ति का व्यावहारिक अर्थ

आइए विचार करें कि किसी निश्चित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में हमें मिली मात्रा का व्यावहारिक रूप से क्या मतलब है।

सबसे पहले, यौगिक- यह डिफरेंशियल कैलकुलस की मूल अवधारणा है, जो किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है।

"परिवर्तन की दर" क्या है? आइए फ़ंक्शन की कल्पना करें एफ(एक्स) = 5. तर्क (x) के मान के बावजूद, इसका मान किसी भी तरह से नहीं बदलता है। अर्थात् इसके परिवर्तन की दर शून्य है।

अब फ़ंक्शन पर विचार करें एफ(एक्स) = एक्स. x का अवकलज एक के बराबर है। वास्तव में, यह नोटिस करना आसान है कि तर्क (x) में प्रत्येक परिवर्तन के लिए, फ़ंक्शन का मान भी एक से बढ़ जाता है।

प्राप्त जानकारी के दृष्टिकोण से, आइए अब सरल फलनों के व्युत्पन्नों की तालिका देखें। इसके आधार पर यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है भौतिक अर्थकिसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना। इस समझ से व्यावहारिक समस्याओं को हल करना आसान हो जाएगा।

तदनुसार, यदि व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर दिखाता है, तो दोहरा व्युत्पन्न त्वरण दिखाता है।

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