पता लगाएं कि समीकरण किस रेखा को परिभाषित करता है। एक रेखा के समीकरण की परिभाषा, एक समतल पर एक रेखा के उदाहरण। समानता की स्थिति
सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा विश्लेषणात्मक ज्यामितिहै एक समतल पर एक रेखा का समीकरण.
परिभाषा। समतल पर एक रेखा (वक्र) का समीकरण ऑक्सीवह समीकरण है जिसे निर्देशांक संतुष्ट करते हैं एक्सऔर यकिसी दी गई रेखा के प्रत्येक बिंदु और इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होते हैं (चित्र 1)।
सामान्यतः एक रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है एफ(एक्स,वाई)=0या y=f(x).
उदाहरण।बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के समूह का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(-4;2), बी(-2;-6).
समाधान।अगर एम(एक्स;वाई)वांछित रेखा का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 2), तो हमारे पास है एएम=बीएमया
परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है
जाहिर है, यह सीधी रेखा का समीकरण है एम.डी.- खंड के मध्य से लंबवत बहाल अब.
समतल पर मौजूद सभी रेखाओं में से जो रेखा विशेष महत्व रखती है सरल रेखा. यह एक रैखिक फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ है जिसका उपयोग रैखिक आर्थिक और गणितीय मॉडल में किया जाता है जो व्यवहार में सबसे अधिक बार सामने आता है।
सरल रेखा समीकरण के विभिन्न प्रकार:
1) ढलान k और प्रारंभिक कोटि b के साथ:
वाई = केएक्स + बी,
सीधी रेखा और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण कहाँ है? ओह(चित्र 3)।
विशेष स्थितियां:
- एक सीधी रेखा गुजरती है मूल(चित्र.4):
– द्विभाजकपहला और तीसरा, दूसरा और चौथा निर्देशांक कोण:
y=+x, y=-x;
- सीधा OX अक्ष के समानांतरऔर खुद बैल अक्ष(चित्र 5):
y=b, y=0;
- सीधा ओए अक्ष के समानांतरऔर खुद ओए अक्ष(चित्र 6):
एक्स=ए, एक्स=0;
2) किसी निश्चित दिशा में गुजरना (ढलान के साथ) k किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से (चित्र 7) :
.
यदि दिए गए समीकरण में कएक मनमाना संख्या है, तो समीकरण निर्धारित करता है सीधी रेखाओं का समूह, बिंदु से गुजर रहा है अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को छोड़कर ओए.
उदाहरणए(3,-2):
a) अक्ष से एक कोण पर ओह;
बी) अक्ष के समानांतर ओए.
समाधान.
ए) 
, y-(-2)=-1(x-3)या y=-x+1;
बी) एक्स=3.
3) दो दिए गए बिंदुओं से गुजरना (चित्र 8) :
.
उदाहरण. बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें ए(-5.4), बी(3.-2)।
समाधान. 
,
4) खंडों में एक रेखा का समीकरण (चित्र.9):
कहाँ ए, बी -खंड क्रमशः अक्षों पर कटे हुए हैं बैलऔर ओए.
उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें ए(2,-1), यदि यह सीधी रेखा धनात्मक अर्ध-अक्ष से कटती है ओएसकारात्मक अर्ध-अक्ष से दोगुना लंबा एक खंड बैल(चित्र 10)।
समाधान. शर्त से बी=2ए, तब । आइए बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें ए(2,-1):
कहाँ ए=1.5.
अंततः हमें मिलता है:
या y=-2x+3.
5) सामान्य समीकरणसीधा:
कुल्हाड़ी+द्वारा+सी=0,
कहाँ एऔर बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं.
कुछ महत्वपूर्ण विशेषताएँप्रत्यक्ष :
1) एक बिंदु से एक रेखा की दूरी d:
.
2) सीधी रेखाओं के बीच का कोण और, तदनुसार:
और 
.
3)समानांतर रेखाओं की स्थिति:
या ।
4) रेखाओं की लंबवतता की स्थिति:
या 
.
उदाहरण 1. एक बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं के लिए एक समीकरण लिखें ए(5.1), जिनमें से एक रेखा के समानांतर है 3x+2y-7=0, और दूसरा उसी रेखा पर लंबवत है। समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
समाधान. चित्र 11.
1) एक समानांतर रेखा Ax+By+C=0 का समीकरण:
समांतरता की स्थिति से;
1 के बराबर आनुपातिकता गुणांक लेने पर, हम पाते हैं ए=3, बी=2;
वह। 3x+2y+C=0;
अर्थ साथहम निर्देशांक t को प्रतिस्थापित करके ज्ञात करेंगे। ए(5,1),
3*5+2*1+С=0,कहाँ सी=-17;
एक समानांतर रेखा का समीकरण 3x+2y-17=0 है।
2) एक लंब रेखा का समीकरणलम्बवत् स्थिति से स्वरूप प्राप्त होगा 2x-3y+C=0;
निर्देशांक t को प्रतिस्थापित करना। ए(5.1), हम पाते हैं 2*5-3*1+С=0, कहाँ सी=-7;
एक लंब रेखा का समीकरण 2x-3y-7=0 है।
3)समानांतर रेखाओं के बीच की दूरीटी से दूरी के रूप में पाया जा सकता है। ए(5.1)ऊपर दिया गया प्रत्यक्ष 3x+2y-7=0:
.
उदाहरण 2. त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण दिए गए हैं:
3x-4y+24=0 (एबी), 4x+3y+32=0 (बीसी), 2x-y-4=0 (एसी)।
कोण के समद्विभाजक का समीकरण लिखिए एबीसी.
समाधान. सबसे पहले हम शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करते हैं मेंत्रिकोण:
,
कहाँ x=-8, y=0,वे। वी(-8.0)(चित्र 12) .
समद्विभाजक के गुण के अनुसार प्रत्येक बिंदु से दूरी एम(एक्स,वाई), द्विभाजक बी.डीपक्षों के लिए अबऔर सूरजबराबर हैं, यानी
,
हमें दो समीकरण मिलते हैं
x+7y+8=0, 7x-y+56=0.
चित्र 12 से, वांछित सीधी रेखा का कोणीय गुणांक ऋणात्मक (कोण के साथ) है ओहकुंठित), इसलिए, पहला समीकरण हमारे लिए उपयुक्त है x+7y+8=0या y=-1/7x-8/7.
आइए फॉर्म के संबंध पर विचार करें एफ(एक्स, वाई)=0, कनेक्ट करना चर एक्सऔर पर. हम समानता कहेंगे (1) दो चर वाले समीकरण x, y,यदि यह समानता संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है एक्सऔर पर. समीकरणों के उदाहरण: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,
पाप x + पाप y – 1 = 0.
यदि (1) संख्या x और y के सभी युग्मों के लिए सत्य है, तो इसे कहा जाता है पहचान. पहचान के उदाहरण: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.
हम समीकरण (1) कहेंगे बिंदुओं के एक सेट का समीकरण (x; y),यदि यह समीकरण निर्देशांकों से संतुष्ट है एक्सऔर परसेट के किसी भी बिंदु और किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं हैं जो इस सेट से संबंधित नहीं है।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण अवधारणा एक रेखा के समीकरण की अवधारणा है। मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली और एक निश्चित रेखा दी गई है α.
परिभाषा।समीकरण (1) को रेखा समीकरण कहते हैं α
(निर्मित समन्वय प्रणाली में), यदि यह समीकरण निर्देशांक से संतुष्ट है एक्सऔर पररेखा पर पड़ा कोई बिंदु α
, और इस रेखा पर नहीं पड़ने वाले किसी भी बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करते हैं।
यदि (1) रेखा का समीकरण है α, तो हम कहेंगे कि समीकरण (1) परिभाषित करता है (सेट)रेखा α.
रेखा α न केवल फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा, बल्कि फॉर्म के समीकरण द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है
एफ (पी, φ) = 0ध्रुवीय निर्देशांक युक्त।
- कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण;
मान लीजिए कि अक्ष पर लंबवत नहीं, बल्कि कोई सीधी रेखा दी गई है ओह. चलो कॉल करो झुकाव कोणअक्ष को सीधी रेखा दी गई है ओहकोना α , जिस ओर अक्ष को घुमाने की आवश्यकता है ओहताकि सकारात्मक दिशा सीधी रेखा की किसी एक दिशा से मेल खाए। अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा ओहबुलाया ढलानइस पंक्ति को अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है को.
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यदि हम जानते हैं तो आइए इस रेखा का समीकरण निकालें कोऔर खंड में मूल्य ओबी, जिसे यह अक्ष पर काट देता है कहां.
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समीकरण (2) कहा जाता है कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण।अगर के=0, तो सीधी रेखा अक्ष के समानांतर होती है ओहऔर इसका समीकरण है वाई = बी.
- दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण;
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. यह समीकरण है यदि y 1 ≠ y 2, इस प्रकार लिखा जा सकता है: अगर आप 1 = आप 2, तो वांछित रेखा के समीकरण का रूप होता है आप = आप 1. इस स्थिति में, सीधी रेखा अक्ष के समानांतर होती है ओह. अगर एक्स 1 = एक्स 2, फिर बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा एम 1और एम 2, अक्ष के समानांतर कहां, इसके समीकरण का रूप है एक्स = एक्स 1.
- किसी दिए गए ढलान के साथ किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण;
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और, इसके विपरीत, मनमाना गुणांक के लिए समीकरण (5)। ए, बी, सी (एऔर बी ≠ 0एक साथ) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक निश्चित सीधी रेखा को परिभाषित करता है ओह!
सबूत।
सबसे पहले, आइए पहले कथन को सिद्ध करें। यदि रेखा लंबवत नहीं है ओह,तो यह प्रथम डिग्री के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है: वाई = केएक्स + बी, अर्थात। फॉर्म का समीकरण (5), जहां
ए = के, बी = -1और सी = बी.यदि रेखा लंबवत है ओह,तो इसके सभी बिंदुओं का भुज समान, मान के बराबर होता है α अक्ष पर एक सीधी रेखा से कटा हुआ खंड ओह।
इस रेखा के समीकरण का रूप है एक्स = α,वे। यह फॉर्म (5) का प्रथम डिग्री समीकरण भी है, जहां ए = 1, बी = 0, सी = - α.यह पहला कथन सिद्ध करता है।
आइए हम विपरीत कथन को सिद्ध करें। मान लीजिए समीकरण (5) दिया गया है, और कम से कम एक गुणांक दिया गया है एऔर बी ≠ 0.
अगर बी ≠ 0, तो (5) के रूप में लिखा जा सकता है। समतल 
, हमें समीकरण मिलता है वाई = केएक्स + बी, अर्थात। फॉर्म (2) का एक समीकरण जो एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
अगर बी = 0, वह ए ≠ 0और (5) रूप लेता है। द्वारा निरूपित करना α, हम पाते हैं
एक्स = α, अर्थात। लम्बवत रेखा का समीकरण ओह.
आयताकार समन्वय प्रणाली में प्रथम डिग्री के समीकरण द्वारा परिभाषित रेखाओं को कहा जाता है प्रथम क्रम पंक्तियाँ.
रूप का समीकरण एक्स + वू + सी = 0अधूरा है, यानी कुछ गुणांक शून्य के बराबर हैं.
1) सी = 0; आह + वू = 0और मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
2) बी = 0 (ए ≠ 0); समीकरण कुल्हाड़ी + सी = 0 ओयू.
3) ए = 0 (बी ≠ 0); वू + सी = 0और एक सीधी रेखा को समानांतर परिभाषित करता है ओह।
समीकरण (6) को "खंडों में" सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है। नंबर एऔर बीउन खंडों के मान हैं जिन्हें सीधी रेखा समन्वय अक्षों पर काटती है। समीकरण का यह रूप सुविधाजनक है ज्यामितीय निर्माणसीधा।
- एक रेखा का सामान्य समीकरण;
Аx + Вy + С = 0 एक निश्चित रेखा का सामान्य समीकरण है, और (5) एक्सओल α + y पाप α – p = 0(7)
यह सामान्य समीकरण है.
चूँकि समीकरण (5) और (7) एक ही सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं, तो ( ए 1एक्स + बी 1वाई + सी 1 = 0और
ए 2एक्स + बी 2वाई + सी 2 = 0 => 
) इन समीकरणों के गुणांक आनुपातिक हैं। इसका मतलब यह है कि समीकरण (5) के सभी पदों को एक निश्चित कारक M से गुणा करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है एमए एक्स + एमवी वाई + एमएस = 0, समीकरण (7) के साथ मेल खाता है यानी
एमए = कॉस α, एमबी = सिन α, एमसी = - पी(8)
कारक M ज्ञात करने के लिए, हम इनमें से पहली दो समानताओं का वर्ग करते हैं और जोड़ते हैं:
एम 2 (ए 2 + बी 2) = कोस 2 α + पाप 2 α = 1
(9)
समतल पर एक वक्र को परिभाषित करता है। पदों के समूह को द्विघात रूप कहा जाता है, 
-रेखीय रूप. यदि किसी द्विघात रूप में केवल चरों के वर्ग होते हैं, तो इस रूप को विहित कहा जाता है, और लम्बवत आधार के सदिश जिसमें द्विघात रूप का विहित रूप होता है, द्विघात रूप के प्रमुख अक्ष कहलाते हैं।
आव्यूह 
द्विघात रूप का मैट्रिक्स कहलाता है। यहाँ a 1 2 =a 2 1. मैट्रिक्स बी को विकर्ण रूप में कम करने के लिए, इस मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को आधार के रूप में लेना आवश्यक है, फिर 
, जहां λ 1 और λ 2 मैट्रिक्स बी के eigenvalues हैं।
मैट्रिक्स B के eigenvectors के आधार पर, द्विघात रूप का विहित रूप होगा: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1।
यह ऑपरेशन निर्देशांक अक्षों के घूर्णन से मेल खाता है। फिर निर्देशांक की उत्पत्ति को स्थानांतरित कर दिया जाता है, जिससे रैखिक आकार से छुटकारा मिल जाता है।
दूसरे क्रम के वक्र का विहित रूप: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, और:
ए) यदि λ 1 >0; λ 2 >0 एक दीर्घवृत्त है, विशेष रूप से, जब λ 1 =λ 2 यह एक वृत्त है;
बी) यदि λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) हमारे पास अतिशयोक्ति है;
ग) यदि λ 1 =0 या λ 2 =0, तो वक्र एक परवलय है और निर्देशांक अक्षों को घुमाने के बाद इसका रूप λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c होता है (यहाँ λ 2 =0)। एक पूर्ण वर्ग का पूरक, हमारे पास है: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2।
उदाहरण। वक्र 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 का समीकरण समन्वय प्रणाली (0,i,j) में दिया गया है, जहां i =(1,0) और j =(0,1) .
1. वक्र का प्रकार निर्धारित करें।
2. समीकरण को विहित रूप में लाएँ और मूल समन्वय प्रणाली में एक वक्र बनाएँ।
3. संगत समन्वय परिवर्तन खोजें।
समाधान. हम द्विघात रूप B=3x 2 +10xy+3y 2 को मुख्य अक्षों पर, यानी विहित रूप में लाते हैं। इस द्विघात रूप का मैट्रिक्स है 
. हम इस मैट्रिक्स के eigenvalues और eigenvectors पाते हैं: 
विशेषता समीकरण: 
; λ 1 =-2, λ 2 =8. द्विघात रूप का प्रकार: 
.
मूल समीकरण एक अतिपरवलय को परिभाषित करता है।
ध्यान दें कि द्विघात रूप का रूप अस्पष्ट है। आप 8x 1 2 -2y 1 2 लिख सकते हैं, लेकिन वक्र का प्रकार वही रहता है - एक अतिपरवलय।
हम द्विघात रूप के प्रमुख अक्षों, यानी मैट्रिक्स बी के आइजनवेक्टरों को ढूंढते हैं। 
.
x 1 =1 पर संख्या λ=-2 के अनुरूप eigenvector: x 1 =(1,-1)।
एक इकाई आइजनवेक्टर के रूप में हम वेक्टर लेते हैं 
, वेक्टर x 1 की लंबाई कहां है।
दूसरे eigenvalue λ=8 के अनुरूप दूसरे eigenvector के निर्देशांक सिस्टम से पाए जाते हैं 
.
1 , जे 1).
पैराग्राफ 4.3.3 के सूत्र (5) के अनुसार। आइए एक नए आधार पर आगे बढ़ें: 
या
; 
. (*)
हम अभिव्यक्ति x और y को मूल समीकरण में दर्ज करते हैं और, परिवर्तनों के बाद, हमें मिलता है:
.
पूर्ण वर्गों का चयन:
.
हम निर्देशांक अक्षों का एक नए मूल में समानांतर अनुवाद करते हैं:
, 
.
यदि हम इन संबंधों को (*) में प्रस्तुत करते हैं और x 2 और y 2 के लिए इन समानताओं को हल करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:
, 
. समन्वय प्रणाली (0*, i 1, j 1) में इस समीकरण का रूप है: 
.
एक वक्र बनाने के लिए, हम पुरानी समन्वय प्रणाली में एक नया वक्र बनाते हैं: पुराने समन्वय प्रणाली में x 2 =0 अक्ष को समीकरण x-y-3=0 द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, और y 2 =0 अक्ष को समीकरण x+ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। y-1=0. नई समन्वय प्रणाली का मूल 0*(2,-1) इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
धारणा को सरल बनाने के लिए, हम ग्राफ़ बनाने की प्रक्रिया को 2 चरणों में विभाजित करेंगे:
1. पुराने समन्वय प्रणाली में क्रमशः समीकरण x-y-3=0 और x+y-1=0 द्वारा निर्दिष्ट अक्ष x 2 =0, y 2 =0 के साथ एक समन्वय प्रणाली में संक्रमण।
2. परिणामी समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण।
ग्राफ़ का अंतिम संस्करण इस तरह दिखता है (देखें)। समाधान:समाधान डाउनलोड करें
व्यायाम. स्थापित करें कि निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, और इसके केंद्र सी, अर्ध-अक्ष, विलक्षणता, डायरेक्ट्रिक्स समीकरणों के निर्देशांक खोजें। ड्राइंग पर एक दीर्घवृत्त बनाएं, जो समरूपता, फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के अक्षों को दर्शाता है।
समाधान.
§ 9. एक रेखा के समीकरण की अवधारणा.
समीकरण का उपयोग करके एक रेखा को परिभाषित करना
फॉर्म एफ की समानता (एक्स, वाई) = 0दो चरों वाला एक समीकरण कहलाता है एक्स, आप,यदि यह संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है एक्स, वाई.वे दो नंबर कहते हैं एक्स = एक्स 0 , y=y 0, प्रपत्र के कुछ समीकरण को संतुष्ट करें एफ(एक्स, वाई)=0,यदि चर के स्थान पर इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करते समय एक्सऔर परसमीकरण में, इसका बायाँ भाग लुप्त हो जाता है।
किसी दी गई रेखा का समीकरण (एक निर्दिष्ट समन्वय प्रणाली में) दो चर वाला एक समीकरण है जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और उस पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।
निम्नलिखित में अभिव्यक्ति के स्थान पर रेखा का समीकरण दिया गया है एफ(एक्स, y) = 0" हम अक्सर संक्षेप में कहेंगे: एक पंक्ति दी गई है एफ (एक्स, वाई) = 0.
यदि दो रेखाओं के समीकरण दिये गये हैं एफ(एक्स, वाई) = 0और एफ(एक्स, वाई) = क्यू,फिर सिस्टम का संयुक्त समाधान
उनके सभी प्रतिच्छेदन बिंदु देता है। अधिक सटीक रूप से, संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा जो इस प्रणाली का संयुक्त समाधान है, प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक को निर्धारित करता है।
1)एक्स 2 +य 2 = 8, x-y = 0;
2) एक्स 2 +य 2 -16एक्स+4पर+18 = 0, एक्स + वाई= 0;
3) एक्स 2 +य 2 -2एक्स+4पर -3 = 0, एक्स 2 + वाई 2 = 25;
4) एक्स 2 +य 2 -8एक्स+10у+40 = 0, एक्स 2 + वाई 2 = 4.
163. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में अंक दिये गये हैं
निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा बिंदु ध्रुवीय निर्देशांक = 2 cos में समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं :)
164. समीकरण = द्वारा परिभाषित रेखा पर 
,
ऐसे बिंदु खोजें जिनके ध्रुवीय कोण निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 
,बी) - ,सी) 0, डी)
. इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है?
(इसे ड्राइंग पर बनाएं।)
165. समीकरण = द्वारा परिभाषित रेखा पर 
, ऐसे बिंदु खोजें जिनकी ध्रुवीय त्रिज्याएँ निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 1, b) 2, c) 
.
इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)
166. निम्नलिखित समीकरणों द्वारा स्थापित करें कि ध्रुवीय निर्देशांक में कौन सी रेखाएँ निर्धारित होती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ):
1) = 5; 2) = ; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) पाप = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 पाप ; 8) पाप =
सूत्र (समीकरण) द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर विचार करें
यह फ़ंक्शन, और इसलिए समीकरण (11), समतल पर एक अच्छी तरह से परिभाषित रेखा से मेल खाता है, जो इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ है (चित्र 20 देखें)। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की परिभाषा से यह पता चलता है कि इस रेखा में विमान के वे और केवल वे बिंदु शामिल हैं जिनके निर्देशांक समीकरण (11) को संतुष्ट करते हैं।
अभी रहने दो
रेखा, जो इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ है, में विमान के वे और केवल वे बिंदु शामिल हैं जिनके निर्देशांक समीकरण (12) को संतुष्ट करते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि कोई बिंदु निर्दिष्ट रेखा पर स्थित है, तो उसके निर्देशांक समीकरण (12) को संतुष्ट करते हैं। यदि बिंदु इस रेखा पर नहीं है, तो इसके निर्देशांक समीकरण (12) को संतुष्ट नहीं करते हैं।
समीकरण (12) को y के संबंध में हल किया गया है। ऐसे समीकरण पर विचार करें जिसमें x और y हों और जिसे y के लिए हल न किया गया हो, जैसे कि समीकरण
आइए हम दिखाते हैं कि समतल में यह समीकरण एक रेखा से भी मेल खाता है, अर्थात् एक वृत्त जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या 2 के बराबर है। आइए हम समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें
इसका बायां भाग मूल बिंदु से बिंदु की दूरी का वर्ग है (देखें § 2, पैराग्राफ 2, सूत्र 3)। समानता (14) से यह निष्कर्ष निकलता है कि इस दूरी का वर्ग 4 के बराबर है।
इसका मतलब यह है कि कोई भी बिंदु जिसके निर्देशांक समीकरण (14) और इसलिए समीकरण (13) को संतुष्ट करते हैं, मूल बिंदु से 2 की दूरी पर स्थित है।
ऐसे बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति एक वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या 2 है। यह वृत्त समीकरण (13) के अनुरूप रेखा होगी। इसके किसी भी बिंदु के निर्देशांक स्पष्ट रूप से समीकरण (13) को संतुष्ट करते हैं। यदि बिंदु हमारे द्वारा प्राप्त वृत्त पर स्थित नहीं है, तो मूल बिंदु से इसकी दूरी का वर्ग या तो 4 से अधिक या कम होगा, जिसका अर्थ है कि ऐसे बिंदु के निर्देशांक समीकरण (13) को संतुष्ट नहीं करते हैं।
आइए अब, सामान्य स्थिति में, समीकरण दिया जाए
जिसके बाईं ओर x और y युक्त एक अभिव्यक्ति है।
परिभाषा। समीकरण (15) द्वारा परिभाषित रेखा समतल में उन बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है जिनके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
इसका मतलब यह है कि यदि रेखा L किसी समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है, तो किसी भी बिंदु L के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं, लेकिन L के बाहर स्थित विमान के किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (15) को संतुष्ट नहीं करते हैं।
समीकरण (15) को रेखा समीकरण कहते हैं
टिप्पणी। किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि कोई समीकरण किसी रेखा को निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, समीकरण किसी रेखा को परिभाषित नहीं करता है। वास्तव में, और y के किसी भी वास्तविक मान के लिए, इस समीकरण का बायां पक्ष सकारात्मक है और दायां पक्ष शून्य के बराबर है, और इसलिए, यह समीकरण विमान में किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं हो सकता है
किसी समतल पर एक रेखा को न केवल कार्टेशियन निर्देशांक वाले समीकरण द्वारा, बल्कि ध्रुवीय निर्देशांक वाले समीकरण द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। ध्रुवीय निर्देशांक में एक समीकरण द्वारा परिभाषित एक रेखा विमान में उन बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है जिनके ध्रुवीय निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
उदाहरण 1. पर एक आर्किमिडीज़ सर्पिल का निर्माण करें।
समाधान। आइए ध्रुवीय कोण के कुछ मानों और ध्रुवीय त्रिज्या के संगत मानों के लिए एक तालिका बनाएं।
हम ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एक बिंदु का निर्माण करते हैं, जो स्पष्ट रूप से ध्रुव के साथ मेल खाता है; फिर, अक्ष को ध्रुवीय अक्ष पर एक कोण पर खींचते हुए, हम इस अक्ष पर एक सकारात्मक समन्वय के साथ एक बिंदु का निर्माण करते हैं, जिसके बाद हम इसी तरह ध्रुवीय कोण और ध्रुवीय त्रिज्या के सकारात्मक मूल्यों के साथ बिंदुओं का निर्माण करते हैं (इन बिंदुओं के लिए अक्ष हैं) चित्र 30 में दर्शाया नहीं गया है)।
बिंदुओं को जोड़ने पर, हमें वक्र की एक शाखा प्राप्त होती है, जो चित्र में दर्शाया गया है। 30 एक बोल्ड लाइन के साथ. 0 से बदलने पर वक्र की इस शाखा में अनंत संख्या में घुमाव होते हैं।
