यदि एक नियम निर्दिष्ट किया गया है जिसके अनुसार एक निश्चित संख्या यू विमान के प्रत्येक बिंदु एम (या विमान के कुछ हिस्से) से जुड़ा हुआ है, तो वे कहते हैं कि विमान पर (या विमान के हिस्से पर) "एक बिंदु फ़ंक्शन है निर्दिष्ट"; फ़ंक्शन का विनिर्देश प्रतीकात्मक रूप से u=f(M) रूप की समानता द्वारा व्यक्त किया जाता है। बिंदु M से संबद्ध संख्या u को बिंदु M पर इस फलन का मान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि A समतल पर एक निश्चित बिंदु है, M एक मनमाना बिंदु है, तो A से M तक की दूरी बिंदु M का एक फलन है इस मामले में, f(m)=AM .

मान लीजिए कि कुछ फ़ंक्शन u=f(M) दिया गया है और साथ ही एक समन्वय प्रणाली भी पेश की गई है। फिर एक मनमाना बिंदु M निर्देशांक x, y द्वारा निर्धारित किया जाता है। तदनुसार, बिंदु M पर इस फ़ंक्शन का मान निर्देशांक x, y, या, जैसा कि वे भी कहते हैं, u=f(M) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दो चर x और y का फलन. दो चर x और y के एक फ़ंक्शन को प्रतीक f(x; y) द्वारा दर्शाया जाता है: यदि f(M)=f(x;y), तो सूत्र u=f(x; y) को इसका अभिव्यक्ति कहा जाता है चयनित समन्वय प्रणाली में कार्य करें। तो, पिछले उदाहरण में f(M)=AM; यदि हम बिंदु A पर मूल बिंदु के साथ एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं, तो हमें इस फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

u=sqrt(x^2 + y^2)

समस्या 3688 एक फलन f (x, y)=x^2–y^2–16 दिया गया है।

फलन f (x, y)=x^2–y^2–16 दिया गया है। यदि निर्देशांक अक्षों को -45 डिग्री के कोण से घुमाया जाता है, तो नई समन्वय प्रणाली में इस फ़ंक्शन की अभिव्यक्ति निर्धारित करें।

पैरामीट्रिक रेखा समीकरण

आइए हम एक निश्चित बिंदु M के निर्देशांक को x और y अक्षरों से निरूपित करें; आइए तर्क t के दो कार्यों पर विचार करें:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

जब t बदलता है, तो x और y के मान, सामान्यतया, बदल जाएंगे, इसलिए, बिंदु M गति करेगा। समानताएं (1) कहलाती हैं पैरामीट्रिक रेखा समीकरण, जो बिंदु M का प्रक्षेपवक्र है; तर्क t को पैरामीटर कहा जाता है। यदि पैरामीटर t को समानता (1) से बाहर रखा जा सकता है, तो हमें बिंदु M के प्रक्षेपवक्र का समीकरण इस रूप में प्राप्त होता है

फॉर्म एफ की समानता (एक्स, वाई) = 0दो चरों वाला एक समीकरण कहलाता है एक्स, हाँ,यदि यह संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है एक्स, वाई.वे दो नंबर कहते हैं एक्स = एक्स 0 , y=y 0, प्रपत्र के कुछ समीकरण को संतुष्ट करें एफ(एक्स, वाई)=0,यदि चर के स्थान पर इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करते समय एक्सऔर परसमीकरण में, इसका बायाँ भाग लुप्त हो जाता है।

किसी दी गई रेखा का समीकरण (एक निर्दिष्ट समन्वय प्रणाली में) दो चर वाला एक समीकरण है जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और उस पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

निम्नलिखित में अभिव्यक्ति के स्थान पर रेखा का समीकरण दिया गया है एफ(एक्स, y) = 0" हम अक्सर संक्षेप में कहेंगे: एक पंक्ति दी गई है एफ (एक्स, वाई) = 0.

यदि दो रेखाओं के समीकरण दिये गये हैं एफ(एक्स, वाई) = 0और एफ(एक्स, वाई) = क्यू,फिर सिस्टम का संयुक्त समाधान

उनके सभी प्रतिच्छेदन बिंदु देता है। अधिक सटीक रूप से, संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा जो इस प्रणाली का संयुक्त समाधान है, प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक को निर्धारित करता है।

*) ऐसे मामलों में जहां समन्वय प्रणाली का नाम नहीं है, यह माना जाता है कि यह कार्टेशियन आयताकार है।

157. अंक दिए गए हैं *) एम 1 (2; - 2), एम 2 (2; 2), एम 3 (2; - 1), एम 4 (3; -3), एम 5 (5; -5), एम 6 (3; -2). निर्धारित करें कि कौन से प्रकाशित बिंदु समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित हैं एक्स+ आप = 0,और कौन से उस पर झूठ नहीं बोलते. इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे चित्र पर बनाएं।)

158. समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर एक्स 2 +y 2 =25, वे बिंदु ज्ञात कीजिए जिनके भुज निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हैं: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; उसी रेखा पर ऐसे बिंदु खोजें जिनके निर्देशांक निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: e) 3, f) - 5, g) - 8. इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे चित्र पर बनाएं।)

159. निर्धारित करें कि कौन सी रेखाएँ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित होती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ):

1) एक्स - वाई = 0; 2) एक्स + वाई = 0; 3) एक्स- 2 = 0; 4) एक्स+ 3 = 0;

5) वाई - 5 = 0; 6) य+ 2 = 0; 7) एक्स = 0; 8) य = 0;

9) एक्स 2 - एक्सवाई = 0; 10) xy+ y 2 = 0; ग्यारह) एक्स 2 - य 2 = 0; 12) xy= 0;

13) वाई 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) एक्स 2 य - 7xy + 10य = 0; 17) य =|एक्स|; 18) एक्स =|पर|; 19)य + |एक्स|=0;

20) एक्स +|पर|= 0; 21)य =|एक्स- 1|; 22) य = |एक्स+ 2|; 23) एक्स 2 + पर 2 = 16;

24) (एक्स-2) 2 +(य-1) 2 =16; 25) (एक्स+ 5) 2 +(य- 1) 2 = 9;

26) (एक्स - 1) 2 + य 2 = 4; 27) एक्स 2 +(य + 3) 2 = 1; 28) (एक्स -3) 2 + य 2 = 0;

29) एक्स 2 + 2य 2 = 0; 30) 2एक्स 2 + 3य 2 + 5 = 0

31) (एक्स- 2) 2 + (य + 3) 2 + 1=0.

160. दी गई पंक्तियाँ:

1)एक्स+ य = 0; 2)एक्स - वाई = 0; 3) एक्स 2 + य 2 - 36 = 0;

4) एक्स 2 +य 2 -2एक्स==0; 5) एक्स 2 +य 2 + 4एक्स-6य-1 =0.

निर्धारित करें कि उनमें से कौन मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

161. दी गई पंक्तियाँ:

1) एक्स 2 + य 2 = 49; 2) (एक्स- 3) 2 + (य+ 4) 2 = 25;

3) (एक्स+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4)( एक्स + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) एक्स 2 +य 2 - 12एक्स + 16वाई = 0; 6) एक्स 2 +य 2 - 2एक्स + 8पर+ 7 = 0;

7) एक्स 2 +य 2 - 6एक्स + 4वाई + 12 = 0.

उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: a) अक्ष के साथ ओह;बी) एक अक्ष के साथ ओयू.

162.दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें;

1)एक्स 2 +य 2 = 8, x-y = 0;

2) एक्स 2 +य 2 -16एक्स+4पर+18 = 0, एक्स + वाई= 0;

3) एक्स 2 +य 2 -2एक्स+4पर -3 = 0, एक्स 2 + वाई 2 = 25;

4) एक्स 2 +य 2 -8एक्स+10у+40 = 0, एक्स 2 + वाई 2 = 4.

163. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में अंक दिये गये हैं

एम 1 (1; ), एम 2 (2; 0), एम 3 (2; )

एम 4 (
;) और एम 5 (1; )

निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा बिंदु ध्रुवीय निर्देशांक  = 2 cos  में समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं :)

164. समीकरण  = द्वारा परिभाषित रेखा पर , ऐसे बिंदु खोजें जिनके ध्रुवीय कोण निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) ,बी) - , सी) 0, डी) . इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है?

(इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

165.समीकरण  = द्वारा परिभाषित रेखा पर , ऐसे बिंदु खोजें जिनकी ध्रुवीय त्रिज्याएँ निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 1, b) 2, c)
. इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

166. निम्नलिखित समीकरणों द्वारा स्थापित करें कि ध्रुवीय निर्देशांक में कौन सी रेखाएँ निर्धारित होती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  पाप  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 पाप ; 8) पाप  = 9) पाप  =

167. चित्र पर निम्नलिखित आर्किमिडीज़ सर्पिल का निर्माण करें:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)आर = -1.

168. चित्र पर निम्नलिखित अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिलों का निर्माण करें:

1)  = ; 2) = ; 3)= ; 4)=- .

169. ड्राइंग पर निम्नलिखित लघुगणकीय सर्पिल बनाएं:

,
.

170. उन खंडों की लंबाई निर्धारित करें जिनमें आर्किमिडीज़ सर्पिल कटता है

किरण ध्रुव से निकलती है और ध्रुवीय अक्ष पर एक कोण पर झुकती है
. एक चित्र बनाओ.

171. आर्किमिडीज़ सर्पिल पर
बात को नोट कर लिया गया साथ,जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 47 है। निर्धारित करें कि यह सर्पिल बिंदु की ध्रुवीय त्रिज्या को कितने भागों में काटता है साथ,एक चित्र बनाओ.

172. एक अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल पर
एक बिंदु खोजें आर,जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 12 है। एक चित्र बनाओ।

173. एक लघुगणकीय सर्पिल पर
बिंदु Q ढूंढें जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 81 है। एक चित्र बनाएं।

मान लीजिए कि  तल पर एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी और कुछ रेखा L दी गई है।

परिभाषा. समीकरण F(x;y)=0 (1)बुलाया रेखा का समीकरणएल(किसी दिए गए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष), यदि यह समीकरण रेखा L पर स्थित किसी बिंदु के x और y निर्देशांक से संतुष्ट होता है, न कि रेखा L पर स्थित किसी भी बिंदु के x और y निर्देशांक से।

वह। एक विमान पर लाइनबिंदुओं (M(x;y)) का स्थान है जिसके निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं।

समीकरण (1) एल रेखा को परिभाषित करता है।

उदाहरण। एक वृत्त का समीकरण.

घेरा- किसी दिए गए बिंदु M 0 (x 0,y 0) से समान दूरी पर बिंदुओं का एक सेट।

बिंदु M 0 (x 0,y 0) – वृत्त का केंद्र.

वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु M(x;y) के लिए, दूरी MM 0 =R (R=const)

मिमी 0 ==आर

(x-x 0 ) 2 +(ओह 0 ) 2 =आर 2 –(2) – बिंदु M 0 (x 0,y 0) पर केंद्र के साथ त्रिज्या R के एक वृत्त का समीकरण।

एक रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण.

मान लीजिए कि रेखा L पर बिंदुओं के x और y निर्देशांक को पैरामीटर t का उपयोग करके व्यक्त किया गया है:

(3) - डीएससी में रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण

जहां फ़ंक्शन (t) और (t) पैरामीटर t (इस पैरामीटर की भिन्नता की एक निश्चित सीमा में) के संबंध में निरंतर हैं।

समीकरण (3) से पैरामीटर टी को छोड़कर, हमें समीकरण (1) प्राप्त होता है।

आइए हम रेखा L को एक निश्चित नियम के अनुसार लगातार चलते हुए एक भौतिक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ के रूप में मानें। मान लीजिए कि चर t किसी आरंभिक क्षण से गिने गए समय को दर्शाता है। फिर गति के नियम का विनिर्देश गतिमान बिंदु के निर्देशांक x और y के विनिर्देशन को समय t के कुछ निरंतर कार्यों x=(t) और y=(t) के रूप में दर्शाता है।

उदाहरण. आइए मूल बिंदु पर केंद्र के साथ त्रिज्या r>0 के एक वृत्त के लिए एक पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करें। मान लीजिए कि M(x,y) इस वृत्त का एक मनमाना बिंदु है, और t त्रिज्या वेक्टर और ऑक्स अक्ष के बीच का कोण है, जिसे वामावर्त गिना जाता है।

फिर x=r क्योंकि x y=r पाप टी। (4)

समीकरण (4) विचाराधीन वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। पैरामीटर t कोई भी मान ले सकता है, लेकिन बिंदु M(x,y) को एक बार वृत्त के चारों ओर जाने के लिए, पैरामीटर परिवर्तन की सीमा आधे-खंड 0t2 तक सीमित है।

समीकरण (4) का वर्ग करने और जोड़ने पर, हमें वृत्त (2) का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है।

2. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (पीएससी)।

आइए हम L अक्ष चुनें ( ध्रुवीय अक्ष) और इस अक्ष का बिंदु O निर्धारित करें ( खंभा). समतल पर कोई भी बिंदु ध्रुवीय निर्देशांक ρ और φ द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित होता है, जहां

ρ – ध्रुवीय त्रिज्या, बिंदु M से ध्रुव O (ρ≥0) तक की दूरी के बराबर;

φ – कोनावेक्टर दिशा के बीच ॐऔर एल अक्ष ( ध्रुवीय कोण). एम(ρ ; φ )

यूसीएस में रेखा समीकरणलिखा जा सकता है:

ρ=f(φ) (5) यूसीएस में रेखा का स्पष्ट समीकरण

F=(ρ; φ) (6) यूसीएस में अंतर्निहित रेखा समीकरण

एक बिंदु के कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच संबंध।

(x;y) (ρ ; φ ) त्रिभुज OMA से:

tan φ=(कोण की बहालीφ ज्ञात के अनुसारस्पर्शरेखा उत्पन्न होती हैइस बात को ध्यान में रखते हुए कि चतुर्थांश बिंदु M किसमें स्थित है)।(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

उदाहरण . बिंदु M(3;4) और P(1;-1) के ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

M:=5, φ=arctg (4/3) के लिए। पी के लिए: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

समतल रेखाओं का वर्गीकरण.

परिभाषा 1.लाइन कहा जाता है बीजगणितीय,यदि कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, यदि इसे समीकरण F(x;y)=0 (1) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसमें फ़ंक्शन F(x;y) एक बीजगणितीय बहुपद है।

परिभाषा 2.प्रत्येक गैर-बीजगणितीय रेखा को कहा जाता है ट्रान्सेंडैंटल.

परिभाषा 3. बीजगणितीय रेखा कहलाती है आदेश की पंक्तिएन, यदि कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में यह रेखा समीकरण (1) द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसमें फ़ंक्शन F(x;y) nवीं डिग्री का एक बीजगणितीय बहुपद है।

इस प्रकार, nवें क्रम की एक रेखा कुछ कार्टेशियन आयताकार प्रणाली में दो अज्ञात के साथ डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित एक रेखा है।

निम्नलिखित प्रमेय परिभाषाओं 1,2,3 की शुद्धता स्थापित करने में योगदान देता है।

प्रमेय(दस्तावेज़ पृष्ठ 107 पर)। यदि किसी कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है, तो किसी अन्य कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में यह रेखा उसी डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है।

लक्ष्य:एक समतल पर एक रेखा की अवधारणा पर विचार करें, उदाहरण दें। एक रेखा की परिभाषा के आधार पर, एक समतल पर एक रेखा के समीकरण की अवधारणा का परिचय दें। सीधी रेखाओं के प्रकारों पर विचार करें, सीधी रेखा को परिभाषित करने के उदाहरण और तरीके बताएं। एक सीधी रेखा के समीकरण का अनुवाद करने की क्षमता को मजबूत करें सामान्य रूप से देखेंएक कोणीय गुणांक के साथ "खंडों में" एक सीधी रेखा के समीकरण में।

1. समतल पर एक रेखा का समीकरण.
2. समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. समीकरणों के प्रकार.
3. सीधी रेखा निर्दिष्ट करने की विधियाँ.

1. मान लीजिए x और y दो मनमाने चर हैं।

परिभाषा: F(x,y)=0 के रूप का एक संबंध कहा जाता है समीकरण , यदि यह संख्या x और y के किसी भी जोड़े के लिए सत्य नहीं है।

उदाहरण: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

यदि समानता F(x,y)=0 किसी भी x, y के लिए है, तो, इसलिए, F(x,y) = 0 एक पहचान है।

उदाहरण: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

वे कहते हैं कि संख्याएँ x 0 हैं और y 0 हैं समीकरण को संतुष्ट करें , यदि उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर यह वास्तविक समानता में बदल जाता है।

सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा विश्लेषणात्मक ज्यामितिएक रेखा के समीकरण की अवधारणा है.

परिभाषा: किसी दी गई रेखा का समीकरण समीकरण F(x,y)=0 है, जो इस रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और इस रेखा पर न पड़ने वाले किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

समीकरण y = f(x) द्वारा परिभाषित रेखा को f(x) का ग्राफ कहा जाता है। चर x और y को वर्तमान निर्देशांक कहा जाता है, क्योंकि वे एक चर बिंदु के निर्देशांक हैं।

कुछ उदाहरणपंक्ति परिभाषाएँ.

1) एक्स - वाई = 0 => एक्स = वाई। यह समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => बिंदुओं को या तो समीकरण x - y = 0, या समीकरण x + y = 0 को संतुष्ट करना होगा, जो कि समतल पर संगत है प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं का एक युग्म जो निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक हैं:

3) x 2 + y 2 = 0. यह समीकरण केवल एक बिंदु O(0,0) से संतुष्ट होता है।

2. परिभाषा: समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक्स + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक ए और बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, यानी। A 2 + B 2 ¹ 0. यह प्रथम कोटि का समीकरण कहलाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

ए = 0, बी ¹ 0, सी ¹ 0 (बाय + सी = 0) - ऑक्स अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = 0, ए ¹ 0, सी ¹ 0 (एक्स + सी = 0) - ओए अक्ष के समानांतर सीधी रेखा

बी = सी = 0, ए ¹ 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए = सी = 0, बी ¹ 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती होती है

किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा Ax + By + C = 0 का सामान्य समीकरण निम्न रूप में घटाया जाए:

और निरूपित करें, तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण.

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

मैं फ़िन सामान्य समीकरणसीधी रेखा Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, फिर, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: या, जहां

ज्यामितीय अर्थगुणांक वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को एक संख्या से विभाजित किया जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosj + ysinj - p = 0 - एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि m×С< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा तक डाले गए लंबवत की लंबाई है, और j इस लंबवत द्वारा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।

3. एक बिंदु और ढलान का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण।

माना कि रेखा का कोणीय गुणांक k के बराबर है, रेखा बिंदु M(x 0, y 0) से होकर गुजरती है। फिर सीधी रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा पाया जाता है: y - y 0 = k(x - x 0)

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण.

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:

यदि कोई भी हर शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

समतल पर, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल किया गया है:

यदि x 1 ¹ x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।

भिन्न = k कहा जाता है ढलानसीधा।

F(x, y) = 0 के रूप की समानता को दो चर x, y वाला समीकरण कहा जाता है यदि यह संख्याओं x, y के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है। वे कहते हैं कि दो संख्याएँ x = x 0, y = y 0, F(x, y) = 0 के रूप के कुछ समीकरण को संतुष्ट करती हैं, यदि समीकरण में चर x और y के स्थान पर इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, इसका बायाँ भाग शून्य हो जाता है .

किसी दी गई रेखा का समीकरण (एक निर्दिष्ट समन्वय प्रणाली में) दो चर वाला एक समीकरण है जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और उस पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

निम्नलिखित में, अभिव्यक्ति के बजाय "रेखा F(x, y) = 0 का समीकरण दिया गया है," हम अक्सर अधिक संक्षेप में कहेंगे: रेखा F(x, y) = 0 दिया गया है।

यदि दो रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं: F(x, y) = 0 और Ф(x, y) = 0, तो सिस्टम का संयुक्त समाधान

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

उनके सभी प्रतिच्छेदन बिंदु देता है। अधिक सटीक रूप से, संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा जो इस प्रणाली का संयुक्त समाधान है, एक प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करता है,

157. दिए गए अंक *) एम 1 (2; -2), एम 2 (2; 2), एम 3 (2; - 1), एम 4 (3; -3), एम 5 (5; -5), एम 6 (3; -2). निर्धारित करें कि दिए गए बिंदुओं में से कौन सा बिंदु समीकरण x + y = 0 द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित है और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे चित्र पर बनाएं।)

158. समीकरण x 2 + y 2 = 25 द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनके भुज निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; उसी रेखा पर ऐसे बिंदु खोजें जिनके निर्देशांक निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: 5) 3, 6) -5, 7) -8। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे चित्र पर बनाएं।)

159. निर्धारित करें कि कौन सी रेखाएँ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित होती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ): 1)x - y = 0; 2) एक्स + वाई = 0; 3) एक्स - 2 = 0; 4)एक्स + 3 = 0; 5) वाई - 5 = 0; 6) वाई + 2 = 0; 7) एक्स = 0; 8) वाई = 0; 9) एक्स 2 - एक्सवाई = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) एक्स 2 - वाई 2 = 0; 12) xy = 0; 13) वाई 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) वाई 2 + बाय + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) वाई - |एक्स|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) एक्स 2 + वाई 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (एक्स - 1) 2 + वाई 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (एक्स - 3) 2 + वाई 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. दी गई पंक्तियाँ: l)x + y = 0; 2)एक्स - वाई = 0; 3)एक्स 2 + वाई 2 - 36 = 0; 4) एक्स 2 + वाई 2 - 2एक्स + वाई = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. निर्धारित करें कि उनमें से कौन मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

161. दी गई पंक्तियाँ: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (एक्स - 3) 2 + (वाई + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) एक्स 2 + वाई 2 - 12एक्स + 16वाई - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. उनके प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें: a) ऑक्स अक्ष के साथ; बी) ओए अक्ष के साथ।

162. दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:

1) एक्स 2 + वाई 2 - 8; एक्स - वाई =0;

2) एक्स 2 + वाई 2 - 16एक्स + 4वाई + 18 = 0; एक्स + वाई = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; एक्स 2 + वाई 2 = 25;

4) एक्स 2 + वाई 2 - 8वाई + 10वाई + 40 = 0; एक्स 2 + वाई 2 = 4.

163. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, बिंदु M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) और M 5 (1; 2/3π). निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा बिंदु समीकरण p = 2cosΘ द्वारा ध्रुवीय निर्देशांक में परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे चित्र पर बनाएं।)

164. समीकरण p = 3/cosΘ द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनके ध्रुवीय कोण निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

165. समीकरण p = 1/sinΘ द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनकी ध्रुवीय त्रिज्याएँ निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 1 6) 2, c) √2। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

166. निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित करें कि ध्रुवीय निर्देशांक में कौन सी रेखाएँ निर्धारित होती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ): 1) पी = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) पी कॉसΘ = 2; 5) पी पापΘ = 1; 6.) पी = 6cosΘ; 7) पी = 10 पापΘ; 8) पापΘ = 1/2; 9) सिनप = 1/2.

167. चित्र पर निम्नलिखित आर्किमिडीज़ सर्पिल बनाएं: 1) पी = 20; 2) पी = 50; 3) पी = Θ/π; 4) पी = -Θ/π.

168. ड्राइंग पर निम्नलिखित अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल बनाएं: 1) पी = 1/Θ; 2) पी = 5/Θ; 3) पी = π/Θ; 4) पी= - π/Θ

169. ड्राइंग पर निम्नलिखित लघुगणकीय सर्पिल बनाएं: 1) पी = 2 Θ; 2) पी = (1/2) Θ.

170. उन खंडों की लंबाई निर्धारित करें जिनमें आर्किमिडीज़ सर्पिल पी = 3Θ को ध्रुव से निकलने वाली किरण द्वारा काटा जाता है और एक कोण Θ = π/6 पर ध्रुवीय अक्ष पर झुका हुआ होता है। एक चित्र बनाओ.

171. आर्किमिडीज़ सर्पिल p = 5/πΘ पर, बिंदु C लिया गया है, जिसका ध्रुवीय त्रिज्या 47 है। निर्धारित करें कि यह सर्पिल बिंदु C के ध्रुवीय त्रिज्या को कितने भागों में काटता है। एक चित्र बनाएं।

172. एक अतिपरवलयिक सर्पिल P = 6/Θ पर, एक बिंदु P ढूंढें जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 12 है। एक चित्र बनाएं।

173. एक लघुगणकीय सर्पिल p = 3 Θ पर, एक बिंदु P ढूंढें जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 81 है। एक चित्र बनाएं।