Enačbe v višji matematiki. Racionalni koreni polinomov. Hornerjeva shema. Osnovne lastnosti korenov algebrske enačbe Lobačevski–Greffejeva metoda za približno rešitev algebrskih enačb
stran 1
Kvadratne enačbe
V sodobni algebri je kvadratna enačba enačba oblike
kje so koeficienti 
poljubna realna števila in 
Nepopolna kvadratna enačba je enačba oblike
Primer a) 
Tako ima enačba dva korena: 
Primer b)
rešitev
Enačba ima dva korena: 
Primer z) 
rešitev
Enačba ima dva korena: 
Primer d)
rešitev
Enačba nima pravih korenin.
Primer e) 
rešitev
Ta enačba je tudi nepopolna kvadratna enačba; vedno ima en koren
Pri reševanju kvadratnih enačb lahko uporabite različne načine faktorizacija. Torej pri reševanju enačbe b uporabljena je bila metoda uporabe skupnega množitelja. Obstaja še en način - metoda združevanja.
rešitev.
odgovor: 
Isto enačbo je mogoče rešiti na več načinov. Oglejmo si nekatere izmed njih na primeru kvadratna enačba
Metoda I
Razmislite o kvadratnem trinomu 
Razložimo ga na faktorje z uporabo metode združevanja, potem ko smo prej predstavili izraz 
kot 
Imamo
To pomeni, da dano enačbo lahko prepišemo v obliki
Ta enačba ima dva korena: 
II
način
. Razmislite o kvadratnem trinomu in ga faktorizirajte z uporabo metode izolacije popolnega kvadrata; Najprej predstavimo člen 3 kot razliko 
. Imamo
Z uporabo formule razlike kvadratov dobimo
Torej, korenine trinoma
III način – grafika.
Oglejmo si grafično metodo za reševanje enačb
Reši enačbo
Gradimo graf funkcije 
Koordinate vrha:
Os parabole je ravna 
Vzemimo dve točki na abscisni osi, ki sta simetrični glede na os parabole, na primer točki 
Poiščimo vrednost funkcije v teh točkah 
Skozi pike 
in vrh parabole 
Zgradimo graf funkcije.
Torej so korenine enačbe abscise točk presečišča parabole z osjo abscise, tj.
Razmislimo o drugi različici grafične rešitve enačbe
Zapišimo enačbo v obliki 
Izdelajmo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu 
Torej so korenine enačbe abscise presečišč zgrajenih grafov
Prvotno enačbo je mogoče rešiti na več načinov s preureditvijo enačbe 
na pamet 
ali na razgled 
Nato predstavimo funkcije, zgradimo grafe in poiščemo abscise presečišč grafov zgrajenih funkcij.
Glej nalogo 3 (Priloga 1).
IV način – z uporabo formule za korene kvadratne enačbe.
Za rešitev kvadratne enačbe oblike 
lahko uporabite naslednji algoritem:
Ker 
Ta kvadratna enačba ima dva korena. Te korene najdemo s formulo
če b– sodo število, tj. 
Potem
Enačba oblike 
je reducirana kvadratna enačba.
Če številke 
so takšni, da 
potem so te številke korenine enačbe. 
S to izjavo oziroma izjavo, nasprotje izreka Vieta lahko reši podane kvadratne enačbe.
Torej, korenine enačbe
Če v enačbi vsota 
potem je en koren enačbe vedno 1, drugi koren pa se izračuna s formulo.
V enačbi znesek torej 
Glej nalogo 4 (Priloga 1).
Racionalne enačbe
če 
je racionalen izraz, potem enačba 
imenujemo racionalna enačba.
Primer 
Preverimo najdene korenine: 
tiste. 
so koreni prvotne enačbe.
Primer 
Rešimo enačbo z vnosom spremenljivke. Pustiti 
To nam bo omogočilo, da enačbo prepišemo v obliki 
Iz enačbe 
najdemo 
Preverimo najdene korenine 
Zaradi 
rešiti moramo še dve enačbi:
in 
Koreni prve enačbe so števili 1 in –4, koreni druge enačbe so števila 
Odgovor: 1, −4,
Metoda vnosa nove spremenljivke se uporablja tudi pri reševanju bikvadratnih enačb.
Enačba oblike 
imenujemo bikvadratna enačba.
Primer 
Predstavimo spremenljivko 
Dobimo
Odgovor: 2, -2.
Glej naloge 5, 6 in 7 (Priloga 1).
Iracionalne enačbe
Če enačba vsebuje spremenljivko pod znakom kvadratnega korena, se taka enačba imenuje iracionalna.
Obrnimo se na strani iz zgodovine matematike. Koncept iracionalnih števil so poznali že pitagorejci. Pitagorov izrek je matematike pripeljal do odkritja nesomerljivih segmentov. Dobili so povsem paradoksalno trditev: dolžine diagonale kvadrata ni mogoče izmeriti z nobenim naravnim številom. Ta izjava je spodkopala glavno tezo njihovega učenja: "vse je število."
Odkritje nesorazmernosti je pokazalo, da je nemogoče najti dolžino katerega koli segmenta, če poznamo le racionalna števila. To pomeni, da je množica segmentov veliko širša od množice racionalnih števil. Grki so se odločili, da bodo matematiko gradili ne po poti širjenja pojma števila, ki bi jih vodilo k upoštevanju iracionalnih števil, temveč s pomočjo geometrijskih količin. Za razliko od pitagorejcev znanstveniki Stari vzhod uporabljene so bile približne številke brez pojasnila. Zato so namesto tega napisali 1,41 
, in 3 namesto številke 
Vrnimo se k sodobni matematiki in razmislimo o načinih reševanja iracionalnih enačb.
primer: 
Metoda kvadriranja obeh strani enačbe je glavna metoda za reševanje iracionalnih enačb.
Metoda kvadriranja je preprosta, vendar včasih povzroči težave.
primer: 
Ampak pomen 
ki je koren racionalne enačbe 
ni koren dane iracionalne enačbe. Testiranje bo to izjavo potrdilo.
Pregled:
Nastali izraz nima smisla. Pod korenom sode stopnje ne more biti negativnega števila.
Zaključek: 
tuja korenina
Glede na ir racionalna enačba nima korenin.
primer: 
Pregled:
če 
to 
- nepravilno
če 
to
- nepravilno
Sklep: dana iracionalna enačba je brez korenin.
Torej se iracionalna enačba reši s kvadriranjem obeh strani; Po rešitvi nastale racionalne enačbe je potrebno opraviti preverjanje in odstraniti morebitne tuje korenine.
primer: 
Pregled:
če 
to 
- prava enakost.
če 
to 
- prava enakost.
To pomeni, da sta obe najdeni vrednosti korenine enačbe.
Odgovor: 4; 5.
primer: 
To enačbo rešimo z uvedbo nove spremenljivke.
Pustiti 
Vrnimo se k prvotni spremenljivki.
- prav,
- nepravilno.
Glej nalogo 8 (Priloga 1).
Malo teorije
Opredelitev. Dve enačbi 
in 
imenujemo enakovredni, če imata enake korenine (oz. še posebej, če obe enačbi nimata korenin).
Običajno pri reševanju enačbe poskušajo to enačbo nadomestiti z enostavnejšo, a njej enakovredno. Takšno zamenjavo imenujemo ekvivalentna transformacija enačbe.
Ekvivalentne transformacije enačbe so naslednje transformacije:
1. Prenos členov enačbe iz enega dela enačbe v drugega z nasprotnimi predznaki.
Na primer, zamenjava enačbe 
enačba 
Tukaj je ekvivalentna transformacija enačbe. To pomeni, da enačbe in so enakovredne.
2. Množenje ali deljenje obeh strani enačbe z istim številom, ki ni nič.
Na primer, zamenjava enačbe 
enačba 
(obe strani enačbe sta člen za členom pomnoženi z 10) je enakovredna transformacija enačbe.
Naslednje transformacije so neenake transformacije enačbe:
1. Osvoboditev imenovalcev, ki vsebujejo spremenljivke.
Na primer, zamenjava enačbe 
enačba 
je neenakomerna transformacija enačbe. Bistvo je, da enačba ima dva korena: 2 in −2, podana enačba pa ima vrednost 
ne more zadovoljiti (imenovalec gre na nič). V takih primerih pravijo takole: tuja korenina.
2. Kvadriranje obeh strani enačbe.
Če je bila pri reševanju enačbe uporabljena ena od navedenih neekvivalentnih transformacij, je treba vse najdene korenine preveriti s substitucijo v izvirno enačbo, saj so med njimi lahko tuje korenine.
Opredelitev.
Domena enačbe 
imenovan niz 
Kje 
in 
– področja opredelitve funkcij f in g.
Primer 
Če seštejemo ulomke na levi strani, dobimo enačbo
enakovreden originalnemu. Ta ista enačba je enakovredna sistemu
Kvadratna enačba ima korenine 
Kje 
- tuja korenina.
Razmislite o rešitvi enačbe 
Zato je prvotna enačba enakovredna množici
oz 
oz 
oz 
Enačbe s spremenljivko pod znakom modula
1. Absolutna vrednost števila a(označeno |
a|
) je razdalja od točke, ki predstavlja dano število a na koordinatni premici, do izhodišča.
Iz definicije izhaja, da 
Osnovne lastnosti modula
Primer 
Tu sta očitno dve možnosti: 
oz 
Kje je enostavno dobiti
odgovor: 
oz 
Upoštevajte, da pri reševanju enačb oblike 
najbolj racionalen način je prehod na agregat
Primer 
Tu nas zgornja tehnika osvobodi potrebe po iskanju intervalov konstantnega predznaka kvadratnega trinoma z "neprijetnimi" koreninami.
Imamo:
odgovor: oz 
oz 
Glej nalogo 9 (Priloga 1).
Enačbe s parametri
Malo teorije.
Učenci se pri uvajanju določenih pojmov srečajo s parametri. Na primer, funkcija neposredne sorazmernosti:
linearna funkcija:
linearna enačba:
kvadratna enačba:
Opredelitev. Enačba - njen videz in rešitev, ki je odvisna od vrednosti enega ali več parametrov - se imenuje enačba s parametri.
Reševanje enačbe s parametri pomeni
1. Poiščite vse sisteme vrednosti parametrov, za katere ima ta enačba rešitve.
2. Poiščite vse rešitve za vsak najdeni sistem vrednosti parametrov, tj. neznanka in parametri morajo imeti svoja območja sprejemljivih vrednosti.
primer: 
Odgovor: Če 
potem ni rešitev. Primer:
Te enačbe so kombinirane naloge, v procesu reševanja katerih so izdelani standardni algoritmi za reševanje enačb, oblikovane in utrjene pa so tudi veščine dela z obsegom dovoljenih vrednosti in izbiranja korenin. Te enačbe so mišljene kot individualne naloge za močne študente.
Uporaba enačb.
Navier-Stokesove enačbe - sistem diferencialne enačbe v delnih odvodih, ki opisujejo gibanje viskozne tekočine. Navier-Stokesove enačbe so med najpomembnejšimi v hidrodinamiki in se uporabljajo pri matematičnem modeliranju mnogih naravni pojavi in tehnične težave. Ime je dobil po francoskem fiziku Louisu Navierju in britanskem matematiku Georgeu Stokesu.
Sistem je sestavljen iz enačbe gibanja in enačbe kontinuitete.
Ena od aplikacij sistema enačb je opisovanje tokov v Zemljinem plašču.
Različice enačbe se uporabljajo za opis gibanja atmosferskih zračnih mas, zlasti pri oblikovanju vremenske napovedi. Analiza rešitev enačbe je bistvo enega od odprtih problemov, za rešitev katerega je Clay Mathematical Institute podelil nagrado v višini 1 milijona ameriških dolarjev. Treba je dokazati ali ovreči obstoj globalne gladke rešitve Cauchyjevega problema za tridimenzionalne Navier-Stokesove enačbe.
Seznam uporabljene literature
Mordkovich A.G. Algebra. 7. razred: V dveh delih. 1. del: Učbenik za splošno izobraževanje. Ustanove. – 5. izd. – M.: Mnemosyne, 2002. – 160 str.: ilustr.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred: V dveh delih. 1. del: Učbenik za splošno izobraževanje. Ustanove. – 6. izd. – M.: Mnemosyne, 2004. – 223 str.: ilustr.
A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir Algebraic simulator: Priročnik za šolarje in kandidate”/Ed. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. – M.: Ilexa, 2001 – 320 str.
Krivonogov V.V. Nestandardne naloge pri matematiki: razredi 5-11. – M.: Založba “Prvi september”, 2002. – 224 str.: ilustr.
stran 1
Števila lahko razdelimo v nize v naslednjem vrstnem redu naraščajoče moči -
1. Množica - množica praštevil (nima praštevil, razen sebe).
2. Množica - množica naravnih števil.
3. Množica - množica celih števil (to so naravna števila, ničla in negativna cela števila).
4. Set - niz racionalnih števil (to so cela števila ali števila, ki jih je mogoče predstaviti kot ulomek, katerih števec in imenovalec sta cela števila. Decimalni zapis racionalno je končno ali pa ga je mogoče predstaviti kot ulomek, ki nujno vsebuje periodično ponavljanje).
5. Množica - podmnožica realna števila, ki jih lahko predstavimo kot radikale nad poljem realnih števil. Sem spadajo vsi racionalni (Q), pa tudi nekateri iracionalni, npr. 
. Natančneje, v tem nizu so števila, ki jih lahko predstavimo v obliki zapisa s potenco, kjer bo potenca racionalno število, vsako število, povzdignjeno na potenco, pa bo racionalno pozitivno število.
6. Množica - podmnožica realnih števil, ki jih lahko predstavimo kot radikale nad poljem kompleksna števila. Sem sodijo vsi racionalni (Q), pa tudi nekateri iracionalni, na primer, ki se bodo na koncu izkazali za veljavne. Natančneje, v tem nizu so števila, ki jih lahko predstavimo v obliki zapisa s potenco, pri čemer je potenca racionalno število, število, ki se povzdiguje na potenco, pa je racionalno in je lahko negativno .
Razlika med nizom 6 in nizom 5. Na primer, korenine enačbe,
, sta enaka.
Hkrati je znano, da kubične enačbe topljiva v radikalih. To pomeni, da lahko te iste korene predstavimo v obliki zapisa s števili, matematičnimi operacijami in potenci.
vprašanje Predvidevam, da bodo deli tega vnosa kompleksna števila, tj. brez tega ne moreš. Tam bodo korenine iz negativna števila Nujno. Ali je predpostavka pravilna?
Če je predpostavka pravilna, potem pravi koreni kubičnih enačb vedno pripadajo množici, lahko pa tudi ne pripadajo množici. Toda korenine kvadratne enačbe vedno pripadajo nizu nizke moči.
vprašanje Ali sinus argumenta (v stopinjah), predstavljen kot racionalno število, vedno pripada množici (ali celo), tj. ali se lahko vedno izrazi v radikalih?
Toda pojdimo k še močnejšemu nizu številk. Pravih korenov enačbe 5. stopnje ni mogoče vedno izraziti v radikalih, tj. morda sploh niso vključeni v , vendar obstaja niz, kjer so vključeni -
7. Veliko - veliko algebrska števila, (podmnožica realnih števil) . Ta niz vključuje vse možne realne korene vseh možnih algebrskih enačb katere koli stopnje in s poljubnimi racionalnimi koeficienti.
Katere močnejše množice štejemo v matematiko (če ne štejemo najširših množic – realnih in kompleksnih)? Nisem srečal močnejših, običajno, če številka ni vključena, se preprosto imenuje transcendentalna. In predstavil bi še en sklop -
8. Množica - niz števil, ki so lahko koreni katere koli matematične enačbe (ne nujno algebrske) s poljubnimi znanimi funkcijami (kot so sinus, zeta funkcija, integralni logaritem itd.), ki jih je mogoče razširiti in predstaviti v obliki serije ali več vrstic. Imenujmo takšne številke ANALITIČNE. Preprosto povedano, določite lahko opis končnih dimenzij, tako da iz tega opisa najdete katero koli števko za decimalno vejico danega števila - ad infinitum.
Do sedaj so bili vsi obravnavani nizi podmnožice naslednjih, tj. podmnožica itd. - podmnožica. Naslednji sklop je ločen (ni vključen vanj), vendar najmočnejši.
9. Set - niz kaotičnih števil. (kaotično je moja definicija). To je niz vseh realnih števil, ki niso vključena v . Če je število vključeno v , potem tega števila ni mogoče predstaviti z nobenimi matematičnimi opisi končnih velikosti (ne glede na nize ali funkcije itd.), tj. če podamo opis končnih dimenzij, potem tega opisa ne bomo mogli uporabiti za iskanje nobene števke za decimalno vejico danega števila - ad infinitum.
10. Množica - množica VSEH realnih števil. To je zveza disjunktnih množic in . Poleg tega ima množica znotraj množice mero nič. Tisti. v množici realnih števil je večina števil kaotičnih, manjšina pa analitičnih.
11. Množica - množica vseh kompleksnih števil. Možno ga je bilo razdeliti na podobne podmnožice (algebraično kompleksno, analitično, kaotično itd.), vendar mislim, da ni potrebno.
Je moja razvrstitev pravilna? Katere druge množice imajo matematiki, ki so podmnožice transcendentnih števil, vendar niso algebrska števila?
Formule za korenine kvadratne enačbe. Obravnavani so primeri pravih, večkratnih in kompleksnih korenov. Faktoriziranje kvadratnega trinoma. Geometrijska interpretacija. Primeri določanja korenov in faktoringa.
VsebinaPoglej tudi: Reševanje kvadratnih enačb na spletu
Osnovne formule
Razmislite o kvadratni enačbi:
(1)
.
Korenine kvadratne enačbe(1) so določene s formulami:
;
.
Te formule je mogoče kombinirati takole:
.
Ko so znani koreni kvadratne enačbe, lahko polinom druge stopnje predstavimo kot produkt faktorjev (faktoriziran):
.
Nato predpostavimo, da so realna števila.
Razmislimo diskriminanta kvadratne enačbe:
.
Če je diskriminanta pozitivna, ima kvadratna enačba (1) dva različna realna korena:
;
.
Potem ima faktorizacija kvadratnega trinoma obliko:
.
Če je diskriminanta enaka nič, ima kvadratna enačba (1) dva večkratna (enaka) realna korena:
.
Faktorizacija:
.
Če je diskriminanta negativna, ima kvadratna enačba (1) dva kompleksna konjugirana korena:
;
.
Tukaj je namišljena enota, ;
in so resnični in namišljeni deli korenin:
;
.
Potem
.
Grafična interpretacija
Če narišete funkcijo
,
ki je parabola, bodo točke presečišča grafa z osjo korenine enačbe
.
Ko , graf seka os x (os) v dveh točkah ().
Ko se graf dotakne osi x v eni točki ().
Ko je , graf ne seka osi x ().
Uporabne formule, povezane s kvadratno enačbo
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Izpeljava formule za korene kvadratne enačbe
Izvedemo transformacije in uporabimo formuli (f.1) in (f.3):
,
Kje
;
.
Tako smo dobili formulo za polinom druge stopnje v obliki:
.
To kaže, da enačba
izvedel pri
in .
To je in sta korenini kvadratne enačbe
.
Primeri določanja korenov kvadratne enačbe
Primer 1
(1.1)
.
.
V primerjavi z našo enačbo (1.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Poiščemo diskriminanco:
.
Ker je diskriminant pozitiven, ima enačba dva realna korena:
;
;
.
Iz tega dobimo faktorizacijo kvadratnega trinoma:
.
Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 seka os x v dveh točkah.
Narišimo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Prečka abscisno os (os) v dveh točkah:
in .
Te točke so korenine prvotne enačbe (1.1).
;
;
.
Primer 2
Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(2.1)
.
Zapišimo kvadratno enačbo v splošni obliki:
.
V primerjavi z izvirno enačbo (2.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Poiščemo diskriminanco:
.
Ker je diskriminant enak nič, ima enačba dva večkratna (enaka) korena:
;
.
Potem ima faktorizacija trinoma obliko:
.
Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 se v eni točki dotakne osi x.
Narišimo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. V eni točki se dotakne osi x (osi):
.
Ta točka je koren izvirne enačbe (2.1). Ker je ta koren dvakrat faktoriziran:
,
potem se tak koren navadno imenuje večkratnik. To pomeni, da verjamejo, da obstajata dva enaka korena:
.
;
.
Primer 3
Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(3.1)
.
Zapišimo kvadratno enačbo v splošni obliki:
(1)
.
Prepišimo prvotno enačbo (3.1):
.
V primerjavi z (1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Poiščemo diskriminanco:
.
Diskriminanta je negativna, . Zato ni pravih korenin.
Najdete lahko kompleksne korenine:
;
;
.
Potem
.
Graf funkcije ne prečka osi x. Pravih korenin ni.
Narišimo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Ne seka osi x (osi). Zato ni pravih korenin.
Pravih korenin ni. Kompleksne korenine:
;
;
.
Projekt obravnava metodo za približno iskanje korenov algebraične enačbe - metodo Lobachevsky-Greffe. V delu je opredeljena ideja metode, njena računska shema in najdeni so pogoji za uporabnost metode. Predstavljena je izvedba metode Lobachevsky–Greffe.
1 TEORETIČNI DEL 6
1.1 Postavitev problema 6
1.2 Algebraične enačbe 7
1.2.1 Osnovni pojmi o algebrski enačbi 7
1.2.2 Korenine algebraične enačbe 7
1.2.3 Število realnih korenin polinoma 9
1.3 Lobačevski–Greffejeva metoda za približno rešitev algebrskih enačb 11
1.3.1 Ideja metode 11
1.3.2 Kvadraturiranje korenov 13
2.1 Naloga 1 16
2.2 Naloga 2 18
2.4 Analiza dobljenih rezultatov 20
SEZNAM REFERENC 23
UVOD
Današnja računalniška tehnologija ponuja zmogljiva orodja za dejansko opravljanje dela štetja. Zahvaljujoč temu je v mnogih primerih postalo mogoče opustiti približno razlago uporabnih vprašanj in preiti na reševanje problemov v natančni formulaciji. Smiselna uporaba sodobne računalniške tehnologije je nepredstavljiva brez spretne uporabe metod približne in numerične analize.
Numerične metode so namenjene reševanju problemov, ki se pojavljajo v praksi. Reševanje problema z numeričnimi metodami se spušča v aritmetične in logične operacije s števili, kar zahteva uporabo računalniške tehnologije, kot so procesorji za preglednice sodobnih pisarniških programov za osebne računalnike.
Cilj discipline “Numerične metode” je najti najučinkovitejšo metodo za rešitev določenega problema.
Reševanje algebrskih enačb je eden bistvenih problemov uporabne analize, potreba po katerem se pojavlja v številnih in raznolikih področjih fizike, mehanike, tehnike in naravoslovja v širšem pomenu besede.
Ta projekt je posvečen eni od metod za reševanje algebraičnih enačb - metodi Lobachevsky-Greffe.
Namen tega dela je obravnavati idejo metode Lobachevsky–Greffe za reševanje algebrskih problemov in zagotoviti računalniško shemo za iskanje pravih korenin z uporabo MS Office Excel. Projekt preučuje glavna teoretična vprašanja, povezana z iskanjem korenov algebrskih enačb z metodo Lobachevsky–Greffe. Praktični del tega dela predstavlja rešitve algebrskih enačb z uporabo metode Lobachevsky–Greffe.
1 TEORETIČNI DEL
1.1 Izjava problema
Naj sta podani množica X elementov x in množica Y z elementi y. Predpostavimo tudi, da je na množici X definiran operator, ki vsakemu elementu x iz X priredi nek element y iz Y. Vzemimo nek element
in si zadali cilj najti takšne elemente 
, za katerega 
je slika. Ta problem je enakovreden reševanju enačbe
(1.1)
Zanj se lahko pojavijo naslednje težave.
Pogoji za obstoj rešitve enačbe.
Pogoj za edinstvenost rešitve enačbe.
Algoritem reševanja, po katerem bi bilo mogoče najti, odvisno od cilja in pogojev, točno ali približno vse rešitve enačbe (1.1) ali katero koli vnaprej določeno rešitev ali katero koli od obstoječih.
bo kakšna funkcija. V tem primeru lahko enačbo (1.1) zapišemo v obliki 
(1.2)
V teoriji numeričnih metod si prizadevamo zgraditi računski proces, s pomočjo katerega lahko najdemo rešitev enačbe (1.2) z vnaprej določeno natančnostjo. Še posebej velik pomen imajo konvergentne procese, ki omogočajo reševanje enačbe s katero koli, ne glede na to, kako majhno, napako.
Naša naloga je najti, na splošno, približno element 
. V ta namen se razvija algoritem, ki izdela zaporedje približnih rešitev 
, in to tako, da relacija velja
1.2 Algebraične enačbe
1.2.1 Osnovni pojmi o algebrski enačbi
Razmislite o algebraiki enačba nth stopnje
kje so koeficienti 
so realna števila in 
.
Izrek 1.1 (temeljni izrek algebre). Algebraična enačba stopnje n (1.3) ima natanko n korenin, realnih in kompleksnih, pod pogojem, da je vsak koren preštet tolikokrat, kot je njegova množica.
V tem primeru pravijo, da ima koren enačbe (1.3) večkratnost s if
, 
.
Kompleksni koreni enačbe (1.3) imajo lastnost parne konjugacije.
Izrek 1.2. Če so koeficienti algebraične enačbe (1.3) realni, potem so kompleksni koreni te enačbe po paru kompleksno konjugirani, tj. če 
(
so realna števila) je koren enačbe (1.3), večkratnosti s, nato pa število 
je tudi koren te enačbe in ima enako mnogokratnost s.
Posledica. Algebraična enačba lihe stopnje z realnimi koeficienti ima vsaj en realen koren.
1.2.2 Korenine algebraične enačbe
če
so koreni enačbe (1.3), potem ima leva stran naslednjo razširitev: . (1.6)
Z množenjem binomov v formuli (1.6) in enačenjem koeficientov pri enakih potencah x na levi in desni strani enakosti (1.6) dobimo razmerja med koreni in koeficienti algebrske enačbe (1.3):
(1.7)
Če upoštevamo mnogoterosti korenin, dobi ekspanzija (1.6) obliko
,
Kje
–različni koreni enačbe (1) in 
– njihova množica in 
.
Izpeljanka 
je izraženo kot sledi:
kjer je Q(x) polinom, tako da
pri k=1,2,…,m Zato polinom
je največji skupni delilnik polinom
in njegove izpeljanke 
, in ga je mogoče najti z evklidskim algoritmom. Naredimo količnik 
,
in dobimo polinom
z realnimi kvotami
, A 1 , A 2 ,…, A m , katerih korenine 
so različni. Tako se reševanje algebrske enačbe z več koreninami zmanjša na reševanje algebrske enačbe nižjega reda z različnimi koreninami.
1.2.3 Število realnih korenin polinoma
Splošna predstava o številu realnih korenin enačbe (1.3) na intervalu (a,b) je podana z grafom funkcije
, kjer so korenine 
sta abscisi točk presečišča grafa z osjo Ox. Omenimo nekaj lastnosti polinoma P(x):
Če je P(a)P(b)
Če je P(a)P(b)>0, potem je na intervalu (a, b) sodo število ali nobenih korenin polinoma P(x).
Opredelitev. Naj bo podan urejen končni sistem neničelnih realnih števil:
,
,…,
(1.9)
Pravijo, da za par sosednjih elementov
, 
sistemu (1.9) pride do spremembe predznaka, če imata elementa nasprotna predznaka, tj. 
,
in ni spremembe znaka, če sta njuna znaka enaka, tj.
.
Opredelitev. Skupno število spremembe predznakov vseh parov sosednjih elementov
, 
sistemu (1.9) imenujemo število sprememb predznaka v sistemu (1.9). Opredelitev. Za dani polinom P(x) je Sturmov sistem sistem polinomov
,
, 
, 
,…, 
,
Kje 
, – ostanek z nasprotnim predznakom pri deljenju polinoma z , – ostanek z nasprotnim predznakom pri deljenju polinoma z itd.
Opomba 1. Če polinom nima več korenin, potem je zadnji element Sturmovega sistema realno število, ki ni nič.
Opomba 2. Elemente Sturmovega sistema lahko izračunamo do pozitivnega numeričnega faktorja.
Z N(c) označimo število sprememb predznaka v Sturmovem sistemu pri x=c, če so ničelni elementi tega sistema prečrtani.
Izrek 1.5. (Sturmov izrek). Če polinom P(x) nima več konjev in 
, 
, nato pa število njegovih pravih korenin 
na intervalu 
natančno enako številu izgubljenih sprememb predznaka v Sturmovem sistemu polinoma 
pri selitvi iz 
prej 
, tj.
.
Posledica 1. Če
, nato številko 
pozitivno in število 
negativni koreni polinoma so enaki 
,
.
Posledica 2. Da so vse korenine polinoma P(x) stopnje n, ki nima več korenin, realne, je nujno in zadostno, da je izpolnjen pogoj
.
Tako bodo v enačbi (1.3) vsi koreni veljavni, če in samo če:
Z uporabo Sturmovega sistema lahko ločite korene algebrske enačbe tako, da interval (a,b), ki vsebuje vse realne korene enačbe, razdelite na končno število delnih intervalov.
tako da 
.
1.3 Metoda Lobačevskega–Greffeja za približno reševanje algebrskih enačb
1.3.1 Ideja metode
Razmislimo o algebrski enačbi (1.3).Pretvarjajmo se, da
, (1.15)
tiste. korenine so različne po modulu in modul vsakega prejšnjega korena je bistveno večji od modula naslednjega. Z drugimi besedami, predpostavimo, da je razmerje dveh sosednjih korenin, šteto v padajočem vrstnem redu njunega števila, količina, ki je majhna v absolutni vrednosti:
, (1.16)
Kje 
in 
– majhna vrednost. Takšne korenine imenujemo ločene.
(1.17)
Kje 
, 
,…, 
– količine, ki so majhne v absolutni vrednosti v primerjavi z enoto. Zanemarjanje v sistemu (1.17) količin 
, bomo imeli približne odnose 
(1.18)
Kje najdemo korenine? 
(1.19)
Natančnost korenov v sistemu enačb (1.20) je odvisna od tega, kako majhne v absolutni vrednosti so količine 
v odnosih (1,16)
Da bi dosegli ločitev korenov, na podlagi enačbe (1.3) sestavijo transformirano enačbo
, (1.20)
čigave korenine
, 
,…, 
so m-e stopinj korenine 
, 
,…, 
enačba (1.3). Če so vsi koreni enačbe (1.3) različni in njihovi moduli izpolnjujejo pogoj (1.17), potem bodo za dovolj velik m koreni , ,..., enačbe (1.20) ločeni, ker
pri 
.
Očitno je dovolj sestaviti algoritem za iskanje enačbe, katere korenine bodo kvadrati korenin zadaj podana enačba. Potem bo mogoče dobiti enačbo, katere korenine bodo enake koreninam prvotne enačbe na moč
.
1.3.2 Kvadriranje korenov
Polinom (1.3) zapišemo v naslednji oblikiIn ga pomnožimo s polinomom oblike
Potem dobimo
Po zamenjavi
in množenje z 
, bo imel . (1.21)
Koreni polinoma (1.21) so povezani s koreninami polinoma (1.3) z naslednjim razmerjem
.
Zato je enačba, ki nas zanima,
,
katerih koeficienti so izračunani po formuli (1.22)
, (1.22)
kjer se domneva, da
pri 
.
Z zaporedno k-kratno uporabo postopka kvadriranja korenin na polinom (1.3) dobimo polinom
, (1.23)
v katerem
, 
itd. Pri dovolj velikem k je mogoče zagotoviti, da koreni enačbe (1.23) zadoščajo sistemu
(1.24)
Določimo število k, za katero je sistem (1.24) izpolnjen z dano natančnostjo.
Predpostavimo, da je zahtevani k že dosežen in so enakosti (1.24) zadoščene s sprejeto natančnostjo. Naredimo še eno transformacijo in poiščemo polinom
,
za kar velja tudi sistem (1.24).
.
Ker na podlagi formule (1.22)
, (1.25)
potem, če nadomestimo (1.25) v sistem (1.24), dobimo, da so absolutne vrednosti koeficientov
mora biti enaka sprejeti točnosti kvadratov koeficientov 
. Izpolnitev teh enakosti bo pomenila, da je zahtevana vrednost k že dosežena na k-tem koraku. Zato je treba kvadriranje korenov enačbe (1.3) ustaviti, če so pri sprejeti natančnosti na desni strani formule (1.24) ohranjeni le kvadratni koeficienti in je podvojena vsota zmnožkov pod mejo točnosti.
Nato se ločijo pravi koreni enačbe in njihovi moduli se najdejo s formulo
(1.26)
Predznak korena je mogoče določiti z grobo oceno z zamenjavo vrednosti 
in 
v enačbo (1.3).
2 PRAKTIČNI DEL
2.1 Naloga 1
. (2.1)
Najprej ugotovimo število realnih in kompleksnih korenov v enačbi (2.1). Za to bomo uporabili Sturmov izrek.
Sturmov sistem za enačbo (2.1) bo imel naslednjo obliko:
Od kod ga dobimo?
Tabela 2.1.
|
Polinom |
Točke na realni osi |
|
 |
 |
|
 |
+ |
+ |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
 |
– |
+ |
 |
– |
– |
|
Število sprememb predznaka |
1 |
3 |
Tako ugotovimo, da je število realnih korenin v enačbi (2.1) enako
,
tiste. enačba (2.1) vsebuje 2 realna in dva kompleksna korena.
Za iskanje korenov enačbe uporabimo metodo Lobachevsky–Greffe za par kompleksno konjugiranih korenov.
Kvadrirajmo korenine enačbe. Koeficienti so bili izračunani po naslednji formuli 
, (2.2)
Kje 
, (2.3)
A 
velja za enako 0, ko 
.
Rezultati izračunov z osmimi signifikantnimi številkami so podani v tabeli 2.2
Tabela 2.2.
|
jaz |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
 |
|||||
 |
0 |
-3,8000000E+01 |
3.5400000E+02 |
3.8760000E+03 |
0 |
 |
1 |
4.3000000E+01 |
7.1500000E+02 |
4.8370000E+03 |
1.0404000E+04 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,4300000E+03 |
-3,9517400E+05 |
-1,4877720E+07 |
0 |
 |
1 |
4.1900000E+02 |
1.1605100E+05 |
8.5188490E+06 |
1.0824322E+08 |
 |
|||||
 |
0 |
-2.3210200E+05 |
-6.9223090E+09 |
-2,5123467E+13 |
0 |
 |
1 |
-5.6541000E+04 |
6.5455256E+09 |
4.7447321E+13 |
1.1716594E+16 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,3091051E+10 |
5.3888712E+18 |
-1,5338253E+26 |
0 |
 |
1 |
-9.8941665E+09 |
4.8232776E+19 |
2.0978658E+27 |
1,3727857E+32 |
 |
|||||
 |
0 |
-9.6465552E+19 |
4.1513541E+37 |
-1,3242653E+52 |
0 |
 |
1 |
1.4289776E+18 |
2.3679142E+39 |
4.3877982E+54 |
1.8845406E+64 |
 |
|||||
 |
0 |
-4,7358285E+39 |
-1,2540130E+73 |
-8.9248610+103 |
0 |
 |
1 |
-4.7337865E+39 |
5.6070053E+78 |
1.9252683+109 |
3.5514932+128 |
 |
|||||
 |
0 |
-1,1214011E+79 |
1.8227619+149 |
-3.9826483+207 |
0 |
 |
1 |
1.1194724E+79 |
3.1438509+157 |
3.7066582+218 |
1.2613104+257 |
Kot je razvidno iz tabele 2.2, so v 7. koraku korenine 
, 
(šteto v padajočem vrstnem redu modulov) se lahko štejejo za ločene. Module korenin najdemo s formulo (1.27) in njihov predznak določimo z grobo oceno:
Ker je pretvorjeni koeficient pri 
spremeni predznak, potem ima ta enačba kompleksne korene, ki so določeni iz enačbe (1.31) z uporabo formul (1.29) in (1.30):
jaz.
2.2 Naloga 2
Z metodo Lobachevsky–Greffe rešite enačbo:. (2.4)
Za začetek s pomočjo Sturmovega izreka določimo število realnih in kompleksnih korenov v enačbi (2.2).
Za to enačbo ima Sturmov sistem obliko
Od kod ga dobimo?
Tabela 2.3.
|
Polinom |
Točke na realni osi |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
– |
+ |
|
|
– |
– |
|
Število sprememb predznaka |
3 |
1 |
Tako ugotovimo, da je število realnih korenin v enačbi (2.2) enako
,
tiste. enačba (2.2) vsebuje 2 realna in dva kompleksna korena.
Za približno iskanje korenov enačbe bomo uporabili metodo Lobachevsky–Greffe za par kompleksno konjugiranih korenov.
Kvadrirajmo korenine enačbe. Koeficiente bomo izračunali po formulah (2.2) in (2.3).
Rezultati izračunov z osmimi signifikantnimi številkami so podani v tabeli 2.4
Tabela 2.4.
|
jaz |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
0 |
-9.2000000E+00 |
-3,3300000E+01 |
1.3800000E+02 |
0 |
.
in 
v enačbi (2.4), kar ima za posledico napake različnih vrst (4,52958089E–11 oziroma 4,22229789E–06) za enako število ponovitev.itd. je splošno izobraževalne narave in je velikega pomena za študij CELOTNE smeri višje matematike. Danes bomo ponovili “šolske” enačbe, a ne samo “šolske” – ampak tiste, ki jih najdemo povsod v razne naloge vyshmat. Kot običajno bo zgodba podana na aplikativni način, t.j. Ne bom se osredotočal na definicije in klasifikacije, ampak bom z vami delil natančno Osebna izkušnja rešitve. Podatki so namenjeni predvsem začetnikom, a tudi naprednejši bralci bodo našli marsikaj zanimivega zase. In seveda bo nov material, ki presega Srednja šola.
Torej enačba…. Mnogi se te besede spomnijo z grozo. Kaj so vredne "sofisticirane" enačbe s koreninami ... ... pozabite nanje! Ker takrat boste srečali najbolj neškodljive "predstavnike" te vrste. Ali dolgočasno trigonometrične enačbe z več desetimi metodami rešitve. Po pravici povedano, sama jih nisem ravno marala ... Ne bom paničen! – potem vas večinoma čakajo “regratovi” z očitno rešitvijo v 1-2 korakih. Čeprav se "repinca" zagotovo drži, morate biti tu objektivni.
Nenavadno je, da je v višji matematiki veliko pogosteje obravnavati zelo primitivne enačbe, kot je linearni enačbe
Kaj pomeni rešiti to enačbo? To pomeni najti TAKŠNO vrednost "x" (koren), ki jo spremeni v pravo enakost. Vrzimo "trojko" v desno s spremembo predznaka:
in spustite "dva" na desno stran (ali, ista stvar - pomnožite obe strani s)
:
Če želite preveriti, nadomestimo osvojeni pokal v prvotno enačbo: 
Dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da je najdena vrednost res koren te enačbe. Ali, kot tudi pravijo, izpolnjuje to enačbo.
Upoštevajte, da je koren lahko zapisan tudi v obliki decimalno:
In poskusite se ne držati tega slabega sloga! Razlog sem ponovil več kot enkrat, zlasti na prvi lekciji na višja algebra.
Mimogrede, enačbo je mogoče rešiti tudi "v arabščini":
In kar je najbolj zanimivo, je ta posnetek povsem legalen! Če pa niste učitelj, potem je bolje, da tega ne počnete, ker je izvirnost tukaj kaznovana =)
In zdaj malo o
metoda grafične rešitve
Enačba ima obliko in njen koren je "X" koordinata stičišča graf linearne funkcije z grafom linearne funkcije (x os):
Zdi se, da je primer tako elementaren, da tukaj ni več kaj analizirati, vendar je mogoče iz njega "iztisniti" še eno nepričakovano nianso: predstavimo isto enačbo v obliki in zgradimo grafe funkcij: 
pri čemer, prosim, ne zamenjujte obeh pojmov: enačba je enačba in funkcijo– to je funkcija! Funkcije samo pomoč poišči korenine enačbe. Od katerih sta lahko dva, trije, štirje ali celo neskončno veliko. Najbližji primer v tem smislu je znani kvadratna enačba, algoritem rešitve za katerega je prejel ločen odstavek »vroče« šolske formule. In to ni naključje! Če znaš rešiti kvadratno enačbo in veš Pitagorov izrek, potem bi lahko rekli "pol višje matematike je že v žepu" =) Seveda pretirano, a ne tako daleč od resnice!
Zato ne bodimo leni in rešimo kakšno kvadratno enačbo z uporabo standardni algoritem:
, kar pomeni, da ima enačba dve različni veljaven koren: 
Preprosto je preveriti, ali obe najdeni vrednosti dejansko izpolnjujeta to enačbo: 
Kaj storiti, če ste nenadoma pozabili algoritem rešitve in pri roki ni sredstev/pomoči? Ta situacija se lahko pojavi na primer med testom ali izpitom. Uporabljamo grafično metodo! In obstajata dva načina: lahko graditi točko za točko parabola 
, s čimer ugotovimo, kje seka os (če se sploh križa). Vendar je bolje narediti nekaj bolj zvitega: zamislite si enačbo v obliki, narišite grafe več enostavne funkcije- In "X" koordinate njihova presečišča so jasno vidna! 
Če se izkaže, da se premica dotika parabole, ima enačba dva ujemajoča se (več) korena. Če se izkaže, da premica ne seka parabole, potem pravih korenin ni.
Če želite to narediti, morate seveda znati graditi grafi elementarnih funkcij, po drugi strani pa te veščine zmore tudi šolar.
In spet - enačba je enačba in funkcije so funkcije, ki samo pomagalo reši enačbo!
In tukaj, mimogrede, bi bilo primerno zapomniti še eno stvar: če vse koeficiente enačbe pomnožimo z neničelnim številom, se njeni koreni ne bodo spremenili.
Torej, na primer, enačba 
ima iste korenine. Kot preprost "dokaz" bom konstanto vzel iz oklepaja: 
in ga neboleče odstranim (oba dela bom delil z "minus dva"):
AMPAK!Če upoštevamo funkcijo 
, potem se tukaj ne morete znebiti stalnice! Iz oklepaja je dovoljeno vzeti le množitelj: 
.
Mnogi podcenjujejo metodo grafične rešitve, saj jo imajo za nekaj »nedostojnega«, nekateri pa na to možnost celo popolnoma pozabijo. In to je v osnovi napačno, saj risanje grafov včasih samo reši situacijo!
Še en primer: recimo, da se ne spomnite korenin najpreprostejše trigonometrične enačbe: . Splošna formula je v šolskih učbenikih, v vseh priročnikih o osnovni matematiki, vendar vam niso na voljo. Vendar pa je reševanje enačbe kritično (ali »dve«). Obstaja izhod! – zgraditi grafe funkcij: 
nato pa mirno zapišemo koordinate "X" njihovih presečišč: 
Korenov je neskončno veliko in v algebri je njihov zgoščen zapis sprejet:
, Kje ( – množica celih števil)
.
In, ne da bi "odšli", nekaj besed o grafični metodi za reševanje neenačb z eno spremenljivko. Princip je enak. Tako je na primer rešitev neenakosti poljuben "x", ker Sinusoida leži skoraj v celoti pod ravno črto. Rešitev neenakosti je množica intervalov, v katerih deli sinusoide ležijo strogo nad ravno črto (x-os):
ali na kratko:
Toda tukaj je veliko rešitev za neenakost: prazno, saj nobena točka sinusoide ne leži nad premico.
Ali česa ne razumeš? Nujno preučite lekcije o kompleti in funkcijski grafi!
Ogrejmo se:
1. vaja
Grafično rešite naslednje trigonometrične enačbe:
Odgovori na koncu lekcije
Kot lahko vidite, za študij natančnih znanosti sploh ni treba nabijati formul in referenčnih knjig! Poleg tega je to v osnovi napačen pristop.
Kot sem vas že prepričal na samem začetku lekcije, je treba kompleksne trigonometrične enačbe v standardnem tečaju višje matematike reševati zelo redko. Vsa kompleksnost se praviloma konča z enačbami, kot je , katerih rešitev sta dve skupini korenov, ki izhajata iz najpreprostejših enačb in 
. Za reševanje slednjega se ne obremenjujte preveč – poglejte v knjigo ali jo poiščite na internetu =)
Metoda grafičnega reševanja lahko pomaga tudi v manj trivialnih primerih. Upoštevajte na primer naslednjo enačbo "ragtag":
Obeti za njegovo rešitev so videti ... ne izgledajo čisto nič, ampak enačbo si morate le predstavljati v obliki , zgraditi funkcijski grafi in vse se bo izkazalo za neverjetno preprosto. Na sredini članka je risba o infinitezimalne funkcije (odpre se v naslednjem zavihku).
Z isto grafično metodo lahko ugotovite, da enačba že ima dve korenini, ena od njih pa je enaka nič, druga pa navidezno neracionalno in spada v segment . Ta koren lahko približno izračunamo, npr. tangentna metoda. Mimogrede, pri nekaterih težavah se zgodi, da vam ni treba najti korenin, ampak ugotovite ali sploh obstajajo?. In tudi tukaj lahko pomaga risba - če se grafi ne sekajo, potem ni korenin.
Racionalne korenine polinomov s celimi koeficienti.
Hornerjeva shema
Zdaj pa vas vabim, da pogled usmerite v srednji vek in občutite edinstveno vzdušje klasične algebre. Za boljše razumevanje snovi priporočam, da si vsaj malo preberete kompleksna števila.
Najboljši so. Polinomi.
Predmet našega zanimanja bodo najpogostejši polinomi oblike z cela koeficientov Naravno število klical stopnja polinoma, število – koeficient najvišje stopnje (ali samo najvišji koeficient), koeficient pa je brezplačen član.
Ta polinom bom na kratko označil z .
Korenine polinoma imenujemo korenine enačbe
Obožujem železna logika =)
Za primere pojdite na sam začetek članka: 
Pri iskanju korenin polinomov 1. in 2. stopnje ni težav, z večanjem pa postaja ta naloga čedalje težja. Čeprav je po drugi strani vse bolj zanimivo! In prav temu bo posvečen drugi del lekcije.
Najprej dobesedno polovica zaslona teorije:
1) Glede na posledico temeljni izrek algebre, polinom stopnje ima točno kompleksen korenine Nekatere korenine (ali celo vse) so lahko še posebej veljaven. Poleg tega so lahko med pravimi koreninami enake (večkratne) korenine (najmanj dva, največ kosa).
Če je neko kompleksno število koren polinoma, potem konjugat njeno število je nujno tudi koren tega polinoma (konjugirani kompleksni koreni imajo obliko ).
Najenostavnejši primer je kvadratna enačba, ki se je prvič pojavila v 8 (všeč mi je) razreda, in ki smo ga v temi dokončno »dodelali«. kompleksna števila. Naj vas spomnim: kvadratna enačba ima dva različna realna korena, več korenin ali konjugirane kompleksne korenine.
2) Od Bezoutov izrek iz tega sledi, da če je število koren enačbe, potem lahko ustrezen polinom faktoriziramo:
, kjer je polinom stopnje .
In spet naš stari primer: ker je koren enačbe, potem . Po kateri ni težko pridobiti znane "šolske" razširitve.
Posledica Bezoutovega izreka ima veliko praktično vrednost: če poznamo koren enačbe 3. stopnje, jo lahko predstavimo v obliki 
in iz kvadratne enačbe je enostavno ugotoviti preostale korenine. Če poznamo koren enačbe 4. stopnje, potem je mogoče levo stran razširiti v produkt itd.
In tukaj sta dve vprašanji:
Prvo vprašanje. Kako najti prav to korenino? Najprej opredelimo njegovo naravo: v mnogih problemih višje matematike je treba najti racionalno, še posebej cela korenine polinomov in v zvezi s tem nas bodo v nadaljevanju zanimale predvsem te.... ...tako dobri so, tako puhasti, da si jih kar želiš najti! =)
Prva stvar, ki pride na misel, je metoda izbire. Upoštevajte na primer enačbo. Ulov je v prostem izrazu - če bi bil enak nič, bi bilo vse v redu - vzamemo "x" iz oklepajev in korenine same "padejo" na površje: 
Toda naš prosti izraz je enak "tri", zato začnemo zamenjati v enačbo različne številke, ki trdi, da je "root". Najprej se predlaga zamenjava posameznih vrednosti. Zamenjajmo: 
Prejeto nepravilno enakosti, torej enota »ni ustrezala«. No, v redu, zamenjajmo: 
Prejeto prav enakost! To pomeni, da je vrednost koren te enačbe.
Za iskanje korenin polinoma 3. stopnje obstaja analitična metoda (tako imenovane Cardano formule), zdaj pa nas zanima malo drugačna naloga.
Ker je - koren našega polinoma, lahko polinom predstavimo v obliki in nastane Drugo vprašanje: kako najti "mlajšega brata"?
Najenostavnejša algebrska razmišljanja kažejo, da moramo za to deliti z . Kako deliti polinom s polinomom? Ista šolska metoda, ki deli navadna števila - "stolpec"! O tej metodi sem podrobno razpravljal v prvih primerih lekcije. Kompleksne omejitve, zdaj pa si bomo ogledali drugo metodo, ki se imenuje Hornerjeva shema.
Najprej zapišemo "najvišji" polinom z vsemi
, vključno z ničelnimi koeficienti:
, nato pa te koeficiente vnesemo (strogo v vrstnem redu) v zgornjo vrstico tabele:
Na levi pišemo koren:
Takoj bom rezerviral, da Hornerjeva shema deluje tudi, če je "rdeča" številka ne je koren polinoma. Vendar ne prehitevajmo stvari.
Od zgoraj odstranimo vodilni koeficient:
Postopek polnjenja spodnjih celic nekoliko spominja na vezenje, kjer je "minus ena" nekakšna "igla", ki prežema naslednje korake. »Odneseno« število pomnožimo z (–1) in produktu dodamo število iz zgornje celice:
Dobljeno vrednost pomnožimo z "rdečo iglo" in produktu dodamo naslednji koeficient enačbe:
In končno, dobljeno vrednost ponovno "obdelamo" z "iglo" in zgornjim koeficientom:
Ničla v zadnji celici nam pove, da je polinom razdeljen na brez sledu (kot mora biti), medtem ko so ekspanzijski koeficienti "odstranjeni" neposredno iz spodnje vrstice tabele:
Tako smo iz enačbe prešli na ekvivalentno enačbo in s preostalima korenoma je vse jasno (v tem primeru dobimo konjugirane kompleksne korene).
Enačbo, mimogrede, lahko rešimo tudi grafično: izris "strela" 
in vidite, da graf prečka os x ()
na točki. Ali isti "zvit" trik - prepišemo enačbo v obliki , narišemo elementarne grafe in zaznamo koordinato "X" njihove presečišča.
Mimogrede, graf katerega koli funkcijskega polinoma 3. stopnje seka os vsaj enkrat, kar pomeni, da ima ustrezna enačba vsaj eno veljaven korenina. To dejstvo velja za vsako polinomsko funkcijo lihe stopnje.
In tukaj bi se rad tudi ustavil pomembna točka kar zadeva terminologijo: polinom in polinomska funkcija – to ni isto! Toda v praksi pogosto govorijo na primer o "grafu polinoma", kar je seveda malomarnost.
Vendar se vrnimo k Hornerjevi shemi. Kot sem pred kratkim omenil, ta shema deluje za druge številke, vendar če št ne je koren enačbe, potem se v naši formuli pojavi neničelni dodatek (ostanek):
"Zaženimo" "neuspešno" vrednost po Hornerjevi shemi. V tem primeru je priročno uporabiti isto tabelo - na levo napišite novo "iglo", premaknite vodilni koeficient od zgoraj (zelena puščica levo), in gremo: 
Za preverjanje odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze:
, V REDU.
Preprosto je videti, da je ostanek ("šest") točno vrednost polinoma pri . In pravzaprav - kako je: 
, in še lepše - takole:
Iz zgornjih izračunov je enostavno razumeti, da Hornerjeva shema omogoča ne samo faktorizacijo polinoma, ampak tudi izvedbo "civilizirane" izbire korena. Predlagam, da sami utrdite algoritem izračuna z majhno nalogo:
Naloga 2
Z uporabo Hornerjeve sheme poiščite celoštevilski koren enačbe in faktorizirajte ustrezen polinom
Z drugimi besedami, tukaj morate zaporedno preverjati števila 1, –1, 2, –2, ... – dokler se v zadnjem stolpcu ne “izriše” preostanek nič. To bo pomenilo, da je "igla" te črte koren polinoma
Izračune je priročno urediti v eni tabeli. Podrobna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Metoda izbire korenin je dobra za relativno preproste primere, če pa so koeficienti in/ali stopnja polinoma veliki, lahko postopek traja dolgo. Ali morda obstaja nekaj vrednosti z istega seznama 1, –1, 2, –2 in jih ni smiselno upoštevati? In poleg tega se lahko izkaže, da so korenine delne, kar bo vodilo do popolnoma neznanstvenega pikanja.
Na srečo obstajata dva močna izreka, ki lahko znatno zmanjšata iskanje vrednosti "kandidatov" za racionalne korenine:
1. izrek Razmislimo ireduktibilen ulomek , kjer . Če je število koren enačbe, se prosti člen deli z in vodilni koeficient deli s.
Še posebej, če je vodilni koeficient , potem je ta racionalni koren celo število:
In začnemo izkoriščati teorem s samo to okusno podrobnostjo:
Vrnimo se k enačbi. Ker je njegov vodilni koeficient , potem so lahko hipotetični racionalni koreni izključno celo število, prosti člen pa mora biti nujno razdeljen na te korene brez ostanka. In "tri" lahko razdelimo le na 1, –1, 3 in –3. To pomeni, da imamo samo 4 "korenske kandidate". In glede na 1. izrek, druga racionalna števila NAČELOM ne morejo biti koreni te enačbe.
V enačbi je malo več "tekmovalcev": prosti člen je razdeljen na 1, –1, 2, – 2, 4 in –4.
Upoštevajte, da sta številki 1, –1 »običajni« na seznamu možnih korenin (očitna posledica izreka) in večina najboljša izbira za prednostno preverjanje.
Pojdimo k bolj smiselnim primerom:
Problem 3
rešitev: ker je vodilni koeficient , potem so lahko hipotetični racionalni koreni le celo število in morajo biti nujno delitelji prostega člena. "Minus štirideset" je razdeljen na naslednje pare številk:
– skupaj 16 “kandidatov”.
In tu se takoj pojavi mamljiva misel: ali je mogoče izločiti vse negativne ali vse pozitivne korenine? V nekaterih primerih je to mogoče! Oblikoval bom dva znaka:
1) Če VseČe so koeficienti polinoma nenegativni ali vsi nepozitivni, potem ne more imeti pozitivnih korenin. Na žalost to ni naš primer (zdaj, če bi dobili enačbo - potem da, pri zamenjavi katere koli vrednosti polinoma je vrednost polinoma strogo pozitivna, kar pomeni, da so vsa pozitivna števila (in tudi neracionalne) ne morejo biti koreni enačbe.
2) Če so koeficienti za lihe potence nenegativni in za vse sode potence (vključno z brezplačnim članom) so negativni, potem polinom ne more imeti negativnih korenin. Ali "zrcalno": koeficienti za lihe potence so nepozitivni, za vse sode potence pa pozitivni.
To je naš primer! Če pogledate malo bližje, lahko vidite, da bo pri zamenjavi katerega koli negativnega "X" v enačbi leva stran strogo negativna, kar pomeni, da negativni koreni izginejo
Tako je za raziskavo ostalo 8 številk:
"Napolnimo" jih zaporedno po Hornerjevi shemi. Upam, da ste že obvladali miselne izračune: 
Pri testiranju »dvojke« nas je pričakala sreča. Tako je koren obravnavane enačbe in
Ostaja še preučevanje enačbe 
. To je enostavno narediti prek diskriminatorja, vendar bom izvedel okvirni test z isto shemo. Najprej naj opozorimo, da je prosti termin enak 20, kar pomeni 1. izrekštevilki 8 in 40 izpadeta s seznama možnih korenin, vrednosti pa ostanejo za raziskovanje (eden je bil izločen po Hornerjevi shemi).
Koeficiente trinoma zapišemo v zgornjo vrstico nove tabele in Začnemo preverjati z istim "dvema". Zakaj? In ker so koreni lahko večkratniki, prosim: - ta enačba ima 10 enakih korenov. Ampak ne pustimo se motiti: 
In tukaj sem se seveda malo zlagal, saj sem vedel, da so korenine racionalne. Konec koncev, če bi bili neracionalni ali kompleksni, bi se soočil z neuspešnim preverjanjem vseh preostalih številk. Zato se v praksi ravnajte po diskriminatorju.
Odgovori: racionalne korenine: 2, 4, 5
Pri problemu, ki smo ga analizirali, smo imeli srečo, saj: a) so negativne vrednosti takoj odpadle in b) zelo hitro smo našli koren (in teoretično bi lahko preverili celoten seznam).
Toda v resnici je situacija veliko hujša. Vabim vas, da si ogledate razburljivo igro z naslovom "Zadnji junak":
Problem 4
Poiščite racionalne korenine enačbe
rešitev: Avtor 1. izrekštevci hipotetičnih racionalnih korenov morajo izpolnjevati pogoj (beremo "dvanajst je deljeno z el"), imenovalci pa na pogoj. Na podlagi tega dobimo dva seznama:
"seznam el":
in "seznam um": (na srečo so številke tukaj naravne).
Sedaj pa naredimo seznam vseh možnih korenin. Najprej razdelimo »el seznam« na . Popolnoma jasno je, da bodo pridobljene enake številke. Za udobje jih postavimo v tabelo:
Številni ulomki so bili zmanjšani, kar je povzročilo vrednosti, ki so že na "seznamu junakov". Dodajamo samo "novince": 
Podobno delimo isti "seznam" z: 
in končno naprej
Tako je ekipa udeležencev naše igre zaključena: 
Na žalost polinom v tem problemu ne izpolnjuje "pozitivnega" ali "negativnega" kriterija, zato ne moremo zavreči zgornje ali spodnje vrstice. Delati boste morali z vsemi številkami.
Kako se počutiš? Daj no, pokonci – obstaja še en izrek, ki ga lahko figurativno imenujemo »ubijalski izrek«…. ..."kandidati", seveda =)
Toda najprej se morate pomakniti po Hornerjevem diagramu za vsaj enega celotaštevilke. Tradicionalno, vzemimo enega. V zgornjo vrstico zapišemo koeficiente polinoma in vse je kot običajno:
Ker štiri očitno ni nič, vrednost ni koren zadevnega polinoma. Ampak ona nam bo zelo pomagala.
Izrek 2Če za nekatere na splošno vrednost polinoma ni nič: , potem njegove racionalne korenine (če so) izpolnjevati pogoj
V našem primeru morajo zato vse možne korenine izpolnjevati pogoj (recimo temu pogoj št. 1). Ta četverica bo "ubijalec" mnogih "kandidatov". Za predstavitev si bom ogledal nekaj pregledov:
Preverimo "kandidata". Da bi to naredili, ga umetno predstavimo v obliki ulomka, iz katerega je jasno razvidno, da . Izračunajmo testno razliko: . Štiri je deljeno z "minus dva": , kar pomeni, da je možni koren prestal test.
Preverimo vrednost. Tukaj je testna razlika: 
. Seveda in zato tudi drugi “predmet” ostaja na seznamu.
