obrti

Vietin izrek za kvadratne in druge enačbe. Vietov izrek, inverzna Vietova formula in primeri z rešitvijo za lutke Vietov eliminacijski izrek

Vsaka popolna kvadratna enačba ax2 + bx + c = 0 se lahko spomni x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, če najprej vsak člen delimo s koeficientom a pred tem x2. In če uvedemo nov zapis (b/a) = str in (c/a) = q, potem bomo imeli enačbo x 2 + px + q = 0, ki se v matematiki imenuje zmanjšana kvadratna enačba.

Koreni reducirane kvadratne enačbe in koeficienti str in q medsebojno povezani. Potrjeno je Vietin izrek, poimenovan po francoskem matematiku Francoisu Vieti, ki je živel ob koncu 16. stoletja.

Izrek. Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0 enak drugemu koeficientu str, vzet z nasprotnim predznakom, in produkt korenin - na prosti izraz q.

Ta razmerja zapišemo v naslednji obliki:

Pustiti x 1 in x2 različni koreni reducirane enačbe x 2 + px + q = 0. Po Vietinem izreku x1 + x2 = -p in x 1 x 2 = q.

Da to dokažemo, nadomestimo vsak od korenov x 1 in x 2 v enačbo. Dobimo dve pravi enakosti:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Od prve enakosti odštejemo drugo. Dobimo:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Prva dva izraza razširimo glede na formulo razlike kvadratov:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Glede na pogoj sta korena x 1 in x 2 različna. Zato lahko zmanjšamo enakost za (x 1 - x 2) ≠ 0 in izrazimo p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Prva enakost je dokazana.

Za dokaz druge enakosti jo nadomestimo s prvo enačbo

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 namesto koeficienta p je njegovo enako število (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Če preoblikujemo levo stran enačbe, dobimo:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, kar je bilo treba dokazati.

Vietin izrek je dober, ker tudi ne da bi poznali korenine kvadratne enačbe, lahko izračunamo njihovo vsoto in produkt .

Vietin izrek pomaga določiti cele korene dane kvadratne enačbe. Toda številnim študentom to povzroča težave zaradi dejstva, da ne poznajo jasnega algoritma delovanja, še posebej, če imajo korenine enačbe različne predznake.

Torej ima dana kvadratna enačba obliko x 2 + px + q \u003d 0, kjer sta x 1 in x 2 njeni koreni. Po Vietinem izreku x 1 + x 2 = -p in x 1 x 2 = q.

Izvedemo lahko naslednji zaključek.

Če je v enačbi pred zadnjim členom znak minus, imata korena x 1 in x 2 različna predznaka. Poleg tega je predznak manjšega korena enak predznaku drugega koeficienta v enačbi.

Glede na dejstvo, da se pri seštevanju števil z različnimi predznaki njihovi moduli odštejejo in pred rezultatom postavimo znak večjega števila, ravnajte na naslednji način:

določi takšne faktorje števila q, da je njihova razlika enaka številu p;
postavi predznak drugega koeficienta enačbe pred manjše od dobljenih številk; drugi koren bo imel nasproten predznak.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1.

Reši enačbo x 2 - 2x - 15 = 0.

Rešitev.

Poskusimo rešiti to enačbo z uporabo zgoraj predlaganih pravil. Potem lahko zagotovo rečemo, da bo ta enačba imela dva različna korena, ker D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Zdaj iz vseh faktorjev števila 15 (1 in 15, 3 in 5) izberemo tiste, katerih razlika je enaka 2. To bosta številki 3 in 5. Pred manjšo številko postavimo znak minus , tj. predznak drugega koeficienta enačbe. Tako dobimo korenine enačbe x 1 \u003d -3 in x 2 \u003d 5.

Odgovori. x 1 = -3 in x 2 = 5.

Primer 2.

Reši enačbo x 2 + 5x - 6 = 0.

Rešitev.

Preverimo, ali ima ta enačba korenine. Za to poiščemo diskriminanta:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Enačba ima dva različna korena.

Možni faktorji števila 6 so 2 in 3, 6 in 1. Razlika je 5 za par 6 in 1. V tem primeru ima koeficient drugega člena predznak plus, zato bo imelo manjše število isti znak. Toda pred drugo številko bo znak minus.

Odgovor: x 1 = -6 in x 2 = 1.

Vietin izrek lahko zapišemo tudi za popolno kvadratno enačbo. Torej, če je kvadratna enačba ax2 + bx + c = 0 ima korena x 1 in x 2 , potem izpolnjujeta enakosti

x 1 + x 2 = -(b/a) in x 1 x 2 = (c/a). Vendar pa je uporaba tega izreka v polni kvadratni enačbi precej problematična, saj če obstajajo koreni, je vsaj ena od njih ulomno število. In delo z izbiro frakcij je precej težko. Ampak še vedno obstaja izhod.

Razmislite o popolni kvadratni enačbi ax 2 + bx + c = 0. Pomnožite njeno levo in desno stran s koeficientom a. Enačba bo imela obliko (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Zdaj pa uvedemo novo spremenljivko, na primer t = ax.

V tem primeru se dobljena enačba spremeni v reducirano kvadratno enačbo oblike t 2 + bt + ac = 0, katere koreni t 1 in t 2 (če obstajajo) lahko določimo z Vietovim izrekom.

V tem primeru bodo korenine prvotne kvadratne enačbe

x 1 = (t 1 / a) in x 2 = (t 2 / a).

Primer 3.

Reši enačbo 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Rešitev.

Naredimo pomožno enačbo. Vsak člen enačbe pomnožimo s 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Naredimo spremembo t = 15x. Imamo:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Po Vietinem izreku bosta koreni te enačbe t 1 = 5 in t 2 = 6.

Vrnemo se k zamenjavi t = 15x:

5 = 15x ali 6 = 15x. Tako je x 1 = 5/15 in x 2 = 6/15. Zmanjšamo in dobimo končni odgovor: x 1 = 1/3 in x 2 = 2/5.

Odgovori. x 1 = 1/3 in x 2 = 2/5.

Da bi obvladali reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietinega izreka, morajo učenci čim več vaditi. Prav v tem je skrivnost uspeha.

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

Vietin izrek (natančneje, izrek inverzen Vietinemu izreku) nam omogoča, da skrajšamo čas reševanja kvadratnih enačb. Samo vedeti morate, kako ga uporabiti. Kako se naučiti reševati kvadratne enačbe z uporabo Vietinega izreka? Enostavno je, če malo pomisliš.

Zdaj bomo govorili le o rešitvi reducirane kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka.Redukcijska kvadratna enačba je enačba, v kateri je a, torej koeficient pred x², enak eni. Nedane kvadratne enačbe je mogoče rešiti tudi z uporabo Vietinega izreka, vendar že tam vsaj eden od korenov ni celo število. Težje jih je uganiti.

Izrek, nasproten Vietinemu izreku, pravi: če sta števili x1 in x2 taki, da

potem sta x1 in x2 koreni kvadratne enačbe

Pri reševanju kvadratne enačbe z uporabo Vietinega izreka so možne le 4 možnosti. Če se spomnite poteka sklepanja, se lahko zelo hitro naučite najti cele korenine.

I. Če je q pozitivno število,

to pomeni, da sta korena x1 in x2 števili enakega predznaka (ker le pri množenju števil z enakimi predznaki dobimo pozitivno število).

I.a. Če je -p pozitivno število, (oziroma str<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Če je -p negativno število, (oziroma p>0), potem sta oba korena negativni števili (dodali so številke istega predznaka, dobili negativno število).

II. Če je q negativno število,

to pomeni, da imata korena x1 in x2 različna predznaka (pri množenju števil dobimo negativno število le, če so predznaki faktorjev različni). V tem primeru x1 + x2 ni več vsota, ampak razlika (navsezadnje pri seštevanju števil z različnimi predznaki od večjega modula odštejemo manjše). Zato x1 + x2 kaže, koliko se korena x1 in x2 razlikujeta, torej koliko je en koren več od drugega (modulo).

II.a. Če je -p pozitivno število, (tj. str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Če je -p negativno število, (p>0), potem je večji (modulo) koren negativno število.

Razmislite o rešitvi kvadratnih enačb po Vietinem izreku na primerih.

Rešite dano kvadratno enačbo z uporabo Vietinega izreka:

Tukaj q=12>0, torej sta korena x1 in x2 številki istega predznaka. Njihova vsota je -p=7>0, torej sta oba korena pozitivni števili. Izberemo cela števila, katerih produkt je 12. To so 1 in 12, 2 in 6, 3 in 4. Vsota je 7 za par 3 in 4. Torej sta 3 in 4 korena enačbe.

V tem primeru je q=16>0, kar pomeni, da sta korena x1 in x2 številki istega predznaka. Njihova vsota -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tukaj je q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, potem je večje število pozitivno. Torej sta koreni 5 in -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Skoraj vsako kvadratno enačbo \ je mogoče pretvoriti v obliko \ Vendar je to mogoče, če je vsak člen sprva deljen s koeficientom \ pred \ Poleg tega je mogoče uvesti nov zapis:

\[(\frac (b)(a))= p\] in \[(\frac (c)(a)) = q\]

Zahvaljujoč temu bomo imeli enačbo \, ki jo v matematiki imenujemo reducirana kvadratna enačba. Korenine te enačbe in koeficienti \ so med seboj povezani, kar potrjuje Vietin izrek.

Vietin izrek: Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe \ je enaka drugemu koeficientu \ vzetemu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen \

Zaradi jasnosti rešimo enačbo naslednje oblike:

To kvadratno enačbo rešimo s pomočjo zapisanih pravil. Po analizi začetnih podatkov lahko sklepamo, da bo enačba imela dva različna korena, ker:

Zdaj iz vseh faktorjev števila 15 (1 in 15, 3 in 5) izberemo tiste, katerih razlika je enaka 2. Pod ta pogoj spadata številki 3 in 5. Pred manjšo postavimo znak minus številko. Tako dobimo korenine enačbe \

Odgovor: \[ x_1= -3 in x_2 = 5\]

Kje lahko na spletu rešim enačbo z uporabo Vietinega izreka?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletno enačbo katere koli zapletenosti. Vse kar morate storiti je, da vnesete svoje podatke v reševalec. Na naši spletni strani si lahko ogledate tudi video navodila in se naučite reševati enačbo. In če imate kakršna koli vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

Med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe obstajajo poleg korenskih formul še drugi uporabni odnosi, ki so podani z Vietin izrek. V tem članku bomo podali formulacijo in dokaz Vietinega izreka za kvadratno enačbo. Nato razmislimo o izreku, ki je nasproten Vietinemu izreku. Nato bomo analizirali rešitve najbolj značilnih primerov. Na koncu zapišemo formule Vieta, ki definirajo povezavo med pravimi koreninami algebraična enačba stopnje n in njenih koeficientov.

Navigacija po straneh.

Vietov izrek, formulacija, dokaz

Iz formul korenin kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0 oblike , kjer je D=b 2 −4 a c , razmerja x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ti rezultati so potrjeni Vietin izrek:

Izrek.

Če x 1 in x 2 sta korena kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0, potem je vsota korenov enaka razmerju koeficientov b in a, vzetih z nasprotnim predznakom, in zmnožku koreni so enaki razmerju koeficientov c in a, to je .

Dokaz.

Vietov izrek bomo dokazali po naslednji shemi: sestavili bomo vsoto in zmnožek korenov kvadratne enačbe z uporabo znanih korenskih formul, nato bomo preoblikovali nastale izraze in se prepričali, da so enaki −b /a oziroma c/a.

Začnimo z vsoto korenov, sestavimo. Zdaj pripeljemo ulomke do skupnega imenovalca, imamo. V števcu nastalega ulomka , po katerem : . Končno po 2 dobimo . To dokazuje prvo razmerje Vietinega izreka za vsoto korenov kvadratne enačbe. Pojdimo na drugo.

Sestavimo produkt korenin kvadratne enačbe:. Po pravilu množenja ulomkov lahko zadnji produkt zapišemo kot. Zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu, vendar je hitreje strniti ta izdelek za Formula razlike kvadratov, Torej. Potem, ko se spomnimo, izvedemo naslednji prehod. In ker formula D=b 2 −4 a·c ustreza diskriminantu kvadratne enačbe, potem lahko b 2 −4·a·c nadomestimo z zadnjim ulomkom namesto z D, dobimo . Po odprtju oklepajev in zmanjšanju podobnih pogojev pridemo do ulomka , in njegovo zmanjšanje za 4·a daje . To dokazuje drugo razmerje Vietinega izreka za produkt korenin.

Če izpustimo razlage, bo dokaz Vietinega izreka dobil jedrnato obliko:
,
.

Ostaja le ugotoviti, da če je diskriminanta enaka nič, ima kvadratna enačba en koren. Če pa predpostavimo, da ima enačba v tem primeru dva enaka korena, potem veljajo tudi enakosti iz Vietovega izreka. Dejansko je za D=0 koren kvadratne enačbe , potem in , in ker je D=0 , to je b 2 −4·a·c=0 , od koder je b 2 =4·a·c , potem .

V praksi se Vietin izrek najpogosteje uporablja v zvezi z reducirano kvadratno enačbo (z najvišjim koeficientom a enak 1) oblike x 2 +p·x+q=0 . Včasih se formulira za kvadratne enačbe ravno te vrste, kar ne omejuje splošnosti, saj je mogoče vsako kvadratno enačbo nadomestiti z enakovredno enačbo tako, da oba njena dela delimo s številom, ki ni nič. Tukaj je ustrezna formulacija Vietinega izreka:

Izrek.

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q \u003d 0 je enaka koeficientu pri x, vzetemu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen, to je x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Izrek, obraten Vietinemu izreku

Druga formulacija Vietinega izreka, podana v prejšnjem odstavku, kaže, da če sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0, potem sta razmerja x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2 = q. Po drugi strani pa iz zapisanih razmerij x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sledi, da sta x 1 in x 2 koreni kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0. Z drugimi besedami, trditev, nasprotna Vietinemu izreku, je resnična. Formuliramo ga v obliki izreka in ga dokažemo.

Izrek.

Če sta številki x 1 in x 2 takšni, da sta x 1 +x 2 =−p in x 1 x 2 =q, potem sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Dokaz.

Po zamenjavi koeficientov p in q v enačbi x 2 +p x+q=0 njunega izraza skozi x 1 in x 2, se pretvori v enakovredno enačbo.

V dobljeno enačbo nadomestimo število x 1 namesto x, imamo enakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kar je za kateri koli x 1 in x 2 pravilna numerična enakost 0=0, saj x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Zato je x 1 koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, kar pomeni, da je x 1 koren enakovredne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Če v enačbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 nadomestimo število x 2 namesto x, potem dobimo enakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. To je pravilna enačba, ker x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Zato je x 2 tudi koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, zato tudi enačbe x 2 +p x+q=0 .

S tem je dokončan dokaz izreka v nasprotju z Vietinim izrekom.

Primeri uporabe Vietinega izreka

Čas je, da spregovorimo o praktični uporabi Vietinega izreka in njegovega inverznega izreka. V tem podpoglavju bomo analizirali rešitve več najbolj tipičnih primerov.

Začnemo z uporabo izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku. Z njim je priročno preveriti, ali sta dani številki koreni dane kvadratne enačbe. V tem primeru se izračunata njihova vsota in razlika, po kateri se preveri veljavnost razmerij. Če sta izpolnjeni obe relaciji, potem na podlagi izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku, sklenemo, da so ta števila korenine enačbe. Če vsaj ena od razmerij ni izpolnjena, potem ta števila niso korenine kvadratne enačbe. Ta pristop se lahko uporablja pri reševanju kvadratnih enačb za preverjanje najdenih korenin.

Primer.

Kateri od parov številk 1) x 1 =−5, x 2 =3 ali 2) ali 3) je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0?

Rešitev.

Koeficienti dane kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0 so a=4 , b=−16 , c=9 . Po Vietinem izreku mora biti vsota korenov kvadratne enačbe enaka −b/a, to je 16/4=4, produkt korenin pa mora biti enak c/a, to je 9 /4.

Zdaj izračunajmo vsoto in zmnožek števil v vsakem od treh danih parov in jih primerjamo s pravkar pridobljenimi vrednostmi.

V prvem primeru imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Dobljena vrednost je drugačna od 4, zato nadaljnjega preverjanja ni mogoče izvesti, vendar z izrekom, obratnim od Vietinega izreka, lahko takoj sklepamo, da prvi par številk ni par korenin dane kvadratne enačbe .

Pojdimo na drugi primer. Tukaj je prvi pogoj izpolnjen. Preverimo drugi pogoj: , dobljena vrednost je drugačna od 9/4. Zato drugi par številk ni par korenov kvadratne enačbe.

Zadnji primer ostaja. Tukaj in. Oba pogoja sta izpolnjena, zato sta ti števili x 1 in x 2 koreni dane kvadratne enačbe.

odgovor:

Izrek, obratno od Vietinega izreka, lahko v praksi uporabimo za izbiro korenin kvadratne enačbe. Običajno se izberejo celoštevilski koreni danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti, saj je v drugih primerih to precej težko narediti. Hkrati uporabljajo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzeti s predznakom minus, in je produkt teh številk enak prostemu členu, potem so ta števila korenine te kvadratne enačbe. Opravimo se s tem s primerom.

Vzemimo kvadratno enačbo x 2 −5 x+6=0 . Da sta številki x 1 in x 2 koreni te enačbe, morata biti izpolnjeni dve enakosti x 1 +x 2 \u003d 5 in x 1 x 2 \u003d 6. Ostaja še izbrati takšne številke. V tem primeru je to precej preprosto: takšni številki sta 2 in 3, saj je 2+3=5 in 2 3=6 . Tako sta 2 in 3 koreni te kvadratne enačbe.

Izrek, obratno od Vietinega izreka, je še posebej priročno uporabiti za iskanje drugega korena reducirane kvadratne enačbe, ko je ena od korenin že znana ali očitna. V tem primeru se drugi koren najde iz katere koli relacije.

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo 512 x 2 −509 x−3=0 . Tukaj je enostavno videti, da je enota koren enačbe, saj je vsota koeficientov te kvadratne enačbe enaka nič. Torej x 1 = 1. Drugi koren x 2 lahko najdemo na primer iz razmerja x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , od koder je x 2 =−3/512 . Torej smo definirali oba korena kvadratne enačbe: 1 in −3/512.

Jasno je, da je izbira korenin uporabna le v najpreprostejših primerih. V drugih primerih lahko za iskanje korenin uporabite formule korenin kvadratne enačbe skozi diskriminanto.

Druga praktična uporaba izreka, inverzna Vietinega izreka, je sestavljanje kvadratnih enačb za dani koreni x 1 in x 2. Za to je dovolj izračunati vsoto korenov, ki daje koeficient x z nasprotnim predznakom dane kvadratne enačbe, in produkt korenov, ki daje prosti člen.

Primer.

Napišite kvadratno enačbo, katere koreni sta števili −11 in 23.

Rešitev.

Označimo x 1 =−11 in x 2 =23 . Izračunamo vsoto in produkt teh številk: x 1 + x 2 = 12 in x 1 x 2 = −253. Zato so te številke korenine dane kvadratne enačbe z drugim koeficientom -12 in prostim členom -253. To pomeni, da je x 2 −12·x−253=0 želena enačba.

odgovor:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietin izrek se zelo pogosto uporablja pri reševanju nalog, povezanih s predznaki korenin kvadratnih enačb. Kako je Vietin izrek povezan s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0? Tu sta dve ustrezni izjavi:

Če je presek q pozitivno število in če ima kvadratna enačba realne korene, sta bodisi oba pozitivna bodisi sta oba negativna.
Če je prosti člen q negativno število in če ima kvadratna enačba realne korene, so njihovi predznaki različni, z drugimi besedami, en koren je pozitiven, drugi pa negativen.

Te trditve izhajajo iz formule x 1 x 2 =q, pa tudi iz pravil za množenje pozitivnih, negativnih števil in števil z različnimi predznaki. Razmislite o primerih njihove uporabe.

Primer.

R je pozitiven. Po diskriminantni formuli najdemo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrednost izraza r 2 +8 je pozitivno za kateri koli realni r, torej D>0 za kateri koli realni r. Zato ima izvirna kvadratna enačba dva korena za vse realne vrednosti parametra r.

Zdaj pa ugotovimo, kdaj imajo korenine različne znake. Če so predznaki korenin različni, je njihov produkt negativen, po Vietinem izreku pa je produkt korenin dane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Zato nas zanimajo tiste vrednosti r, za katere je prosti člen r−1 negativen. Torej, da bi našli vrednosti r, ki nas zanimajo, moramo reši linearno neenakost r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

pri r<1 .

Vieta formule

Zgoraj smo govorili o Vietinem izreku za kvadratno enačbo in analizirali relacije, ki jih uveljavlja. Vendar obstajajo formule, ki povezujejo resnične korenine in koeficiente ne le kvadratnih enačb, ampak tudi kubičnih enačb, štirih enačb in na splošno, algebraične enačbe stopnja n. Poklicani so Vieta formule.

Zapišemo Vietove formule za algebraično enačbo stopnje n oblike, pri čemer predpostavljamo, da ima n realnih korenov x 1, x 2, ..., x n (med njimi so lahko enaki):

Pridobite formule Vieta izrek o faktorizaciji polinomov, kot tudi definicija enakih polinomov z enakostjo vseh njihovih ustreznih koeficientov. Torej sta polinom in njegova razširitev v linearne faktorje oblike enaka. Če odpremo oklepaje v zadnjem produktu in izenačimo ustrezne koeficiente, dobimo Vietine formule.

Zlasti za n=2 imamo že znane Vietove formule za kvadratno enačbo.

Za kubično enačbo imajo formule Vieta obliko

Omeniti je treba le, da so na levi strani Vietovih formul tako imenovani elementarni simetrični polinomi.

Bibliografija.

algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. ravni / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; ur. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Razsvetljenje, 2010.- 368 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Pri preučevanju načinov reševanja enačb drugega reda v šolskem tečaju algebre upoštevajte lastnosti pridobljenih korenin. Zdaj so znani kot Vietini izreki. Primeri njegove uporabe so navedeni v tem članku.

Kvadratna enačba

Enačba drugega reda je enačba, ki je prikazana na spodnji fotografiji.

Tukaj so simboli a, b, c nekatera števila, ki jih imenujemo koeficienti obravnavane enačbe. Če želite rešiti enakost, morate najti x vrednosti, ki jo naredijo resnično.

Upoštevajte, da je največja vrednost moči, na katero se dvigne x, dve, je tudi število korenov v splošnem primeru dve.

Obstaja več načinov za reševanje te vrste enakosti. V tem članku bomo obravnavali enega od njih, ki vključuje uporabo tako imenovanega Vietinega izreka.

Izjava Vietinega izreka

Konec 16. stoletja je znani matematik Francois Viet (Francoz) z analizo lastnosti korenin različnih kvadratnih enačb opazil, da določene kombinacije le-teh izpolnjujejo določena razmerja. Zlasti te kombinacije so njihov produkt in vsota.

Vietin izrek določa naslednje: korenine kvadratne enačbe, ko se seštejejo, dajejo razmerje med linearnimi in kvadratnimi koeficienti, vzetimi z nasprotnim predznakom, in ko jih pomnožimo, vodijo do razmerja med prostim členom in kvadratnim koeficientom .

Če je splošna oblika enačbe zapisana, kot je prikazano na fotografiji v prejšnjem razdelku članka, potem lahko matematično ta izrek zapišemo kot dve enakosti:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kjer je r 1 , r 2 vrednost korenov obravnavane enačbe.

Ti dve enakosti je mogoče uporabiti za reševanje številnih zelo različnih matematičnih problemov. Uporaba Vietovega izreka v primerih z rešitvijo je podana v naslednjih razdelkih članka.