Poiščite območje med črtami na spletu. Iskanje površine figure, omejene s črtami y=f(x), x=g(y). Dolžina loka ravne krivulje

Naj je funkcija nenegativna in neprekinjena na intervalu . Potem je glede na geometrijski pomen določenega integrala območje krivolinijskega trapeza, omejenega od zgoraj z grafom te funkcije, od spodaj z osjo , z leve in desne z ravnimi črtami in (glej sliko 2 ) se izračuna po formuli

Primer 9 Poiščite površino figure, omejene s črto in os.

Rešitev. Funkcijski graf je parabola, katere veje so usmerjene navzdol. Zgradimo ga (slika 3). Za določitev meja integracije poiščemo presečišča premice (parabola) z osjo (premica). Za to rešimo sistem enačb

Dobimo: , kje , ; Posledično, , .

riž. 3

Območje figure najdemo s formulo (5):

Če je funkcija nepozitivna in neprekinjena na segmentu , potem je površina krivolinijskega trapeza, ki je od spodaj omejena z grafom te funkcije, od zgoraj z osjo, z leve in desne z ravnimi črtami in , je izračunano po formuli

. (6)

Če je funkcija neprekinjena na segmentu in spremeni predznak na končnem številu točk, je površina osenčene figure (slika 4) enaka algebraični vsoti ustreznih določenih integralov:

riž. štiri

Primer 10 Izračunajte površino figure, omejeno z osjo, in grafom funkcije za .

riž. 5

Rešitev. Naredimo risbo (slika 5). Želeno območje je vsota površin in . Poiščimo vsako od teh področij. Najprej z reševanjem sistema določimo meje integracije Dobimo , . posledično:

;

.

Tako je površina osenčene figure

(kv. enote).

riž. 6

Naj je končno krivolinijski trapez omejen od zgoraj in spodaj z grafi funkcij, ki so neprekinjene na segmentu in ,
in na levi in ​​desni - naravnost in (slika 6). Nato se njegova površina izračuna po formuli

. (8)

Primer 11. Poiščite površino figure, obdano s črtami in .

Rešitev. Ta slika je prikazana na sl. 7. Njegovo površino izračunamo s formulo (8). Reševanje sistema enačb, najdemo , ; Posledično, , . Na segmentu imamo: . Zato v formuli (8) vzamemo kot x, in kot - . Dobimo:

(kv. enote).

Kompleksnejši problemi pri izračunu površin se rešujejo tako, da figuro razdelimo na dele, ki se ne sekajo, in izračunamo površino celotne figure kot vsoto površin teh delov.

riž. 7

Primer 12. Poiščite površino figure, omejeno s črtami , , .

Rešitev. Naredimo risbo (slika 8). To sliko lahko obravnavamo kot krivolinijski trapez , ki je od spodaj omejen z osjo , z leve in desne z ravnimi črtami in od zgoraj z grafom funkcij in . Ker je slika od zgoraj omejena z grafoma dveh funkcij, potem za izračun njene površine razdelimo to ravno sliko na dva dela (1 je abscisa presečišča premic in). Površino vsakega od teh delov najdemo s formulo (4):

(kv. enote); (kv. enote). posledično:

(kv. enote).

riž. osem

X= j ( pri)

riž. 9

Za zaključek ugotavljamo, da če je krivolinijski trapez omejen z ravnimi črtami in , osjo in neprekinjeno na krivulji (slika 9), potem njegovo površino najdemo s formulo

Prostornina vrtilnega telesa

Naj se krivolinijski trapez, omejen z grafom funkcije, neprekinjene na segmentu, osi, ravnih črtah in vrti okoli osi (slika 10). Nato se po formuli izračuna prostornina nastalega telesa vrtenja

. (9)

Primer 13 Izračunajte prostornino telesa, pridobljenega z vrtenjem okoli osi krivolinijskega trapeza, omejenega s hiperbolo, ravnimi črtami in osjo.

Rešitev. Naredimo risbo (slika 11).

Iz pogoja problema izhaja, da , . Po formuli (9) dobimo

.

riž. deset

riž. enajst

Prostornina telesa, pridobljena z vrtenjem okoli osi OU krivolinijski trapez, omejen z ravnimi črtami y = c in y = d, os OU in graf neprekinjene funkcije na segmentu (slika 12), je določen s formulo

. (10)

X= j ( pri)

riž. 12

Primer 14. Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem okoli osi OU krivolinijski trapez, omejen s črtami X 2 = 4pri, y= 4, x = 0 (slika 13).

Rešitev. V skladu s pogojem problema najdemo meje integracije: , . Po formuli (10) dobimo:

riž. 13

Dolžina loka ravne krivulje

Naj krivulja, ki jo daje enačba , kjer , leži v ravnini (slika 14).

riž. štirinajst

Opredelitev. Dolžina loka se razume kot meja, h kateri teži dolžina polilinije, vpisane v ta lok, ko se število povezav polilinije nagiba k neskončnosti, dolžina največje povezave pa k nič.

Če sta funkcija in njen izvod neprekinjeni na segmentu, se dolžina loka krivulje izračuna po formuli

. (11)

Primer 15. Izračunajte dolžino loka krivulje, zaprte med točkami, za katere .

Rešitev. Iz stanja problema, ki ga imamo . Po formuli (11) dobimo:

.

4. Nepravilni integrali
z neskončnimi mejami integracije

Pri uvajanju koncepta določenega integrala je bilo predvideno, da sta izpolnjena naslednja dva pogoja:

a) meje integracije a in so končni;

b) integrand je omejen na segment .

Če vsaj eden od teh pogojev ni izpolnjen, se imenuje integral neprimerno.

Poglejmo najprej nepravilne integrale z neskončnimi mejami integracije.

Opredelitev. Naj je funkcija definirana in neprekinjena na intervalu , Potem in neomejeno na desni (slika 15).

Če se nepravilni integral konvergira, je to območje končno; če se nepravilni integral razhaja, je to območje neskončno.

riž. petnajst

Nepravilni integral z neskončno spodnjo mejo integracije je definiran podobno:

. (13)

Ta integral konvergira, če meja na desni strani enakosti (13) obstaja in je končna; sicer pravimo, da je integral divergenten.

Nepravilni integral z dvema neskončnima mejama integracije je definiran na naslednji način:

, (14)

kjer je с katera koli točka intervala. Integr konvergira le, če se oba integrala konvergirata na desni strani enakosti (14).

;

G) = [izberite celoten kvadrat v imenovalcu: ] = [zamenjava:

] =

Zato se nepravilni integral konvergira in njegova vrednost je enaka .

Vnesite funkcijo, za katero želite najti integral

Kalkulator nudi PODROBNO rešitev določenih integralov.

Ta kalkulator reši določen integral funkcije f(x) z dano zgornjo in spodnjo mejo.

Primeri

Z uporabo diplome
(kvadrat in kocka) in ulomki

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadratni koren

Sqrt(x)/(x + 1)

kockasti koren

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Uporaba sinusa in kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

Arcsinus

X*arcsin(x)

Ark kosinus

x*arccos(x)

Uporaba logaritma

X*log(x, 10)

naravni logaritem

Razstavljavec

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni ulomki

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Arc tangenta

X*arсctg(x)

Hiberbolični sinus in kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiberbolični tangent in kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hiberbolični arcsin in arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolični arktangens in arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Pravila za vnos izrazov in funkcij

Izrazi so lahko sestavljeni iz funkcij (zapisi so podani po abecednem vrstnem redu): absolutno (x) Absolutna vrednost x
(modul x oz |x|) arccos(x) Funkcija - lok kosinus od x arccosh(x) Ark kosinus hiperbolični iz x arcsin(x) Arcsine iz x arcsinh (x) Arksinus hiperbolični iz x arctg(x) Funkcija - tangenta loka iz x arctgh(x) Tangenta loka je hiperbolična iz x e eštevilo, ki je približno enako 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent iz x(kateri je e^x) dnevnik (x) oz dnevnik (x) Naravni logaritem od x
(Za pridobitev dnevnik7(x), morate vnesti log(x)/log(7) (ali na primer for dnevnik10(x)=log(x)/log(10)) piŠtevilo je "Pi", kar je približno enako 3,14 greh(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija - kosinus od x sinh (x) Funkcija - Hiperbolični sinus x gotovina (x) Funkcija - Hiperbolični kosinus od x sqrt(x) Funkcija je kvadratni koren x sqr(x) oz x^2 Funkcija - kvadrat x tg(x) Funkcija - Tangenta od x tgh(x) Funkcija - Hiperbolični tangens x cbrt(x) Funkcija je kubni koren x

V izrazih lahko uporabite naslednje operacije: Realne številke vnesite v obrazec 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- delitev x^3- eksponentiranje x + 7- dodatek x - 6- odštevanje
Druge funkcije: tla (x) Funkcija - zaokroževanje x navzdol (primer tla (4,5)==4,0) strop (x) Funkcija - zaokroževanje x navzgor (primer zgornje meje (4,5)==5,0) znak (x) Funkcija - Sign x erf(x) Funkcija napake (ali integral verjetnosti) Laplace (x) Laplaceova funkcija

Izračunavanje površine figure To je morda eden najtežjih problemov v teoriji območij. V šolski geometriji jih učijo najti področja osnovnih geometrijskih oblik, kot so na primer trikotnik, romb, pravokotnik, trapez, krog itd. Vendar se je treba pogosto ukvarjati z izračunom površin bolj zapletenih številk. Prav pri reševanju takšnih problemov je zelo priročno uporabljati integralni račun.

Opredelitev.

Ukrivljeni trapez kliče se neka figura G, omejena s premicami y = f(x), y = 0, x = a in x = b, funkcija f(x) pa je zvezna na odseku [a; b] in na njem ne spremeni svojega predznaka (slika 1). Območje ukrivljenega trapeza lahko označimo s S(G).

Določen integral ʃ a b f(x)dx za funkcijo f(x), ki je neprekinjena in nenegativna na odseku [a; b], in je površina ustreznega ukrivljenega trapeza.

To pomeni, da bi našli površino figure G, omejeno s črtami y = f (x), y = 0, x = a in x = b, je treba izračunati določen integral ʃ a b f (x) dx.

V to smer, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Če funkcija y = f(x) ni pozitivna na [a; b], potem lahko površino ukrivljenega trapeza najdemo s formulo S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Primer 1

Izračunajte površino figure, omejene s črtami y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Rešitev.

Dane črte tvorijo sliko ABC, ki je prikazana s šrafiranjem riž. 2.

Želena površina je enaka razliki med površinama ukrivljenega trapeza DACE in kvadrata DABE.

S formulo S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) poiščemo meje integracije. Za to rešimo sistem dveh enačb:

(y = x 3,
(y = 1.

Tako imamo x 1 = 1 - spodnja meja in x \u003d 2 - zgornja meja.

Torej, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kvadratne enote).

Odgovor: 11/4 sq. enote

Primer 2

Izračunajte površino figure, omejene s črtami y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Rešitev.

Dane črte tvorijo lik ABC, ki je od zgoraj omejen z grafom funkcije

y \u003d √x, od spodaj pa graf funkcije y \u003d 2. Nastala slika je prikazana s šrafom na riž. 3.

Želena površina je enaka S = ʃ a b (√x - 2). Poiščimo meje integracije: b = 9, da najdemo a, rešimo sistem dveh enačb:

(y = √x,
(y = 2.

Tako imamo, da je x = 4 = a spodnja meja.

Torej, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kvadratne enote).

Odgovor: S = 2 2/3 sq. enote

Primer 3

Izračunajte površino figure, omejene s črtami y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Rešitev.

Narišemo funkcijo y \u003d x 3 - 4x za x ≥ 0. Če želite to narediti, poiščemo odvod y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pri х = ±2/√3 ≈ 1,1 so kritične točke.

Če na realni osi narišemo kritične točke in postavimo predznake odvoda, dobimo, da se funkcija zmanjša od nič do 2/√3 in naraste od 2/√3 do plus neskončnosti. Potem je x = 2/√3 minimalna točka, najmanjša vrednost funkcije y je min = -16/(3√3) ≈ -3.

Določimo presečišča grafa s koordinatnimi osmi:

če je x \u003d 0, potem y = 0, kar pomeni, da je A (0; 0) presečna točka z osjo Oy;

če je y = 0, potem je x 3 - 4x = 0 ali x (x 2 - 4) = 0 ali x (x - 2) (x + 2) = 0, od koder je x 1 = 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (ni primerno, ker x ≥ 0).

Točki A(0; 0) in B(2; 0) sta presečišča grafa z osjo Ox.

Dane črte tvorijo sliko OAB, ki je prikazana s šrafiranjem riž. štiri.

Ker funkcija y \u003d x 3 - 4x prevzame (0; 2) negativno vrednost, potem

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Imamo: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 = -4, od koder S = 4 kvadratnih metrov. enote

Odgovor: S = 4 kvadratnih metrov. enote

Primer 4

Poiščite površino figure, omejeno s parabolo y = 2x 2 - 2x + 1, premici x = 0, y = 0 in tangento na to parabolo v točki z absciso x 0 = 2.

Rešitev.

Najprej sestavimo enačbo tangente na parabolo y \u003d 2x 2 - 2x + 1 v točki z absciso x₀ = 2.

Ker je izvod y' = 4x - 2, potem za x 0 = 2 dobimo k = y'(2) = 6.

Poiščite ordinato dotične točke: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Zato ima tangentna enačba obliko: y - 5 \u003d 6 (x - 2) ali y = 6x - 7.

Sestavimo lik, omejen s črtami:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x \u003d 0, y = 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Točke presečišča s koordinatnimi osemi: A(0; 1) - z osjo Oy; z osjo Ox - ni presečišč, ker enačba 2x 2 - 2x + 1 = 0 nima rešitev (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, to pomeni, da ima oglišče točke parabole B koordinate B (1/2; 1/2).

Torej je slika, katere območje je treba določiti, prikazana s šrafiranjem riž. 5.

Imamo: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Poiščite koordinate točke D iz pogoja:

6x - 7 = 0, tj. x \u003d 7/6, nato DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Površino trikotnika DBC najdemo s formulo S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. V to smer,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 kvadratnih metrov. enote

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kvadratne enote).

Na koncu dobimo: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (kv. enote).

Odgovor: S = 1 1/4 sq. enote

Pregledali smo primere iskanje območij figur, omejenih z danimi črtami. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate biti sposobni sestaviti črte in grafe funkcij na ravnini, poiskati presečišča črt, uporabiti formulo za iskanje površine, kar pomeni sposobnost in spretnosti za izračun določenih integralov.

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

a)

Rešitev.

Prvi in ​​najpomembnejši trenutek odločitve je izdelava risbe.

Naredimo risbo:

Enačba y=0 nastavi os x;

- x=-2 in x=1 - naravnost, vzporedno z osjo OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, katere veje so usmerjene navzgor, z vrhom v točki (0;2).

Komentiraj. Za konstruiranje parabole je dovolj, da poiščemo točke njenega presečišča s koordinatnimi osemi, t.j. dajanje x=0 poiščite presečišče z osjo OU in rešite ustrezno kvadratno enačbo, poiščite presečišče z osjo Oh .

Vrh parabole je mogoče najti s formulami:

Lahko rišete črte in točko za točko.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nahajajo čez os Ox , zato:

odgovor: S \u003d 9 kvadratnih enot

Ko je naloga končana, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, vnesenih jih bo približno 9, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi imeli, recimo, odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je bila očitno nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne ustreza zadevni številki, največ ducat. Če se je odgovor izkazal za negativen, je bila naloga tudi napačno rešena.

Kaj storiti, če se nahaja krivolinijski trapez pod osjo Oh?

b) Izračunajte površino figure, omejene s črtami y=-e x , x=1 in koordinatne osi.

Rešitev.

Naredimo risbo.

Če je krivolinijski trapez popolnoma pod osjo Oh , potem lahko njegovo površino najdemo po formuli:

odgovor: S=(e-1) kv. enota" 1,72 kv. enota

Pozor! Ne zamenjujte obeh vrst nalog:

1) Če se od vas zahteva, da rešite samo določen integral brez geometrijskega pomena, je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete površino figure z uporabo določenega integrala, je površina vedno pozitivna! Zato se minus pojavi v pravkar obravnavani formuli.

V praksi se najpogosteje figura nahaja v zgornji in spodnji polravnini.

z) Poiščite površino ravne figure, omejene s črtami y = 2x-x 2, y = -x.

Rešitev.

Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri izdelavi risbe v območnih problemih najbolj zanimajo presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in premice.To lahko storimo na dva načina. Prvi način je analitičen.

Rešimo enačbo:

Torej spodnja meja integracije a=0 , zgornja meja integracije b=3 .

Gradimo dane premice: 1. Parabola - oglišče v točki (1;1); presečišče osi Oh - točke (0;0) in (0;2). 2. Ravna črta - simetrala 2. in 4. koordinatnega kota. In zdaj Pozor! Če na segmentu [ a; b] neka neprekinjena funkcija f(x) večja ali enaka neki neprekinjeni funkciji g(x), potem lahko površino ustrezne figure najdemo po formuli: . In ni pomembno, kje se figura nahaja - nad osjo ali pod osjo, vendar je pomembno, kateri grafikon je VIŠJI (glede na drug grafikon) in kateri SPOD. V obravnavanem primeru je očitno, da se na odseku parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od

Črte je mogoče konstruirati točko za točko, medtem ko se meje integracije ugotavljajo kot »od sebe«. Kljub temu je treba analitično metodo iskanja mej še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali če navojna konstrukcija ni razkrila meja integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne).

Želena slika je omejena s parabolo od zgoraj in ravno črto od spodaj.

Na segmentu po ustrezni formuli:

odgovor: S \u003d 4,5 kvadratnih enot

Izračunajte površino figure, omejene s črtami.

Rešitev.

Najdemo presečišča danih premic. Za to rešimo sistem enačb:

Da bi našli absciso presečišč danih premic, rešimo enačbo:

Najdemo: x 1 = -2, x 2 = 4.

Torej se ti premici, ki sta parabola in ravna črta, sekata v točkah A(-2; 0), B(4; 6).

Te črte tvorijo zaprto figuro, katere površina se izračuna z zgornjo formulo:

Po Newton-Leibnizovi formuli najdemo:

Poiščite površino območja, omejenega z elipso.

Rešitev.

Iz enačbe elipse za kvadrant I imamo . Od tu po formuli dobimo

Uporabimo zamenjavo x = a greh t, dx = a cos t dt. Nove meje integracije t = α in t = β se določijo iz enačb 0 = a greh t, a = a greh t. Lahko se postavi α = 0 in β = π /2.

Najdemo eno četrtino zahtevane površine

Od tod S = pab.

Poiščite površino figure, omejeno s črtamiy = - x 2 + x + 4 iny = - x + 1.

Rešitev.

Poiščite presečišča premic y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, ki enači ordinate premic: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 oz x 2 - 2x- 3 = 0. Poiščite korenine x 1 = -1, x 2 = 3 in njihove ustrezne ordinate y 1 = 2, y 2 = -2.

S formulo površine figure dobimo

Poiščite površino, ki jo obdaja parabolay = x 2 + 1 in neposrednox + y = 3.

Rešitev.

Reševanje sistema enačb

poiščite absciso presečišč x 1 = -2 in x 2 = 1.

Ob predpostavki y 2 = 3 - x in y 1 = x 2 + 1, na podlagi formule, ki jo dobimo

Izračunajte površino v Bernoullijevi lemniskatir 2 = a 2 cos 2 φ .

Rešitev.

V polarnem koordinatnem sistemu je območje figure, omejeno z lokom krivulje r = f(φ ) in dva polarna polmera φ 1 = ʅ in φ 2 = ʆ , je izražena z integralom

Zaradi simetričnosti krivulje najprej določimo eno četrtino želene površine

Torej je skupna površina S = a 2 .

Izračunaj dolžino loka astroidex 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Rešitev.

Enačbo astroide zapišemo v obliki

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Postavimo x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 greha t.

Od tu dobimo parametrične enačbe astroide

x = a cos 3 t, y = a greh 3 t, (*)

kjer je 0 ≤ t ≤ 2π .

Glede na simetrijo krivulje (*) je dovolj najti eno četrtino dolžine loka L ki ustreza spremembi parametra t od 0 do π /2.

Dobimo

dx = -3a cos 2 t greh t dt, dy = 3a greh 2 t cos t dt.

Od tu najdemo

Integracija nastalega izraza v območju od 0 do π /2, dobimo

Od tod L = 6a.

Poiščite območje, ki ga omejuje Arhimedova spiralar = aφ in dva polmerna vektorja, ki ustrezata polarnim kotomφ 1 inφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Rešitev.

Območje, omejeno s krivuljo r = f(φ ) se izračuna po formuli , kjer α in β - meje spremembe polarnega kota.

Tako dobimo

(*)

Iz (*) sledi, da območje, omejeno s polarno osjo in prvim obratom Arhimedove spirale ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Podobno najdemo območje, omejeno s polarno osjo in drugim zavojem Arhimedove spirale ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Zahtevana površina je enaka razliki teh površin

Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem okoli osiOx figura, omejena s parabolamiy = x 2 inx = y 2 .

Rešitev.

Rešimo sistem enačb

in dobiš x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, od koder so presečišča krivulj O(0; 0), B(enajst). Kot je razvidno iz slike, je želena prostornina vrtilnega telesa enaka razliki med obema prostorninama, ki nastaneta z vrtenjem okoli osi Ox krivolinijski trapezi OCBA in ODBA:

Izračunajte površino, omejeno z osjoOx in sinusoiday = grehx na segmentih: a); b) .

Rešitev.

a) Na odseku funkcija sin x ohranja predznak in zato s formulo , ob predpostavki y= greh x, najdemo

b) Na segmentu , funkcija sin x spremeni predznak. Za pravilno rešitev problema je potrebno segment razdeliti na dva in [ π , 2π ], v vsakem od katerih funkcija ohrani svoj predznak.

Po pravilu znakov na odseku [ π , 2π ] območje je vzeto z znakom minus.

Kot rezultat, je želeno območje enako

Določi prostornino telesa, omejeno s površino, ki jo dobimo z vrtenjem elipseokoli glavne osia .

Rešitev.

Glede na to, da je elipsa simetrična glede na koordinatne osi, je dovolj, da poiščemo prostornino, ki nastane z vrtenjem okoli osi Ox območje OAB, enako eni četrtini površine elipse, in podvoji rezultat.

Označimo prostornino vrtilnega telesa skozi V x; potem na podlagi formule imamo , kjer je 0 in a- abscisa točk B in A. Iz enačbe elipse najdemo . Od tod

Tako je zahtevana prostornina enaka. (Ko se elipsa vrti okoli male osi b, prostornina telesa je )

Poiščite območje, omejeno s parabolamiy 2 = 2 px inx 2 = 2 py .

Rešitev.

Najprej poiščemo koordinate presečišč parabol, da določimo integracijski interval. S preoblikovanjem izvirnih enačb dobimo in . Če te vrednosti izenačimo, dobimo oz x 4 - 8str 3 x = 0.

x 4 - 8str 3 x = x(x 3 - 8str 3) = x(x - 2str)(x 2 + 2px + 4str 2) = 0.

Najdemo korenine enačb:

Glede na to, da je točka A presečišče parabol je v prvi četrtini, nato meje integracije x= 0 in x = 2str.

Želeno območje najdemo s formulo