Ustna rešitev kvadratnih enačb in Vietov izrek. Vietin izrek za kvadratne in druge enačbe Uporaba Vietinega izreka
V tem predavanju se bomo seznanili z nenavadnimi razmerji med koreninami kvadratne enačbe in njenimi koeficienti. Te odnose je prvi odkril francoski matematik Francois Viet (1540-1603).
Na primer, za enačbo Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, ne da bi našli njene korenine, lahko z uporabo izreka Vieta takoj rečete, da je vsota korenin , produkt korenin pa je
to je - 2. In za enačbo x 2 - 6x + 8 \u003d 0 sklepamo: vsota korenin je 6, produkt korenin je 8; mimogrede, ni težko uganiti, čemu so korenine enake: 4 in 2.
Dokaz Vietinega izreka. Korenine x 1 in x 2 kvadratne enačbe ax 2 + bx + c \u003d 0 najdemo s formulami
Kjer je D \u003d b 2 - 4ac diskriminanta enačbe. Polaganje teh korenin
dobimo
Zdaj izračunamo produkt korenov x 1 in x 2, ki jih imamo
Druga relacija je dokazana:
Komentar.
Vietin izrek velja tudi v primeru, ko ima kvadratna enačba en koren (tj. ko je D \u003d 0), samo v tem primeru velja, da ima enačba dve enaki koreni, za katera veljajo zgornja razmerja.
Dokazana razmerja za reducirano kvadratno enačbo x 2 + px + q \u003d 0 imajo posebno preprosto obliko. V tem primeru dobimo:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
tiste. vsota korenov dane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetemu z nasprotnim predznakom, produkt korenov pa je enak prostemu členu.
Z uporabo Vietinega izreka lahko dobimo tudi druge odnose med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe. Naj bosta na primer x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0. Potem
Vendar glavni namen Vietinega izreka ni, da izraža določena razmerja med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe. Veliko pomembnejše je dejstvo, da je s pomočjo Vietinega izreka izpeljana formula za faktoriranje kvadratnega trinoma, brez katere v prihodnosti ne bomo.
Dokaz. Imamo
Primer 1. Faktorizirajte kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3.
Rešitev. Ko rešimo enačbo Zx 2 - 10x + 3 = 0, najdemo korenine kvadratnega trinoma Zx 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 \u003d.
Z uporabo izreka 2 dobimo
Namesto tega je smiselno napisati Zx - 1. Nato končno dobimo Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Upoštevajte, da je dani kvadratni trinom mogoče faktorizirati brez uporabe izreka 2 z uporabo metode združevanja:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Toda, kot vidite, je pri tej metodi uspeh odvisen od tega, ali najdemo uspešno združevanje ali ne, medtem ko je pri prvi metodi uspeh zagotovljen.
Primer 1. Zmanjšajte frakcijo
Rešitev. Iz enačbe 2x 2 + 5x + 2 = 0 najdemo x 1 = - 2,
Iz enačbe x2 - 4x - 12 = 0 najdemo x 1 = 6, x 2 = -2. Zato
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Zdaj zmanjšajmo dani ulomek:
Primer 3. Faktoriziraj izraze:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rešitev a) Uvedemo novo spremenljivko y = x 2 . To nam bo omogočilo, da dani izraz prepišemo v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki y 2 + bу + 6.
Ko smo rešili enačbo y 2 + bу + 6 \u003d 0, najdemo korenine kvadratnega trinoma y 2 + 5y + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Zdaj uporabljamo izrek 2; dobimo
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Ne smemo pozabiti, da je y = x 2, torej vrnitev na dani izraz. torej
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Uvedemo novo spremenljivko y = . To vam bo omogočilo, da dani izraz prepišete v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki 2y 2 + y - 3. Ko rešite enačbo
2y 2 + y - 3 = 0, poiščite korenine kvadratnega trinoma 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Nadalje z uporabo izreka 2 dobimo:
Ne smemo pozabiti, da se y \u003d, torej vrnitev na dani izraz. torej
Razdelek se zaključi z nekaterimi premisleki, spet povezanimi z Vietovim izrekom, oziroma z obratno trditvijo:
če so števila x 1, x 2 takšni, da je x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, potem so te številke korenine enačbe
S to izjavo lahko številne kvadratne enačbe rešite ustno, brez uporabe okornih korenskih formul, in sestavite kvadratne enačbe z danimi koreninami. Dajmo primere.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Preprosto je uganiti, da je x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Preprosto je uganiti, da je x 1 = -5, x 2 = -6.
Upoštevajte: če je prosti člen enačbe pozitivno število, sta oba korena pozitivna ali negativna; to je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.
3) x 2 + x - 12 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Preprosto je uganiti, da je x 1 = 3, x2 = -4.
Upoštevajte: če je prosti člen enačbe negativno število, so koreni drugačni po predznaku; to je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Lahko vidimo, da x = 1 izpolnjuje enačbo, t.j. x 1 \u003d 1 - koren enačbe. Ker je x 1 x 2 \u003d - in x 1 \u003d 1, dobimo, da je x 2 = -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Če ste pozorni na dejstvo, da je 2830 = 283. 10 in 293 = 283 + 10, potem postane jasno, da je x 1 = 283, x 2 = 10 (sedaj si predstavljajte, kakšne izračune bi bilo treba izvesti za rešitev te kvadratne enačbe s standardnimi formulami).
6) Sestavimo kvadratno enačbo tako, da bodo njene korenine številke x 1 = 8, x 2 = 4. Običajno v takih primerih sestavljajo reducirano kvadratno enačbo x 2 + px + q = 0.
Imamo x 1 + x 2 \u003d -p, torej 8 - 4 \u003d -p, torej p \u003d -4. Nadalje je x 1 x 2 = q, tj. 8"(-4) = q, od koder dobimo q = -32. Torej, p = -4, q = -32, kar pomeni, da ima želena kvadratna enačba obliko x 2 -4x-32 \u003d 0.
Vsaka popolna kvadratna enačba ax2 + bx + c = 0 se lahko spomni x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, če najprej delimo vsak člen s koeficientom a prej x2. In če uvedemo nov zapis (b/a) = str in (c/a) = q, potem bomo imeli enačbo x 2 + px + q = 0, ki se v matematiki imenuje reducirana kvadratna enačba.
Koreni reducirane kvadratne enačbe in koeficienti str in q medsebojno povezani. Potrjeno je Vietin izrek, poimenovan po francoskem matematiku Francoisu Vieti, ki je živel ob koncu 16. stoletja.
Izrek. Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0 enak drugemu koeficientu str, vzet z nasprotnim predznakom, in produkt korenin - na prosti izraz q.
Ta razmerja zapišemo v naslednji obliki:
Pustiti x 1 in x2 različni koreni reducirane enačbe x 2 + px + q = 0. Po Vietinem izreku x1 + x2 = -p in x 1 x 2 = q.
Da to dokažemo, nadomestimo vsak od korenov x 1 in x 2 v enačbo. Dobimo dve pravi enakosti:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Od prve enakosti odštejemo drugo. Dobimo: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Prva dva izraza razširimo glede na formulo razlike kvadratov:
(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0
Po pogoju sta korena x 1 in x 2 različna. Zato lahko zmanjšamo enakost za (x 1 - x 2) ≠ 0 in izrazimo p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Prva enakost je dokazana.
Za dokaz druge enakosti jo nadomestimo s prvo enačbo
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 namesto koeficienta p je njegovo enako število (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Če preoblikujemo levo stran enačbe, dobimo:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, kar je bilo treba dokazati.
Vietin izrek je dober, ker tudi ne da bi poznali korenine kvadratne enačbe, lahko izračunamo njihovo vsoto in produkt .
Vietin izrek pomaga določiti cele korene dane kvadratne enačbe. Toda številnim študentom to povzroča težave zaradi dejstva, da ne poznajo jasnega algoritma delovanja, še posebej, če imajo korenine enačbe različne predznake.
Torej ima dana kvadratna enačba obliko x 2 + px + q \u003d 0, kjer sta x 1 in x 2 njeni koreni. Po Vietinem izreku x 1 + x 2 = -p in x 1 x 2 = q.
Izvedemo lahko naslednji zaključek.
Če je v enačbi pred zadnjim členom znak minus, imata korena x 1 in x 2 različna predznaka. Poleg tega je predznak manjšega korena enak predznaku drugega koeficienta v enačbi.
Glede na to, da se pri seštevanju številk z različnimi predznaki njihovi moduli odštejejo, pred rezultatom pa se postavi znak večjega števila v modulu, ravnajte na naslednji način:
- določi take faktorje števila q, da je njihova razlika enaka številu p;
- postavi predznak drugega koeficienta enačbe pred manjše od dobljenih številk; drugi koren bo imel nasproten predznak.
Poglejmo si nekaj primerov.
Primer 1.
Reši enačbo x 2 - 2x - 15 = 0.
Rešitev.
Poskusimo rešiti to enačbo z uporabo zgoraj predlaganih pravil. Potem lahko zagotovo rečemo, da bo ta enačba imela dva različna korena, ker D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Zdaj iz vseh faktorjev števila 15 (1 in 15, 3 in 5) izberemo tiste, katerih razlika je enaka 2. To bosta številki 3 in 5. Pred manjšo številko postavimo znak minus , tj. predznak drugega koeficienta enačbe. Tako dobimo korenine enačbe x 1 \u003d -3 in x 2 \u003d 5.
Odgovori. x 1 = -3 in x 2 = 5.
Primer 2.
Reši enačbo x 2 + 5x - 6 = 0.
Rešitev.
Preverimo, ali ima ta enačba korenine. Za to poiščemo diskriminanta:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Enačba ima dva različna korena.
Možni faktorji števila 6 so 2 in 3, 6 in 1. Razlika je 5 za par 6 in 1. V tem primeru ima koeficient drugega člena predznak plus, zato bo manjše število imelo isti znak. Toda pred drugo številko bo znak minus.
Odgovor: x 1 = -6 in x 2 = 1.
Vietin izrek lahko zapišemo tudi za popolno kvadratno enačbo. Torej, če je kvadratna enačba ax2 + bx + c = 0 ima korena x 1 in x 2 , potem izpolnjujeta enakosti
x 1 + x 2 = -(b/a) in x 1 x 2 = (c/a). Vendar je uporaba tega izreka v polni kvadratni enačbi precej problematična, saj če obstajajo koreni, je vsaj ena od njih ulomno število. In delo z izbiro frakcij je precej težko. Ampak še vedno obstaja izhod.
Razmislite o popolni kvadratni enačbi ax 2 + bx + c = 0. Pomnožite njeno levo in desno stran s koeficientom a. Enačba bo imela obliko (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Zdaj pa uvedemo novo spremenljivko, na primer t = ax.
V tem primeru se dobljena enačba spremeni v reducirano kvadratno enačbo oblike t 2 + bt + ac = 0, katere koreni t 1 in t 2 (če obstajajo) lahko določimo z Vietovim izrekom.
V tem primeru bodo korenine prvotne kvadratne enačbe
x 1 = (t 1 / a) in x 2 = (t 2 / a).
Primer 3.
Reši enačbo 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Rešitev.
Naredimo pomožno enačbo. Vsak člen enačbe pomnožimo s 15:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
Naredimo spremembo t = 15x. Imamo:
t 2 - 11t + 30 = 0.
Po Vietinem izreku bosta koreni te enačbe t 1 = 5 in t 2 = 6.
Vrnemo se k zamenjavi t = 15x:
5 = 15x ali 6 = 15x. Tako je x 1 = 5/15 in x 2 = 6/15. Zmanjšamo in dobimo končni odgovor: x 1 = 1/3 in x 2 = 2/5.
Odgovori. x 1 = 1/3 in x 2 = 2/5.
Da bi obvladali reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietinega izreka, morajo učenci čim več vaditi. Prav v tem je skrivnost uspeha.
strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.
Med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe obstajajo poleg korenskih formul še druge uporabne povezave, ki so podane z Vietin izrek. V tem članku bomo podali formulacijo in dokaz Vietinega izreka za kvadratno enačbo. Nato razmislimo o izreku, ki je nasproten Vietinemu izreku. Nato bomo analizirali rešitve najbolj značilnih primerov. Na koncu zapišemo formule Vieta, ki definirajo povezavo med pravimi koreninami algebraična enačba stopnje n in njenih koeficientov.
Navigacija po straneh.
Vietov izrek, formulacija, dokaz
Iz formul korenin kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0 oblike , kjer je D=b 2 −4 a c , razmerja x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ti rezultati so potrjeni Vietin izrek:
Izrek.
Če x 1 in x 2 sta korena kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0, potem je vsota korenov enaka razmerju koeficientov b in a, vzetih z nasprotnim predznakom, in produktom koreni so enaki razmerju koeficientov c in a, to je .
Dokaz.
Vietov izrek bomo dokazali po naslednji shemi: sestavili bomo vsoto in zmnožek korenov kvadratne enačbe z uporabo znanih korenskih formul, nato bomo preoblikovali nastale izraze in se prepričali, da so enaki −b /a oziroma c/a.
Začnimo z vsoto korenin, sestavimo. Zdaj ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca, imamo. V števcu nastalega ulomka , po katerem : . Končno po 2 dobimo . To dokazuje prvo razmerje Vietinega izreka za vsoto korenov kvadratne enačbe. Pojdimo na drugo.
Sestavimo produkt korenin kvadratne enačbe:. Po pravilu množenja ulomkov lahko zadnji produkt zapišemo kot. Zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu, vendar je hitreje strniti ta izdelek za Formula razlike kvadratov, Torej . Nato, če se spomnimo, izvedemo naslednji prehod. In ker formula D=b 2 −4 a·c ustreza diskriminantu kvadratne enačbe, potem lahko b 2 −4·a·c nadomestimo z zadnjim ulomkom namesto z D, dobimo . Po odprtju oklepajev in zmanjšanju podobnih pogojev pridemo do ulomka , in njegovo zmanjšanje za 4·a daje . To dokazuje drugo razmerje Vietinega izreka za produkt korenin.
Če izpustimo razlage, bo dokaz Vietinega izreka dobil jedrnato obliko:
,
.
Ostaja le ugotoviti, da ima kvadratna enačba en koren, kadar je diskriminanta enaka nič. Če pa predpostavimo, da ima enačba v tem primeru dva enaka korena, potem veljajo tudi enakosti iz Vietovega izreka. Dejansko je za D=0 koren kvadratne enačbe , potem in , in ker je D=0 , to je b 2 −4·a·c=0 , od koder je b 2 =4·a·c , potem .
V praksi se Vietin izrek najpogosteje uporablja v zvezi z reducirano kvadratno enačbo (z najvišjim koeficientom a enak 1) oblike x 2 +p·x+q=0 . Včasih je formuliran za kvadratne enačbe ravno te vrste, kar ne omejuje splošnosti, saj je mogoče vsako kvadratno enačbo nadomestiti z enakovredno enačbo tako, da oba njena dela delimo s številom, ki ni nič. Tukaj je ustrezna formulacija Vietinega izreka:
Izrek.
Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q \u003d 0 je enaka koeficientu pri x, vzetemu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen, to je x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .
Izrek, obraten Vietinemu izreku
Druga formulacija Vietinega izreka, podana v prejšnjem odstavku, kaže, da če sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0, potem sta razmerja x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Po drugi strani pa iz zapisanih razmerij x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sledi, da sta x 1 in x 2 koreni kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0. Z drugimi besedami, trditev, nasprotna Vietinemu izreku, je resnična. Formuliramo ga v obliki izreka in ga dokažemo.
Izrek.
Če sta števili x 1 in x 2 takšni, da sta x 1 +x 2 =−p in x 1 x 2 =q, potem sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 .
Dokaz.
Po zamenjavi koeficientov p in q v enačbi x 2 +p x+q=0 njunega izraza skozi x 1 in x 2, se pretvori v enakovredno enačbo.
V dobljeno enačbo nadomestimo število x 1 namesto x, imamo enakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kar je za kateri koli x 1 in x 2 pravilna numerična enakost 0=0, saj x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Zato je x 1 koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, kar pomeni, da je x 1 koren enakovredne enačbe x 2 +p x+q=0 .
Če v enačbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 nadomestimo število x 2 namesto x, potem dobimo enakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. To je pravilna enačba, ker x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Zato je x 2 tudi koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, zato tudi enačbe x 2 +p x+q=0 .
S tem je dokončan dokaz izreka v nasprotju z Vietinim izrekom.
Primeri uporabe Vietinega izreka
Čas je, da spregovorimo o praktični uporabi Vietinega izreka in njegovega inverznega izreka. V tem podpoglavju bomo analizirali rešitve več najbolj tipičnih primerov.
Začnemo z uporabo izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku. Z njim je priročno preveriti, ali sta dani številki koreni dane kvadratne enačbe. V tem primeru se izračunata njihova vsota in razlika, po kateri se preveri veljavnost razmerij. Če sta izpolnjeni obe relaciji, potem na podlagi izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku, sklepamo, da so ta števila korenine enačbe. Če vsaj ena od razmerij ni izpolnjena, potem ta števila niso korenine kvadratne enačbe. Ta pristop je mogoče uporabiti pri reševanju kvadratnih enačb za preverjanje najdenih korenin.
Primer.
Kateri od parov številk 1) x 1 =−5, x 2 =3 ali 2) ali 3) je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0?
Rešitev.
Koeficienti dane kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0 so a=4 , b=−16 , c=9 . Po Vietinem izreku mora biti vsota korenov kvadratne enačbe enaka −b/a, to je 16/4=4, produkt korenin pa mora biti enak c/a, to je 9 /4.
Zdaj izračunajmo vsoto in zmnožek števil v vsakem od treh danih parov in jih primerjamo s pravkar pridobljenimi vrednostmi.
V prvem primeru imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Dobljena vrednost je drugačna od 4, zato nadaljnjega preverjanja ni mogoče izvesti, vendar lahko z izrekom, obratnim od Vietinega izreka, takoj sklepamo, da prvi par številk ni par korenin dane kvadratne enačbe .
Pojdimo na drugi primer. Tu je prvi pogoj izpolnjen. Preverimo drugi pogoj: , dobljena vrednost je drugačna od 9/4. Zato drugi par številk ni par korenov kvadratne enačbe.
Zadnji primer ostaja. Tukaj in. Oba pogoja sta izpolnjena, zato sta ti števili x 1 in x 2 koreni dane kvadratne enačbe.
odgovor:
Izrek, obratno od Vietinega izreka, lahko v praksi uporabimo za izbiro korenin kvadratne enačbe. Običajno se izberejo celoštevilski koreni danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti, saj je v drugih primerih to precej težko narediti. Hkrati uporabljajo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzeti s predznakom minus, in je produkt teh številk enak prostemu členu, potem so ta števila korenine te kvadratne enačbe. Opravimo se s tem s primerom.
Vzemimo kvadratno enačbo x 2 −5 x+6=0 . Da sta številki x 1 in x 2 koreni te enačbe, morata biti izpolnjeni dve enakosti x 1 +x 2 \u003d 5 in x 1 x 2 \u003d 6. Ostaja še izbrati takšne številke. V tem primeru je to precej preprosto: 2 in 3 sta takšni številki, saj sta 2+3=5 in 2 3=6 . Tako sta 2 in 3 koreni te kvadratne enačbe.
Izrek, obratno od Vietinega izreka, je še posebej priročen za uporabo pri iskanju drugega korena reducirane kvadratne enačbe, ko je ena od korenin že znana ali očitna. V tem primeru se drugi koren najde iz katere koli relacije.
Na primer, vzemimo kvadratno enačbo 512 x 2 −509 x−3=0 . Tukaj je enostavno videti, da je enota koren enačbe, saj je vsota koeficientov te kvadratne enačbe nič. Torej x 1 = 1. Drugi koren x 2 lahko najdemo na primer iz razmerja x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , od koder je x 2 =−3/512 . Torej smo definirali oba korena kvadratne enačbe: 1 in −3/512.
Jasno je, da je izbira korenin uporabna le v najpreprostejših primerih. V drugih primerih lahko za iskanje korenin uporabite formule korenin kvadratne enačbe skozi diskriminanto.
Druga praktična uporaba izreka, obratna Vietinemu izreku, je sestavljanje kvadratnih enačb za dani koreni x 1 in x 2. Za to je dovolj izračunati vsoto korenov, ki daje koeficient x z nasprotnim predznakom dane kvadratne enačbe, in produkt korenin, ki daje prosti člen.
Primer.
Napišite kvadratno enačbo, katere koreni sta števili −11 in 23.
Rešitev.
Označimo x 1 =−11 in x 2 =23 . Izračunamo vsoto in produkt teh številk: x 1 + x 2 = 12 in x 1 x 2 = -253. Zato so te številke korenine dane kvadratne enačbe z drugim koeficientom -12 in prostim členom -253. To pomeni, da je x 2 −12·x−253=0 želena enačba.
odgovor:
x 2 −12 x−253=0 .
Vietin izrek se zelo pogosto uporablja pri reševanju nalog, povezanih s predznaki korenin kvadratnih enačb. Kako je Vietin izrek povezan s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0? Tu sta dve ustrezni izjavi:
- Če je presek q pozitivno število in če ima kvadratna enačba realne korene, sta oba pozitivna ali pa sta oba negativna.
- Če je prosti člen q negativno število in če ima kvadratna enačba realne korene, so njihovi predznaki različni, z drugimi besedami, en koren je pozitiven, drugi pa negativen.
Te trditve izhajajo iz formule x 1 x 2 =q, pa tudi iz pravil za množenje pozitivnih, negativnih števil in števil z različnimi predznaki. Razmislite o primerih njihove uporabe.
Primer.
R je pozitiven. Po diskriminantni formuli najdemo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrednost izraza r 2 +8 je pozitivno za kateri koli realni r, torej D>0 za kateri koli realni r. Zato ima prvotna kvadratna enačba dva korena za vse realne vrednosti parametra r.
Zdaj pa ugotovimo, kdaj imajo korenine različne znake. Če so predznaki korenin različni, je njihov produkt negativen, po Vietinem izreku pa je produkt korenin dane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Zato nas zanimajo tiste vrednosti r, za katere je prosti člen r−1 negativen. Torej, da bi našli vrednosti r, ki nas zanimajo, moramo reši linearno neenakost r−1<0 , откуда находим r<1 .
odgovor:
pri r<1 .
Vieta formule
Zgoraj smo govorili o Vietinem izreku za kvadratno enačbo in analizirali relacije, ki jih uveljavlja. Vendar obstajajo formule, ki povezujejo resnične korenine in koeficiente ne le kvadratnih enačb, ampak tudi kubičnih enačb, štirih enačb in na splošno, algebraične enačbe stopnja n. Poklicani so Vieta formule.
Zapišemo Vietino formulo za algebraično enačbo stopnje n oblike, pri čemer predpostavimo, da ima n realnih korenov x 1, x 2, ..., x n (med njimi so lahko enaki): 
Pridobite formule Vieta izrek o faktorizaciji polinomov, kot tudi definicija enakih polinomov z enakostjo vseh njihovih ustreznih koeficientov. Torej sta polinom in njegova razširitev v linearne faktorje oblike enaka. Če odpremo oklepaje v zadnjem produktu in izenačimo ustrezne koeficiente, dobimo Vietine formule.
Zlasti za n=2 imamo že znane Vietove formule za kvadratno enačbo.
Za kubično enačbo imajo formule Vieta obliko 
Omeniti je treba le, da so na levi strani Vietovih formul tako imenovani elementarni simetrični polinomi.
Bibliografija.
- algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
- algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. ravni / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; ur. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Razsvetljenje, 2010.- 368 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Ena od metod za reševanje kvadratne enačbe je aplikacija Formule VIETA, ki je dobil ime po FRANCOIS VIETE.
Bil je slaven odvetnik in je v 16. stoletju služil pri francoskem kralju. V prostem času je študiral astronomijo in matematiko. Vzpostavil je povezavo med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe.
Prednosti formule:
1 . Z uporabo formule lahko hitro najdete rešitev. Ker vam ni treba vnesti drugega koeficienta v kvadrat, nato od njega odšteti 4ac, poiskati diskriminanto, nadomestiti njegovo vrednost v formulo za iskanje korenin.
2 . Brez rešitve lahko določite znake korenin, poberete vrednosti korenin.
3 . Ko smo rešili sistem dveh zapisov, ni težko najti samih korenin. V zgornji kvadratni enačbi je vsota korenov enaka vrednosti drugega koeficienta s predznakom minus. Zmnožek korenov v zgornji kvadratni enačbi je enak vrednosti tretjega koeficienta.
4 . Glede na podane korene napišite kvadratno enačbo, torej rešite inverzni problem. Ta metoda se na primer uporablja pri reševanju problemov v teoretični mehaniki.
5 . Formulo je primerno uporabiti, ko je vodilni koeficient enak ena.
pomanjkljivosti:
1
. Formula ni univerzalna.
Vietin izrek 8. razred
Formula
Če sta x 1 in x 2 koreni dane kvadratne enačbe x 2 + px + q \u003d 0, potem:
Primeri
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - korenine enačbe x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Inverzni izrek
Formula
Če so števila x 1 , x 2 , p, q povezana s pogoji:
Potem sta x 1 in x 2 korena enačbe x 2 + px + q = 0.
Primer
Naredimo kvadratno enačbo po njenih koreninah:
X 1 \u003d 2 -? 3 in x 2 \u003d 2 +? 3 .
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.
Želena enačba ima obliko: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Vieta formula za polinome (enačbe) višjih stopenj
Formule, ki jih je izpeljal Vieta za kvadratne enačbe, veljajo tudi za polinome višjih stopenj.
Pustimo polinom
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Ima n različnih korenin x 1 , x 2 ..., x n .
V tem primeru ima faktorizacijo v obliki:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Oba dela te enakosti delimo z 0 ≠ 0 in razširimo oklepaje v prvem delu. Dobimo enakost:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Toda dva polinoma sta identično enaka, če in samo če sta koeficienta pri istih potencih enaka. Iz tega sledi, da je enakost
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Na primer za polinome tretje stopnje
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Imamo identitete
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Kar zadeva kvadratne enačbe, se ta formula imenuje Vieta formule. Levi deli teh formul so simetrični polinomi iz korenov x 1 , x 2 ..., x n dane enačbe, desni deli pa so izraženi s koeficientom polinoma.
2.6 Enačbe, ki jih je mogoče reducirati na kvadrate (bikvadratne)
Enačbe četrte stopnje so reducirane na kvadratne enačbe:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
imenujemo bikvadratično, poleg tega a ≠ 0.
Dovolj je, da v to enačbo damo x 2 \u003d y, torej
ay² + by + c = 0
poiščite korenine nastale kvadratne enačbe
y 1,2 = 
Če želite takoj poiskati korene x 1, x 2, x 3, x 4, zamenjajte y z x in dobite
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Če ima enačba četrte stopnje x 1, potem ima tudi koren x 2 \u003d -x 1,
Če ima x 3, potem je x 4 \u003d - x 3. Vsota korenov takšne enačbe je nič.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Enačbo nadomestimo v formulo za korenine bikvadratnih enačb:
x 1,2,3,4 = 
,
vedoč, da je x 1 = -x 2 in x 3 = -x 4, potem:
x 3,4 = 
Odgovor: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =
2.7 Študija bikvadratnih enačb
Vzemimo bikvadratno enačbo
ax 4 + bx 2 + c = 0,
kjer so a, b, c realna števila in a > 0. Z uvedbo pomožne neznanke y = x² preučimo korenine te enačbe in rezultate vnesemo v tabelo (glej Dodatek št. 1)
2.8 Cardano formula
Če uporabimo sodobno simboliko, potem lahko izpeljava Cardano formule izgleda takole:
x = 
Ta formula določa korenine splošne enačbe tretje stopnje:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Ta formula je zelo okorna in zapletena (vsebuje več kompleksnih radikalov). Ne velja vedno, ker. zelo težko dokončati.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Navedite ali izberite med 2-3 besedili najbolj zanimiva mesta. Tako smo upoštevali splošna določila za oblikovanje in izvedbo izbirnih predmetov, ki jih bomo upoštevali pri razvoju izbirnega predmeta algebra za 9. razred »Kvadrikularne enačbe in neenakosti s parametrom«. Poglavje II. Metodika izvajanja izbirnega predmeta »Kvadratne enačbe in neenakosti s parametrom« 1.1. generalno...
Rešitve iz numeričnih računskih metod. Za določitev korenin enačbe ni potrebno poznavanje teorij skupine Abel, Galois, Lie itd. in uporaba posebne matematične terminologije: obroči, polja, ideali, izomorfizmi itd. Za reševanje algebraične enačbe n-te stopnje potrebujete le sposobnost reševanja kvadratnih enačb in izločanja korenin iz kompleksnega števila. Korenine je mogoče določiti z ...
Z merskimi enotami fizikalnih veličin v sistemu MathCAD? 11. Podrobno opišite besedilne, grafične in matematične bloke. Predavanje številka 2. Problemi linearne algebre in reševanje diferencialnih enačb v okolju MathCAD Pri problemih linearne algebre je skoraj vedno potrebno izvajati različne operacije z matrikami. Plošča matričnega operaterja se nahaja na plošči Math. ...
