Zapestnice iz gume

Kaj pomeni razmerje 1 proti 2. Razmerje in delež. Osnovne lastnosti razmerja

Formula razmerja

Razmerje je enakost dveh razmerij, ko je a:b=c:d

razmerje 1 : 10 je enako razmerju 7 : 70, ki ga lahko zapišemo tudi kot ulomek: 1 10 = 7 70 se glasi: "ena je proti desetim, kot je sedem proti sedemdesetim"

Osnovne lastnosti razmerja

Produkt skrajnih členov je enak produktu srednjih členov (navzkrižno): če je a:b=c:d , potem je a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzija razmerja: če je a:b=c:d , potem je b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutacija srednjih členov: če a:b=c:d, potem a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutacija skrajnih členov: če je a:b=c:d , potem je d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Reševanje razmerja z eno neznanko | Enačba

1 : 10 = x : 70 oz 1 10 = x 70

Če želite najti x, morate dve znani števili pomnožiti navzkrižno in deliti z nasprotno vrednostjo

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kako izračunati delež

Naloga: morate piti 1 tableto aktivnega oglja na 10 kilogramov teže. Koliko tablet je treba vzeti, če oseba tehta 70 kg?

Naredimo razmerje: 1 tableta - 10 kg x tablete - 70 kg Če želite najti x, morate dve znani števili pomnožiti navzkrižno in deliti z nasprotno vrednostjo: 1 tableta x tablete✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odgovor: 7 tablet

Naloga: Vasja v petih urah napiše dva članka. Koliko člankov bo napisal v 20 urah?

Naredimo razmerje: 2 člena - 5 ur xčlanki - 20 ur x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odgovor: 8 člankov

Bodočim maturantom lahko rečem, da mi je sposobnost določanja proporcev prišla prav tako za proporcionalno pomanjševanje slik, kot pri HTML postavitvi spletne strani in v vsakdanjih situacijah.

Razmerje (v matematiki) je razmerje med dvema ali več števili iste vrste. Razmerja primerjajo absolutne vrednosti ali dele celote. Razmerja se izračunavajo in zapisujejo na različne načine, vendar so osnovna načela za vsa razmerja enaka.

Koraki

1. del

Opredelitev razmerij

Uporaba razmerij. Razmerja se uporabljajo tako v znanosti kot v Vsakdanje življenje za primerjavo vrednosti. Najenostavnejša razmerja povezujejo le dve števili, vendar obstajajo razmerja, ki primerjajo tri ali več vrednosti. V vsaki situaciji, v kateri je prisotnih več kot ena količina, je mogoče zapisati razmerje. S povezovanjem nekaterih vrednosti lahko razmerja na primer predlagajo, kako povečati količino sestavin v receptu ali snovi v kemijski reakciji.

Opredelitev razmerij. Relacija je razmerje med dvema (ali več) vrednostma iste vrste. Na primer, če za torto potrebujete 2 skodelici moke in 1 skodelico sladkorja, je razmerje med moko in sladkorjem 2 proti 1.
- Razmerja se lahko uporabijo tudi, kadar dve količini nista med seboj povezani (kot v primeru torte). Če je na primer v razredu 5 deklet in 10 fantov, potem je razmerje med deklicami in dečki 5 proti 10. Ti količini (število fantov in število deklet) nista odvisni ena od druge, tj. njihove vrednosti se bodo spremenile, če bo nekdo zapustil razred ali bo v razred prišel nov učenec. Razmerja preprosto primerjajo vrednosti količin.
Bodi pozoren na različne poti prikazi razmerij. Odnosi so lahko predstavljeni z besedami ali z matematičnimi simboli.
- Zelo pogosto so razmerja izražena z besedami (kot je prikazano zgoraj). Še posebej se ta oblika predstavitve razmerij uporablja v vsakdanjem življenju, daleč od znanosti.
- Razmerja lahko izrazimo tudi z dvopičjem. Ko primerjate dve števili v razmerju, boste uporabili eno dvopičje (na primer 7:13); ko primerjate tri ali več vrednosti, postavite dvopičje med vsak par številk (na primer 10:2:23). V našem primeru razreda bi lahko razmerje deklet in fantov izrazili takole: 5 deklet: 10 fantov. Ali takole: 5:10.
- Manj običajno so razmerja izražena s poševnico. V razrednem primeru bi to lahko zapisali takole: 5/10. Kljub temu to ni ulomek in se takšno razmerje ne bere kot ulomek; poleg tega ne pozabite, da v razmerju števila niso del ene celote.
2. del
Uporaba razmerij
1. Poenostavite razmerje. Razmerje lahko poenostavimo (podobno kot ulomke), tako da vsak člen (število) razmerja delimo z . Vendar ne pozabite na prvotne vrednosti razmerja.
  - V našem primeru je v razredu 5 deklet in 10 fantov; razmerje je 5:10. največji skupni delilnikčlen razmerja je 5 (ker sta tako 5 kot 10 deljiva s 5). Vsako število razmerja delite s 5, da dobite razmerje 1 deklica proti 2 fantoma (ali 1:2). Vendar pa pri poenostavljanju razmerja upoštevajte prvotne vrednosti. V našem primeru v razredu niso 3 učenci, ampak 15. Poenostavljeno razmerje primerja število fantov in deklet. To pomeni, da sta za vsako dekle 2 fanta, vendar v razredu ni 2 fantov in 1 dekleta.
  - Nekateri odnosi niso poenostavljeni. Na primer, razmerje 3:56 ni poenostavljeno, ker ta števila nimajo skupnih deliteljev (3 je praštevilo, 56 pa ni deljivo s 3).
2. Za povečanje ali zmanjšanje razmerja uporabite množenje ali deljenje. Pogosta težava je povečati ali zmanjšati dve vrednosti, ki sta med seboj sorazmerni. Če vam je dano razmerje in morate najti večje ali manjše razmerje, ki se ujema z njim, pomnožite ali delite prvotno razmerje z določenim številom.
  - Na primer, pek mora potrojiti količino sestavin, navedenih v receptu. Če v receptu piše, da je razmerje med moko in sladkorjem 2:1 (2:1), bo pek vsak člen pomnožil s 3, da bo dobil razmerje 6:3 (6 skodelic moke na 3 skodelice sladkorja).
  - Po drugi strani pa, če mora pek sestavine, podane v receptu, prepoloviti, bo pek vsak izraz razmerja delil z 2 in dobil razmerje 1:½ (1 skodelica moke na 1/2 skodelice sladkorja).
3. Poiščite neznano vrednost, ko sta podani dve enakovredni razmerji. To je problem, pri katerem morate najti neznano spremenljivko v eni relaciji z uporabo druge relacije, ki je enakovredna prvi. Za rešitev takšnih težav uporabite. Vsako razmerje zapišite kot ulomek, med njim postavite znak enačaja in navzkrižno pomnožite njihove člene.
  - Na primer, podana je skupina študentov, v kateri sta 2 fanta in 5 deklet. Koliko bo dečkov, če se število deklet poveča na 20 (delež se ohrani)? Najprej zapišite dve razmerji - 2 fanta:5 deklet in X fantje: 20 deklet. Zdaj ta razmerja zapišite kot ulomke: 2/5 in x/20. Pomnožite člene ulomkov navzkrižno in dobite 5x = 40; torej x = 40/5 = 8.
3. del
Pogoste napake
1. Izogibajte se seštevanju in odštevanju pri težavah z razmerjem besedila. Veliko besednih nalog je videti nekako takole: »Recept zahteva 4 gomolje krompirja in 5 korenčkov. Če želite dodati 8 krompirjev, koliko korenčkov potrebujete, da bo razmerje enako?« Pri reševanju takšnih nalog se učenci pogosto zmotijo in prvotnemu številu dodajo enako količino sestavin. Če pa želite ohraniti razmerje, morate uporabiti množenje. Tu so primeri pravilnih in napačnih odločitev:
  - Napačno: “8 - 4 = 4 - torej smo dodali 4 gomolje krompirja. Torej, morate vzeti 5 korenčkov in jim dodati še 4 ... Stop! Razmerja ne delujejo tako. Vredno poskusiti znova."
  - Pravilno: "8 ÷ 4 = 2 - torej smo število krompirjev pomnožili z 2. V skladu s tem je treba tudi 5 korenčkov pomnožiti z 2. 5 x 2 = 10 - v recept je treba dodati 10 korenčkov."

osnova matematično raziskovanje je zmožnost pridobivanja znanja o določenih količinah s primerjavo z drugimi količinami, ki so bodisi enaka, oz več oz manj od tistih, ki so predmet študije. To se običajno naredi s serijo enačbe in razmerja. Ko uporabljamo enačbe, določimo iskano količino tako, da jo najdemo enakost z neko drugo že znano količino ali količinami.

Vendar se pogosto zgodi, da primerjamo neznano količino z drugimi ni enako njo, ampak bolj ali manj njo. Tukaj potrebujemo drugačen pristop k obdelavi podatkov. Morda bomo morali vedeti, npr. koliko ena vrednost je večja od druge, oz kolikokrat eno vsebuje drugo. Da bi našli odgovore na ta vprašanja, bomo ugotovili, kaj je razmerje dve velikosti. Eno razmerje se imenuje aritmetika, in drugo geometrijski. Čeprav velja omeniti, da oba izraza nista bila sprejeta po naključju ali samo zaradi razlikovanja. Tako aritmetične kot geometrijske relacije veljajo tako za aritmetiko kot za geometrijo.

Ker je delež sestavni del obsežnega in pomembnega predmeta, je razmerje odvisno od razmerij, zato je potrebno jasno in popolno razumevanje teh konceptov.

338. Aritmetično razmerje to je Razlikamed dvema količinama ali nizom količin. Same količine se imenujejo člani razmerja, to je členov, med katerimi je razmerje. Tako je 2 aritmetično razmerje med 5 in 3. To izrazimo tako, da med dvema vrednostima postavimo znak minus, to je 5 - 3. Seveda je izraz aritmetično razmerje in njegovo razčlenjevanje praktično neuporabno, saj le zamenjava besede pojavi Razlika na znak minus v izrazu.

339. Če oba člana aritmetične relacije pomnožiti oz razdeliti za enak znesek, torej razmerje, bo na koncu pomnožen ali deljen s tem zneskom.
Torej, če imamo a - b = r
Nato obe strani pomnožite s h, (Ax. 3.) ha - hb = hr
In deljenje s h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Če se členi nekega aritmetičnega razmerja dodajo ali odštejejo od ustreznih členov drugega, potem bo razmerje vsote ali razlike enako vsoti ali razliki obeh razmerij.
Če a - b
In d-h
sta dve razmerji,
Potem (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Kar je v vsakem primeru = a + d - b - h.
In (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Kar je v vsakem primeru = a - d - b + h.
Torej je aritmetično razmerje 11 - 4 7
In aritmetično razmerje 5 - 2 je 3
Razmerje vsote členov 16 - 6 je 10, - vsota razmerij.
Razmerje razlike členov 6 - 2 je 4, - razlika razmerij.

341. geometrijsko razmerje je razmerje med količinami, ki se izraža ZASEBNOče je ena vrednost deljena z drugo.
Torej lahko razmerje 8 proti 4 zapišemo kot 8/4 ali 2. To je količnik 8, deljeno s 4. Z drugimi besedami, kaže, kolikokrat 4 vsebuje 8.

Na enak način lahko določimo razmerje katere koli količine do druge tako, da prvo delimo z drugo ali, kar je v bistvu isto, tako da prvo naredimo za števec ulomka, drugo pa za imenovalec.
Torej je razmerje med a in b $\frac(a)(b)$
Razmerje med d + h in b + c je $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrijsko razmerje zapišemo tudi tako, da med primerjane vrednosti postavimo dve točki drugo nad drugo.
Tako je a:b razmerje med a in b, 12:4 pa je razmerje med 12 in 4. Obe količini skupaj tvorita par, v katerem se imenuje prvi izraz predhodnik, zadnja pa je posledično.

343. Ta zapis s pikami in drugi zapis v obliki ulomka sta po potrebi zamenljiva, pri čemer predhodnik postane števec ulomka, posledično pa imenovalec.
Torej je 10:5 enako kot $\frac(10)(5)$ in b:d je enako kot $\frac(b)(d)$.

344. Če je kateri koli od teh treh pomenov: predhodnik, posledica in odnos podan dva, potem se najde tretji.

Naj bo a= predhodnik, c= konsekvent, r= razmerje.
Po definiciji je $r=\frac(a)(c)$, kar pomeni, da je razmerje enako predhodniku, deljenemu s posledikom.
Če pomnožimo s c, a = cr, to pomeni, da je predhodnik enak posledičnemu kratniku razmerja.
Deli z r, $c=\frac(a)(r)$, to pomeni, da je konsekvent enak predhodniku, deljenemu z razmerjem.

oz. 1. Če imata dva para enaka predhodnika in posledice, sta enaka tudi njuna razmerja.

oz. 2. Če sta razmerja in predhodniki dveh parov enaki, so enake posledice, in če so razmerja in posledice enaki, so enaki tudi predhodniki.

345. Če dve primerjani količini enaka, potem je njuno razmerje enako enoti ali enakosti. Razmerje 3 * 6:18 je enako ena, saj je količnik katere koli vrednosti, deljen sam s seboj, enak 1.

Če predhodnik par več, kot posledica, potem je razmerje večje od ena. Ker je dividenda večja od delitelja, je količnik večji od ena. Torej je razmerje 18:6 3. To se imenuje razmerje večjo neenakost.

Po drugi strani pa, če predhodnik manj kot posledično, potem je razmerje manjše od ena in to imenujemo razmerje manj neenakosti. Torej je razmerje 2:3 manjše od ena, ker je dividenda manjša od delitelja.

346. Vzvratno razmerje je razmerje dveh recipročnih vrednosti.
Torej je razmerje obratnega števila 6 proti 3 proti, to je:.
Neposredna povezava med a in b je $\frac(a)(b)$, to je predhodnik, deljen s konsekventom.
Inverzno razmerje je $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ ali $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
to je kosekvenca b deljena z antecedentom a.

Zato je izraženo obratno razmerje z obračanjem ulomka, ki prikazuje neposredno razmerje, ali, ko je zapis narejen s pikami, obračanje vrstnega reda pisanja članov.
Tako je a povezan z b na obraten način, kot je b povezan z a.

347. Kompleksno razmerje to razmerje dela ustrezni izrazi z dvema ali več enostavnimi razmerji.
Torej je razmerje 6:3, enako 2
In razmerje 12:4 je enako 3
Njihovo razmerje je 72:12 = 6.

Tukaj dobimo zapleteno relacijo z množenjem dveh predhodnikov in tudi dveh posledic enostavnih relacij.
Torej je razmerje sestavljeno
Iz razmerja a:b
In razmerja c:d
in razmerje h:y
To je relacija $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Kompleksno razmerje se ne razlikuje po svoji narave iz katerega koli drugega razmerja. Ta izraz se uporablja za prikaz izvora relacije v določenih primerih.

oz. Kompleksno razmerje je enako produktu enostavnih razmerij.
Razmerje a:b je enako $\frac(a)(b)$
Razmerje c:d je enako $\frac(c)(d)$
Razmerje h:y je enako $\frac(h)(y)$
In razmerje, dodano teh treh, bo ach/bdy, kar je produkt ulomkov, ki izražajo preprosta razmerja.

348. Če je v zaporedju odnosov v vsakem prejšnjem paru konsekvent antecedent v naslednjem, potem razmerje med prvim predhodnikom in zadnjim konsekventom je enako tistemu, ki ga dobimo iz vmesnih razmerij.
Torej v številnih razmerjih
a:b
b:c
c:d
d:h
razmerje a:h je enako razmerju, seštetemu iz razmerij a:b in b:c ter c:d in d:h. Torej je kompleksna relacija v zadnjem članku $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ ali a:h.

Na enak način vse količine, ki so hkrati predhodnice in posledice izginiti, ko je zmnožek ulomkov poenostavljen na nižje člene in bo v preostanku kompleksno razmerje izraženo s prvim predhodnikom in zadnjim konsekventom.

349. Poseben razred kompleksnih relacij dobimo z množenjem preproste relacije z sebe ali drugemu enaka razmerje. Ta razmerja se imenujejo dvojno, trojni, štirikrat, in tako naprej, glede na število pomnožitev.

Razmerje sestavljeno iz dva enakih razmerjih, tj. kvadrat dvojno razmerje.

Narejen iz tri, to je kocka imenujemo preprosto razmerje trojni, in tako naprej.

Podobno razmerje kvadratni koren dveh količin imenujemo razmerje kvadratni koren, in razmerje kockaste korenine- razmerje kockasti koren, in tako naprej.
Torej je preprosto razmerje a proti b a:b
Dvojno razmerje med a in b je a 2:b 2
Trojno razmerje a proti b je a 3:b 3
Razmerje kvadratnega korena iz a proti b je √a :√b
Razmerje med kubičnim korenom a in b je 3 √a : 3 √b in tako naprej.
Pogoji dvojno, trojni in tako naprej jih ni treba mešati z podvojeno, potrojila, in tako naprej.
Razmerje 6 proti 2 je 6:2 = 3
Če to razmerje podvojimo, torej razmerje dvakrat, dobimo 12:2 = 6
To razmerje potrojimo, torej to razmerje trikrat, dobimo 18 : 2 = 9
AMPAK dvojno razmerje, tj kvadrat razmerje je 6 2:2 2 = 9
in trojni razmerje, tj. kocka razmerja, je 6 3:2 3 = 27

350. Da bi bile količine med seboj korelirane, morajo biti iste vrste, da se lahko z gotovostjo trdi, ali so med seboj enake, ali je ena večja ali manjša. Stopalo je na palec kot 12 proti 1: je 12-krat večje od palca. Ne moremo pa na primer reči, da je ura daljša ali krajša od palice ali da je aker večji ali manjši od stopinje. Če pa so te vrednosti izražene v številke, potem lahko obstaja povezava med temi številkami. To pomeni, da lahko obstaja razmerje med številom minut v eni uri in številom korakov v milji.

351. Obračanje na narave razmerja, je naslednji korak, ki ga moramo upoštevati, kako bo sprememba enega ali dveh členov, ki se med seboj primerjata, vplivala na samo razmerje. Spomnimo se, da je neposredno razmerje izraženo kot ulomek, kjer je antecedet pari so vedno števnik, a posledično - imenovalec. Potem bo iz lastnosti ulomkov enostavno razbrati, da do sprememb v razmerju pride s spreminjanjem primerjanih količin. Razmerje obeh količin je enako kot pomen ulomkov, od katerih vsak predstavlja zasebno: števec deljen z imenovalcem. (čl. 341.) Sedaj je bilo dokazano, da je množenje števca ulomka s katero koli vrednostjo enako množenju pomen za enako količino in da je deljenje števca enako kot deljenje vrednosti ulomka. Zato,

352. Pomnožiti predhodnik para s katero koli vrednostjo pomeni pomnožiti razmerja s to vrednostjo in deliti predhodnik pomeni deliti to razmerje.
Torej je razmerje 6:2 3
In razmerje 24:2 je 12.
Tukaj sta predhodnik in razmerje v zadnjem paru 4-krat večja kot v prvem.
Relacija a:b je enaka $\frac(a)(b)$
In relacija na:b je enaka $\frac(na)(b)$.

oz. Z znano posledico, več predhodnik, bolj razmerje, in obratno, večje kot je razmerje, večji je predhodnik.

353. Če pomnožimo posledico para s katero koli vrednostjo, dobimo delitev razmerja s to vrednostjo in delimo posledico, pomnožimo razmerje. Z množenjem imenovalca ulomka vrednost delimo, z deljenjem imenovalca pa vrednost pomnožimo.
Torej je razmerje 12:2 6
In razmerje 12:4 je 3.
Tukaj je posledica drugega para v dvakrat več, ampak razmerje dvakrat manj kot prvi.
Razmerje a:b je $\frac(a)(b)$
In razmerje a:nb je enako $\frac(a)(nb)$.

oz. Za dani predhodnik je razmerje manjše kot večja je posledica. Nasprotno, večje kot je razmerje, manjša je posledica.

354. Iz zadnjih dveh členov izhaja, da množilni predhodnik pari s katero koli vrednostjo bodo imeli enak učinek na razmerje kot delitev posled s tem zneskom in predhodna delitev, bo imela enak učinek kot posledično množenje.
Torej je razmerje 8:4 2
Če pomnožimo predhodnik z 2, je razmerje 16:4 4
Če predhodnik delimo z 2, je razmerje 8:2 4.

oz. Kaj dejavnik oz delilnik lahko prenesemo iz predhodnika para v konsekvent ali iz konsekventa v antecedent, ne da bi spremenili razmerje.

Omeniti velja, da ko faktor tako prenesemo iz enega člena v drugega, potem postane delitelj, preneseni delitelj pa faktor.
Torej je razmerje 3,6:9 = 2
Premik faktorja 3, $6:\frac(9)(3)=2$
enako razmerje.

Relacija $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Premikanje y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Premikanje m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kot je razvidno iz čl. 352 in 353, če sta predhodnik in posledica pomnožena ali deljena z enakim zneskom, se razmerje ne spremeni.

oz. 1. Razmerje dva ulomki, ki imata skupni imenovalec, enako razmerju njunih števniki.
Tako je razmerje a/n:b/n enako kot a:b.

oz. 2. neposredno razmerje dveh ulomkov, ki imata skupni števec, je enako njunemu vzajemnemu razmerju imenovalci.

356. Razmerje poljubnih dveh ulomkov je enostavno določiti iz člena. Če vsak člen pomnožimo z dvema imenovalcema, bo razmerje podano z integralnimi izrazi. Če tako pomnožimo člene para a/b:c/d z bd, dobimo $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, ki z redukcijo postane ad:bc skupne vrednosti iz števcev in imenovalcev.

356 b. Razmerje večjo neenakost poveča njegov
Naj bo večje razmerje neenakosti podano kot 1+n:1
In poljubno razmerje a:b
Kompleksno razmerje bo (347. člen) a + na:b
Kaj je večje od razmerja a:b (čl. 351 oz.)
Toda razmerje manj neenakosti, dodano z drugim razmerjem, zmanjša njegov.
Naj bo razmerje manjše razlike 1-n:1
Poljubno dano razmerje a:b
Kompleksno razmerje a - na:b
Kaj je manj kot a:b.

357. Če do ali od članov katerega koli paradodati ali odštejemo dve drugi količini, ki sta v enakem razmerju, potem bodo vsote ali ostanki imeli enako razmerje.
Naj bo razmerje a:b
Enako bo kot c:d
Potem razmerje zneski antecedentov vsote posledic, namreč od a + c do b + d, je prav tako enaka.
To je $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dokaz.

1. Po predpostavki je $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Pomnožimo z b in z d, ad = bc
3. Dodajte cd na obe strani, ad + cd = bc + cd
4. Deli z d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Deli z b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Razmerje Razlika enaki so tudi predhodniki razlike posledic.

358. Če so razmerja v več parih enaka, potem vsota vseh predhodnikov je glede na vsoto vseh posledic, kakor je vsak predhodnik glede na svojo posledico.
Tako razmerje
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Tako je razmerje (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Razmerje večjo neenakostzmanjša, dodajanje enako količino obema članoma.
Naj bo dana relacija a+b:a ali $\frac(a+b)(a)$
Če obema izrazoma dodamo x, dobimo a+b+x:a+x ali $\frac(a+b)(a)$.

Prvi postane $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
In zadnji je $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Ker je zadnji števec očitno manjši od drugega, torej razmerje mora biti manj. (351. člen oz.)

Toda razmerje manj neenakosti poveča, ki obema izrazoma doda enako vrednost.
Naj bo dana relacija (a-b):a ali $\frac(a-b)(a)$.
Če obema izrazoma dodate x, postane (a-b+x):(a+x) ali $\frac(a-b+x)(a+x)$
Če jih spravimo na skupni imenovalec,
Prvi postane $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
In zadnji, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Ker je zadnji števec večji od drugega, torej razmerje več.
Če namesto dodajanja enake vrednosti odnesti iz dveh izrazov je očitno, da bo učinek na razmerje nasproten.

Primeri.

1. Kaj je večje: razmerje 11:9 ali razmerje 44:35?

2. Kaj je večje: razmerje $(a+3):\frac(a)(6)$ ali razmerje $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Če je predhodnik para 65 in je razmerje 13, kakšna je posledica?

4. Kaj je antecedent, če je konsekvent para 7 in razmerje 18?

5. Kako izgleda kompleksno razmerje, sestavljeno iz 8:7 in 2a:5b ter (7x+1):(3y-2)?

6. Kako izgleda kompleksno razmerje, sestavljeno iz (x + y): b in (x-y): (a + b) in tudi (a + b): h? Rep. (x 2 - y 2):bh.

7. Če relacije (5x+7):(2x-3) in $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ tvorijo kompleksno relacijo, kakšno relacijo potem boste dobili: več ali manj neenakosti? Rep. Razmerje večje neenakosti.

8. Kakšno je razmerje, sestavljeno iz (x + y):a in (x - y):b ter $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Razmerje enakosti.

9. Kakšno je razmerje 7:5 in dvojno 4:9 ter trojno 3:2?
Rep. 14:15.

10. Kakšno je razmerje, sestavljeno iz 3 : 7 in potrojnega razmerja x : y ter izvlečenja korena iz razmerja 49 : 9?
Rep. x3:y3.

Odnos je določen odnos med entitetami našega sveta. To so lahko števila, fizikalne količine, predmeti, izdelki, pojavi, dejanja in celo ljudje.

V vsakdanjem življenju, ko gre za razmerja, pravimo "razmerje tega in onega". Na primer, če so v vazi 4 jabolka in 2 hruški, potem rečemo razmerje med jabolkom in hruško razmerje med hruško in jabolkom.

V matematiki se razmerje pogosto uporablja kot "odnos nečesa do nečesa". Na primer, razmerje štirih jabolk in dveh hrušk, ki smo ga obravnavali zgoraj, se bo v matematiki bralo kot "razmerje med štirimi jabolki in dvema hruškama" ali če zamenjate jabolka in hruške, potem "razmerje med dvema hruškama in štirimi jabolki".

Razmerje je izraženo kot a do b(kje namesto a in b poljubne številke), pogosteje pa lahko najdete vnos, ki je sestavljen z dvopičjem kot a:b. Ta zapis lahko berete na različne načine:

a do b
a se nanaša na b
odnos a do b

Razmerje štirih jabolk in dveh hrušk zapišemo s simbolom za razmerje:

4: 2

Če zamenjamo jabolka in hruške, dobimo razmerje 2:4. To razmerje lahko beremo kot "dva do štiri" ali bodisi "dve hruški sta enaki štirim jabolkom" .

V nadaljevanju bomo relacijo imenovali relacija.

Vsebina lekcije

Kaj je odnos?

Relacija, kot smo že omenili, je zapisana kot a:b. Lahko ga zapišemo tudi kot ulomek. In vemo, da tak zapis pri matematiki pomeni deljenje. Potem bo rezultat relacije količnik števil a in b.

V matematiki je razmerje količnik dveh števil.

Razmerje vam omogoča, da ugotovite, koliko ene entitete je na enoto druge. Vrnimo se k razmerju štiri jabolka proti dvema hruškama (4:2). To razmerje nam bo omogočilo ugotoviti, koliko jabolk je na eno hruško. Enota pomeni eno hruško. Najprej zapišimo razmerje 4:2 kot ulomek:

To razmerje je deljenje števila 4 s številom 2. Če to delitev izvedemo, dobimo odgovor na vprašanje, koliko jabolk je na enoti hruške.

Dobili smo 2. Torej štiri jabolka in dve hruški (4:2) so korelirani (medsebojno povezani), tako da sta dve jabolki na hruško

Slika prikazuje, kako so štiri jabolka in dve hruški povezani med seboj. Vidi se, da sta za vsako hruško dve jabolki.

Odnos lahko obrnemo tako, da zapišemo kot . Takrat dobimo razmerje dve hruški in štiri jabolka oziroma »razmerje dve hruški proti štirim jabolkom«. To razmerje bo pokazalo, koliko hrušk je na enoto jabolka. Enota jabolko pomeni eno jabolko.

Če želite ugotoviti vrednost ulomka, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim.

Dobil 0,5. Prevedimo to decimalno v navadno:

Dobljeni navadni ulomek zmanjšajte za 5

Dobil odgovor (pol hruške). Torej sta dve hruški in štiri jabolka (2:4) korelirani (med seboj povezani), tako da eno jabolko predstavlja polovico hruške

Na sliki je prikazano, kako sta med seboj povezani dve hruški in štiri jabolka. Vidi se, da za vsako jabolko pride pol hruške.

Števila, ki tvorijo razmerje, se imenujejo člani razmerja. Na primer, v razmerju 4:2 sta člana števili 4 in 2.

Razmislite o drugih primerih odnosov. Recept je narejen za pripravo nečesa. Recept je zgrajen iz razmerij med izdelki. Na primer, priprava ovsene kaše običajno zahteva kozarec kosmičev na dva kozarca mleka ali vode. Rezultat je razmerje 1:2 ("ena proti dve" ali "en kozarec kosmičev na dva kozarca mleka").

Pretvorimo razmerje 1:2 v ulomek, dobimo. Če izračunamo ta ulomek, dobimo 0,5. To pomeni, da sta en kozarec kosmičev in dva kozarca mleka korelirana (med seboj korelirana), tako da je za en kozarec mleka pol kozarca kosmičev.

Če obrnete razmerje 1:2, dobite razmerje 2:1 ("dva proti ena" ali "dva kozarca mleka na en kozarec kosmičev"). Če pretvorimo razmerje 2:1 v ulomek, dobimo. Če izračunamo ta ulomek, dobimo 2. Torej sta dva kozarca mleka in en kozarec kosmičev povezana (v medsebojni korelaciji), tako da sta dva kozarca mleka za en kozarec kosmičev.

Primer 2 V razredu je 15 učencev. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Razmerje deklet in fantov je mogoče zapisati 10:5 in to razmerje pretvoriti v ulomek. Če izračunamo ta ulomek, dobimo 2. To pomeni, da so dekleta in fantje med seboj povezani, tako da na vsakega fanta prideta dve deklici

Slika prikazuje, kako se med seboj povezuje deset deklet in pet fantov. Vidi se, da na vsakega fanta prideta dve deklici.

Razmerja ni vedno mogoče pretvoriti v ulomek in najti količnika. V nekaterih primerih bo nelogično.

Torej, če obrnete razmerje na glavo, je to razmerje med fanti in deklicami. Če izračunate ta ulomek, dobite 0,5. Izkazalo se je, da je pet fantov povezanih z desetimi dekleti, tako da je na vsako dekle pol fanta. Matematično to seveda drži, realno gledano pa ni povsem razumno, saj je fant živ človek in ga ni mogoče preprosto vzeti in razdeliti kot hruško ali jabolko.

Sposobnost oblikovanja pravega odnosa je pomembna veščina pri reševanju problemov. Torej je v fiziki razmerje med prepotovano razdaljo in časom hitrost gibanja.

Razdalja je označena s spremenljivko S, čas - skozi spremenljivko t, hitrost - skozi spremenljivko v. Nato besedna zveza "razmerje med prepotovano razdaljo in časom je hitrost gibanja" bo opisan z naslednjim izrazom:

Recimo, da avto prevozi 100 kilometrov v 2 urah. Potem bo razmerje med 100 prevoženimi kilometri in 2 urama hitrost avtomobila:

Hitrost je razdalja, ki jo prepotuje telo na enoto časa. Enota za čas je 1 ura, 1 minuta ali 1 sekunda. In razmerje, kot je bilo omenjeno prej, vam omogoča, da ugotovite, koliko ene entitete je na enoto druge. V našem primeru razmerje sto kilometrov proti dve uri kaže, koliko kilometrov je za eno uro gibanja. Vidimo, da je za vsako uro gibanja 50 kilometrov

Hitrost se torej meri v km/h, m/min, m/s. Simbol za ulomek (/) označuje razmerje med razdaljo in časom: kilometrov na uro , metrov na minuto in metrov na sekundo oz.

Primer 2. Razmerje med vrednostjo blaga in njegovo količino je cena ene enote blaga.

Če smo v trgovini vzeli 5 čokoladnih ploščic in je njihov skupni strošek znašal 100 rubljev, potem lahko določimo ceno ene ploščice. Če želite to narediti, morate najti razmerje med sto rubljev in številom palic. Potem dobimo, da ena ploščica znaša 20 rubljev

Primerjava vrednosti

Prej smo izvedeli, da razmerje med količinami različne narave tvori novo količino. Tako je razmerje med prepotovano razdaljo in časom hitrost gibanja. Razmerje med vrednostjo blaga in njegovo količino je cena ene enote blaga.

Toda razmerje se lahko uporablja tudi za primerjavo vrednosti. Rezultat takšne relacije je število, ki kaže, kolikokrat je prva vrednost večja od druge oziroma kolikšen del je prva vrednost od druge.

Če želite ugotoviti, kolikokrat je prva vrednost večja od druge, morate v števec razmerja zapisati večjo vrednost, v imenovalec pa manjšo vrednost.

Če želite ugotoviti, kateri del je prva vrednost od druge, morate v števec razmerja zapisati manjšo vrednost, v imenovalec pa večjo vrednost.

Razmislite o številih 20 in 2. Ugotovimo, kolikokrat je število 20 več številk 2. Da bi to naredili, najdemo razmerje med številom 20 in številom 2. V števcu razmerja zapišemo številko 20, v imenovalcu pa številko 2

Vrednost tega razmerja je deset

Razmerje med številom 20 in številom 2 je število 10. To število kaže, kolikokrat je število 20 večje od števila 2. Torej je število 20 desetkrat večje od števila 2.

Primer 2 V razredu je 15 učencev. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikokrat je deklic več kot fantov.

Zapiši odnos deklet do fantov. V števec razmerja zapišemo število deklet, v imenovalec razmerja - število fantov:

Vrednost tega razmerja je 2. To pomeni, da je v razredu s 15 učenci dvakrat več deklet kot fantov.

Ni več vprašanje, koliko deklet pride na enega fanta. V tem primeru se razmerje uporablja za primerjavo števila deklet s številom fantov.

Primer 3. Kateri del števila 2 je od števila 20.

Poiščemo razmerje med številom 2 in številom 20. V števcu razmerja zapišemo številko 2, v imenovalcu pa številko 20.

Če želite najti pomen tega odnosa, se morate spomniti,

Vrednost razmerja med številom 2 in številom 20 je število 0,1

V tem primeru lahko decimalni ulomek 0,1 pretvorimo v navadnega. Ta odgovor bo lažje razumeti:

Torej je število 2 od števila 20 ena desetina.

Lahko narediš pregled. Če želite to narediti, bomo našli številko 20. Če smo vse naredili pravilno, bi morali dobiti številko 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Dobili smo število 2. Desetina števila 20 je torej število 2. Iz tega sklepamo, da je naloga pravilno rešena.

Primer 4 V razredu je 15 ljudi. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikšen delež med skupnim številom učencev predstavljajo fantje.

Zapišemo razmerje med fanti in skupnim številom učencev. V števec razmerja zapišemo pet fantov, v imenovalec pa skupno število šolarjev. Skupno število šolarjev je 5 fantov in 10 deklet, zato v imenovalec razmerja zapišemo število 15.

Če želite ugotoviti vrednost tega razmerja, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim. V tem primeru je treba število 5 deliti s številom 15

Ko 5 delite s 15, dobite periodični ulomek. Pretvorimo ta ulomek v navadnega

Dobil končni odgovor. Fantje torej predstavljajo tretjino celotnega razreda

Slika prikazuje, da je v razredu s 15 učenci tretjina razreda 5 fantov.

Če za preverjanje najdemo od 15 šolarjev, potem bomo dobili 5 fantov

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

Primer 5 Kolikokrat je število 35 večje od števila 5?

Zapišemo razmerje med številko 35 in številko 5. V števcu razmerja morate napisati številko 35, v imenovalcu - številko 5, ne pa obratno

Vrednost tega razmerja je 7. Torej je število 35 sedemkrat večje od števila 5.

Primer 6 V razredu je 15 ljudi. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikšen delež v skupnem številu predstavljajo dekleta.

Zapišemo razmerje deklet glede na skupno število dijakov. V števec razmerja zapišemo deset deklet, v imenovalec pa skupno število šolarjev. Skupno število šolarjev je 5 fantov in 10 deklet, zato v imenovalec razmerja zapišemo število 15.

Če želite ugotoviti vrednost tega razmerja, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim. V tem primeru je treba število 10 deliti s številom 15

Ko 10 delite s 15, dobite periodični ulomek. Pretvorimo ta ulomek v navadnega

Zmanjšajmo dobljeni ulomek za 3

Dobil končni odgovor. Dekleta torej predstavljajo dve tretjini celotnega razreda

Iz slike je razvidno, da je v razredu s 15 učenci dve tretjini razreda 10 deklet.

Če za preverjanje najdemo od 15 šolarjev, potem dobimo 10 deklet

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

Primer 7 Kolikšen del 10 cm je 25 cm

Zapiši razmerje deset centimetrov proti petindvajset centimetrov. V števcu razmerja zapišemo 10 cm, v imenovalcu - 25 cm

Če želite ugotoviti vrednost tega razmerja, se morate spomniti, kako manjše število delite z večjim. V tem primeru je treba število 10 deliti s številom 25

Pretvorimo dobljeni decimalni ulomek v navadnega

Zmanjšajmo dobljeni ulomek za 2

Dobil končni odgovor. Torej je 10 cm 25 cm.

Primer 8 Kolikokrat je 25 cm večje od 10 cm

Zapiši razmerje petindvajset centimetrov proti deset centimetrov. V števcu razmerja zapišemo 25 cm, v imenovalcu - 10 cm

Dobil odgovor 2.5. Torej je 25 cm 2,5-krat več kot 10 cm (dvainpolkrat)

Pomembna opomba. Pri iskanju istoimenskega razmerja fizikalne količine te količine morajo biti izražene v eni merski enoti, sicer bo odgovor napačen.

Na primer, če imamo opravka z dvema dolžinama in želimo vedeti, kolikokrat je prva dolžina večja od druge ali kolikšen del je prva dolžina od druge, potem je treba obe dolžini najprej izraziti v eni merski enoti.

Primer 9 Kolikokrat je 150 cm več od 1 metra?

Najprej se prepričajmo, da sta obe dolžini izraženi v isti enoti. Če želite to narediti, pretvorite 1 meter v centimetre. En meter je sto centimetrov

1 m = 100 cm

Zdaj najdemo razmerje sto petdeset centimetrov proti sto centimetrov. V števcu razmerja zapišemo 150 centimetrov, v imenovalcu - 100 centimetrov.

Poiščimo vrednost te relacije

Dobil odgovor 1.5. Torej je 150 cm več kot 100 cm za 1,5-krat (eninpolkrat).

In če ne bi začeli pretvarjati metrov v centimetre in takoj poskušali najti razmerja 150 cm proti enemu metru, bi dobili naslednje:

Izkazalo bi se, da je 150 cm sto petdesetkrat več kot en meter, vendar to ni res. Zato je nujno, da smo pozorni na merske enote fizikalnih veličin, ki so vključene v razmerje. Če so te količine izražene v različnih merskih enotah, morate za iskanje razmerja med temi količinami iti na eno mersko enoto.

Primer 10 Prejšnji mesec je bila plača osebe 25.000 rubljev, ta mesec pa se je plača povečala na 27.000 rubljev. Ugotovite, za koliko se je plača povečala

Zapišemo razmerje sedemindvajset tisoč proti petindvajset tisoč. V števcu razmerja zapišemo 27000, v imenovalcu - 25000

Poiščimo vrednost te relacije

Dobil odgovor 1.08. Torej se je plača povečala za 1,08-krat. V prihodnosti, ko se bomo seznanili z odstotki, bomo kazalnike, kot je plača, izrazili v odstotkih.

Primer 11. Stanovanjski objekt je širok 80 metrov in visok 16 metrov. Kolikokrat je širina hiše večja od njene višine?

Zapišemo razmerje med širino hiše in njeno višino:

Vrednost tega razmerja je 5. To pomeni, da je širina hiše petkratna njena višina.

razmerje lastnina

Razmerje se ne spremeni, če njegove člene pomnožimo ali delimo z istim številom.

Ta ena najpomembnejših lastnosti relacije izhaja iz lastnosti kvocienta. Vemo, da če se dividenda in delitelj pomnoži ali deli z istim številom, se količnik ne spremeni. In ker razmerje ni nič drugega kot deljenje, zanj deluje tudi lastnost količnika.

Vrnimo se k odnosu deklet do fantov (10,5). To razmerje je pokazalo, da na vsakega fanta prideta dve deklici. Preverimo, kako deluje lastnost relacije, in sicer poskusimo njene člane pomnožiti ali deliti z istim številom.

V našem primeru je bolj priročno člene relacije deliti z njihovim največjim skupnim deliteljem (GCD).

GCD članov 10 in 5 je število 5. Zato lahko člene relacije delite s številom 5

Dobil nov odnos. Gre za razmerje dva proti ena (2:1). To razmerje, tako kot prejšnje razmerje 10:5, kaže, da sta na vsakega fanta dve deklici.

Slika prikazuje razmerje 2:1 (dva proti ena). Tako kot v prejšnjem razmerju 10:5 sta na enega fanta dve deklici. Z drugimi besedami, odnos se ni spremenil.

Primer 2. V enem razredu je 10 deklet in 5 fantov. V drugem razredu je 20 deklet in 10 fantov. Kolikokrat več deklet je v prvem razredu kot fantov? Kolikokrat več deklet je v drugem razredu kot fantov?

V obeh razredih je dvakrat več deklet kot fantov, saj sta razmerja med in enaka enakemu številu.

Lastnost razmerja vam omogoča gradnjo različnih modelov, ki imajo podobne parametre kot pravi objekt. Recimo, da je stanovanjska hiša široka 30 metrov in visoka 10 metrov.

Če želite na papir narisati podobno hišo, jo morate narisati v enakem razmerju 30:10.

Oba člena tega razmerja delimo s številom 10. Potem dobimo razmerje 3:1. To razmerje je 3, tako kot je prejšnje razmerje 3

Pretvori metre v centimetre. 3 metre so 300 centimetrov in 1 meter je 100 centimetrov.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Imamo razmerje 300 cm: 100 cm. Članke tega razmerja delimo s 100. Dobimo razmerje 3 cm: 1 cm. Zdaj lahko narišemo hišo s širino 3 cm in višino 1 cm

Seveda je narisana hiša precej manjša od prave hiše, a razmerje širine in višine ostaja nespremenjeno. To nam je omogočilo, da smo narisali hišo čim bližje pravi.

Odnos lahko razumemo še drugače. Sprva je bilo rečeno, da je prava hiša široka 30 metrov in visoka 10 metrov. Skupaj je 30 + 10, torej 40 metrov.

Teh 40 metrov lahko razumemo kot 40 delov. Razmerje 30:10 pomeni 30 delov za širino in 10 delov za višino.

Nadalje smo člene razmerja 30 : 10 delili z 10. Rezultat je bil razmerje 3 : 1. To razmerje lahko razumemo kot 4 dele, od katerih trije padejo na širino, eden na višino. V tem primeru morate običajno natančno ugotoviti, koliko metrov na širino in višino.

Z drugimi besedami, ugotoviti morate, koliko metrov pade na 3 dele in koliko metrov pade na 1 del. Najprej morate ugotoviti, koliko metrov pade na en del. Da bi to naredili, je treba skupno 40 metrov deliti s 4, saj so samo štirje deli v razmerju 3:1.

Ugotovimo, koliko metrov je širina:

10 m × 3 = 30 m

Ugotovimo, koliko metrov pade na višino:

10 m × 1 = 10 m

Več članov razmerja

Če je v relaciji podanih več članov, jih je mogoče razumeti kot dele nečesa.

Primer 1. Kupil 18 jabolk. Ta jabolka so si razdelili mama, oče in hči v razmerju 2:1:3. Koliko jabolk je dobil vsak?

Razmerje 2: 1: 3 kaže, da je mati prejela 2 dela, oče - 1 del, hči - 3 dele. Z drugimi besedami, vsak člen razmerja 2:1:3 je določen del 18 jabolk:

Če dodate izraze razmerja 2: 1: 3, potem lahko ugotovite, koliko delov je skupaj:

2 + 1 + 3 = 6 (deli)

Ugotovi, koliko jabolk pade na en del. To naredite tako, da 18 jabolk razdelite na 6

18:6 = 3 (jabolka na del)

Zdaj pa ugotovimo, koliko jabolk je prejel vsak. Če tri jabolka pomnožite z vsakim členom razmerja 2:1:3, lahko ugotovite, koliko jabolk je dobila mama, koliko oče in koliko hči.

Ugotovite, koliko jabolk je dobila mama:

3 × 2 = 6 (jabolka)

Ugotovite, koliko jabolk je dobil oče:

3 × 1 = 3 (jabolka)

Ugotovite, koliko jabolk je prejela hči:

3 × 3 = 9 (jabolka)

Primer 2. Novo srebro (alpaka) je zlitina niklja, cinka in bakra v razmerju 3:4:13. Koliko kilogramov vsake kovine je treba vzeti, da dobimo 4 kg novega srebra?

4 kilograme novega srebra bodo vsebovali 3 dele niklja, 4 dele cinka in 13 delov bakra. Najprej ugotovimo, koliko delov bo v štirih kilogramih srebra:

3 + 4 + 13 = 20 (deli)

Določite, koliko kilogramov bo padlo na en del:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Ugotovimo, koliko kilogramov niklja bo vsebovalo 4 kg novega srebra. V razmerju 3:4:13 naj bi trije deli zlitine vsebovali nikelj. Torej pomnožimo 0,2 s 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg niklja

Zdaj pa ugotovimo, koliko kilogramov cinka bo vsebovalo 4 kg novega srebra. V razmerju 3:4:13 naj bi štirje deli zlitine vsebovali cink. Torej pomnožimo 0,2 s 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg cinka

Zdaj pa ugotovimo, koliko kilogramov bakra bo vsebovalo 4 kg novega srebra. V razmerju 3:4:13 naj bi trinajst delov zlitine vsebovalo baker. Zato pomnožimo 0,2 s 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg bakra

Torej, da bi dobili 4 kg novega srebra, morate vzeti 0,6 kg niklja, 0,8 kg cinka in 2,6 kg bakra.

Primer 3. Medenina je zlitina bakra in cinka, katere masno razmerje je 3:2. Za izdelavo kosa medenine potrebujemo 120 g bakra. Koliko cinka je potrebno za izdelavo tega kosa medenine?

Ugotovimo, koliko gramov zlitine pade na en del. Pogoj pravi, da je za izdelavo kosa medenine potrebnih 120 g bakra. Rečeno je tudi, da trije deli zlitine vsebujejo baker. Če 120 delimo s 3, ugotovimo, koliko gramov zlitine je v enem delu:

120: 3 = 40 gramov na kos

Zdaj pa ugotovimo, koliko cinka je potrebno za izdelavo kosa medenine. Da bi to naredili, pomnožimo 40 gramov z 2, saj je v razmerju 3: 2 navedeno, da dva dela vsebujeta cink:

40 g × 2 = 80 gramov cinka

Primer 4. Vzeli so dve zlitini zlata in srebra. V enem je razmerje teh kovin 1 : 9, v drugem pa 2 : 3. Koliko posamezne zlitine je treba vzeti, da dobimo 15 kg nove zlitine, v kateri bi zlato in srebro bila v razmerju 1 : 4 ?

rešitev

15 kg nove zlitine naj bo v razmerju 1 : 4. To razmerje pomeni, da bo en del zlitine imel zlato, štirje deli pa srebro. Skupaj je pet delov. Shematično je to mogoče predstaviti na naslednji način

Določimo maso enega dela. Če želite to narediti, najprej seštejte vse dele (1 in 4), nato pa maso zlitine delite s številom teh delov.

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

En del zlitine bo imel maso 3 kg. Potem bo 15 kg nove zlitine vsebovalo 3 × 1 = 3 kg zlata in 3 × 4 = 12 kg srebra.

Torej, da dobimo zlitino, ki tehta 15 kg, potrebujemo 3 kg zlata in 12 kg srebra.

Zdaj pa odgovorimo na vprašanje naloge - " Koliko vzeti posamezne zlitine? »

Vzeli bomo 10 kg prve zlitine, saj sta zlato in srebro v njej v razmerju 1: 9. To pomeni, da nam bo ta prva zlitina dala 1 kg zlata in 9 kg srebra.

Vzeli bomo 5 kg druge zlitine, saj sta zlato in srebro v njej v razmerju 2: 3. To pomeni, da nam bo ta druga zlitina dala 2 kg zlata in 3 kg srebra.

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini Vkontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

Za reševanje večine problemov v matematiki Srednja šola potrebno je poznavanje razmerij. Ta preprosta veščina vam bo pomagala ne le izvajati zapletene vaje iz učbenika, temveč se boste poglobili tudi v samo bistvo matematične znanosti. Kako narediti razmerje? Zdaj pa poglejmo.

Najenostavnejši primer je problem, kjer so znani trije parametri, četrtega pa je treba najti. Deleži so seveda različni, a pogosto morate najti neko število v odstotkih. Na primer, fant je imel skupaj deset jabolk. Četrti del je podaril mami. Koliko jabolk je ostalo dečku? To je najpreprostejši primer, ki vam bo omogočil, da naredite razmerje. Glavna stvar je, da to storite. Prvotno je bilo deset jabolk. Naj bo 100%. S tem smo označili vsa njegova jabolka. Dal je eno četrtino. 1/4=25/100. Torej, ostalo mu je: 100% (prvotno je bilo) - 25% (dal je) = 75%. Ta številka prikazuje odstotek količine preostalega sadja glede na količino sadja, ki je bilo prvo na voljo. Zdaj imamo tri števila, s katerimi že lahko rešimo razmerje. 10 jabolk - 100%, X jabolka - 75%, kjer je x želena količina sadja. Kako narediti razmerje? Treba je razumeti, kaj je. Matematično je to videti takole. Enako je za vaše razumevanje.

10 jabolk = 100%;

x jabolka = 75 %.

Izkazalo se je, da je 10/x = 100 %/75. To je glavna lastnost razmerij. Konec koncev, več ko je x, več odstotkov je to število od izvirnika. Rešimo ta delež in dobimo x=7,5 jabolk. Zakaj se je fant odločil dati necelo število, ne vemo. Zdaj veste, kako narediti razmerje. Glavna stvar je najti dve razmerji, od katerih ena vsebuje želeno neznanko.

Reševanje razmerja se pogosto zmanjša na preprosto množenje in nato deljenje. V šolah otrok ne učijo, zakaj je tako. Čeprav je pomembno razumeti, da so sorazmerna razmerja matematična klasika, samo bistvo znanosti. Če želite rešiti proporce, morate znati ravnati z ulomki. Na primer, pogosto je treba odstotke pretvoriti v navadne ulomke. To pomeni, da zapis 95% ne bo deloval. In če takoj napišete 95/100, potem lahko naredite solidna zmanjšanja, ne da bi začeli glavno štetje. Vredno je povedati takoj, da če se je vaš delež izkazal z dvema neznankama, potem ga ni mogoče rešiti. Tukaj ti ne more pomagati noben profesor. In vaša naloga ima najverjetneje bolj zapleten algoritem za pravilna dejanja.

Razmislite o drugem primeru, kjer ni odstotkov. Motorist je kupil 5 litrov bencina za 150 rubljev. Razmišljal je, koliko bi plačal za 30 litrov goriva. Za rešitev tega problema z x označimo potrebno količino denarja. To težavo lahko rešite sami in nato preverite odgovor. Če še niste ugotovili, kako narediti razmerje, poglejte. 5 litrov bencina je 150 rubljev. Kot v prvem primeru napišimo 5l - 150r. Zdaj pa poiščimo tretjo številko. Seveda je 30 litrov. Strinjam se, da je v tej situaciji primeren par 30 l - x rubljev. Preidimo na matematični jezik.

5 litrov - 150 rubljev;

30 litrov - x rubljev;

Rešimo ta delež:

x = 900 rubljev.

Tako smo se odločili. Pri nalogi ne pozabite preveriti ustreznosti odgovora. Zgodi se, da z napačno odločitvijo avtomobili dosežejo nerealne hitrosti 5000 kilometrov na uro in podobno. Zdaj veste, kako narediti razmerje. Lahko tudi rešite. Kot lahko vidite, v tem ni nič zapletenega.