Igre

10 načinov za reševanje kvadrata. Metode reševanja kvadratnih enačb. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Sergijevska srednja šola"

Dopolnil: Sizikov Stanislav

Učiteljica:

z. Sergijevka, 2007

1. Uvod. Kvadratne enačbe v starem Babilonu……………….3

2. Kvadratne enačbe v Diaphantu…………..………………………….4

3. Kvadratne enačbe v Indiji ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

4. Kvadratne enačbe v al-Khorezmi ……………………………………..6

5. Kvadratne enačbe v Evropi XIII - XYII…………………………...7

6. O izreku Vieta ……………………………………………………………..9

7. Deset načinov reševanja kvadratnih enačb……………………..10

8. Zaključek ……………………………………………………………………20

9. Literatura ………………………………………………………...21

Uvod

Kvadratne enačbe

Kvadratne enačbe so temelj, na katerem sloni veličastna zgradba algebre. Kvadratne enačbe se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih in iracionalnih enačb. Vsi znamo reševati kvadratne enačbe, od 8. razreda naprej. Kako pa je nastala in se razvijala zgodovina reševanja kvadratnih enačb?

Kvadratne enačbe v starem Babilonu

Potreba po reševanju enačb ne samo prve, ampak tudi druge stopnje, že v antiki, je nastala zaradi potrebe po reševanju problemov, povezanih z iskanjem zemljišč; zemeljskimi deli vojaške narave, pa tudi z razvojem same astronomije in matematike. Kvadratne enačbe so lahko rešili približno 2000 pr. e. Babilonci. Z uporabo sodobnega algebraičnega zapisa lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih na primer popolne kvadratne enačbe: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara piše pod krinko

x2- 64X = - 768

in za dokončanje leve strani te enačbe na kvadrat doda 322 obema stranema, tako da dobi: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Kvadratne enačbe v al-Khorezmi

Al-Khwarizmijeva algebraična razprava podaja klasifikacijo linearnih in kvadratnih enačb. Avtor navaja 6 vrst enačb, ki jih izrazi na naslednji način:

1) "Kvadrati so enaki koreninam", tj. ax2 = in.

2) "Kvadrati so enaki številu", tj. ah2= z.

3) "Korenine so enake številu", tj. ah = s.

4) "Kvadrati in števila so enaki korenom", tj. ah2+ c = v.

5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", tj. ah2+ v = s.

6) "Koreni in števila so enaki kvadratom", tj. v+ c \u003d os2. Za al-Khwarizmija, ki se je izogibal uporabi negativnih števil, so členi vsake od teh enačb seštevalci, ne odštevalci. V tem primeru enačbe, ki nimajo pozitivnih rešitev, očitno niso upoštevane. Avtor navaja metode za reševanje teh enačb. Njegova odločitev seveda ne sovpada povsem z našo. Da ne omenjamo dejstva, da je zgolj retorično, je treba na primer opozoriti, da pri reševanju nepopolne kvadratne enačbe prve vrste al-Khwarizmi, tako kot vsi matematiki pred 17. stoletjem, ne upošteva ničle rešitev, verjetno zato, ker pri konkretnih praktičnih nalogah to ni pomembno. Pri reševanju popolnih kvadratnih enačb al-Khwarizmi določi pravila za njihovo reševanje z uporabo posebnih numeričnih primerov in nato njihovih geometrijskih dokazov.

Vzemimo primer.

Naloga 14. »Kvadrat in število 21 sta enaka 10 korenin. Poiščite koren "(kar pomeni koren enačbe x2+ 21 = 10X).

Avtorjeva rešitev gre nekako takole: število korenov razdelite na pol, dobite 5, pomnožite 5 s samim seboj, od zmnožka odštejete 21, ostane 4. Izvlecite koren iz 4, dobite 2. Odštejte 2 od 5, dobite dobili 3, bo to želeni koren. Ali pa dodajte 2 k 5, kar bo dalo 7, to je tudi koren.

Razprava al-Khwarizmi je prva knjiga, ki je prišla do nas, v kateri je sistematično predstavljena klasifikacija kvadratnih enačb in podane formule za njihovo rešitev.

Kvadratne enačbe v EvropiXIII- XVIIstoletja

Formule za reševanje kvadratnih enačb po vzoru al-Hvarizmija v Evropi so bile prvič podane v Knjigi o abaku (izšla v Rimu sredi prejšnjega stoletja, Fibonaccijeva knjiga o abaku obsega 459 strani), napisani v 1202 italijanski matematik Leonardo Fibonacci. To obsežno delo, ki odseva vpliv matematike iz držav islama in stare Grčije, odlikuje tako popolnost kot jasnost predstavitve. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja problemov in prvega v Evropa je pristopila k uvedbi negativnih števil. Njegova knjiga je prispevala k širjenju algebraičnega znanja ne samo v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številne naloge iz Abakove knjige so prešle v skoraj vse evropske učbenike 16.-17. in deloma XVIII.

Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, reduciranih na eno samo kanonično obliko x2+ v = s, za vse možne kombinacije predznakov koeficientov v, z je bil v Evropi oblikovan šele leta 1544. M. Stiefel.

Vieta ima splošno izpeljavo formule za reševanje kvadratne enačbe, vendar je Vieta priznaval samo pozitivne korene. Med prvimi v 16. stoletju so bili italijanski matematiki Tartaglia, Cardaco, Bombelli. upoštevati poleg pozitivnih tudi negativne korenine. Šele v XVII stoletju. zahvaljujoč delom Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov dobi metoda reševanja kvadratnih enačb sodobno obliko.

O Vietovem izreku

Izrek, ki izraža razmerje med koeficienti kvadratne enačbe in njenimi koreninami, ki nosi ime Vieta, je prvič formuliral leta 1591, kot sledi: »Če AT+ D, pomnoženo z AMPAK minus A2, enako BD, potem AMPAK enako AT in enaka D».

Da bi razumeli Vieto, se moramo tega spomniti AMPAK, kot vsak
samoglasnik, namenjen zanj neznano (naš X), samoglasniki
AT,D- koeficienti za neznano. V jeziku sodobne algebre zgornja Vietova formulacija pomeni: če

(a+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) x + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Z izražanjem razmerja med koreninami in koeficienti enačb s splošnimi formulami, napisanimi s simboli, je Viet vzpostavil enotnost v metodah reševanja enačb. Vendar je simbolika Viete še daleč od svoje sodobne oblike. Negativnih števil ni poznal in je zato pri reševanju enačb upošteval le primere, ko so vsi koreni pozitivni.

Deset načinov za reševanje kvadratnih enačb

V šolskem tečaju matematike se preučujejo formule korenin kvadratnih enačb, s pomočjo katerih lahko rešite poljubne kvadratne enačbe. Obstajajo pa tudi drugi načini za reševanje kvadratnih enačb, ki vam omogočajo zelo hitro in racionalno reševanje mnogih enačb. Obstaja deset načinov za reševanje kvadratnih enačb. Razmislimo o vsakem od njih.

1. Faktorizacija leve strani enačbe

Rešimo enačbo x2+ 10X- 24 = 0. Razložimo levo stran enačbe na faktorje:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Zato lahko enačbo prepišemo kot:

( X + 12)(x - 2) = 0.

Ker je produkt enak nič, je vsaj eden od njegovih faktorjev enak nič. Zato leva stran enačbe izgine, ko x = 2, pa tudi X= - 12. To pomeni, da sta števili 2 in - 12 korenini enačbe x2 + 10x - 24 = 0.

2. Metoda izbire polnega kvadrata

Razložimo to metodo s primerom.

Rešimo enačbo x2 + 6x - 7 = 0. Izberimo polni kvadrat na levi strani. Za to zapišemo izraz x2 + 6x v naslednji obliki:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

V dobljenem izrazu je prvi člen kvadrat števila x, drugi pa dvojni produkt x s 3. Če želite torej dobiti polni kvadrat, morate dodati 32, saj

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Zdaj transformiramo levo stran enačbe

x2 + 6x - 7 = 0,

dodamo in odštejemo 32. Imamo:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Tako lahko to enačbo zapišemo na naslednji način:

(x + = 0, tj. (x + 3)2 = 16.

Posledično X+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1 ali x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. Rešitev kvadratnih enačb po formuli

Pomnožite obe strani enačbe

ah2+ v+ c = 0, a ≠ 0, vklopljeno 4a in zaporedoma imamo:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2x +b)2 = in2- 4ac,

2 ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

V primeru pozitivne diskriminacije, tj v2 - 4ac > 0, enačba ah2+ v + s= 0 ima dva različna korena.

Če je diskriminant nič, tj. v2 - 4ac = 0, nato enačba ah2+ v+ z= 0 ima en sam koren, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Njegove korenine izpolnjujejo izrek Vieta, ki, kdaj a= 1 ima obliko

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - R.

Iz tega lahko potegnemo naslednje zaključke (s koeficienti R in q koreninske znake je mogoče predvideti).

a) Če je prost član q zmanjšana enačba (1)
pozitivno (q> 0), potem ima enačba dve enaki
s predznakom korena in je odvisen od drugega koeficienta R
Če R> 0, potem sta oba korena negativna, če R< 0, potem oboje
korenine so pozitivne.

na primer

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 in x2 = 1, ker q = 2 > 0 u str = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 in x2 \u003d - 1, saj q= 7 > 0 in R = 8 > 0.

b) Če je prost član q zmanjšana enačba (1)
negativno (q < 0), potem ima enačba dva korena z različnimi predznaki in večji koren v absolutni vrednosti bo pozitiven, če R< 0 ali negativno, če p > 0.

na primer

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 in x2 \u003d 1, saj q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 in x2= - 1 ker q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Rešitev enačb z metodo "prenosa"

Razmislite o kvadratni enačbi ax2 + in+ c = 0, kje a ≠ 0. Pomnožimo oba njegova dela z a, dobimo enačbo a2x2 +abx+ izm= 0.

Pustiti ah = y kje X=; potem pridemo do enačbe

y2+ avtor+ izmenični tok = 0,

enakovreden temu. svoje korenine y1 in y2 poiščite s pomočjo Vietovega izreka. Končno dobimo x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

S to metodo je koeficient a se pomnoži s prostim izrazom, kot da bi mu bil "vržen", zato se imenuje način prenosa. Ta metoda se uporablja, ko je enostavno najti korenine enačbe z uporabo Vietovega izreka in, kar je najpomembnejše, ko je diskriminanta natančen kvadrat.

1. Rešite enačbo 2x2 - 11x + 15 = 0.

rešitev. Koeficient 2 "prenesemo" na prosti člen, kot rezultat dobimo enačbo

y2 - 11 pri+ 30 = 0.

V skladu z izrekom Vieta je y1 = 5, y2 = 6, torej x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

odgovor: 2,5; 3.

6. Lastnosti koeficientov kvadrataenačbe

A. Naj bo podana kvadratna enačba

ax2 + in + c= 0, kjer je a ≠ 0.

1. Če + v + z= 0 (tj. vsota koeficientov enačbe je enaka nič), potem je x1 = 1, x2 = .

2. Če a - b + c= 0, ozb = a + c, potem je x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

odgovor: 1; 184">

Možni so naslednji primeri:

Premica in parabola se lahko sekata v dveh točkah, abscisi presečišč sta korenini kvadratne enačbe;

Premica in parabola se lahko dotikata (samo ena skupna točka), to pomeni, da ima enačba eno rešitev;

Premica in parabola nimata skupnih točk, kar pomeni, da kvadratna enačba nima korenin.

Primeri.

1. Grafično rešimo enačbo x2 - 3x - 4 = 0 (slika 2).

rešitev. Enačbo zapišemo v obliki x2 = 3x + 4.

Sestavimo parabolo y = x2 in neposredno y= 3x + 4. Direktno pri= 3x + 4 lahko sestavite iz dveh točk M(0; 4) in N(3; 13). Premica in parabola se sekata v dveh točkah A do B z absciso x1= - 1 in x2 = 4.

Odgovor: x1= - 1, x, = 4.

8. Reševanje kvadratnih enačb s šestilom in ravnilom

Grafični način reševanja kvadratnih enačb z uporabo parabole je nepriročen. Če zgradite parabolo točko za točko, potem traja veliko časa, stopnja natančnosti dobljenih rezultatov pa je nizka.

Predlagamo naslednjo metodo za iskanje korenin kvadratne enačbe

ah2+ v+ z= 0

z uporabo šestila in ravnila (slika).

Predpostavimo, da želeni krog v točkah seka abscisno os B(x1; 0) in D(x2 ; 0), kjer x1 in x2- korenine enačbe ax2 + in+z=0,
in poteka skozi točki A(0; 1) in C(0; ) na osi y..gif" width="197" height="123">

Torej: 1) zgradite točke https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> krog seka os OX v točki B(x1;0 ) in D(x1 ; 0), kjer sta x1 in x2 - korenine kvadratne enačbe ax2+bx+c = 0.

2) Polmer kroga je enak ordinati središča , se krog dotika osi x v točki B(x1; 0), kjer xx je koren kvadratne enačbe.

3) Polmer kroga je manjši od ordinate levega središča">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Od kod po zamenjavah in

poenostavitve sledi enačba z2+pz+q=0, črka z pa pomeni oznako poljubne točke krivočrtnega merila.

10. Geometrijska metoda reševanja kvadratnih enačb

V starih časih, ko je bila geometrija bolj razvita od algebre, so kvadratne enačbe reševali ne algebraično, ampak geometrijsko. Naj navedemo primer, ki je postal slaven iz Algebre al-Khwarizmija.

In štiri priložena polja, tj. S=x2+10x+25. Če x2+10x zamenjamo s 39, dobimo S = 39 + 25 = 64, kar pomeni, da je stranica kvadrata ABCD, tj. segment AB= 8. Za zahtevano stran X prvotni kvadrat, ki ga dobimo

Zaključek

Kvadratne enačbe znamo reševati vsi, od šole do mature. Toda v šolskem tečaju matematike se preučujejo formule korenin kvadratnih enačb, s pomočjo katerih je mogoče rešiti katero koli kvadratno enačbo. Ko pa sem to vprašanje globlje preučil, sem bil prepričan, da obstajajo drugi načini za reševanje kvadratnih enačb, ki vam omogočajo, da številne enačbe rešite zelo hitro in racionalno.

Je morda matematika nekje tam v drugih dimenzijah, očem nevidna – vse je zapisano in le dobivamo vsa nova dejstva iz luknje s svetovi? ... Bog ve; vendar se izkaže, da če fiziki, kemiki, ekonomisti ali arheologi potrebujejo nov model zgradbe sveta, lahko ta model vedno vzamejo s police, kamor so ga pred tristo leti postavili matematiki, ali pa ga sestavijo iz delov, ki ležijo na istem. polica. Morda bo treba te dele zviti, prilagoditi drug drugemu, polirati, na hitro obdelati nekaj novih teoremskih puš; ampak teorija rezultata ne bo le opisala dejanskega stanja, ki je nastalo, ampak tudi napovedala posledice! ...

Čudna stvar je ta igra uma, ki ima vedno prav ...

Literatura

1. Alimov SHA., Ilyin VA. et al Algebra, 6-8. Poskusni učbenik za 6-8 razred srednje šole. - M., Izobraževanje, 1981.

2.Bradisove matematične tabele za srednjo šolo. Ed. 57. - M., Izobraževanje, 1990. S. 83.

3. Zlotski - naloge pri poučevanju matematike. Knjiga za učitelja. - M., Izobraževanje, 1992.

4.M., Matematika (priloga k časopisu "Prvi september"), št. 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Funkcije Okuneva, enačbe in neenačbe. Priročnik za učitelja. - M., Izobraževanje, 1972.

6. Solomnik B. C., Sladka vprašanja in težave v matematiki. Ed. 4., dodajte. - M., Višja šola, 1973.

7.M., Matematika (priloga k časopisu "Prvi september"), št. 40, 2000.

Pregled

za delo študenta 11. razreda MOU "Sergievskaya secondary

srednja šola"

Podeželska srednja šola Kopyevskaya

10 načinov za reševanje kvadratnih enačb

Vodja: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteljica matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1.1 Kvadratne enačbe v starem Babilonu

1.2 Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

1.4 Kvadratne enačbe v al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne enačbe v Evropi XIII - XVII stoletja

1.6 O Vietovem izreku

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Zaključek

Literatura

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1 .1 Kvadratne enačbespori v starem Babilonu

Potreba po reševanju enačb ne le prve, ampak tudi druge stopnje v starih časih je nastala zaradi potrebe po reševanju problemov, povezanih z iskanjem območij zemlje in zemeljskih del vojaške narave, pa tudi zaradi razvoja astronomije in matematika sama. Kvadratne enačbe so lahko rešili približno 2000 pr. e. Babilonci.

Z uporabo sodobnega algebraičnega zapisa lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih tudi takšne, na primer, popolne kvadratne enačbe:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Pravilo za reševanje teh enačb, navedeno v babilonskih besedilih, v bistvu sovpada s sodobnim, vendar ni znano, kako so Babilonci prišli do tega pravila. Skoraj vsa doslej najdena klinopisna besedila podajajo samo probleme z rešitvami, navedenimi v obliki receptov, brez navedbe, kako so bile najdene.

Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu klinopisnim besedilom manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb.

1.2 Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe.

Diofantova aritmetika ne vsebuje sistematične razlage algebre, vsebuje pa sistematično vrsto problemov, ki jih spremljajo razlage in se rešujejo s sestavljanjem enačb različnih stopenj.

Pri sestavljanju enačb Diofant spretno izbira neznanke, da poenostavi rešitev.

Tukaj je na primer ena od njegovih nalog.

Naloga 11."Poišči dve števili, pri čemer veš, da je njuna vsota 20 in njun produkt 96."

Diofant trdi takole: iz pogoja problema izhaja, da želena števila niso enaka, saj če bi bila enaka, potem njihov produkt ne bi bil 96, ampak 100. Tako bo eno od njih več kot polovica njihovega vsota, tj. 10+x, drugi je manjši, tj. 10-ih. Razlika med njimi 2x.

Od tod enačba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-ih 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Od tod x = 2. Ena od želenih številk je 12 , drugo 8 . rešitev x = -2 kajti Diofant ne obstaja, saj je grška matematika poznala samo pozitivna števila.

Če ta problem rešimo tako, da za neznanko izberemo eno izmed želenih števil, potem pridemo do rešitve enačbe

y(20 - y) = 96,

pri 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je, da Diofant poenostavi rešitev tako, da za neznanko izbere polovično razliko želenih števil; problem mu uspe reducirati na reševanje nepopolne kvadratne enačbe (1).

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

Probleme za kvadratne enačbe najdemo že v astronomskem traktatu "Aryabhattam", ki ga je leta 499 sestavil indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoletje), je orisal splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko:

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

V enačbi (1) so koeficienti, razen a, lahko tudi negativno. Brahmaguptino pravilo v bistvu sovpada z našim.

V starodavni Indiji so bila javna tekmovanja v reševanju težkih problemov običajna. V eni od starodavnih indijskih knjig je o takšnih tekmovanjih rečeno naslednje: »Kakor sonce s svojim sijajem zasenči zvezde, tako bo učenec zasenčil slavo drugega na javnih srečanjih, predlaganju in reševanju algebrskih problemov.« Naloge so bile pogosto oblečene v poetično obliko.

Tukaj je ena od težav slavnega indijskega matematika XII. Bhaskara.

Naloga 13.

"Življiva jata opic in dvanajst v trtah ...

Ko ste jedli moč, se zabavali. Začeli so skakati, viseti ...

Osmi del jih je v kvadratu Koliko opic je bilo tam,

Zabava na travniku. Mi poveš, v tej jati?

Bhaskarina rešitev nakazuje, da je vedel za dvovrednost korenin kvadratnih enačb (slika 3).

Enačba, ki ustreza problemu 13, je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinko:

X 2 - 64x = -768

in da dopolni levo stran te enačbe na kvadrat, doda obema stranema 32 2 , dobim potem:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Kvadratne enačbeal-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebraična razprava podaja klasifikacijo linearnih in kvadratnih enačb. Avtor navaja 6 vrst enačb, ki jih izrazi na naslednji način:

1) "Kvadrati so enaki koreninam", tj. Oh 2 + z =bX.

2) "Kvadrati so enaki številu", tj. Oh 2 = s.

3) "Korenine so enake številu", tj. ah = s.

4) "Kvadrati in števila so enaki korenom", tj. Oh 2 + z =bX.

5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", tj. Oh 2 + bx= s.

6) "Koreni in števila so enaki kvadratom", tj. bx+ c = sekira 2 .

Za al-Khwarizmija, ki se je izogibal uporabi negativnih števil, so členi vsake od teh enačb seštevalci, ne odštevalci. V tem primeru enačbe, ki nimajo pozitivnih rešitev, očitno niso upoštevane. Avtor oriše metode za reševanje teh enačb z uporabo metod al-jabr in al-muqabala. Njegove odločitve seveda ne sovpadajo povsem z našimi. Da ne omenjamo dejstva, da je zgolj retorično, je treba na primer opozoriti, da pri reševanju nepopolne kvadratne enačbe prve vrste

al-Khorezmi, tako kot vsi matematiki pred 17. stoletjem, ne upošteva ničelne rešitve, verjetno zato, ker v specifičnih praktičnih problemih ni pomembna. Pri reševanju popolnih kvadratnih enačb al-Khorezmi navede pravila za reševanje in nato geometrijske dokaze z uporabo posebnih numeričnih primerov.

Naloga 14.»Kvadrat in število 21 sta enaka 10 korenin. Poišči koren" (ob predpostavki korena enačbe x 2 + 21 = 10x).

Treatise al-Khorezmi je prva knjiga, ki je prišla do nas, v kateri je sistematično navedena klasifikacija kvadratnih enačb in podane formule za njihovo rešitev.

1.5 Kvadratne enačbe v EvropiXIII - XVIIstoletja

Formule za reševanje kvadratnih enačb po vzoru al-Khorezmija v Evropi so bile prvič podane v "Knjigi o abaku", ki jo je leta 1202 napisal italijanski matematik Leonardo Fibonacci. To obsežno delo, ki odraža vpliv matematike, tako držav islama kot starodavne Grčije, odlikuje tako popolnost kot jasnost predstavitve. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrskih primerov reševanja problemov in prvi v Evropi pristopil k uvajanju negativnih števil. Njegova knjiga je prispevala k širjenju algebraičnega znanja ne samo v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številne naloge iz "Knjige abakusa" so prešle v skoraj vse evropske učbenike 16. - 17. stoletja. in deloma XVIII.

Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko:

X 2 + bx= z,

za vse možne kombinacije predznakov koeficientov b, z je v Evropi šele leta 1544 oblikoval M. Stiefel.

Vieta ima splošno izpeljavo formule za reševanje kvadratne enačbe, vendar je Vieta priznaval samo pozitivne korene. Med prvimi v 16. stoletju so bili italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli. Upoštevajte poleg pozitivnih tudi negativne korenine. Šele v XVII stoletju. Zahvaljujoč delu Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov dobi način reševanja kvadratnih enačb sodoben videz.

1.6 O Vietovem izreku

Izrek, ki izraža razmerje med koeficienti kvadratne enačbe in njenimi koreninami, ki nosi ime Vieta, je prvič formuliral leta 1591, kot sledi: »Če B + D pomnoženo z A - A 2 , enako BD, potem A enako AT in enaka D».

Da bi razumeli Vieto, se moramo tega spomniti AMPAK, kot vsak samoglasnik, je zanj pomenil neznano (naš X), samoglasnike AT,D- koeficienti za neznano. V jeziku sodobne algebre zgornja Vietova formulacija pomeni: če

(a +b)x - x 2 = ab,

X 2 - (a +b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Z izražanjem razmerja med koreninami in koeficienti enačb s splošnimi formulami, napisanimi s simboli, je Viet vzpostavil enotnost v metodah reševanja enačb. Hkrati pa je simbolika Viete še vedno daleč od sodobnega videza. Negativnih števil ni poznal, zato je pri reševanju enačb upošteval samo primere, ko so vsi koreni pozitivni.

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Kvadratne enačbe so temelj, na katerem sloni veličastna zgradba algebre. Kvadratne enačbe se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih, iracionalnih in transcendentalnih enačb in neenačb. Vsi znamo reševati kvadratne enačbe od šole (8. razred) do mature.

V šolskem tečaju matematike se preučujejo formule korenin kvadratnih enačb, s pomočjo katerih lahko rešite poljubne kvadratne enačbe. Hkrati pa obstajajo tudi drugi načini reševanja kvadratnih enačb, ki omogočajo zelo hitro in racionalno reševanje številnih enačb. Obstaja deset načinov za reševanje kvadratnih enačb. Pri svojem delu sem vsakega od njih podrobno analiziral.

1. METODA : Faktorizacija leve strani enačbe.

Rešimo enačbo

X 2 + 10x - 24 = 0.

Razložimo levo stran na faktorje:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Zato lahko enačbo prepišemo kot:

(x + 12)(x - 2) = 0

Ker je produkt enak nič, je vsaj eden od njegovih faktorjev enak nič. Zato leva stran enačbe izgine pri x = 2, kot tudi pri x = - 12. To pomeni, da število 2 in - 12 so koreni enačbe X 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODA : Metoda izbire polnega kvadrata.

Rešimo enačbo X 2 + 6x - 7 = 0.

Izberimo polni kvadrat na levi strani.

Za to zapišemo izraz x 2 + 6x v naslednji obliki:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

V dobljenem izrazu je prvi člen kvadrat števila x, drugi pa dvojni zmnožek x s 3. Če želite torej dobiti polni kvadrat, morate dodati 3 2, saj

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Zdaj transformiramo levo stran enačbe

X 2 + 6x - 7 = 0,

prišteti in odšteti 3 2 . Imamo:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Tako lahko to enačbo zapišemo na naslednji način:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Posledično x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 ali x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODA :Rešitev kvadratnih enačb s formulo.

Pomnožite obe strani enačbe

Oh 2 + bx + c = 0, kaj? 0

na 4a in zaporedoma imamo:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2 ax *b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Primeri.

a) Rešimo enačbo: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dve različni korenini;

Tako je v primeru pozitivne diskriminacije, tj. pri

b 2 - 4 ac >0 , enačba Oh 2 + bx + c = 0 ima dva različna korena.

b) Rešimo enačbo: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, en koren;

Torej, če je diskriminant nič, tj. b 2 - 4 ac = 0 , nato enačba

Oh 2 + bx + c = 0 ima en sam koren

v) Rešimo enačbo: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Ta enačba nima korenin.

Torej, če je diskriminant negativen, tj. b 2 - 4 ac < 0 ,

enačba Oh 2 + bx + c = 0 nima korenin.

Formula (1) korenov kvadratne enačbe Oh 2 + bx + c = 0 omogoča iskanje korenin kaj kvadratna enačba (če obstaja), vključno z zmanjšano in nepopolno. Formula (1) je verbalno izražena na naslednji način: koreni kvadratne enačbe so enaki ulomku, katerega števec je enak drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, plus minus kvadratni koren kvadrata tega koeficienta brez štirikratnega produkta prvega koeficienta s prostim členom, in imenovalec je dvakrat večji od prvega koeficienta.

4. METODA: Rešitev enačb z uporabo Vietovega izreka.

Kot je znano, ima podana kvadratna enačba obliko

X 2 + px + c = 0. (1)

Njeni koreni zadoščajo izreku Vieta, ki, ko a =1 ima obliko

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - str

Iz tega lahko potegnemo naslednje zaključke (predznake korenin lahko napovemo iz koeficientov p in q).

a) Če zbirni izraz q reducirane enačbe (1) pozitiven ( q > 0 ), potem ima enačba dva korena istega predznaka in to je zavist drugega koeficienta str. Če R< 0 , potem sta oba korena negativna, če R< 0 , potem sta oba korena pozitivna.

na primer

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 in x 2 = 1, Ker q = 2 > 0 in str = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 in x 2 = - 1, Ker q = 7 > 0 in str= 8 > 0.

b) Če je prost član q reducirane enačbe (1) je negativna ( q < 0 ), potem ima enačba dva korena z različnimi predznaki in večji koren v absolutni vrednosti bo pozitiven, če str < 0 , ali negativno, če str > 0 .

na primer

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 in x 2 = 1, Ker q= - 5 < 0 in str = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 in x 2 = - 1, Ker q = - 9 < 0 in str = - 8 < 0.

5. METODA: Reševanje enačb z metodo »prenosa«.

Razmislite o kvadratni enačbi

Oh 2 + bx + c = 0, kje a? 0.

Če oba dela pomnožimo z a, dobimo enačbo

a 2 X 2 + abx + ac = 0.

Pustiti ah = y, kje x = y/a; potem pridemo do enačbe

pri 2 + avtor+ ac = 0,

enakovreden temu. svoje korenine pri 1 in pri 2 lahko najdete z uporabo Vietovega izreka.

Končno dobimo

X 1 = y 1 /a in X 1 = y 2 /a.

S to metodo je koeficient a se pomnoži s prostim izrazom, kot da bi mu bil "vržen", zato se imenuje način prenosa. Ta metoda se uporablja, ko je enostavno najti korenine enačbe z uporabo Vietovega izreka in, kar je najpomembnejše, ko je diskriminanta natančen kvadrat.

Primer.

Rešimo enačbo 2x 2 - 11x + 15 = 0.

rešitev. Koeficient 2 "prenesemo" na prosti člen, kot rezultat dobimo enačbo

pri 2 - 11y + 30 = 0.

Po Vietovem izreku

pri 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

pri 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Odgovor: 2,5; 3.

6. METODA: Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe.

AMPAK. Naj kvadratna enačba

Oh 2 + bx + c = 0, kje a? 0.

1) Če je a+b+ c = 0 (tj. vsota koeficientov je nič), potem x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Dokaz. Obe strani enačbe delite z a? 0, dobimo reducirano kvadratno enačbo

x 2 + b/ a * x + c/ a = 0.

Po Vietovem izreku

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1* c/ a.

Po stanju a -b + c = 0, kje b= a + c. V to smer,

x 1 + x 2 = - a+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1* (-c/a),

tiste. X 1 = -1 in X 2 = c/ a, kar smo morali dokazati.

Primeri.

1) Reši enačbo 345x 2 - 137x - 208 = 0.

rešitev. Ker a +b+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), potem

X 1 = 1, X 2 = c/ a = -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) Reši enačbo 132x 2 - 247x + 115 = 0.

rešitev. Ker a +b+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), potem

X 1 = 1, X 2 = c/ a = 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B.Če drugi koeficient b = 2 k je sodo število, potem formula korenov

Primer.

Rešimo enačbo 3x2 -- 14x + 16 = 0.

rešitev. Imamo: a = 3,b= -- 14, c = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, dve različni korenini;

Odgovor: 2; 8/3

AT. Zmanjšana enačba

X 2 +px+q= 0

sovpada s splošno enačbo, v kateri a = 1, b= str in c =q. Zato je za pomanjšano kvadratno enačbo formula za korenine

ima obliko:

Formula (3) je še posebej priročna za uporabo, ko R-- sodo število.

Primer. Rešimo enačbo X 2 - 14x - 15 = 0.

rešitev. Imamo: X 1,2 =7±

Odgovor: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METODA: Grafično reševanje kvadratne enačbe.

Če v enačbi

X 2 + px + q = 0

premaknite drugi in tretji člen na desno stran, dobimo

X 2 = - px - q.

Zgradimo grafe odvisnosti y \u003d x 2 in y \u003d - px - q.

Graf prve odvisnosti je parabola, ki poteka skozi izhodišče. Graf druge odvisnosti -

ravna črta (slika 1). Možni so naslednji primeri:

Premica in parabola se lahko sekata v dveh točkah, abscisi presečišč sta korenini kvadratne enačbe;

Premica in parabola se lahko dotikata (samo ena skupna točka), tj. enačba ima eno rešitev;

Premica in parabola nimata skupnih točk, tj. kvadratna enačba nima korenin.

Primeri.

1) Rešimo enačbo grafično X 2 - 3x - 4 = 0(slika 2).

rešitev. Enačbo zapišemo v obliki X 2 = 3x + 4.

Sestavimo parabolo y = x 2 in neposredno y = 3x + 4. neposredno

y = 3x + 4 se lahko zgradi iz dveh točk M (0; 4) in

n (3; 13) . Premica in parabola se sekata v dveh točkah

AMPAK in AT z absciso X 1 = - 1 in X 2 = 4 . Odgovori: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Rešimo enačbo grafično (slika 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

rešitev. Enačbo zapišemo v obliki X 2 = 2x - 1.

Sestavimo parabolo y = x 2 in neposredno y = 2x - 1.

neposredno y = 2x - 1 graditi na dveh točkah M (0; - 1)

in n(1/2; 0) . Premica in parabola se sekata v točki AMPAK z

abscisa x = 1. odgovor:x = 1.

3) Rešimo enačbo grafično X 2 - 2x + 5 = 0(slika 4).

rešitev. Enačbo zapišemo v obliki X 2 = 5x - 5. Sestavimo parabolo y = x 2 in neposredno y = 2x - 5. neposredno y = 2x - 5 konstruirajte z dvema točkama M(0; - 5) in N(2,5; 0). Premica in parabola nimata presečišč, tj. Ta enačba nima korenin.

Odgovori. Enačba X 2 - 2x + 5 = 0 nima korenin.

8. METODA: Reševanje kvadratnih enačb s šestilom in vladarji.

Grafični način reševanja kvadratnih enačb z uporabo parabole je nepriročen. Če zgradite parabolo točko za točko, potem traja veliko časa, ob vsem tem pa je stopnja natančnosti dobljenih rezultatov nizka.

Predlagam naslednjo metodo za iskanje korenin kvadratne enačbe Oh 2 + bx + c = 0 s pomočjo šestila in ravnila (slika 5).

Predpostavimo, da želeni krog seka os

abscisa v točkah B(x 1 ; 0) in D(X 2 ; 0), kje X 1 in X 2 - korenine enačbe Oh 2 + bx + c = 0, in poteka skozi točke

A(0; 1) in C(0;c/ a) na y-osi. Potem imamo po sekantnem izreku OB * OD = OA * OC, kje OC = OB * OD/ OA= x 1 X 2 / 1 = c/ a.

Središče kroga je na presečišču navpičnic SF in SK, obnovljeno na sredinah akordov AC in BD, zato

1) zgradite točke (središče kroga) in A(0; 1) ;

2) narišite krog s polmerom SA;

3) abscise točk presečišča tega kroga z osjo Oh so korenine prvotne kvadratne enačbe.

V tem primeru so možni trije primeri.

1) Polmer kroga je večji od ordinate središča (AS > SK, oz R > a + c/2 a) , krog seka os x v dveh točkah (slika 6,a) B(x 1 ; 0) in D(X 2 ; 0) , kje X 1 in X 2 - korenine kvadratne enačbe Oh 2 + bx + c = 0.

2) Polmer kroga je enak ordinati središča (AS = SB, ozR = a + c/2 a) , se krog dotika osi Ox (slika 6,b) v točki B(x 1 ; 0) , kjer je x 1 koren kvadratne enačbe.

3) Polmer kroga je manjši od ordinate središča, krog nima skupnih točk z osjo abscise (slika 6, c), v tem primeru enačba nima rešitve.

Primer.

Rešimo enačbo X 2 - 2x - 3 = 0 (slika 7).

rešitev. Določite koordinate točke središča kroga po formulah:

Narišimo krog s polmerom SA, kjer je A (0; 1).

odgovor: X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. METODA: Reševanje kvadratnih enačb z nomogrami.

To je stara in nezasluženo pozabljena metoda za reševanje kvadratnih enačb, objavljena na strani 83 (glej Bradis V.M. Štirivrednostne matematične tabele. - M., Razsvetljenje, 1990).

Preglednica XXII. Nomogram za reševanje enačb z 2 + pz + q = 0 . Ta nomogram omogoča, da brez reševanja kvadratne enačbe določimo korenine enačbe z njenimi koeficienti.

Krivočrtna lestvica nomograma je zgrajena po formulah (slika 11):

Ob predpostavki OS = p,ED = q, OE = a(vse v cm), iz podobnosti trikotnikov SAN in CDF dobimo delež

od koder po zamenjavah in poenostavitvah sledi enačba

z 2 + pz + q = 0,

in pismo z pomeni oznako katere koli točke na ukrivljeni skali.

Primeri.

1) Za enačbo z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogram daje korenine

z 1 = 8,0 in z 2 = 1,0 (Slika 12).

2) Enačbo rešimo z nomogramom

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Koeficiente te enačbe delimo z 2, dobimo enačbo

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram daje korenine z 1 = 4 in z 2 = 0,5.

3) Za enačbo

z 2 - 25 z + 66 = 0

koeficienta p in q nista na lestvici, bomo izvedli zamenjavo z = 5 t, dobimo enačbo

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

ki ga rešimo s pomočjo nomograma in dobimo t 1 = 0,6 in t 2 = 4,4, kje z 1 = 5 t 1 = 3,0 in z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METODA: Geometrijski način reševanja kvadrata enačbe.

V starih časih, ko je bila geometrija bolj razvita od algebre, so kvadratne enačbe reševali ne algebraično, ampak geometrijsko. Navedel bom primer, ki je postal znan iz "Algebre" al-Hvarizmija.

Primeri.

1) Reši enačbo X 2 + 10x = 39.

V izvirniku je ta problem formuliran takole: »Kvadrat in deset korenin sta enaka 39« (slika 15).

rešitev. Razmislite o kvadratu s stranico x, na njegovih straneh so zgrajeni pravokotniki, tako da je druga stran vsakega od njih 2,5, zato je površina vsakega 2,5x. Dobljeni lik nato dopolnimo z novim kvadratom ABCD, tako da v vogalih dopolnimo štiri enake kvadrate, stranica vsakega od njih je 2,5, ploščina pa 6,25.

kvadrat S kvadrat ABCD lahko predstavimo kot vsoto površin: prvotni kvadrat X 2 , štiri pravokotnike (4* 2,5x = 10x) in štiri priložene kvadrate (6,25* 4 = 25) , tj. S = X 2 + 10x + 25. Zamenjava

X 2 + 10xštevilo 39 , to razumemo S = 39 + 25 = 64 , od koder sledi, da je stranica kvadrata ABCD, tj. odsek črte AB = 8. Za želeno stran X prvotni kvadrat, ki ga dobimo

2) Toda na primer, kako so stari Grki rešili enačbo pri 2 + 6y - 16 = 0.

rešitev prikazano na sl. 16, kjer

pri 2 + 6y = 16, oz pri 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

rešitev. Izrazi pri 2 + 6y + 9 in 16 + 9 geometrijsko predstavljajo isti kvadrat in izvirno enačbo pri 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0 je ista enačba. Od kje to dobimo y + 3 = ± 5, oz pri 1 = 2, y 2 = - 8 (Slika 16).

3) Reši geometrijsko enačbo pri 2 - 6y - 16 = 0.

Če transformiramo enačbo, dobimo

pri 2 - 6y = 16.

Na sl. 17 poiščite "slike" izraza pri 2 - 6 let, tiste. od površine kvadrata s stranico y odštejte dvakrat površino kvadrata s stranico, ki je enaka 3 . Torej, če izraz pri 2 - 6 let dodati 9 , potem dobimo površino kvadrata s stranico pri - 3 . Zamenjava izraza pri 2 - 6 let enako število 16,

dobimo: (y - 3) 2 = 16 + 9, tiste. y - 3 = ± v25 ali y - 3 = ± 5, kjer je pri 1 = 8 in pri 2 = - 2.

Zaključek

Kvadratne enačbe se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih, iracionalnih in transcendentalnih enačb in neenačb.

Hkrati pa vrednost kvadratnih enačb ni le v eleganci in kratkosti reševanja problemov, čeprav je to zelo pomembno. Nič manj pomembno je dejstvo, da se zaradi uporabe kvadratnih enačb pri reševanju problemov pogosto odkrijejo nove podrobnosti, zanimive posplošitve in izboljšave, ki jih spodbudi analiza dobljenih formul in razmerij.

Prav tako želim opozoriti, da je tema, predstavljena v tem delu, še vedno malo raziskana, preprosto se z njo ne ukvarjajo, zato je polna veliko skritega in neznanega, kar je odlična priložnost za nadaljnje delo na njej. .

Tu sem se osredotočil na vprašanje reševanja kvadratnih enačb in kaj,

če obstajajo drugi načini za njihovo rešitev?! Spet poiščite lepe vzorce, neka dejstva, pojasnila, posplošujte, odkrivajte vse novo in novo. Toda to so vprašanja za prihodnja dela.

Če povzamemo, lahko zaključimo: kvadratne enačbe igrajo veliko vlogo pri razvoju matematike. Vsi znamo reševati kvadratne enačbe od šole (8. razred) do mature. To znanje nam lahko koristi skozi vse življenje.

Ker so te metode za reševanje kvadratnih enačb enostavne za uporabo, bi zagotovo morale biti zanimive za študente, ki imajo radi matematiko. Moje delo omogoča drugačen pogled na probleme, ki jih matematika postavlja pred nas.

Literatura:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. et al Algebra, 6-8. Poskusni učbenik za 6-8 razred srednje šole. - M., Izobraževanje, 1981.

2. Bradis V.M. Štirimestne matematične tabele za srednjo šolo. Ed. 57. - M., Izobraževanje, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Problemska knjiga o algebri in elementarnih funkcijah. Učbenik za srednje specializirane izobraževalne ustanove. - M., višja šola, 1969.

4. Okunev A.K. Kvadratne funkcije, enačbe in neenačbe. Priročnik za učitelja. - M., Izobraževanje, 1972.

5. Presman A.A. Reševanje kvadratne enačbe s šestilom in ravnilom. - M., Kvant, št. 4/72. S. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Zbirka vprašanj in nalog pri matematiki. Ed. - 4., dodaj. - M., Višja šola, 1973.

7. Khudobin A.I. Zbirka nalog iz algebre in elementarnih funkcij. Priročnik za učitelja. Ed. 2. - M., Izobraževanje, 1970.

Shapovalova L.A. (postaja Egorlykskaya, MBOU ESOSH št. 11)

1. Mordkovich A.G. Algebra.8 razred. Učbenik za izobraževalne ustanove / A.G. Mordkovič. Št. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Št. 8622 / 0790 - 260 str.

2. Mordkovich A.G. Algebra.8 razred. Učbenik za izobraževalne ustanove / A.G. Mordkovič. Št. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Št. 8622 / 0790 - 270 str.

3. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli št. 8622 / 0790 / G.I. Glaser. Št. 8622 / 0790 - M .: Vzgoja, 1982. Št. 8622 / 0790 - 340 str.

4. Gusev V.A. matematika. Referenčni materiali / V.A. Gusev, A.G. Mordkovič. Št. 8622 / 0790 - M .: Prosveshchenie, 1988. Št. 8622 / 0790 - 372 str.

5. Bradis V.M. Štirimestne matematične tabele za srednjo šolo / V.M. Bradis. Št. 8622 / 0790 - M .: Izobraževanje, 1990. Št. 8622 / 0790 - 83 str.

6. Vietov izrek. Št. 8622 / 0790 - Način dostopa: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Vietov izrek (viri za oddaljeni dostop (internet) ) . 20.01.2016.

7. Kvadratne enačbe. Št. 8622 / 0790 - Način dostopa: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (viri za oddaljeni dostop (internet)). 20.01.2016.

Teorija enačb zavzema vodilno mesto v algebri in matematiki nasploh. Njegov pomen ni le v njegovem teoretičnem pomenu za spoznavanje naravnih zakonov, ampak služi tudi praktičnim namenom. Večina življenjskih problemov se spusti na reševanje različnih vrst enačb, pogosteje pa so to enačbe kvadratne oblike.

Šolski kurikulum obravnava le 3 načine za njihovo rešitev. Med pripravami na prihajajoče izpite so me začeli zanimati še drugi načini teh enačb. Zato sem izbral temo "10 načinov reševanja kvadratnih enačb".

Pomembnost te teme je v tem, da se pri pouku algebre, geometrije, fizike zelo pogosto srečamo z rešitvijo kvadratnih enačb. Zato bi moral vsak študent znati pravilno in racionalno reševati kvadratne enačbe, kar je uporabno tudi pri reševanju zahtevnejših nalog, tudi pri opravljanju izpitov.

Namen dela: preučiti različne načine reševanja kvadratnih enačb, naučiti se reševati kvadratne enačbe.

Razmislite o standardnih in nestandardnih metodah za reševanje kvadratnih enačb;

Identificirajte najprimernejše načine za reševanje kvadratnih enačb;

Naučite se reševati kvadratne enačbe na različne načine.

Predmet študija: kvadratne enačbe.

Predmet študija: načini reševanja kvadratnih enačb.

Raziskovalne metode:

Teoretični: študij literature o raziskovalni temi, študij tematskih internetnih virov;

Analiza prejetih informacij;

Primerjava metod za reševanje kvadratnih enačb zaradi priročnosti in racionalnosti.

Metode reševanja kvadratnih enačb

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c \u003d 0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila, medtem ko je a? 0. Koren takšne enačbe je vrednost spremenljivke, ki spremeni kvadratni trinom na nič, to je vrednost, ki spremeni kvadratno enačbo v identiteto. Koeficienti kvadratne enačbe imajo svoja imena: koeficient a se imenuje prvi ali višji, koeficient b se imenuje drugi ali koeficient pri x, c se imenuje prosti član te enačbe.

Popolna kvadratna enačba je enačba, katere vsi koeficienti niso nič (a, b, c - 0).

Zmanjšana kvadratna enačba se imenuje, v kateri je vodilni koeficient enak ena. Takšno enačbo lahko dobimo tako, da celoten izraz delimo z vodilnim koeficientom a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Nepopolne kvadratne enačbe so treh vrst:

1) ax 2 + c = 0, kjer je c 0;

2) ax 2 + bx = 0, kjer je b - 0;

V okviru tega dela bomo obravnavali metode za reševanje samo popolnih kvadratnih enačb.

Reševanje kvadratnih enačb po splošni formuli

Za reševanje kvadratnih enačb se uporablja metoda iskanja korenin skozi diskriminanto. Za iskanje diskriminante se uporablja naslednja formula: D = b 2 - 4ac. Ko najdemo D, uporabimo formulo za iskanje korenin enačbe

Omeniti velja, da če:

D > 0 - enačba ima dva korena;

D \u003d 0 - enačba ima en koren;

D< 0 - уравнение не имеет корней.

Primer reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1 (1.1).

riž. 1. Praktični del

Faktorizacija leve strani

Za prikaz metode rešimo enačbo x 2 + 10x - 24 = 0.

Razložimo levo stran na faktorje:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Zato lahko enačbo prepišemo kot:

(x + 12) (x - 2) = 0

Ker je produkt enak nič, je vsaj eden od njegovih faktorjev enak nič. Zato leva stran enačbe izgine pri x = 2 in tudi pri x = -12.

Primer reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1 (1.2).

Izbira polnega kvadrata je takšna identitetna transformacija, pri kateri je dani trinom predstavljen kot (a ± b) 2 vsota ali razlika kvadrata binoma in nekega številskega ali dobesednega izraza.

Rešimo enačbo x 2 + 14x + 40 = 0.

Razčlenimo polinom na faktorje z metodo polnega kvadrata.

Če želite uporabiti prvo formulo, morate dobiti izraz

x2 + 14x + 49 = 0.

Zato polinomu x 2 + 14x + 40 dodamo in odštejemo število 9, da izberemo polni kvadrat

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Uporabimo formulo "razlika kvadratov" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3) (x + 7 + 3) = 0

(x + 4) (x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Odgovor: -4; - deset.

Primer reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1(1.3).

Reševanje enačb z uporabo Vietovega izreka

Če želite rešiti celotno kvadratno enačbo v skladu z izrekom Vieta, morate celotno enačbo deliti s koeficientom a. Za enačbo x 2 + px + q = 0, če sta x1 in x2 njeni korenini, veljajo formule:

Primer reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1 (1,4).

Reševanje enačb z uporabo lastnosti koeficientov

Če je izpolnjen naslednji pogoj: a + c = b, potem je x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Če je izpolnjen naslednji pogoj:

a + b + c = 0, potem je x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Primer nezmožnosti reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1 (1,5).

Reševanje enačb z metodo »prenosa«.

Tako imenovana metoda "prenosa" omogoča reduciranje rešitve nereduciranih in netransformabilnih enačb na obliko reduciranih enačb s celimi koeficienti, tako da jih delimo z vodilnim koeficientom enačb na rešitev enačb, reduciranih s celimi števili. koeficientov. Takole je: enačbo ax 2 + bx + c = 0 pomnožimo z a.

Dobimo: a 2 x2 + abx + aс = 0. Vpeljimo novo spremenljivko y = ax. Dobimo y 2 +by+ac = 0. Korenini te enačbe sta y1 in y2. Zato je x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Primer reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1 (1,6).

Rešimo enačbo x 2 - 4x - 12 = 0.

Predstavimo ga kot x 2 - 4x = 12.

Na sl. 2 "upodablja" izraz x - 4x, tj. površina kvadrata s stranico x se dvakrat odšteje od površine kvadrata s stranico 2. Torej je x 2 - 4x + 4 ploščina kvadrata s stranico x - 2.

Po zamenjavi x 2 - 4x = 12 dobimo

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Odgovor: x1 = 6, x1 = - 2.

Primer reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1 (1,7).

V enačbi x 2 + px + q = 0 premaknemo drugi in tretji člen na desno stran enačbe. Dobimo: x 2 \u003d - px - q. Zgradimo grafe funkcij

y = x 2 (parabola);

y = - qx - p (ravna črta).

Opozoriti je treba, da:

Če se premica in parabola lahko sekata v dveh točkah, sta abscisi presečišča korenini kvadratne enačbe;

Če se premica dotika parabole (samo ena skupna točka), ima enačba en koren;

Če premica in parabola nimata skupnih točk, tj. kvadratna enačba nima korenin.

Reševanje enačbe s šestilom in ravnilom

Rešimo enačbo ax 2 + bx + c = 0:

1) zgradite točke na koordinatni ravnini:

A(- b/2a; (a + c)/2a) je središče kroga in B(0; 1)

2) Nariši krožnico r = AB

3) Abscise točk presečišča z osjo Ox so korenine prvotne enačbe

Opozoriti je treba, da:

Če je polmer kroga večji od ordinate središča (AB > AC ali R > (a + c) / 2a), krog.

Prečka os x v dveh točkah K(x1; 0) in N(x2; 0), kjer sta x1 in x2 korenini kvadratne enačbe x2 + bx + c = 0.

Če je polmer kroga enak ordinati središča (AB \u003d AC ali R \u003d (a + c) / 2a), se krog dotika osi abscise v točki C (x; 0), kjer je x1 je koren kvadratne enačbe.

Če je polmer kroga manjši od ordinate središča (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Primer reševanja enačbe na ta način je prikazan na sl. 1 (1,9).

To je star in zdaj pozabljen način reševanja kvadratnih enačb.

Nomogram podaja vrednosti pozitivnih korenin enačbe z 2 + pz + q \u003d 0. Če ima enačba korenine različnih predznakov, potem, ko smo našli pozitivni koren iz nomograma, je negativen ugotovljeno z odštevanjem pozitivnega od - p.

riž. 6. Vrsta monograma za reševanje enačbe z 2 + pz + q = 0

V primeru, ko sta oba korena negativna, vzamejo z = - t in iz nomograma poiščejo dva pozitivna korena t1; t 2 enačbe t 2 + - pt + z = 0 in nato z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Če sta koeficienta p in q zunaj lestvice, izvedite zamenjavo z = kt in rešite enačbo z uporabo nomograma

kjer je k vzet tako, da so neenakosti

Oblika monograma za rešitev enačbe z 2 + pz + q = 0 je prikazana na sl. 6.

"Prednosti" in "slabosti" različnih rešitev

Ime metode za reševanje kvadratnih enačb
Reševanje kvadratnih enačb s formulo	Lahko se uporabi za vse kvadratne enačbe.	Naučiti se morate formule.
Faktorizacija leve strani enačbe	Tako je mogoče takoj videti korenine enačbe.	Potrebno je pravilno izračunati pogoje za združevanje.
Metoda izbire polnega kvadrata	Za najmanjše število dejanj lahko najdete korenine enačb	Za izbiro celotnega kvadrata je treba pravilno najti vse izraze.
Reševanje enačb z uporabo Vietovega izreka	Precej enostaven način omogoča takojšen vpogled v korenine enačbe.	zlahka najdemo samo cele korenine.
Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe	Ne zahteva veliko truda	Ustreza le nekaterim enačbam
Rešitev enačb z metodo prenosa	Za najmanjše število dejanj lahko najdete korenine enačbe, uporablja se v povezavi z metodo Vietovega izreka.	enostavno je najti le cele korenine.
Geometrijski način reševanja kvadratnih enačb	Vizualni način.	podobno kot pri izbiri polnega kvadrata
Grafično reševanje kvadratne enačbe	vizualni način	Pri načrtovanju lahko pride do netočnosti
Reševanje kvadratnih enačb s šestilom in ravnilom	vizualni način	Morda ni točno
Reševanje kvadratnih enačb z uporabo nomograma	Intuitiven, enostaven za uporabo.	Nomogram ni vedno pri roki.

Zaključek

Med tem raziskovalnim delom mi je uspelo posplošiti in sistematizirati preučeno gradivo o izbrani temi, preučiti različne načine reševanja kvadratnih enačb, naučiti se reševati kvadratne enačbe na 10 načinov. Treba je opozoriti, da niso vsi priročni za reševanje, vendar je vsak zanimiv na svoj način. Z mojega vidika bodo metode, ki se preučujejo v šoli, najbolj racionalne za uporabo: 1.1. (po formuli); 1.4. (v skladu z izrekom Vieta); kot tudi metoda 1.5. (z uporabo lastnosti koeficientov).

Če povzamemo, lahko zaključimo: kvadratne enačbe igrajo veliko vlogo v matematiki. To znanje nam lahko koristi ne le v šoli in na univerzi, ampak tudi skozi vse življenje.

Bibliografska povezava

Ulevsky S.A. DESET NAČINOV REŠEVANJA KVADRATNIH ENAČB // Začni v znanosti. - 2016. - št. 1. - Str. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (datum dostopa: 30.12.2019).

diapozitiv 1

diapozitiv 2

Cilji predmeta: Seznanitev z novimi metodami za reševanje kvadratnih enačb Poglobitev znanja o temi "Kvadratne enačbe" Razvoj matematičnih, intelektualnih sposobnosti, raziskovalnih spretnosti Ustvarjanje pogojev za samouresničitev posameznika

diapozitiv 3

Cilji predmeta: Seznaniti študente z novimi načini reševanja kvadratnih enačb Okrepiti sposobnost reševanja enačb z znanimi metodami Uvesti izreke, ki omogočajo reševanje enačb na nestandardne načine Nadaljevati oblikovanje splošnih izobraževalnih spretnosti, matematične kulture Spodbujati oblikovanje zanimanja za raziskovalne dejavnosti Ustvariti pogoje za študente, da uresničijo in razvijejo zanimanje za predmet matematike Pripraviti študente na pravo izbiro smeri profila

diapozitiv 4

Vsebina programa Tema 1. Uvod. 1 uro. Definicija kvadratne enačbe. Polna in nepopolna kv. enačbe. Metode za njihovo rešitev. Spraševanje. Tema 2. Rešitev kv. enačbe. Metoda faktoringa Metoda izbire polnega kvadrata Rešitev kv. enačbe po formulah Rešitev kvadrat. enačbe po metodi prenosa Rešitev kv. enačbe z uporabo t. Vieta Solution sq. enačbe z uporabo koeficienta Rešitev sq. enačbe na grafični način Rešitev kv. enačbe z uporabo šestila in ravnila Rešitev kv. enačbe na geometrijski način Rešitev kv. enačbe z uporabo "nomogramov"

diapozitiv 5

Malo zgodovine ... Kvadratne enačbe so temelj, na katerem sloni veličastna zgradba algebre. Kvadratne enačbe se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih, iracionalnih in transcendentalnih enačb in neenačb. Kvadratne enačbe v starem Babilonu. Kvadratne enačbe v Indiji. Kvadratne enačbe v al-Khorezmi. Kvadratne enačbe v Evropi XIII - XVII stoletja.

diapozitiv 6

Diapozitiv 7

Diapozitiv 8

Diapozitiv 9

diapozitiv 10

Slavni francoski znanstvenik Francois Viet (1540-1603) je bil po poklicu pravnik. Svoj prosti čas je posvečal astronomiji. Pouk astronomije je zahteval znanje trigonometrije in algebre. Viet se je lotil teh znanosti in kmalu prišel do zaključka, da jih je treba izboljšati, s čimer se je ukvarjal vrsto let. Zahvaljujoč njegovemu delu postane algebra splošna veda o algebrskih enačbah, ki temeljijo na literalnem računu. Zato je postalo mogoče izraziti lastnosti enačb in njihovih korenin s splošnimi formulami.

diapozitiv 11

Pri delu so bile opažene naslednje: Metode, ki jih bom uporabljal: Vietov izrek Lastnosti koeficientov Metoda »transferja« Faktorizacija leve strani na faktorje Grafična metoda Metode so zanimive, vendar vzamejo veliko časa in niso vedno priročni. Grafična metoda S pomočjo nomograma Ravnila in šestila Izbira polnega kvadrata Klanjam se znanstvenikom, ki so odkrili te metode in dali znanosti zagon za razvoj v temi “Reševanje kvadratnih enačb”

diapozitiv 12

Faktorizacija leve strani enačbe Rešimo enačbo x2 + 10x - 24=0. Faktoriziranje leve strani: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 ali x - 2=0 x= -12 x= 2 Odgovor: x1= -12, x2 = 2. Reši enačbe: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

diapozitiv 13

Metoda izbire polnega kvadrata Rešite enačbo x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 ali x-3=-4 x=1 x=-7 Odgovor: x1=1, x2=-7. Reši enačbe: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

diapozitiv 14

Rešitev kvadratnih enačb po formuli Osnovne formule: Če je b liho, potem je D= b2-4ac in x 1,2=, (če je D> 0) Če je b sodo, potem D1= in x1,2=, (če je D >0) Rešite enačbe: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

diapozitiv 15

Reševanje enačb z metodo prenosa Rešimo enačbo ax2 +bx+c=0. Pomnožimo obe strani enačbe z a, dobimo a2 x2 +abx+ac=0. Naj bo ax = y, od koder je x = y/a. Nato U2 +buy+ac=0. Njegovi korenini sta y1 in y2. Končno x1 = y1/a, x1 = y2/a. Rešimo enačbo 2x2 -11x + 15=0. Prenesimo koeficient 2 na prosti člen: Y2 -11y+30=0. V skladu z izrekom Vieta je y1 =5 in y2 =6. x1 = 5/2 in x2 = 6/2 x1 = 2,5 in x2 = 3 Odgovor: x1 = 2,5, x2 = 3 Reši enačbo: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

diapozitiv 16

Reševanje enačb z uporabo Vietovega izreka Rešimo enačbo x2 +10x-24=0. Ker je x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, potem 24 \u003d 2 * 12, vendar -10 \u003d -12 + 2, potem x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Odgovor: x1 \u003d 2 , x2 \u003d -12. Rešite enačbe: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

diapozitiv 17

Lastnosti koeficientov kvadratne enačbe Če je a+b+c=0, potem je x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Rešimo enačbo 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, torej x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, torej x1= - 1, x2 = -1/2 Odgovor: x1=1, x2 = -7. Odgovor: x1=-1, x2=-1/2. Reši enačbe: 5x2 - 7x +2 =0 Reši enačbe: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 + 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Podeželska srednja šola Kopyevskaya

10 načinov za reševanje kvadratnih enačb

Vodja: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteljica matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1.1 Kvadratne enačbe v starem Babilonu

1.2 Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

1.4 Kvadratne enačbe v al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne enačbe v Evropi XIII - XVII stoletja

1.6 O Vietovem izreku

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Zaključek

Literatura

1. Zgodovina razvoja kvadratnih enačb

1.1 Kvadratne enačbe v starem Babilonu

Z uporabo sodobnega algebraičnega zapisa lahko rečemo, da so v njihovih klinopisnih besedilih poleg nepopolnih tudi takšne, na primer, popolne kvadratne enačbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Kljub visoki stopnji razvoja algebre v Babilonu klinopisnim besedilom manjka koncept negativnega števila in splošne metode za reševanje kvadratnih enačb.

1.2 Kako je Diofant sestavil in rešil kvadratne enačbe.

Diofantova aritmetika ne vsebuje sistematične razlage algebre, vsebuje pa sistematično vrsto problemov, ki jih spremljajo razlage in se rešujejo s sestavljanjem enačb različnih stopenj.

Pri sestavljanju enačb Diofant spretno izbira neznanke, da poenostavi rešitev.

Tukaj je na primer ena od njegovih nalog.

Naloga 11."Poišči dve števili, pri čemer veš, da je njuna vsota 20 in njun produkt 96."

Od tod enačba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Od tod x = 2. Ena od želenih številk je 12 , drugo 8 . rešitev x = -2 kajti Diofant ne obstaja, saj je grška matematika poznala samo pozitivna števila.

Če ta problem rešimo tako, da za neznanko izberemo eno izmed želenih števil, potem pridemo do rešitve enačbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je, da Diofant poenostavi rešitev tako, da za neznanko izbere polovično razliko želenih števil; problem mu uspe reducirati na reševanje nepopolne kvadratne enačbe (1).

1.3 Kvadratne enačbe v Indiji

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

V enačbi (1) so koeficienti, razen a, lahko tudi negativno. Brahmaguptino pravilo v bistvu sovpada z našim.

Tukaj je ena od težav slavnega indijskega matematika XII. Bhaskara.

Naloga 13.

"Življiva jata opic in dvanajst v trtah ...

Ko ste jedli moč, se zabavali. Začeli so skakati, viseti ...

Osmi del jih je v kvadratu Koliko opic je bilo tam,

Zabava na travniku. Mi poveš, v tej jati?

Bhaskarina rešitev nakazuje, da je vedel za dvovrednost korenin kvadratnih enačb (slika 3).

Enačba, ki ustreza problemu 13, je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinko:

x 2 - 64x = -768

in da dopolni levo stran te enačbe na kvadrat, doda obema stranema 32 2 , dobim potem:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne enačbe v al-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebraična razprava podaja klasifikacijo linearnih in kvadratnih enačb. Avtor navaja 6 vrst enačb, ki jih izrazi na naslednji način:

1) "Kvadrati so enaki koreninam", tj. sekira 2 + c =bX.

2) "Kvadrati so enaki številu", tj. sekira 2 = s.

3) "Korenine so enake številu", tj. ah = s.

4) "Kvadrati in števila so enaki korenom", tj. sekira 2 + c =bX.

5) "Kvadrati in koreni so enaki številu", tj. ah 2+bx= s.

6) "Koreni in števila so enaki kvadratom", tj.bx+ c \u003d sekira 2.

Naloga 14.»Kvadrat in število 21 sta enaka 10 korenin. Poišči koren" (ob predpostavki, da je koren enačbe x 2 + 21 = 10x).

Treatise al-Khorezmi je prva knjiga, ki je prišla do nas, v kateri je sistematično navedena klasifikacija kvadratnih enačb in podane formule za njihovo rešitev.

1.5 Kvadratne enačbe v EvropiXIII - XVIIstoletja

Splošno pravilo za reševanje kvadratnih enačb, zmanjšanih na eno samo kanonično obliko:

x 2+bx= z,

za vse možne kombinacije predznakov koeficientov b, z je v Evropi šele leta 1544 oblikoval M. Stiefel.

Vieta ima splošno izpeljavo formule za reševanje kvadratne enačbe, vendar je Vieta priznaval samo pozitivne korene. Med prvimi v 16. stoletju so bili italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli. Upoštevajte poleg pozitivnih tudi negativne korenine. Šele v XVII stoletju. Zahvaljujoč delu Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov dobi način reševanja kvadratnih enačb sodoben videz.

1.6 O Vietovem izreku

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Z izražanjem razmerja med koreninami in koeficienti enačb s splošnimi formulami, napisanimi s simboli, je Viet vzpostavil enotnost v metodah reševanja enačb. Vendar je simbolika Viete še daleč od svoje sodobne oblike. Negativnih števil ni poznal, zato je pri reševanju enačb upošteval samo primere, ko so vsi koreni pozitivni.

2. Metode reševanja kvadratnih enačb

Kvadratne enačbe so temelj, na katerem sloni veličastna zgradba algebre. Kvadratne enačbe se pogosto uporabljajo pri reševanju trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih, iracionalnih in transcendentalnih enačb in neenačb. Vsi znamo reševati kvadratne enačbe od šole (8. razred) do mature.