Gumijaste zapestnice

Vietin izrek. Primeri uporabe. Kako rešiti enačbe z uporabo Vietinega izreka v matematiki Vietina formula za enačbo

V matematiki obstajajo posebni triki, s katerimi se številne kvadratne enačbe rešujejo zelo hitro in brez diskriminant. Še več, s pravilnim treningom mnogi začnejo reševati kvadratne enačbe verbalno, dobesedno "na prvi pogled".

Žal se v sodobnem tečaju šolske matematike takšne tehnologije skoraj ne preučujejo. In morate vedeti! In danes bomo obravnavali eno od teh tehnik - Vietin izrek. Najprej uvedemo novo definicijo.

Kvadratna enačba v obliki x 2 + bx + c = 0 se imenuje reducirana. Upoštevajte, da je koeficient pri x 2 enak 1. Za koeficiente ni drugih omejitev.

x 2 + 7x + 12 = 0 je reducirana kvadratna enačba;
zmanjša se tudi x 2 − 5x + 6 = 0;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - vendar to sploh ni podano, saj je koeficient pri x 2 2.

Seveda lahko vsako kvadratno enačbo v obliki ax 2 + bx + c = 0 zmanjšamo - dovolj je, da vse koeficiente delimo s številom a . To lahko vedno storimo, saj definicija kvadratne enačbe pomeni, da je a ≠ 0.

Res je, te transformacije ne bodo vedno uporabne za iskanje korenin. Malo nižje bomo poskrbeli, da bo to storjeno šele, ko so vsi koeficienti v končni kvadratni enačbi cela števila. Za zdaj si oglejmo nekaj preprostih primerov:

Naloga. Pretvori kvadratno enačbo v zmanjšano:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Vsako enačbo delimo s koeficientom spremenljivke x 2 . Dobimo:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - vse deli s 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - deljeno z −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - deljeno z 1,5, vsi koeficienti so postali celo število;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - deljeno z 2. V tem primeru so nastali ulomni koeficienti.

Kot lahko vidite, imajo dane kvadratne enačbe lahko celoštevilske koeficiente, tudi če je prvotna enačba vsebovala ulomke.

Zdaj oblikujemo glavni izrek, za katerega je bil pravzaprav uveden koncept reducirane kvadratne enačbe:

Vietin izrek. Razmislite o reducirani kvadratni enačbi v obliki x 2 + bx + c \u003d 0. Recimo, da ima ta enačba realne korenine x 1 in x 2. V tem primeru veljajo naslednje trditve:

x1 + x2 = −b. Z drugimi besedami, vsota korenov dane kvadratne enačbe je enaka koeficientu spremenljivke x, vzeti z nasprotnim predznakom;

x 1 x 2 = c. Zmnožek korenov kvadratne enačbe je enak prostemu koeficientu.

Primeri. Zaradi preprostosti bomo upoštevali le dane kvadratne enačbe, ki ne zahtevajo dodatnih transformacij:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korenine: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; korenine: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korenine: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vietin izrek nam daje dodatne informacije o koreninah kvadratne enačbe. Na prvi pogled se to morda zdi zapleteno, a tudi z minimalnim treningom se boste naučili »videti« korenine in jih dobesedno uganiti v nekaj sekundah.

Naloga. Reši kvadratno enačbo:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Poskusimo zapisati koeficiente po Vietinem izreku in "uganiti" korenine:

x 2 − 9x + 14 = 0 je reducirana kvadratna enačba.
Po Vietovem izreku imamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Lahko je videti, da sta korenina številki 2 in 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 se prav tako zmanjša.
Po Vietovem izreku: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Od tod korenine: 3 in 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - Ta enačba ni reducirana. Toda to bomo zdaj popravili tako, da obe strani enačbe delimo s koeficientom a = 3. Dobimo: x 2 + 11x + 10 = 0.
Rešujemo po Vietovem izreku: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korenov: −10 in −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - spet koeficient pri x 2 ni enak 1, tj. enačba ni podana. Vse delimo s številom a = −7. Dobimo: x 2 - 11x + 30 = 0.
Po Vietovem izreku: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; iz teh enačb je enostavno uganiti korenine: 5 in 6.

Iz zgornjega sklepanja je razvidno, kako Vietin izrek poenostavlja rešitev kvadratnih enačb. Brez zapletenih izračunov, brez aritmetičnih korenin in ulomkov. In tudi diskriminanta (glej lekcijo " Reševanje kvadratnih enačb") nismo potrebovali.

Seveda smo pri vseh svojih razmišljanjih izhajali iz dveh pomembnih predpostavk, ki se v resničnih težavah na splošno ne izpolnita vedno:

Kvadratna enačba se reducira, t.j. koeficient pri x 2 je 1;
Enačba ima dva različna korena. Z vidika algebre je v tem primeru diskriminant D > 0 - pravzaprav sprva domnevamo, da je ta neenakost resnična.

Vendar pa so pri tipičnih matematičnih problemih ti pogoji izpolnjeni. Če je rezultat izračunov "slaba" kvadratna enačba (koeficient pri x 2 je drugačen od 1), je to enostavno popraviti - oglejte si primere na samem začetku lekcije. O koreninah na splošno molčim: kakšna naloga je to, v kateri ni odgovora? Seveda bodo korenine.

Tako je splošna shema za reševanje kvadratnih enačb po Vietinem izreku naslednja:

Kvadratno enačbo reduciramo na dano, če to še ni bilo storjeno v pogoju problema;
Če so se koeficienti v zgornji kvadratni enačbi izkazali za ulomke, rešujemo z diskriminanto. Lahko se celo vrnete na prvotno enačbo in delate z bolj "priročnimi" številkami;
Pri celih koeficientih rešimo enačbo z uporabo Vietovega izreka;
Če v nekaj sekundah ni bilo mogoče uganiti korenin, točkujemo po Vietinem izreku in rešimo preko diskriminanta.

Naloga. Reši enačbo: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Torej imamo enačbo, ki ni reducirana, ker koeficient a \u003d 5. Vse delimo s 5, dobimo: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Vsi koeficienti kvadratne enačbe so cela števila – poskusimo jo rešiti z Vietovim izrekom. Imamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. V tem primeru je korenine enostavno uganiti - to sta 2 in 5. Ni vam treba šteti skozi diskriminanto.

Naloga. Reši enačbo: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Poglejmo: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - ta enačba ni reducirana, obe strani delimo s koeficientom a = −5. Dobimo: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - enačbo z ulomnimi koeficienti.

Bolje je, da se vrnemo na prvotno enačbo in preštejemo skozi diskriminanto: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Naloga. Reši enačbo: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Za začetek vse delimo s koeficientom a \u003d 2. Dobimo enačbo x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

To je reducirana enačba, po Vietinem izreku imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Korenine kvadratne enačbe je v tem primeru težko uganiti – osebno sem resno »zmrznil«, ko sem rešil ta problem.

Korenine bomo morali iskati skozi diskriminanto: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Če se ne spomnite korena diskriminante, bom samo opozoril, da je 1225: 25 = 49. Zato je 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Zdaj, ko je koren diskriminante znan, reševanje enačbe ni težko. Dobimo: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Pri preučevanju načinov reševanja enačb drugega reda v šolskem tečaju algebre upoštevajte lastnosti pridobljenih korenin. Zdaj so znani kot Vietini izreki. Primeri njegove uporabe so navedeni v tem članku.

Kvadratna enačba

Enačba drugega reda je enačba, ki je prikazana na spodnji fotografiji.

Tukaj so simboli a, b, c nekatera števila, ki jih imenujemo koeficienti obravnavane enačbe. Če želite rešiti enakost, morate najti x vrednosti, ki jo naredijo resnično.

Upoštevajte, da je največja vrednost moči, na katero se dvigne x, dve, je tudi število korenov v splošnem primeru dve.

Obstaja več načinov za reševanje te vrste enakosti. V tem članku bomo obravnavali enega od njih, ki vključuje uporabo tako imenovanega Vietinega izreka.

Izjava Vietinega izreka

Konec 16. stoletja je slavni matematik Francois Viet (Francoz) z analizo lastnosti korenin različnih kvadratnih enačb opazil, da določene kombinacije le-teh izpolnjujejo določena razmerja. Zlasti te kombinacije so njihov produkt in vsota.

Vietin izrek določa naslednje: korenine kvadratne enačbe, ko se seštejejo, dajo razmerje med linearnimi in kvadratnimi koeficienti, vzetimi z nasprotnim predznakom, in ko jih pomnožimo, vodijo do razmerja med prostim členom in kvadratnim koeficientom .

Če je splošna oblika enačbe zapisana, kot je prikazano na fotografiji v prejšnjem razdelku članka, potem lahko matematično ta izrek zapišemo kot dve enakosti:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Kjer je r 1 , r 2 vrednost korenov obravnavane enačbe.

Ti dve enakosti je mogoče uporabiti za reševanje številnih zelo različnih matematičnih problemov. Uporaba Vietovega izreka v primerih z rešitvijo je podana v naslednjih razdelkih članka.

Med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe obstajajo poleg korenskih formul še druge uporabne povezave, ki so podane z Vietin izrek. V tem članku bomo podali formulacijo in dokaz Vietinega izreka za kvadratno enačbo. Nato razmislimo o izreku, ki je nasproten Vietinemu izreku. Nato bomo analizirali rešitve najbolj značilnih primerov. Na koncu zapišemo formule Vieta, ki definirajo povezavo med pravimi koreninami algebraična enačba stopnje n in njenih koeficientov.

Navigacija po straneh.

Vietov izrek, formulacija, dokaz

Iz formul korenin kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0 oblike , kjer je D=b 2 −4 a c , razmerja x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ti rezultati so potrjeni Vietin izrek:

Izrek.

Če x 1 in x 2 sta korena kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0, potem je vsota korenov enaka razmerju koeficientov b in a, vzetih z nasprotnim predznakom, in produktom koreni so enaki razmerju koeficientov c in a, to je .

Dokaz.

Vietov izrek bomo dokazali po naslednji shemi: sestavili bomo vsoto in zmnožek korenov kvadratne enačbe z uporabo znanih korenskih formul, nato bomo preoblikovali nastale izraze in se prepričali, da so enaki −b /a oziroma c/a.

Začnimo z vsoto korenin, sestavimo. Zdaj ulomke pripeljemo do skupnega imenovalca, imamo. V števcu nastalega ulomka , po katerem : . Končno po 2 dobimo . To dokazuje prvo razmerje Vietinega izreka za vsoto korenov kvadratne enačbe. Pojdimo na drugo.

Sestavimo produkt korenin kvadratne enačbe:. Po pravilu množenja ulomkov lahko zadnji produkt zapišemo kot. Zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu, vendar je hitreje strniti ta izdelek za Formula razlike kvadratov, Torej . Nato, če se spomnimo, izvedemo naslednji prehod. In ker formula D=b 2 −4 a·c ustreza diskriminantu kvadratne enačbe, potem lahko b 2 −4·a·c nadomestimo z zadnjim ulomkom namesto z D, dobimo . Po odprtju oklepajev in zmanjšanju podobnih pogojev pridemo do ulomka , in njegovo zmanjšanje za 4·a daje . To dokazuje drugo razmerje Vietinega izreka za produkt korenin.

Če izpustimo razlage, bo dokaz Vietinega izreka dobil jedrnato obliko:
,
.

Ostaja le ugotoviti, da ima kvadratna enačba en koren, kadar je diskriminanta enaka nič. Če pa predpostavimo, da ima enačba v tem primeru dva enaka korena, potem veljajo tudi enakosti iz Vietovega izreka. Dejansko je za D=0 koren kvadratne enačbe , potem in , in ker je D=0 , to je b 2 −4·a·c=0 , od koder je b 2 =4·a·c , potem .

V praksi se Vietin izrek najpogosteje uporablja v zvezi z reducirano kvadratno enačbo (z najvišjim koeficientom a enak 1) oblike x 2 +p·x+q=0 . Včasih je formuliran za kvadratne enačbe ravno te vrste, kar ne omejuje splošnosti, saj je mogoče vsako kvadratno enačbo nadomestiti z enakovredno enačbo tako, da oba njena dela delimo s številom a, ki ni nič. Tukaj je ustrezna formulacija Vietinega izreka:

Izrek.

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q \u003d 0 je enaka koeficientu pri x, vzetemu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen, to je x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q .

Izrek, obraten Vietinemu izreku

Druga formulacija Vietinega izreka, podana v prejšnjem odstavku, kaže, da če sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0, potem sta razmerja x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Po drugi strani pa iz zapisanih razmerij x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sledi, da sta x 1 in x 2 koreni kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0. Z drugimi besedami, trditev, nasprotna Vietinemu izreku, je resnična. Formuliramo ga v obliki izreka in ga dokažemo.

Izrek.

Če sta števili x 1 in x 2 takšni, da sta x 1 +x 2 =−p in x 1 x 2 =q, potem sta x 1 in x 2 koreni reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Dokaz.

Po zamenjavi koeficientov p in q v enačbi x 2 +p x+q=0 njunega izraza skozi x 1 in x 2, se pretvori v enakovredno enačbo.

V dobljeno enačbo nadomestimo število x 1 namesto x, imamo enakost x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kar je za kateri koli x 1 in x 2 pravilna numerična enakost 0=0, saj x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Zato je x 1 koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, kar pomeni, da je x 1 koren enakovredne enačbe x 2 +p x+q=0 .

Če v enačbi x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 nadomestimo število x 2 namesto x, potem dobimo enakost x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. To je pravilna enačba, ker x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Zato je x 2 tudi koren enačbe x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, zato tudi enačbe x 2 +p x+q=0 .

S tem je dokončan dokaz izreka v nasprotju z Vietinim izrekom.

Primeri uporabe Vietinega izreka

Čas je, da spregovorimo o praktični uporabi Vietinega izreka in njegovega inverznega izreka. V tem podpoglavju bomo analizirali rešitve več najbolj tipičnih primerov.

Začnemo z uporabo izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku. Z njim je priročno preveriti, ali sta dani številki koreni dane kvadratne enačbe. V tem primeru se izračunata njihova vsota in razlika, po kateri se preveri veljavnost razmerij. Če sta izpolnjeni obe relaciji, potem na podlagi izreka, ki je nasproten Vietinemu izreku, sklepamo, da so ta števila korenine enačbe. Če vsaj ena od razmerij ni izpolnjena, potem ta števila niso korenine kvadratne enačbe. Ta pristop je mogoče uporabiti pri reševanju kvadratnih enačb za preverjanje najdenih korenin.

Primer.

Kateri od parov številk 1) x 1 =−5, x 2 =3 ali 2) ali 3) je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0?

Rešitev.

Koeficienti dane kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0 so a=4 , b=−16 , c=9 . Po Vietinem izreku mora biti vsota korenov kvadratne enačbe enaka −b/a, to je 16/4=4, produkt korenin pa mora biti enak c/a, to je 9 /4.

Zdaj izračunajmo vsoto in zmnožek števil v vsakem od treh danih parov in jih primerjamo s pravkar pridobljenimi vrednostmi.

V prvem primeru imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Dobljena vrednost je drugačna od 4, zato nadaljnjega preverjanja ni mogoče izvesti, vendar lahko z izrekom, obratnim od Vietinega izreka, takoj sklepamo, da prvi par številk ni par korenin dane kvadratne enačbe .

Pojdimo na drugi primer. Tu je prvi pogoj izpolnjen. Preverimo drugi pogoj: , dobljena vrednost je drugačna od 9/4. Zato drugi par številk ni par korenov kvadratne enačbe.

Zadnji primer ostaja. Tukaj in. Oba pogoja sta izpolnjena, zato sta ti števili x 1 in x 2 koreni dane kvadratne enačbe.

odgovor:

Izrek, obratno od Vietinega izreka, lahko v praksi uporabimo za izbiro korenin kvadratne enačbe. Običajno se izberejo celoštevilski koreni danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti, saj je v drugih primerih to precej težko narediti. Hkrati uporabljajo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzeti s predznakom minus, in je produkt teh številk enak prostemu členu, potem so ta števila korenine te kvadratne enačbe. Opravimo se s tem s primerom.

Vzemimo kvadratno enačbo x 2 −5 x+6=0 . Da sta številki x 1 in x 2 koreni te enačbe, morata biti izpolnjeni dve enakosti x 1 +x 2 \u003d 5 in x 1 x 2 \u003d 6. Ostaja še izbrati takšne številke. V tem primeru je to precej preprosto: takšni številki sta 2 in 3, saj je 2+3=5 in 2 3=6 . Tako sta 2 in 3 koreni te kvadratne enačbe.

Izrek, nasproten Vietinemu izreku, je še posebej primeren za iskanje drugega korena reducirane kvadratne enačbe, ko je eden od korenov že znan ali očiten. V tem primeru se drugi koren najde iz katere koli relacije.

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo 512 x 2 −509 x−3=0 . Tukaj je enostavno videti, da je enota koren enačbe, saj je vsota koeficientov te kvadratne enačbe nič. Torej x 1 = 1. Drugi koren x 2 lahko najdemo na primer iz razmerja x 1 x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512 , od koder je x 2 =−3/512 . Torej smo definirali oba korena kvadratne enačbe: 1 in −3/512.

Jasno je, da je izbira korenin uporabna le v najpreprostejših primerih. V drugih primerih lahko za iskanje korenin uporabite formule korenin kvadratne enačbe skozi diskriminanto.

Druga praktična uporaba izreka, obratna Vietinemu izreku, je sestavljanje kvadratnih enačb za dani koreni x 1 in x 2. Za to je dovolj izračunati vsoto korenov, ki daje koeficient x z nasprotnim predznakom dane kvadratne enačbe, in produkt korenin, ki daje prosti člen.

Primer.

Napišite kvadratno enačbo, katere koreni sta števili −11 in 23.

Rešitev.

Označimo x 1 =−11 in x 2 =23 . Izračunamo vsoto in produkt teh številk: x 1 + x 2 = 12 in x 1 x 2 = -253. Zato so te številke korenine dane kvadratne enačbe z drugim koeficientom -12 in prostim členom -253. To pomeni, da je x 2 −12·x−253=0 želena enačba.

odgovor:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietin izrek se zelo pogosto uporablja pri reševanju nalog, povezanih s predznaki korenin kvadratnih enačb. Kako je Vietin izrek povezan s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0? Tu sta dve ustrezni izjavi:

Če je presek q pozitivno število in če ima kvadratna enačba realne korene, sta oba pozitivna ali pa sta oba negativna.
Če je prosti člen q negativno število in če ima kvadratna enačba realne korene, so njihovi predznaki različni, z drugimi besedami, en koren je pozitiven, drugi pa negativen.

Te trditve izhajajo iz formule x 1 x 2 =q, pa tudi iz pravil za množenje pozitivnih, negativnih števil in števil z različnimi predznaki. Razmislite o primerih njihove uporabe.

Primer.

R je pozitiven. Po diskriminantni formuli najdemo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vrednost izraza r 2 +8 je pozitivno za kateri koli realni r, torej D>0 za kateri koli realni r. Zato ima prvotna kvadratna enačba dva korena za vse realne vrednosti parametra r.

Zdaj pa ugotovimo, kdaj imajo korenine različne znake. Če so predznaki korenin različni, je njihov produkt negativen, po Vietinem izreku pa je produkt korenin dane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Zato nas zanimajo tiste vrednosti r, za katere je prosti člen r−1 negativen. Torej, da bi našli vrednosti r, ki nas zanimajo, moramo reši linearno neenakost r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

pri r<1 .

Vieta formule

Zgoraj smo govorili o Vietinem izreku za kvadratno enačbo in analizirali relacije, ki jih uveljavlja. Vendar obstajajo formule, ki povezujejo resnične korenine in koeficiente ne le kvadratnih enačb, ampak tudi kubičnih enačb, štirih enačb in na splošno, algebraične enačbe stopnja n. Poklicani so Vieta formule.

Napišemo Vietove formule za algebraično enačbo stopnje n oblike, pri čemer predpostavimo, da ima n realnih korenov x 1, x 2, ..., x n (med njimi so lahko enaki):

Pridobite formule Vieta izrek o faktorizaciji polinomov, kot tudi definicija enakih polinomov z enakostjo vseh njihovih ustreznih koeficientov. Torej sta polinom in njegova razširitev v linearne faktorje oblike enaka. Če odpremo oklepaje v zadnjem produktu in izenačimo ustrezne koeficiente, dobimo Vietine formule.

Zlasti za n=2 imamo že znane Vietove formule za kvadratno enačbo.

Za kubično enačbo imajo formule Vieta obliko

Omeniti je treba le, da so na levi strani Vietovih formul tako imenovani elementarni simetrični polinomi.

Bibliografija.

algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ur. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M. : Izobraževanje, 2008. - 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. ravni / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; ur. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Razsvetljenje, 2010.- 368 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Formulacija in dokaz Vietinega izreka za kvadratne enačbe. Inverzni Vietin izrek. Vietin izrek za kubične enačbe in enačbe poljubnega reda.

Vsebina

Poglej tudi: Korenine kvadratne enačbe

Kvadratne enačbe

Vietin izrek

Pustimo in označimo korenine reducirane kvadratne enačbe
(1) .
Potem je vsota korenov enaka koeficientu pri, vzetem z nasprotnim predznakom. Zmnožek korenin je enak prostemu členu:
;
.

Opomba o več koreninah

Če je diskriminanta enačbe (1) enaka nič, ima ta enačba en koren. Toda, da bi se izognili okornim formulacijam, je splošno sprejeto, da ima enačba (1) v tem primeru dva večkratna ali enaka korena:
.

Dokaz eden

Poiščimo korenine enačbe (1). Če želite to narediti, uporabite formulo za korenine kvadratne enačbe:
;
;
.

Iskanje vsote korenov:
.

Za iskanje izdelka uporabimo formulo:
.
Potem

.

Izrek je dokazan.

Dokaz dva

Če sta številki in koreni kvadratne enačbe (1), potem
.
Odpremo oklepaje.

.
Tako bo enačba (1) imela obliko:
.
V primerjavi z (1) ugotovimo:
;
.

Izrek je dokazan.

Inverzni Vietin izrek

Naj obstajajo poljubne številke. Potem sta in korenine kvadratne enačbe
,
kje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietinega obratnega izreka

Razmislite o kvadratni enačbi
(1) .
Moramo dokazati, da če in , Potem in so koreni enačbe (1).

(2) in (3) zamenjaj v (1):
.
Združimo člene leve strani enačbe:
;
;
(4) .

Nadomestek v (4):
;
.

Nadomestek v (4):
;
.
Enačba je izpolnjena. To pomeni, da je število koren enačbe (1).

Izrek je dokazan.

Vietin izrek za popolno kvadratno enačbo

Zdaj razmislite o popolni kvadratni enačbi
(5) ,
kjer , in nekaj številk. in .

Enačbo (5) delimo z:
.
To pomeni, da smo dobili zgornjo enačbo
,
kje ; .

Potem ima Vietin izrek za popolno kvadratno enačbo naslednjo obliko.

Pustimo in označimo korenine popolne kvadratne enačbe
.
Nato se vsota in produkt korenin določita s formulami:
;
.

Vietin izrek za kubično enačbo

Podobno lahko vzpostavimo povezave med koreninami kubične enačbe. Razmislite o kubični enačbi
(6) ,
kjer so , , , nekaj številk. in .
To enačbo delimo na:
(7) ,
kje , , .
Naj bodo , , korenine enačbe (7) (in enačbe (6)). Potem

.

Če primerjamo z enačbo (7), ugotovimo:
;
;
.

Vietin izrek za enačbo n. stopnje

Na enak način lahko najdete povezave med koreninami , , ... , , za enačbo n-te stopnje
.

Vietin izrek za enačbo n-te stopnje ima naslednjo obliko:
;
;
;

.

Da bi dobili te formule, zapišemo enačbo v naslednji obliki:
.
Nato izenačimo koeficiente pri , , , ... in primerjamo prosti člen.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente visokošolskih zavodov, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: učbenik za 8. razred izobraževalnih ustanov, Moskva, Izobraževanje, 2006.

Poglej tudi:

Ena od metod za reševanje kvadratne enačbe je aplikacija Formule VIETA, ki je dobil ime po FRANCOIS VIETE.

Bil je slaven odvetnik in je v 16. stoletju služil pri francoskem kralju. V prostem času je študiral astronomijo in matematiko. Vzpostavil je povezavo med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe.

Prednosti formule:

1 . Z uporabo formule lahko hitro najdete rešitev. Ker vam ni treba vnesti drugega koeficienta v kvadrat, nato od njega odšteti 4ac, poiskati diskriminanta, nadomestiti njegovo vrednost v formulo za iskanje korenin.

2 . Brez rešitve lahko določite znake korenin, poberete vrednosti korenin.

3 . Ko smo rešili sistem dveh zapisov, ni težko najti samih korenin. V zgornji kvadratni enačbi je vsota korenov enaka vrednosti drugega koeficienta s predznakom minus. Zmnožek korenov v zgornji kvadratni enačbi je enak vrednosti tretjega koeficienta.

4 . Glede na podane korene napišite kvadratno enačbo, torej rešite inverzni problem. Ta metoda se na primer uporablja pri reševanju problemov v teoretični mehaniki.

5 . Formulo je primerno uporabiti, ko je vodilni koeficient enak ena.

pomanjkljivosti:

1 . Formula ni univerzalna.