Na spletu poiščite območje elementa, omejenega s črtami. Površina ukrivljenega trapeza je številčno enaka določenemu integralu. Zaključek rešitve bi lahko izgledal takole
V tem članku se boste naučili, kako najti površino figure, omejene s črtami, z uporabo integralnih izračunov. S formuliranjem takšnega problema se prvič srečamo v srednji šoli, ko je študij določenih integralov šele končan in je čas, da se začne geometrijska interpretacija pridobljenega znanja v praksi.
Torej, kaj je potrebno za uspešno reševanje problema iskanja površine figure z uporabo integralov:
- Sposobnost pravilnega risanja risb;
- Sposobnost reševanja določenega integrala z dobro znano formulo Newton-Leibniz;
- Sposobnost "videti" bolj donosno rešitev - t.j. razumeti, kako bo v tem ali onem primeru bolj priročno izvesti integracijo? Po osi x (OX) ali osi y (OY)?
- No, kam brez pravilnih izračunov?) To vključuje razumevanje, kako rešiti to drugo vrsto integralov in pravilne numerične izračune.
Algoritem za reševanje problema izračuna površine figure, omejene s črtami:
1. Zgradimo risbo. Priporočljivo je, da to storite na kosu papirja v kletki, v velikem obsegu. S svinčnikom nad vsakim grafom podpišemo ime te funkcije. Podpis grafov je narejen izključno zaradi udobja nadaljnjih izračunov. Ko prejmete graf želene številke, bo v večini primerov takoj jasno, katere meje integracije bodo uporabljene. Tako rešimo problem grafično. Vendar se zgodi, da so vrednosti mej delne ali iracionalne. Zato lahko naredite dodatne izračune, pojdite na drugi korak.
2. Če meje integracije niso izrecno določene, potem med seboj poiščemo presečišča grafov in preverimo, ali se naša grafična rešitev ujema z analitično.
3. Nato morate analizirati risbo. Glede na to, kako se nahajajo grafi funkcij, obstajajo različni pristopi k iskanju površine figure. Razmislite o različnih primerih iskanja površine figure z uporabo integralov.
3.1. Najbolj klasična in najpreprostejša različica težave je, ko morate najti območje ukrivljenega trapeza. Kaj je krivolinijski trapez? To je ravna figura, omejena z osjo x (y=0), naravnost x = a, x = b in katera koli krivulja, neprekinjena na intervalu od a prej b. Hkrati je ta številka nenegativna in ni nižja od osi x. V tem primeru je površina krivolinijskega trapeza številčno enaka določenemu integralu, izračunanemu po formuli Newton-Leibniz:
Primer 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Katere črte določajo sliko? Imamo parabolo y = x2 - 3x + 3, ki se nahaja nad osjo OH, je nenegativna, ker vse točke te parabole so pozitivne. Nato podane ravne črte x = 1 in x = 3 ki potekajo vzporedno z osjo OU, sta mejni črti slike na levi in desni. no y = 0, ona je os x, ki omejuje sliko od spodaj. Nastala slika je osenčena, kot je prikazano na sliki na levi. V tem primeru lahko takoj začnete reševati težavo. Pred nami je preprost primer krivolinijskega trapeza, ki ga nato rešimo s formulo Newton-Leibniz.
3.2. V prejšnjem odstavku 3.1 je bil analiziran primer, ko se krivolinijski trapez nahaja nad osjo x. Zdaj razmislite o primeru, ko so pogoji problema enaki, le da funkcija leži pod osjo x. Standardni formuli Newton-Leibniza se doda minus. Kako rešiti takšno težavo, bomo razmislili še naprej.
Primer 2 . Izračunajte površino figure, omejene s črtami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
V tem primeru imamo parabolo y=x2+6x+2, ki izvira izpod osi OH, naravnost x=-4, x=-1, y=0. tukaj y = 0 omejuje želeno številko od zgoraj. Neposredno x = -4 in x = -1 to so meje, znotraj katerih se bo izračunal določen integral. Načelo reševanja problema iskanja površine figure skoraj popolnoma sovpada s primerom številka 1. Edina razlika je v tem, da podana funkcija ni pozitivna, vse pa je tudi neprekinjeno na intervalu [-4; -1] . Kaj ne pomeni pozitivno? Kot je razvidno iz slike, ima figura, ki leži znotraj danega x, izključno "negativne" koordinate, kar moramo videti in si zapomniti pri reševanju problema. Iščemo površino figure po formuli Newton-Leibniz, le s predznakom minus na začetku.
Članek ni dokončan.
Začnemo obravnavati dejanski postopek izračuna dvojnega integrala in se seznaniti z njegovim geometrijskim pomenom.
Dvojni integral je številčno enak površini ravne figure (območje integracije). To je najpreprostejša oblika dvojnega integrala, ko je funkcija dveh spremenljivk enaka eni: .
Najprej si oglejmo problem na splošno. Zdaj boste presenečeni, kako preprosto je v resnici! Izračunajmo površino ravne figure, omejene s črtami. Za določenost predpostavljamo, da na intervalu . Površina te figure je številčno enaka:
Upodobimo območje na risbi:
Izberimo prvi način za obhod območja:
V to smer:
In takoj pomemben tehnični trik: ponovljene integrale lahko obravnavamo ločeno. Najprej notranji integral, nato zunanji integral. Ta metoda je zelo priporočljiva za začetnike v temi čajnikov.
1) Izračunajte notranji integral, medtem ko se integracija izvede preko spremenljivke "y":
Nedoločen integral je tukaj najpreprostejši, nato pa se uporabi banalna Newton-Leibnizova formula, z edino razliko, da meje integracije niso številke, ampak funkcije. Najprej smo zgornjo mejo nadomestili z »y« (antiderivacijska funkcija), nato pa spodnjo mejo
2) Rezultat, dobljen v prvem odstavku, je treba nadomestiti z zunanjim integralom:
Bolj kompakten zapis za celotno rešitev je videti tako:
Dobljena formula je natančno delovna formula za izračun površine ravne figure z uporabo "navadnega" določenega integrala! Glej lekcijo Izračun površine z uporabo določenega integrala, tam je na vsakem koraku!
to je, problem izračuna površine z dvojnim integralom malo drugače iz problema iskanja površine z uporabo določenega integrala! Pravzaprav so eno in isto!
V skladu s tem ne bi smelo nastati nobenih težav! Ne bom obravnaval veliko primerov, saj ste se s to težavo v resnici že večkrat srečali.
Primer 9
rešitev: Upodobimo območje na risbi:
Izberimo naslednji vrstni red prehoda po regiji:
Tukaj in spodaj se ne bom spuščal v to, kako prečkati območje, ker je bil prvi odstavek zelo podroben.
V to smer:
Kot sem že omenil, je za začetnike bolje, da ponovljene integrale izračunajo ločeno, držal se bom iste metode:
1) Najprej z uporabo Newton-Leibnizove formule obravnavamo notranji integral:
2) Rezultat, dobljen v prvem koraku, se nadomesti z zunanjim integralom:
Točka 2 je dejansko iskanje površine ravne figure z uporabo določenega integrala.
odgovor:
Tukaj je tako neumna in naivna naloga.
Zanimiv primer za samostojno rešitev:
Primer 10
Z dvojnim integralom izračunajte površino ravne figure, omejene s črtami , ,
Primer končne rešitve na koncu lekcije.
V primerih 9-10 je veliko bolj donosno uporabiti prvo metodo obhoda območja; radovedni bralci, mimogrede, lahko spremenijo vrstni red obvoza in izračunajo površine na drugi način. Če se ne zmotite, potem seveda dobimo enake vrednosti površine.
Toda v nekaterih primerih je drugi način zaobidenja območja učinkovitejši in za zaključek tečaja za mlade piflarje si oglejmo še nekaj primerov na to temo:
Primer 11
Z dvojnim integralom izračunajte površino ravne figure, omejene s črtami.
rešitev: veselimo se dveh paraboli z vetričem, ki ležita na njuni strani. Ni se treba nasmehniti, pogosto naletimo na podobne stvari v več integralih.
Kako je najlažje narediti risbo?
Predstavimo parabolo kot dve funkciji:
- zgornja veja in - spodnja veja.
Podobno predstavljamo parabolo kot zgornjo in spodnjo vejo.
Površina slike se izračuna z dvojnim integralom po formuli:
Kaj se zgodi, če izberemo prvi način za obhod območja? Najprej bo treba to območje razdeliti na dva dela. In drugič, opazovali bomo to žalostno sliko: . Integrali seveda niso superkompleksne ravni, ampak ... obstaja star matematični pregovor: kdor je prijazen do korenin, ne potrebuje pobota.
Zato iz nesporazuma, ki je podan v pogoju, izrazimo inverzne funkcije:
Inverzne funkcije v tem primeru imajo to prednost, da takoj nastavijo celotno parabolo brez listov, želodov, vej in korenin.
Po drugi metodi bo prehod območja naslednji:
V to smer:
Kot pravijo, občutite razliko.
1) Ukvarjamo se z notranjim integralom:
Rezultat nadomestimo v zunanji integral:
Integracija nad spremenljivko "y" ne bi smela biti neprijetna, če bi obstajala črka "zyu" - bi bilo super, če bi jo integrirali. Čeprav je kdo prebral drugi odstavek lekcije Kako izračunati prostornino vrtilnega telesa, ne doživlja več niti najmanjše zadrege z integracijo nad "y".
Bodite pozorni tudi na prvi korak: integrand je soden, integracijski segment pa simetričen okoli nič. Zato lahko segment prepolovimo, rezultat pa podvojimo. Ta tehnika je podrobno opisana v lekciji. Učinkovite metode za izračun določenega integrala.
Kaj dodati…. Vse!
odgovor:
Če želite preizkusiti svojo tehniko integracije, lahko poskusite izračunati . Odgovor bi moral biti popolnoma enak.
Primer 12
Z dvojnim integralom izračunajte površino ravne figure, omejene s črtami
To je primer "naredi sam". Zanimivo je omeniti, da če poskusite uporabiti prvi način za obhod območja, potem številka ne bo več razdeljena na dva, ampak na tri dele! In v skladu s tem dobimo tri pare ponovljenih integralov. Včasih se zgodi.
Mojstrski razred se je končal in čas je, da se premaknete na raven velemojstra - Kako izračunati dvojni integral? Primeri rešitev. V drugem članku bom poskušal ne biti tako maničen =)
Želim vam uspeh!
Rešitve in odgovori:
2. primer:rešitev:
Narišite območje na risbi:
Izberimo naslednji vrstni red prehoda po regiji:
V to smer:
Pojdimo na inverzne funkcije:
V to smer:
odgovor:
4. primer:rešitev:
Pojdimo na neposredne funkcije:
Izvajajmo risbo:
Spremenimo vrstni red prehoda po območju:
odgovor:
Vrstni red prehoda območja:
V to smer:
1)
2)
odgovor:
V prejšnjem razdelku, ki je bil posvečen analizi geometrijskega pomena določenega integrala, smo dobili številne formule za izračun površine krivolinijskega trapeza:
S (G) = ∫ a b f (x) d x za zvezno in nenegativno funkcijo y = f (x) na odseku [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x za neprekinjeno in nepozitivno funkcijo y = f (x) na odseku [ a ; b] .
Te formule so uporabne za reševanje relativno preprostih problemov. Pravzaprav moramo pogosto delati z bolj zapletenimi oblikami. V zvezi s tem bomo ta razdelek posvetili analizi algoritmov za izračun površine številk, ki so omejene s funkcijami v eksplicitni obliki, t.j. kot y = f(x) ali x = g(y) .
IzrekNaj sta funkciji y = f 1 (x) in y = f 2 (x) definirani in neprekinjeni na odseku [ a ; b ] in f 1 (x) ≤ f 2 (x) za katero koli vrednost x iz [ a ; b] . Potem bo formula za izračun površine figure G, omejene s črtami x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) in y \u003d f 2 (x), videti kot S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Podobna formula bo uporabna za območje figure, omejeno s črtami y = c, y = d, x = g 1 (y) in x = g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dokaz
Analizirali bomo tri primere, za katere bo formula veljala.
V prvem primeru je ob upoštevanju aditivnosti površine vsota površin prvotne figure G in krivolinijskega trapeza G 1 enaka površini figure G 2 . To pomeni, da
Zato je S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Zadnji prehod lahko izvedemo s pomočjo tretje lastnosti določenega integrala.
V drugem primeru velja enakost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafična ilustracija bo videti takole:
Če obe funkciji nista pozitivni, dobimo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafična ilustracija bo videti takole:
Preidimo k obravnavi splošnega primera, ko y = f 1 (x) in y = f 2 (x) sekata os O x .
Točke presečišča bomo označili kot x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Te točke zlomijo segment [a; b] na n delov x i-1; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , kjer je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
posledično
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Zadnji prehod lahko izvedemo s peto lastnostjo določenega integrala.
Na grafu ponazorimo splošni primer.
Formulo S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lahko štejemo za dokazano.
In zdaj pojdimo na analizo primerov izračunavanja površine figur, ki so omejene s črtama y = f (x) in x = g (y) .
Ob upoštevanju katerega koli od primerov bomo začeli s konstrukcijo grafa. Slika nam bo omogočila, da kompleksne oblike predstavimo kot kombinacije enostavnejših oblik. Če imate težave z risanjem grafov in številk na njih, lahko preučite razdelek o osnovnih elementarnih funkcijah, geometrijski transformaciji grafov funkcij, pa tudi o risanju med pregledovanjem funkcije.
Primer 1
Treba je določiti površino figure, ki je omejena s parabolo y \u003d - x 2 + 6 x - 5 in ravnimi črtami y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Rešitev
Narišemo črte na graf v kartezičnem koordinatnem sistemu.
Na intervalu [1; 4] graf parabole y = - x 2 + 6 x - 5 se nahaja nad premo črto y = - 1 3 x - 1 2 . V zvezi s tem za pridobitev odgovora uporabimo prej pridobljeno formulo, pa tudi metodo za izračun določenega integrala z uporabo Newton-Leibnizove formule:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odgovor: S (G) = 13
Poglejmo si bolj zapleten primer.
Primer 2
Treba je izračunati površino figure, ki je omejena s črtami y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Rešitev
V tem primeru imamo samo eno ravno črto, vzporedno z osjo x. To je x = 7. To od nas zahteva, da sami poiščemo drugo mejo integracije.
Sestavimo graf in nanj postavimo črte, podane v pogoju problema.
Če imamo graf pred očmi, lahko zlahka ugotovimo, da bo spodnja meja integracije abscisa presečišča grafa z ravno črto y = x in polparabolo y = x + 2. Za iskanje abscise uporabimo enakosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Izkazalo se je, da je abscisa presečišča x = 2.
Opozarjamo vas na dejstvo, da se v splošnem primeru na risbi premici y = x + 2 , y = x sekata v točki (2 ; 2) , zato se takšni podrobni izračuni morda zdijo odveč. Tukaj smo podali tako podrobno rešitev samo zato, ker v bolj zapletenih primerih rešitev morda ni tako očitna. To pomeni, da je bolje, da koordinate presečišča premic vedno izračunamo analitično.
Na intervalu [2; 7] graf funkcije y = x se nahaja nad grafom funkcije y = x + 2. Za izračun površine uporabite formulo:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odgovor: S (G) = 59 6
Primer 3
Izračunati je treba površino figure, ki je omejena z grafi funkcij y = 1 x in y = - x 2 + 4 x - 2.
Rešitev
Narišemo črte na graf.
Določimo meje integracije. Da bi to naredili, določimo koordinate presečišč premic tako, da enačimo izraza 1 x in - x 2 + 4 x - 2 . Pod pogojem, da x ni enak nič, postane enakost 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 enakovredna enačbi tretje stopnje - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 s celimi koeficienti . Pomnilnik algoritma za reševanje takšnih enačb lahko osvežite s sklicevanjem na razdelek »Rešitev kubičnih enačb«.
Koren te enačbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Če izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 delimo z binomom x - 1, dobimo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Preostale korenine lahko najdemo iz enačbe x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2 , kjer je G obdan nad modro črto in pod rdečo črto. To nam pomaga določiti območje oblike:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odgovor: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primer 4
Treba je izračunati površino slike, ki je omejena s krivuljami y = x 3, y = - log 2 x + 1 in osjo x.
Rešitev
Postavimo vse črte na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 lahko dobimo iz grafa y = log 2 x, če ga postavimo simetrično okoli osi x in ga premaknemo za eno enoto navzgor. Enačba osi x y \u003d 0.
Označimo točke presečišča premic.
Kot je razvidno iz slike, se grafi funkcij y = x 3 in y = 0 sekata v točki (0; 0). To je zato, ker je x \u003d 0 edini pravi koren enačbe x 3 = 0.
x = 2 je edini koren enačbe - log 2 x + 1 = 0 , zato se grafa funkcij y = - log 2 x + 1 in y = 0 sekata v točki (2 ; 0) .
x = 1 je edini koren enačbe x 3 = - log 2 x + 1 . V zvezi s tem se grafi funkcij y \u003d x 3 in y \u003d - log 2 x + 1 sekata v točki (1; 1) . Zadnja izjava morda ni očitna, vendar enačba x 3 \u003d - log 2 x + 1 ne more imeti več kot enega korena, saj se funkcija y = x 3 strogo povečuje, funkcija y \u003d - log 2 x + 1 se strogo zmanjšuje.
Naslednji korak vključuje več možnosti.
Možnost številka 1
Lik G lahko predstavimo kot vsoto dveh krivolinijskih trapezov, ki se nahajata nad abscisno osjo, od katerih se prvi nahaja pod sredinsko črto na odseku x ∈ 0; 1, drugi pa je pod rdečo črto na odseku x ∈ 1; 2. To pomeni, da bo površina enaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Možnost številka 2
Sliko G lahko predstavimo kot razliko dveh številk, od katerih se prva nahaja nad osjo x in pod modro črto na odseku x ∈ 0; 2, druga pa je med rdečo in modro črto na odseku x ∈ 1; 2. To nam omogoča, da najdemo območje, kot je to:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
V tem primeru boste morali za iskanje površine uporabiti formulo v obliki S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Pravzaprav lahko črte, ki omejujejo obliko, predstavimo kot funkcije argumenta y.
Rešimo enačbi y = x 3 in - log 2 x + 1 glede na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Dobimo zahtevano območje:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Primer 5
Treba je izračunati površino figure, ki je omejena s črtami y = x, y = 2 3 x - 3, y = 1 2 x + 4.
Rešitev
Na grafikonu narišite črto z rdečo črto, ki jo poda funkcija y = x . Črto y = - 1 2 x + 4 narišite z modro barvo in črto označite s črno črto y = 2 3 x - 3.
Upoštevajte križišča.
Poiščite presečišča grafov funkcij y = x in y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i je rešitev enačbe x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rešitev enačbe ⇒ (4 ; 2) presečišča i y = x in y = - 1 2 x + 4
Poiščite presečišče grafov funkcij y = x in y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Preverite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 je rešitev enačbe ⇒ (9; 3) točka in presečišče y = x in y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ni rešitev enačbe
Poiščite presečišče premic y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) presečišča y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3
Metoda številka 1
Površino želene figure predstavimo kot vsoto površin posameznih figur.
Potem je površina figure:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda številka 2
Območje prvotne figure lahko predstavimo kot vsoto drugih dveh številk.
Nato rešimo enačbo črte za x in šele po tem uporabimo formulo za izračun površine figure.
y = x ⇒ x = y 2 rdeča črta y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 črna črta y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Torej je območje:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kot lahko vidite, se vrednosti ujemajo.
Odgovor: S (G) = 11 3
Rezultati
Da bi našli območje figure, ki je omejeno z danimi črtami, moramo na ravnini narisati črte, poiskati njihove presečišča in uporabiti formulo za iskanje površine. V tem razdelku smo pregledali najpogostejše možnosti za opravila.
Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
a)
Rešitev.
Prvi in najpomembnejši trenutek odločitve je izdelava risbe.
Naredimo risbo:
Enačba y=0 nastavi os x;
- x=-2 in x=1 - naravnost, vzporedno z osjo OU;
- y \u003d x 2 +2 - parabola, katere veje so usmerjene navzgor, z vrhom v točki (0;2).
Komentar. Za konstruiranje parabole je dovolj, da poiščemo točke njenega presečišča s koordinatnimi osemi, t.j. dajanje x=0 poiščite presečišče z osjo OU in rešite ustrezno kvadratno enačbo, poiščite presečišče z osjo Oh .
Vrh parabole je mogoče najti s formulami:
Lahko rišete črte in točko za točko.
Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nahajajo čez os Ox , zato:
odgovor: S \u003d 9 kvadratnih enot
Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, vnesenih jih bo približno 9, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi imeli, recimo, odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je bila očitno nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne ustreza zadevni številki, največ ducat. Če se je izkazalo, da je bil odgovor negativen, je bila naloga tudi napačno rešena.
Kaj storiti, če se nahaja krivolinijski trapez pod osjo Oh?
b) Izračunajte površino figure, omejene s črtami y=-e x , x=1 in koordinatne osi.
Rešitev.
Naredimo risbo.
Če je krivolinijski trapez popolnoma pod osjo Oh , potem lahko njegovo površino najdemo po formuli:
odgovor: S=(e-1) kv. enota" 1,72 kv. enota
Pozor! Ne zamenjujte obeh vrst nalog:
1) Če se od vas zahteva, da rešite samo določen integral brez geometrijskega pomena, je lahko negativen.
2) Če vas prosimo, da poiščete površino figure z uporabo določenega integrala, je površina vedno pozitivna! Zato se minus pojavi v pravkar obravnavani formuli.
V praksi se najpogosteje figura nahaja v zgornji in spodnji polravnini.
z) Poiščite površino ravne figure, omejene s črtami y = 2x-x 2, y = -x.
Rešitev.
Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri izdelavi risbe v območnih problemih najbolj zanimajo presečišča premic. Poiščimo presečišča parabole in premice.To lahko storimo na dva načina. Prvi način je analitičen.
Rešimo enačbo:
Torej spodnja meja integracije a=0 , zgornja meja integracije b=3 .
|
Gradimo dane premice: 1. Parabola - oglišče v točki (1;1); presečišče osi Oh - točke (0;0) in (0;2). 2. Ravna črta - simetrala 2. in 4. koordinatnega kota. In zdaj Pozor! Če v intervalu [ a; b] neka neprekinjena funkcija f(x) večja ali enaka neki neprekinjeni funkciji g(x), potem lahko površino ustrezne figure najdemo po formuli: . In ni pomembno, kje se figura nahaja - nad osjo ali pod osjo, vendar je pomembno, kateri grafikon je VIŠJI (glede na drug grafikon) in kateri SPOD. V obravnavanem primeru je očitno, da se na odseku parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od |
Črte je mogoče konstruirati točko za točko, medtem ko se meje integracije ugotavljajo kot "same od sebe". Kljub temu je treba analitično metodo iskanja mej še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali če navojna konstrukcija ni razkrila meja integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne).
Želena slika je omejena s parabolo od zgoraj in ravno črto od spodaj.
Na segmentu po ustrezni formuli:
odgovor: S \u003d 4,5 kvadratnih enot
Vsak določen integral (ki obstaja) ima zelo dober geometrijski pomen. V razredu sem rekel, da je določen integral število. In zdaj je čas, da navedemo še eno koristno dejstvo. Z vidika geometrije je določen integral OBMOČJE.
to je, določen integral (če obstaja) geometrijsko ustreza površini neke figure. Na primer, upoštevajte določen integral. Integrand definira določeno krivuljo na ravnini (po želji jo je vedno mogoče narisati), sam določen integral pa je številčno enak površini ustreznega krivolinijskega trapeza.
Primer 1
To je tipična izjava o nalogi. Prvi in najpomembnejši trenutek odločitve je izdelava risbe. Poleg tega je treba risbo zgraditi PRAV.
Pri izdelavi načrta priporočam naslednji vrstni red: najprej bolje je zgraditi vse vrstice (če obstajajo) in samo po- parabole, hiperbole, grafi drugih funkcij. Grafi funkcij so bolj donosni za gradnjo točko za točko, tehniko točkovne konstrukcije najdemo v referenčnem gradivu.
Tam lahko najdete tudi gradivo, ki je zelo uporabno v zvezi z našo lekcijo – kako hitro sestaviti parabolo.
V tem problemu bi lahko rešitev izgledala takole.
Naredimo risbo (upoštevajte, da enačba definira os):
Ne bom izvalil ukrivljenega trapeza, očitno je, o katerem območju govorimo. Rešitev se nadaljuje takole:
Na segmentu se nahaja graf funkcije čez os, zato:
odgovor:
Za tiste, ki imate težave pri izračunu določenega integrala in uporabi Newton-Leibnizove formule, si oglejte predavanje Določen integral. Primeri rešitev.
Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. V tem primeru "na oko" preštejemo število celic na risbi - no, vnesenih jih bo približno 9, zdi se, da je res. Povsem jasno je, da če bi imeli, recimo, odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je bila očitno nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne ustreza zadevni številki, največ ducat. Če se je izkazalo, da je bil odgovor negativen, je bila naloga tudi napačno rešena.
Primer 2
Izračunajte površino figure, omejeno s črtami , , in osjo
To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Kaj storiti, če se nahaja krivolinijski trapez pod osjo?
Primer 3
Izračunajte površino figure, omejeno s črtami in koordinatnimi osmi.
Rešitev: Naredimo risbo:
Če je krivolinijski trapez popolnoma pod osjo, potem lahko njegovo površino najdemo po formuli:
V tem primeru:
Pozor! Ne smemo zamenjevati dveh vrst nalog:
1) Če se od vas zahteva, da rešite samo določen integral brez geometrijskega pomena, je lahko negativen.
2) Če vas prosimo, da poiščete površino figure z uporabo določenega integrala, je površina vedno pozitivna! Zato se minus pojavi v pravkar obravnavani formuli.
V praksi se najpogosteje figura nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini, zato od najpreprostejših šolskih problemov preidemo na bolj smiselne primere.
Primer 4
Poiščite površino ravne figure, omejene s črtami, .
Rešitev: Najprej morate narediti risbo. Na splošno nas pri izdelavi risbe v območnih problemih najbolj zanimajo presečišča premic. Poiščimo presečišča parabole in premice. To je mogoče storiti na dva načina. Prvi način je analitičen. Rešimo enačbo:
Zato je spodnja meja integracije, zgornja meja integracije.
Bolje je, da te metode ne uporabljate, če je mogoče.
Veliko bolj donosno in hitreje je graditi črte točko za točko, medtem ko se meje integracije ugotavljajo, kot da bi bile same od sebe. Tehnika gradnje po točkah za različne karte je podrobno obravnavana v pomoči Grafi in lastnosti elementarnih funkcij. Kljub temu je treba analitično metodo iskanja mej še vedno včasih uporabiti, če je na primer graf dovolj velik ali če navojna konstrukcija ni razkrila meja integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne). In tak primer bomo tudi upoštevali.
Vrnimo se k naši nalogi: bolj racionalno je najprej zgraditi ravno črto in šele nato parabolo. Naredimo risbo:
Ponavljam, da se pri točkovni konstrukciji meje integracije največkrat ugotavljajo »avtomatsko«.
In zdaj delovna formula:Če je na segmentu neka neprekinjena funkcija večji ali enak neka neprekinjena funkcija, potem lahko površino ustrezne figure najdemo po formuli:
Tukaj ni več treba razmišljati o tem, kje se figura nahaja - nad osjo ali pod osjo, in, grobo rečeno, pomembno je kateri grafikon je ZGORAJ(glede na drug graf), in kateri je SPODAJ.
V obravnavanem primeru je očitno, da se na odseku parabola nahaja nad ravno črto, zato je treba odšteti od
Zaključek rešitve bi lahko izgledal takole:
Želena slika je omejena s parabolo od zgoraj in ravno črto od spodaj.
odgovor:
Pravzaprav je šolska formula za površino ukrivljenega trapeza v spodnji polravnini (glej preprost primer št. 3) poseben primer formule. Ker je os podana z enačbo, graf funkcije pa se nahaja pod osjo, potem
In zdaj nekaj primerov za samostojno odločitev
Primer 5
Primer 6
Poiščite površino figure, ki jo obdajajo črte, .
Med reševanjem problemov za izračun površine z uporabo določenega integrala se včasih zgodi smešen incident. Risba je bila narejena pravilno, izračuni so bili pravilni, vendar zaradi nepazljivosti ... našel območje napačne figure, tako je tvoj ubogljivi hlapec večkrat zajebal. Tukaj je primer iz resničnega življenja:
Primer 7
Izračunajte površino figure, omejene s črtami , , , .
Najprej narišemo:
Slika, katere območje moramo najti, je osenčena z modro.(pozorno poglejte stanje - kako je številka omejena!). Toda v praksi se zaradi nepazljivosti pogosto zgodi, da morate najti območje figure, ki je osenčeno v zeleno!
Ta primer je uporaben tudi zato, ker se v njem površina figure izračuna z uporabo dveh določenih integralov. res:
1) Na odseku nad osjo je premočrtni graf;
2) Na odseku nad osjo je graf hiperbole.
Povsem očitno je, da se področja lahko (in bi morala) dodati, torej:
odgovor:
Primer 8
Izračunajte površino figure, omejene s črtami,
Predstavimo enačbe v "šolski" obliki in naredimo risbo od točke do točke:
Iz risbe je razvidno, da je naša zgornja meja »dobra«: .
Toda kaj je spodnja meja? Jasno je, da to ni celo število, ampak kaj? mogoče ? Toda kje je zagotovilo, da je risba narejena s popolno natančnostjo, se lahko izkaže, da je to. Ali root. Kaj pa, če sploh nismo pravilno začrtali?
V takih primerih je treba porabiti dodaten čas in analitično izboljšati meje integracije.
Poiščimo presečišča premice in parabole.
Za to rešimo enačbo:
Posledično,.
Nadaljnja rešitev je trivialna, glavna stvar je, da se ne zmedete v zamenjavah in znakih, izračuni tukaj niso najlažji.
Na segmentu po ustrezni formuli:
No, v zaključku lekcije bomo obravnavali dve težji nalogi.
Primer 9
Izračunajte površino figure, omejene s črtami, ,
Rešitev: Nariši to sliko na risbo.
Za točkovno konstruiranje risbe je potrebno poznati videz sinusoide (in na splošno je koristno vedeti grafe vseh osnovnih funkcij), pa tudi nekaj sinusnih vrednosti, ki jih lahko najdete v trigonometrična miza. V nekaterih primerih (kot v tem primeru) je dovoljena izdelava shematske risbe, na kateri morajo biti grafi in meje integracije načeloma pravilno prikazani.
Z mejami integracije tukaj ni težav, izhajajo neposredno iz pogoja: - "x" se spremeni iz nič v "pi". Sprejmemo nadaljnjo odločitev:
Na segmentu se graf funkcije nahaja nad osjo, torej:
(1) Kako so sinusi in kosinusi integrirani v lihe potence, si lahko ogledate v lekciji Integrali trigonometričnih funkcij. To je tipična tehnika, odščipnimo en sinus.
(2) Osnovno trigonometrično istovetnost uporabljamo v obliki
(3) Spremenimo spremenljivko , nato:
Nove prerazporeditve integracije:
Kdo se res slabo ukvarja z zamenjavami, naj prosim pojdi na lekcijo Metoda zamenjave v nedoločenem integralu. Za tiste, ki jim algoritem zamenjave v določenem integralu ni zelo jasen, obiščite stran Določen integral. Primeri rešitev. Primer 5: Rešitev: torej:
odgovor:
Opomba: Upoštevajte, kako se vzame integral tangente v kocki, tukaj je uporabljena posledica osnovne trigonometrične identitete.
