Pesmi za otroke

Izračun razmerij in razmerij. Kako se izračuna delež? Kakšno je razmerje

Formula razmerja

Delež je enakost dveh razmerij, ko je a:b=c:d

razmerje 1 : 10 je enako razmerju 7 : 70, ki ga lahko zapišemo tudi kot ulomek: 1 10 = 7 70 se glasi: "ena je do deset kot sedem je do sedemdeset"

Osnovne lastnosti razmerja

Zmnožek skrajnih členov je enak zmnožku srednjih členov (navzkrižno): če je a:b=c:d , potem je a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inverzija razmerja: če je a:b=c:d , potem b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutacija srednjih članov: če je a:b=c:d , potem a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutacija skrajnih članov: če je a:b=c:d , potem d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Reševanje razmerja z eno neznano | Enačba

1 : 10 = x : 70 oz 1 10 = x 70

Če želite najti x, morate dve znani številki pomnožiti navzkrižno in deliti z nasprotno vrednostjo

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kako izračunati delež

Naloga: morate piti 1 tableto aktivnega oglja na 10 kilogramov teže. Koliko tablet je treba vzeti, če oseba tehta 70 kg?

Naredimo razmerje: 1 tableta - 10 kg x tablete - 70 kg Če želite najti x, morate dve znani številki pomnožiti navzkrižno in deliti z nasprotno vrednostjo: 1 tableta x tablete✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 odgovor: 7 tablet

Naloga: Vasya v petih urah napiše dva članka. Koliko člankov bo napisal v 20 urah?

Naredimo razmerje: 2 članka - 5 ur xčlanki - 20 ur x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 odgovor: 8 člankov

Bodočim maturantom lahko rečem, da mi je bila sposobnost oblikovanja proporcev koristna tako za sorazmerno zmanjšanje slik, kot pri postavitvi HTML spletne strani in v vsakdanjih situacijah.

Odnos je določen odnos med entitetami našega sveta. To so lahko številke, fizikalne količine, predmeti, izdelki, pojavi, dejanja in celo ljudje.

V vsakdanjem življenju, ko gre za razmerja, rečemo "razmerje tega in onega". Na primer, če so v vazi 4 jabolka in 2 hruški, potem rečemo razmerje med jabolko in hruško razmerje hruške in jabolka.

V matematiki se razmerje pogosto uporablja kot "odnos nečesa do nečesa". Na primer, razmerje štirih jabolk in dveh hrušk, ki smo ga obravnavali zgoraj, bo v matematiki prebrano kot "razmerje štiri jabolka proti dve hruški" ali če zamenjaš jabolka in hruške, potem "razmerje dveh hrušk proti štirim jabolkom".

Razmerje je izraženo kot a do b(kje namesto a in b poljubne številke), pogosteje pa lahko najdete vnos, ki je sestavljen z dvopičjem kot a:b. Ta vnos lahko preberete na različne načine:

a do b
a se nanaša na b
odnos a do b

Zapišemo razmerje štirih jabolk in dveh hrušk s simbolom razmerja:

4: 2

Če zamenjamo jabolka in hruške, bomo imeli razmerje 2: 4. To razmerje lahko beremo kot "dva do štiri" ali karkoli "dve hruške sta enaki štirim jabolkom" .

V nadaljevanju bomo relacijo omenjali kot relacijo.

Vsebina lekcije

Kaj je odnos?

Relacija, kot smo že omenili, je zapisana kot a:b. Lahko se zapiše tudi kot ulomek. In vemo, da takšen zapis v matematiki pomeni delitev. Potem bo rezultat relacije količnik števil a in b.

V matematiki je razmerje količnik dveh števil.

Razmerje vam omogoča, da ugotovite, koliko enega subjekta je na enoto drugega. Vrnimo se k razmerju štiri jabolka proti dve hruški (4:2). To razmerje nam bo omogočilo, da ugotovimo, koliko jabolk je na enoto hruške. Enota pomeni eno hruško. Najprej zapišimo razmerje 4:2 kot ulomek:

To razmerje je deljenje števila 4 s številom 2. Če izvedemo to deljenje, bomo dobili odgovor na vprašanje, koliko jabolk je na enoto hruške.

Dobili smo 2. Torej so štiri jabolka in dve hruški (4:2) v korelaciji (med seboj povezani), tako da sta dve jabolki na hruško

Slika prikazuje, kako se med seboj nanašajo štiri jabolka in dve hruški. Vidi se, da sta za vsako hruško dve jabolki.

Razmerje lahko obrnete tako, da zapišete kot . Nato dobimo razmerje dveh hrušk in štirih jabolk oziroma »razmerje dveh hrušk proti štirim jabolkom«. To razmerje bo pokazalo, koliko hrušk je na enoto jabolka. Enota jabolka pomeni eno jabolko.

Če želite najti vrednost ulomka, se morate spomniti, kako deliti manjše število z večjim.

Dobil 0,5. Pretvorimo ta decimalni ulomek v navadnega:

Zmanjšajte nastali navadni ulomek za 5

Dobil odgovor (pol hruške). Torej sta dve hruški in štiri jabolka (2:4) povezani (med seboj povezani), tako da eno jabolko predstavlja polovico hruške

Slika prikazuje, kako sta med seboj povezana dve hruški in štiri jabolka. Vidi se, da je za vsako jabolko pol hruške.

Številke, ki sestavljajo razmerje, se imenujejo člani razmerja. Na primer, v razmerju 4:2 sta člana številki 4 in 2.

Razmislite o drugih primerih odnosov. Recept je narejen za pripravo nečesa. Recept je sestavljen iz razmerij med izdelki. Na primer, za pripravo ovsene kaše običajno potrebujete kozarec žitaric na dva kozarca mleka ali vode. To ima za posledico razmerje 1:2 ("en proti dvema" ali "en kozarec žit na dva kozarca mleka").

Pretvorimo razmerje 1: 2 v ulomek, dobimo. Če izračunamo ta ulomek, dobimo 0,5. En kozarec žitaric in dva kozarca mleka sta torej povezana (korelirana), tako da je za en kozarec mleka pol kozarca žitaric.

Če obrnete razmerje 1:2, dobite razmerje 2:1 ("dva proti enem" ali "dva kozarca mleka na en kozarec žit"). Če pretvorimo razmerje 2:1 v ulomek, dobimo. Če izračunamo ta ulomek, dobimo 2. Torej sta dva kozarca mleka in en kozarec žitarica povezana (med seboj v korelaciji), tako da sta za en kozarec žita dva kozarca mleka.

Primer 2 V razredu je 15 učencev. Od tega je 5 fantov, 10 deklet. Možno je zapisati razmerje med dekleti in fanti 10:5 in to razmerje pretvoriti v ulomek. Če izračunamo ta ulomek, dobimo 2. To pomeni, da so dekleta in fantje med seboj povezani, tako da sta za vsakega fanta dve deklici

Slika prikazuje, kako se deset deklet in pet fantov povezujejo drug z drugim. Vidi se, da sta na vsakega fanta dve deklici.

Ni vedno mogoče pretvoriti razmerja v ulomek in najti količnik. V nekaterih primerih bo nelogično.

Torej, če obrnete razmerje na glavo, je to razmerje med fanti in dekleti. Če izračunate ta ulomek, dobite 0,5. Izkazalo se je, da je pet fantov v sorodu z desetimi dekleti, tako da je za vsako dekle pol fanta. Matematično je to seveda res, a z vidika realnosti ni povsem razumno, saj je fant živ človek in ga ni mogoče kar tako vzeti in razdeliti kot hruško ali jabolko.

Sposobnost oblikovanja pravega odnosa je pomembna veščina pri reševanju problemov. Torej je v fiziki razmerje med prevoženo razdaljo in časom hitrost gibanja.

Razdalja je označena s spremenljivko S, čas - skozi spremenljivko t, hitrost - skozi spremenljivko v. Nato stavek "razmerje med prevoženo razdaljo in časom je hitrost gibanja" bo opisan z naslednjim izrazom:

Recimo, da avto prevozi 100 kilometrov v 2 urah. Potem bo razmerje 100 prevoženih kilometrov in 2 uri hitrost avtomobila:

Hitrost je razdalja, ki jo prepotuje telo na enoto časa. Časovna enota je 1 ura, 1 minuta ali 1 sekunda. In razmerje, kot je bilo že omenjeno, vam omogoča, da ugotovite, koliko enega subjekta je na enoto drugega. V našem primeru razmerje sto kilometrov proti dve uri kaže, koliko kilometrov je za eno uro gibanja. Vidimo, da je za vsako uro gibanja 50 kilometrov

Torej se hitrost meri v km/h, m/min, m/s. Simbol ulomka (/) označuje razmerje med razdaljo in časom: kilometrov na uro , metrov na minuto in metrov na sekundo oz.

Primer 2. Razmerje med vrednostjo blaga in njegovo količino je cena ene enote blaga.

Če smo v trgovini vzeli 5 čokoladnih ploščic in je njihov skupni strošek znašal 100 rubljev, potem lahko določimo ceno ene ploščice. Če želite to narediti, morate najti razmerje sto rubljev do števila palic. Potem dobimo, da ena palica znaša 20 rubljev

Primerjava vrednot

Prej smo izvedeli, da razmerje med količinami različne narave tvori novo količino. Tako je razmerje med prevoženo razdaljo in časom hitrost gibanja. Razmerje med vrednostjo blaga in njegovo količino je cena ene enote blaga.

Toda razmerje se lahko uporabi tudi za primerjavo vrednosti. Rezultat takšne relacije je število, ki kaže, kolikokrat je prva vrednost večja od druge ali kateri del je prva vrednost od druge.

Če želite ugotoviti, kolikokrat je prva vrednost večja od druge, morate v števec razmerja zapisati večjo vrednost, v imenovalec pa manjšo vrednost.

Če želite izvedeti, kateri del je prva vrednost od druge, morate v števec razmerja zapisati manjšo vrednost, v imenovalec pa večjo.

Razmislimo o številih 20 in 2. Ugotovimo, kolikokrat je število 20 večje od števila 2. Za to poiščemo razmerje med številom 20 in številom 2. V števec razmerja zapišimo število 20 , in število 2 v imenovalcu

Vrednost tega razmerja je deset

Razmerje med številom 20 in številom 2 je število 10. To število kaže, kolikokrat je število 20 večje od števila 2. Torej je število 20 desetkrat večje od števila 2.

Primer 2 V razredu je 15 učencev. Med njimi je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikokrat več deklet kot fantov.

Zapišite odnos deklet do fantov. V števec razmerja zapišemo število deklet, v imenovalcu razmerja - število fantov:

Vrednost tega razmerja je 2. To pomeni, da je v razredu 15 dvakrat več deklet kot fantov.

Ni več vprašanje, koliko deklet je za enega fanta. V tem primeru se razmerje uporablja za primerjavo števila deklet s številom fantov.

Primer 3. Kateri del števila 2 je od števila 20.

Najdemo razmerje med številom 2 in številom 20. V števec razmerja zapišemo število 2, v imenovalec pa število 20

Če želite najti pomen tega odnosa, se morate spomniti,

Vrednost razmerja med številom 2 in številom 20 je število 0,1

V tem primeru lahko decimalni ulomek 0,1 pretvorimo v navadnega. Ta odgovor bo lažje razumeti:

Torej je številka 2 od števila 20 ena desetina.

Lahko opravite pregled. Če želite to narediti, bomo našli iz številke 20. Če smo naredili vse pravilno, bi morali dobiti številko 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Dobili smo številko 2. Torej je desetina števila 20 število 2. Iz tega sklepamo, da je bila naloga pravilno rešena.

Primer 4 V razredu je 15 ljudi. Med njimi je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikšen delež od skupnega števila učencev predstavljajo fantje.

Zapišemo razmerje fantov do skupnega števila učencev. V števec razmerja zapišemo pet fantov, v imenovalec pa skupno število šolarjev. Skupno število šolarjev je 5 fantov plus 10 deklet, zato v imenovalec razmerja zapišemo število 15

Če želite najti vrednost tega razmerja, se morate spomniti, kako deliti manjše število z večjim. V tem primeru je treba število 5 deliti s številom 15

Ko delite 5 s 15, dobite periodični ulomek. Pretvorimo ta ulomek v navaden

Dobil končni odgovor. Fantje torej predstavljajo tretjino celotnega razreda

Slika prikazuje, da je v razredu 15 učencev tretjina razreda 5 fantov.

Če za preverjanje najdemo med 15 šolarji, bomo dobili 5 fantov

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

Primer 5 Kolikokrat je število 35 večje od števila 5?

Zapišemo razmerje med številom 35 in številom 5. V števec razmerja morate napisati število 35, v imenovalec - število 5, ne pa obratno

Vrednost tega razmerja je 7. Torej je število 35 sedemkrat večje od števila 5.

Primer 6 V razredu je 15 ljudi. Med njimi je 5 fantov, 10 deklet. Ugotovite, kolikšen delež v skupnem številu predstavljajo dekleta.

Zapišemo razmerje deklet in skupnega števila učencev. V števec razmerja zapišemo deset deklet, v imenovalec pa skupno število šolarjev. Skupno število šolarjev je 5 fantov plus 10 deklet, zato v imenovalec razmerja zapišemo število 15

Če želite najti vrednost tega razmerja, se morate spomniti, kako deliti manjše število z večjim. V tem primeru je treba število 10 deliti s številom 15

Ko delite 10 s 15, dobite periodični ulomek. Pretvorimo ta ulomek v navaden

Zmanjšajmo dobljeni ulomek za 3

Dobil končni odgovor. Tako dekleta predstavljajo dve tretjini celotnega razreda

Slika prikazuje, da je v razredu 15 učencev dve tretjini razreda 10 deklet.

Če za preverjanje najdemo 15 šolarjev, potem dobimo 10 deklet

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

Primer 7 Kateri del 10 cm je 25 cm

Zapišite razmerje deset centimetrov proti petindvajset centimetrov. V števcu razmerja zapišemo 10 cm, v imenovalcu - 25 cm

Če želite najti vrednost tega razmerja, se morate spomniti, kako deliti manjše število z večjim. V tem primeru je treba število 10 deliti s številom 25

Pretvorimo nastali decimalni ulomek v navaden

Zmanjšajmo dobljeni ulomek za 2

Dobil končni odgovor. Torej 10 cm je 25 cm.

Primer 8 Kolikokrat je 25 cm večji od 10 cm

Zapišite razmerje med petindvajsetimi in desetimi centimetri. V števcu razmerja zapišemo 25 cm, v imenovalcu - 10 cm

Dobil sem odgovor 2.5. Torej je 25 cm 2,5-krat več kot 10 cm (dvakrat in pol)

Pomembna opomba. Pri iskanju razmerja istih fizikalnih veličin je treba te količine izraziti v eni merski enoti, sicer bo odgovor napačen.

Na primer, če imamo opravka z dvema dolžinama in želimo vedeti, kolikokrat je prva dolžina večja od druge ali kateri del je prva dolžina od druge, potem je treba obe dolžini najprej izraziti v eni merski enoti.

Primer 9 Kolikokrat je 150 cm več kot 1 meter?

Najprej se prepričajmo, da sta obe dolžini izraženi v isti enoti. Če želite to narediti, pretvorite 1 meter v centimetre. En meter je sto centimetrov

1 m = 100 cm

Zdaj najdemo razmerje sto petdeset centimetrov do sto centimetrov. V števcu razmerja zapišemo 150 centimetrov, v imenovalcu - 100 centimetrov

Poiščimo vrednost te relacije

Dobil sem odgovor 1.5. Torej je 150 cm več kot 100 cm za 1,5-krat (en in pol).

In če ne bi začeli pretvarjati metrov v centimetre in takoj poskušali najti razmerje 150 cm do enega metra, bi dobili naslednje:

Izkazalo bi se, da je 150 cm stopetdesetkrat več kot en meter, vendar to ni res. Zato je nujno biti pozoren na merske enote fizikalnih veličin, ki so vključene v relacijo. Če so te količine izražene v različnih merskih enotah, potem morate za iskanje razmerja med temi količinami iti na eno mersko enoto.

Primer 10 Prejšnji mesec je bila plača osebe 25.000 rubljev, ta mesec pa se je plača povečala na 27.000 rubljev. Ugotovite, za koliko se je povečala plača

Zapišemo razmerje sedemindvajset tisoč proti petindvajset tisoč. V števcu razmerja zapišemo 27000, v imenovalcu - 25000

Poiščimo vrednost te relacije

Dobil sem odgovor 1.08. Tako se je plača povečala za 1,08-krat. V prihodnosti, ko se bomo seznanili z odstotki, bomo kazalnike, kot je plača, izrazili v odstotkih.

Primer 11. Stanovanjska hiša je široka 80 metrov in visoka 16 metrov. Kolikokrat je širina hiše večja od njene višine?

Zapišemo razmerje med širino hiše in njeno višino:

Vrednost tega razmerja je 5. To pomeni, da je širina hiše petkratna njena višina.

lastnost razmerja

Razmerje se ne bo spremenilo, če njegove člene pomnožimo ali delimo z istim številom.

Ta ena najpomembnejših lastnosti relacije izhaja iz lastnosti količnika. Vemo, da če se dividenda in delilec pomnožita ali delita z istim številom, se količnik ne bo spremenil. In ker razmerje ni nič drugega kot deljenje, zanj deluje tudi lastnost količnika.

Vrnimo se k odnosu deklet do fantov (10:5). To razmerje je pokazalo, da sta na vsakega fanta dve deklici. Preverimo, kako deluje lastnost relacije, in sicer poskusimo njene člane pomnožiti ali deliti z istim številom.

V našem primeru je bolj priročno deliti člene relacije z njihovim največjim skupnim deliteljem (GCD).

GCD članov 10 in 5 je število 5. Zato lahko člene relacije delite s številom 5

Dobil nov odnos. To je razmerje dva proti ena (2:1). To razmerje, tako kot prejšnje razmerje 10:5, kaže, da sta na vsakega fanta dve deklici.

Slika prikazuje razmerje 2:1 (dva proti ena). Kot v prejšnjem razmerju 10:5, sta dve deklici na fanta. Z drugimi besedami, odnos se ni spremenil.

Primer 2. V enem razredu je 10 deklet in 5 fantov. V drugem razredu je 20 deklet in 10 fantov. Kolikokrat več deklet je v prvem razredu kot fantov? Kolikokrat več deklet kot fantov v drugem razredu?

V obeh razredih je dvakrat več deklet kot fantov, saj sta razmerja in enaka enakemu številu.

Lastnost razmerja vam omogoča, da zgradite različne modele, ki imajo podobne parametre kot resnični objekt. Recimo, da je stanovanjska hiša široka 30 metrov in visoka 10 metrov.

Če želite narisati podobno hišo na papir, jo morate narisati v enakem razmerju 30:10.

Oba člena tega razmerja delimo s številom 10. Nato dobimo razmerje 3:1. To razmerje je 3, tako kot prejšnje razmerje 3

Pretvorite metre v centimetre. 3 metre je 300 centimetrov, 1 meter pa 100 centimetrov.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Imamo razmerje 300 cm: 100 cm. To razmerje delimo s 100. Dobimo razmerje 3 cm: 1 cm. Zdaj lahko narišemo hišo širine 3 cm in višine 1 cm.

Seveda je narisana hiša veliko manjša od prave hiše, vendar razmerje med širino in višino ostaja nespremenjeno. To nam je omogočilo, da narišemo hišo čim bližje pravi.

Odnos je mogoče razumeti tudi drugače. Sprva je bilo rečeno, da ima prava hiša širino 30 metrov in višino 10 metrov. Skupno je 30 + 10, torej 40 metrov.

Teh 40 metrov lahko razumemo kot 40 delov. Razmerje 30:10 pomeni 30 delov za širino in 10 delov za višino.

Nadalje smo člane razmerja 30:10 delili z 10. Rezultat je bilo razmerje 3:1. To razmerje lahko razumemo kot 4 dele, od katerih trije padejo na širino, eden na višino. V tem primeru morate običajno natančno ugotoviti, koliko metrov na širino in višino.

Z drugimi besedami, ugotoviti morate, koliko metrov pade na 3 dele in koliko metrov pade na 1 del. Najprej morate ugotoviti, koliko metrov pade na en del. Če želite to narediti, je treba skupnih 40 metrov deliti s 4, saj so le štirje deli v razmerju 3: 1

Ugotovimo, koliko metrov je širina:

10 m × 3 = 30 m

Ugotovimo, koliko metrov pade na višino:

10 m × 1 = 10 m

Več članov razmerja

Če je v odnosu danih več članov, jih lahko razumemo kot dele nečesa.

Primer 1. Kupil 18 jabolk. Ta jabolka so bila razdeljena med mamo, očeta in hčerko v razmerju 2: 1: 3. Koliko jabolk je dobil vsak?

Razmerje 2: 1: 3 pomeni, da je mati prejela 2 dela, oče - 1 del, hči - 3 dele. Z drugimi besedami, vsak član razmerja 2:1:3 je določen delež 18 jabolk:

Če dodate pogoje razmerja 2: 1: 3, lahko ugotovite, koliko delov je skupaj:

2 + 1 + 3 = 6 (delov)

Ugotovite, koliko jabolk pade na en del. Če želite to narediti, delite 18 jabolk s 6

18:6 = 3 (jabolka na del)

Zdaj pa ugotovimo, koliko jabolk je prejel vsak. Če pomnožite tri jabolka z vsakim članom v razmerju 2:1:3, lahko ugotovite, koliko jabolk je dobila mama, koliko oče in koliko hči.

Ugotovite, koliko jabolk je dobila mama:

3 × 2 = 6 (jabolka)

Ugotovite, koliko jabolk je dobil oče:

3 × 1 = 3 (jabolka)

Ugotovite, koliko jabolk je hčerka prejela:

3 × 3 = 9 (jabolka)

Primer 2. Novo srebro (alpaka) je zlitina niklja, cinka in bakra v razmerju 3:4:13. Koliko kilogramov posamezne kovine je treba vzeti, da dobimo 4 kg novega srebra?

4 kilogrami novega srebra bodo vsebovali 3 dele niklja, 4 dele cinka in 13 delov bakra. Najprej ugotovimo, koliko delov bo v štirih kilogramih srebra:

3 + 4 + 13 = 20 (deli)

Določite, koliko kilogramov bo padlo na en del:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Ugotovimo, koliko kilogramov niklja bo vsebovalo 4 kg novega srebra. V razmerju 3:4:13 naj bi trije deli zlitine vsebovali nikelj. Torej pomnožimo 0,2 s 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg niklja

Zdaj pa ugotovimo, koliko kilogramov cinka bo vsebovalo 4 kg novega srebra. V razmerju 3:4:13 naj bi štirje deli zlitine vsebovali cink. Torej pomnožimo 0,2 s 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg cinka

Zdaj pa ugotovimo, koliko kilogramov bakra bo vsebovalo 4 kg novega srebra. V razmerju 3:4:13 naj bi trinajst delov zlitine vsebovalo baker. Zato pomnožimo 0,2 s 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg bakra

Torej, da bi dobili 4 kg novega srebra, morate vzeti 0,6 kg niklja, 0,8 kg cinka in 2,6 kg bakra.

Primer 3. Medenina je zlitina bakra in cinka, katere masno razmerje je 3:2. Za izdelavo kosa medenine je potrebnih 120 g bakra. Koliko cinka je potrebno za izdelavo tega kosa medenine?

Ugotovimo, koliko gramov zlitine pade na en del. Pogoj pravi, da je za izdelavo kosa medenine potrebno 120 g bakra. Rečeno je tudi, da trije deli zlitine vsebujejo baker. Če 120 delimo s 3, ugotovimo, koliko gramov zlitine je v enem delu:

120: 3 = 40 gramov na kos

Zdaj pa ugotovimo, koliko cinka je potrebno za izdelavo kosa medenine. Da bi to naredili, pomnožimo 40 gramov z 2, saj je v razmerju 3: 2 navedeno, da dva dela vsebujeta cink:

40 g × 2 = 80 gramov cinka

Primer 4. Vzeli so dve zlitini zlata in srebra. V eni je razmerje teh kovin 1:9, v drugi pa 2:3. Koliko od vsake zlitine je treba vzeti, da bi dobili 15 kg nove zlitine, v kateri bi bilo zlato in srebro v razmerju 1:4?

Rešitev

15 kg nove zlitine naj bo v razmerju 1: 4. To razmerje pomeni, da bo en del zlitine imel zlato, štirje deli pa srebro. Skupno je pet delov. Shematično je to mogoče predstaviti na naslednji način

Določimo maso enega dela. Če želite to narediti, najprej dodajte vse dele (1 in 4), nato pa maso zlitine delite s številom teh delov.

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

En del zlitine bo imel maso 3 kg. Potem bo 15 kg nove zlitine vsebovalo 3 × 1 = 3 kg zlata in 3 × 4 = 12 kg srebra.

Zato za pridobitev zlitine, ki tehta 15 kg, potrebujemo 3 kg zlata in 12 kg srebra.

Zdaj pa odgovorimo na vprašanje naloge - " Koliko vzeti vsako zlitino? »

Vzeli bomo 10 kg prve zlitine, saj je razmerje zlata in srebra v njej 1: 9. To pomeni, da nam bo ta prva zlitina dala 1 kg zlata in 9 kg srebra.

Vzeli bomo 5 kg druge zlitine, saj sta zlato in srebro v njej v razmerju 2: 3. To pomeni, da nam bo ta druga zlitina dala 2 kg zlata in 3 kg srebra.

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini Vkontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

Proporci so tako znana kombinacija, ki jo verjetno poznamo že iz osnovnih razredov srednje šole. V najbolj splošnem smislu, razmerje je enakost dveh ali več razmerij.

Se pravi, če obstaja nekaj številk A, B in C

nato delež

če obstajajo štiri številke A, B, C in D

bodisi je tudi razmerje

Najenostavnejši primer, kjer se uporablja delež, je izračun odstotkov.

Na splošno je uporaba razmerij tako široka, da je lažje ugotoviti, kje ne veljajo.

Proporcije se lahko uporabljajo za določanje razdalj, mas, prostornine, pa tudi količine česarkoli, z enim pomembnim pogojem: v sorazmerju bi morale obstajati linearne odvisnosti med različnimi predmeti. Spodaj boste na primeru gradnje postavitve Bronze Horseman videli, kako izračunati razmerja, kjer obstajajo nelinearne odvisnosti.

Ugotovite, koliko kilogramov riža bo, če vzamete 17 odstotkov celotnega volumna riža 150 kilogramov?

Naredimo razmerje z besedami: 150 kilogramov je skupna prostornina riža. Torej vzemimo za 100%. Nato se 17% od 100% izračuna kot delež dveh razmerij: 100 odstotkov je na 150 kilogramov enako kot 17 odstotkov na neznano število.

Zdaj se neznano število izračuna elementarno

Se pravi, naš odgovor je 25,5 kilograma riža.

S proporci so povezane tudi zanimive skrivnosti, ki kažejo, da razmerij ni treba prenagljeno uporabljati za vse priložnosti.

Tukaj je eden izmed njih, nekoliko spremenjen:

Za predstavitev v pisarni podjetja je direktor naročil izdelavo modela skulpture "Bronzani jezdec" brez granitnega podstavka. Eden od pogojev je, da mora biti maketa izdelana iz enakih materialov kot original, upoštevati je treba razmerja in višina makete natanko 1 meter. Vprašanje: Kakšna bo teža postavitve?

Začnimo z referenčnimi knjigami.

Višina kolesarja je 5,35 metra, njegova teža pa 8000 kg.

Če uporabimo čisto prvo misel - da naredimo razmerje: 5,35 metra se nanaša na 8.000 kilogramov kot 1 meter na neznano vrednost, potem morda niti ne začnemo računati, saj bo odgovor napačen.

Gre za majhen odtenek, ki ga je treba upoštevati. Vse je v povezavi med maso in višino skulpture nelinearni, torej ni mogoče reči, da bomo s povečanjem na primer kocke za 1 meter (upoštevajoč razmerja, tako da ostane kocka), za enako količino povečali njeno težo.

To je enostavno preveriti s primeri:

1. zlepimo kocko z dolžino roba 10 centimetrov. Koliko vode bo šlo tja? Logično je, da je 10 * 10 * 10 \u003d 1000 kubičnih centimetrov, torej 1 liter. No, ker so tam nalili vodo (gostota je enaka eni), in ne druge tekočine, bo masa enaka 1 kg.

2. lepite podobno kocko, vendar z dolžino rebra 20 cm Volumen vode, ki se vlije vanjo, bo enak 20 * 20 * 20 = 8000 kubičnih centimetrov, to je 8 litrov. No, teža je seveda 8 kg.

Zlahka je videti, da je razmerje med maso in spremembo dolžine roba kocke nelinearno ali bolje rečeno kubično.

Spomnimo se, da je prostornina produkt višine, širine in globine.

Se pravi, ko se figura spremeni (odvisno od razmerij / oblike) linearne velikosti (višina, širina, globina), se masa / prostornina tridimenzionalne figure kubično spremeni.

trdimo:

Naša linearna dimenzija se je spremenila s 5,35 metra na 1 meter, nato se bo masa (prostornina) spremenila kot kubni koren 8000/x

In dobite to postavitev Bronasti jezdec v pisarni podjetja z višino 1 meter bo tehtala 52 kilogramov 243 gramov.

Toda po drugi strani, če bi bila naloga zastavljena takole " postavitev mora biti izdelana iz istih materialov kot izvirnik, razmerja in prostornina 1 kubični meter "Potem, če vemo, da obstaja linearna povezava med prostornino in maso, bi uporabili samo standardno razmerje, staro prostornino proti novemu in staro maso za neznano število.

Toda naš bot pomaga izračunati razmerja v drugih, bolj pogostih in praktičnih primerih.

Zagotovo bo koristno za vse gospodinje, ki kuhajo hrano.

Nastanejo situacije, ko se najde recept za neverjetno torto 10 kg, vendar je njena prostornina prevelika, da bi jo lahko pripravili .. Rad bi, da je manjši, na primer le dva kilograma, ampak kako izračunati vse nove teže in količine sestavin?

Tu vam bo pomagal bot, ki bo lahko izračunal nove parametre 2-kilogramske torte.

Tudi bot bo pomagal pri izračunih pridnim moškim, ki gradijo hišo in morajo izračunati, koliko betonskih sestavin naj vzamejo, če imajo le 50 kilogramov peska.

Sintaksa

Za uporabnike odjemalca XMPP: pro<строка>

kjer ima niz zahtevane elemente

številka1 / številka2 - iskanje razmerja.

Da se ne bi bali tako kratkega opisa, navajamo primer.

200 300 100 3 400/100

Kar pravi na primer naslednje:

200 gramov moke, 300 mililitrov mleka, 100 gramov masla, 3 jajca - donos palačink je 400 gramov.

Koliko sestavin morate vzeti, da spečete samo 100 gramov palačink?

Kako enostavno je opaziti

400/100 je razmerje med tipičnim receptom in želenim pridelkom.

Primere bomo podrobneje obravnavali v ustreznem razdelku.

Primeri

Prijatelj je delil čudovit recept

Testo: 200 gramov makovega semena, 8 jajc, 200 mletega sladkorja, 50 gramov naribanih zvitkov, 200 gramov mletih oreščkov, 3 skodelice medu.
Mak kuhamo 30 minut na majhnem ognju, zmeljemo s pestičem, dodamo stopljeni med, mlete krekerje, oreščke.
Jajca stepemo s sladkorjem v prahu, dodamo masi.
Testo nežno premešamo, vlijemo v model, pečemo.
Ohlajeno torto razrežemo na 2 plasti, premažemo s kislo marmelado, nato s smetano.
Okrasite z jagodami marmelade.
Smetana: 1 skodelica kisle smetane, 1/2 skodelice sladkorja, stepite.

Razmerje (v matematiki) je razmerje med dvema ali več enakimi števili. Razmerja primerjajo absolutne vrednosti ali dele celote. Razmerja se izračunavajo in zapisujejo na različne načine, vendar so osnovna načela enaka za vsa razmerja.

Koraki

1. del

Opredelitev razmerij

Uporaba razmerij. Razmerja se uporabljajo tako v znanosti kot v vsakdanjem življenju za primerjavo količin. Najpreprostejša razmerja se nanašajo samo na dve številki, vendar obstajajo razmerja, ki primerjajo tri ali več vrednosti. V vsaki situaciji, v kateri je prisotna več kot ena količina, lahko zapišemo razmerje. S povezovanjem nekaterih vrednosti lahko razmerja na primer nakazujejo, kako povečati količino sestavin v receptu ali snovi v kemični reakciji.

Opredelitev razmerij. Relacija je razmerje med dvema (ali več) vrednostmi iste vrste. Na primer, če torta zahteva 2 skodelici moke in 1 skodelico sladkorja, je razmerje med moko in sladkorjem 2 proti 1.
- Razmerja lahko uporabite tudi, če dve količini nista povezani med seboj (kot v primeru torte). Na primer, če je v razredu 5 deklet in 10 fantov, je razmerje med deklicami in fanti 5 proti 10. Te količine (število fantov in število deklet) nista odvisni druga od druge, tj. njihove vrednote se bodo spremenile, če nekdo zapusti razred ali pa bo v razred prišel nov učenec. Razmerja preprosto primerjajo vrednosti količin.
Upoštevajte različne načine, na katere so razmerja predstavljena. Odnosi so lahko predstavljeni z besedami ali z matematičnimi simboli.
- Zelo pogosto so razmerja izražena z besedami (kot je prikazano zgoraj). Še posebej ta oblika predstavitve razmerij se uporablja v vsakdanjem življenju, daleč od znanosti.
- Tudi razmerja se lahko izrazijo z dvopičjem. Ko primerjate dve številki v razmerju, boste uporabili eno dvopičje (na primer 7:13); ko primerjate tri ali več vrednosti, postavite dvopičje med vsak par številk (na primer 10:2:23). V primeru našega razreda bi lahko razmerje med dekleti in fanti izrazili takole: 5 deklet: 10 fantov. Ali takole: 5:10.
- Manj pogosto so razmerja izražena s poševnico. V primeru razreda bi to lahko zapisali takole: 5/10. Kljub temu to ni ulomek in takšno razmerje se ne bere kot ulomek; poleg tega ne pozabite, da v razmerju števila niso del ene celote.
2. del
Uporaba razmerij
1. Poenostavite razmerje. Razmerje lahko poenostavimo (podobno kot ulomke) tako, da vsak člen (število) razmerja delimo z . Vendar ne pozabite na prvotne vrednosti razmerja.
  - V našem primeru je v razredu 5 deklet in 10 fantov; razmerje je 5:10. Največji skupni delilec členov razmerja je 5 (ker sta tako 5 kot 10 deljiva s 5). Vsako razmerje delite s 5, da dobite razmerje 1 dekle proti 2 fantoma (ali 1:2). Vendar pa pri poenostavitvi razmerja upoštevajte prvotne vrednosti. V našem primeru v razredu niso 3 učenci, ampak 15. Poenostavljeno razmerje primerja število fantov in deklet. To pomeni, da sta na vsako dekle 2 fanta, vendar v razredu ni 2 fantov in 1 punca.
  - Nekateri odnosi niso poenostavljeni. Na primer, razmerje 3:56 ni poenostavljeno, ker ta števila nimajo skupnih deliteljev (3 je praštevilo, 56 pa ni deljivo s 3).
2. Uporabite množenje ali deljenje, da povečate ali zmanjšate razmerje. Pogosta težava je povečati ali zmanjšati dve vrednosti, ki sta med seboj sorazmerni. Če vam je dano razmerje in morate najti večje ali manjše razmerje, ki mu ustreza, prvotno razmerje pomnožite ali delite z določenim številom.
  - Na primer, pek mora potrojiti količino sestavin, navedenih v receptu. Če v receptu piše, da je razmerje med moko in sladkorjem 2:1 (2:1), potem bo pek vsak izraz pomnožil s 3, da bo dobil razmerje 6:3 (6 skodelic moke na 3 skodelice sladkorja).
  - Po drugi strani pa, če mora pek prepoloviti količino sestavin, ki je navedena v receptu, potem bo pek vsak izraz za razmerje razdelil na 2 in dobil razmerje 1:½ (1 skodelica moke proti 1/2 skodelice sladkorja).
3. Poiščite neznano vrednost, ko sta podani dve enakovredni razmerji. To je težava, pri kateri morate poiskati neznano spremenljivko v eni relaciji z uporabo druge relacije, ki je enakovredna prvi. Za reševanje takšnih težav uporabite. Vsako razmerje zapišite kot ulomek, med njimi postavite znak enakosti in njune člene pomnožite navzkrižno.
  - Na primer, glede na skupino študentov, v kateri sta 2 fanta in 5 deklet. Koliko bo fantov, če se število deklet poveča na 20 (delež se ohrani)? Najprej zapišite dve razmerji - 2 fanta:5 deklet in X fantje: 20 deklet. Zdaj zapišite ta razmerja kot ulomke: 2/5 in x/20. Pomnožite člene ulomkov navzkrižno in dobite 5x = 40; torej x = 40/5 = 8.
3. del
Pogoste napake
1. Izogibajte se seštevanju in odštevanju pri težavah z razmerjem besedila.Številne besedne težave izgledajo nekako takole: »Recept zahteva 4 gomolje krompirja in 5 korenčkov. Če želite dodati 8 krompirjev, koliko korenja potrebujete, da ostane razmerje enako?« Pri reševanju tovrstnih nalog učenci pogosto naredijo napako, če prvotni številki dodajo enako količino sestavin. Vendar, da ohranite razmerje, morate uporabiti množenje. Tukaj so primeri pravilnih in napačnih odločitev:
  - Napačno: "8 - 4 = 4 - zato smo dodali 4 gomolje krompirja. Torej, morate vzeti 5 korenčkov in jim dodati še 4 ... Ustavi se! Razmerja ne delujejo tako. Vredno poskusiti še enkrat."
  - Pravilno: "8 ÷ 4 = 2 - torej smo število krompirja pomnožili z 2. V skladu s tem je treba tudi 5 korenčkovih korenčkov pomnožiti z 2. Receptu je treba dodati 5 x 2 = 10 - 10 korenčkov."

osnova matematične raziskave so zmožnost pridobivanja znanja o določenih količinah s primerjavo z drugimi količinami, ki so bodisi enako, oz več oz manj kot tiste, ki so predmet študije. To se običajno naredi s serijo enačb in razmerja. Ko uporabljamo enačbe, določimo količino, ki jo iščemo, tako da jo najdemo enakost s kakšno drugo že znano količino ali količinami.

Vendar se pogosto zgodi, da primerjamo neznano količino z drugimi, ki ni enak njo, ampak bolj ali manj njo. Tukaj potrebujemo drugačen pristop k obdelavi podatkov. Morda bomo morali vedeti, npr. koliko ena vrednost je večja od druge, oz kolikokrat eno vsebuje drugega. Da bi našli odgovore na ta vprašanja, bomo ugotovili, kaj je razmerje dve velikosti. Eno razmerje se imenuje aritmetika, in drugo geometrijski. Čeprav je treba omeniti, da oba izraza nista bila sprejeta po naključju ali zgolj zaradi razlikovanja. Za aritmetiko in geometrijo veljata tako aritmetična kot geometrijska razmerja.

Ker je delež obsežnega in pomembnega predmeta, je odvisen od razmerij, zato je potrebno jasno in popolno razumevanje teh pojmov.

338. Aritmetično razmerje to je Razlikamed dvema količinama ali nizom količin. Same količine se imenujejo člani razmerja, torej izraze, med katerimi obstaja razmerje. Tako je 2 aritmetično razmerje 5 in 3. To je izraženo tako, da se med obema vrednostima postavi znak minus, to je 5 - 3. Seveda je izraz aritmetično razmerje in njegova razčlenitev praktično neuporaben, saj se zamenja le beseda Razlika na znak minus v izrazu.

339. Če oba člana aritmetične relacije pomnožiti oz deliti torej v enakem znesku razmerje, bo na koncu pomnožen ali deljen s tem zneskom.
Torej, če imamo a - b = r
Nato pomnožite obe strani s h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
In če delimo s h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Če se členi aritmetičnega razmerja prištejejo ali odštejejo od ustreznih členov drugega, bo razmerje vsote ali razlike enako vsoti ali razliki obeh razmerij.
Če a - b
In d-h
sta dve razmerji,
Potem (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Kar je v vsakem primeru = a + d - b - h.
In (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Kar je v vsakem primeru = a - d - b + h.
Torej je aritmetično razmerje 11 - 4 7
In aritmetično razmerje 5-2 je 3
Razmerje vsote členov 16 - 6 je 10, - vsota razmerij.
Razmerje razlike med člani 6 - 2 je 4, - razlika v razmerjih.

341. geometrijsko razmerje je razmerje med količinami, ki je izraženo ZASEBNOče je ena vrednost deljena z drugo.
Torej lahko razmerje 8 proti 4 zapišemo kot 8/4 ali 2. To je količnik 8, deljeno s 4. Z drugimi besedami, kaže, kolikokrat 4 vsebuje 8.

Na enak način je mogoče razmerje katere koli količine do druge določiti tako, da prvo delimo z drugo ali, kar je v bistvu isto, tako, da prvo naredimo za števec ulomka, drugo pa za imenovalec.
Torej je razmerje med a in b $\frac(a)(b)$
Razmerje med d + h in b + c je $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrijsko razmerje zapišemo tudi tako, da med primerjanimi vrednostmi postavimo dve točki eno nad drugo.
Tako je a:b razmerje med a in b, 12:4 pa razmerje 12 proti 4. Obe količini skupaj tvorita par, v katerem se imenuje prvi izraz predhodnik, zadnji pa je posledično.

343. Ta pikčasti zapis in drugi zapis v obliki ulomka sta po potrebi zamenljiva, pri čemer antecedent postane števec ulomka, konsekvenca pa imenovalec.
Torej je 10:5 enako kot $\frac(10)(5)$ in b:d je enako kot $\frac(b)(d)$.

344. Če je kateri od teh treh pomenov: predhodnik, konsekvenca in razmerje dve, potem je mogoče najti tretjega.

Naj bo a= antecedent, c= posledica, r= relacija.
Po definiciji je $r=\frac(a)(c)$, to pomeni, da je razmerje enako predhodniku, deljeni s konsekvenco.
Če pomnožimo s c, je a = cr, to pomeni, da je predhodnica enaka posledično-kratnemu razmerju.
Delite z r, $c=\frac(a)(r)$, to pomeni, da je konsekvenca enaka antecedentu, deljenemu z razmerjem.

oz. 1. Če imata dva para enaka predhodnika in posledice, potem sta tudi njuna razmerja enaka.

oz. 2. Če so razmerja in predhodniki dveh parov enaki, so posledice enake, in če so razmerja in posledice enaka, so predhodniki enaki.

345. Če dve primerjani količini enako, potem je njihovo razmerje enako enoti ali enakosti. Razmerje 3 * 6:18 je enako ena, saj je količnik katere koli vrednosti, deljeno s seboj, enak 1.

Če je predhodnik para več, kot posledica, potem je razmerje večje od ena. Ker je dividenda večja od delitelja, je kvocient večji od ena. Torej je razmerje 18:6 3. To se imenuje razmerje večja neenakost.

Po drugi strani, če je predhodnik manj kot posledica, potem je razmerje manjše od ena in temu pravimo razmerje manj neenakosti. Torej je razmerje 2:3 manjše od ena, ker je dividenda manjša od delitelja.

346. Nazaj razmerje je razmerje dveh recipročnih vrednosti.
Torej je razmerje inverznega od 6 proti 3 do, to je:.
Neposredna relacija med a in b je $\frac(a)(b)$, to je antecedent, deljen s konsekvenco.
Inverzna relacija je $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ ali $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
to je kosekvenca b, deljena z antecedentom a.

Zato je izražena inverzna relacija z obračanjem ulomka, ki prikazuje neposredno razmerje, ali, ko je zapis opravljen s pikami, obračanje vrstnega reda pisanja članov.
Tako je a povezan z b na obraten način, kot je b povezan z a.

347. Kompleksno razmerje to razmerje deluje ustrezni izrazi z dvema ali več enostavnimi relacijami.
Torej je razmerje 6:3, enako 2
In razmerje 12:4 je enako 3
Razmerje med njimi je 72:12 = 6.

Tukaj dobimo kompleksno relacijo z množenjem dveh antecedentov in tudi dveh posledic enostavnih razmerij.
Torej je razmerje sestavljeno
Iz razmerja a:b
In razmerja c:d
in razmerje h:y
To je razmerje $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Kompleksno razmerje se ne razlikuje po svojem narave iz katerega koli drugega razmerja. Ta izraz se v določenih primerih uporablja za prikaz izvora razmerja.

oz. Kompleksno razmerje je enako zmnožku preprostih razmerij.
Razmerje a:b je enako $\frac(a)(b)$
Razmerje c:d je enako $\frac(c)(d)$
Razmerje h:y je enako $\frac(h)(y)$
In dodano razmerje teh treh bo ach/bdy, ki je produkt ulomkov, ki izražajo preprosta razmerja.

348. Če je v zaporedju odnosov v vsakem prejšnjem paru konsekvenca antecedent v naslednjem, potem razmerje prvega antecedenta in zadnjega konsekvenca je enako tistemu, ki ga dobimo iz vmesnih razmerij.
Torej v številnih razmerjih
a:b
b:c
c:d
d:h
razmerje a:h je enako razmerju, seštejenemu iz razmerij a:b in b:c ter c:d in d:h. Torej je kompleksna relacija v zadnjem članku $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ ali a:h.

Na enak način vse količine, ki so tako predhodne kot posledice izginejo, ko bo produkt ulomkov poenostavljen na njegove nižje člene, v preostanku pa bo kompleksna relacija izražena s prvim antecedentom in zadnjo konsekvenco.

349. Poseben razred kompleksnih odnosov dobimo tako, da preprosto relacijo pomnožimo z samega sebe ali drugemu enako razmerje. Ta razmerja se imenujejo dvojno, trojni, štirikrat, in tako naprej, glede na število množenja.

Razmerje sestavljeno iz dve enakih razmerjih, tj. kvadratni dvojno razmerje.

Narejen iz trije, to je kocka preprosto razmerje se imenuje trojni, in tako naprej.

Podobno razmerje kvadratne korenine dve količini se imenuje razmerje kvadratni koren, in razmerje kockastih korenin- razmerje kockasti koren, in tako naprej.
Torej je preprosto razmerje med a in b a: b
Dvojno razmerje med a in b je a 2:b 2
Trojno razmerje med a in b je a 3:b 3
Razmerje med kvadratnim korenom a in b je √a :√b
Razmerje med kubnim korenom a proti b je 3 √a : 3 √b itd.
Pogoji dvojno, trojni, in tako naprej ni treba mešati z podvojila, potrojila, in tako naprej.
Razmerje 6 proti 2 je 6:2 = 3
Če to razmerje podvojimo, torej razmerje dvakrat, dobimo 12:2 = 6
To razmerje potrojimo, torej to razmerje trikrat, dobimo 18: 2 = 9
AMPAK dvojno razmerje, tj kvadratni razmerje je 6 2:2 2 = 9
in trojni razmerje, torej kocka razmerja, je 6 3:2 3 = 27

350. Da so količine med seboj povezane, morajo biti enake vrste, tako da je mogoče z gotovostjo trditi, ali so med seboj enake, ali je ena od njih večja ali manjša. Stopa je na palec kot 12 proti 1: je 12-krat večja od palca. Ne moremo pa na primer reči, da je ura daljša ali krajša od palice ali da je aker večji ali manjši od stopinje. Vendar, če so te vrednosti izražene v številke, potem lahko obstaja razmerje med temi številkami. To pomeni, da lahko obstaja povezava med številom minut v eni uri in številom korakov v milji.

351. Obrnitev na narave razmerja, naslednji korak, ki ga moramo upoštevati, je, kako bo sprememba enega ali dveh izrazov, ki se primerjata med seboj, vplivala na samo razmerje. Spomnimo se, da je neposredno razmerje izraženo kot ulomek, kjer antecedet pari so vedno števec, a posledično - imenovalec. Potem bo iz lastnosti ulomkov enostavno ugotoviti, da se s spreminjanjem primerjanih količin pojavijo spremembe v razmerju. Razmerje obeh količin je enako kot pomen ulomkov, od katerih vsaka predstavlja zasebni: števec, deljen z imenovalcem. (341. člen.) Zdaj se je pokazalo, da je množenje števca ulomka s katero koli vrednostjo enako kot množenje pomen z enakim zneskom in da je deljenje števca enako kot deljenje vrednosti ulomka. Zato,

352. Pomnožiti predhodnik para s katero koli vrednostjo pomeni pomnožiti razmerja s to vrednostjo, deljenje predhodnika pa je delitev tega razmerja.
Torej je razmerje 6:2 3
In razmerje 24:2 je 12.
Tu sta predhodnik in razmerje v zadnjem paru 4-krat večja kot v prvem.
Relacija a:b je enaka $\frac(a)(b)$
In relacija na:b je enaka $\frac(na)(b)$.

oz. Z znano posledico, več predhodnik, bolj razmerje, in obratno, večje kot je razmerje, večji je predhodnik.

353. Če pomnožimo konsekvenco para s katero koli vrednostjo, kot rezultat dobimo deljenje razmerja s to vrednostjo, in z deljenjem konsekvence, pomnožimo razmerje. Z množenjem imenovalca ulomka delimo vrednost, z deljenjem imenovalca pa vrednost pomnožimo.
Torej je razmerje 12:2 6
In razmerje 12:4 je 3.
Tukaj je posledica drugega para v dvakrat več, ampak razmerje dvakrat manj kot prvi.
Razmerje a:b je $\frac(a)(b)$
In razmerje a:nb je enako $\frac(a)(nb)$.

oz. Za dani antecedent večja kot je posledica, manjše je razmerje. Nasprotno, večje kot je razmerje, manjša je posledica.

354. Iz zadnjih dveh členov izhaja, da predhodnik množenja pari katere koli vrednosti bodo imeli enak učinek na razmerje kot delitev posled za ta znesek in predhodna delitev, bo imel enak učinek kot posledično množenje.
Torej je razmerje 8:4 2
Če pomnožimo predhodnik z 2, je razmerje 16:4 4
Če predhodno delimo z 2, je razmerje 8:2 4.

oz. Kaj faktor oz delilnik se lahko prenese iz antecedenta para v konsekvenco ali iz konsekvenca v antecedent, ne da bi spremenili relacijo.

Omeniti velja, da ko se faktor tako prenese iz enega člena v drugega, potem postane delilec, preneseni delitelj pa faktor.
Torej je razmerje 3,6:9 = 2
Premik faktorja 3, $6:\frac(9)(3)=2$
enako razmerje.

Relacija $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Premikanje y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Premikanje m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kot je razvidno iz členov. 352 in 353, če se antecedent in konsekvenca pomnožita ali delita z enakim zneskom, se razmerje ne spremeni.

oz. 1. Razmerje dveh frakcije, ki imajo skupni imenovalec, enak kot razmerje med njimi števci.
Tako je razmerje a/n:b/n enako kot a:b.

oz. 2. neposredno razmerje dveh ulomkov, ki imata skupni števec, je enako njunemu vzajemnemu razmerju imenovalci.

356. Razmerje poljubnih dveh ulomkov iz člena je enostavno določiti. Če vsak člen pomnožimo z dvema imenovalcema, bo razmerje podano z integralnimi izrazi. Tako, če pomnožimo člene para a/b:c/d z bd, dobimo $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, ki postane ad:bc, tako da zmanjšamo skupne vrednosti iz števcev in imenovalcev.

356 b. razmerje večja neenakost poveča njegovega
Naj bo večje razmerje neenakosti podano kot 1+n:1
In kakršno koli razmerje a:b
Kompleksno razmerje bo (čl. 347,) a + na:b
Kaj je večje od razmerja a:b (351. člen oz.)
Ampak razmerje manj neenakosti, dodano z drugim razmerjem, zmanjša njegovega.
Naj bo razmerje manjše razlike 1-n:1
Vsako dano razmerje a:b
Kompleksno razmerje a - na:b
Kaj je manj kot a:b.

357. Če do ali od članov katerega koli paradodaj ali odštejte dve drugi količini, ki sta v enakem razmerju, potem bodo vsote ali ostanki imeli enako razmerje.
Naj bo razmerje a:b
To bo isto kot c:d
Potem pa odnos zneski enaka je tudi predhodnica vsote posledic, in sicer a + c do b + d.
To pomeni, da je $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Dokaz.

1. Po predpostavki je $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Pomnožimo z b in d, ad = bc
3. Dodajte cd na obe strani, ad + cd = bc + cd
4. Delite z d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Delite z b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

razmerje Razlika enaki so tudi predhodniki razlike posledic.

358. Če so razmerja v več parih enaka, potem vsota vseh antecedentov je vsota vseh posledic, kot je vsak antecedent svoji konsekvenci.
Tako razmerje
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Tako je razmerje (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. razmerje večja neenakostzmanjša, dodal enak znesek obema članoma.
Naj bo dana relacija a+b:a ali $\frac(a+b)(a)$
Če obema izrazoma dodamo x, dobimo a+b+x:a+x ali $\frac(a+b)(a)$.

Prvi postane $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
In zadnji je $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Ker je zadnji števec očitno manjši od drugega, potem razmerje mora biti manj. (čl. 351 oz.)

Ampak razmerje manj neenakosti poveča, ki obema izrazoma doda enako vrednost.
Naj bo podana relacija (a-b):a ali $\frac(a-b)(a)$.
Če obema izrazoma dodate x, postane (a-b+x):(a+x) ali $\frac(a-b+x)(a+x)$
Če jih pripeljemo do skupnega imenovalca,
Prvi postane $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
In zadnji, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Ker je zadnji števec večji od drugega, potem razmerje več.
Če namesto dodajanja enake vrednosti odnesi iz dveh izrazov je očitno, da bo učinek na razmerje nasproten.

Primeri.

1. Kaj je večje: razmerje 11:9 ali razmerje 44:35?

2. Kaj je večje: razmerje $(a+3):\frac(a)(6)$ ali razmerje $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Če je predhodnik para 65 in je razmerje 13, kakšna je posledica?

4. Če je konsekvenca para 7 in je razmerje 18, kakšen je antecedent?

5. Kako izgleda kompleksno razmerje, sestavljeno iz 8:7 in 2a:5b ter tudi (7x+1):(3y-2)?

6. Kako izgleda kompleksno razmerje, sestavljeno iz (x + y): b in (x-y): (a + b), in tudi (a + b): h? Rep. (x 2 - y 2): bh.

7. Če relacije (5x+7):(2x-3) in $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ tvorijo kompleksno relacijo, potem kakšna relacija boste dobili: več ali manj neenakosti? Rep. Razmerje večje neenakosti.

8. Kakšno je razmerje, sestavljeno iz (x + y):a in (x - y):b ter $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Razmerje enakosti.

9. Kakšno je razmerje 7:5 in podvoji 4:9 in potroji 3:2?
Rep. 14:15.

10. Kakšno je razmerje, sestavljeno iz 3:7, in potrojinega razmerja x:y, in izločanje korena iz razmerja 49:9?
Rep. x3:y3.