Kako rešiti enačbe s primeri četrte stopnje. Enačba četrte stopnje. Reševanje bikvadratnih enačb četrte stopnje
Kmalu po tem, ko je Cardano objavil metodo za reševanje kubičnih enačb, so njegovi učenci in sledilci našli načine za zmanjšanje splošne enačbe četrte stopnje na kubično enačbo. Predstavimo najpreprostejšo metodo, ki pripada L. Ferrariju.
Pri predstavitvi metode boste morali uporabiti naslednjo osnovno lemo.
Lema. Da bi bil kvadratni trinom kvadrat linearnega binoma, je nujno in zadostno, da je njegov diskriminant enak nič.
Dokaz. Nujnost. Pustiti . Nato Zadostnost. Naj Potem
Ideja predstavljene metode je predstaviti levo stran enačbe kot razliko dveh kvadratov. Nato ga je mogoče razstaviti na dva faktorja druge stopnje in reševanje enačbe bo vodilo do rešitve dveh kvadratnih enačb. Za dosego cilja si predstavljajte levo stran kot:
Tukaj je y pomožna neznanka, ki jo je treba izbrati tako, da se izkaže, da je izraz v oglatih oklepajih kvadrat linearnega binoma. Na podlagi leme je za to potrebno in zadostno izpolniti pogoj
Ta pogoj je enačba tretje stopnje glede na y. Po odpiranju oklepajev se pretvori v obrazec
Naj bo ena od korenin te enačbe. Potem bo pogoj izpolnjen, torej velja
za nekaj k in I. Prvotna enačba ima obliko
Če vsakega od faktorjev enačimo z nič, bomo našli štiri korenine prvotne enačbe.
Dajmo še eno pripombo. Naj bodo koreni prvega faktorja in naj bodo koreni drugega. Potem, če seštejemo te enakosti, dobimo to
Tako smo dobili izraz za koren pomožne kubične enačbe glede na korene prvotne enačbe četrte stopnje.
Primer. Reši enačbo. V skladu z zgoraj opisano metodo preoblikujemo levo stran:
Zdaj pa postavimo. Po tvorbah dobimo enačbo
Zlahka je videti, da je eden od korenov te enačbe število . Če ga nadomestimo s transformirano levo stranjo prvotne enačbe, dobimo:
Če faktorje enačimo z nič, dobimo
Kar zadeva enačbe višje od četrte stopnje, so bili znani nekateri razredi enačb relativno posebne oblike, ki so dopuščali algebraične rešitve v radikalih, torej v obliki rezultatov aritmetičnih operacij in dejanja izvleka korena. Vendar so bili poskusi, da bi rešili splošne enačbe stopnje pet in višje, neuspešni vse do začetka 19. stoletja. Ruffini in Abel nista dokazala, da je taka rešitev za splošne enačbe nad četrto stopnjo nemogoča. Končno je leta 1830 briljantnemu francoskemu matematiku E. Galoisu uspelo najti potrebne in zadostne pogoje (ki jih je precej težko preveriti) za rešljivost v radikalih posebej za podana enačba. Hkrati je Galois ustvaril in uporabil teorijo permutacijskih skupin, ki je bila za njegov čas nova.
V splošnem primeru se rešitev enačbe četrte stopnje izvede z metodami za reševanje enačb višjih stopenj, na primer Ferrarijeva metoda ali Hornerjeva shema. Toda nekatere enačbe 4. stopnje imajo preprostejšo rešitev.
Obstaja več posebnih vrst enačb četrte stopnje, katerih metode za reševanje boste izvedeli spodaj:
- Bikvadratna enačba $ax^4+bx^2+c=0$;
- Recipročne enačbe oblike $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Enačbe oblike $ax^4+b=0$.
Reševanje bikvadratnih enačb četrte stopnje
Bikvadratne enačbe $ax^4+bx^2+c=0$ reduciramo na kvadratne enačbe z zamenjavo spremenljivke $x^2$ z novo, na primer $y$. Po zamenjavi se reši nova nastala enačba, nato pa se vrednost najdene spremenljivke nadomesti v enačbo $x^2=y$. Rezultat rešitve bodo koreni enačbe $x^2=y$.
Primer 1
Rešite enačbo $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Razširimo oklepaje v polinomu:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
V tej obliki postane očitno, da lahko izberemo izraz $y=x^2-3x$ kot novo spremenljivko;
$y\cdot (y+2)=24$
Zdaj pa rešimo dve kvadratni enačbi $x^2-3x=-4$ in $x^2-3x=-6$.
Koreni prve enačbe so $x_1(1,2)=4;-1$, druga nima rešitev.
Reševanje recipročnih enačb 4. stopnje
Te enačbe v obliki $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ s svojimi koeficienti za člane nižjega reda ponavljajo koeficiente za polinome z višjimi stopnjami. Če želite rešiti takšno enačbo, jo najprej delite z $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Nato zamenjajte $(x+\frac(1)(x))$ z novo spremenljivko, nato $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, po zamenjavi dobimo naslednji kvadratna enačba:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Po tem poiščemo korenine enačb $x+\frac(1)(x)=y_1$ in $x+\frac(1)(x)=y_2$.
Podobna metoda se uporablja za reševanje recipročnih enačb oblike $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Primer 2
Reši enačbo:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Ta enačba je recipročna enačba oblike $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Zato celotno enačbo delimo z $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Zamenjajmo izraz $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Izračunajmo korene te enačbe, enake so $y_1=3$ in $y_2=-\frac(7)(3)$.
V skladu s tem je zdaj treba rešiti dve enačbi $x+\frac(2)(x)=3$ in $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Rešitev prve enačbe je $x_1=1, x_2=2$, druga enačba je brez korenin.
Zato so koreni prvotne enačbe $x_1=1, x_2=2$.
Enačbe oblike $ax^4+b=0$
Koreni enačbe te vrste se najdejo z uporabo skrajšanih formul za množenje.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Najprej morate najti eno korenino z izbirno metodo. Običajno je to delitelj prostega člena. V tem primeru delilniki števila 12 so ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Začnimo jih zamenjati enega za drugim:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ število 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ število -1 ni koren polinoma
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ število 2 je koren polinoma
Našli smo 1 od korenin polinoma. Koren polinoma je 2, kar pomeni, da mora biti prvotni polinom deljiv z x - 2. Za izvedbo delitve polinomov uporabimo Hornerjevo shemo:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Koeficienti prvotnega polinoma so prikazani v zgornji vrstici. Koren, ki smo ga našli, je postavljen v prvo celico druge vrstice 2. V drugi vrstici so koeficienti polinoma, ki nastane pri deljenju. Štejejo se takole:
| V drugo celico druge vrstice zapišemo številko 2, preprosto tako, da ga premaknete iz ustrezne celice prve vrstice. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Zadnja številka je preostanek delitve. Če je enako 0, potem smo vse izračunali pravilno.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
A to še ni konec. Na enak način lahko poskusite razširiti polinom 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Spet iščemo koren med delilniki prostega člena. Delitelji števil -6 so ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ število 1 ni koren polinoma
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ število -1 ni koren polinoma
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ število 2 ni koren polinoma
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ število -2 je koren polinoma
Zapišimo najdeni koren v našo Hornerjevo shemo in začnimo izpolnjevati prazne celice:
| V drugo celico tretje vrstice zapišemo številko 2, preprosto tako, da ga premaknete iz ustrezne celice druge vrstice. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Tako smo faktorizirali prvotni polinom:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinom 2x 2 + 5x - 3 lahko tudi faktoriziramo. Če želite to narediti, lahko rešite kvadratno enačbo prek diskriminante ali pa poiščete koren med delitelji števila -3. Tako ali drugače bomo prišli do zaključka, da je koren tega polinoma število -3
| V drugo celico četrte vrstice zapišemo številko 2, preprosto tako, da ga premaknete iz ustrezne celice tretje vrstice. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Tako smo prvotni polinom razstavili na linearne faktorje.
Descartes-Eulerjeva rešitev
Po zamenjavi dobimo enačbo v naslednji obliki (imenuje se "nepopolna"):
l 4 + strl 2 + ql + r = 0 .Korenine l 1 , l 2 , l 3 , l 4 takšne enačbe so enake enemu od naslednjih izrazov:
v katerem so kombinacije znakov izbrane tako, da je izpolnjeno naslednje razmerje:
,
in z 1 , z 2 in z 3 so korenine kubične enačbe
Ferrarijeva rešitev
Glavni članek: Ferrarijeva metoda
Predstavimo enačbo četrte stopnje v obliki:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Njegovo rešitev je mogoče najti iz naslednjih izrazov:
če je β = 0, reševanje u 4 + α u 2 + γ = 0 in zamenjava 
, poiščimo korene: . 
, (kateri koli kvadratni koren bo zadostoval) , (trije kompleksni koreni, od katerih bo eden zadostoval) 
Dva ± s morata imeti enak predznak, ± t - sta neodvisna. Da bi našli vse korene, morate najti x za predznačene kombinacije ± s ,± t = +,+ za +,− za −,+ za −,−. Dvojne korenine se bodo pojavile dvakrat, trojne korenine trikrat in kvartarne korenine štirikrat. Vrstni red korenin je odvisen od tega, kateri kockasti koren U izbrano. Poglej tudi
- Enostavno rešljive vrste enačb 4. stopnje: bikvadratna enačba, recipročna enačba četrte stopnje
Literatura
- Korn G., Korn T. (1974) Priročnik za matematiko.
Povezave
- Ferrarijeva odločitev
Fundacija Wikimedia. 2010.
Oglejte si, kaj je "enačba četrte stopnje" v drugih slovarjih:
enačba četrte stopnje- - [L.G. Sumenko. Angleško-ruski slovar o informacijski tehnologiji. M.: Državno podjetje TsNIIS, 2003.] Teme Informacijska tehnologija v splošni EN kvartični enačbi … Priročnik za tehnične prevajalce
Graf polinoma 4. stopnje s štirimi koreninami in tremi kritičnimi točkami. Enačba četrte stopnje v matematiki je algebraična enačba oblike: Četrta stopnja za algebraične enačbe je najvišja, pri kateri ... ... Wikipedia
Enačba oblike: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 se imenuje recipročna, če so njeni koeficienti v simetričnih legah enaki, to je, če je an − k = ak, za k = 0, 1, ..., št. Vsebina 1 Enačba četrte stopnje ... Wikipedia
V katerem je neznani člen na četrto potenco. Popoln slovar tujih besed, ki so prišle v uporabo v ruskem jeziku. Popov M., 1907. BIKVADRATNA ENAČBA iz lat. bis, dvakrat, in quadratum, kvadrat. Enačba, v kateri je največja stopnja... ... Slovar tujih besed ruskega jezika
Skupaj z aritmetiko obstaja znanost o številih in preko števil na splošno o količinah. Ne da bi preučevali lastnosti kakršnih koli določenih, konkretnih količin, obe vedi raziskujeta lastnosti abstraktnih količin kot takih, ne glede na... ... enciklopedični slovar F. Brockhaus in I.A. Efron
Nabor uporabnih znanj, ki letalskim inženirjem omogoča študij na področju aerodinamike, problemov trdnosti, izdelave motorjev in dinamike letenja letal (tj. teorije), da ustvarijo novo letalo ali izboljšajo... ... Collierjeva enciklopedija
Najstarejša matematična dejavnost je bilo štetje. Račun je bil potreben za spremljanje živine in trgovanje. Nekatera primitivna plemena so štela število predmetov tako, da so jih primerjala z različnimi deli telesa, predvsem ... ... Collierjeva enciklopedija
Zgodovina tehnologije po obdobjih in regijah: Neolitska revolucija Starodavna tehnologija Egipta Znanost in tehnologija starodavne Indije Znanost in tehnologija starodavna Kitajska Tehnologije Antična grčija Tehnologije Stari Rim Tehnologije islamskega sveta... ... Wikipedia
Enačba je matematično razmerje, ki izraža enakost dveh algebrskih izrazov. Če enakost velja za vse dopustne vrednosti neznank, ki so vanjo vključene, potem se imenuje identiteta; na primer razmerje oblike ... ... Collierjeva enciklopedija
Teorem Abela Ruffinija trdi, da splošna enačba potenc pri ni mogoče razrešiti v radikalih. Vsebina 1 Podrobnosti... Wikipedia
Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Človek je enačbe uporabljal že v pradavnini, od takrat pa se je njihova uporaba le še povečala. Rešitve te vrste enačb se lahko izvedejo po splošni shemi za reševanje enačb višjih stopenj. Te vrste enačb imajo rešitve v radikalih zahvaljujoč Ferrarijevi metodi, ki omogoča redukcijo rešitev na kubično enačbo. Vendar pa lahko v večini primerov z faktorizacijo polinoma hitro najdete rešitev enačbe.
Recimo, da imamo binomsko enačbo četrte stopnje:
Razložimo polinom na faktorje:
Določimo korenine prvega kvadratnega trinoma:
Določimo korenine drugega trinoma:
Posledično ima izvirna enačba štiri kompleksne korene:
Kje lahko na spletu rešim enačbe 4. stopnje?
Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil reševanje spletnih enačb katere koli zahtevnosti v nekaj sekundah. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in ugotovite, kako rešiti enačbo na naši spletni strani. Če imate kakršna koli vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.
