Pravljice

Podajte definicijo enačbe premice na ravnini. Kul delo04/02/12. Ponovimo * Katera enačba se imenuje kvadratna? * Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? * Katera. Oglejte si, kaj je "Equation" v drugih slovarjih

Reševanje enačbe

Ilustracija grafične metode za iskanje korenov enačbe

Reševanje enačbe je naloga iskanja takih vrednosti argumentov, pri katerih je ta enakost dosežena. Možnim vrednostim argumentov se lahko naložijo dodatni pogoji (celo število, realno itd.).

Zamenjava drugega korena povzroči nepravilno izjavo:

Zato je treba drugo korenino zavreči kot tujo.

Vrste enačb

Obstajajo algebraične, parametrične, transcendentalne, funkcionalne, diferencialne in druge vrste enačb.

Nekateri razredi enačb imajo analitične rešitve, ki so priročne, ker ne podajajo le natančne vrednosti korena, ampak vam omogočajo tudi, da rešitev zapišete v obliki formule, ki lahko vključuje parametre. Analitični izrazi omogočajo ne le izračun korenin, temveč tudi analizo njihovega obstoja in količine glede na vrednosti parametrov, kar je pogosto še bolj pomembno za praktična uporaba, kot specifične vrednosti korenin.

Enačbe, za katere so znane analitične rešitve, vključujejo algebraične enačbe največ četrte stopnje: linearna enačba, kvadratna enačba, kubična enačba in enačba četrte stopnje. Algebraične enačbe V splošnem primeru enačbe višjih stopenj nimajo analitičnih rešitev, čeprav jih je mogoče nekatere zreducirati na enačbe nižjih stopenj.

Enačba, ki vključuje transcendentne funkcije, se imenuje transcendentna. Med njimi so nekatere poznane analitične rešitve trigonometrične enačbe, saj so ničle trigonometričnih funkcij dobro znane.

V splošnem primeru, ko analitične rešitve ni mogoče najti, uporabimo numerične metode. Numerične metode ne dajejo natančne rešitve, ampak omogočajo le zožanje intervala, v katerem leži koren, na določeno vnaprej določeno vrednost.

Primeri enačb

Poglej tudi

Literatura

Bekarevich, A. B. Enačbe v šolskem tečaju matematike / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
Markushevich, L. A. Enačbe in neenačbe pri zadnji ponovitvi predmeta algebra Srednja šola/ L. A. Markuševič, R. S. Čerkasov. / Matematika v šoli. - 2004. - št. 1.
Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kijev: Radjanska šola, 1968.
Enačba- članek iz Velike sovjetske enciklopedije
Enačbe// Collier's Encyclopedia. - Odprta družba. 2000.
Enačba// Enciklopedija okoli sveta
Enačba // Matematična enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Povezave

EqWorld – Svet matematičnih enačb – vsebuje obsežne informacije o matematičnih enačbah in sistemih enačb.

Fundacija Wikimedia. 2010.

Sopomenke:

Protipomenke:

Khadzhimba, Raul Dzhumkovich
ES računalnik

Oglejte si, kaj je "Equation" v drugih slovarjih:

ENAČBA - (1) matematični zapis problem iskanja takih vrednosti argumentov (glej (2)), za katere sta vrednosti obeh podatkov (glej) enaki. Argumenti, od katerih so odvisne te funkcije, se imenujejo neznanke in vrednosti neznank, pri katerih so vrednosti ... ... Velika politehnična enciklopedija

ENAČBA- ENAČBA, enačbe, prim. 1. Tožba po pogl. izravnati izravnati in pogojovati po pogl. izenačiti izenačiti. Enake pravice. Enačba časa (prevod pravega sončnega časa v srednji sončni čas, sprejet v družbi in znanosti;... ... Slovar Ushakova

ENAČBA- (enačba) Zahteva, da matematični izraz dobila določen pomen. Na primer, kvadratna enačba je zapisana kot: ax2+bx+c=0. Rešitev je vrednost x, pri kateri dana enačba postane identiteta. V…… Ekonomski slovar

ENAČBA- matematična predstavitev problema iskanja vrednosti argumentov, za katere sta vrednosti dveh danih funkcij enaki. Argumenti, od katerih so odvisne te funkcije, se imenujejo neznanke, vrednosti neznank, pri katerih so vrednosti funkcije enake ... ... Veliki enciklopedični slovar

ENAČBA- ENAČBA, dva izraza, povezana z enačajem; ti izrazi vključujejo eno ali več spremenljivk, imenovanih neznanke. Rešiti enačbo pomeni najti vse vrednosti neznank, pri katerih postane identiteta, ali ugotoviti... Sodobna enciklopedija

1. Katero trditev imenujemo posledica? Dokaži, da premica, ki seka eno od dveh vzporednih premic, seka tudi drugo

Če sta dve premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni.3. Kateri izrek se imenuje nasprotje tega izreka? Navedite primere izrekov, ki so v nasprotju s temi podatki vzporedni premici, potem je tudi pravokotna na drugo.6.Dokaži, da ko se dve vzporedni premici sekata s prečnico: a) sta pripadajoča kota enaka; b) vsota enostranskih kotov je 180°.

Prosim, pomagajte mi pri vprašanjih o geometriji (9. razred)! 2) Kaj pomeni vektor razstaviti na dvoje

na te vektorje. 9) Kaj je radij vektor točke? Dokažite, da so koordinate točke enake pripadajočim koordinatam vektorjev? 10) Izpeljite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovega začetka in konca. 11) Izpeljite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovih koncev. 12) Izpeljite formulo za izračun dolžine vektorja iz njegovih koordinat. 13) Izpeljite formulo za izračun razdalje med dvema točkama na podlagi njunih koordinat. 15) Katero enačbo imenujemo enačba te premice? 16) Izpeljite enačbo kroga danega polmera s središčem v dani točki.

1) Navedite in dokažite lemo o kolinearnih vektorjih.

3)Formulirajte in dokažite izrek o razgradnji vektorja na dva nekolinearna vektorja.
4) Pojasnite, kako se uvede pravokotni koordinatni sistem.
5) Kaj so koordinatni vektorji?
6)Oblikujte in dokažite trditev o razgradnji poljubnega vektorja na koordinatne vektorje.
7) Kaj so vektorske koordinate?
8) Oblikujte in dokažite pravila za iskanje koordinat vsote in razlike vektorjev ter produkta vektorja in števila na danih vektorskih koordinatah.
10) Izpeljite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovega začetka in konca.
11) Izpeljite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovih koncev.
12) Izpeljite formulo za izračun dolžine vektorja iz njegovih koordinat.
13) Izpeljite formulo za izračun razdalje med dvema točkama na podlagi njunih koordinat.
14) Navedite primer rešitve geometrijski problem z uporabo koordinatne metode.
16) Izpeljite enačbo kroga danega polmera s središčem v dani točki.
17) Zapišite enačbo kroga danega polmera s središčem v izhodišču.
18) Izpeljite enačbo te premice v pravokotnem koordinatnem sistemu.
19) Zapišite enačbo premic, ki potekajo skozi dano točko M0 (X0: Y0) in so vzporedne s koordinatnimi osemi.
20) Zapišite enačbo koordinatnih osi.
21) Navedite primere uporabe enačb kroga in premice pri reševanju geometrijskih nalog.

Prosim, res ga potrebujem! Po možnosti z risbami (kjer je potrebno)!

GEOMETRIJA 9. RAZRED.

1) Navedite in dokažite lemo o kolinearnih vektorjih.
2) Kaj pomeni vektor razstaviti na dva podana vektorja.
3)Formulirajte in dokažite izrek o razgradnji vektorja na dva nekolinearna vektorja.
4) Pojasnite, kako se uvede pravokotni koordinatni sistem.
5) Kaj so koordinatni vektorji?
6)Oblikujte in dokažite trditev o razgradnji poljubnega vektorja na koordinatne vektorje.
7) Kaj so vektorske koordinate?
8) Oblikujte in dokažite pravila za iskanje koordinat vsote in razlike vektorjev ter produkta vektorja in števila na danih vektorskih koordinatah.
9) Kaj je radij vektor točke? Dokaži, da so koordinate točke enake ustreznim koordinatam vektorjev.
14) Navedite primer reševanja geometrijskega problema s koordinatno metodo.
15)Katera enačba se imenuje enačba te premice? Navedite primer.
17) Zapišite enačbo kroga danega polmera s središčem v izhodišču.
18) Izpeljite enačbo te premice v pravokotnem koordinatnem sistemu.
19) Zapišite enačbo premic, ki potekajo skozi dano točko M0 (X0: Y0) in so vzporedne s koordinatnimi osemi.
20) Zapišite enačbo koordinatnih osi.
21) Navedite primere uporabe enačb kroga in premice pri reševanju geometrijskih nalog.

Premica na ravnini in v prostoru.

Preučevanje lastnosti geometrijske oblike uporaba algebre se imenuje analitično geometrijo , uporabili pa bomo t.i koordinatna metoda .

Črta na ravnini je običajno definirana kot niz točk, ki imajo edinstvene lastnosti. Dejstvo, da so koordinate x in y (števili) točke, ki leži na tej premici, analitično zapisane v obliki neke enačbe.

Def.1 Enačba premice (enačba krivulje) na ravnini Oxy se imenuje enačba (*), ki jo izpolnjujejo koordinate x in y vsake točke na dani premici in je ne izpolnjujejo koordinate katere koli druge točke, ki ne leži na tej premici.

Iz definicije 1 sledi, da vsaka premica na ravnini ustreza neki enačbi med trenutnimi koordinatami ( x,y ) točke te premice in obratno, vsaka enačba na splošno ustreza določeni premici.

To povzroča dva glavna problema analitične geometrije na ravnini.

1. Premica je podana v obliki množice točk. Ustvariti moramo enačbo za to premico.

2. Podana je enačba premice. Treba je preučiti njegove geometrijske lastnosti (obliko in lokacijo).

Primer. Ali točke lažejo A(-2;1) in IN (1;1) v vrstici 2 X +pri +3=0?

Problem iskanja presečišč dveh premic, podane z enačbami in pride do iskanja koordinat, ki zadovoljujejo enačbo obeh premic, tj. k reševanju sistema dveh enačb z dvema neznankama.

Če ta sistem nima pravih rešitev, se premice ne sekajo.

Koncept črte je v UCS predstavljen na podoben način.

Premico na ravnini lahko definiramo z dvema enačbama

Kje X in pri – poljubne koordinate točk M(x;y), ki leži na tej črti, in t - imenovana spremenljivka parameter , parameter določa položaj točke na ravnini.

Na primer, če , potem vrednost parametra t=2 ustreza točki (3;4) na ravnini.

Če se parameter spremeni, se točka na ravnini premakne in opisuje to premico. Ta metoda definiranja črte se imenuje parametrična, enačba (5.1) pa je parametrična enačba premice.

Za prehod s parametričnih enačb na splošno enačbo (*) je treba parameter nekako izločiti iz obeh enačb. Vendar ugotavljamo, da tak prehod ni vedno priporočljiv in ni vedno mogoč.

Premico na ravnini je mogoče določiti vektorska enačba , kjer je t parameter skalarne spremenljivke. Vsaka vrednost parametra ustreza določenemu ravninskemu vektorju. Ko spremenite parameter, bo konec vektorja opisal določeno črto.

Vektorska enačba v DSC ustreza dvema skalarnima enačbama

(5.1), tj. enačbe projekcij na koordinatne osi vektorske enačbe premice so njene

parametrična enačba.

Vektorska enačba in parametrične enačbe premice imajo mehanski pomen. Če se točka premika po ravnini, se imenujejo navedene enačbe enačbe gibanja , premica pa trajektorija točke, parameter t je čas.

Sklep: vsaka premica na ravnini ustreza enačbi oblike.

V splošnem primeru VSAKA ENAČBA POGLEDA ustreza določeni premici, katere lastnosti so določene z dano enačbo (z izjemo, da enačbi na ravnini ne ustreza nobena geometrijska podoba).

Naj bo izbran koordinatni sistem na ravnini.

Def. 5.1. Enačba črte Ta vrsta enačbe se imenujeF(x;y) =0, ki ga izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki leži na tej premici, in ne izpolnjujejo koordinate nobene točke, ki ne leži na njej.

Enačba oblikeF(x;y )=0 – imenovana splošna enačba premice ali enačba v implicitni obliki.

Tako je premica G geometrijsko mesto točk, ki izpolnjujejo to enačbo Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linija se imenuje tudi ukrivljen.

Cilj: Razmislite o konceptu črte na ravnini, navedite primere. Na podlagi definicije premice uvedite pojem enačbe premice na ravnini. Razmislite o vrstah ravnih črt, navedite primere in metode definiranja ravne črte. Okrepiti sposobnost prevajanja enačbe premice iz splošni pogled v enačbo ravne črte "v segmentih", s kotnim koeficientom.

Enačba premice na ravnini.
Enačba premice na ravnini. Vrste enačb.
Metode za določanje ravne črte.

1. Naj sta x in y dve poljubni spremenljivki.

Opredelitev: Pokličemo relacijo oblike F(x,y)=0 enačba , če ne velja za noben par števil x in y.

Primer: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Če za vsak x, y velja enakost F(x,y)=0, potem je torej F(x,y) = 0 identiteta.

Primer: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Pravijo, da sta števili x 0 in y 0 zadovoljiti enačbo , če se pri zamenjavi v to enačbo spremeni v pravo enakost.

Najpomembnejši koncept analitične geometrije je koncept enačbe premice.

Opredelitev: Enačba dane premice je enačba F(x,y)=0, ki jo izpolnjujejo koordinate vseh točk, ki ležijo na tej premici, in je ne izpolnjujejo koordinate nobene točke, ki ne leži na tej premici.

Premica, definirana z enačbo y = f(x), se imenuje graf za f(x). Spremenljivki x in y pravimo trenutni koordinati, ker sta koordinati spremenljive točke.

nekaj primeri definicije vrstic.

1) x – y = 0 => x = y. Ta enačba določa ravno črto:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => točke morajo zadostiti enačbi x - y = 0 ali enačbi x + y = 0, ki na ravnini ustreza par sekajočih se ravnih črt, ki sta simetrali koordinatnih kotov:

3) x 2 + y 2 = 0. Tej enačbi zadostuje samo ena točka O(0,0).

2. definicija: Vsako premico na ravnini je mogoče določiti z enačbo prvega reda

Ax + Wu + C = 0,

Poleg tega konstanti A in B nista enaki nič hkrati, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. Ta enačba prvega reda se imenuje splošna enačba premice.

Glede na vrednosti konstant A, B in C so možni naslednji posebni primeri:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – premica poteka skozi izhodišče

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - ravna črta, vzporedna z osjo Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – premica, vzporedna z osjo Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – premica sovpada z osjo Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – premica sovpada z osjo Ox

Enačbo premice je mogoče predstaviti v različnih oblikah, odvisno od danih začetnih pogojev.

Enačba premice s kotnim koeficientom.

Če se splošna enačba premice Ax + By + C = 0 zmanjša na obliko:

in označujemo , potem se imenuje nastala enačba enačba premice z naklonom k.

Enačba ravne črte v segmentih.

Če v splošna enačba ravna črta Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, potem z deljenjem z –С dobimo: ali, kjer

Geometrijski pomen koeficientov je, da koeficient A je koordinata presečišča premice z osjo Ox in b– koordinata presečišča premice z osjo Oy.

Normalna enačba premice.

Če obe strani enačbe Ax + By + C = 0 delimo s številom, imenovanim normalizacijski faktor, potem dobimo

xcosj + ysinj - p = 0 – normalna enačba premice.

Predznak ± normalizacijskega faktorja mora biti izbran tako, da je m×С< 0.

p je dolžina navpičnice, spuščene iz izhodišča na premico, j pa kot, ki ga tvori ta navpičnica s pozitivno smerjo osi Ox.

3. Enačba ravne črte z uporabo točke in naklona.

Naj bo kotni koeficient premice enak k, premica poteka skozi točko M(x 0, y 0). Nato dobimo enačbo premice po formuli: y – y 0 = k(x – x 0)

Enačba premice, ki poteka skozi dve točki.

Naj sta v prostoru podani dve točki M 1 (x 1, y 1, z 1) in M 2 (x 2, y 2, z 2), potem je enačba premice, ki poteka skozi ti točki:

Če je kateri od imenovalcev enak nič, mora biti ustrezni števec enak nič.

Na ravnini je zgoraj zapisana enačba premice poenostavljena:

če je x 1 ¹ x 2 in x = x 1, če je x 1 = x 2.

Ulomek = k se imenuje naklon naravnost.

Naj sta na ravnini  podana kartezični pravokotni koordinatni sistem Oxy in neka premica L.

Opredelitev. Enačba F(x;y)=0 (1) klical enačba črteL(glede na dani koordinatni sistem), če tej enačbi ustrezajo koordinate x in y katere koli točke, ki leži na premici L, in ne koordinate x in y katere koli točke, ki ne leži na premici L.

to. linija na ravnini je geometrijsko mesto točk (M(x;y)), katerih koordinate zadoščajo enačbi (1).

Enačba (1) določa črto L.

Primer. Enačba kroga.

Krog– niz točk, enako oddaljenih od dane točke M 0 (x 0,y 0).

Točka M 0 (x 0,y 0) – središče kroga.

Za katero koli točko M(x;y), ki leži na krogu, je razdalja MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(ooo 0 ) 2 =R 2 –(2) – enačba kroga s polmerom R s središčem v točki M 0 (x 0,y 0).

Parametrična enačba premice.

Naj se koordinate x in y točk na premici L izrazijo s parametrom t:

(3) – parametrična enačba premice v DSC

kjer sta funkciji (t) in (t) zvezni glede na parameter t (v določenem območju variacije tega parametra).

Če iz enačbe (3) izvzamemo parameter t, dobimo enačbo (1).

Vzemimo premico L kot pot, ki jo prehodi snovna točka, ki se neprekinjeno giblje po določenem zakonu. Naj spremenljivka t predstavlja čas, štet od nekega začetnega trenutka. Takrat specifikacija zakona gibanja predstavlja specifikacijo koordinat x in y gibljive točke kot nekaterih zveznih funkcij x=(t) in y=(t) časa t.

Primer. Izpeljimo parametrično enačbo za krog s polmerom r>0 s središčem v izhodišču. Naj bo M(x,y) poljubna točka tega kroga in t bo kot med vektorjem radija in osjo Ox, šteto v nasprotni smeri urnega kazalca.

Potem je x=r cos x y=r sin t. (4)

Enačbe (4) so parametrične enačbe obravnavanega kroga. Parameter t ima lahko poljubno vrednost, a da točka M(x,y) enkrat obkroži krog, je obseg spremembe parametra omejen na polodsek 0t2.

S kvadriranjem in seštevanjem enačb (4) dobimo splošno enačbo kroga (2).

2. Polarni koordinatni sistem (psc).

Izberimo os L ( polarna os) in določi točko te osi O ( palica). Vsaka točka na ravnini je enolično definirana polarne koordinateρ in φ, kjer

ρ – polarni radij, enaka razdalji od točke M do pola O (ρ≥0);

φ – kotiček med vektorsko smerjo OM in L os ( polarni kot). M(ρ ; φ )

Enačba črte v UCS se lahko napiše:

ρ=f(φ) (5) eksplicitna enačba premice v UCS

F=(ρ; φ) (6) implicitna enačba premice v UCS

Razmerje med kartezičnimi in polarnimi koordinatami točke.

(x;y) (ρ ; φ ) Iz trikotnika OMA:

tan φ=(obnovitev kotaφ po znanemnastane tangentaob upoštevanju, v katerem kvadrantu se nahaja točka M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Primer . Poiščite polarni koordinati točk M(3;4) in P(1;-1).

Za M:=5, φ=arctg (4/3). Za P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Razvrstitev ravnih črt.

Definicija 1. Vrstica se imenuje algebrski,če v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu, če je definiran z enačbo F(x;y)=0 (1), v kateri je funkcija F(x;y) algebraični polinom.

Definicija 2. Vsaka nealgebraična premica se imenuje transcendentalno.

Definicija 3. Algebraična črta se imenuje vrstica redan, če je v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu ta premica določena z enačbo (1), v kateri je funkcija F(x;y) algebraični polinom n-te stopnje.

Tako je premica n-tega reda premica, definirana v nekem kartezičnem pravokotnem sistemu z algebraično enačbo stopnje n z dvema neznankama.

Naslednji izrek prispeva k ugotavljanju pravilnosti definicij 1,2,3.

Izrek(dokument na str. 107). Če je premica v nekem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu določena z algebraično enačbo stopnje n, potem je ta premica v katerem koli drugem kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu določena z algebrsko enačbo iste stopnje n.