Oglaševanje na portalu

Kul delo04/02/12. Ponovimo * Katera enačba se imenuje kvadratna? * Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? * Katera. Pojem enačbe črte. Določitev premice z enačbo Sl.6. Enačba vektorske črte

Enakost oblike F (x, y) = 0 imenujemo enačba v dveh spremenljivkah x, y,če ne velja za vse pare števil x, y. Pravijo dve številki x = x 0 , y=y 0, zadoščajo neki enačbi oblike F(x, y)=0,če pri zamenjavi teh števil namesto spremenljivk X in pri v enačbi njena leva stran izgine.

Enačba dane premice (v določenem koordinatnem sistemu) je enačba z dvema spremenljivkama, ki jo izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki leži na tej premici, in ne izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki na njej ne leži.

V nadaljevanju je namesto izraza »podana enačba premice F(x, y) = 0" bomo pogosto na kratko rekli: dana črta F (x, y) = 0.

Če sta podani enačbi dveh premic F(x, y) = 0 in Ф(x, y) = Q, nato skupno rešitev sistema

poda vse njihove presečišča. Natančneje, vsak par števil, ki je skupna rešitev tega sistema, določa eno od presečišč.

*) V primerih, ko koordinatni sistem ni imenovan, se predpostavlja, da je kartezični pravokotnik.

157. Točke so podane *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Ugotovite, katere objavljene točke ležijo na premici, določeni z enačbo X+ y = 0, in kateri ne ležijo na njej. Katero premico definira ta enačba? (Nariši na risbo.)

158. Na premici, ki jo določa enačba X 2 +y 2 =25, poiščite točke, katerih abscise so enake naslednjim številom: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; na isti premici poišči točke, katerih ordinate so enake naslednjim številom: e) 3, f) - 5, g) - 8. Katero premico določa ta enačba? (Nariši na risbo.)

159. Ugotovite, katere premice določajo naslednje enačbe (sestavite jih na risbi):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) l+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) l = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; enajst) x 2 - l 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y- 7xy + 10l = 0; 17) y =|x|; 18) x =|pri|; 19)l + |x|=0;

20) x +|pri|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) l = |x+ 2|; 23) X 2 + pri 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(l-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(l- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + l 2 = 4; 27) x 2 +(l + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + l 2 = 0;

29) X 2 + 2l 2 = 0; 30) 2X 2 + 3l 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (l + 3) 2 + 1=0.

160.Dane vrstice:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + l 2 - 36 = 0;

4) x 2 +l 2 -2x==0; 5) x 2 +l 2 + 4x-6l-1 =0.

Ugotovite, kateri od njih poteka skozi izvor.

161. Podane vrstice:

1) x 2 + l 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (l+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +l 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +l 2 - 2x + 8pri+ 7 = 0;

7) x 2 +l 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Poiščite njuni presečišče: a) z osjo Oh; b) z osjo OU.

162. Poišči presečišče dveh premic;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4pri+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4pri -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Točke so podane v polarnem koordinatnem sistemu

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) In M 5 (1; )

Ugotovi, katere od teh točk ležijo na premici, ki jo določa enačba v polarnih koordinatah  = 2 cos , in katere ne ležijo na njej. Katera premica je določena s to enačbo? (Nariši na risbo :)

164. Na premici, ki jo določa enačba  = , poiščite točke, katerih polarni koti so enaki naslednjim številom: a) ,b) - , c) 0, d) . Katero premico definira ta enačba?

(Sestavite ga na risbi.)

165.Na premici, ki jo določa enačba  = , poiščite točke, katerih polarni polmeri so enaki naslednjim številom: a) 1, b) 2, c)
. Katero premico definira ta enačba? (Sestavite ga na risbi.)

166. Ugotovite, katere premice so določene v polarnih koordinatah z naslednjimi enačbami (sestavite jih na risbi):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) greh  = 9) greh  =

167. Na risbi sestavi naslednje Arhimedove spirale:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Na risbi sestavi naslednje hiperbolične spirale:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Na risbi sestavi naslednje logaritemske spirale:

,
.

170. Določite dolžine segmentov, na katere seka Arhimedova spirala

žarek, ki izhaja iz pola in je pod kotom nagnjen proti polarni osi
. Narišite risbo.

171. Na Arhimedovi spirali
sprejeta točka Z, katerega polarni radij je 47. Ugotovite, na koliko delov ta spirala seka polarni radij konice Z, Narišite risbo.

172. Na hiperbolični spirali
najti točko R, katerega polarni radij je 12. Nariši.

173. Na logaritemski spirali
poišči točko Q, katere polarni radij je 81. Nariši.

Ponovimo * Katera enačba se imenuje kvadratna? * Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? * Katero kvadratno enačbo imenujemo reducirana? * Kaj imenujemo koren kvadratne enačbe? * Kaj pomeni rešiti kvadratno enačbo? Katera enačba se imenuje kvadratna? Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? Katera kvadratna enačba se imenuje reducirana? Kaj je koren kvadratne enačbe? Kaj pomeni rešiti kvadratno enačbo? Katera enačba se imenuje kvadratna? Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? Katera kvadratna enačba se imenuje reducirana? Kaj je koren kvadratne enačbe? Kaj pomeni rešiti kvadratno enačbo?
















Algoritem za reševanje kvadratne enačbe: 1. Določi najracionalnejši način reševanja kvadratne enačbe 2. Izberi najracionalnejši način reševanja 3. Določanje števila korenov kvadratne enačbe 4. Iskanje korenin kvadratne enačbe Za boljše pomnjenja izpolni tabelo... Za boljše pomnjenje izpolni tabelo... Za boljše pomnjenje izpolni tabelo...






Dodatni pogoj Enačba Koreni Primeri 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1,2 = ±(c/a), kjer je c/a 0. b) če je c/a 0, potem ni rešitev 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, kjer je D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – sodo število (b = 2k), a 0, v 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, kjer je k = 6. Inverzni izrek k Vietovemu izreku x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q


II. Posebne metode 7. Metoda izolacije kvadrata binoma. Namen: reducirati splošno enačbo na nepopolno kvadratno enačbo. Opomba: metoda je uporabna za vse kvadratne enačbe, vendar ni vedno priročna za uporabo. Uporablja se za dokazovanje formule za korenine kvadratne enačbe. Primer: reši enačbo x 2 -6 x+8=0 8. Metoda “prenosa” najvišjega koeficienta. Koreni kvadratnih enačb ax 2 + bx + c = 0 in y 2 +by+ac=0 so povezani z razmerji: in Opomba: metoda je dobra za kvadratne enačbe s »priročnimi« koeficienti. V nekaterih primerih vam omogoča ustno reševanje kvadratne enačbe. Primer: rešite enačbo 2 x 2 -9 x-5=0 Na podlagi izrekov: Primer: rešite enačbo 157 x x-177=0 9. Če je v kvadratni enačbi a+b+c=0, potem je eden od korenin je 1, druga pa je po Vietovem izreku enaka c / a 10. Če je v kvadratni enačbi a + c = b, potem je ena od korenin enaka -1, druga pa po Vietovem izrek, je enako -c / a Primer: rešite enačbo 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a


III. Splošne metode reševanja enačb 11. Metoda faktorizacije. Cilj: Zreducirajte splošno kvadratno enačbo na obliko A(x)·B(x)=0, kjer sta A(x) in B(x) polinoma glede na x. Metode: jemanje skupnega faktorja iz oklepajev; Uporaba formul za skrajšano množenje; Metoda združevanja. Primer: reši enačbo 3 x 2 +2 x-1=0 12. Način vnosa nove spremenljivke. Dobra izbira nove spremenljivke naredi strukturo enačbe preglednejšo. Primer: rešite enačbo (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8









Premica na ravnini in v prostoru.

Preučevanje lastnosti geometrijskih likov z uporabo algebre se imenuje analitično geometrijo , uporabili pa bomo t.i koordinatna metoda .

Črta na ravnini je običajno definirana kot niz točk, ki imajo edinstvene lastnosti. Dejstvo, da so koordinate x in y (števili) točke, ki leži na tej premici, analitično zapisane v obliki neke enačbe.

Def.1 Enačba premice (enačba krivulje) na ravnini Oxy imenujemo enačba (*), ki jo izpolnjujejo koordinate x in y vsake točke na dani premici in je ne izpolnjujejo koordinate katere koli druge točke, ki ne leži na tej premici.

Iz definicije 1 sledi, da vsaka premica na ravnini ustreza neki enačbi med trenutnimi koordinatami ( x,y ) točke te premice in obratno, vsaka enačba na splošno ustreza določeni premici.

To povzroča dva glavna problema analitične geometrije na ravnini.

1. Premica je podana v obliki množice točk. Ustvariti moramo enačbo za to premico.

2. Podana je enačba premice. Treba je preučiti njegove geometrijske lastnosti (obliko in lokacijo).

Primer. Ali točke lažejo A(-2;1) in IN (1;1) v vrstici 2 X +pri +3=0?

Problem iskanja presečišč dveh premic, podanih z enačbami, se spušča v iskanje koordinat, ki zadoščajo enačbi obeh premic, tj. k reševanju sistema dveh enačb z dvema neznankama.

Če ta sistem nima pravih rešitev, se premice ne sekajo.

Koncept črte je v UCS predstavljen na podoben način.

Premico na ravnini lahko definiramo z dvema enačbama

Kje X in pri – poljubne koordinate točk M(x;y), ki leži na tej črti, in t - imenovana spremenljivka parameter , parameter določa položaj točke na ravnini.

Na primer, če , potem vrednost parametra t=2 ustreza točki (3;4) na ravnini.

Če se parameter spremeni, se točka na ravnini premakne in opisuje to premico. Ta metoda definiranja črte se imenuje parametrična, enačba (5.1) pa je parametrična enačba premice.

Za prehod s parametričnih enačb na splošno enačbo (*) je treba parameter nekako izločiti iz obeh enačb. Vendar ugotavljamo, da tak prehod ni vedno priporočljiv in ni vedno mogoč.

Premico na ravnini je mogoče določiti vektorska enačba , kjer je t parameter skalarne spremenljivke. Vsaka vrednost parametra ustreza določenemu ravninskemu vektorju. Ko spremenite parameter, bo konec vektorja opisal določeno črto.

Vektorska enačba v DSC ustreza dvema skalarnima enačbama

(5.1), tj. enačba projekcij na koordinatne osi vektorske enačbe premice je njena



parametrična enačba.

Vektorska enačba in enačbe parametrične premice imajo mehanski pomen. Če se točka premika po ravnini, se imenujejo navedene enačbe enačbe gibanja , premica pa trajektorija točke, parameter t je čas.

Sklep: vsaka premica na ravnini ustreza enačbi oblike.

V splošnem primeru KAKRŠNA ENAČBA POGLEDA ustreza določeni premici, katere lastnosti določa dana enačba (z izjemo, da enačbi na ravnini ne ustreza nobena geometrijska podoba).

Naj bo izbran koordinatni sistem na ravnini.

Def. 5.1. Enačba črte ta vrsta enačbe se imenujeF(x;y) =0, ki ga izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki leži na tej premici, in ne izpolnjujejo koordinate nobene točke, ki ne leži na njej.

Enačba oblikeF(x;y )=0 – imenovana splošna enačba premice ali enačba v implicitni obliki.

Tako je premica G geometrijsko mesto točk, ki izpolnjujejo to enačbo Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linija se imenuje tudi ukrivljen.

Reševanje enačbe

Ilustracija grafične metode za iskanje korenov enačbe

Reševanje enačbe je naloga iskanja takih vrednosti argumentov, pri katerih je ta enakost dosežena. Na možne vrednosti argumentov se lahko naložijo dodatni pogoji (celo število, realno itd.).

Zamenjava drugega korena povzroči nepravilno izjavo:

.

Zato je treba drugo korenino zavreči kot tujo.

Vrste enačb

Obstajajo algebraične, parametrične, transcendentalne, funkcionalne, diferencialne in druge vrste enačb.

Nekateri razredi enačb imajo analitične rešitve, ki so priročne, ker ne podajajo samo natančne vrednosti korena, temveč vam omogočajo tudi, da rešitev zapišete v obliki formule, ki lahko vključuje parametre. Analitični izrazi omogočajo ne samo izračun korenin, temveč tudi analizo njihovega obstoja in njihove količine glede na vrednosti parametrov, kar je za praktično uporabo pogosto še bolj pomembno kot specifične vrednosti korenin.

Enačbe, za katere so znane analitične rešitve, vključujejo algebraične enačbe največ četrte stopnje: linearna enačba, kvadratna enačba, kubična enačba in enačba četrte stopnje. Algebraične enačbe višjih stopenj v splošnem primeru nimajo analitične rešitve, čeprav jih je mogoče nekatere zreducirati na enačbe nižjih stopenj.

Enačba, ki vključuje transcendentne funkcije, se imenuje transcendentna. Med njimi so znane analitične rešitve nekaterih trigonometričnih enačb, saj so ničle trigonometričnih funkcij dobro poznane.

V splošnem primeru, ko analitične rešitve ni mogoče najti, uporabimo numerične metode. Numerične metode ne dajejo natančne rešitve, ampak omogočajo le zožanje intervala, v katerem leži koren, na določeno vnaprej določeno vrednost.

Primeri enačb

Poglej tudi

Literatura

  • Bekarevich, A. B. Enačbe v šolskem tečaju matematike / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
  • Markushevich, L. A. Enačbe in neenačbe pri končnem ponavljanju srednješolskega predmeta algebre / L. A. Markushevich, R. S. Čerkasov. / Matematika v šoli. - 2004. - št. 1.
  • Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kijev: Radjanska šola, 1968.
  • Enačba- članek iz Velike sovjetske enciklopedije
  • Enačbe// Collier's Encyclopedia. - Odprta družba. 2000.
  • Enačba// Enciklopedija okoli sveta
  • Enačba// Matematična enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Povezave

  • EqWorld – Svet matematičnih enačb – vsebuje obsežne informacije o matematičnih enačbah in sistemih enačb.

Fundacija Wikimedia. 2010.

Sopomenke:

Protipomenke:

  • Khadzhimba, Raul Dzhumkovich
  • ES RAČUNALNIK

Poglejte, kaj je "Equation" v drugih slovarjih:

    ENAČBA- (1) matematična predstavitev problema iskanja takšnih vrednosti argumentov (glej (2)), za katere sta vrednosti dveh podatkov (glej) enaki. Argumenti, od katerih so odvisne te funkcije, se imenujejo neznanke in vrednosti neznank, pri katerih so vrednosti ... ... Velika politehnična enciklopedija

    ENAČBA- ENAČBA, enačbe, prim. 1. Tožba po pogl. izravnati izravnati in pogojovati po pog. izenačiti izenačiti. Enake pravice. Enačba časa (prevod pravega sončnega časa v srednji sončni čas, sprejet v družbi in znanosti;... ... Razlagalni slovar Ušakova

    ENAČBA- (enačba) Zahteva, da matematični izraz prevzame določeno vrednost. Na primer, kvadratna enačba je zapisana kot: ax2+bx+c=0. Rešitev je vrednost x, pri kateri dana enačba postane identiteta. V…… Ekonomski slovar

    ENAČBA- matematična predstavitev problema iskanja vrednosti argumentov, za katere sta vrednosti dveh danih funkcij enaki. Argumenti, od katerih so odvisne te funkcije, se imenujejo neznanke, vrednosti neznank, pri katerih so vrednosti funkcije enake ... ... Veliki enciklopedični slovar

    ENAČBA- ENAČBA, dva izraza, povezana z enačajem; ti izrazi vključujejo eno ali več spremenljivk, imenovanih neznanke. Rešiti enačbo pomeni najti vse vrednosti neznank, pri katerih postane identiteta, ali ugotoviti... Sodobna enciklopedija

Premica na ravnini je zbirka točk na tej ravnini, ki imajo določene lastnosti, medtem ko točke, ki ne ležijo na dani premici, teh lastnosti nimajo. Enačba premice določa analitično izražen odnos med koordinatami točk, ki ležijo na tej premici. Naj bo to razmerje podano z enačbo

F( x,y)=0. (2.1)

Par števil, ki ustreza (2.1), ni poljuben: če X dano, torej pri ne more biti nič, kar pomeni pri povezan z X. Ko se spremeni X spremembe pri in točka s koordinatami ( x,y) opisuje to vrstico. Če so koordinate točke M 0 ( X 0 ,pri 0) zadoščajo enačbi (2.1), tj. F( X 0 ,pri 0)=0 velja enakost, potem točka M 0 leži na tej premici. Velja tudi obratno.

Opredelitev. Enačba premice na ravnini je enačba, ki jo izpolnjujejo koordinate katere koli točke, ki leži na tej premici, in je ne izpolnjujejo koordinate točk, ki ne ležijo na tej premici..

Če je znana enačba določene črte, se lahko preučevanje geometrijskih lastnosti te črte zmanjša na preučevanje njene enačbe - to je ena glavnih idej analitične geometrije. Za preučevanje enačb obstajajo dobro razvite metode matematične analize, ki poenostavljajo preučevanje lastnosti črt.

Pri obravnavi črt se uporablja izraz trenutna točka premica – spremenljiva točka M( x,y), ki se premika vzdolž te črte. Koordinate X in pri se imenujejo trenutna točka trenutne koordinate linijske točke.

Če lahko iz enačbe (2.1) eksplicitno izrazimo pri
skozi X, to pomeni, da enačbo (2.1) zapišemo v obliki , potem se krivulja, ki jo določa taka enačba, imenuje urnik funkcije f(x).

1. Enačba je podana: , ali . če X potem zavzame poljubne vrednosti pri ima vrednosti enake X. Posledično je črta, določena s to enačbo, sestavljena iz točk, ki so enako oddaljene od koordinatnih osi Ox in Oy - to je simetrala koordinatnih kotov I–III (ravna črta na sliki 2.1).

Enačba ali določa simetralo koordinatnih kotov II–IV (ravna črta na sliki 2.1).

0 x 0 x C 0 x

riž. 2.1 sl. 2.2 sl. 2.3

2. Enačba je podana: , kjer je C neka konstanta. To enačbo lahko zapišemo drugače: . Tej enačbi zadostijo te in samo te točke, ordinate pri ki so enake C za katero koli vrednost abscise X. Te točke ležijo na premici, vzporedni z osjo Ox (slika 2.2). Podobno enačba določa premico, vzporedno z osjo Oy (slika 2.3).

Ni vsaka enačba oblike F( x,y)=0 določa premico na ravnini: enačbi zadostuje ena sama točka – O(0,0), enačbi pa ne zadostuje nobena točka na ravnini.

V navedenih primerih smo uporabili dano enačbo za sestavo premice, ki jo ta enačba določa. Razmislimo o inverznem problemu: sestavite njegovo enačbo z dano premico.


3. Sestavite enačbo za krog s središčem v točki P( a,b) In
polmer R .

○ Krožnica s središčem v točki P in polmerom R je množica točk, ki se nahajajo na razdalji R od točke P. To pomeni, da je za vsako točko M, ki leži na krožnici, MP = R, če pa točka M ne leži na krog, nato MP ≠ R.. ●